Tiesia lygtis plokštumoje. Tiesioginis vadovas vektorius. Vektorius Normalus. Cheminių lygčių lygčių rėmimas ir sprendimas tiesiogiai segmentuose

Padarykite lygtį - tai reiškia išreikšti matematines formą tarp duomenų (žinomų) užduočių ir norimų (nežinomų) verčių. Kartais šis ryšys yra taip aiškiai išdėstytas problemos formuluotės, kad lygties kompiliacija yra tiesiog pažodinis problemos paketas, matematinių ženklų kalba.

1 pavyzdys. Petrovas gavo už 160 rublių darbą. Daugiau nei pusė sumos, kurią gavo Ivanovas. Kartu jie gavo 1120 rublių. Kiek jie gauna už Petrovo ir Ivanovo darbą? Reiškia x uždarbis Ivanova. Pusė savo pajamų yra 0,5x; Mėnesio darbo užmokestis Petrova 0,5x + 160 kartu jie uždirba 1120 rublių; Bus matematinis paskutinės frazės įrašas bus

(0,5x + 160) + x \u003d 1120.

Lygtis yra parengta. Laikydamiesi nustatytų taisyklių, nustatant pelną Ivanov X \u003d 640 rublių; Petrovos 0,5x + 160 \u003d 480 (patrinti.).

Tačiau taurė atsitinka, kad ryšys tarp duomenų ir norimų verčių tiesiogiai nenurodyta; Jis turi būti įdiegtas remiantis užduoties sąlygomis. Praktinėmis užduotimis, tai vyksta beveik visada. Pavyzdys yra apibrėžtas; Gyvenime beveik niekada nėra tokios užduotys.

Siekiant sudaryti lygtį, todėl neįmanoma suteikti gana išsamių nurodymų. Tačiau iš pradžių naudinga vadovautis taip. Mes imsimės norimos vertės (ar kelių kiekių) tam tikro atsitiktinio skaičiaus (arba kelių numerių) ir užduotį patikrinti, ar mes atspėjote tinkamą problemos sprendimą. Jei sugebėjome praleisti šį čekį ir aptikti, kad mūsų spėjimas yra tiesa, arba kas yra neteisinga (greičiausiai tai atsitiks, antra), mes galime nedelsiant atlikti norimą lygtį (ar kelias lygtis). Būtent mes užrašysime labai veiksmus, kuriuos sukūrėme tikrinant, tik vietoj atsitiktinių, pristatome šarminį nežinomos vertės ženklą. Mes gauname norimą lygtį.

2 pavyzdys. Vario lydinio ir cinko tūrio gabalas 1 DM3 sveria 8,14 kg. Kiek vario yra lydinio? (UD. Varis svoris 8,9 kg / dm3; cinko - 7,0 kg / dm3).

Atsižvelkite į atsitiktinį skaičių, išreiškiant norimą vario kiekį, pvz., 0,3 dm3. Patikrinkite, mes sėkmingai užėmė šį numerį. Nuo 1 kg / dm3 vario sveria 8,9 kg, tada 0,3 dm3 sveria 8,9 * 0,3 \u003d 2.67 (kg). Cinko tūris yra 1 - 0,3 \u003d 0,7 (DM3). Jo svoris 7,0 0,7 \u003d 4.9 (kg). Bendras cinko ir vario 2,67 + + 4.9 \u003d 7.57 (kg) svoris. Tuo tarpu mūsų kūrinio svoris pagal problemos būklę, 8,14 kg. Mūsų spėjimas yra nepagrįstas. Bet mes iš karto gauname sprendimo lygtį, kurios suteiks teisingą atsakymą. Vietoj greito skaičiaus 0,3 DM3, mes žymi vario kiekį (DM3) iki x. Vietoj to, darbas 8,9 0,3 \u003d 2.67, mes atliekame generuojamą 8,9 x. Tai yra vario masė lydinimui. Vietoj 1 - 0,3 \u003d 0,7 Paimkite 1 - x; Tai yra cinko tūris. Vietoj 7,0 0,7 \u003d 4.9 Mes vartojame 7,0 (1 - x); Tai yra cinko svoris. Vietoj 2,67 + 4.9 Paimkite 8,9 x + 7,0 (1 - x); Tai yra bendras cinko ir vario svoris. Pagal sąlygą, tai yra 8,14 kg; Todėl 8,9 x + 7,0 (1 - x) \u003d 8.14.

Šios lygties sprendimas suteikia x \u003d 0,6. Tikrinimas atsitiktinai gali būti priimtas įvairiais būdais; Todėl galima gauti įvairių tipų lygtį dėl tos pačios problemos; Tačiau visi jie bus skiriami už norimą tos pačios sprendimo vertę, tokios lygtys yra vadinamos lygiavertėmis vieni kitiems.

Žinoma, gavęs įgūdžius rengiant lygtis, nereikia patikrinti atsitiktinio skaičiaus: galima gauti norimo dydį, o ne numerį, bet bet kokią raidę (x, y ir tt) ir Padarykite tą patį, kaip jei šis laiškas (nežinomas) buvo tarp skaičiaus, kurį ketiname patikrinti.

Problemų sprendimas paprastai sumažinamas, kad būtų galima rasti bet kokios vertės vertę per logišką argumentus ir skaičiavimus. Pavyzdžiui, rasti greitį, laiką, atstumą, daugelio dalyko ar kažko tipo.

Tokia užduotis gali būti išspręsta naudojant lygtį. Dėl to norimą vertę žymima kintama, tada lygtį atlieka logiška argumentais ir išspręsti lygtį. Sprendžiant lygtį, atlikite patikrinimą, ar sprendimas atitinka šios problemos sąlygų lygtį.

Pamokos projektavimas. \\ T

Įrašų išraiškos, kuriose yra nežinoma

Problemos sprendimą pridedamas šios problemos lygties rengimas. Pradiniame studijų užduočių etape patartina mokytis, kaip tai yra abėcėlės išraiškos, apibūdinančios tai arba kad gyvenimo situacija. Šis etapas nėra sudėtingas ir gali būti tiriamas sprendžiant pati užduotį.

Apsvarstykite keletą situacijų, kurias galima parašyti matematine išraiška.

1 užduotis.. Tėvo amžius x. metų. Mama dvejus metus jaunesniems. Sūnus jaunesnis nei mano tėvas 3 kartus. Užsirašykite kiekvieno amžiaus amžių.

Sprendimas:

2 užduotis.. Tėvo amžius x. Metų, mama 2 metų jaunesniems nei mano tėvas. Sūnus jaunesnis nei mano tėvas 3 kartus, motinos jaunesnė dukra 3 kartus. Užsirašykite kiekvieno amžiaus amžių.

Sprendimas:

3 užduotis.. Tėvo amžius x. Metų, mama 3 metus jaunesniems nei mano tėvas. Sūnus jaunesnis nei mano tėvas 3 kartus, motinos jaunesnė dukra 3 kartus. Kiek senas yra kiekvienas, jei bendras tėvo amžius, mama, sūnus ir dukterys yra 92 metai?

Sprendimas:

Šioje užduotyje, be rašymo išraiškų, būtina apskaičiuoti kiekvieno šeimos nario amžių.

Pirmiausia rašome kiekvieno šeimos nario amžių naudodami išraiškas. Už kintamąjį x. Mes imsimės Tėvo amžiaus, o tada naudodami šį kintamąjį, kad likę išraiškos:

Dabar mes apibrėžiame kiekvieno šeimos nario amžių. Norėdami tai padaryti, turime sudaryti ir išspręsti lygtį. Visi lygčių komponentai yra pasirengę mums. Jis lieka tik surinkti juos kartu.

Bendras amžius per 92 metus pasirodė per popiežiaus, mamos, sūnaus ir dukters amžių:

Kiekvienam amžiui mes apskaityėme matematinę išraišką. Šios išraiškos bus mūsų lygties komponentai. Leiskite rinkti savo lygtį pagal šią schemą ir lentelę, kuri buvo pateikta pirmiau. Tai yra, tėtis, mama, sūnaus, dukra pakeis išraišką ant jo lentelėje:

Išraiška, atsakinga už mamos amžių x - 3, Siekiant aiškumo, jis buvo priimtas skliausteliuose.

Dabar mes išsprendžiame gautą lygtį. Norėdami pradėti, galite atskleisti skliaustelius, kur tai gali būti:

Išlaisvinti lygtį nuo frakcijų, padauginkite abi dalis 3

Mes išsprendžiame gautą lygtį, naudojant žinomus identiškus transformacijas:

Mes nustatėme kintamojo vertę x. . Šis kintamasis buvo atsakingas už Tėvo amžių. Taigi tėvo amžius yra 36 metai.

Žinant tėvo amžių, galite apskaičiuoti kitų šeimos narių amžius. Norėdami tai padaryti, jums reikia pakeisti kintamojo vertę x. Šiomis išraiškomis, kurios yra atsakingos už tam tikro šeimos nario amžių.

Užduotis sakė, kad mama buvo 3 metai. Jos amžius paženkome per išraišką x-3. Kintamos vertės x. Dabar tai yra žinoma ir apskaičiuoti mamos amžių, jums reikia išreikšti x - 3. Vietoj to x. Pakeiskite nustatytą vertę 36

x - 3 \u003d 36 - 3 \u003d 33 metai mama.

Panašiai nustatomas kitų šeimos narių amžius:

Patikrinti:

4 užduotis.. Kilogramų obuoliai x. rublių. Užsirašykite išraišką, kuri apskaičiuoja, kiek kilogramų obuolių galima įsigyti 300 rublių.

Sprendimas Šis sprendimas

Jei verta yra obuolių kilogramas x. Rubles, tada 300 rublių galite nusipirkti kilogramą obuolių.

Pavyzdys. Kilogramų obuoliai kainuoja 50 rublių. Tada galite nusipirkti 300 rublių, ty 6 kilogramų obuolių.

5 užduotis.. Ant x. Rubliai buvo įsigyti 5 kg obuolių. Užsirašykite išraišką, kuri apskaičiuoja, kiek rublių yra vienas kilogramas obuolių.

Sprendimas Šis sprendimas

Jei buvo sumokėti 5 kg obuolių x. rubliai, tada vienas kilogramas stovės rublių

Pavyzdys. 300 rublių buvo įsigyti 5 kg obuolių. Tada vienas kilogramas obuolių bus verta, tai yra, 60 rublių.

6 užduotis.. Tomas, John ir Leo apie pokyčius nuvyko į valgomąjį ir nusipirkau ant sumuštinio ir kavos rato. Sandwich stovai x. Rubles ir kavos puodelis - 15 rublių. Nustatykite sumuštinių išlaidas, jei žinoma, kad už viską buvo sumokėta 120 rublių?

Sprendimas Šis sprendimas

Žinoma, ši užduotis yra paprasta kaip trys kapeikai ir ji gali būti išspręsta nesinaudojant lygtimi. Norėdami tai padaryti, iš 120 rublių jums reikia atimti trijų kavos puodelių (15 × 3), ir gautas rezultatas yra suskirstytas į 3

Tačiau mūsų tikslas yra padaryti už užduotį ir išspręsti šią lygtį. Taigi, sumuštinių kaina x. rublių. Nusipirko juos tik tris. Taigi didinant tris kartus išlaidas, gausime išraišką, kuri apibūdiname, kiek rublių buvo mokama už tris sumuštinius

3x - trijų sumuštinių kaina

Ir trijų kavos apskritimų kaina gali būti parašyta kaip 15 × 3. 15 Tai yra vienos kavos puodelio ir 3 daugikliai (Tomas, Jonas ir LEO), kuris padidina šią kainą tris kartus.

Pagal užduotį už viską sumokėjo 120 rublių. Mes jau turime apytikslę schemą, kurią reikia padaryti:

Išraiškos, apibūdinančios trijų sumuštinių ir trijų kavos puodelių, esame pasiruošę. Tai yra 3 išraiškos. x. ir 15 × 3. Naudojant schemą, kad būtų suteikta lygtis ir ją išspręsti:

Taigi vieno sumuštinio kaina yra 25 rublių.

Užduotis išspręsta teisingai tik tuo atveju, jei lygtis yra tinkamai surinkta. Skirtingai nuo įprastų lygčių, kuriomis mes mokomės rasti šaknis, užduočių sprendimo lygtys turi savo paraišką. Kiekviena tokios lygties komponentas gali būti aprašytas žodine forma. Padarydami lygtį, būtina suprasti, ką įtraukiame į savo kompoziciją vieną ar kitą komponentą ir kodėl tai reikalinga.

Taip pat būtina prisiminti, kad lygtis yra lygybė, po kurios kairioji dalis turėtų būti lygi dešiniajai daliai. Suderinta lygtis neturėtų prieštarauti šiai idėjai.

Įsivaizduokite, kad lygtis yra svarstyklės su dviem dubenimis ir ekranu, rodančiu svarstyklių būklę.

Šiuo metu ekranas rodo lygybės ženklą. Akivaizdu, kodėl kairiajame dubenyje yra lygi dešiniajam dubeniui - nėra nieko ant dubenys. Svarstyklės būklė ir kažko nebuvimas ant kažko su šia lygiavertiškumu:

0 = 0

Į kairę korpusą įdėjome arbūzų svarstykles:

Kairysis dubenys pakabino dešinę puodelį, o ekranas buvo pavojaus signalas, rodantis žymeklį nėra lygus (≠). Šis ženklas rodo, kad kairiajame dubenyje nėra lygi dešiniajam dubeniui.

Dabar pabandykime išspręsti šią problemą. Leiskite jiems norinti išsiaiškinti, kiek sveria arbūzai, kuri yra kairiajame dubenyje. Bet kaip sužinoti? Galų gale, mūsų svarstyklės yra skirtos tik patikrinti, ar kairiajame dubenyje yra lygi teisei.

Lygtys ateina į gelbėjimo. Prisiminkite, kad lygtis pagal apibrėžimą yra lygybė. \\ tkurių sudėtyje yra kintamos vertės, kurių reikia norint rasti. Šioje byloje svarstyklės vaidina šios lygties vaidmenį, o arbūzo masė yra kintama, kurio vertė turi būti nustatyta. Mūsų tikslas yra tinkamai suderinti šią lygtį. Suprasti, derinti svarstykles, kad galėtume apskaičiuoti arbūzo masę.

Siekiant suderinti svarstykles, galite įdėti bet kokį sunkų daiktą dešinėje dubenyje. Pavyzdžiui, mes įdėjome 7 kg svorį.

Dabar, priešingai, dešinysis dubenys pakabino. Ekranas vis dar rodo, kad dubenys nėra lygūs.

Pabandykime į kairę dubenį į 4 kg svorį

Dabar svarstyklės išlygintos. Šis skaičius rodo, kad kairiajame dubenyje dešiniajame dubenyje lygiu. Ir ekranas rodo lygybės ženklą. Šis ženklas rodo, kad kairiajame dubenyje yra lygi dešiniajai dubeniui.

