Formules de base pour trouver des distances en utilisant la projection d'un vecteur sur un axe. Projection vectorielle. Axes de coordonnées. Projection ponctuelle. Coordonnées du point sur l'axe Comment déterminer le signe de la projection sur l'axe

UN. La projection du point A sur l'axe PQ (Fig. 4) est la base a de la perpendiculaire abaissée d'un point donné à un axe donné. L'axe sur lequel on projette s'appelle l'axe de projection.

b. Soit deux axes et un vecteur A B donnés, comme le montre la Fig. 5.

Le vecteur dont le début est la projection du début et de la fin - la projection de la fin de ce vecteur, s'appelle la projection du vecteur A B sur l'axe PQ, Il s'écrit ainsi ;

Parfois, l'indicateur PQ n'est pas écrit en bas, cela se fait dans les cas où, à part PQ, il n'y a pas d'autre axe sur lequel projeter.

Avec. Théorème I. Les valeurs des vecteurs situés sur le même axe sont liées comme les valeurs de leurs projections sur n'importe quel axe.

Donnons les axes et les vecteurs illustrés à la figure 6. De la similitude des triangles, on peut voir que les longueurs des vecteurs sont liées comme les longueurs de leurs projections, c'est-à-dire

Étant donné que les vecteurs du dessin sont dirigés dans des directions différentes, leurs amplitudes ont des valeurs différentes, par conséquent,

Évidemment, les valeurs de projection ont également un signe différent :

en substituant (2) à (3) à (1), on obtient

En inversant les signes, on obtient

Si les vecteurs sont également dirigés, alors il y aura une direction et leurs projections; il n'y aura pas de signe moins dans les formules (2) et (3). En substituant (2) et (3) dans l'égalité (1), on obtient immédiatement l'égalité (4). Ainsi, le théorème est prouvé pour tous les cas.

d. Théorème II. La valeur de la projection d'un vecteur sur n'importe quel axe est égale à la valeur du vecteur multipliée par le cosinus de l'angle entre l'axe des projections et l'axe du vecteur. Laissez le vecteur être donné à l'axe comme indiqué sur la figure . 7. Construisons un vecteur également dirigé avec son axe et reporté, par exemple, du point d'intersection des axes. Soit sa longueur égale à un. Alors sa valeur

§ 3. Projections vectorielles sur les axes de coordonnées

1. Trouver des projections géométriquement.

Vecteur
- projection du vecteur sur l'axe BŒUF
- projection du vecteur sur l'axe OY

Définition 1. Projection vectorielle sur tout axe de coordonnées s'appelle un nombre pris avec un signe "plus" ou "moins", correspondant à la longueur du segment situé entre les bases des perpendiculaires, abaissé du début et de la fin du vecteur à l'axe des coordonnées.

Le signe de projection est défini comme suit. Si, lors du déplacement le long de l'axe de coordonnées, il y a un mouvement du point de projection du début du vecteur au point de projection de la fin du vecteur dans la direction positive de l'axe, alors la projection du vecteur est considérée comme positive . Si - est opposé à l'axe, alors la projection est considérée comme négative.

La figure montre que si le vecteur est orienté d'une manière ou d'une autre à l'opposé de l'axe des coordonnées, sa projection sur cet axe est négative. Si le vecteur est orienté d'une manière ou d'une autre dans la direction positive de l'axe des coordonnées, alors sa projection sur cet axe est positive.

Si le vecteur est perpendiculaire à l'axe des coordonnées, alors sa projection sur cet axe est égale à zéro.
Si un vecteur est co-orienté avec un axe, alors sa projection sur cet axe est égale au module du vecteur.
Si le vecteur est opposé à l'axe des coordonnées, alors sa projection sur cet axe est égale en valeur absolue au module du vecteur, pris avec un signe moins.

2. La définition la plus générale d'une projection.

D'un triangle rectangle DAB: .

Définition 2. Projection vectorielle sur tout axe de coordonnées est appelé un nombre égal au produit du module du vecteur et du cosinus de l'angle formé par le vecteur avec la direction positive de l'axe de coordonnées.

