Теорема за решаване на експоненциални неравенства. Решаване на експоненциални неравенства: основни методи

Решение на мнозинството математически задачипо един или друг начин, свързани с преобразуване на числови, алгебрични или функционални изрази. Горното се отнася особено за решението. Във версиите на Единния държавен изпит по математика този тип задачи включват по-специално задача C3. Да се ​​научите да решавате задачи C3 е важно не само за целите на успешното полагане на Единния държавен изпит, но и поради причината, че това умение ще бъде полезно при изучаване на курс по математика в гимназията.

Когато изпълнявате задачи C3, трябва да решите различни видовеуравнения и неравенства. Сред тях са рационални, ирационални, експоненциални, логаритмични, тригонометрични, съдържащи модули ( абсолютни стойности), както и комбинирани. В тази статия се разглеждат основните типове експоненциални уравнения и неравенства, както и различни методи за тяхното решаване. Прочетете за решаването на други видове уравнения и неравенства в раздела „“ в статиите, посветени на методите за решаване на задачи C3 от Опции за единен държавен изпитматематика.

Преди да започнем да анализираме конкретни експоненциални уравнения и неравенства, като учител по математика, ви предлагам да освежите малко теоретичен материал, който ще ни е необходим.

Експоненциална функция

Какво е експоненциална функция?

Функция на формата г = a x, Където а> 0 и а≠ 1 се извиква експоненциална функция.

Основен Имоти експоненциална функция г = a x:

Графика на експоненциална функция

Графиката на експоненциалната функция е експонент:

Графики на експоненциални функции (експоненти)

Решаване на експоненциални уравнения

Показателносе наричат ​​уравнения, в които неизвестната променлива се намира само в показатели на някои степени.

За решения експоненциални уравнениятрябва да знаете и да можете да използвате следната проста теорема:

Теорема 1.Експоненциално уравнение а f(х) = а ж(х) (Където а > 0, а≠ 1) е еквивалентно на уравнението f(х) = ж(х).

Освен това е полезно да запомните основните формули и операции със степени:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Пример 1.Решете уравнението:

Решение:Използваме горните формули и заместване:

Тогава уравнението става:

Дискриминантът на полученото квадратно уравнение е положителен:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Това означава, че това уравнение има два корена. Намираме ги:

Преминавайки към обратното заместване, получаваме:

Второто уравнение няма корени, тъй като експоненциалната функция е строго положителна в цялата област на дефиниция. Нека решим второто:

Като вземем предвид казаното в теорема 1, преминаваме към еквивалентното уравнение: х= 3. Това ще бъде отговорът на задачата.

Отговор: х = 3.

Пример 2.Решете уравнението:

Решение:ограничения в района приемливи стойностиуравнението не го прави, тъй като радикалният израз има смисъл за всяка стойност х(експоненциална функция г = 9 4 -хположителен и не равен на нула).

Решаваме уравнението чрез еквивалентни трансформации, използвайки правилата за умножение и деление на степени:

Последният преход беше извършен в съответствие с теорема 1.

Отговор:х= 6.

Пример 3.Решете уравнението:

Решение:двете страни на първоначалното уравнение могат да бъдат разделени на 0,2 х. Този преход ще бъде еквивалентен, тъй като този израз е по-голям от нула за всяка стойност х(експоненциалната функция е строго положителна в своята област на дефиниция). Тогава уравнението приема формата:

Отговор: х = 0.

Пример 4.Решете уравнението:

Решение:ние опростяваме уравнението до елементарно чрез еквивалентни трансформации, използвайки правилата за деление и умножение на степени, дадени в началото на статията:

Разделяне на двете страни на уравнението на 4 х, както в предишния пример, е еквивалентна трансформация, тъй като този израз не е равен на нула за никакви стойности х.

Отговор: х = 0.

