Квадратното неравенство е по-малко от нула. Квадратни неравенства. Алгоритъм за прилагане на метода на интервалите

Квадратно неравенство - "ОТ и ДО".В тази статия ще разгледаме решението на квадратни неравенства, което е извикано към тънкостите. Препоръчвам да проучите внимателно материала на статията, без да пропускате нищо. Няма да можете да овладеете статията веднага, препоръчвам да го направите в няколко подхода, има много информация.

съдържание:

Въведение. Важно!

Въведение. Важно!

Квадратното неравенство е неравенство от вида:

Ако вземете квадратно уравнение и замените знака за равенство с някое от горните, ще получите квадратно неравенство. Решаването на неравенство означава да се отговори на въпроса при какви стойности на x това неравенство ще бъде вярно. Примери:

10 х 2 – 6 х+12 ≤ 0

2 х 2 + 5 х –500 > 0

– 15 х 2 – 2 х+13 > 0

8 х 2 – 15 х+45≠ 0

Квадратното неравенство може да се посочи имплицитно, например:

10 х 2 – 6 х+14 х 2 –5 х +2≤ 56

2 х 2 > 36

8 х 2 <–15 х 2 – 2 х+13

0> – 15 х 2 – 2 х+13

В този случай е необходимо да се извършат алгебрични трансформации и да се приведе в стандартния вид (1).

* Коефициентите могат да бъдат както дробни, така и ирационални, но такива примери са рядкост в училищната програма, а в задачите на USE изобщо не се срещат. Но не се тревожете, ако например срещнете:

Това също е квадратно неравенство.

Първо, ще разгледаме прост алгоритъм за решение, който не изисква разбиране на това какво е квадратична функция и как изглежда нейната графика в координатната равнина спрямо координатните оси. Ако сте в състояние да запомните информацията здраво и дълго време, като същевременно я подсилвате редовно с практика, тогава алгоритъмът ще ви помогне. Освен това, ако, както се казва, трябва да решите такова неравенство "наведнъж", тогава алгоритъмът ще ви помогне. Следвайки го, можете лесно да приложите решението.

Ако сте в училище, тогава силно препоръчвам да започнете да изучавате статията от втората част, която разказва целия смисъл на решението (вижте по-долу от точка -). Ако има разбиране на същността, тогава няма да има нужда да не се учите, да не запомняте посочения алгоритъм, лесно можете бързо да решите всяко квадратно неравенство.

Разбира се, веднага трябва да започне обяснението именно с графиката на квадратичната функция и обяснение на самото значение, но реших да „построя“ статията точно така.

Още един теоретичен момент! Вижте формулата за разлагане на квадратен трином:

където x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение ax 2+ bx+ c = 0

* За да се реши квадратното неравенство, ще е необходимо да се разложи тричленът на квадрат.

Алгоритъмът, представен по-долу, се нарича още метод на интервалите. Подходящ е за решаване на неравенства от формата е(х)>0, е(х)<0 , е(х) ≥0 ие(х)≤0 ... Моля, имайте предвид, че може да има повече от два фактора, например:

(x – 10) (x + 5) (x – 1) (x + 104) (x + 6) (x – 1)<0

Алгоритъм за решаване. Методът на интервалите. Примери.

Неравенството е дадено брадва 2 + bx+ c> 0 (всякакъв знак).

1. Запишете квадратното уравнение брадва 2 + bx+ c = 0 и го реши. Получаваме х 1 и х 2- корените на квадратното уравнение.

2. Заместваме във формулата (2) коефициента а и корени. :

а (х – х 1 )(х – х 2)> 0

3. Определете интервалите на числовата права (корените на уравнението разделят оста на числата на интервали):

4. Определете "знаците" на интервалите (+ или -), като замените произволна стойност "x" от всеки получен интервал в израза:

а (х – х 1 )(х – х 2)

и ги маркирайте.

5. Остава само да напишем интервалите, които ни интересуват, те са маркирани:

- знак "+", ако неравенството е било "> 0" или "≥0".

- знак "-", ако неравенството е "<0» или «≤0».

ЗАБЕЛЕЖКА!!! Самите знаци в неравенството могат да бъдат:

строги са ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».

Как това се отразява на резултата от решението?