Taigi, mes gavome lygtį - lygybę, kurioje yra nežinoma. Kairiajame dubenyje yra kairėje lygties dalimi, sudaryta iš 4 dalių ir kintamųjų x. (Arbūzas masė), o dešinysis dubuo yra dešinė pusė lygties, susidedančios iš komponento 7.

Na, tai nėra sunku atspėti, kad 4 lygties šaknis + x. \u003d 7 yra 3. Tai reiškia, kad arbūzo masė yra 3 kg.

Panašiai viskas yra ir su kitomis užduotimis. Norėdami rasti nežinomą vertę, įvairūs elementai į kairę arba į dešinę lygtį: terminai, daugikliai, išraiškos. Mokyklos užduotyse šie elementai jau pateikiami. Jis lieka tik tinkamai struktūruoti ir sukurti lygtį. Šiame pavyzdyje dirbome, bandydami skirtingų masių svorį, kad būtų galima apskaičiuoti arbūzo masę.

Žinoma, šie duomenys, pateikti užduotyje, pirmiausia turi būti sukurta forma, kurioje jie gali būti įtraukti į lygtį. Todėl, kaip jie sako "Norite, kad nenorite, ir jūs turite galvoti".

Apsvarstykite šią užduotį. Tėvo amžius yra lygus sūnaus ir dukros amžiui kartu. Sūnus yra dvigubai vyresnis nei jo dukra ir dvidešimt metų jaunesni nei jo tėvas. Kiek senas yra kiekvienas?

Dukters amžius gali būti pažymėtas x. . Jei sūnus yra dvigubai vyresnis nei jo dukra, jo amžius bus pažymėtas kaip 2 x. . Kalbant apie problemą, sakoma, kad kartu jo dukters ir sūnaus amžius yra lygus Tėvo amžiui. Taigi tėvo amžius bus pažymėtas suma x. + 2x.

Sąvoka galite atnešti panašių sąlygų. Tada tėvo amžius bus žymimas 3 x.

Dabar padarykite lygtį. Turime gauti lygybę, kurioje galite rasti nežinomą x. . Mes naudojame svorius. Kairiajame dubenyje, įdėkite tėvo amžių (3 x.) ir dešinėje dubenyje sūnaus amžiaus (2) x.)

Akivaizdu, kodėl kairiajame dubenyje pakabino į dešinę ir kodėl ekrane rodomas ženklas (≠). Galų gale, tai logiška, kad tėvo amžius yra daugiau nei sūnaus amžius.

Tačiau turime suvienodinti skales taip, kad galėtumėte apskaičiuoti nežinomą x. . Norėdami tai padaryti, jums reikia pridėti bet kokį skaičių į dešinę puodelį. Kokio tipo numeris nurodytas užduotyje. Būklė sakė, kad sūnus yra jaunesnis nei tėvas 20 metų. Taigi 20 metų yra tas pats numeris, į kurį reikia įdėti į svarstykles.

Svarstyklės yra išlygintos, jei pridedame šiuos 20 metų į dešinę dubenį. Kitaip tariant, auginkite savo sūnų Tėvo amžiui

Dabar svarstyklės išlygintos. Lygtis pasirodė kuris yra lengvai išspręstas:

x. Mes žymėjome dukters amžių. Dabar mes radome šio kintamojo vertę. Dukra 20 metų.

Na, pagaliau apskaičiuoju Tėvo amžių. Užduotis sakė, kad ji buvo lygi sūnaus ir dukters amžiaus sumai, ty (20 + 40) metų.

Grįžkime į užduoties vidurį ir atkreipkite dėmesį į vieną akimirką. Kai mes įdėjome tėvo amžių ir sūnaus amžių ant skalės, kairiajame dubenyje pasuko į dešinę

Bet mes nusprendėme šią problemą pridedant dar 20 metų dešiniajame dubenyje. Kaip rezultatas, svarstyklės buvo išlygintos ir mes lygūs

Bet tai buvo įmanoma nepriimti šių 20 metų į dešinę praeitį ir atimti juos iš kairės. Mes gautume lygybę ir šiuo atveju

Šį kartą gaunama lygtis . Lygties šaknis vis dar yra lygi 20

Tai yra, lygtys ir. \\ T yra lygiaverčiai. Ir mes prisimename, kad lygiavertės lygtys šaknų sutampa. Jei kruopščiai pažvelgsite į šias dvi lygtis, galite matyti, kad antroji lygtis gaunama perkeliant skaičių 20 iš dešinės pusės į kairę su priešingu ženklu. Ir šis veiksmas, kaip buvo nurodyta ankstesnėje pamokoje, nekeičia lygties šaknų.

Taip pat būtina atkreipti dėmesį į tai, kad ne užduoties sprendimo pradžioje kiekvieno šeimos nario amžius galėtų būti paskirta kitomis išraiškomis.

Tarkime, kad sūnaus amžius nurodytų x. Ir kadangi jis yra dvi vyresnio amžiaus dukra, tada jo dukters amžius paskiria (suprasti, kad jos jaunesnis nei sūnus du kartus). Ir tėvo amžius, nes tai yra sūnaus ir dukterų amžių, kad būtų paskirta per išraišką. Na, galiausiai, statyti logiškai teisingą lygtį, skaičius 20 turėtų būti pridėta prie sūnaus amžiaus, nes tėvas yra vyresnis dvidešimt metų. Kaip rezultatas, paaiškėja visiškai kitokia lygtis . Tegul ši lygtis nuspręsta

Kaip matote atsakymus į užduotį nepasikeitė. Sūnus dar 40 metų. Dukros dar senovės ir tėvas 40 + 20 metų.

Kitaip tariant, užduotis gali būti išspręsta įvairiais metodais. Todėl nereikėtų nevilties, kad neįmanoma išspręsti šios užduoties. Bet jums reikia nepamiršti, kad yra paprasčiausių būdų išspręsti problemą. Galite išsinuomoti įvairius maršrutus į miesto centrą, tačiau visada yra patogiausias, greitas ir saugus maršrutas.

Pavyzdžiai sprendžiant problemas

1 užduotis. Du pakuotės tik 30 nešiojamųjų kompiuterių. Jei iš pirmosios pakuotės buvo perkelta į antrąjį 2 nešiojamuosius kompiuterius, tada pirmoje pakuotėje būtų dvigubai didesnis už nešiojamųjų kompiuterių nei antrajame. Kiek nešiojamųjų kompiuterių buvo kiekvienoje pakuotėje?

Sprendimas Šis sprendimas

Žymi. \\ T x. Pirmame pakete buvo nešiojamųjų kompiuterių skaičius. Jei visi nešiojamieji kompiuteriai buvo 30, ir kintamasis x. Tai yra nešiojamųjų kompiuterių skaičius iš pirmojo pakuotės, antrojo pakuotės nešiojamųjų kompiuterių skaičius bus pažymėtas per sąvoką 30 - x. . Tai yra nuo bendro nešiojamųjų kompiuterių skaičiaus, mes atimame nešiojamųjų kompiuterių skaičių iš pirmosios pakuotės ir taip gauname nešiojamųjų kompiuterių skaičių nuo antrojo pakuotės.

ir pridėkite šiuos du nešiojamus kompiuterius į antrą paketą

Pabandykime padaryti lygtį nuo esamų išraiškų. Uždėkite ant pakuočių nešiojamųjų kompiuterių

Kairysis dubuo yra sunkesnis. Taip yra todėl, kad užduočių būklėje sakoma, kad po dviejų nešiojamųjų kompiuterių buvo iš pirmosios pakuotės ir įdėti juos į antrą, pirmojo pakuotės nešiojamųjų kompiuterių skaičius buvo dvigubai daugiau nei antrasis.

Siekiant suderinti svarstykles ir gauti lygtį, du kartus padidinkite dešinę pusę. Norėdami tai padaryti, padauginkite jį į 2

Gaunama lygtis. Tegul ši lygtis:

Pirmasis paketas, kurį mes pažymėjome per kintamąjį x. . Dabar mes nustatėme savo prasmę. Kintamasis. \\ T x. Lygus 22. Taigi pirmame pakete buvo 22 nešiojamieji kompiuteriai.

Ir mes žymėjome antrąjį paketą per išraišką 30 - x. ir nuo pokyčių vertės x. Dabar žinoma, tada galite apskaičiuoti nešiojamųjų kompiuterių skaičių antrajame pakete. Jis yra lygus 30-22, ty 8 vnt.

2 užduotis.. Du žmonės išvalė bulves. Vienas buvo išgrynintas dviem bulvėmis, o antra yra trys bulvės. Kartu jie išvalė 400 vnt. Kiek laiko dirbo visi, jei antrasis dirbo 25 minutes daugiau nei pirmasis?

Sprendimas Šis sprendimas

Žymi. \\ T x. Pirmojo asmens atidarymo laiką. Kadangi antrasis asmuo dirbo 25 minučių daugiau nei pirmoji, tada jo laikas bus žymimas per išraišką

Pirmasis darbas per minutę pašalino 2 bulves ir nuo jis dirbo x. minučių, tada jis išvalė 2 x. Bulvė.

Antrasis asmuo buvo išvalytas iš trijų bulvių per minutę, ir kadangi jis dirbo minutėmis, jis išvalė bulves.

Kartu jie išvalė 400 bulvių

Nuo esamų komponentų ir išspręsti lygtį. Kairiajame lygties dalyje bus bulvės, išvalytos kiekvieno asmens, ir dešinėje jų sumos dalyje:

Šios problemos sprendimo pradžioje per kintamąjį x. Mes pažymėjome pirmojo asmens atidarymo laiką. Dabar mes radome šio kintamojo vertę. Pirmasis asmuo dirbo 65 minutes.

Ir antrasis asmuo dirbo minutes ir nuo kintamojo vertės x. Dabar žinoma, tada galite apskaičiuoti antrojo asmens veikimo laiką - jis yra lygus 65 + 25, tai yra, 90 minučių.

Užduotis iš vadovėlio andrei Petrovich Kiseleva algebros. Iš arbatos veislių yra sudarytas 32 kg mišinys. Kilograma pirmos klasės kainuoja 8 rublių, o antrasis klasė yra 6 rubliai. 50 kapeikų Kiek kilogramų yra paimti iš kitos veislės, jei kilogramas mišinio yra (be pelno ir nuostolio) 7 rublių. 10 COP.?

Sprendimas Šis sprendimas

Žymi. \\ T x. Pirmos klasės masinė arbata. Tada antrojo lygio arbatos masė bus pažymėta per 32 išraišką - x.

Kilograma arbatos pirmosios klasės kainuoja 8 rublių. Jei šie aštuoni rubliai padaugintų pirmojo laipsnio kilogramo kilogramų skaičių, tai bus galima sužinoti, kiek rublių kainuoja x. kg arbatos pirmoji klasė.

Kilograma arbatos antrosios klasės kainuoja 6 rublių. 50 kapeikų Jei šie 6 rubliai. 50 kapeikų Padauginkite iki 32. - X. Tada galite sužinoti, kiek rublių kainuoja 32 - X.kg arbatos antroji klasė.

Sąlyga sako, kad mišinio kilogramas kainuoja 7 rublių. 10 Cop. Iš viso buvo parengta 32 kg mišinio. Padauginkite 7 rublių. 10 Cop. 32, mes galime sužinoti, kiek kainuoja 32 kg mišinio.

Išraiškos, kurių mes parengsime lygtį dabar tokia forma:

Pabandykime padaryti lygtį nuo esamų išraiškų. Įdėkite pirmojo ir antrojo lygio arbatos mišinių kainą kairėje svarstyklėse, ir mes įdėjome 32 kg mišinio vertę dešinėje dubenyje, ty bendra mišinio kaina, kurios dalis Abi arbatos veislės:

Šios problemos sprendimo pradžioje per kintamąjį x. Mes pažymėjome pirmos klasės masę. Dabar mes radome šio kintamojo vertę. Kintamasis. \\ T x. lygus 12,8. Taigi, buvo imtasi 12,8 kg pirmos klasės arbatos paruošimui.

Ir per išraišką 32 - X. Mes pažymėjome antrosios klasės arbatos masę ir nuo pokyčių vertės x. Dabar žinoma, tada galite apskaičiuoti antrosios klasės arbatos masę. Jis yra lygus 32 - 12,8, ty, 19.2. Taigi už mišinio paruošimo, 19,2 kg arbatos antrojo lygio buvo imtasi.

3 užduotis.. Dviratininkas vairavo tam tikrą atstumą 8 km / h greičiu. Jis turėjo grąžinti kitą brangų, kuris buvo 3 km ilgiau nei pirmasis, ir, nors grįžta, vairavo už 9 km / h greičiu, jis naudojo laiką minutes daugiau. Kiek laiko buvo keliai?

Sprendimas Šis sprendimas

Kai kurios užduotys gali paveikti temas, kurias asmuo negali mokytis. Ši užduotis reiškia tokį užduočių ratą. Jis veikia atstumo, greičio ir laiko sąvokas. Todėl, norint išspręsti tokią užduotį, turite turėti idėją apie tuos užduočiai. Mūsų atveju turite žinoti, kas yra atstumas, greitis ir laikas.

Užduotis jums reikia rasti atstumų dviejų kelių. Turime suformuoti lygtį, kuri apskaičiuos šiuos atstumus.

Prisiminkite, kaip tarpusavyje susiję atstumas, greitis ir laikas. Kiekviena iš šių verčių galima apibūdinti naudojant abėcėlės lygtį:

Vienos iš šių lygčių dešinėje pusėje mes naudosime jūsų lygtį. Norėdami sužinoti, ką tiksliai reikia grįžti į užduoties tekstą ir atkreipti dėmesį į kitą momentą:

Dėmesys turėtų būti skiriamas tuo metu, kai dviratininkas priešingu būdu naudojo laiką daugiau minučių. Šis patarimas rodo mums, kad galima naudoti lygtį, būtent jo dešinę dalį. Tai leis mums parengti lygtį, kurioje yra kintamasis S. .

Taigi, mes pažymimame pirmojo kelio ilgį S. . Šis kelias dviratininkas važiuoja 8 km / h greičiu. Laikas, už kurį jis įveikė šį kelią, bus žymimi išraiška, nes laikas yra atstumo santykis, nuvažiuotas į greitį

Dviratininko grįžimo kelias buvo ilgesnis nei 3 km. Todėl jo atstumas bus žymimas per išraišką S.+ 3. Šis kelių dviratininkas važiavo 9 km / h greičiu. Taigi laikas, už kurį jis įveikė šį kelią, bus žymimi išraiška.

Dabar padaryti lygtį nuo esamų išraiškų

Dešinysis dubuo yra sunkesnis. Taip yra todėl, kad užduotis sako, kad dviratininkas praleidžia kelią atgal už laiką daugiau.

Išlyginti svarstykles Pridėti į kairę tų pačių minučių pusę. Bet pirmiausia mes išversti minutes iki valandų, nes problemos greitis matuojamas kilometrais per valandą, o ne metrais per minutę.