Le signe de la projection est déterminé par le signe du cosinus de l'angle formé par le vecteur avec la direction positive de l'axe.
Si l'angle est aigu, alors le cosinus a un signe positif et les projections sont positives. Pour les angles obtus, le cosinus a un signe négatif, donc dans de tels cas, les projections sur l'axe sont négatives.
- donc pour les vecteurs perpendiculaires à l'axe, la projection est nulle.

L'axe est la direction. Par conséquent, la projection sur un axe ou sur une ligne dirigée est considérée comme la même. La projection peut être algébrique ou géométrique. En termes géométriques, la projection d'un vecteur sur un axe est comprise comme un vecteur, et en termes algébriques, c'est un nombre. C'est-à-dire que les concepts de projection d'un vecteur sur un axe et de projection numérique d'un vecteur sur un axe sont utilisés.

Si on a un axe L et un vecteur non nul A B → , alors on peut construire un vecteur A 1 B 1 ⇀ , désignant les projections de ses points A 1 et B 1 .

A 1 B → 1 sera la projection du vecteur A B → sur L .

Définition 1

La projection du vecteur sur l'axe un vecteur est appelé, dont le début et la fin sont des projections du début et de la fin du vecteur donné. n p L A B → → il est d'usage de noter la projection de A B → sur L . Pour construire une projection sur L, déposer les perpendiculaires sur L.

Exemple 1

Un exemple de projection d'un vecteur sur un axe.

Sur le plan de coordonnées O x y, un point M 1 (x 1, y 1) est spécifié. Il faut construire des projections sur O x et O y pour l'image du rayon vecteur du point M 1 . Obtenons les coordonnées des vecteurs (x 1 , 0) et (0 , y 1) .

Si on parle de la projection de a → sur un b → non nul ou de la projection de a → sur la direction b → , alors on entend la projection de a → sur l'axe avec lequel la direction b → coïncide. La projection a → sur la droite définie par b → est notée n p b → a → → . On sait que lorsque l'angle est compris entre a → et b → , on peut considérer n p b → a → → et b → codirectionnels. Dans le cas où l'angle est obtus, n p b → a → → et b → sont de sens opposé. Dans la situation de perpendicularité a → et b → , et a → est nul, la projection de a → le long de la direction b → est un vecteur nul.

La caractéristique numérique de la projection d'un vecteur sur un axe est la projection numérique d'un vecteur sur un axe donné.

Définition 2

Projection numérique du vecteur sur l'axe appeler un nombre égal au produit de la longueur d'un vecteur donné et du cosinus de l'angle entre le vecteur donné et le vecteur qui détermine la direction de l'axe.

La projection numérique de A B → sur L est notée n p L A B → , et a → sur b → - n p b → a → .

D'après la formule, on obtient n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , d'où a → est la longueur du vecteur a → , a ⇀ , b → ^ est l'angle entre les vecteurs a → et b → .

Nous obtenons la formule de calcul de la projection numérique : n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Elle est applicable pour des longueurs connues a → et b → et l'angle entre elles. La formule est applicable pour les coordonnées connues a → et b → , mais il en existe une version simplifiée.

Exemple 2

Découvrez la projection numérique a → sur une droite dans la direction b → avec la longueur a → égale à 8 et l'angle entre eux est de 60 degrés. Par condition on a a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Ainsi, nous substituons les valeurs numériques dans la formule n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Répondre: 4.

Avec cos connu (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , on a a → , b → comme produit scalaire de a → et b → . Suite à la formule n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , nous pouvons trouver la projection numérique a → dirigée le long du vecteur b → et obtenir n p b → a → = a → , b → b → . La formule est équivalente à la définition donnée au début de la clause.

Définition 3

La projection numérique du vecteur a → sur l'axe coïncidant en direction avec b → est le rapport du produit scalaire des vecteurs a → et b → à la longueur b → . La formule n p b → a → = a → , b → b → est applicable pour trouver la projection numérique de a → sur une droite coïncidant en direction avec b → , avec des coordonnées a → et b → connues.

Exemple 3

Soit b → = (- 3 , 4) . Trouver la projection numérique a → = (1 , 7) sur L .

Solution

Sur le plan de coordonnées n p b → a → = a → , b → b → a la forme n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , avec a → = (a x , a y ) et b → = b X , b y . Pour trouver la projection numérique du vecteur a → sur l'axe L, il faut : n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 = 1 (- 3) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .

Répondre: 5.

