गणित में ईजीई (प्रोफाइल)। हम व्युत्पन्न का ग्राफ पढ़ते हैं

हैलो! मैं दृष्टिकोण को उच्च गुणवत्ता वाले व्यवस्थित प्रशिक्षण के साथ मारा जाएगा, और विज्ञान के ग्रेनाइट के पीसने में दृढ़ता !!! में पद का अंत एक प्रतिस्पर्धी कार्य है, पहले बनो! इस श्रेणी में लेखों में से एक में, हम फ़ंक्शन शेड्यूल के साथ हैं, और चरम सीमाओं से संबंधित विभिन्न मुद्दों, अंतराल (अवरोही) बढ़ते हुए और अन्य उठाए गए थे।

इस लेख में, हम गणित पर गणित के कार्यों पर विचार करेंगे, जिसमें व्युत्पन्न कार्य का ग्राफ दिया जाता है, और निम्नलिखित प्रश्न निर्धारित किए जाते हैं:

1. निर्दिष्ट खंड के किस बिंदु पर, फ़ंक्शन सबसे बड़ा (या छोटा) मूल्य लेता है।

2. किसी दिए गए सेगमेंट से संबंधित अधिकतम अंक (या न्यूनतम) कार्यों की संख्या ज्ञात करें।

3. किसी दिए गए सेगमेंट से संबंधित चरम बिंदुओं की संख्या का पता लगाएं।

4. निर्दिष्ट खंड से संबंधित फ़ंक्शन के चरम बिंदु का पता लगाएं।

5. इन अंतराल के भीतर पूर्णांक बिंदुओं की मात्रा निर्दिष्ट करने के लिए बढ़ते (या अवरोही) कार्यों और प्रतिक्रिया के जवाब में प्राप्त करें।

6. बढ़ते (या अवरोही) कार्यों के अंतराल का पता लगाएं। प्रतिक्रिया में, इन अंतरों में से सबसे महान की लंबाई को इंगित करें।

7. उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिनमें फ़ंक्शन-टैंगेंट फ़ंक्शन प्रत्यक्ष रूप y \u003d kx + b के समानांतर है या इसके साथ मेल खाता है।

8. एक abscissa बिंदु खोजें जिसमें फ़ंक्शन Abscissa अक्ष के समानांतर फ़ंक्शन के लिए टेंगेंट या इसके साथ मेल खाता है।

अन्य प्रश्न भी हो सकते हैं, लेकिन यदि आप समझते हैं तो वे किसी भी कठिनाइयों का कारण नहीं बनेंगे और (लिंक उन लेखों पर सूचीबद्ध हैं जिनमें निवास के लिए आवश्यक जानकारी प्रस्तुत की जाती है, मैं दोहराने की सलाह देता हूं)।

मूलभूत जानकारी (संक्षेप में):

1. बढ़ते के अंतराल पर व्युत्पन्न एक सकारात्मक संकेत है।

यदि एक निश्चित अंतराल से एक निश्चित बिंदु पर व्युत्पन्न एक सकारात्मक मूल्य है, तो इस अंतराल पर फ़ंक्शन ग्राफ़ बढ़ता है।

2. समतलता के अंतराल पर, व्युत्पन्न एक नकारात्मक संकेत है।

यदि कुछ अंतराल से एक निश्चित बिंदु पर व्युत्पन्न नकारात्मक मूल्य है, तो इस अंतराल पर फ़ंक्शन शेड्यूल कम हो जाता है।

3. बिंदु एक्स पर व्युत्पन्न टेंगेंशियल के कोणीय गुणांक के बराबर है, जो एक ही बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफिक्स के लिए आयोजित किया जाता है।

4. चरम अंक (अधिकतम न्यूनतम) पर, व्युत्पन्न कार्य शून्य है। इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफिक्स के लिए टैनर एक्सिस के समानांतर ओह।

स्पष्ट रूप से समझना और याद रखना आवश्यक है !!!

व्युत्पन्न "भ्रम" के कई ग्राफ। कुछ अयोग्य इसे समारोह के शेड्यूल के लिए ले जाते हैं। इसलिए, ऐसी इमारतों में, जहां आप देखते हैं कि शेड्यूल दिया जाता है, तुरंत इस तथ्य पर ध्यान दें कि यह दिया गया है: एक फ़ंक्शन शेड्यूल या व्युत्पन्न कार्य का ग्राफ?

यदि यह व्युत्पन्न फ़ंक्शन का एक ग्राफ है, तो इसे देखें जैसे कि फ़ंक्शन को "प्रतिबिंबित" करना है, जो आपको इस फ़ंक्शन के बारे में जानकारी देता है।

कार्य पर विचार करें:

चित्र एक ग्राफ दिखाता है y \u003dएफ'(एक्स) - व्युत्पन्न समारोह एफ(एक्स)अंतराल (-2; 21) पर निर्धारित।

निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:

1. किस बिंदु पर खंड कार्य करता है एफ(एक्स) सबसे बड़ा मूल्य लेता है।

किसी दिए गए अनुभाग पर, व्युत्पन्न कार्य नकारात्मक है, इसका मतलब है कि इस सेगमेंट पर फ़ंक्शन घटता है (यह अंतराल की बाएं सीमा से दाईं ओर घटता है)। इस प्रकार, खंड की बाईं सीमा पर समारोह का सबसे बड़ा मूल्य हासिल किया जाता है, यानी बिंदु 7 पर।

उत्तर: 7।

2. किस बिंदु पर खंड कार्य करता है एफ(एक्स)

इस कार्यक्रम के लिए, व्युत्पन्न निम्नलिखित कह सकता है। किसी दिए गए अनुभाग पर, व्युत्पन्न कार्य सकारात्मक है, इसका मतलब है कि इस सेगमेंट पर फ़ंक्शन बढ़ता है (यह अंतराल की बाएं सीमा से दाईं ओर बढ़ता है)। इस प्रकार, समारोह का सबसे छोटा मूल्य सेगमेंट की बाईं सीमा पर हासिल किया जाता है, यानी, बिंदु x \u003d 3 पर।

उत्तर: 3।

3. अधिकतम फ़ंक्शन की सुविधाओं की संख्या का पता लगाएं एफ(एक्स)

अधिकतम अंक नकारात्मक के लिए सकारात्मक के साथ व्युत्पन्न के संकेत के बिंदु से मेल खाते हैं। इस पर विचार करें कि हस्ताक्षर कहां बदलता है।

सेगमेंट पर (3; 6), व्युत्पन्न सकारात्मक है, खंड पर (6; 16) नकारात्मक है।

कट (16; 18) पर, व्युत्पन्न सकारात्मक है, सेगमेंट पर (18; 20) नकारात्मक है।

इस प्रकार, किसी दिए गए सेगमेंट पर, फ़ंक्शन में अधिकतम x \u003d 6 और x \u003d 18 के दो अंक होते हैं।

उत्तर: 2।

4. न्यूनतम कार्य के बिंदुओं की संख्या का पता लगाएं एफ(एक्स)सेगमेंट से संबंधित।

न्यूनतम बिंदु बिंदु शिफ्ट बिंदुओं के अनुरूप नकारात्मक के साथ सकारात्मक के साथ। हम अंतराल पर हैं (0; 3) व्युत्पन्न नकारात्मक है, अंतराल पर (3; 4) सकारात्मक है।

इस प्रकार, सेगमेंट पर, फ़ंक्शन में न्यूनतम x \u003d 3 का केवल एक बिंदु होता है।

* प्रतिक्रिया रिकॉर्ड करते समय सावधान रहें - अंक की संख्या दर्ज की गई है, और मूल्य एक्स नहीं, इस तरह की एक त्रुटि की अनुमति के कारण अनुमति दी जा सकती है।