Пример 5.Решете уравнението:

Решение:функция г = 3х, стоящ от лявата страна на уравнението, нараства. функция г = —х-2/3 от дясната страна на уравнението намалява. Това означава, че ако графиките на тези функции се пресичат, то най-много една точка. IN в такъв случайне е трудно да се досетите, че графиките се пресичат в точката х= -1. Други корени няма да има.

Отговор: х = -1.

Пример 6.Решете уравнението:

Решение:ние опростяваме уравнението чрез еквивалентни трансформации, като имаме предвид навсякъде, че експоненциалната функция е строго по-голяма от нула за всяка стойност хи използвайки правилата за изчисляване на произведението и частното на степените, дадени в началото на статията:

Отговор: х = 2.

Решаване на експоненциални неравенства

Показателносе наричат ​​неравенства, в които неизвестната променлива се съдържа само в показатели на някои степени.

За решения експоненциални неравенстваизисква се познаване на следната теорема:

Теорема 2.Ако а> 1, тогава неравенството а f(х) > а ж(х) е еквивалентно на неравенство със същото значение: f(х) > ж(х). Ако 0< а < 1, то показательное неравенство а f(х) > а ж(х) е еквивалентно на неравенство с противоположно значение: f(х) < ж(х).

Пример 7.Решете неравенството:

Решение:Нека представим първоначалното неравенство във формата:

Нека разделим двете страни на това неравенство на 3 2 х, в този случай (поради положителността на функцията г= 3 2х) знакът за неравенство няма да се промени:

Нека използваме заместването:

Тогава неравенството ще приеме формата:

И така, решението на неравенството е интервалът:

преминавайки към обратното заместване, получаваме:

Поради положителността на експоненциалната функция, лявото неравенство се изпълнява автоматично. Възползвам се известна собственостлогаритъм, преминаваме към еквивалентното неравенство:

Тъй като основата на степента е число, по-голямо от едно, еквивалентен (по теорема 2) е преходът към следното неравенство:

И така, най-накрая получаваме отговор:

Пример 8.Решете неравенството:

Решение:Използвайки свойствата на умножение и деление на степени, пренаписваме неравенството във формата:

Нека въведем нова променлива:

Като се вземе предвид тази замяна, неравенството приема формата:

Умножавайки числителя и знаменателя на дробта по 7, получаваме следното еквивалентно неравенство:

И така, следните стойности на променливата удовлетворяват неравенството T:

След това, преминавайки към обратното заместване, получаваме:

Тъй като основата на степента тук е по-голяма от единица, преходът към неравенството ще бъде еквивалентен (по теорема 2):

Накрая получаваме отговор:

Пример 9.Решете неравенството:

Решение:

Разделяме двете страни на неравенството с израза:

Той винаги е по-голям от нула (поради положителността на експоненциалната функция), така че не е необходимо да се променя знакът на неравенството. Получаваме:

t разположен в интервала:

Преминавайки към обратното заместване, откриваме, че първоначалното неравенство се разделя на два случая:

Първото неравенство няма решения поради положителността на експоненциалната функция. Нека решим второто:

Пример 10.Решете неравенството:

Решение:

Разклонения на парабола г = 2х+2-х 2 са насочени надолу, следователно е ограничен отгоре от стойността, която достига на върха си:

Разклонения на парабола г = х 2 -2х+2 в индикатора са насочени нагоре, което означава, че е ограничен отдолу от стойността, която достига в своя връх:

В същото време функцията също се оказва ограничена отдолу г = 3 х 2 -2х+2, което е от дясната страна на уравнението. Тя постига целта си най-ниска стойноств същата точка като параболата в експонентата и тази стойност е равна на 3 1 = 3. Така че първоначалното неравенство може да е вярно само ако функцията отляво и функцията отдясно приемат стойност, равна на 3 в същата точка (от пресечната точка. Диапазонът на стойностите на тези функции е само това число). Това условие е изпълнено в една точка х = 1.

Отговор: х= 1.