При строги признаци на неравенство границите на интервала НЕ СЕ ВКЛЮЧВАТ в решението, докато в отговора самият интервал се записва във формата ( х 1 ; х 2 ) - скоби.

За нестроги знаци на неравенство границите на интервала се включват в решението, а отговорът се записва във формата [ х 1 ; х 2 ] - квадратни скоби.

* Това се отнася не само за квадратните неравенства. Квадратната скоба означава, че самата граница на интервала е включена в решението.

Ще видите това с примери. Нека разбием няколко, за да премахнем всички въпроси за това. На теория алгоритъмът може да изглежда малко сложен, всъщност всичко е просто.

ПРИМЕР 1: Решете х 2 – 60 х+500 ≤ 0

Решаване на квадратното уравнение х 2 –60 х+500=0

д = б 2 –4 ак = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Намерете корените:

Заменете коефициента а

х 2 –60 х+500 = (x – 50) (x – 10)

Записваме неравенството във формата (x-50) (x-10) ≤ 0

Корените на уравнението разделят оста на числата на интервали. Нека ги покажем на числовата права:

Получихме три интервала (–∞; 10), (10; 50) и (50; + ∞).

Определяме „знаците“ на интервалите, правим това, като заменяме произволни стойности на всеки получен интервал в израза (x – 50) (x – 10) и разглеждаме съответствието на получения „знак“ с знак в неравенството (x-50) (x-10) ≤ 0:

при x = 2 (x – 50) (x – 10) = 384> 0 е неправилно

при x = 20 (x-50) (x-10) = –300 < 0 верно

при x = 60 (x-50) (x-10) = 500> 0 грешно

Решението е интервалът.

За всички стойности на x от този интервал неравенството ще бъде вярно.

* Моля, имайте предвид, че сме поставили квадратни скоби.

За x = 10 и x = 50 неравенството също ще бъде вярно, тоест границите са включени в решението.

Отговор: x∊

Отново:

- Границите на интервала са ВКЛЮЧЕНИ в решението на неравенството, когато условието съдържа знака ≤ или ≥ (нестрого неравенство). В този случай в скицата е обичайно получените корени да се показват със ШРИХИРАН кръг.

- Границите на интервала НЕ СЕ ВКЛЮЧВАТ в решението на неравенството, когато условието съдържа знака< или >(строго неравенство). В този случай е обичайно да се показва коренът в скицата с НЕШАТЕН кръг.

ПРИМЕР 2: Решете х 2 + 4 х–21 > 0

Решаване на квадратното уравнение х 2 + 4 х–21 = 0

д = б 2 –4 ак = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Намерете корените:

Заменете коефициента аи корени във формула (2), получаваме:

х 2 + 4 х–21 = (x – 3) (x + 7)

Записваме неравенството във формата (x – 3) (x + 7)> 0.

Корените на уравнението разделят оста на числата на интервали. Нека ги отбележим на числовата права:

* Неравенството не е строго, следователно обозначенията на корените НЕ са засенчени. Получени са три интервала (–∞; –7), (–7; 3) и (3; + ∞).

Определяме "знаците" на интервалите, правим това, като заместваме произволни стойности на тези интервали в израза (x – 3) (x + 7) и гледаме съответствието с неравенството (x – 3) (x + 7)> 0:

при x = –10 (–10–3) (- 10 +7) = 39> 0 вярно

при x = 0 (0–3) (0 +7) = –21< 0 неверно

при x = 10 (10–3) (10 +7) = 119> 0 вярно

Решението ще бъде два интервала (–∞; –7) и (3; + ∞). За всички стойности на x от тези интервали неравенството ще бъде вярно.

* Моля, имайте предвид, че сме поставили скоби. За x = 3 и x = –7 неравенството ще бъде неправилно - границите не са включени в решението.

Отговор: x∊ (–∞; –7) U (3; + ∞)

ПРИМЕР 3: Решете – х 2 –9 х–20 > 0

Решаване на квадратното уравнение – х 2 –9 х–20 = 0.

а = –1 б = –9 ° С = –20

д = б 2 –4 ак = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Намерете корените:

Заменете коефициента аи корени във формула (2), получаваме:

– х 2 –9 х–20 = - (x - (- 5)) (x - (- 4)) = - (x + 5) (x + 4)

Записваме неравенството във формата - (x + 5) (x + 4)> 0.