उत्तर 1।

5. चरम बिंदु सुविधाओं की संख्या का पता लगाएं एफ(एक्स)सेगमेंट से संबंधित।

कृपया ध्यान दें कि आपको खोजने की जरूरत है मात्रा चरम के अंक (ये अधिकतम अंक और न्यूनतम अंक हैं)।

Extremum अंक व्युत्पन्न के संकेत के बिंदु से मेल खाते हैं (नकारात्मक के लिए सकारात्मक या इसके विपरीत)। इस कार्यक्रम पर, यह शून्य कार्य है। व्युत्पन्न अंक 3, 6, 16, 18 पर शून्य को संदर्भित करता है।

इस प्रकार, सेगमेंट पर, फ़ंक्शन में चरम के 4 अंक हैं।

उत्तर - 4।

6. समारोह की बढ़ती श्रेणियां पाएं एफ(एक्स)

इस समारोह को बढ़ाने के अंतराल एफ(एक्स) उस अंतराल के अनुरूप है जिन पर इसका व्युत्पन्न सकारात्मक है, यानी, अंतराल (3; 6) और (16; 18)। कृपया ध्यान दें कि अंतराल सीमाएं इसमें शामिल नहीं हैं (गोल ब्रैकेट - सीमाएं अंतराल में शामिल नहीं हैं, वर्ग - शामिल हैं)। इन अंतराल में पूर्णांक 4, 5, 17 शामिल हैं। उनकी राशि है: 4 + 5 + 17 \u003d 26

उत्तर: 26।

7. समारोह की समतलता का पता लगाएं एफ(एक्स) किसी दिए गए अंतराल पर। प्रतिक्रिया में, इन अंतरालों में पूर्णांक बिंदुओं की मात्रा निर्दिष्ट करें।

समारोह में कमी की रोशनी एफ(एक्स) उस अंतराल से मेल खाते हैं जिन पर व्युत्पन्न कार्य नकारात्मक है। इस कार्य में, ये अंतराल (-2; 3), (6; 16), (18; 21)।

इन अंतरालों में निम्नलिखित पूर्णांक बिंदु होते हैं: -1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 1 9, 20. उनकी राशि के बराबर है:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

उत्तर: 140।

* इस स्थिति पर ध्यान दें: क्या सीमाएं अंतराल में शामिल हैं या नहीं। यदि सीमाएं शामिल की जाती हैं, तो अंतराल समाधान में विचार के तहत, इन सीमाओं पर भी विचार करने की आवश्यकता होती है।

8. समारोह की बढ़ती श्रेणियों का पता लगाएं एफ(एक्स)

बढ़ते समारोह की रेल एफ(एक्स) उस अंतराल से मेल खाते हैं जिन पर व्युत्पन्न कार्य सकारात्मक है। हमने पहले ही उन्हें संकेत दिया है: (3; 6) और (16; 18)। उनमें से सबसे बड़ा अंतराल (3; 6) है, इसकी लंबाई 3 है।

उत्तर: 3।

9. समारोह की समतलता का पता लगाएं एफ(एक्स)। जवाब में, उनमें से सबसे महान की लंबाई निर्दिष्ट करें।

समारोह में कमी की रोशनी एफ(एक्स) उस अंतराल से मेल खाते हैं जिन पर व्युत्पन्न कार्य नकारात्मक है। हमने उन्हें पहले ही संकेत दिया है, ये अंतराल हैं (-2; 3), (6; 16), (18; 21), उनकी लंबाई क्रमशः 5, 10, 3 हैं।

महानतम की लंबाई 10 है।

उत्तर: 10।

10. उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिसमें फ़ंक्शन टेंगेंट एफ(एक्स) समानांतर प्रत्यक्ष वाई \u003d 2 एक्स + 3 या इसके साथ मेल खाता है।

स्पर्श बिंदु पर व्युत्पन्न का मूल्य स्पर्शक के कोणीय गुणांक के बराबर है। चूंकि टेंगेंट डायरेक्ट वाई \u003d 2 एक्स + 3 के समानांतर या इसके साथ मेल खाता है, तो उनके कोणीय गुणांक 2. के बराबर होते हैं। इसलिए, उन बिंदुओं की संख्या को ढूंढना आवश्यक है जिसमें वाई '(x 0) \u003d 2. ज्यामितीय रूप से, यह डायरेक्ट वाई \u003d 2 के साथ व्युत्पन्न के चौराहे के अंकों की संख्या के अनुरूप है। इस तरह के बिंदुओं के इस अंतराल पर 4।

उत्तर - 4।

11. समारोह के चरम बिंदु का पता लगाएं एफ(एक्स)सेगमेंट से संबंधित।

चरम समारोह का बिंदु ऐसा बिंदु है जिसमें इसका व्युत्पन्न शून्य है, इस बिंदु के पड़ोस में कुछ के साथ व्युत्पन्न चिन्ह को बदलता है (सकारात्मक से नकारात्मक या इसके विपरीत)। सेगमेंट पर, व्युत्पन्न ग्राफ Abscissa अक्ष को छेड़छाड़ करता है, व्युत्पन्न सकारात्मक पर नकारात्मक से संकेत बदलता है। नतीजतन, बिंदु x \u003d 3 एक चरम बिंदु है।

उत्तर: 3।

12. उन बिंदुओं के अवशेषों को ढूंढें जिनमें ग्राफ y \u003d f (x) के लिए स्पर्शक Abscissa अक्ष के समानांतर हैं या इसके साथ मेल खाते हैं। जवाब में, उनमें से सबसे महान निर्दिष्ट करें।

ग्राफ़ y \u003d f (x) के लिए Tanner Abscissa अक्ष के समानांतर हो सकता है या इसके साथ मेल खाता है, केवल उन बिंदुओं पर जहां व्युत्पन्न शून्य है (यह चरम सीमा या स्थिर बिंदुओं के बिंदु हो सकता है, जिसमें व्युत्पन्न होता है अपना संकेत नहीं बदलें)। इस कार्यक्रम के अनुसार, यह देखा जा सकता है कि व्युत्पन्न अंक 3, 6, 16,18 पर शून्य है। महानतम 18 है।

आप इस तरह से तर्क बना सकते हैं:

स्पर्श बिंदु पर व्युत्पन्न का मूल्य स्पर्शक के कोणीय गुणांक के बराबर है। Abscissa के टेंगेंशियल समांतर धुरी के बाद से या इसके साथ मेल खाता है, इसके कोणीय गुणांक 0 है (वास्तव में शून्य डिग्री शून्य शून्य शून्य है)। नतीजतन, हम एक बिंदु की तलाश में हैं जिसमें कोणीय गुणांक शून्य है, जिसका अर्थ है कि व्युत्पन्न शून्य है। व्युत्पन्न उस बिंदु पर शून्य है जिसमें इसका शेड्यूल ABSCISSA अक्ष को पार करता है, और ये अंक 3, 6, 16.18 हैं।

उत्तर: 18।

चित्र एक ग्राफ दिखाता है y \u003dएफ'(एक्स) - व्युत्पन्न समारोह एफ(एक्स)अंतराल (-8; 4) पर निर्धारित। किस बिंदु पर खंड [-7; -3] समारोह है एफ(एक्स) सबसे छोटा मूल्य लेता है।

चित्र एक ग्राफ दिखाता है y \u003dएफ'(एक्स) - व्युत्पन्न समारोह एफ(एक्स)अंतराल पर निर्धारित (-7; 14)। अधिकतम फ़ंक्शन की सुविधाओं की संख्या ज्ञात कीजिए एफ(एक्स)सेगमेंट से संबंधित [-6; 9]।