Exemple 4

Trouver la projection a → sur L , coïncidant avec la direction b → , où il y a a → = - 2 , 3 , 1 et b → = (3 , - 2 , 6) . Un espace tridimensionnel est donné.

Solution

Étant donné a → = a x , a y , a z et b → = b x , b y , b z calculez le produit scalaire : a ⇀ , b → = a x b x + a y b y + a z b z . On trouve la longueur b → par la formule b → = b x 2 + b y 2 + b z 2. Il s'ensuit que la formule pour déterminer la projection numérique a → sera : n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a X b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Nous substituons des valeurs numériques : n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Réponse : - 6 7 .

Regardons la connexion entre a → sur L et la longueur de la projection de a → sur L . Dessinez un axe L en ajoutant a → et b → d'un point à L , après quoi nous traçons une ligne perpendiculaire de l'extrémité de a → à L et projetons sur L . Il existe 5 variantes d'images :

D'abord le cas où a → = n p b → a → → signifie a → = n p b → a → → , donc n p b → a → = a → cos (a , → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = n p b → un → → .

Deuxième implique l'utilisation de n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , donc n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Troisième cas explique que lorsque n p b → a → → = 0 → on obtient n p b ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0, alors n p b → a → → = 0 et n p b → une → = 0 = n p b → une → → .

Quatrième cas montre n p b → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^) , suit n p b → a → = a → cos (a → , b → ^) = - n p b → une → → .

Cinquième cas montre a → = n p b → a → → , ce qui signifie a → = n p b → a → → , donc nous avons n p b → a → = a → cos a → , b → ^ = a → cos 180 ° = - a → = - n p b → une → .

Définition 4

La projection numérique du vecteur a → sur l'axe L , qui est orienté comme b → , a le sens :

• la longueur de la projection du vecteur a → sur L à condition que l'angle entre a → et b → soit inférieur à 90 degrés ou égal à 0 : n p b → a → = n p b → a → → avec la condition 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• zéro sous condition de perpendicularité a → et b → : n p b → a → = 0 quand (a → , b → ^) = 90 ° ;
• la longueur de la projection a → sur L, multipliée par -1 lorsqu'il existe un angle obtus ou aplati des vecteurs a → et b → : n p b → a → = - n p b → a → → avec la condition de 90°< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Exemple 5

Étant donné la longueur de la projection a → sur L , égale à 2 . Trouver la projection numérique a → étant donné que l'angle est de 5 π 6 radians.

Solution

On le voit à condition que cet angle soit obtus : π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Réponse : - 2.

Exemple 6

Soit un plan O x y z avec la longueur du vecteur a → égale à 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) avec un angle de 30 degrés. Trouver les coordonnées de la projection a → sur l'axe L.

Solution

Premièrement, nous calculons la projection numérique du vecteur a → : n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 .

Par condition, l'angle est aigu, alors la projection numérique a → = est la longueur de la projection du vecteur a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Ce cas montre que les vecteurs n p L a → → et b → sont co-orientés, ce qui signifie qu'il existe un nombre t pour lequel l'égalité est vraie : n p L a → → = t · b → . De là, nous voyons que n p L a → → = t b → , nous pouvons donc trouver la valeur du paramètre t : t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Alors n p L a → → = 3 b → dont les coordonnées de la projection du vecteur a → sur l'axe L sont b → = (- 2 , 1 , 2) , où il faut multiplier les valeurs par 3 On a n p L a → → = (- 6 , 3 , 6). Réponse : (- 6 , 3 , 6) .

Il est nécessaire de répéter les informations précédemment étudiées sur la condition de colinéarité vectorielle.

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Soit deux vecteurs et donnés dans l'espace. Mis à l'écart d'un point arbitraire O vecteurs et . coin entre les vecteurs et est appelé le plus petit des angles. Noté .

Considérez l'axe je et y tracer un vecteur unitaire (c'est-à-dire un vecteur dont la longueur est égale à un).

Angle entre le vecteur et l'axe je comprendre l'angle entre les vecteurs et .

Alors laisse je est un axe et est un vecteur.

Dénoter par Un 1 Et B1 projections sur l'axe je points UN Et B. Faisons comme si Un 1 a une coordonnée x1, UN B1- coordonner x2 sur essieu je.