Корените на уравнението разделят оста на числата на интервали. Забележка за числовата права:

* Неравенството е строго, следователно обозначенията на корените не са засенчени. Получени са три интервала (–∞; –5), (–5; –4) и (–4; + ∞).

Ние дефинираме "знаци" на интервали, правим това чрез заместване в израза - (x + 5) (x + 4)произволни стойности на тези интервали и погледнете съответствието с неравенството - (x + 5) (x + 4)> 0:

при x = –10 - (–10 + 5) (- 10 +4) = –30< 0 неверно

при x = –4,5 - (–4,5 + 5) (- 4,5 + 4) = 0,25> 0 вярно

при x = 0 - (0 + 5) (0 +4) = –20< 0 неверно

Решението ще бъде интервалът (–5; –4). За всички стойности на "x", принадлежащи към него, неравенството ще бъде вярно.

* Моля, имайте предвид, че границите не са включени в решението. За x = –5 и x = –4 неравенството ще бъде неправилно.

КОМЕНТИРАЙТЕ!

При решаване на квадратно уравнение може да получим един корен или изобщо да няма корени, тогава при използване на този метод на сляпо може да възникнат трудности при определянето на решението.

Малко обобщение! Методът е добър и е удобен за използване, особено ако сте запознати с квадратичната функция и знаете свойствата на нейната графика. Ако не, моля, прочетете го, нека преминем към следващия раздел.

Използване на графика на квадратична функция. Препоръчвам!

Квадратичната е функция на формата:

Графиката му е парабола, клоните на параболата са насочени нагоре или надолу:

Графиката може да бъде позиционирана по следния начин: може да пресича оста х в две точки, може да я докосне в една точка (връх), не може да я пресече. Повече за това по-късно.

Сега нека разгледаме този подход с пример. Целият процес на решение се състои от три етапа. Решете неравенството х 2 +2 х –8 >0.

Първи етап

Решаване на уравнението х 2 +2 х–8=0.

д = б 2 –4 ак = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Намерете корените:

Получаваме x 1 = 2 и x 2 = - 4.

Втора фаза

Изграждане на парабола y =х 2 +2 х–8 по точки:

Точки - 4 и 2 са пресечните точки на параболата и оста на вол. Толкова е просто! Какво си направил? Решихме квадратното уравнение х 2 +2 х–8=0. Гледайте влизането му в тази форма:

0 = х 2+ 2х - 8

Нула за нас е стойността на "y". Когато y = 0, получаваме абсцисите на точките на пресичане на параболата с оста x. Можем да кажем, че нулевата стойност "y" е оста на oh.

Сега вижте какви стойности на x е изразът х 2 +2 х – 8 повече (или по-малко) нула? Според графиката на параболата не е трудно да се определи, както се казва, всичко е на очи:

1. За x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен х 2 +2 х –8 ще бъде положителен.

2. При –4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен х 2 +2 х –8 ще бъде отрицателен.

3. При x> 2 клонът на параболата лежи над оста x. С посоченото х, тричленното х 2 +2 х –8 ще бъде положителен.

Трети етап

Чрез параболата веднага можем да видим при какво х е изразът х 2 +2 х–8 по-голямо от нула, равно на нула, по-малко от нула. Това е същността на третата стъпка от решението, а именно да се видят и идентифицират положителните и отрицателните области на фигурата. Сравняваме получения резултат с първоначалното неравенство и записваме отговора. В нашия пример е необходимо да се определят всички стойности на x, при които изразът х 2 +2 х–8 Над нулата. Направихме това във втория етап.

Остава да запишем отговора.

Отговор: x∊ (–∞; –4) U (2; ∞).

За да обобщим: след като изчислихме корените на уравнението в първата стъпка, можем да отбележим получените точки върху оста x (това са точките на пресичане на параболата с оста x). След това схематично изграждаме парабола и вече можем да видим решението. Защо схематично? Нямаме нужда от математически точна графика. И представете си, например, ако корените са 10 и 1500, опитайте се да изградите точна графика върху лист в клетка с такъв набор от стойности. Възниква въпросът! Е, получихме корените, добре, маркирахме ги по оста oh, но скицирайте местоположението на самата парабола - с клони нагоре или надолу? Тук всичко е просто! Коефициентът при x 2 ще ви каже:

- ако е по-голямо от нула, тогава клоните на параболата са насочени нагоре.