चित्र एक ग्राफ दिखाता है y \u003dएफ'(एक्स) - व्युत्पन्न समारोह एफ(एक्स)अंतराल (-18; 6) पर निर्धारित। अंक की संख्या न्यूनतम अंक खोजें एफ(एक्स)सेगमेंट से संबंधित [-13; 1]।

चित्र एक ग्राफ दिखाता है y \u003dएफ'(एक्स) - व्युत्पन्न समारोह एफ(एक्स)अंतराल (-11; -11) पर परिभाषित। चरम अंक सुविधाओं की संख्या का पता लगाएं एफ(एक्स)सेगमेंट से संबंधित [-10; -10]।

चित्र एक ग्राफ दिखाता है y \u003dएफ'(एक्स) - व्युत्पन्न समारोह एफ(एक्स)अंतराल पर परिभाषित (-7; 4)। बढ़ते समारोह की दरें खोजें एफ(एक्स)। प्रतिक्रिया में, इन अंतरालों में पूर्णांक बिंदुओं की मात्रा निर्दिष्ट करें।

चित्र एक ग्राफ दिखाता है y \u003dएफ'(एक्स) - व्युत्पन्न समारोह एफ(एक्स)अंतराल पर निर्धारित (-5; 7)। समारोह की समतलता का पता लगाएं एफ(एक्स)। प्रतिक्रिया में, इन अंतरालों में पूर्णांक बिंदुओं की मात्रा निर्दिष्ट करें।

चित्र एक ग्राफ दिखाता है y \u003dएफ'(एक्स) - व्युत्पन्न समारोह एफ(एक्स)अंतराल (-11; 3) पर निर्धारित। बढ़ते समारोह की दरें खोजें एफ(एक्स)। जवाब में, उनमें से सबसे महान की लंबाई निर्दिष्ट करें।

एफ तस्वीर एक ग्राफ दिखाती है

कार्य की स्थिति एक जैसी है (जिसे हमने माना)। तीन संख्याओं का योग पाएं:

1. चरम समारोह के वर्गों का योग (x)।

2. वर्गों का अंतर अधिकतम बिंदुओं का योग और न्यूनतम फ़ंक्शन f (x) के बिंदुओं का योग।

3. एफ (एक्स) से टेंगेंट की मात्रा, प्रत्यक्ष वाई \u003d -3 एक्स + 5 के समानांतर।

पहला जो सही जवाब देगा वह एक प्रोत्साहन पुरस्कार प्राप्त करेगा - 150 रूबल। उत्तर टिप्पणियों में लिखते हैं। यदि यह ब्लॉग पर आपकी पहली टिप्पणी है, तो तुरंत यह दिखाई नहीं देगा, थोड़ी देर बाद (चिंता न करें, एक टिप्पणी लिखने का समय पंजीकृत है)।

आपके लिए सफलता!

ईमानदारी से, अलेक्जेंडर Krutitsih।

पीएस: यदि आप सोशल नेटवर्क्स पर साइट के बारे में बताते हैं तो मैं आभारी रहूंगा।

B8। । ईग

1. यह आंकड़ा Abscissa X0 के साथ बिंदु पर बिताए गए इस ग्राफिक्स के लिए फ़ंक्शन y \u003d f (x) और स्पर्शरेखा का ग्राफ दिखाता है। बिंदु x0 पर व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) का मान पाएं। उत्तर: 2।

2.

उत्तर: -5

3.

अंतराल पर (-9; 4)।

उत्तर: 2।

4.

बिंदु x0 पर व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) का मान खोजें उत्तर: 0.5

5. टच डायरेक्ट वाई \u003d 3 एक्स + 8 और फ़ंक्शन y \u003d x3 + x2-5x-4 के ग्राफिक्स का पता लगाएं। प्रतिक्रिया में, इस बिंदु के एब्सिसा को इंगित करें। उत्तर: -2।

6.

पूर्णांक तर्क मूल्यों की संख्या निर्धारित करें जिसमें व्युत्पन्न एफ (एक्स) नकारात्मक है। उत्तर - 4।

7.

उत्तर: 2।

8.

उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिनमें फ़ंक्शन एफ (एक्स) का कार्य प्रत्यक्ष वाई \u003d 5-एक्स के समानांतर है या इसके साथ मेल खाता है। उत्तर: 3।

9.

अंतराल (-8; 3)।

डायरेक्ट वाई \u003d -20। उत्तर: 2।

10.

उत्तर: -0.5

11

उत्तर 1।

12. यह आंकड़ा ABSCISSA X0 के साथ इस बिंदु पर फ़ंक्शन वाई \u003d एफ (एक्स) और टेंगेंट का ग्राफ दिखाता है।

बिंदु x0 पर व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) का मान पाएं। उत्तर: 0.5

13. यह आंकड़ा ABSCISSA X0 के साथ इस बिंदु पर फ़ंक्शन वाई \u003d एफ (एक्स) और टेंगेंट का ग्राफ दिखाता है।

बिंदु x0 पर व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) का मान पाएं। उत्तर: -0.25

14.

उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिनमें फ़ंक्शन F (x) के लिए टेंगेंट टेंगेंट डायरेक्ट वाई \u003d एक्स + 7 के समानांतर है या इसके साथ मेल खाता है। उत्तर - 4।

15

बिंदु x0 पर व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) का मान पाएं। उत्तर: -2।

16.

अंतराल (-14; 9)।

सेगमेंट पर अधिकतम फ़ंक्शन F (x) के बिंदुओं की संख्या पाएं [-12; 7]। उत्तर: 3।

17

अंतराल पर (-10; 8)।

सेगमेंट पर फ़ंक्शन f (x) के चरम बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए [-9; 7]। उत्तर: 4

18. डायरेक्ट वाई \u003d 5 एक्स -7 फ़ंक्शन वाई \u003d 6x2 + बीएक्स -1 के ग्राफ को एक बिंदु पर एक बिंदु पर 0. से कम एब्सिसा के साथ चिंतित करता है। बी खोजें। उत्तर:17

19

उत्तर:-0,25

20

उत्तर:6

21. फ़ंक्शन y \u003d x2 + 6x-7 के ग्राफ़ के लिए स्पर्शक का पता लगाएं, प्रत्यक्ष वाई \u003d 5 एक्स + 11 के समानांतर। प्रतिक्रिया में, स्पर्श बिंदु के Abscissa निर्दिष्ट करें। उत्तर: -0,5

22.

उत्तर:4

23. एफ "(x) अंतराल पर (-16; 4)।

सेगमेंट पर [-11; 0], अधिकतम फ़ंक्शन की सुविधाओं की संख्या पाएं। उत्तर:1

B8। ग्राफ समारोह, व्युत्पन्न कार्य। कार्यों का अनुसंधान । ईग

1. यह आंकड़ा Abscissa X0 के साथ बिंदु पर बिताए गए इस ग्राफिक्स के लिए फ़ंक्शन y \u003d f (x) और स्पर्शरेखा का ग्राफ दिखाता है। बिंदु x0 पर व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) का मान पाएं।

2. यह आंकड़ा अंतराल (-6; 5) पर निर्धारित व्युत्पन्न समारोह एफ (एक्स) का एक ग्राफ दिखाता है।

किस बिंदु पर खंड [-5; -1] एफ (एक्स) सबसे छोटा मूल्य लेता है?