За да се научите да решавате експоненциални уравнения и неравенства,необходимо е постоянно да се тренира в решаването им. Различни неща могат да ви помогнат в тази трудна задача. методически ръководства, задачници по начална математика, сборници със състезателни задачи, уроци по математика в училище, както и индивидуални уроци с професионален преподавател. От сърце Ви пожелавам успех в подготовката и отлични резултати на изпита.

Сергей Валериевич

P.S. Уважаеми гости! Моля, не пишете заявки за решаване на вашите уравнения в коментарите. За съжаление, нямам абсолютно никакво време за това. Такива съобщения ще бъдат изтривани. Моля, прочетете статията. Може би в него ще намерите отговори на въпроси, които не са ви позволили да решите задачата си сами.

Белгородски държавен университет

ОТДЕЛЕНИЕ алгебра, теория на числата и геометрия

Работна тема: Експоненциални степенни уравнения и неравенства.

Дипломна работастудент във Физико-математическия факултет

Научен ръководител:

______________________________

Рецензент: _______________________________

________________________

Белгород. 2006 г

Въведение			3
Предмет аз	Анализ на литературата по темата на изследването.
Предмет II.	Функции и техните свойства, използвани при решаване на експоненциални уравнения и неравенства.
	I.1.	Степенна функция и нейните свойства.
	I.2.	Експоненциална функция и нейните свойства.
Предмет III.	Решаване на експоненциални степенни уравнения, алгоритъм и примери.
Предмет IV.	Решаване на показателни неравенства, план за решение и примери.
Предмет V.	Опит в провеждането на часове с ученици по темата: „Решаване на експоненциални уравнения и неравенства“.
V. 1.	Учебен материал.
V. 2.	Задачи за самостоятелно решаване.
Заключение.	Изводи и предложения.
Библиография.
Приложения

Въведение.

“...радостта да виждаш и разбираш...”

А. Айнщайн.

В тази работа се опитах да предам опита си като учител по математика, да предам поне донякъде отношението си към нейното преподаване – едно човешко начинание, в което учудващо се преплитат математическа наука, педагогика, дидактика, психология, та дори и философия.

Имах възможността да работя с деца и висшисти, с деца в крайните граници на интелектуалното развитие: тези, които са регистрирани при психиатър и които наистина се интересуват от математика

Имах възможност да решавам много методически проблеми. Ще се опитам да говоря за тези, които успях да реша. Но още повече неуспешни и дори в тези, които изглеждат решени, възникват нови въпроси.

Но още по-важни от самото преживяване са размислите и съмненията на учителя: защо е точно така, това преживяване?

И лятото вече е различно, и развитието на образованието стана по-интересно. „Под Юпитерите” днес не е търсене на митична оптимална система за обучение на „всички и всичко”, а на самото дете. Но след това - по необходимост - учителят.

IN училищен курсалгебра и начало на анализа, 10 - 11 клас, с полагане на Единния държавен изпитВ хода на гимназията и на кандидатстудентските изпити в университетите се срещат уравнения и неравенства, които съдържат неизвестно в основата и показателите - това са показателни уравнения и неравенства.

В училище им се обръща малко внимание, в учебниците практически няма задачи по тази тема. Въпреки това, овладяването на техниката за решаването им, струва ми се, е много полезно: повишава умственото и Творчески уменияученици, пред нас се откриват съвсем нови хоризонти. При решаването на задачи учениците придобиват първи умения изследователска работа, обогатява се математическата им култура, способностите им да логично мислене. Учениците развиват такива личностни качества като решителност, целеполагане и независимост, които ще им бъдат полезни в по-късен живот. Освен това има повторение, разширяване и дълбоко усвояване на учебния материал.

Започнах да работя по тази тема за дипломната си работа, като написах курсовата си работа. В хода на който задълбочено проучих и анализирах математическата литература по тази тема, идентифицирах най- подходящ методрешаване на степенни уравнения и неравенства.