Norėdami išversti minutes iki valandų, turite juos padalyti 60 metų

Minučių sudaro valandą. Šias valandas įtraukiame į kairę lygties pusę:

Gaunama lygtis . Mes išspręsime šią lygtį. Norėdami atsikratyti frakcijų, abi dalies dalis gali būti padauginta iš 72. Kitas, naudojant žinomus identiškus transformacijas, mes rasime kintamo vertės vertę S.

Per kintamąjį S. Mes žymėjome pirmojo kelio atstumą. Dabar mes radome šio kintamojo vertę. Kintamasis. \\ T S. lygus 15. Iki šiol atstumas yra 15 km.

Ir antrojo kelio atstumas, kurį mes išreiškėme per išraišką S.+ 3 ir nuo kintamojo vertės S. Dabar žinoma, galite apskaičiuoti antrojo kelio atstumą. Šis atstumas yra lygus 15 + 3, ty 18 km.

4 užduotis.. Greitkelyje yra du automobiliai su tuo pačiu greičiu. Jei pirmasis padidins greitį 10 km / h, o antrasis sumažins 10 km / h greitį, tada pirmasis praeis tiek, kiek antrasis 3 valandas. Su kokiu greičiu vyksta automobiliai?

Sprendimas Šis sprendimas

Žymi. \\ T v. Kiekvienos mašinos greitis. Be to, užduotis rodo nurodymus: pirmojo automobilio greitis padidinamas 10 km / h, o antrasis greitis yra sumažinti 10 km / h. Mes naudojame šį patarimą

Be to, teigia, kad tokiais greičiais (padidėjusi ir sumažinta 10 km / h), pirmasis automobilis praeis per 2 valandas tol, kol atstumas yra 3 valandos. Frazė "Kiek" gali būti suprantama kaip "Pirmoji mašina nuvažiuotas atstumas bus vienodai Atstumas keliavo antrajame įrenginyje ".

Atstumas, kaip mes prisimename, yra nustatomas pagal formulę. Mes esame suinteresuoti dešinėje šios raidės lygties pusėje - tai leis mums parengti lygtį, kurioje yra kintamasis v. .

Taigi, greičiu v + 10 km / h Pirmasis automobilis praeis 2 (V + 10) km ir antrasis bus perduotas 3 (V - 10) km . Su šia sąlyga mašina bus tokie patys atstumai, todėl pakanka derinti šias dvi lygybės lygybės išraiškas. Tada mes gauname lygtį. Aš jį išsprendžiu:

Užduočių būklė sakė, kad automobiliai eina tuo pačiu greičiu. Mes nustatėme šį greitį per kintamąjį v. . Dabar mes radome šio kintamojo vertę. Kintamasis. \\ T v. lygus 50. Taigi abiejų mašinų greitis buvo 50 km / h.

5 užduotis.. 9 valandas palei upę laivas yra toks pat, kaip 11 val. Raskite savo aukščio greitį, jei upės srautas yra 2 km / h.

Sprendimas Šis sprendimas

Žymi. \\ T v. Savo greitį laivo. Upės srauto greitis yra 2 km / h. Iki upės srauto, laivo greitis bus v + 2 km / h ir prieš dabartinę - (V - 2) km / h.

Atsižvelgiant į problemos būklę, sakoma, kad per 9 valandas palei upę variklis eina taip pat, kaip ir 11 valandų prieš dabartinę. Frazė "Taip pat" gali būti suprantama kaip "Per 9 valandas nuvažiavo laivas prie upės, vienodai Atstumas keliavo laivui prieš upės srovę 11 valandų. Tai yra, atstumai bus tokie patys.

Atstumas nustatomas pagal formulę. Mes naudojame dešinę šios abėcakuoto lygties pusę, kad komplikuotumėte savo lygtį.

Taigi, per 9 valandas upės srautu, variklis laivas praeis 9 (v + 2) km ir 11 valandų prieš dabartinę - 11 (V - 2) km. Kadangi abi išraiškos apibūdina tą patį atstumą, prilyginame pirmąją išraišką į antrą. Kaip rezultatas, mes gauname lygtį. Aš jį išsprendžiu:

Tai reiškia, kad jo laivo greitis yra 20 km / h.

Sprendžiant problemas su naudingu įpročiu yra iš anksto nustatyti, koks sprendimas ieško jo.

Tarkime, kad užduotis reikalaujama rasti laiko, už kurį pėsčiųjų bus įveikti nurodytą kelią. Mes paskyrėme laiką per kintamąjį t. Be to, buvo lygtis, kurioje yra šis kintamasis ir nustatė jo vertę.

Iš praktikos, mes žinome, kad objekto judėjimo laikas gali būti sveiki ir daliniai, pvz., 2 val., 1,5 valandos, 0,5 valandos. Tada mes galime pasakyti, kad šios problemos sprendimas ieškomas racionalių numerių rinkinio Q.Kadangi kiekviena iš 2 val, 1,5 valandos, 0,5 val. Gali būti pavaizduota kaip frakcija.

Todėl po nežinomos vertės buvo paskirta per kintamąjį, tai yra naudinga nurodyti, kuri nustatykite šią vertę priklauso. Mūsų pavyzdyje, laikas t. priklauso racionalių numerių rinkiniui Q.

t. ∈ Q.

Vis dar galite įvesti kintamojo ribą t. Nurodant, kad jis gali užtrukti tik teigiamas vertes. Iš tiesų, jei objektas, praleistas tam tikro laiko keliu, šis laikas negali būti neigiamas. Taip šalia išraiškos t.∈ Q. Mes nurodome, kad jos vertė turėtų būti didesnė nei nulis:

t.∈ R., t. > 0

Jei išspręsite lygtį, gausime neigiamą kintamojo vertę t. Tada bus galima daryti išvadą, kad užduotis išspręsta neteisingai, nes šis sprendimas neatitiks sąlygos t.∈ Q. , t.> 0 .

Kitas pavyzdys. Jei nusprendėme užduotį, kurioje buvo būtina rasti žmonių skaičių atlikti tam tikrą darbą, tada šį kiekį mes nurodėme per kintamąjį x. . Tokioje užduotyje sprendimas būtų ieškomas dėl natūralių skaičių rinkinio

x. ∈ N.

Iš tiesų, žmonių skaičius yra sveikas skaičius, pavyzdžiui, 2 žmonės, 3 žmonės, 5 žmonės. Bet ne 1.5 (vienas žmogus ir pusė asmens) arba 2.3 (du visos žmonės ir trys dešimtosios).

Čia būtų galima nurodyti, kad žmonių skaičius turėtų būti didesnis nei nulis, tačiau skaičiai įtraukti į daugelį natūralių skaičių N. Patys yra teigiami ir dideli nuliai. Šiame rinkinyje nėra jokių neigiamų skaičių ir numerių 0. Todėl išraiška x\u003e 0 negali rašyti.

6 užduotis.. Dėl mokyklos remonto atvyko brigadą, kuriame jis buvo 2,5 karto daugiau nei raguotojai nei dailidės. Netrukus Foremanas įtraukė dar keturis dailininkus į brigadą ir du dailidės, išversti į kitą objektą. Kaip rezultatas, brigados dailininkai pasirodė 4 kartus daugiau nei dailidės. Kiek rampų ir kiek dailidžių buvo iš pradžių

Sprendimas Šis sprendimas

Žymi. \\ T x. Dailidės, atvykstančios į remontą iš pradžių.

Dailidžių skaičius yra sveikas skaičius, didelis nulis. Todėl mes tai nurodome x. priklauso daug natūralių numerių

x.∈ N.

Malyarovas buvo 2,5 karto daugiau nei dailidės. Todėl dailininkų skaičius bus pažymėtas kaip 2.5x..

Ir dailininkų skaičius padidės 4

Dabar dailidių ir dailininkų skaičius bus paskirtas per šias išraiškas:

Pabandykime pateikti lygtį nuo esamų išraiškų:

Tinkamas dubuo yra daugiau, nes po to, kai įtraukimas į brigadą vis dar yra keturi kilimėliai, ir dviejų dailidžių judėjimas į kitą objektą, brigados dailininkų skaičius pasirodė 4 kartus daugiau nei dailidės. Norėdami išlyginti skales, reikia padidinti kairįjį puodelį 4 kartus:

Gauta lygtis. Aš jį išsprendžiu:

Per kintamąjį x. Nurodytas pradinis dailidžių kiekis. Dabar mes radome šio kintamojo vertę. Kintamasis. \\ T x. 8. SO 8 dailidės iš pradžių buvo brigadoje.

Ir žaliavų skaičius buvo paskirtas per išraišką 2.5 x. ir nuo kintamojo vertės x. Dabar tai yra žinoma, tada galite apskaičiuoti dailininkų skaičių - jis yra lygus 2,5 × 8, tai yra, 20.

Grįšime į užduoties pradžią ir įsitikinkite, kad laikoma sąlyga x.∈ N. Kintamasis. \\ T x. lygus 8, ir natūralių skaičių rinkinio elementai N. Tai yra visi skaičiai, prasidedantys 1, 2, 3 ir taip į begalybę. Tame pačiame rinkinyje yra 8 numeris, kurį radome.

8 ∈ N.

Tą patį galima pasakyti apie dailininkų skaičių. Numeris 20 priklauso natūralių numerių rinkiniui:

20 ∈ N.

Suprasti problemos esmę ir teisingą lygties sudarymą, nebūtina naudoti skalės modelio su dubenimis. Galite naudoti kitus modelius: segmentus, lenteles, schemas. Galite sugalvoti savo modelį, kuris gerai apibūdintų užduoties esmę.

9 užduotis.. 30% pieno mesti iš puodo. Kaip rezultatas, jis išlieka 14 litrų. Kiek pieno litrų iš pradžių buvo Bidone?

Sprendimas Šis sprendimas

Norima vertė yra pradinis litrų skaičius Bidone. Nuotraukos litrų skaičius linijos pavidalu ir pasirašykite šią eilutę kaip x

Sakoma, kad 30% pieno buvo išmestas iš puodo. Mes pabrėžiame maždaug 30% paveiksle

Procentas pagal apibrėžimą yra vienas šimtas. Jei buvo 30% pieno, likusieji 70% liko Bidone. Šie 70% ateina 14 litrų nurodyta užduotyje. Pažymėjome likusius 70% figūroje

Dabar galite sukurti lygtį. Prisiminkite, kaip rasti skaičių procentą. Už tai bendras skaičius kažką padalinto iš 100, o rezultatas padauginamas iš reikiamų procentų. Mes pastebime, kad 14 litrų sudaro 70% galima gauti taip pat: pradinio skaičiaus litrų X. padalintas iš 100 ir rezultatas yra padaugintas iš 70. Visa tai yra prilyginta numeriui 14

Arba gauti paprastesnę lygtį: 70% rašykite kaip 0,70, tada padauginkite x ir prilyginkite šią išraišką į 14

Taigi iš pradžių Bidone buvo 20 litrų pieno.

9 užduotis.. Jie paėmė du aukso ir sidabro lydinį. Viename iš šių metalų atžvilgiu yra 1: 9, o kitame 2: 3. Kiek kiekvienas lydinys turėtų gauti 15 kg naujo lydinio, kuriame auksas ir sidabras būtų traktuojamas kaip 1: 4?

Sprendimas Šis sprendimas

Pabandykime išsiaiškinti, kiek aukso ir sidabro bus įtraukta į 15 kg naujos lydinio. Užduotis sako, kad šių metalų kiekis turėtų būti 1: 4, ty viena lydinio dalis turi turėti auksą, o keturios dalys yra sidabro. Tada visos lydinio dalys bus 1 + 4 \u003d 5, o vienos dalies masė bus 15: 5 \u003d 3 kg.

Mes apibrėžiame, kiek aukso bus pateikta 15 kg lydinio. Dėl to 3 kg padauginkite pagal aukso dalių skaičių:

3 kg × 1 \u003d 3 kg

Mes apibrėžiame, kiek sidabro bus pateikta 15 kg lydinio:

3 kg × 4 \u003d 12 kg

Taigi, 15 kg masės lydinys bus 3 kg aukso ir 12 kg sidabro. Dabar grįžkime prie originalių lydinių. Naudokite kiekvieną iš jų. Žymi. \\ T x. Pirmojo lydinio masė ir antrojo lydinio masė gali būti žymimi po 15 - x.

Išreikškite visus ryšius, kurie pateikiami užduotyje ir užpildykite šiuos lentelę:

Pirmajame lydinyje, auksas ir sidabras yra susiję su 1: 9. Tada visos dalys bus 1 + 9 \u003d 10. Iš jų bus auksas ir sidabro .

Perkelkite šiuos duomenis į lentelę. 10% naršykite pirmoje eilutėje grafike "Aukso procentas lydlynai", 90% taip pat naršykite pirmoje stulpelio eilutėje "Sidabro procentinė dalis legiruotojo"ir paskutiniais skaičiais "Lengvojo lydinio masė" Padarykime kintamąjį x. Kadangi mes pažymėjome pirmojo lydinio masę:

Panašiai mes darome su antruoju lydiniu. Auksas ir sidabras į jį yra susiję su 2: 3. tada visos dalys bus 2 + 3 \u003d 5. Iš jų auksas bus ir sidabro .

Perkelkite šiuos duomenis į lentelę. 40% atneša antrą eilutę į stulpelį "Aukso procentas lydlynai", 60% taip pat naršykite antroje eilutėje "Sidabro procentinė dalis legiruotojo"ir paskutiniais skaičiais "Lengvojo lydinio masė" Leiskite išreikšti 15 - x. Kadangi mes pažymėjome antrojo lydinio masę:

Užpildykite paskutinę eilutę. Gautas lydinys, sveriantis 15 kg, bus 3 kg aukso, kuris yra lydinys ir sidabras Lydinys. Paskutiniais skaičiais parašykite guolio masę 15

Dabar pagal šią lentelę galite sukurti lygtis. Mes prisimenam. Jei atskirai pridedame abiejų lydinių auksą ir prilyginame šią sumą į aukso masę, gautą lydinį, mes galime sužinoti, kas yra lygi vertei x..

Pirmajame aukso lydinyje buvo 0,10 x. ir antrojo lydinio aukso buvo 0,40 (15 - x.). Tada gauname lydinio aukso masė bus pirmojo ir antrojo lydinio aukso masės ir šios masės masė yra 20% naujos lydinio. Ir 20% naujos lydinio yra 3 kg aukso, apskaičiuotas mums anksčiau. Kaip rezultatas, mes gauname lygtį 0,10x.+ 0.40(15 − x.) = 3 . Tegul ši lygtis:

Iš pradžių per x. Mes pažymėjome pirmojo lydinio masę. Dabar mes radome šio kintamojo vertę. Kintamasis. \\ T x. lygus 10. ir mes paskyrėme antrojo lydinio masę po 15 - x. ir nuo kintamojo vertės x. Dabar tai yra žinoma, tada galite apskaičiuoti antrojo lydinio masę, jis yra lygus 15 - 10 \u003d 5 kg.