Alors projection vecteur par axe je s'appelle différence x1 – x2 entre les coordonnées des projections de la fin et du début du vecteur sur cet axe.

Projection d'un vecteur sur un axe je nous noterons .

Il est clair que si l'angle entre le vecteur et l'axe je pointu alors x2> x1, et la projection x2 – x1> 0 ; si cet angle est obtus, alors x2< x1 et projection x2 – x1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси je, Ce x2= x1 Et x2– x1=0.

Ainsi, la projection du vecteur sur l'axe je est la longueur du segment A 1 B 1 pris avec un certain signe. Par conséquent, la projection d'un vecteur sur un axe est un nombre ou un scalaire.

La projection d'un vecteur sur un autre est définie de manière similaire. Dans ce cas, les projections des extrémités de ce vecteur se trouvent sur la ligne sur laquelle se trouve le 2ème vecteur.

Regardons quelques-uns des principaux propriétés de projection.

SYSTÈMES DE VECTEURS LINÉAIREMENT DÉPENDANTS ET LINÉAIREMENT INDÉPENDANTS

Considérons plusieurs vecteurs.

Combinaison linéaire de ces vecteurs est n'importe quel vecteur de la forme , où sont des nombres. Les nombres sont appelés les coefficients de la combinaison linéaire. On dit aussi que dans ce cas est exprimé linéairement en termes de vecteurs donnés , c'est-à-dire obtenu à partir d'eux par des opérations linéaires.

Par exemple, si trois vecteurs sont donnés, alors les vecteurs peuvent être considérés comme leur combinaison linéaire :

Si un vecteur est représenté comme une combinaison linéaire de certains vecteurs, on dit qu'il est décomposé le long de ces vecteurs.

Les vecteurs sont appelés linéairement dépendant, s'il existe de tels nombres, pas tous égaux à zéro, que . Il est clair que les vecteurs donnés seront linéairement dépendants si l'un de ces vecteurs est exprimé linéairement en fonction des autres.

Sinon, c'est-à-dire quand le rapport effectué uniquement lorsque , ces vecteurs sont appelés linéairement indépendant.

Théorème 1. Deux vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s'ils sont colinéaires.

Preuve:

Le théorème suivant peut être prouvé de manière similaire.

Théorème 2. Trois vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s'ils sont coplanaires.

Preuve.

BASE

Base est la collection de vecteurs linéairement indépendants non nuls. Les éléments de la base seront notés .

Dans la sous-section précédente, nous avons vu que deux vecteurs non colinéaires dans le plan sont linéairement indépendants. Par conséquent, selon le théorème 1 du paragraphe précédent, une base sur un plan est constituée de deux vecteurs non colinéaires quelconques sur ce plan.

De même, trois vecteurs non coplanaires sont linéairement indépendants dans l'espace. Par conséquent, trois vecteurs non coplanaires sont appelés une base dans l'espace.

L'assertion suivante est vraie.

Théorème. Donnons une base dans l'espace. Alors n'importe quel vecteur peut être représenté comme une combinaison linéaire , Où X, y, z- quelques chiffres. Une telle décomposition est unique.

Preuve.

Ainsi, la base vous permet d'associer de manière unique chaque vecteur à un triplet de nombres - les coefficients de l'expansion de ce vecteur en fonction des vecteurs de la base : . L'inverse est également vrai, chaque triplet de nombres x, y, z en utilisant la base, vous pouvez faire correspondre le vecteur si vous faites une combinaison linéaire .

Si la base et , puis les nombres x, y, z appelé coordonnées vecteurs dans la base donnée. Les coordonnées vectorielles indiquent .

SYSTÈME DE COORDONNÉES CARTÉSIENNES

Soit un point donné dans l'espace O et trois vecteurs non coplanaires.

système de coordonnées cartésiennes dans l'espace (sur un plan) s'appelle l'ensemble d'un point et d'une base, c'est-à-dire ensemble d'un point et de trois vecteurs non coplanaires (2 vecteurs non colinéaires) sortant de ce point.

Point O appelé l'origine; les lignes droites passant par l'origine dans la direction des vecteurs de base sont appelées axes de coordonnées - les axes d'abscisse, d'ordonnée et d'application. Les plans passant par les axes de coordonnées sont appelés plans de coordonnées.