Той се крие във факта, че в допълнение към общоприетия подход при решаване на експоненциални уравнения (базата се взема по-голяма от 0) и при решаване на същите неравенства (базата се взема по-голяма от 1 или по-голяма от 0, но по-малка от 1) , се разглеждат и случаите, когато основите са отрицателни, равни на 0 и 1.

Анализът на писмените изпитни работи на учениците показва, че липсата на покритие на въпроса за отрицателната стойност на аргумента на показателна функция в училищните учебници им създава редица трудности и води до грешки. И те също имат проблеми на етапа на систематизиране на получените резултати, където поради прехода към уравнение - следствие или неравенство - следствие могат да се появят външни корени. За да елиминираме грешки, използваме тест, използващ оригиналното уравнение или неравенство и алгоритъм за решаване на експоненциални уравнения или план за решаване на експоненциални неравенства.

За да се гарантира, че студентите могат успешно да преминат дипломирането си и входни изпити, смятам, че е необходимо да се обърне повече внимание на решаването на показателни уравнения и неравенства в часовете или допълнително в факултативите и кръжоците.

По този начин предмет , мой тезасе дефинира, както следва: „Експоненциални степенни уравнения и неравенства“.

цели от тази работа са:

1. Анализирайте литературата по тази тема.

2. Дайте пълен анализрешаване на степенни уравнения и неравенства.

3. Дайте достатъчен брой примери от различен тип по тази тема.

4. Проверете в класните, избираемите и клубните часове как ще се възприемат предложените методи за решаване на показателни уравнения и неравенства. Дайте подходящи препоръки за изучаване на тази тема.

Предмет Нашето изследване има за цел да разработи методология за решаване на експоненциални уравнения и неравенства.

Целта и предметът на изследването изискват решаването на следните проблеми:

1. Проучете литературата по темата: „Експоненциални степенни уравнения и неравенства“.

2. Овладейте техниките за решаване на експоненциални уравнения и неравенства.

3. Изберете учебен материал и разработете система от упражнения различни нивана тема: „Решаване на експоненциални уравнения и неравенства“.

По време на изследването на дисертацията са публикувани повече от 20 работи, посветени на използването на различни методирешаване на степенни уравнения и неравенства. От тук получаваме.

План на дипломна работа:

Въведение.

Глава I. Анализ на литературата по темата на изследването.

Глава II. Функции и техните свойства, използвани при решаване на експоненциални уравнения и неравенства.

II.1. Степенна функция и нейните свойства.

II.2. Експоненциална функция и нейните свойства.

Глава III. Решаване на експоненциални степенни уравнения, алгоритъм и примери.

Глава IV. Решаване на показателни неравенства, план за решение и примери.

Глава V. Опит от провеждане на класове с ученици по тази тема.

1.Учебни материали.

2.Задачи за самостоятелно решаване.

Заключение. Изводи и предложения.

Списък на използваната литература.

Глава I анализира литературата

В този урок ще разгледаме различни експоненциални неравенства и ще научим как да ги решаваме въз основа на техниката за решаване на най-простите експоненциални неравенства

1. Определение и свойства на експоненциална функция

Нека си припомним определението и основните свойства на експоненциалната функция. Решението на всички експоненциални уравнения и неравенства се основава на тези свойства.

Експоненциална функцияе функция от формата , където основата е степента и Тук x е независимата променлива, аргумент; y е зависимата променлива, функция.

Ориз. 1. Графика на експоненциална функция

Графиката показва нарастващи и намаляващи експоненти, илюстрирайки експоненциалната функция с основа, съответно по-голяма от единица и по-малка от единица, но по-голяма от нула.

И двете криви минават през точката (0;1)

Свойства на експоненциалната функция:

Домейн: ;

Диапазон от стойности: ;

Функцията е монотонна, нараства с, намалява с.

Монотонната функция приема всяка от своите стойности при дадена стойност на един аргумент.