Tai reiškia gauti naują lydinį, sveriantį 15 kg, kurioje auksas ir sidabras būtų traktuojamas kaip 1: 4, turite vartoti 10 kg pirmojo ir 5 kg antrojo lydinio.

Lygtis gali būti parengta naudojant antrąjį gautos lentelės stulpelį. Tada mes gautume lygtį 0,90x.+ 0.60(15 − x.) = 12. Šios lygties šaknis taip pat yra lygi 10

10 užduotyje.. Yra dviejų sluoksnių, kurių vario kiekis yra 6% ir 11%, rūda. Kiek jums reikia imtis prastos rūdos gauti, kai sumaišyti su turtingu 20 tonų su vario kiekiu 8%?

Sprendimas Šis sprendimas

Žymi. \\ T x. Prastos rūdos. Kadangi jums reikia gauti 20 tonų rūdos, tada turtinga rūda bus imtasi 20 - x. . Kadangi vario kiekis neturtingose \u200b\u200brūdose yra 6%, tada x. Grubus tonos bus 0,06 x. Ton varis. Turtingame rūdoje vario kiekis yra 11%, o 20 - x. tonų turtingų rūdų bus pateikta 0,11 (20 - x.) Vario tonų.

Gautame 20 tonų rūdos, vario kiekis turėtų būti 8%. Taigi 20 tonų vario rūdos bus 20 × 0,08 \u003d 1,6 tonų.

Motinavimo išraiškos 0,06. x. ir 0,11 (20 - x.) ir prilygina šią sumą iki 1,6. Mes gauname lygtį 0,06x +.0,11(20 − x.) = 1,6

Tegul ši lygtis:

Tai reiškia gauti 20 tonų rūdos su vario kiekiu 8%, jums reikia vartoti 12 tonų prastos rūdos. Turtingi bus imami 20 - 12 \u003d 8 tonų.

11 užduotis.. Didinant vidutinį greitį nuo 250 iki 300 m / min. Sportininkas pradėjo veikti atstumu už 1 min. Greičiau. Kas yra atstumo ilgis?

Sprendimas Šis sprendimas

Atstumo (arba atstumo atstumo) ilgis gali būti apibūdinamas pagal šią abėcėlės lygtį:

Mes naudojame dešinę šios lygybės pusę, kad sukurtume jūsų lygtį. Iš pradžių sportininkas bėgo nuo 250 metrų per minutę greičiu. Su šiuo greičiu, atstumo ilgis bus aprašytas išraiška 250 t.

Tada sportininkas padidino greitį iki 300 metrų per minutę. Su šiuo greičiu, atstumo ilgis bus aprašytas išraiška 300t.

Atkreipkite dėmesį, kad atstumo ilgis yra nuolatinė vertė. Nuo to, kad sportininkas padidins greitį arba sumažins jį, atstumo trukmė išliks nepakitusi.

Tai leidžia mums lyginti ekspresiją 250 t. 300 išraiškos. t. nes abi išraiškos apibūdina to paties atstumo ilgį

250t. = 300t.

Tačiau užduotis sako, kad 300 metrų greičiu per minutę sportininkas pradėjo greičiau paleisti 1 minutę atstumą. Kitaip tariant, esant 300 metrų per minutę greičiu, judėjimo laikas sumažės vienas. Todėl 250 lygtyje t.= 300t. Tinkamu laiku, kai reikia sumažinti įrenginį:

250 metrų greičiu per minutę sportininkas veikia per 6 minutes. Žinant greitį ir laiką, galite nustatyti atstumo ilgį:

S. \u003d 250 × 6 \u003d 1500 m

Ir 300 metrų greičiu per minutę sportininkas veikia atstumą t.- 1, tai yra per 5 minutes. Kaip minėta anksčiau, atstumo trukmė nepasikeičia:

S.\u003d 300 × 5 \u003d 1500 m

12 užduotis.. Rideras pasivijo pėsčiųjų, kuris yra 15 km priekyje. Po to, kiek valandų, vairuotojas pasivysto pėsčiųjų, jei kas valandą pirmieji diskai yra 10 km, o antrasis eina tik 4 km?

Sprendimas Šis sprendimas

Ši užduotis yra. Jis gali būti išspręstas nustatant suvokimo greitį ir skiriant pradinį atstumą tarp vairuotojo ir pėsčiųjų šiuo greičiu.

Ryšio norma nustatoma atimant mažesnį didesnį greitį:

10 km / h - 4 km / h \u003d 6 km / h (Ryšio greitis)

Kiekviena valanda, už 15 kilometrų nuo 6 km sumažės. Norėdami sužinoti, kada jis visiškai sumažėja (kai vairuotojas pasivysto pėsčiųjų), jums reikia 15 padalintų iš 6

15: 6 \u003d 2,5 val

2,5 c. Tai yra du sveikieji skaičiai ir pusvalandį. Ir pusvalandį yra 30 minučių. Taigi po 2 valandų 30 minučių vairuotojas vairuotų pėsčiųjų.

Aš išspręsiu šią problemą su lygtimi.

Po to, po jo, raitelis buvo išleistas 10 km / h greičiu. Ir pėsčiųjų greitis yra tik 4 km / h. Tai reiškia, kad po kurio laiko vairuotojas parodys pėsčiuosius. Šį kartą turime rasti.

Kai vairuotojas pasivijo pėsčiųjų, tai reiškia, kad jie išlaikė tą patį atstumą kartu. Rider ir pėsčiųjų nuvažiuotą atstumą aprašomas ši lygtis:

Mes naudojame dešinę šios lygybės pusę, kad sukurtume jūsų lygtį.

Ridai nuvažiuotą atstumą bus aprašyta išraiška 10 t. . Kadangi pėsčiųjų išėjo į vairuotoją prieš ir sugebėjo įveikti 15 km, tada jų perduotas atstumas bus aprašytas išraiška 4 t. + 15 .

Tuo metu, kai vairuotojas vairuos pėsčiųjų, abu bus perduoti tą patį atstumą. Tai leidžia mums prilyginti motociklininkų ir pėsčiųjų keliamus atstumus:

Paaiškėjo paprasčiausia lygtis. Aš jį išsprendžiu:

Užduotys savarankiškai sprendimus

Užduotis 1. Iš vieno miesto į kitą keleivinį traukinį ateina iki 45 minučių greičiau nei prekė. Apskaičiuotas atstumas tarp miestų, jei keleivių traukinio greitis yra 48 km / h, o komercinis 36 km / h.

Sprendimas Šis sprendimas

Traukinio greitis šioje užduotyje matuojami kilometrais per valandą. Todėl 45 minutės, nurodytos užduotyje, perkeliame į valandas. 45 min. Tai yra 0,75 valandos

Žymi laiką, už kurį prekybos traukinys ateina į miestą per kintamąjį t. . Kadangi keleivinis traukinys ateina į šį miestą 0,75 valandos greičiau, jo judėjimo laikas bus pažymėtas per išraišką t -0,75

Keleivinis traukinys į viršų 48 ( t -0,75) km ir prekyba 36 t. km. Kadangi kalbame apie tą patį atstumą, prilyginame pirmąją išraišką į antrą. Kaip rezultatas, mes gauname lygtį 48(t -0.75) = 36t. . Aš jį išsprendžiu:

Dabar apskaičiuojame atstumą tarp miestų. Dėl to prekybos traukinio greitis (36 km / h) bus protingesnis jo judėjimo metu t. Kintamos vertės t. Dabar žinoma - tai yra lygi trims valandoms

36 × 3 \u003d 108 km

Norėdami apskaičiuoti atstumą, galite naudoti keleivio traukinio greitį. Tačiau šiuo atveju kintamojo vertė

Kintamos vertės t. Vienodai 1.2. Taigi automobiliai susitiko 1,2 valandos.

Atsakymas:automobiliai susitiko 1,2 valandos.

7 užduotis. Trims augalų dirbtuvėse tik 685 darbuotojai. Antrajame seminare darbuotojai yra tris kartus daugiau nei pirmame, o trečiame - 15 darbuotojų mažiau nei antrajame seminare. Kiek darbuotojų kiekviename seminare?

Sprendimas Šis sprendimas

Leisti būti x. Darbuotojai buvo pirmame seminare. Antrajame seminare tai buvo tris kartus daugiau nei pirmojoje, todėl darbuotojų skaičius antrajame seminare gali būti žymimi per išraišką 3 x. . Trečiame seminare buvo 15 darbuotojų mažiau nei antrajame. Todėl trečiojo dirbtuvės darbuotojų skaičius gali būti žymimas 3 išraiška x -15 .

Užduotis sako, kad tik darbuotojai buvo 685. Todėl galite pridėti išraiškas x., 3x., 3x -15 ir prilygina šią sumą į numerį 685. Todėl gauname lygtį x +.3x + (3x -15) = 685

Per kintamąjį x. Nurodytas pirmojo dirbtuvės darbuotojų skaičius. Dabar mes radome šio kintamo vertės, jis yra lygus 100. Taigi pirmame seminare buvo 100 darbuotojų.

Antrajame seminare buvo 3 x. Darbuotojai, ty 3 × 100 \u003d 300. Ir trečiame seminare buvo 3 x -15, ty 3 × 100 - 15 \u003d 285

Atsakymas:pirmajame seminare buvo 100 darbuotojų, antroje - 300, trečioje - 285.

Užduotis 4. Du remonto dirbtuvės per savaitę turėtų pataisyti pagal planą 18 variklių. Pirmasis seminaras atliko 120% planą, o antrasis yra 125%, todėl 22 varikliai suremontuoti per savaitę. Kas planuojama remontuoti variklius savaitę turėjo kiekvieną seminarą?

Sprendimas Šis sprendimas

Leisti būti x. Varikliai turėjo pataisyti pirmąjį seminarą. Tada antrasis seminaras turėjo būti suremontuotas 18 − x.varikliai.

Kadangi pirmasis seminaras atliko savo planą 120%, tai reiškia, kad jis ištaisė 1.2 x. Varikliai. Ir antrasis seminaras atliko savo planą 125%, o tai reiškia, kad jis suremontuotas 1,25 (18 - x.) Varikliai.

Užduotis sako, kad 22 varikliai buvo suremontuoti. Taigi galite pridėti išraiškas 1,2x.ir 1,25 (18) - X.) , tada prilyginkite šią sumą į numerį 22. Kaip rezultatas, mes gauname lygtį 1,2x +.1,25(18 - X.) = 22

Per kintamąjį x. Variklių skaičius buvo pažymėtas, kuris buvo pataisyti pirmąjį seminarą. Dabar mes radome šio kintamo prasmę, jis yra lygus 10. Taigi pirmasis seminaras turėjo būti pataisytas 10 variklių.

Ir per išraišką 18 - x. Variklių, kurie turėtų pataisyti antrąjį seminarą, skaičius buvo pažymėtas. Taigi antrasis seminaras turėjo būti pataisytas 18 - 10 \u003d 8 variklių.

Atsakymas:pirmasis seminaras turėtų būti suremontuotas 10 variklių ir antrojo - 8 variklių.

Užduotis 5. Prekių kaina padidėjo 30% ir dabar yra 91 rublių. Kiek kainuoja prekes prieš didinant kainą?

Sprendimas Šis sprendimas

Leisti būti x. Rubliai kainuoja prekes prieš kainų padidėjimą. Jei kaina padidėjo 30%, tai reiškia, kad ji padidėjo 0,30 x. rublių. Po kainų padidėjimo produktas pradėjo kainuoti 91 rublių. Sumaišykite x nuo 0,30 x. ir prilygsta šioms sumoms iki 91. Todėl mes gauname lygtį Su skaičiumi sumažėjo 10%, jis pasirodė 45. Norėdami rasti pradinę skaičiaus vertę. x -

Atsakymas:norėdami gauti 12% druskos tirpalo, būtina pridėti 0,25 kg 20% \u200b\u200btirpalo iki 1 kg nuo 10% tirpalo.

12 užduotis. Pateikiamos du druskos tirpalai vandenyje, kurių koncentracijos yra lygios 20% ir 30%. Kiek kilogramų kiekvieno tirpalo turėtų būti sumaišoma viename laive, kad gautumėte 25 kg 25,2% tirpalo?

Sprendimas Šis sprendimas

Leisti būti x. Turi būti imtasi pirmojo sprendimo CG. Kadangi reikia paruošti 25 kg tirpalo, tada antrojo tirpalo masė gali būti paskirta per išraišką 25 - x.

Pirmajame tirpale bus pateikta 0,20 karto kg druskų, o antroji yra 0,30 (25 - x) kg druskų. Gautame tirpale druskos kiekis bus 25 × 0,252 \u003d 6,3 kg. Motinavimo išraiškos 0,20x ir 0,30 (25 - x), tada mes prilyginame šią sumą iki 6.3. Kaip rezultatas, mes gauname lygtį

Taigi pirmasis sprendimas, kurį reikia vartoti 12 kg, o antrasis - 12 \u003d 13 kg.

Atsakymas:pirmasis sprendimas, kurį reikia vartoti 12 kg, o antrasis 13 kg.

Ar jums patiko pamoka?
Prisijunkite prie naujos grupės VKONTAKTE ir pradėkite gauti pranešimus apie naujas pamokas

Tiesia lygtis plokštumoje.
Tiesioginis vadovas vektorius. Vektorius NARE.

Tiesia plokštumoje yra viena iš paprasčiausių geometrinių formų, pažįstamų nuo jaunesnių klasių, ir šiandien mes sužinome, kaip su juo susidoroti su analitinės geometrijos metodais. Norėdami įvaldyti medžiagą, turite sugebėti sukurti tiesią liniją; Žinokite, kokia lygtis yra tiesioginė, ypač tiesioginė, einanti per kilmę ir tiesiogines koordinates, lygiagrečiai koordinačių ašių. Šią informaciją galima rasti metoduose. Pagrindinių funkcijų diagramos ir savybėsAš jį sukūriau Mathan, tačiau skyriuje apie linijinę funkciją pasirodė esąs labai sėkmingas ir išsamus. Todėl, brangūs arbatžulės, pirmieji metmenys ten. Be to, turite turėti pagrindines žinias apie vectors.Priešingu atveju, medžiagos supratimas bus neišsamus.

Šioje pamokoje apsvarstysime būdus, su kuriais galite padaryti tiesioginę lygtį plokštumoje. Aš rekomenduoju nepaisyti praktinių pavyzdžių (net jei atrodo labai paprasta), nes pateiksiu jas pradiniais ir svarbiais faktais, ateityje reikiamų techninių metodų, įskaitant ir kitus aukštesnės matematikos skyrius.