- ако е по-малко от нула, тогава клоните на параболата са насочени надолу.

В нашия пример той е равен на единица, тоест е положителен.

*Забележка! Ако неравенството съдържа нестриктен знак, тоест ≤ или ≥, тогава корените на числовата права трябва да бъдат засенчени, това условно означава, че границата на самия интервал е включена в решението на неравенството. В този случай корените не са засенчени (издълбани), тъй като нашето неравенство е строго (има знак ">"). Освен това в отговора в този случай се поставят скоби, а не квадратни скоби (границите не са включени в решението).

Много е писано, объркал съм някого сигурно. Но ако решите поне 5 неравенства с помощта на параболи, тогава няма ограничение за вашето възхищение. Толкова е просто!

И така, накратко:

1. Записваме неравенството и го довеждаме до стандартното.

2. Запишете квадратното уравнение и го решете.

3. Начертайте оста x, маркирайте получените корени, начертайте схематично парабола, разклонява се нагоре, ако коефициентът при x 2 е положителен, или се разклонява надолу, ако е отрицателен.

4. Определете визуално положителни или отрицателни области и запишете отговора на първоначалното неравенство.

Нека разгледаме някои примери.

ПРИМЕР 1: Решете х 2 –15 х+50 > 0

Първи етап.

Решаване на квадратното уравнение х 2 –15 х+50=0

д = б 2 –4 ак = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Намерете корените:

Втора фаза.

Ние изграждаме оста o. Нека отбележим получените корени. Тъй като нашето неравенство е строго, няма да ги засенчваме. Схематично изграждаме парабола, тя се намира с разклонения нагоре, тъй като коефициентът при x 2 е положителен:

Трети етап.

Ние дефинираме визуално положителни и отрицателни зони, тук ги маркирахме с различни цветове за яснота, не можете да направите това.

Записваме отговора.

Отговор: x∊ (–∞; 5) U (10; ∞).

* Знакът U означава решение за обединяване. Образно можете да го изразите така, решението е "този" И "този" интервал.

ПРИМЕР 2: Решете – х 2 + х+20 ≤ 0

Първи етап.

Решаване на квадратното уравнение – х 2 + х+20=0

д = б 2 –4 ак = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Намерете корените:

Втора фаза.

Ние изграждаме оста o. Нека отбележим получените корени. Тъй като нашето неравенство не е строго, ние засенчваме обозначенията на корените. Схематично изграждаме парабола, тя се намира с клони надолу, тъй като коефициентът при x 2 е отрицателен (равен е на –1):

Трети етап.

Определете визуално положителни и отрицателни области. Сравнете с първоначалното неравенство (знакът ни е ≤ 0). Неравенството ще е вярно за x ≤ - 4 и x ≥ 5.

Записваме отговора.

Отговор: x∊ (–∞; –4] U ∪ [1 + 3 4, + ∞) или x ≤ 1 - 3 4, x ≥ 1 + 3 4.

Пример 3

Решете квадратното неравенство - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.

Решение

Първо намираме корените на квадратния трином от лявата страна на неравенството:

D "= 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7

Това е строго неравенство, така че използваме „празна“ точка в графиката. С координата 7.

Сега трябва да определим знаците на получените интервали (- ∞, 7) и (7, + ∞). Тъй като дискриминантът на квадратния трином е нула, а водещият коефициент е отрицателен, ние поставяме знаците -, -:

Тъй като ние решаваме неравенството със знак< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

В този случай решенията са и двата интервала (- ∞, 7), (7, + ∞).

Отговор:(- ∞, 7) ∪ (7, + ∞) или в друга нотация x ≠ 7.

Пример 4

Прави ли квадратното неравенство x 2 + x + 7< 0 решения?

Решение

Намерете корените на квадратния трином от лявата страна на неравенството. За да направим това, намираме дискриминанта: D = 1 2 - 4 · 1 · 7 = 1 - 28 = - 27. Дискриминантът е по-малък от нула, което означава, че няма реални корени.

Графичното изображение ще изглежда като числова права без отбелязани точки върху него.

Нека определим знака на стойностите на квадратния трином. Когато Д< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :

В този случай бихме могли да приложим засенчване върху пролуките със знака "-". Но ние нямаме такива пропуски. Следователно чертежът запазва този външен вид:

В резултат на изчисленията получихме празен набор. Това означава, че това квадратно неравенство няма решения.