3. यह आंकड़ा व्युत्पन्न समारोह y \u003d f (x) का एक ग्राफ दिखाता है, एक निश्चित

अंतराल पर (-9; 4)।

उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिसमें फ़ंक्शन f (x) के लिए टेंगेंट टेंगेंट डायरेक्ट के समानांतर है

y \u003d 2x-17 या इसके साथ मेल खाता है।

4. यह आंकड़ा ABSCISSA X0 के साथ इस बिंदु पर फ़ंक्शन वाई \u003d एफ (एक्स) और टेंगेंट का ग्राफ दिखाता है।

बिंदु x0 पर व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) का मान खोजें

5. टच डायरेक्ट वाई \u003d 3 एक्स + 8 और फ़ंक्शन y \u003d x3 + x2-5x-4 के ग्राफिक्स का पता लगाएं। प्रतिक्रिया में, इस बिंदु के एब्सिसा को इंगित करें।

6. यह आंकड़ा अंतराल (-7; 5) पर निर्धारित फ़ंक्शन y \u003d f (x) का ग्राफ दिखाता है।

पूर्णांक तर्क मूल्यों की संख्या निर्धारित करें जिसमें व्युत्पन्न एफ (एक्स) नकारात्मक है।

7. यह आंकड़ा अंतराल (-8; 8) पर परिभाषित फ़ंक्शन y \u003d f "(x) का ग्राफ दिखाता है।

सेगमेंट से संबंधित फ़ंक्शन f (x) के चरम बिंदुओं की संख्या पाएं [-4; 6]।

8. यह आंकड़ा अंतराल (-8; 4) पर परिभाषित फ़ंक्शन y \u003d f "(x) का ग्राफ दिखाता है।

उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिनमें फ़ंक्शन एफ (एक्स) का कार्य प्रत्यक्ष वाई \u003d 5-एक्स के समानांतर है या इसके साथ मेल खाता है।

9. यह आंकड़ा व्युत्पन्न समारोह y \u003d f (x) का एक ग्राफ दिखाता है

अंतराल (-8; 3)।

उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिनमें फ़ंक्शन टेंगेंट फ़ंक्शन समानांतर है

डायरेक्ट वाई \u003d -20।

10. यह आंकड़ा ABSCISSA X0 के साथ इस बिंदु पर फ़ंक्शन वाई \u003d एफ (एक्स) और टेंगेंट का ग्राफ दिखाता है।

बिंदु x0 पर व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) का मान पाएं।

11 । यह आंकड़ा अंतराल (-9; 9) पर निर्धारित व्युत्पन्न समारोह एफ (एक्स) का एक ग्राफ दिखाता है।

सेगमेंट पर $ F (x) $ के न्यूनतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए [-6; 8]। 1

12. यह आंकड़ा ABSCISSA X0 के साथ इस बिंदु पर फ़ंक्शन वाई \u003d एफ (एक्स) और टेंगेंट का ग्राफ दिखाता है।

बिंदु x0 पर व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) का मान पाएं।

13. यह आंकड़ा ABSCISSA X0 के साथ इस बिंदु पर फ़ंक्शन वाई \u003d एफ (एक्स) और टेंगेंट का ग्राफ दिखाता है।

बिंदु x0 पर व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) का मान पाएं।

14. यह आंकड़ा अंतराल (-6; 8) पर निर्धारित व्युत्पन्न समारोह एफ (एक्स) का एक ग्राफ दिखाता है।

उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिनमें फ़ंक्शन F (x) के लिए टेंगेंट टेंगेंट डायरेक्ट वाई \u003d एक्स + 7 के समानांतर है या इसके साथ मेल खाता है।

15 । यह आंकड़ा ABSCISSA X0 के साथ इस बिंदु पर फ़ंक्शन वाई \u003d एफ (एक्स) और टेंगेंट का ग्राफ दिखाता है।

बिंदु x0 पर व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) का मान पाएं।

16. यह आंकड़ा व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) का एक ग्राफ दिखाता है

अंतराल (-14; 9)।

सेगमेंट पर अधिकतम फ़ंक्शन F (x) के बिंदुओं की संख्या पाएं [-12; 7]।

17 । यह आंकड़ा व्युत्पन्न कार्य f (x) का एक ग्राफ दिखाता है, निर्धारित

अंतराल पर (-10; 8)।

सेगमेंट पर फ़ंक्शन f (x) के चरम बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए [-9; 7]।

18. डायरेक्ट वाई \u003d 5 एक्स -7 फ़ंक्शन वाई \u003d 6x2 + बीएक्स -1 के ग्राफ को एक बिंदु पर एक बिंदु पर 0. से कम एब्सिसा के साथ चिंतित करता है। बी खोजें।

19 । यह आंकड़ा एक abscissa x0 के साथ एक बिंदु पर व्युत्पन्न समारोह एफ (एक्स) और टेंगेंट का एक ग्राफ दिखाता है।

बिंदु x0 पर व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) का मान पाएं।

20 । अंतराल (-1; 12) पर अंक की संख्या ज्ञात करें, जिसमें फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ़ पर दिखाए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0 है।

21. फ़ंक्शन y \u003d x2 + 6x-7 के ग्राफ़ के लिए स्पर्शक का पता लगाएं, प्रत्यक्ष वाई \u003d 5 एक्स + 11 के समानांतर। प्रतिक्रिया में, स्पर्श बिंदु के फर्सी को इंगित करें।

22. यह आंकड़ा फ़ंक्शन y \u003d f (x) का ग्राफ दिखाता है। अंतराल के पूर्णांक की संख्या ज्ञात कीजिए (-2; 11), जिसमें व्युत्पन्न कार्य f (x) सकारात्मक है।

23. यह आंकड़ा फ़ंक्शन y \u003d का ग्राफ दिखाता हैएफ "(x) अंतराल पर (-16; 4)।

सेगमेंट पर [-11; 0], अधिकतम फ़ंक्शन की सुविधाओं की संख्या पाएं।

सीधी रेखा y \u003d 3x + 2 फ़ंक्शन y \u003d -12x ^ 2 + bx-10 के ग्राफ के लिए स्पर्शक है। बी को ढूंढें, यह मानते हुए कि स्पर्श बिंदु का एब्सिसा शून्य से कम है।

निर्णय दिखाएं

फेसला

X_0 को फ़ंक्शन y \u003d -12x ^ 2 + bx-10 के ग्राफ़ पर बिंदु का एब्रिसा बनें, जिसके माध्यम से इस शेड्यूल का टेंगेंट पास हो जाता है।

बिंदु x_0 पर व्युत्पन्न का मूल्य टेंगेंट के कोणीय गुणांक के बराबर है, यानी, y "(x_0) \u003d - 24x_0 + b \u003d 3. दूसरी ओर, टच प्वाइंट फ़ंक्शन और चार्ट से संबंधित है फ़ंक्शन और टेंगेंट, यानी, -12x_0 ^ 2 + BX_0-10 \u003d 3x_0 + 2. हम समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं \\ प्रारंभ (मामले) -24x_0 + b \u003d 3, \\\\ - 12x_0 ^ 2 + bx_0-10 \u003d 3x_0 + 2। \\ End (मामले)

इस प्रणाली को हल करने के लिए, हम x_0 ^ 2 \u003d 1 प्राप्त करते हैं, इसका अर्थ है x_0 \u003d -1, या x_0 \u003d 1। Abscissa की स्थिति के अनुसार, स्पर्श बिंदु शून्य से कम है, इसलिए x_0 \u003d -1, तो बी \u003d 3 + 24x_0 \u003d -21।

उत्तर

स्थिति

यह आंकड़ा फ़ंक्शन y \u003d f (x) का ग्राफ दिखाता है (जो तीन सीधी रेखा खंडों से बना एक टूटी हुई रेखा है)। पैटर्न का उपयोग करके, एफ (9) -एफ (5) की गणना करें, जहां एफ (एक्स) आदिम कार्यों में से एक है (x)।