• Kaip padaryti tiesią lygtį su kampiniu koeficientu?
• Kaip?
• Kaip rasti vadovo vektorių bendroje lygčių linijoje?
• Kaip padaryti, kad lygtis tiesiogiai taške ir normalaus vektoriaus?

ir mes pradedame:

Tiesia lygtis su kampiniu koeficientu

Vadinama garsaus "mokyklos" požiūriu į lygtį tiesia lygtis su kampiniu koeficientu. Pavyzdžiui, jei tiesiogiai apibrėžia lygtis, tada jo kampinis koeficientas :. Apsvarstykite šio koeficiento geometrinę reikšmę ir kaip jos vertė veikia tiesioginę vietą:

Geometrijos eiga tai įrodyta kampo koeficiento tiesioginis lygus liestinė angla tarp teigiamos ašies krypties ir tai tiesiogiai: Ir kampas yra "atsuktas" prieš laikrodžio rodyklę.

Kad nebūtų sankabos, aš atkreipiau kampus tik dviem tiesinėms linijoms. Apsvarstykite "raudoną" tiesiai ir jo kampo koeficientą. Pagal pirmiau minėtą: ("Alpha" kampas pažymėtas žalia lanku). Dėl "mėlynos" tiesiogiai su kampiniu koeficientu, lygybė yra teisinga ("beta" kampas nurodomas rudojo lanko). Ir jei žinomas kampo liestas, jei reikia, lengva rasti ir pats kampas Naudojant atvirkštinę funkciją - Arctanens. Kaip sakoma, trigonometrinis stalas arba mikrokalatūris. Šiuo būdu, kampinis koeficientas apibūdina pakreipimo laipsnį į abscisos ašį.

Šiuo atveju galimi atvejai:

1) Jei kampinis koeficientas yra neigiamas:, tada linija, maždaug kalbama, eina iš viršaus į apačią. Pavyzdžiai - "mėlyna" ir "aviečių" tiesiai ant piešinio.

2) Jei kampinis koeficientas yra teigiamas: tada linija eina į viršų. Pavyzdžiai - "juoda" ir "raudona" tiesiai ant piešinio.

3) Jei kampinis koeficientas yra nulis:, lygtis užima formą ir atitinkamą tiesią lygiagrečią ašį. Pavyzdys - "geltona" tiesiai.

4) tiesioginių, lygiagrečiųjų ašių šeimai (nėra pavyzdys brėžinyje, išskyrus pačią ašį), kampinis koeficientas neegzistuoja (Liestinė 90 laipsnių nėra apibrėžta).

Kuo daugiau modulio kampinio koeficiento, steigėjas eina tvarkaraštį tiesiogiai.

Pavyzdžiui, apsvarstykite du tiesius. Čia, todėl tiesia linija turi vėlesnį nuolydį. Primenu, kad modulis leidžia jums neatsižvelgti į ženklą, mes visi suinčiame absoliučios vertybės Kampiniai koeficientai.

Savo ruožtu, tiesus ryškus nei tiesioginis .

Atgal: mažiau modulio kampinio kampinio koeficiento, tuo geriau yra labiau paplitęs.

Tiesios linijos Todėl gana nelygybė, todėl tiesiog nukreipkite daugiau nei baldakimu. Vaikų skaidrė, kad nebūtų įdėti mėlynės ir spurgai.

Kodėl jums reikia?

Išplėskite savo žinias apie pirmiau minėtus faktus, leidžia nedelsiant pamatyti savo klaidas, ypač klaidas, kai statybos diagramos - jei paaiškėjo, kad "akivaizdu, kad kažkas negerai." Pageidautina jums nedelsiant Buvo aišku, kad, pavyzdžiui, tiesiai labai kietas ir eina į viršų, ir tiesiai - labai spalvą, glaudžiai nuspaustas į ašį ir ateina iš viršaus į apačią.

Geometrinėse užduotyse dažnai aprašomos kelios tiesios linijos, todėl jie yra patogiai žymi kažkuo.

Pavadinimas. \\ T: Tiesiogiai paskirtos mažos lotyniškos raidės :. Populiarus variantas yra tos pačios raidės pavadinimas su natūraliais pakaitiniais indeksais. Pavyzdžiui, tos penkios tiesios linijos, kurias mes ką tik apsvarstysime, gali būti žymimi .

Kadangi bet kokia tiesioginė yra unikaliai lemia dviejų taškų, tai gali būti žymimos šių punktų: ir tt Pavadinimas akivaizdžiai reiškia, kad taškai priklauso tiesiogiai.

Atėjo laikas šiek tiek sušilti:

Kaip padaryti tiesią lygtį su kampiniu koeficientu?

Jei taškas, priklausantis tam tikru tiesioginiam ir kampinio koeficiento šios tiesios linijos, šio tiesioginio lygties išreiškiamas formulė:

1 pavyzdys.

Padarykite tiesioginę lygtį su kampiniu koeficientu, jei žinoma, kad taškas priklauso šiai tiesiogiai.

Sprendimas Šis sprendimas: Lygtis tiesiogiai iki formulės . Tokiu atveju:

Atsakymas:

Patikrinti Jis atliekamas elementarus. Pirma, mes žiūrime į gautą lygtį ir įsitikinkite, kad mūsų kampinis koeficientas yra jo vietoje. Antra, taškų koordinatės turi atitikti šią lygtį. Pakeiskite juos į lygtį:

Gauta tinkama lygybė, tai reiškia, kad taškas atitinka gautą lygtį.

Produkcija: Lygtis yra teisinga.

Daugiau gudrybės pavyzdžių savikontrolėms:

2 pavyzdys.

Padaryti lygtį tiesiogiai, jei yra žinoma, kad jo polinkis į teigiamą kryptį ašies yra, ir taškas priklauso šiai linijai.

Jei sunku, perskaitykite teorinę medžiagą. Tiksliau, praktiškiau, daugelis įrodymų, kuriuos praleidžiu.

Paskutinis skambutis išsklaido, baigimo kamuolys susigrąžina, o analitinė geometrija laukia JAV gimtosios mokyklos vartuose. Anekdotai baigėsi ... Ir gal tiesiog pradėti \u003d)

Nostalgiškai, rankena yra pažįstama ir susipažinę su bendra lygtimi tiesiai. Kadangi analitinėje geometrijoje vyksta, tai yra:

Bendra lygtis yra forma:, kur yra tam tikri skaičiai. Tuo pačiu metu koeficientai tuo pačiu metu Nėra lygus nuliui, nes lygtis praranda savo prasmę.

Atidarykite kostiumą ir kaklaraištį su kampiniu koeficientu. Pirma, mes perkeliame visus komponentus į kairę:

Terminas su "XOM" turi būti įdėti į pirmąją vietą:

Iš esmės lygtis jau turi formą, bet pagal matematinio etiketo taisykles, pirmojo termino koeficientas (šiuo atveju) turi būti teigiamas. Pakeisti ženklus:

Prisiminkite šią techninę funkciją! Pirmasis koeficientas (dažniausiai) yra teigiamas!

Analitinėje geometrijoje lygtis tiesioginė beveik visada bus nurodyta apskritai. Na, jei reikia, tai lengva sukelti "mokyklos" protą su kampiniu koeficientu (išskyrus tiesiogines, lygiagrečias ordinato ašis).

Paklauskime manęs pakankamai Žinokite, kad sukurtumėte tiesiai? Du taškai. Bet apie šį orcupy atvejį vėliau, dabar jie valdo su rodyklėmis. Kiekvienas tiesioginis turi visiškai apibrėžtą nuolydį, kuriam lengva "pritaikyti" vector..

Vektorius, kuris yra lygiagretus, vadinamas tiesioginio linijos vadovo vektoriumi.. Akivaizdu, kad bet koks tiesioginis neabejotinai daugelis vadovų vektorių bus, ir jie visi bus collinear (nurodyta ar ne - nesvarbu).

Vadovo vektorius Aš nurodysiu taip :.

Tačiau vienas vektoriaus nepakanka statyti tiesią liniją, vektorius yra laisvas ir nėra susietas su bet kokiu plokštumos tašku. Todėl papildomai būtina žinoti tam tikrą tašką, kuris priklauso linijai.

Kaip padaryti, kad lygtis tiesiogiai ant taško ir kreipiamojo vektoriaus?

Jei yra žinomas tam tikras taškas, priklausantis tiesiai linijai, ir šios eilutės vadovaujamas vektorius, šio tiesioginio lygties gali būti sudarytas pagal formulę:

Kartais tai vadinama kanoninė lygtis .

Ką daryti, kada viena iš koordinatės lygus nuliui, žemiau esame praktiniuose pavyzdžiuose. Beje, pranešimas - abu kartus Koordinatės negali būti nuliui, nes nulinis vektorius nenurodo konkrečios krypties.

3 pavyzdys.

Padarykite lygtį tiesiai ant taško ir kreipiamojo vektoriaus

Sprendimas Šis sprendimas: Tiesioginė lygtis iki formulės. Tokiu atveju:

Naudojant proporcingo savybes, mes atsikratyti frakcijų:

Ir suteikti lygtį bendram protui:

Atsakymas:

Piešimas tokiais pavyzdžiais, kaip taisyklė, nereikia daryti, bet supratimo suvokimas:

Brėžinyje matome pradinį tašką, originalų vadovo vektorių (jis gali būti atidėtas iš bet kurio plokštumos taško) ir tiesioginis yra pastatytas. Beje, daugeliu atvejų, tiesioginio tiesioginio patogumo kūrimas turi būti atliekamas tik su lygtimi su kampiniu koeficientu. Mūsų lygtis yra lengva konvertuoti į formą ir lengviau pasirinkti kitą tašką statyti tiesią liniją.

Kaip pažymėta pastraipos pradžioje, tiesiogiai neabejotinai daugelio vadovų vektorių, ir visi jie yra collinear. Pavyzdžiui, aš atkreipiau tris tokias versijas: . Nepriklausomai nuo vadovo, kurį pasirinkome, visada gauname tą pačią lygtį.

Mes padarysime lygtį tiesiai ant taško ir kreipiamojo vektoriaus:

Mes sunaikiname proporciją:

Mes padaliame abi dalis -2 ir gauti pažįstamą lygtį:

Tie, kurie nori išbandyti vektorių taip pat Arba bet kuris kitas kollino vektorius.

Dabar nuspręsime:

Kaip rasti vadovo vektorių bendroje lygčių linijoje?

Labai paprasta:

Jei tiesiogiai pateikiamas bendra lygtis stačiakampio koordinačių sistemoje, vektorius yra šios linijos vadovo vektorius.

Nagrinėjamos tiesioginės vadovo vadovas:

Patvirtinimas leidžia jums rasti tik vieną kreipiamąjį vektorių nuo daugybės rinkinio, tačiau mums nereikia daugiau. Nors kai kuriais atvejais gido vektorių koordinatės patartina sumažinti:

Taigi, lygtis nurodo tiesioginį, kuris yra lygiagretus ašiai ir gauto gido vektoriaus koordinates patogiai padalintas iš -2, gauti tiksliai bazinę vektorių kaip kreipiamąjį vektorių. Logiška.

Panašiai lygtis nurodo tiesioginę, lygiagrečią ašį ir dalijant vektoriaus koordinates iki 5, mes gauname kaip vadovas vektoriaus ORT.

Dabar atliekama 3 pavyzdys.. Pavyzdys pakilo, todėl primindamas, kad į jį mes padarėme tiesią lygtį taške ir kreipiamąjį vektorių

Pirma, Atsižvelgiant į tiesioginę lygtį, atkurti savo gido vektorių: - Viskas yra gerai, gautas šaltinio vektorius (kai kuriais atvejais galima gauti collinear šaltinio vektorių, ir paprastai yra lengva pastebėti atitinkamų koordinačių proporcingumui).

Antra, Taškų koordinatės turi atitikti lygtį. Mes juos pakeisime į lygtį:

Gauta patikima lygybė, kurią mes labai džiaugiamės.

Produkcija: Užduotis daroma teisingai.

4 pavyzdys.

Padarykite lygtį tiesiai ant taško ir kreipiamojo vektoriaus

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Labai pageidautina patikrinti, ar tik aptartas algoritmas. Pabandykite visada (jei įmanoma) atlikite projekto patikrinimus. Tai kvaila, kad būtų išvengta klaidų, kuriose galima išvengti jų 100%.

Jei vienas iš vadovo vektoriaus nulio koordinatės yra labai tik:

5 pavyzdys.

Sprendimas Šis sprendimas: Formulė netinka, nes dešinės pusės vardiklis yra nulis. Yra išėjimas! Naudojant proporcingo savybes, perrašykite formulę formulę, ir toliau valcuoti palei giliai rupą:

Atsakymas:

Patikrinti:

1) Atkurti linijos vadovo vektorių:
- gautą vektorių kollinę originaliame vadovo vektoriuje.

2) pakeisti taško koordinates į lygtį:

Gauta patikima lygybė

Produkcija: Užduotis baigta teisingai

Yra klausimas, kodėl jis turi būti su formulė, jei yra universali versija, kuri veiks bet kuriuo atveju? Yra dvi priežastys. Pirma, frakcijos formos formulė daug geriau prisiminama. Ir, antra, visuotinės formulės trūkumas yra tai žymiai padidina riziką Pakeitus koordinates.

6 pavyzdys.

Padarykite lygtį tiesiai ant taško ir kreipiamojo vektoriaus.

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys.

Grįžkime prie "Omnipresent" dviejų taškų:

Kaip padaryti lygtį tiesiogiai dviem taškams?

Jei yra žinomi du taškai, tiesioginės einančios per duomenų duomenis lygtis gali būti sudaryta pagal formulę:

Tiesą sakant, tai yra formulė ir todėl: jei žinoma du taškai, vektorius bus tiesioginė šios eilutės linija. Pamokoje Vektoriai Mes apsvarstėme paprasčiausią užduotį - kaip rasti vektorinių koordinates palei du taškus. Pagal šią problemą vadovo vektoriaus koordinatės:

Pastaba : Taškai gali būti "pakeistos vaidmenys" ir naudoti formulę . Šis sprendimas bus lygiavertis.

7 pavyzdys.

Padarykite lygtį tiesiogiai palei du taškus .

Sprendimas Šis sprendimas: Mes naudojame formulę:

SACH reklamos:

Ir ištraukite denį:

Dabar patogu atsikratyti dalinių skaičių. Šiuo atveju jums reikia padauginti abi dalis iki 6:

Atskleisti skliaustelius ir atneškite lygtį:

Atsakymas:

Patikrinti Akivaizdu - pradinių taškų koordinatės turi būti patenkintos gauta lygtimi:

1) Pakeiskite taškų koordinates:

Tikra lygybė.

2) Pakeiskite taškų koordinates:

Tikra lygybė.

Produkcija: Lygtis yra tiesiogiai parengta teisingai.

Jeigu mažiausiai vienas Iš taškų neatitinka lygties, ieškokite klaidos.

Verta pažymėti, kad šiuo atveju grafinis patikrinimas yra sunkus, nes statyti tiesiai ir pažiūrėkite, ar jis priklauso jai , ne taip paprasta.