Когато , когато аргументът нараства от минус до плюс безкрайност, функцията нараства от нула включително до плюс безкрайност, т.е. за дадени стойности на аргумента имаме монотонно нарастваща функция (). Напротив, когато аргументът нараства от минус до плюс безкрайност, функцията намалява от безкрайност до нула включително, т.е. за дадени стойности на аргумента имаме монотонно намаляваща функция ().

2. Най-простите показателни неравенства, метод на решение, пример

Въз основа на горното, ние представяме метод за решаване на прости експоненциални неравенства:

Техника за решаване на неравенства:

Изравняване на основите на степени;

Сравнете индикаторите, като запазите или промените знака за неравенство на противоположния.

Решението на сложните експоненциални неравенства обикновено се състои в свеждането им до най-простите експоненциални неравенства.

Основата на степента е по-голяма от единица, което означава, че знакът за неравенство се запазва:

Да се ​​трансформираме правилната странаспоред свойствата на степента:

Основата на степента е по-малка от единица, знакът за неравенство трябва да бъде обърнат:

За решения квадратно неравенствоние ще решим подходящото квадратно уравнение:

Използвайки теоремата на Виета намираме корените:

Клоните на параболата са насочени нагоре.

Така имаме решение на неравенството:

Лесно е да се досетите, че дясната страна може да бъде представена като степен с показател нула:

Основата на степента е по-голяма от единица, знакът за неравенство не се променя, получаваме:

Нека си припомним техниката за решаване на такива неравенства.

Помислете за дробно-рационалната функция:

Намираме областта на дефиницията:

Намиране на корените на функцията:

Функцията има един корен,

Избираме интервали с постоянен знак и определяме знаците на функцията на всеки интервал:

Ориз. 2. Интервали на постоянство на знака

Така получихме отговора.

Отговор:

3. Решаване на стандартни експоненциални неравенства

Нека разгледаме неравенства с еднакви показатели, но различни основи.

Едно от свойствата на експоненциалната функция е, че за всяка стойност на аргумента тя приема строго положителни стойности, което означава, че може да се раздели на експоненциална функция. Нека разделим даденото неравенство на дясната му страна:

Основата на степента е по-голяма от единица, знакът за неравенство се запазва.

Нека илюстрираме решението:

Фигура 6.3 показва графики на функции и . Очевидно, когато аргументът е по-голям от нула, графиката на функцията е по-висока, тази функция е по-голяма. Когато стойностите на аргумента са отрицателни, функцията отива по-ниско, тя е по-малка. Когато аргументът е равен, функциите са равни, което означава дадена точкасъщо е решение на даденото неравенство.

Ориз. 3. Илюстрация за пример 4

Нека трансформираме даденото неравенство според свойствата на степента:

Ето някои подобни термини:

Нека разделим двете части на:

Сега продължаваме да решаваме подобно на пример 4, разделете двете части на:

Основата на степента е по-голяма от единица, знакът за неравенство остава:

4. Графично решаване на показателни неравенства

Пример 6 - Решете неравенството графично:

Нека да разгледаме функциите от лявата и дясната страна и да изградим графика за всяка от тях.

Функцията е експоненциална и нараства в цялата си област на дефиниция, т.е. за всички реални стойности на аргумента.

Функцията е линейна и намалява в цялата си област на дефиниция, т.е. за всички реални стойности на аргумента.

Ако тези функции се пресичат, тоест системата има решение, тогава такова решение е уникално и може лесно да се познае. За да направим това, ние итерираме цели числа ()

Лесно е да се види, че коренът на тази система е:

Така графиките на функциите се пресичат в точка с аргумент, равен на единица.

Сега трябва да получим отговор. Значението на даденото неравенство е, че показателят трябва да е по-голям или равен на линейна функция, тоест да е по-високо или да съвпада с него. Отговорът е очевиден: (Фигура 6.4)

Ориз. 4. Илюстрация за пример 6

И така, разгледахме решаването на различни стандартни експоненциални неравенства. След това преминаваме към разглеждане на по-сложни експоненциални неравенства.