Отговор:Не.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

В този раздел сме събрали информация за квадратни неравенства и основни подходи за решаването им. Нека консолидираме материала, като анализираме примери.

Какво е квадратно неравенство

Нека да видим как да разграничим неравенствата от различни видове по вида на нотацията и да разграничим квадратните сред тях.

Определение 1

Квадратно неравенствоЕ неравенство, което има формата a x 2 + b x + c< 0 където a, b и ° С- някои цифри, освен това ане е нула. x е променлива и на мястото на знака < може да бъде всеки друг знак за неравенство.

Второто име на квадратните уравнения е името "неравенство от втора степен". Наличието на второто име може да се обясни по следния начин. От лявата страна на неравенството има полином от втора степен - квадратен трином. Прилагането на термина "квадратни неравенства" към квадратни неравенства е неправилно, тъй като квадратичните функции са функции, които са дадени от уравнения от вида y = a x 2 + b x + c.

Ето пример за квадратно неравенство:

Пример 1

Да вземем 5 x 2 - 3 x + 1> 0... В този случай a = 5, b = - 3 и c = 1.

Или това неравенство:

Пример 2

- 2, 2 z 2 - 0,5 z - 11 ≤ 0, където a = - 2, 2, b = - 0, 5 и c = - 11.

Нека покажем няколко примера за квадратни неравенства:

Пример 3

Особено внимание трябва да се обърне на факта, че коефициентът при х 2се счита за ненулева. Това се обяснява с факта, че в противен случай ще получим линейно неравенство на формата b x + c> 0, тъй като квадратната променлива, когато се умножи по нула, сама по себе си ще стане равна на нула. Освен това коефициентите би ° Смогат да бъдат равни на нула както заедно, така и поотделно.

Пример 4

Пример за такова неравенство х 2 - 5 ≥ 0.

Начини за решаване на квадратни неравенства

Има три основни метода:

Определение 2

• графичен;
• метод на интервалите;
• като маркирате квадрата на бинома вляво.

Графичен метод

Методът включва изграждане и анализ на графиката на квадратичната функция y = a x 2 + b x + cза квадратни неравенства a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥). Решението на квадратното неравенство са интервалите или интервалите, на които определената функция приема положителни и отрицателни стойности.

Метод на разстояние

Можете да решите квадратно неравенство с една променлива, като използвате интервалния метод. Методът е приложим за решаване на всякакъв вид неравенства, не само квадратни. Същността на метода е да се определят знаците на интервалите, на които координатната ос е разделена от нулите на тричлена a x 2 + b x + cако е налична.

За неравенството a x 2 + b x + c< 0 решенията са интервали със знак минус, за неравенството a x 2 + b x + c > 0, интервали със знак плюс. Ако имаме работа с нестроги неравенства, тогава решението се превръща в интервал, който включва точки, които съответстват на нулите на тринома.

Избиране на квадрат от бином

Принципът на разделяне на квадрата на бинома от лявата страна на квадратното неравенство се състои в извършване на еквивалентни трансформации, които ни позволяват да отидем до решението на еквивалентно неравенство от вида (x - p) 2< q (≤ , >, ≥), където стри q- някои цифри.

Равни трансформации могат да се използват за достигане на квадратни неравенства от неравенства от друг тип. Това може да стане по различни начини. Например чрез пренареждане на членовете в дадено неравенство или прехвърляне на членове от една част в друга.

Нека дадем пример. Помислете за еквивалентна трансформация на неравенството 5 ≤ 2 x - 3 x 2... Ако прехвърлим всички членове от дясната страна в лявата страна, тогава получаваме квадратно неравенство с формата 3 x 2 - 2 x + 5 ≤ 0.

Пример 5

Необходимо е да се намери множеството от решения на неравенството 3 (x - 1) (x + 1)< (x − 2) 2 + x 2 + 5 .

Решение

За да решим задачата, използваме съкратените формули за умножение. За да направим това, събираме всички термини от лявата страна на неравенството, разширяваме скобите и представяме подобни термини:

3 (x - 1) (x + 1) - (x - 2) 2 - x 2 - 5< 0 , 3 · (x 2 − 1) − (x 2 − 4 · x + 4) − x 2 − 5 < 0 , 3 · x 2 − 3 − x 2 + 4 · x − 4 − x 2 − 5 < 0 , x 2 + 4 · x − 12 < 0 .