Atkreipsiu dėmesį į keletą techninių akimirkų. Galbūt ši užduotis yra pelningesnė naudoti veidrodžio formulę ir tuo pačiu taškais Padarykite lygtį:

Mažesnės frakcijos. Jei norite, galite išspręsti iki galo, kaip rezultatas, ta pati lygtis turėtų pasirodyti.

Antras dalykas yra pažvelgti į galutinį atsakymą ir įvertinti, ar vis dar lengva jį supaprastinti? Pavyzdžiui, jei lygtis pasirodė, patartina supjaustyti į du kartus čia: - lygtis nustatys tą patį tiesioginį. Tačiau tai yra pokalbio tema abipusia vieta.

Gavęs atsakymą 7 pavyzdyje, aš, tik tuo atveju, patikrinta, ar visi lygties koeficientai 2, 3 ar 7 nėra suskirstyti. Nors, dažniausiai tokios santrumpos yra vykdomos sprendimo metu.

8 pavyzdys.

Padaryti lygtį tiesiogiai einant per taškus .

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys, kuris leidžia jums geriau suprasti ir išspręsti skaičiavimų techniką.

Panašus į ankstesnę pastraipą: jei formulėje Vienas iš vardiklių (gido vektoriaus koordinatės) yra nulio nuliui, tada perrašykite jį į formą. Ir vėl pastebėkite, kaip nepatogu ir paini jis pradėjo atrodyti. Nematau jokios ypatingos prasmės duoti praktinius pavyzdžius, nes tokia užduotis mes jau iš tikrųjų aštrinti (žr. 5, 6).

Vektorius tiesiai normalus (normalus vektorius)

Kas yra normalu? Paprasti žodžiai, normalūs yra statmenai. Tai reiškia, kad įprastos tiesios tiesios statmenos šios linijos vektorius. Akivaizdu, kad bet koks tiesiogiai iš jų yra be galo daug (taip pat vadovų vektoriai), o visos tiesios stendų normos bus collinear (dengta ar ne - jokio skirtumo).

Išardymas su jais bus dar lengviau nei su vadovu:

Jei tiesiogiai pateikiami bendra lygtis stačiakampio koordinačių sistemoje, vektorius yra įprastos linijos vektorius.

Jei kreipiamųjų vektoriaus koordinatės turi švelniai "ištraukti" nuo lygties, normalaus vektoriaus koordinatės tiesiog "pašalinti".

Įprasto vektorius visada yra ortogoninis vadovas Vektorius tiesiai. Įsitikinkite, kad šių vektorių ortogoniškumo scalar darbas:

Aš duosiu pavyzdžius su tomis pačiomis lygtimis, kaip ir vadovo vektoriui:

Ar galima padaryti lygtį tiesiai, žinant vieną tašką ir normalaus vektorių? Jį jaučiamas chute. Jei vektorius yra žinomas, kryptis yra unikaliai apibrėžta, o tiesų kryptis yra "kietas dizainas" su 90 laipsnių kampu.

Kaip padaryti, kad lygtis tiesiogiai taške ir normalaus vektoriaus?

Jei žinomas tam tikras taškas, priklausantis tiesiai linijai, ir įprastas šio tiesios vektorius, šios tiesioginės lygtis yra išreikšta formulėje:

Visos kainos be frakcijų ir kitų nefansų. Tokie čia mes turime normalų vektorių. Mylėk jį. Ir pagarba \u003d)

9 pavyzdys.

Padarykite lygtį tiesiai ant taško ir normalaus vektoriaus. Raskite eilutės vadovo vektorių.

Sprendimas Šis sprendimas: Mes naudojame formulę:

Bendra lygtis yra tiesioginė, atlikite patikrinimą:

1) "Pašalinti" įprastos vektoriaus koordinates nuo lygties: - Taip, iš tiesų, šaltinio vektorius nuo būklės (arba "Collinear" šaltinio vektoriaus).

2) Patikrinkite, ar taškas atitinka lygtį:

Tikra lygybė.

Po to, kai mes įsitikinęs, kad lygtis yra teisingai, mes atliksime antrą, lengviau dalį užduoties. Patraukite linijos kreiptuvo vektorių:

Atsakymas:

Brėžinyje situacija atrodo taip:

Mokymo tikslais, panaši užduotis nepriklausomam sprendimui yra:

10 pavyzdys.

Padarykite lygtį tiesiai ant taško ir normalaus vektoriaus. Raskite eilutės vadovo vektorių.

Galutinė pamokos dalis bus skirta mažiau paplitusių, bet ir svarbių tipų tiesių lygčių plokštumoje

Lygtis yra tiesi segmente.
Tiesioginė lygtis parametrinėje formoje

Segmens tiesioginis lygtis turi vaizdą, kur ne nulinės konstantos. Kai kurios lygtys negali būti pateiktos šioje formoje, pavyzdžiui, tiesioginio proporcingumo (kaip laisvas narys yra nulis ir vienetas į dešinę yra negauta).

Tai, vaizdiškai kalbant, "techninis" lygties tipas. Įprasta užduotis yra užtikrinti, kad bendroji lygtis būtų tiesioginė pateikti tiesios lygties segmentuose forma. Kas tai yra patogu? Lygtis yra tiesi segmente leidžia greitai susikerta tiesiogiai su koordinatės ašimis, kurios yra labai svarbios kai kuriose aukštesnės matematikos užduotyse.

Raskite sankirtos tašką su ašimi. Aš iš naujo nustatau "Igrek", o lygtis užima formą. Norimas automatiškai gaunamas :.

Panašiai su ašimi - taškas, kuriame tiesi linija kerta ordinato ašį.

Šis straipsnis tęsia tiesioginę lygtį plokštumoje: apsvarstyti tokį lygtį, nes bendroji lygtis yra tiesi. Mes prašome teorijos ir pateikti savo įrodymus; Mes išsiaiškinsime, kad tokia neišsami bendra lygtis yra tiesi ir kaip atlikti perėjimus nuo bendros lygties į kitų tipų lygtis tiesiogiai. Visa teorija bus konsoliduota su iliustracijomis ir sprendžiant praktines užduotis.

Tarkime, ant lėktuvo, stačiakampio koordinačių sistema o x y yra pateikta.

1 teorija.

Bet kokia pirmojo laipsnio lygtis, turintys išvaizdą AX + iki + C \u003d 0, kai A, B, C - kai kurie galiojantys numeriai (A ir B nėra lygūs tuo pačiu metu nulis) apibrėžia tiesioginę liniją stačiakampio koordinačių sistemoje lėktuvas. Savo ruožtu, bet koks tiesioginis stačiakampio koordinačių sistemoje plokštumoje yra nustatomas pagal lygtį, turinčią vaizdą X + B Y + C \u003d 0 su kai kurių verčių A, B, C.

Įrodymai

nurodytą teorema susideda iš dviejų taškų, mes įrodysime kiekvieną iš jų.

1. Mes įrodome, kad X + B Y + C \u003d 0 lygtis nustato tiesioginę plokštumą.

Tarkime, kad yra šiek tiek m 0 taško (x 0, y 0), kurių koordinatės atitinka x + b y + c \u003d 0 lygtį. Taigi: x 0 + b m 0 + c \u003d 0. Atsižvelgiant iš kairės ir dešinės dalys lygtys Ax + iki + C \u003d 0 kairėje ir dešinėje pusėje lygties a x 0 + iki 0 + C \u003d 0, mes gauname naują lygtį, turinčią a (x - x 0 formą ) + B (y - y 0) \u003d 0. Jis atitinka x + B Y + C \u003d 0.

Gauta (x - x 0) + B (Y - Y 0) \u003d 0 lygiava yra būtina ir pakankama būklė vektorių n → \u003d (a, b) ir m 0 m → \u003d (x - x 0 , y - y 0). Taigi, taškų rinkinys m (x, y) nurodo stačiakampio formos koordinačių sistemą tiesia linija, statmena vektoriniam n → \u003d (a, b) krypčiai. Galime manyti, kad taip nėra, bet tada vektoriai n → \u003d (a, b) ir m 0 m → \u003d (x - x 0, y - y 0) nebūtų statmena ir lygybė a (x - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0 Tai nebūtų tiesa.

Todėl A (x - x 0) + B (Y - Y 0) \u003d 0 lygtis apibrėžia tam tikrą tiesioginį stačiakampio koordinačių sistemą plokštumoje, todėl lygiavertė lygtis X + iki + 0 nustato tą patį tiesioginį . Taigi mes įrodėme pirmąją teorijos dalį.

1. Mes pateikiame įrodymus, kad bet koks tiesioginis stačiakampio sistemos koordinatė gali būti nustatyta pirmojo laipsnio lygtimi X + B Y + C \u003d 0.

Nustatyti stačiakampio koordinačių sistemą plokštumoje tiesioginio a; Taškas m 0 (x 0, y 0), per kurį ši tiesioginė linija perduoda, taip pat normalus šio tiesioginio n → \u003d (a, b) vektorius.

Tarkime, taip pat yra m punktas (x, y) - plaukiojantis taškas yra tiesus. Šiuo atveju vektoriai n → \u003d (a, b) ir m 0 m → \u003d (x - x 0, y - y 0) yra statmena vieni kitiems, o jų skalaras produktas yra nulis:

n →, m 0 m → \u003d a (x - x 0) + b (y - y 0) \u003d 0

Aš perrašau a x + B Y 0 lygtį - a x 0 - b m 0 \u003d 0, mes apibrėžiame C: C \u003d - A x 0 - B Y 0 ir galutiniame rezultate mes gauname a x + b y + c \u003d 0 lygtį.

Taigi, mes įrodėme ir antrąją teorijos dalį ir įrodė visus apskritai teorijas.

Apibrėžimas 1.

Lygtis A x + b y + c \u003d 0 - tai yra bendra lygties tiesioginė Stačiakampio koordinačių sistemoje plokštumoje O x y.

Remdamiesi įrodyta teorema, galime daryti išvadą, kad tiesioginė linija ir jos bendroji lygtis, nurodyta fiksuotoje stačiakampio koordinačių sistemoje, yra neatskiriamai susiję. Kitaip tariant, pradinė eilutė atitinka jos bendrą lygtį; Bendroji lygčių linija atitinka nurodytą tiesioginį.

Nuo teorijos įrodymų taip pat reiškia, kad koeficientai A ir B su kintamaisiais ir Y yra normalios vektoriaus linijos koordinatės, kuri yra nustatyta pagal bendrą lygtį tiesioginio X + B Y + C \u003d 0.

Apsvarstykite konkretų bendrosios eilutės lygties pavyzdį.

Leiskite 2 x + 3 y - 2 \u003d 0 lygiaverčiai, atitinkanti tiesią liniją tam tikroje stačiakampio koordinačių sistemoje. Normalus vektorius Šis tiesus - tai vektorius N → \u003d (2, 3). Nuotraukos pateikta tiesia linija brėžinyje.

Taip pat galima teigti: Tiesioginis, kurį matome brėžinyje lemia bendrą 2 x + 3 Y - 2 \u003d 0 lygtį, nes visų nurodytų tiesioginių punktų koordinatės atitinka šią lygtį.

Mes galime gauti lygtį λ · a x + λ · b y + λ · c \u003d 0, abiem bendros lygties dalių padauginus į numerį λ, o ne lygus nuliui. Gauta lygtis yra lygi pirminei bendrai lygtinai, todėl bus aprašyta tą patį tiesioginį lėktuve.

2 apibrėžimas 2.

Visa bendra lygties tiesioginė - Tokia bendra lygtis yra tiesia X + B Y + C \u003d 0, kurioje numeriai A, B, su skirtingu nuo nulio. Priešingu atveju lygtis yra nebaigtas.

Mes analizuosime visus nebaigtos bendrosios linijos lygties variantus.

1. Kai a \u003d 0, ≠ 0, c ≠ 0, bendroji lygtis yra b y + c \u003d 0 forma. Tokia neišsami bendra lygtis nurodo stačiakampio koordinačių sistemoje O X Y Direct, kuris yra lygiagreti su engų ašimi, nes su bet kokia galiojanti vertė x, kintamasis y bus vertė - C b. Kitaip tariant, bendroji lygtis yra nukreipta X + B Y + C \u003d 0, kai A \u003d 0, ≠ 0, nustato geometrinę taškų (x, y), kurios koordinatės yra lygios to paties numerio - C b.
2. Jei a \u003d 0, ≠ 0, c \u003d 0, bendroji lygtis užtrunka y \u003d 0 formą. Tokia neišsami lygtis nustato abscissa ašį o x.
3. Kai a ≠ 0, b \u003d 0, c ≠ 0, mes gauname neišsamus bendrąją lygtį a x + c \u003d 0, nurodant tiesią, lygiagrečią ordinato ašį.
4. Leiskite a ≠ 0, b \u003d 0, c \u003d 0, tada neišsami bendra lygtis imsis formą x \u003d 0, ir tai yra koordinatės tiesiogiai lygtis.
5. Galiausiai, esant ≠ 0, ≠ 0, C \u003d 0, neišsami bendra lygtis užtrunka X + B Y \u003d 0 formą. Ir ši lygtis apibūdina tiesią liniją, kuri eina per koordinates kilmę. Tiesą sakant, skaičiaus pora (0, 0) atitinka lygybę a x + b y \u003d 0, nes a · 0 + b · 0 \u003d 0.

Mes grafiškai iliustruojame visas pirmiau minėtas nevisiškai bendros linijos lygtis.

1 pavyzdys.

Yra žinoma, kad nurodyta tiesia linija lygiagrečiai į ordinato ašį ir eina per 2 punktą, - 11. Būtina įrašyti bendrą nurodyto tiesioginio lygtį.

Sprendimas Šis sprendimas

Tiesi, lygiagrečioji ordinato ašis pateikiama pagal formos X + C \u003d 0 formos lygtį, kurioje a ≠ 0. Be to, sąlyga pateikiama pagal taško koordinates, kuriomis tiesiogiai ir šio punkto koordinatės atitinka neišsamios bendrosios lygties a x + c \u003d 0, i.e. Teisė lygybė:

A · 2 7 + c \u003d 0

Galima apibrėžti C, jei ji suteikia ne nulinę vertę, pavyzdžiui, A \u003d 7. Šiuo atveju mes gauname: 7 · 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Mes žinome abu koeficientus A ir C, mes juos pakeisime į X + C \u003d 0 lygtį ir gauname reikiamą lygtį: 7 x - 2 \u003d 0

Atsakymas: 7 x - 2 \u003d 0

2 pavyzdys.

Brėžinys rodo tiesią liniją, būtina įrašyti savo lygtį.

Sprendimas Šis sprendimas

Pirmiau pateiktas piešinys leidžia mums lengvai priimti šaltinių duomenis problemai išspręsti. Piešimo metu matome, kad nurodyta tiesi lygiagrečiai ašis o x ir eina per tašką (0, 3).