Considérons un point arbitraire dans le système de coordonnées choisi M. Introduisons le concept de coordonnée d'un point M. Le vecteur qui relie l'origine au point M. appelé rayon vecteur points M.

Un vecteur dans la base sélectionnée peut être associé à un triplet de nombres - ses coordonnées : .

Coordonnées vectorielles du rayon du point M. appelé coordonnées du point M. dans le système de coordonnées considéré. M(x,y,z). La première coordonnée s'appelle l'abscisse, la seconde l'ordonnée et la troisième l'applique.

Les coordonnées cartésiennes sur le plan sont définies de manière similaire. Ici, le point n'a que deux coordonnées - l'abscisse et l'ordonnée.

Il est facile de voir que pour un système de coordonnées donné, chaque point a certaines coordonnées. D'autre part, pour chaque triplet de nombres, il y a un seul point qui a ces nombres comme coordonnées.

Si les vecteurs pris comme base dans le système de coordonnées choisi ont une longueur unitaire et sont deux à deux perpendiculaires, alors le système de coordonnées est appelé Rectangulaire cartésien.

Il est facile de montrer cela.

Les cosinus directeurs d'un vecteur déterminent complètement sa direction, mais ne disent rien sur sa longueur.

La résolution de problèmes d'équilibre de forces convergentes en construisant des polygones de forces fermés est associée à des constructions lourdes. Une méthode universelle pour résoudre de tels problèmes est la transition vers la détermination des projections de forces données sur les axes de coordonnées et le fonctionnement avec ces projections. L'axe s'appelle une ligne droite, à laquelle est assignée une certaine direction.

La projection d'un vecteur sur un axe est une valeur scalaire, qui est déterminée par le segment de l'axe coupé par les perpendiculaires déposées sur celui-ci depuis le début et la fin du vecteur.

La projection d'un vecteur est considérée comme positive si la direction du début de la projection à sa fin coïncide avec la direction positive de l'axe. La projection d'un vecteur est considérée comme négative si la direction du début de la projection à sa fin est opposée à la direction positive de l'axe.

Ainsi, la projection de la force sur l'axe des coordonnées est égale au produit du module de la force et du cosinus de l'angle entre le vecteur force et la direction positive de l'axe.

Considérons un certain nombre de cas de projection de forces sur un axe :

Vecteur de force F(Fig. 15) fait un angle aigu avec la direction positive de l'axe des abscisses.

Pour trouver la projection, du début et de la fin du vecteur force on abaisse les perpendiculaires à l'axe Oh; on a

1. F x = F cosα

La projection du vecteur dans ce cas est positive

Force F(Fig. 16) est avec le sens positif de l'axe X angle obtus α.

Alors F x= F cos α, mais puisque α = 180 0 - φ,

F x= F cosα = F cos180 0 - φ =- F cosphi.

Projection de forces F par essieu Oh dans ce cas est négatif.

Force F(Fig. 17) perpendiculaire à l'axe Oh.

Projection de la force F sur l'axe X zéro

F x= F cos 90° = 0.

Force située sur un plan comment(Fig. 18), peut être projeté sur deux axes de coordonnées Oh Et UO.

Force F peut être décomposé en composants : F x et F y. Module vectoriel F x est égal à la projection vectorielle F par essieu bœuf, et le module du vecteur F y est égal à la projection du vecteur F par essieu oy.

De ∆ OAB: F x= F cosα, F x= F sinα.

De ∆ SLA: F x= F cosphi, F x= F péché phi.

Le module de force peut être trouvé en utilisant le théorème de Pythagore :

La projection de la somme vectorielle ou de la résultante sur un axe quelconque est égale à la somme algébrique des projections des termes des vecteurs sur le même axe.

Tenir compte des forces convergentes F 1 , F 2 , F 3 , et F 4, (fig. 19, a). La somme géométrique, ou résultante, de ces forces F déterminé par le côté de fermeture du polygone de force

Déposer des sommets du polygone de force sur l'axe X perpendiculaires.

Considérant les projections de forces obtenues directement à partir de la construction achevée, nous avons

F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x

où n est le nombre de termes des vecteurs. Leurs projections entrent dans l'équation ci-dessus avec le signe approprié.

Dans un plan, la somme géométrique des forces peut être projetée sur deux axes de coordonnées, et dans l'espace, respectivement, sur trois.