Получихме еквивалентно квадратно неравенство, което може да бъде решено графично чрез определяне на дискриминанта и пресечните точки.

D '= 2 2 - 1 (- 12) = 16, x 1 = - 6, x 2 = 2

След като построихме графиката, можем да видим, че множеството от решения е интервалът (- 6, 2).

Отговор: (− 6 , 2) .

Ирационалните и логаритмичните неравенства са примери за неравенства, които често се редуцират до квадратни. Така, например, неравенството 2 x 2 + 5< x 2 + 6 · x + 14

е еквивалентно на квадратното неравенство х 2 - 6 х - 9< 0 , а логаритмичното неравенство log 3 (x 2 + x + 7) ≥ 2 - към неравенството x 2 + x - 2 ≥ 0.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Тази статия е събрала материали, обхващащи темата „ решение на квадратни неравенства". Първо се показва какво представляват квадратните неравенства с една променлива и се дава общата им форма. И след това се обсъжда подробно как да се решат квадратни неравенства. Показани са основните подходи към решението: графичният метод, методът на интервалите и чрез подчертаване на квадрата на бинома от лявата страна на неравенството. Дадени са решения на типични примери.

Навигация в страницата.

Какво е квадратно неравенство?

Естествено, преди да говорим за решаване на квадратни неравенства, трябва ясно да разберем какво е квадратно неравенство. С други думи, трябва да можете да различавате квадратните неравенства от неравенствата от други типове по вида на нотацията.

Определение.

Квадратно неравенствоЕ неравенство от вида a x 2 + b x + c<0 (вместо знака >може да бъде всеки друг знак за неравенство ≤,>, ≥), където a, b и c са някои числа, а a ≠ 0 и x е променлива (променлива може да бъде обозначена с всяка друга буква).

Нека веднага дадем още едно име за квадратни неравенства - неравенства от втора степен... Това име се обяснява с факта, че от лявата страна на неравенствата a x 2 + b x + c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

Също така понякога можете да чуете, че квадратните неравенства се наричат ​​квадратни неравенства. Това не е напълно правилно: определението "квадратичен" се отнася до функции, дефинирани от уравнения от вида y = a · x 2 + b · x + c. И така, има квадратни неравенства и квадратични функциино не и квадратни неравенства.

Нека покажем няколко примера за квадратни неравенства: 5 · x 2 −3 · x + 1> 0, тук a = 5, b = −3 и c = 1; −2,2 z 2 −0,5 z − 11≤0, коефициентите на това квадратно неравенство са a = −2.2, b = −0.5 и c = −11; , в такъв случай .

Забележете, че при дефиницията на квадратното неравенство коефициентът a при x 2 се счита за различен от нула. Това е разбираемо, равенството на коефициента a към нула всъщност ще "премахне" квадрата и ще се справим с линейно неравенство от вида b · x + c> 0 без квадрата на променливата. Но коефициентите b и c могат да бъдат равни на нула, както поотделно, така и едновременно. Ето примери за такива квадратни неравенства: x 2 −5≥0, тук коефициентът b при променливата x е равен на нула; −3 x 2 −0,6 x<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 и b и c са нула.

Как да решим квадратни неравенства?

Сега можете да бъдете озадачени от въпроса как да решавате квадратни неравенства. По принцип има три основни метода, използвани за решението:

• графичен метод (или, както в A.G. Mordkovich, функционално-графичен),
• интервален метод,
• и решението на квадратни неравенства чрез подчертаване на квадрата на бинома вляво.

Графично

Нека веднага направим резервация, че методът за решаване на квадратни неравенства, който започваме да разглеждаме, не се нарича графичен в училищните учебници. Всъщност обаче това е. Освен това първото запознанство с графично решаване на неравенстваобикновено започва, когато възникне въпросът как да се решат квадратни неравенства.

Графичен начин за решаване на квадратни неравенства a x 2 + b x + c<0 (≤, >, ≥) се състои в анализиране на графиката на квадратичната функция y = a x 2 + b x + c, за да се намерят интервалите, в които определената функция приема отрицателни, положителни, неположителни или неотрицателни стойности. Тези интервали съставляват решенията на квадратните неравенства a x 2 + b x + c<0 , a·x 2 +b·x+c>0, ax2 + bx + c≤0 и ax2 + bx + c≥0, съответно.