Tiesioginis, kuris yra lygiagretus abscisės akims, nustato neišsamią bendrąją B Y + C \u003d 0 lygtį. Raskite B ir C vertes. Taško koordinatės (0, 3), nes ji praeina tam tikrą tiesią liniją per jį, jie patenkins lygtį tiesiai B Y + C \u003d 0, tada lygybė yra lygybė: 3 + C \u003d 0. Nurodykite tam tikrą vertę, išskyrus nulį. Tarkime, \u003d 1, šiuo atveju nuo lygybės · 3 + c \u003d 0 mes galime rasti C: C \u003d - 3. Naudokite žinomas vertes į ir c, mes gauname reikiamą tiesioginę lygtį: Y - 3 \u003d 0.

Atsakymas: Y - 3 \u003d 0.

Bendra lygtis tiesiogiai eina per nurodytą plokštumos tašką

Leiskite nurodytam tiesioginiam važiavimui per M 0 (x 0, Y 0), tada jo koordinatės atitinka bendrą lygtį į liniją, t.y. Teisė lygybė: a x 0 + b m 0 + c \u003d 0. Mes atimame kairę ir dešinę šios lygybės dalis nuo kairės ir dešinės dalies bendros lygties. Mes gauname: a (x - x 0) + b (y - y 0) + c \u003d 0, ši lygtis yra lygiavertė pradiniam visai, eina per tašką m 0 (x 0, y 0) ir turi normalų vektorių n → \u003d (a, b).

Gauta rezultatas leidžia įrašyti bendrą tiesioginio lygties su gerai žinomomis tiesioginio tiesioginio vektoriaus koordinatėmis ir kai kurių šio tiesaus koordinatėmis.

3 pavyzdys.

Taškas m 0 (- 3, 4), per kurį tiesia linija ir įprastas šio tiesios vektorius N → \u003d (1, - 2). Būtina įrašyti tiesioginį lygtį.

Sprendimas Šis sprendimas

Pradinės sąlygos leidžia mums gauti reikiamus duomenis rengiant lygtį: a \u003d 1, b \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Tada:

A (x - x 0) + b (Y - Y 0) \u003d 0 ⇔ 1 · (x - (3)) - 2 · y (y - 4) \u003d 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 \u003d 0

Užduotis gali būti išspręsta kitaip. Bendra lygtis yra X + B Y + C \u003d 0 forma. Nurodytas normalus vektorius leidžia gauti koeficientų A ir B koeficientų vertes, tada:

A x + B Y + C \u003d 0 ⇔ 1 · x - 2 · Y + C \u003d 0 ⇔ X - 2 · Y + C \u003d 0

Dabar mes rasime reikšmę C, naudojant nurodytą užduoties sąlygą, taškas m 0 (- 3, 4), kuris yra tiesioginis. Šio taško koordinatės atitinka x - 2 · y + c \u003d 0, t.y. - 3 - 2 · 4 + c \u003d 0. Taigi C \u003d 11. Reikalinga lygties tiesioginė formą: X - 2 · Y + 11 \u003d 0.

Atsakymas: X - 2 · Y + 11 \u003d 0.

4 pavyzdys.

Tiesioginis 2 3 x - Y yra pateiktas - 1 2 \u003d 0 ir taškas m 0, gulėti ant šios tiesios linijos. Tik šio taško abscisa yra žinoma, ir ji yra lygi 3. Būtina apibrėžti nurodyto taško tvarką.

Sprendimas Šis sprendimas

Nurodykite taško koordinates paskyrimą M 0 kaip x 0 ir Y 0. Į šaltinių duomenys nurodoma, kad x 0 \u003d - 3. Kadangi taškas priklauso tam tikram tiesioginiam, o tai reiškia, kad jos koordinatės atitinka bendrą šios eilutės lygtį. Tada lygybė bus tiesa:

2 3 x 0 - Y 0 - 1 2 \u003d 0

Nustatykite y 0: 2 3 · (- 3) - Y 0 - 1 2 \u003d 0 ⇔ - 5 2 - Y 0 \u003d 0 ⇔ Y 0 \u003d - 5 2

Atsakymas: - 5 2

Perėjimas nuo bendrosios lygties yra tiesioginės į kitas lygtis tiesiogiai ir atgal

Kaip žinome, yra keletas tipų tos pačios ir tos pačios tiesioginės plokštumos tipai. Lygties požiūrio pasirinkimas priklauso nuo problemos sąlygų; Galima pasirinkti tą, kuris yra patogesnis jo sprendimui. Čia labai naudinga konvertuoti vienos rūšies lygtį į kitos rūšies lygtį.

Norėdami pradėti, mes manome, kad perėjimas nuo bendra lygties a x + B Y + C \u003d 0 į kanoninę lygtį X - X 1 a x \u003d Y - Y 1 a y.

Jei a ir ≠ 0, tada mes perduodame terminą B į dešinę bendrą lygtį. Kairėje dalyje mes išgyvename skliausteliuose. Kaip rezultatas, mes gauname: a x + c a \u003d - b y.

Ši lygybė gali būti parašyta kaip proporcija: X + C A - B \u003d Y a.

Tuo atveju, jei ≠ 0, mes paliekame kairėje lygties dalyje tik terminas A x, kitas perduodamas į dešinę, mes gauname: a x \u003d - B Y - c. Mes išgyventi - į skliaustelius, tada: a x \u003d - b y + c b.

Mes perrašome lygybę proporcingai: X - B \u003d Y + C B a.

Žinoma, įsiminti gautą formules nėra būtina. Pakanka žinoti veiksmų algoritmą pereinant nuo bendrosios lygties į kanoninę.

5 pavyzdys.

Bendroji lygtis yra 3 m - 4 \u003d 0. Būtina konvertuoti jį į kanoninę lygtį.

Sprendimas Šis sprendimas

Mes parašytume pradinę lygtį kaip 3 Y - 4 \u003d 0. Be to, mes elgiamės pagal algoritmą: terminas 0 x lieka kairėje dalyje; Ir dešinėje, mes išgyvename - 3 skliausteliams; Mes gauname: 0 x \u003d - 3 Y - 4 3.

Mes parašytume gautą lygybę kaip dalis: X - 3 \u003d Y - 4 3 0. Taigi, mes turime kanoninių rūšių lygtį.

Atsakymas: X - 3 \u003d Y - 4 3 0.

Norint paversti bendrą lygtį tiesiogiai į parametrinį, pirmiausia atlikti perėjimą prie kanoninės formos, o tada perėjimas nuo kanoninės lygties yra tiesioginis parametrų lygtis.

6 pavyzdys.

Tiesioginė yra 2 x - 5 Y - 1 \u003d 0 lygtis. Įrašykite šios tiesios linijos parametrines lygtis.

Sprendimas Šis sprendimas

Mes atliekame perėjimą nuo bendrosios lygties į kanoninę:

2 x - 5 m - 1 \u003d 0 ⇔ 2 x \u003d 5 Y + 1 ⇔ 2 x \u003d 5 Y + 1 5 ⇔ x 5 \u003d Y + 1 5 2

Dabar mes imsimės abiejų gautos kanoninės lygties dalių, lygios λ, tada:

x 5 \u003d λ y + 1 5 2 \u003d λ ⇔ x \u003d 5 · λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ r

Atsakymas: x \u003d 5 · λ y \u003d - 1 5 + 2 λ, λ ∈ r

Bendroji lygtis gali būti konvertuojama į tiesios linijos lygtį su kampiniu koeficientu Y \u003d K · X + B, bet tik tada, kai ≠ 0. Pereiti prie kairiosios dalies, mes paliekame terminą B, likęs perduodamas į dešinę. Mes gauname: B y \u003d - a x - c. Mes padalijome abi lygybės dalis, gautą B, skiriasi nuo nulio: Y \u003d - A B X - C b.

7 pavyzdys.

Bendra lygtis yra nustatyta: 2 x + 7 m \u003d 0. Būtina konvertuoti lygtį į lygtį su kampiniu koeficientu.

Sprendimas Šis sprendimas

Gaminsime būtinus veiksmus algoritmu:

2 x + 7 m \u003d 0 ⇔ 7 m - 2 x ⇔ Y \u003d - 2 7 x

Atsakymas: Y \u003d - 2 7 x.

Iš bendrosios lygties tiesioginė yra pakankama tiesiog gauti lygtį segmentuose x A + Y B \u003d 1. Norėdami atlikti tokį perėjimą, mes perkeliame numerį C į dešinę lygybės dalį, mes padalijame abi gautos lygybės dalis - C ir, galiausiai, mes perkeliame koeficientus su kintamaisiais X ir Y:

X + B Y + C \u003d 0 ⇔ A x + B Y \u003d - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C Y \u003d 1 ⇔ X - C A + Y - C B \u003d 1

8 pavyzdys.

Būtina transformuoti bendrą lygtį X - 7 Y + 1 2 \u003d 0 į lygtį tiesiogiai segmentuose.

Sprendimas Šis sprendimas

Perkeliame 1 2 į dešinę pusę: X - 7 Y + 1 2 \u003d 0 ⇔ X - 7 Y \u003d - 1 2.

Mes padalijame -1/2 abi lygybės dalis: X - 7 m \u003d - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 Y \u003d 1.

Atsakymas: X - 1 2 + Y 1 14 \u003d 1.

Apskritai, grąžinimo perėjimas taip pat yra: nuo kitų lygčių tipų bendrai.

Lygtis yra tiesioginė segmentuose ir lygtis su kampiniu koeficientu, kuris turi būti lengvai konvertuojamas į bendrą, paprasčiausiai surinkdami visas sąlygas kairėje lygybės dalyje:

x A + Y B ⇔ 1 A x + 1 B Y - 1 \u003d 0 ⇔ A x + B Y + C \u003d 0 y \u003d k x + b ⇔ Y - k x - b \u003d 0 ⇔ a x + b y + c \u003d 0

Kanoninė lygtis konvertuojama į bendrą šią schemą:

x - x 1 AX \u003d Y - Y 1 AY ⇔ AY · (x - x 1) \u003d AX (Y - Y 1) ⇔ ⇔ Ayx - Axy - Ayx 1 + Axy 1 \u003d 0 ⇔ A x + B Y + C \u003d 0.

Norėdami pereiti nuo parametrų, perėjimą prie kanonijos, o tada iki viso:

x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ⇔ a x + b y + c \u003d 0

9 pavyzdys.

Parametrinės lygtys yra nustatytos tiesiai X \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4. Būtina įrašyti bendrą šios eilutės lygtį.

Sprendimas Šis sprendimas

Atliekame perėjimą nuo parametrų lygčių į kanoninę:

x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4 ⇔ x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d 4 + 0 · λ ⇔ λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 4 0 ⇔ x + 1 2 \u003d Y - 4 0

Eikime iš kanonijos iki viso:

x + 1 2 \u003d Y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) \u003d 2 (Y - 4) ⇔ Y - 4 \u003d 0

Atsakymas: Y - 4 \u003d 0

10 pavyzdys.

Lygtis yra nustatyta į liniją segmentuose x 3 + Y 1 2 \u003d 1. Būtina atlikti perėjimą prie bendro lygties tipo.

Sprendimas:

Tiesiog perrašykite lygtį reikiama forma:

x 3 + y 1 2 \u003d 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0

Atsakymas: 1 3 x + 2 y - 1 \u003d 0.

Parengti bendrą tiesioginę lygtį

Pirmiau, mes kalbėjome apie tai, kad bendroji lygtis gali būti parašyta gerai žinomais normalaus vektoriaus koordinatėmis ir taško koordinatėmis, per kurias yra tiesios linijos perdavimai. Toks tiesioginis nustatomas pagal A (x - x 0) + B lygtį (Y - Y 0) \u003d 0. Mes taip pat išmontavome tinkamą pavyzdį.

Dabar apsvarstykite sudėtingesnius pavyzdžius, kuriuose pradžioje būtina nustatyti normalaus vektoriaus koordinates.

11 pavyzdys.

Tiesia linija, lygiagrečiai nukreipti 2 x - 3 Y + 3 3 \u003d 0. Taip pat žinomas m 0 (4, 1) taškas, per kurį eina nurodyta tiesi linija. Būtina įrašyti tiesioginį lygtį.

Sprendimas Šis sprendimas

Pradžios sąlygos mums pasakoja, kad tiesūs lygiagretai, o normalus vektorius yra tiesus, kurio lygtis yra reikalinga rašyti, imtis kreipiamąjį vektoriaus tiesioginį n → \u003d (2, - 3): 2 x - 3 Y + 3 3 \u003d 0 . Dabar mes žinome visus reikalingus duomenis, kad parengtų bendrą eilutės lygtį:

A (x - x 0) + b (Y - Y 0) \u003d 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (Y - 1) \u003d 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 \u003d 0

Atsakymas: 2 x - 3 m - 5 \u003d 0.

12 pavyzdys.

Nurodytas tiesioginis eina per koordinates, statmenos tiesia linija X - 2 3 \u003d Y + 4 5. Būtina pateikti bendrą tam tikros tiesios linijos lygtį.

Sprendimas Šis sprendimas

Normalus vektorius nurodyta tiesiai bus tiesioginis vektorinis tiesioginis X - 2 3 \u003d Y + 4 5.

Tada n → \u003d (3, 5). Tiesioginiai eina per koordinačių kilmę, t.y. per O tašką (0, 0). Padarykime bendrąją lygtį tiesiogiai:

A (x - x 0) + b (Y - Y 0) \u003d 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (Y - 0) \u003d 0 ⇔ 3 x + 5 y \u003d 0

Atsakymas: 3 x + 5 y \u003d 0.

Jei pastebėsite klaidą tekste, pasirinkite jį ir paspauskite Ctrl + Enter

VI departamentas.

Lygčių transformavimas.

___________

1 laipsnių lygčių sprendimas ir rinkimas

§ 5. Parengti lygtį su vienu nesusijusiomis.

Bet kokia aritmetinė užduotis yra tai, kad ne stipriuose patikrinimuose ir pagal šiuos santykius tarp šių nemokamų vertybių ir kitų, nežinomų, nėra rasti. Algebra suteikia ypatingą būdą rezervuoti aritmetines užduotis. Šis metodas grindžiamas tuo, kad žodžiu ryškios aritmetinių užduočių sąlygos gali būti išverstos į algebrinę kalbą, t. Y. Išreiškė algebraich formules.

Žodžių vertimas ir išraiškingos sąlygos, susijusios su algebrinės kalbos apskritai, vadinama formula.

Remiantis problemos sąlygomis, lygtis su vienu nežinoma reiškia, kad tai yra tokia verčia šias sąlygas algebrine kalba, kad visą šių sąlygų rinkinį išreiškė viena lygtis, kuri yra viena nežinoma. Dėl to būtina, kad atskirtų problemų, nepriklausomų nuo problemos sąlygų, skaičius yra lygus nežinomo joje.