Библиография

Мордкович А. Г. Алгебра и началото на математическия анализ. - М.: Мнемозина. Muravin G. K., Muravin O. V. Алгебра и началото на математическия анализ. - М.: Дропла. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницин П. и др. Алгебра и началото на математическия анализ. - М.: Просвещение.

математика md. Математика-повторение. com. Diffur. кемсу. ru.

Домашна работа

1. Алгебра и началото на анализа, 10-11 клас (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин) 1990 г., № 472, 473;

2. Решете неравенството:

3. Решете неравенство.

и x = b е най-простото експоненциално уравнение. В него апо-голямо от нула и Ане е равно на едно.

Решаване на експоненциални уравнения

От свойствата на експоненциалната функция знаем, че нейният диапазон от стойности е ограничен до положителни реални числа. Тогава, ако b = 0, уравнението няма решения. Същата ситуация възниква в уравнението, където b

Сега нека приемем, че b>0. Ако в експоненциалната функция базата ае по-голямо от единица, тогава функцията ще нараства в цялата област на дефиниция. Ако в експоненциалната функция за основата АСвършен следващо условие 0

Въз основа на това и прилагайки теоремата за корена, откриваме, че уравнението a x = b има един единствен корен за b>0 и положителен ане е равно на едно. За да го намерите, трябва да представите b като b = a c.
Тогава е очевидно, че сще бъде решение на уравнението a x = a c .

Разгледайте следния пример: решете уравнението 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25.

Нека си представим 25 като 5 2, получаваме:

5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 .

Или какво е еквивалентно:

x 2 - 2*x - 1 = 2.

Решаваме полученото квадратно уравнение, като използваме някой от известните методи. Получаваме два корена x = 3 и x = -1.

Отговор: 3;-1.

Нека решим уравнението 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Нека направим замяната: t=2 x и ще получим следното квадратно уравнение:

t 2 - 5*t + 4 = 0.
Ние решаваме това уравнение, като използваме някой от известните методи. Получаваме корените t1 = 1 t2 = 4

Сега решаваме уравненията 2 x = 1 и 2 x = 4.

Отговор: 0;2.

Решаване на експоненциални неравенства

Решението на най-простите експоненциални неравенства също се основава на свойствата на нарастващите и намаляващите функции. Ако в една експоненциална функция основата a е по-голяма от единица, тогава функцията ще нараства в цялата област на дефиниция. Ако в експоненциалната функция за основата Ае изпълнено следното условие 0, тогава тази функция ще бъде намаляваща върху цялото множество от реални числа.

Разгледайте пример: решете неравенство (0,5) (7 - 3*x)< 4.

Обърнете внимание, че 4 = (0,5) 2 . Тогава неравенството ще приеме формата (0,5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

Получаваме: 7 - 3*x>-2.

Следователно: x<3.

Отговор: x<3.

Ако основата в неравенството беше по-голяма от едно, тогава, когато се отървете от основата, нямаше да има нужда да променяте знака на неравенството.

Урок и презентация на тема: "Показателни уравнения и показателни неравенства"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазин Интеграл за 11 клас
Интерактивно помагало за 9–11 клас „Тригонометрия“
Интерактивно ръководство за 10–11 клас „Логаритми“

Дефиниция на експоненциалните уравнения

Момчета, изучавахме експоненциални функции, научихме техните свойства и изградихме графики, анализирахме примери за уравнения, в които бяха намерени експоненциални функции. Днес ще изучаваме експоненциални уравнения и неравенства.

Определение. Уравнения от вида: $a^(f(x))=a^(g(x))$, където $a>0$, $a≠1$ се наричат ​​експоненциални уравнения.

Припомняйки си теоремите, които изучавахме в темата "Експоненциална функция", можем да въведем нова теорема:
Теорема. Експоненциалното уравнение $a^(f(x))=a^(g(x))$, където $a>0$, $a≠1$ е еквивалентно на уравнението $f(x)=g(x) $.