निर्णय दिखाएं

फेसला

न्यूटन फॉर्मूला के अनुसार, अंतर एफ (9) -एफ (5), जहां एफ (एक्स) प्राइमेटिव फ़ंक्शंस एफ (एक्स) में से एक है, वक्रिलिनियर ट्रैपेज़ियन के क्षेत्र के बराबर है, के ग्राफ द्वारा सीमित है फ़ंक्शन y \u003d f (x), सीधे y \u003d 0, x \u003d 9 और x \u003d 5। ग्राफ के अनुसार, हम परिभाषित करते हैं कि निर्दिष्ट curvilinear trapezium एक trapezium है जिसमें 4 और 3 के बराबर आधार और 3 की ऊंचाई है।

उसका क्षेत्र बराबर है \\ Frac (4 + 3) (2) \\ cdot 3 \u003d 10.5।

उत्तर

स्रोत: "गणित। ईईजी -2017 के लिए तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। " ईडी। एफएफ Lysenko, एस यू। कुलबुखोवा।

स्थिति

यह आंकड़ा ग्राफ y \u003d f "(x) दिखाता है - अंतराल (-4; 10) पर परिभाषित फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न। फ़ंक्शन f (x) के फ्लैटिंग अंतराल का पता लगाएं। प्रतिक्रिया में, निर्दिष्ट करें उनमें से सबसे महान की लंबाई।

निर्णय दिखाएं

फेसला

जैसा कि ज्ञात है, फ़ंक्शन एफ (एक्स) उन अंतराल पर घटता है, जिसमें प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न एफ "(एक्स) शून्य से कम है। यह देखते हुए कि तीन ऐसे अंतराल उनमें से सबसे महान रूप से आकृति में विशिष्ट रूप से प्रतिष्ठित हैं: ( -4; -2); (0; 3); (5; 9)।

उनमें से सबसे महान की लंबाई (5; 9) 4 के बराबर है।

उत्तर

स्रोत: "गणित। ईईजी -2017 के लिए तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। " ईडी। एफएफ Lysenko, एस यू। कुलबुखोवा।

स्थिति

यह आंकड़ा एक ग्राफ y \u003d f "(x) दिखाता है - अंतराल (-8; 7) पर परिभाषित फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न। अंतराल से संबंधित फ़ंक्शन f (x) के अधिकतम बिंदुओं की संख्या का पता लगाएं [-6; -2]।

निर्णय दिखाएं

फेसला

ग्राफ से, यह देखा जा सकता है कि व्युत्पन्न एफ "(एक्स) फ़ंक्शंस एफ (एक्स) प्लस से माइनस से चिह्नित करता है (यह अधिकतम बिंदु पर है) बिल्कुल एक बिंदु पर (-5 और -4 के बीच) अंतराल [-6; -2] से। इसलिए, अंतराल [-6; -2] पर, बिल्कुल एक अधिकतम बिंदु।

उत्तर

स्रोत: "गणित। ईईजी -2017 के लिए तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। " ईडी। एफएफ Lysenko, एस यू। कुलबुखोवा।

स्थिति

यह आंकड़ा अंतराल (-2; 8) पर परिभाषित फ़ंक्शन y \u003d f (x) का ग्राफ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जिसमें व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) 0 है।

निर्णय दिखाएं

फेसला

समानता शून्य व्युत्पन्न एक बिंदु पर इसका मतलब है कि इस बिंदु पर बैक्स एक्सिस के समानांतर एक समारोह के ग्राफिक्स के लिए स्पर्शक। इसलिए, हमें ऐसे बिंदु मिलते हैं जिनमें फ़ंक्शन के लिए टेंगेंट टेंगेंट ऑक्स अक्ष के समानांतर है। इस ग्राफिक्स में, चरम (अधिकतम या न्यूनतम अंक) के अंक हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, Extremum अंक 5।

उत्तर

स्रोत: "गणित। ईईजी -2017 के लिए तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। " ईडी। एफएफ Lysenko, एस यू। कुलबुखोवा।

स्थिति

ग्राफिक्स फ़ंक्शन y \u003d -x ^ 2 + 5x-7 के लिए टेंगेंशियल के समानांतर y \u003d -3x + 4 समानांतर। स्पर्श बिंदु Abscissa खोजें।

निर्णय दिखाएं

फेसला

एक मनमानी बिंदु x_0 में फ़ंक्शन y \u003d -x ^ 2 + 5x-7 के ग्राफ़ के लिए सीधे कोणीय गुणांक y "(x_0) है। लेकिन y" \u003d - 2x + 5, इसका मतलब है कि y "(x_0) \u003d - 2x_0 + 5. CORNEND y \u003d -3x + 4 का गुणांक, स्थिति में निर्दिष्ट है, -3 है। समांतर सीधी रेखाओं में एक ही कोणीय गुणांक होते हैं। इसलिए, हमें ऐसा मूल्य X_0 लगता है, जो \u003d -2x_0 + 5 \u003d -3।

हमें मिलता है: x_0 \u003d 4।

उत्तर

स्रोत: "गणित। ईईजी -2017 के लिए तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। " ईडी। एफएफ Lysenko, एस यू। कुलबुखोवा।

स्थिति

यह आंकड़ा Abscissa अक्ष पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) और अंक -6, -1, 1, 4 का ग्राफ दिखाता है। इनमें से कौन सा बिंदु सबसे छोटे के व्युत्पन्न का मूल्य है? प्रतिक्रिया में, इस बिंदु को निर्दिष्ट करें।

बी 9 कार्य को एक फ़ंक्शन या व्युत्पन्न का एक कार्य दिया जाता है, जिसके लिए निम्न मानों में से एक को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है:

1. किसी बिंदु x 0 पर व्युत्पन्न का मूल्य,
2. अधिकतम या न्यूनतम अंक (चरम अंक),
3. बढ़ते और अवरोही समारोह (एकाग्रता अंतराल) के अंतराल।

इस कार्य में प्रस्तुत कार्य और डेरिवेटिव हमेशा निरंतर होते हैं, जो समाधान को काफी सरल बनाते हैं। इस तथ्य के बावजूद कि कार्य गणितीय विश्लेषण के अनुभाग को संदर्भित करता है, यह भी सबसे कमजोर छात्रों को मजबूर करता है, क्योंकि यहां कोई गहरी सैद्धांतिक ज्ञान की आवश्यकता नहीं है।

व्युत्पन्न, चरम बिंदुओं और एकाग्रता अंतराल के मूल्य को खोजने के लिए, सरल और सार्वभौमिक एल्गोरिदम मौजूद हैं - उनमें से सभी पर चर्चा की जाएगी।

बेवकूफ त्रुटियों को रोकने के लिए कार्य बी 9 की स्थिति को ध्यान से पढ़ें: कभी-कभी काफी थोक ग्रंथों में आते हैं, लेकिन निर्णय के पाठ्यक्रम को प्रभावित करने वाली महत्वपूर्ण स्थितियां कुछ हैं।

व्युत्पन्न के मूल्य की गणना। दो अंक की विधि

यदि कार्य को एफ (एक्स) फ़ंक्शन का ग्राफ दिया गया है, तो इस ग्राफ के लिए टेंगेंट कुछ बिंदु x 0 पर, और इस बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य की आवश्यकता है, निम्नलिखित एल्गोरिदम लागू किया गया है:

1. टेंगेंट दो "पर्याप्त" अंक के चार्ट पर खोजें: उनके निर्देशांक पूर्णांक होना चाहिए। इन बिंदुओं को एक (x 1; y 1) और b (x 2; y 2) को दर्शाता है। निर्देशांक सही तरीके से सही करें - यह समाधान का मुख्य क्षण है, और यहां कोई त्रुटि गलत उत्तर की ओर ले जाती है।
2. निर्देशांक जानना, तर्क δx \u003d x 2 - x 1 की वृद्धि की गणना करना आसान है और फ़ंक्शन की वृद्धि δy \u003d y 2 - y 1।
3. अंत में, हम डी \u003d δy / δx व्युत्पन्न का मान पाते हैं। दूसरे शब्दों में, तर्क को बढ़ाने के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि को विभाजित करना आवश्यक है - और यह जवाब होगा।

एक बार फिर, हम नोट: अंक ए और बी टेंगेंट पर पाया जाना चाहिए, न कि फ़ंक्शन एफ (x) के ग्राफ पर, जैसा कि अक्सर होता है। टेंगेंट में कम से कम दो ऐसे बिंदु शामिल होंगे - अन्यथा कार्य गलत है।

अंक (-3; 2) और बी (-1; 6) पर विचार करें और वेतन वृद्धि:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4।

व्युत्पन्न का मान पाएं: डी \u003d δy / δx \u003d 4/2 \u003d 2।

एक कार्य। यह आंकड़ा ABSCISSA X 0 के साथ इस बिंदु पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) और टेंगेंट का ग्राफ दिखाता है। प्वाइंट एक्स 0 पर व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) का मान पाएं।

अंक ए (0; 3) और बी (3; 0) पर विचार करें, हमें वेतन वृद्धि मिलेगी:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3।

अब हमें व्युत्पन्न का मूल्य मिलता है: डी \u003d δY / δx \u003d -3/3 \u003d -1।

एक कार्य। यह आंकड़ा ABSCISSA X 0 के साथ इस बिंदु पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) और टेंगेंट का ग्राफ दिखाता है। प्वाइंट एक्स 0 पर व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) का मान पाएं।

अंक (0; 2) और बी (5; 2) पर विचार करें और वेतन वृद्धि:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 2 - 2 \u003d 0।

यह व्युत्पन्न के मूल्य को खोजने के लिए बनी हुई है: d \u003d δy / δx \u003d 0/5 \u003d 0।

आखिरी उदाहरण से, आप एक नियम तैयार कर सकते हैं: यदि ऑक्स अक्ष के समानांतर स्पर्शक, स्पर्श बिंदु पर व्युत्पन्न कार्य शून्य है। इस मामले में, कुछ भी गिनने के लिए भी जरूरी नहीं है - बस शेड्यूल देखें।

अधिकतम और न्यूनतम अंक की गणना

कभी-कभी, बी 9 कार्य में फ़ंक्शन के ग्राफ के बजाय, व्युत्पन्न शेड्यूल दिया जाता है और आप अधिकतम बिंदु या न्यूनतम फ़ंक्शन ढूंढना चाहते हैं। इस परिदृश्य के साथ, दो बिंदुओं की विधि बेकार है, लेकिन एक और, सरल एल्गोरिदम भी है। शुरू करने के लिए, हम शब्दावली को परिभाषित करेंगे:

1. प्वाइंट एक्स 0 को फंक्शन एफ (एक्स) का अधिकतम बिंदु कहा जाता है, यदि इस बिंदु के कुछ पड़ोस में असमानता है: एफ (x 0) ≥ एफ (एक्स)।
2. बिंदु x 0 को न्यूनतम फ़ंक्शन f (x) का बिंदु कहा जाता है, यदि इस बिंदु के कुछ पड़ोस में असमानता की जाती है: एफ (x 0) ≤ f (x)।

व्युत्पन्न अनुसूची पर अधिकतम बिंदु और न्यूनतम खोजने के लिए, निम्न चरणों को करने के लिए पर्याप्त है:

1. सभी अतिरिक्त जानकारी को हटाकर एक व्युत्पन्न अनुसूची की सूची बनाएं। जैसा कि अभ्यास दिखाता है, अनावश्यक डेटा केवल समाधान में हस्तक्षेप करता है। इसलिए, हम व्युत्पन्न के समन्वय धुरी पर ध्यान देते हैं - और यह सब कुछ है।
2. ज़ीरोस के बीच अंतराल पर व्युत्पन्न के संकेतों का पता लगाएं। यदि कुछ बिंदु x 0 के लिए यह ज्ञात है कि एफ '(x 0) ≠ 0, तो केवल दो विकल्प संभव हैं: एफ' (x 0) ≥ 0 या f '(x 0) ≤ 0. व्युत्पन्न का संकेत है मूल ड्राइंग द्वारा निर्धारित करने में आसान: यदि व्युत्पन्न ग्राफ ऑक्स अक्ष के ऊपर स्थित है, तो इसका मतलब है कि एफ '(एक्स) ≥ 0. और इसके विपरीत, यदि व्युत्पन्न ग्राफ ऑक्स अक्ष के नीचे गुजरता है, तो f' (x) ≤ 0 ।
3. हम फिर से व्युत्पन्न के शून्य और संकेतों की जांच करते हैं। जहां एक शून्य से संकेत बदलता है, कम से कम एक बिंदु है। और इसके विपरीत, यदि प्लस से घट जाने वाले व्युत्पन्न परिवर्तनों का संकेत, यह अधिकतम बिंदु है। गिनती हमेशा बाएं से दाएं आयोजित की जाती है।

यह योजना केवल निरंतर कार्यों के लिए काम करती है - अन्य बी 9 कार्य में नहीं होते हैं।

एक कार्य। यह आंकड़ा सेगमेंट पर परिभाषित व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) का एक ग्राफ दिखाता है [-5; पांच]। इस सेगमेंट पर न्यूनतम बिंदु F (x) खोजें।

अनावश्यक जानकारी से छुटकारा पाएं - हम केवल सीमाओं को छोड़ देंगे [-5; 5] और व्युत्पन्न x \u003d -3 और x \u003d 2.5 के शून्य। संकेत भी उल्लेख करें:

जाहिर है, बिंदु x \u003d -3 पर, प्लस पर एक ऋण के साथ व्युत्पन्न परिवर्तनों का संकेत। यह एक न्यूनतम बिंदु है।

एक कार्य। यह आंकड़ा खंड पर परिभाषित व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) का एक ग्राफ दिखाता है [-3; 7]। इस सेगमेंट पर अधिकतम फ़ंक्शन f (x) का बिंदु खोजें।

शेड्यूल को सूचीबद्ध करें, समन्वय अक्ष पर केवल सीमाओं को छोड़कर [-3; 7] और व्युत्पन्न एक्स \u003d -1.7 और x \u003d 5. के शून्य। हम व्युत्पन्न के परिणामस्वरूप चार्ट संकेतों पर ध्यान देते हैं। हमारे पास है:

जाहिर है, बिंदु x \u003d 5 पर, प्लस से शून्य से व्युत्पन्न परिवर्तनों का संकेत - यह अधिकतम बिंदु है।

एक कार्य। यह आंकड़ा खंड पर परिभाषित व्युत्पन्न फ़ंक्शन एफ (एक्स) का एक ग्राफ दिखाता है [-6; चार]। सेगमेंट से संबंधित फ़ंक्शन f (x) के अधिकतम बिंदुओं की संख्या पाएं [-4; 3]।

समस्या की स्थिति से यह इस प्रकार है कि यह क्षेत्र द्वारा सीमित ग्राफ के केवल हिस्से पर विचार करने के लिए पर्याप्त है [-4; 3]। इसलिए, हम एक नया कार्यक्रम बनाते हैं जिस पर हम केवल सीमाओं को ध्यान में रखते हैं [-4; 3] और इसके अंदर शून्य व्युत्पन्न। अर्थात्, अंक x \u003d -3.5 और x \u003d 2. हमें मिलता है:

इस ग्राफ पर अधिकतम x \u003d 2. का केवल एक ही बिंदु है। इसमें यह है कि प्लस से शून्य से व्युत्पन्न परिवर्तनों का संकेत।

गैर-निर्वाचित निर्देशांक वाले अंक के बारे में एक छोटी सी टिप्पणी। उदाहरण के लिए, अंतिम कार्य में, बिंदु x \u003d -3.5 पर विचार किया गया था, लेकिन उसी सफलता के साथ आप x \u003d -3.4 ले सकते हैं। यदि कार्य सही ढंग से तैयार किया गया है, तो ऐसे परिवर्तनों को उत्तर को प्रभावित नहीं करना चाहिए, क्योंकि अंक "निवास के एक निश्चित स्थान के बिना" समस्या को हल करने में प्रत्यक्ष भागीदारी न करें। बेशक, पूर्णांक बिंदुओं के साथ, इस तरह का ध्यान पास नहीं होगा।

बढ़ते और अवरोही समारोह के अंतराल को ढूंढना

ऐसे कार्य में, अधिकतम और न्यूनतम अंक की तरह, यह उन क्षेत्रों को खोजने के लिए निर्धारित कार्यक्रम पर प्रस्तावित किया जाता है जिनमें कार्य स्वयं बढ़ता या घटता है। शुरू करने के लिए, हम परिभाषित करते हैं कि क्या वृद्धि और कमी:

1. फ़ंक्शन एफ (एक्स) को सेगमेंट पर तेजी से कहा जाता है यदि किसी भी दो बिंदु x 1 और इस सेगमेंट के x 2 के लिए यह सच है: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≤ f (x 2)। दूसरे शब्दों में, तर्क का मूल्य जितना बड़ा होगा, फ़ंक्शन का मूल्य जितना अधिक होगा।
2. फ़ंक्शन एफ (एक्स) को सेगमेंट पर घटाना कहा जाता है यदि इस सेगमेंट के किसी भी दो बिंदु x 1 और x 2 के लिए यह सच है: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≥ f (x 2)। वे। तर्क का एक बड़ा मूल्य फ़ंक्शन के छोटे मूल्य से मेल खाता है।

हम बढ़ने और उतरने के लिए पर्याप्त शर्तें तैयार करते हैं:

1. सेगमेंट पर लगातार समारोह एफ (एक्स) के लिए, यह पर्याप्त है कि सेगमेंट के अंदर इसका व्युत्पन्न सकारात्मक था, यानी f '(x) ≥ 0।
2. सेगमेंट पर निरंतर फ़ंक्शन एफ (एक्स) को कम करने के लिए, यह खंड के अंदर इसके व्युत्पन्न के लिए पर्याप्त है नकारात्मक है, यानी f '(x) ≤ 0।

हम इन बयानों को सबूत के बिना लेंगे। इस प्रकार, हम बढ़ते और अवरोही के अंतराल को खोजने के लिए एक योजना प्राप्त करते हैं, जो काफी हद तक चरम बिंदु गणना एल्गोरिदम के समान है:

1. सभी अनावश्यक जानकारी निकालें। व्युत्पन्न के स्रोत ग्राफ पर, हम कार्य के पहले सभी शून्य में रुचि रखते हैं, इसलिए हम केवल उन्हें छोड़ देंगे।
2. शून्य के बीच अंतराल पर व्युत्पन्न के संकेतों को चिह्नित करें। जहां एफ '(एक्स) ≥ 0, फ़ंक्शन बढ़ता है, और जहां एफ' (एक्स) ≤ 0 घटता है। यदि कार्य परिवर्तनीय एक्स को सीमाएं स्थापित करता है, तो अतिरिक्त रूप से उन्हें एक नए चार्ट पर चिह्नित करें।
3. अब जब हम कार्य और प्रतिबंधों के व्यवहार को जानते हैं, तो यह समस्या में आवश्यक मान की गणना करना बनी हुई है।

एक कार्य। यह आंकड़ा खंड पर परिभाषित व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) का एक ग्राफ दिखाता है [-3; 7,5]। फंक्शन एफ (एक्स) का मलबे का पता लगाएं। प्रतिक्रिया में, इन अंतराल में शामिल पूर्णांक की मात्रा निर्दिष्ट करें।

हमेशा की तरह, हम ग्राफ को पार करेंगे और सीमाओं को नोट करेंगे [-3; 7.5], साथ ही शून्य, व्युत्पन्न x \u003d -1.5 और x \u003d 5.3। फिर हम व्युत्पन्न के संकेतों पर ध्यान दें। हमारे पास है:

क्योंकि अंतराल (- 1.5) पर, व्युत्पन्न ऋणात्मक है, यह चापलूसी समारोह का कार्य है। यह इस अंतराल के अंदर के सभी पूर्णांकों को समेटने के लिए बनी हुई है:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

एक कार्य। यह आंकड़ा खंड पर परिभाषित व्युत्पन्न समारोह एफ (एक्स) का एक ग्राफ दिखाता है [-10; चार]। फंक्शन फंक्शन एफ (एक्स) के अंतराल का पता लगाएं। जवाब में, उनमें से सबसे महान की लंबाई निर्दिष्ट करें।

अनावश्यक जानकारी से छुटकारा पाएं। आइए केवल सीमाएं छोड़ दें [-10; 4] और व्युत्पन्न के शून्य, जो इस बार यह चार: x \u003d -8, x \u003d -6, x \u003d -3 और x \u003d 2. व्युत्पन्न के संकेतों को नोट करें और निम्न चित्र प्राप्त करें:

हम बढ़ते समारोह के अंतराल में रुचि रखते हैं, यानी इस तरह, जहां एफ '(एक्स) ≥ 0. ऐसे अंतराल के ग्राफ पर दो: (-8; -6) और (-3; 2)। उनकी लंबाई की गणना करें:
L 1 \u003d - 6 - (-8) \u003d 2;
L 2 \u003d 2 - (-3) \u003d 5।

चूंकि प्रतिक्रिया में, अंतराल के सबसे बड़े की लंबाई को खोजने की आवश्यकता होती है, इसलिए मूल्य एल 2 \u003d 5 लिखें।

यह आंकड़ा अंतराल में परिभाषित व्युत्पन्न समारोह एफ (एक्स) का एक ग्राफ दिखाता है [-5; 6]। ग्राफ एफ (एक्स) के अंकों की संख्या, जिनमें से प्रत्येक में टेंगेंट, समारोह के ग्राफ पर खर्च किया गया, अनुपस्थिति या एब्सिसा अक्ष के समानांतर

यह आंकड़ा अलग-अलग फ़ंक्शन y \u003d f (x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है।

सेगमेंट से संबंधित फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के अंक की संख्या ज्ञात करें [-7; 7], जिसमें फ़ंक्शन का फ़ंक्शन टेंगेंट प्रत्यक्ष निर्दिष्ट समीकरण y \u003d -3x के समानांतर है।

सामग्री बिंदु मीटर बिंदु ए से आगे बढ़ने और 12 सेकंड के लिए एक सीधी रेखा में आगे बढ़ना शुरू कर देता है। अनुसूची दिखाती है कि बिंदु ए से बिंदु के समय से दूरी कैसे दूरी पर है। Abscissa अक्ष पर, समय टी को सेकंड में स्थगित कर दिया जाता है, अधीन अक्ष पर - मीटर में दूरी एस। यह निर्धारित करें कि आंदोलन के दौरान कितनी बार गति बिंदु एम शून्य से अपील की जाती है (आंदोलन की शुरुआत और अंत ध्यान में नहीं है)।