По метода на интервалите

За решаване на квадратни неравенства с една променлива, в допълнение към графичния метод е доста удобен интервалният метод, който сам по себе си е много универсален и е подходящ за решаване на различни неравенства, а не само квадратни. Неговата теоретична страна е извън обхвата на алгебрата в 8, 9 клас, когато се учат да решават квадратни неравенства. Ето защо тук няма да навлизаме в теоретичната основа на интервалния метод, а да се съсредоточим върху това как точно квадратните неравенства се решават с негова помощ.

Същността на метода на интервалите, по отношение на решението на квадратни неравенства a x 2 + b x + c<0 (≤, >, ≥), се състои в определяне на знаците, които имат стойностите на квадратния трином a x 2 + b x + c на интервалите, на които координатната ос е разделена от нулите на този трином (ако има такива). Интервалите със знаци минус съставляват решения на квадратното неравенство a x 2 + b x + c<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0, а при решаване на нестроги неравенства към посочените интервали се добавят точки, съответстващи на нулите на тричлена.

Можете да се запознаете с всички подробности за този метод, неговия алгоритъм, правилата за поставяне на знаци на интервали и да разгледате готови решения за типични примери с дадените илюстрации, като се позовавате на материала на статията решение на квадратни неравенства по метода на интервалите .

Чрез избиране на квадрата на бинома

В допълнение към графичния метод и метода на интервалите, има и други подходи, които позволяват решаването на квадратни неравенства. И стигнахме до един от тях, който е базиран на избор на квадрат от биномот лявата страна на квадратното неравенство.

Принципът на този метод за решаване на квадратни неравенства е да се извършват еквивалентни трансформации на неравенството, които дават възможност да се премине към решението на еквивалентно неравенство от вида (x − p) 2 , ≥), където p и q са някои числа.

И как става преходът към неравенството (x − p) 2 , ≥) и как да го решим се обяснява с решението на квадратни неравенства чрез избиране на квадрата на бином. Има и примери за решаване на квадратни неравенства по този начин и са дадени необходимите графични илюстрации.

Неравенствата се редуцират до квадрат

На практика много често се налага да се справят с неравенства, които се редуцират чрез еквивалентни трансформации до квадратни неравенства от вида a x 2 + b x + c<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

Нека започнем с примери за най-простите неравенства, които се свеждат до квадратни. Понякога, за да преминете към квадратно неравенство, е достатъчно да пренаредите членовете в това неравенство или да ги прехвърлите от една част в друга. Например, ако прехвърлим всички членове от дясната страна на неравенството 5≤2 · x − 3 · x 2 наляво, тогава получаваме квадратното неравенство в гореспоменатия вид 3 · x 2 −2 · x + 5≤0. Друг пример: чрез пренареждане от лявата страна на неравенството 5 + 0,6 x 2 −x<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

В училище, в уроците по алгебра, когато се научат да решават квадратни неравенства, се справят и с решение на рационални неравенстванамален до квадрат. Тяхното решение включва прехвърляне на всички термини в лявата страна с последващо преобразуване на израза, образуван там, във вида a · x 2 + b · x + c чрез изпълнение. Нека да разгледаме един пример.

Пример.

Намерете множеството от решения на неравенството 3 (x − 1) (x + 1)<(x−2) 2 +x 2 +5 .ирационално неравенство е еквивалентно на квадратното неравенство x 2 −6 x − 9<0 , а логаритмично неравенство - неравенството x 2 + x − 2≥0.

Библиография.

• алгебра:проучване. за 8 кл. общо образование. институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008 .-- 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• алгебра: 9 клас: учебник. за общо образование. институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2009 .-- 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• А. Г. Мордковичалгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / A. G. Mordkovich. - 11-то изд., Изтрито. - М .: Мнемозина, 2009 .-- 215 с .: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• А. Г. Мордковичалгебра. 9 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13-то изд., Изтрито. - М .: Мнемозина, 2011 .-- 222 с.: Ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
• А. Г. МордковичАлгебра и начало на математическия анализ. 11 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции (профилно ниво) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2-ро изд., Изтрито. - М .: Мнемозина, 2008 .-- 287 с.: Ил. ISBN 978-5-346-01027-2.