Примери за експоненциални уравнения

Пример.
Решете уравнения:
а) $3^(3x-3)=27$.
б) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
в) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Решение.
а) Знаем добре, че $27=3^3$.
Нека пренапишем нашето уравнение: $3^(3x-3)=3^3$.
Използвайки горната теорема, откриваме, че нашето уравнение се свежда до уравнението $3x-3=3$; решавайки това уравнение, получаваме $x=2$.
Отговор: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Тогава нашето уравнение може да бъде пренаписано: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2х+0.2=0.2$.
$x=0$.
Отговор: $x=0$.

В) Оригиналното уравнение е еквивалентно на уравнението: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ и $x_2=-3$.
Отговор: $x_1=6$ и $x_2=-3$.

Пример.
Решете уравнението: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Решение:
Нека извършим поредица от действия последователно и приведем двете страни на нашето уравнение към едни и същи основи.
Нека извършим няколко операции от лявата страна:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Да преминем към дясната страна:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Оригиналното уравнение е еквивалентно на уравнението:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Отговор: $x=0$.

Пример.
Решете уравнението: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Решение:
Нека пренапишем нашето уравнение: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Нека направим промяна на променливите, нека $a=3^x$.
В новите променливи уравнението ще приеме формата: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ и $a_2=3$.
Нека извършим обратната промяна на променливите: $3^x=-12$ и $3^x=3$.
В последния урок научихме, че експоненциалните изрази могат да приемат само положителни стойности, запомнете графиката. Това означава, че първото уравнение няма решения, второто уравнение има едно решение: $x=1$.
Отговор: $x=1$.

Нека си припомним как се решават експоненциални уравнения:
1. Графичен метод.Ние представяме двете страни на уравнението под формата на функции и изграждаме техните графики, намираме точките на пресичане на графиките. (Използвахме този метод в миналия урок).
2. Принципът на равенство на показателите.Принципът се основава на факта, че два израза с еднакви бази са равни тогава и само ако степените (експонентите) на тези основи са равни. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Метод на променлива замяна.Този метод трябва да се използва, ако уравнението при замяна на променливи опростява формата си и е много по-лесно за решаване.

Пример.
Решете системата от уравнения: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \край (случаи)$.
Решение.
Нека разгледаме двете уравнения на системата поотделно:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Разгледайте второто уравнение:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Нека използваме метода за промяна на променливите, нека $y=2^(x+y)$.
Тогава уравнението ще приеме формата:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ и $y_2=-3$.
Нека да преминем към началните променливи, от първото уравнение получаваме $x+y=2$. Второто уравнение няма решения. Тогава нашата начална система от уравнения е еквивалентна на системата: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \край (случаи)$.
Извадете второто от първото уравнение, получаваме: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \край (случаи)$.
$\begin (cases) y=-1, \\ x=3. \край (случаи)$.
Отговор: $(3;-1)$.

Експоненциални неравенства

Да преминем към неравенствата. При решаване на неравенства е необходимо да се обърне внимание на основата на степента. Има два възможни сценария за развитие на събитията при решаване на неравенства.

Теорема. Ако $a>1$, тогава експоненциалното неравенство $a^(f(x))>a^(g(x))$ е еквивалентно на неравенството $f(x)>g(x)$.
Ако $0 a^(g(x))$ е еквивалентно на неравенството $f(x)

Пример.
Решаване на неравенства:
а) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Решение.
а) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Нашето неравенство е еквивалентно на неравенството:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) В нашето уравнение основата е когато степента е по-малко от 1, тогава При замяна на неравенство с еквивалентно е необходимо да се смени знака.
$2x-4>2$.
$x>3$.

В) Нашето неравенство е еквивалентно на неравенството:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Нека използваме метода на интервално решение:
Отговор: $(-∞;-5]U)