यह आंकड़ा ABSCISSA X \u003d 0. के साथ एक बिंदु पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) और टेंगेंट के समारोहों के अनुभाग दिखाता है। यह ज्ञात है कि यह समय सारिणी के साथ ग्राफ के बिंदुओं के माध्यम से सीधे पास होने के समानांतर है x \u003d -2 और x \u003d 3. इसका उपयोग करके, व्युत्पन्न एफ "(ओ) का मूल्य ज्ञात कीजिए।

यह आंकड़ा एक ग्राफ y \u003d f '(x) दिखाता है - सेगमेंट (-11; 2) पर परिभाषित फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न। उस बिंदु की अनुपस्थिति को ढूंढें जिसमें फ़ंक्शन y \u003d f (x) के फ़ंक्शन का टेंगेंट ABSCISSA अक्ष के समानांतर है या इसके साथ मेल खाता है।

भौतिक बिंदु सीधे कानून x (t) \u003d (1/3) t ^ 3-3t ^ 2-5t + 3 के अनुसार चलता है, जहां एक्स मीटर में संदर्भ के बिंदु से दूरी है, टी सेकंड में समय है आंदोलन की शुरुआत से मापा जाता है। किस समय (सेकंड में), इसकी गति 2 मीटर / एस थी?

सामग्री बिंदु प्रारंभिक से अंत स्थिति तक एक सीधी रेखा के साथ चलता है। यह आंकड़ा अपने आंदोलन के कार्यक्रम को दर्शाता है। Abscissa धुरी पर, आदेश के धुरी पर, समय की अक्ष (मीटर में) की दूरी से सेकंड में समय स्थगित कर दिया जाता है। बिंदु की औसत गति पाएं। प्रति सेकंड मीटर में जवाब दें।

फ़ंक्शन y \u003d f (x) अंतराल पर निर्धारित होता है [-4; चार]। यह आंकड़ा इसके व्युत्पन्न का ग्राफ दिखाता है। फ़ंक्शन वाई \u003d एफ (एक्स) के फ़ंक्शन के बिंदुओं की संख्या का पता लगाएं, जिनमें से स्पर्शक एक्सिस की सकारात्मक दिशा के साथ 45 डिग्री का कोण बनाता है।

फ़ंक्शन y \u003d f (x) को सेगमेंट पर परिभाषित किया गया है [-2; चार]। यह आंकड़ा इसके व्युत्पन्न के लिए शेड्यूल दिखाता है। फ़ंक्शन y \u003d f (x) के फ़ंक्शन के ग्राफ़ के Abscissa का पता लगाएं जिसमें सेगमेंट पर सबसे छोटा मूल्य लगता है [-2; -0,001]।

यह आंकड़ा बिंदु x0 पर बिताए गए इस ग्राफिक्स के लिए फ़ंक्शन वाई \u003d एफ (एक्स) और टेंगेंट का ग्राफ दिखाता है। टेंगेंट वाई \u003d -2x + 15 समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है। व्युत्पन्न समारोह y \u003d - (1/4) f (x) + 5 बिंदु x0 पर मूल्य का पता लगाएं।

अंतर समारोह y \u003d f (x) के ग्राफ पर सात डॉट्स चिह्नित हैं: x1, .., x7। सभी चिह्नित बिंदुओं को ढूंढें जिसमें व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) शून्य से अधिक है। प्रतिक्रिया में, इन बिंदुओं की संख्या निर्दिष्ट करें।

यह आंकड़ा एक ग्राफ y \u003d f "(x) व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) दिखाता है, जो अंतराल (-10; 2) पर निर्धारित होता है। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिसमें फ़ंक्शन f (x) का कार्य समानांतर है डायरेक्ट वाई \u003d -2 एक्स -11 या इसके साथ मेल खाता है।

यह आंकड़ा ग्राफ वाई \u003d एफ "(एक्स) दिखाता है - व्युत्पन्न फ़ंक्शन एफ (एक्स)। Abscissa अक्ष पर, नौ अंक नोट किए गए हैं: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x9, x7, x8, x9 ।
इनमें से कितने बिंदु फ़ंक्शन f (x) की कमी से संबंधित हैं?

यह आंकड़ा बिंदु x0 पर बिताए गए इस ग्राफिक्स के लिए फ़ंक्शन वाई \u003d एफ (एक्स) और स्पर्शरेखा का ग्राफ दिखाता है। टेंगेंट समीकरण y \u003d 1.5x + 3.5 द्वारा दिया जाता है। व्युत्पन्न समारोह वाई \u003d 2 एफ (एक्स) - 1 बिंदु x0 पर 1 का मूल्य खोजें।

यह आंकड़ा आदिम कार्यों में से एक का एक ग्राफ y \u003d f (x) दिखाता है f (x)। ग्राफ़ ने एबीएससीशन एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स 6 के साथ छह अंक चिह्नित किए। इनमें से पूरे बिंदु, फ़ंक्शन y \u003d f (x) नकारात्मक मान लेता है?

यह आंकड़ा मार्ग के साथ कार गति कार्यक्रम दिखाता है। Abscissa अक्ष पर, आदेश को स्थगित कर दिया जाता है (घंटों में), अधीनता की धुरी पर - पथ पारित (किलोमीटर में)। इस मार्ग पर औसत वाहन की गति पाएं। किमी / घंटा में उत्तर

भौतिक बिंदु सीधे कानून एक्स (टी) \u003d (- 1/6) टी ^ 3 + 7 टी ^ 2 + 6 टी + 1 के अनुसार चलता है, जहां एक्स संदर्भ के बिंदु से दूरी है (मीटर में), टी है आंदोलन का समय (सेकंड में)। समय टी \u003d 6 एस पर उसकी गति (प्रति सेकंड मीटर में) खोजें

यह आंकड़ा अंतराल (-6; 7) पर निर्धारित कुछ फ़ंक्शन y \u003d f (x) के आदिम y \u003d f (x) का एक ग्राफ दिखाता है। पैटर्न का उपयोग करके, इस अंतराल पर फ़ंक्शन एफ (एक्स) के शून्य की संख्या निर्धारित करें।

यह आंकड़ा एक ग्राफ वाई \u003d एफ (एक्स) को अंतराल (-7; 5) पर परिभाषित प्राथमिक कुछ कार्यों में से एक (x) में से एक दिखाता है। पैटर्न का उपयोग करके, सेगमेंट पर समीकरण एफ (एक्स) \u003d 0 के समाधान की मात्रा निर्धारित करें [- 5; 2]।

यह आंकड़ा अंतर समारोह y \u003d f (x) का एक ग्राफ दिखाता है। Abscissa धुरी पर, नौ अंक चिह्नित हैं: x1, x2, ... x9। सभी चिह्नित बिंदुओं को ढूंढें जिसमें व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) नकारात्मक है। प्रतिक्रिया में, इन बिंदुओं की संख्या निर्दिष्ट करें।

भौतिक बिंदु सीधे कानून एक्स (टी) \u003d 12 टी ^ 3-3 टी ^ 2 + 2 टी द्वारा चलता है, जहां एक्स मीटर में संदर्भ बिंदु से दूरी है, टी आंदोलन की शुरुआत से मापा सेकंड में समय है। समय टी \u003d 6 एस पर उसकी गति (मीटर प्रति सेकंड में) खोजें।

यह आंकड़ा बिंदु x0 पर बिताए गए इस ग्राफिक्स के लिए फ़ंक्शन वाई \u003d एफ (एक्स) और टेंगेंट का ग्राफ दिखाता है। टेंगेंट समीकरण आकृति में दिखाया गया है। व्युत्पन्न फ़ंक्शन y \u003d 4 * f (x) -3 पर बिंदु x0 का मान पाएं।