Stebėti ypatingą įvairovę, gaunant šias užduotis, kurios atitiks šias užduotis, yra labai įvairi. Bendrosios taisyklės dėl grynųjų lygčių sudarymo. Tačiau yra viena bendroji nuoroda, kuri veda mūsų argumentus, kai mes išversti už algebrinės kalbos užduoties sąlygas ir leidžia mums nuo argumento pradžios eiti į galutinio CE. Tai yra bendra nuoroda arba bendrasis lygties sudėties principas, išreiškiame grobį:

Norėdami užpildyti užduoties sąlygas, lygtis su vienu nežinomu, jums reikia:

1) Pasirinkite tarp nežinomo, kuris yra užduotyje arba tiesiogiai nurodytas, arba reiškia, kad kažkas priimtina pirmajam, ir paskirti jį suvienyti į tam tikrą laišką, pavyzdžiui, h. ;

2) per šį pavadinimą ir pavadinimus, užduotį, išreikšti visas vertes, kurios yra tiesiogiai kalbama, arba tai yra numanoma, stebint tokių išraiškų parengimą palaipsniui atsižvelgiama į visus duomenis į visus duomenis numeris ir visi susiję su Dainu ar nežinomomis sąlygomis;

3) Tokio visų sąlygų dalyvavimo postas, skirtas surašyti arba tiesiog įrašyti dviem atvejais, kurie pagal vieną iš šių sąlygų turėtų būti lygi tarpusavyje, ir prekiauti šiomis išraiškomis yra lygybės ženklas.

Priimkite šį principą siųsti dvi užduotis:

1 užduotis I. Vienos piniginės monetų skaičius yra dvigubai mažesnis, net ir kitoje. Jei nustatote iš pirmųjų šešių monetų, o antra, pridėti aštuonias monetas, tada COes skaičius pirmiausia bus septynis kartus Meee, Chem. Sužinokite, kiek monetų kiekvienoje piniginėje?

Ši užduotis yra pastebima arba ne daug nežinomų verčių. Mes imsimės pirmojo nežinomo skaičiaus tarpusavio piniginės monetų ir. \\ T x. Skatinsime visų vertybių, kurioms yra užduoties sąlygos, reikšmė.

Kolegos piniginės skaičius yra h. . Prisiminkite monetų skaičių antroje ir pirmojoje piniginėse 2 . Taigi antrosios katės monetų skaičius 2x.

Iš bendro, išimkite 6 Mone. Todėl pirmojoje katė išliks nuosekli h. -6 .

Antrajame pridėjime 8 monetos. Todėl antrojoje piniginėje bus monetos 2h. +8 . Naujasis ryšys tarp antrosios ir pirmosios piniginės monetų skaičiaus. Jis taip pat yra lygus 7 . Šiuo pagrindu lygtis atliekama sprendžiant, kuris gauname x \u003d. 10 , po to neįmanoma nustatyti kito nežinomo, apie kurį čia paminėjome.

Jei buvo priimta už pirmąjį nežinomą antrosios piniginės monetų skaičių ir paskiria jį atskirti nuo ankstesnio pavadinimo w. , kaip lengva tai lengva padaryti paaiškinama, kad ji yra kita lygtis, tai yra ( w. + 8 ):( w. / 2 -6 )=7 kuri taip pat leidžia užduoties ir pateikia atsakymą w.=20 .

Būtų galima paimti Monvt numerio skaičių pirmajame piniginėje po to, kai jis buvo išjungtas iš pirmųjų nežinomų. 6 monetos; Tada, žymi jį nežinoma z. ir vyksta taip pat, kaip mes vaikščiojome rengiant pirmąją lygtį, mes gautume lygtį Nuo! z. = 4 .

Tačiau būtų galima pakeisti lygties kelią, pavyzdžiui, tai, kad pirmiausia atsižvelgtume į modifikuotą ryšį tarp monetų skaičiaus ir lygties sudarymo būtų pagrįsta tuo, kas žinoma apie tai, kas žinoma apie tai pradinis ryšys. Šiuo atveju lygties sudarymas būtų atliktas taip:

Pirmos piniginės monetų skaičius po skaičiavimo yra z. . Posted. 6 monetos. Taigi pradinis pirmosios piniginės monetų skaičius z +.6. Modifikuotas ryšys tarp monetų skaičius 7 . Todėl modifikuotas antrosios piniginės monetų skaičius 7z. Pridėta 8 monetos. Todėl pradinis antrosios piniginės monetų skaičius 7z. - 8 . Pradinis ryšys tarp monetų skaičiaus yra lygus 2 . Tuo remiantis turime bendrai lygtį su ankstesniu, nors ir skiriasi nuo jo.

Jei tai vyksta antrą kelią, priėmėme pirmąjį nežinomą antros piniginės monetų skaičių po to, kai jį pridėjote prie jo 8 monetos, tada, žyminčiais tai nežinoma dėl skirtumų ir. \\ T gauti lygtį ( ir. \\ T -8 ):( ir. \\ T / 7 + 6 )=2 Nuo! ir. \\ T =28 .

Šie paaiškinimai rodo, kad vadovaujasi ta pačia bendra taisyklė dėl lygčių rengimo, mes vis dar gauname įvairius būdus kiekvienoje užduotyje pasiekti šį tikslą. Geriausias būdas yra tas, kuris lengviau išreiškia užduoties sąlygas ir greičiau tiek su kompiliacija ir išsprendžia lygtį. Šiuo atveju pirmasis ir trečiasis metodai yra vienodai patogūs išspręsti lygtį, tačiau pirmasis vis dar yra paprastesnis ir todėl geriau nei kiti.

Taikant nurodytą lygčių rengimo taisyklę, reikia prisiminti, kad bet kuriuo atveju turėtų būti atsižvelgiama į EADCHA tikslumą, reikia atsižvelgti į kiekvieną numerį ir kiekviena iš ryškių sąlygų.

Užduotis 2. Nuo miesto Bet Išeina keliautojas, einantis dieną 20 Turi. Po dviejų dienų jis išeina iš miesto Į kitas keliautojas, kuris kasdien eina 30 Turi. Atstumas tarp. \\ T Bet ir. \\ T Į vienodai 190 Turi. Ar tai prašoma, kada ir kur abu keliautojai susitiks?

Pirmasis būdas. Mes priimsime pirmąjį nežinomą pirmojo keliautojo judėjimo laiką nuo išėjimo iš Bet prieš susitikimą ir per paskutinę sąlygą, kad atstumas tarp Bet ir. \\ T Į vienodai 190 Turi. Tada motyvavimas bus toks:

Iirolims, kad pirmasis nuėjo į susitikimą h. dienų. Kiekvieną dieną jis praėjo 20 Turi. Taigi jis praėjo viską 20h. Turi.

Antrasis atėjo vėliau 2 dieną. Taigi jis vaikščiojo į susitikimą h. -2 dieną. Kiekvieną dieną jis praėjo 30 Turi. Todėl jis praėjo viską 30 (h. -2 ) Turi. Kartu abu keliautojai praėjo [ 20h. + 30 (h. -2 )]. Visas atstumas tarp. \\ T Bet ir. \\ T Į vienodai 190 Turi. Šiuo pagrindu mes randame lygtį

20h. + 30 (h. -2 ) =190 ,

nuo. x \u003d.5 . Iš to matome, kad pirmasis keliautojas vaikščiojo 5 dienų ir praėjo 100 mylių, antroji vaikščiojo 3 diena ir praėjo 90 Turi.

2 kelias. Mes imsime pirmąjį nežinomą atstumą, kurį keliavo pirmasis keliautojas iš išvykimo į susitikimą, o paskutine sąlyga, kad antrasis keliautojas atėjo vėliau nei pirmoji 2 dieną. Tada argumentavimas elgsis taip:

Manome, kad pirmasis nuėjo į susitikimą w. Turi. Kiekvieną dieną jis praėjo 20 Turi. Taigi jis vaikščiojo viską w. / 20 dienų.

Antrasis praėjo visas ( 190 -w. ) Turi. Kiekvieną dieną jis praėjo 30 Turi. Taigi jis vaikščiojo tik dienomis.

Skirtumas tarp abiejų abiejų judėjimo laiko ir yra lygus 2 . Todėl mes randame lygtį Nuo! w. =100 .

3-asis būdas. Pirmasis nežinomas yra antrojo keliautojo judėjimo laikas nuo išėjimo iš Į Pažvelkite, kad paskutinė sąlyga yra ta, kad pirmasis papildymas praeina kasdien 20 Turi.

Įdėjome, kad antrasis eina į susitikimą z. dienų. Taigi pirmasis bus praeis ( z. +2 ) diena. Kasdien 30 VERTICK, antrasis bus viskas 30z. Turi. Kadangi abu reikia eiti 190 tada pirmiausia išliks ( 190 -30z. ) Turi. Norėdami tai padaryti, jis turėtų kasdien daryti Verst. Kadangi ši išraiška yra lygi 20 Tada gaunama lygtis, iš kur z \u003d 3.

4-asis būdas.Pirmasis nežinomas yra antrojo keliautojo keliaujančio atstumas į susitikimą, paskutinė sąlyga yra ta, kad antrasis eina per pirmojo pirmojo 10-ųjų versijas.

Manome, kad antrasis praėjo susitikimui ir. \\ T Turi. Tai reiškia, kad pirmasis dar liko ( 190 -ir. \\ T ) Turi. Nuo to laiko iki antrojo išleidimo jis jau praėjo 40 Akių, tada po antrojo išleidimo jis vis dar galėjo eiti ( 150 -ir. \\ T ) Turi. Atstumų, praeinančių vienu metu skirtumas su abiem, yra ( 2ir. \\ T-150 ) Turi. Jų bendras judėjimas yra ir. \\ T / 30 dienų. gyvas, antroji diena eina daugiau nei pirmoji ( 2ir. \\ T-150 ) : ir. \\ T / 30 Turi. Kadangi ši išraiška yra lygi 10 , tada gauti lygtį ( 2ir. \\ T-150 ) : ir. \\ T / 30 =10 kuri suteikia ir. \\ T = 90 .

Ankstesni paaiškinimai rodo, kad lygčių rengimo metodų įvairovė toje pačioje užduotyje priklauso nuo nuosekliai žymių verčių tvarkos ir nuosekliai atsižvelgiama į sąlygas.

231. Du veidai turi 38 rubes kartu, o pirmosios 6-osios taisyklės turi daugiau pinigų nei antroji. Kiek pinigų iš kiekvieno?

231. Du veidai turi 114 rublių kartu, o pirmos 18-osios taisyklės turi daugiau pinigų nei antroji. Kiek pinigų visiems?

232. Viename langų lange 15 mažiau nei kitoje vietoje, abiejuose namuose 51 languose. Kiek langų kiekviename?

232. Viename langų lange 6 mažiau nei kitoje; Iš viso abiejuose namuose 62 languose. Kiek langų kiekviename?

233. Dviejose piniginėse yra 81 rublių. Pirmieji pinigai yra du kartus mažesni nei antrajame. Kiek pinigų kiekviename?

233. Yra 72 rubliai dviem piniginėmis. Pirmieji pinigai yra penkis kartus mažesnis nei antrajame. Kiek pinigų kiekviename?

234. Tėvas yra vyresnis už sūnų kelionę, o abiejų jų suma yra 48 metai. Nustatyti abiejų amžiaus.

234. Tėvas yra vyresnis nei sūnus per pusę, o tiek metų suma yra lygi 13 metų. Nustatyti abiejų amžiaus.

235. Sūnus yra jaunesnis nei visi, o jų metų skirtumas yra lygus 27 metus. Kiek miršta?

235. Sūnus jaunesnis nei tėvo tėvas, ir skirtumas yra 32 metai. Kiek senas yra kiekvienas?

236. Trys krepšeliuose yra 47 obuoliai ir pirmoje ir antroje eilėje, o trečiame - 2 obuoliai daugiau nei kiekvienas iš kitų. Kiek obuolių kiekviename krepšyje?

236. Trys krepšeliuose yra 110 obuolių, o pirmame ir trečiame lygyje, o antrajame - 4 obuolių mažiau nei kiekvienoje iš kitų. Kiek obuolių kiekviename krepšyje?

237. Trys sidabro vienetai sveria 48 svarų. Pirmasis yra sunkesnis nei 12 f., O trečiasis sunkesnis pirmųjų 9 svarų. Kiek kiekviena dalis sveria?

237. Trys sidabro svoros sveria 33 f .. Pirmasis yra pirmasis iš antrosios per 5 svarų, o trečiasis yra lengviau pirmuoju iki 2 svarų. Kiek kiekviena dalis sveria?

238. Sūnus jaunesnis nei tėvas 20 metų ir vyresnio amžiaus dukra 5 metus. Visi treji metai suma yra lygi 60 metų. Kaip senas yra kiekvienas

238. Motina yra vyresnė nei sūnus 21 metus ir jaunesniems nei tėvas 7 metus. Iš visų trijų metų suma yra lygi 64 metų. Kiek senas yra kiekvienas?

239. Trys lentynos yra tik 66 knygos ir apačioje tris kartus, o viduryje du kartus daugiau nei viršuje. Kiek knygų apie kiekvieną lentyną?

239. Trims lentynose yra tik 60 knygų ir šešis kartus daugiau nei penkis kartus daugiau nei vidutiniškai daugiau nei vidutinis. Kiek knygų apie kiekvieną lentyną?

240. Miško, sodo ir pievos stovas kartu 10800 p .. Meadow yra brangesnis nei sodas 2 kartus, o miškas yra brangesnis nei pievos tris kartus. Kas yra kiekvienas iš jų atskirai?

240. Miško, sodo ir pievos stovas kartu 17600 p. Miškas yra brangesnis už sodą 3 kartus, o miško laužas 4 kartus. Kas yra kiekvienas iš jų atskirai?

241. Padalinkite numerį 21 į dvi dalis, kad pirmosios dalies dalis į antrą yra frakcija 3/4.

241. Padalinkite numerį 48 į dvi dalis, antrosios dalies pasirinkimo taškas pirmą kartą buvo antros dalies rezultatas pirmuoju rezultatu.

242. Padalinkite numerį 88 į tokias dvi dalis, kad privatiems iš pirmosios dalies padalijimo 5, o antra - 6 buvo lygūs.

242. Padalinkite numerį 55 į tokias dvi dalis taip, kad privatiems iš pirmosios dalies padalijimo 7, a. Antrasis buvo lygus 4.

243. Dviejų numerių suma 85 ir jų skirtumas 15. Rasti abu numerius.

243. Dviejų numerių suma 72 ir jų skirtumas 8. Rasti abu numerius.

244. Dviejų numerių 8 skirtumas, o daugkartinis jų santykis yra 3/2 frakcija. Padidinkite šiuos numerius.

244. Dviejų numerių skirtumas 12, o daugkartinis jų santykis yra frakcija 5/3. Rasti šiuos numerius.

245. Padalinkite numerį 46 į dvi valandas taip, kad skirtumas tarp privataus iš pirmosios dalies padalijimo iki 3 iki 7 iki 7 buvo 2.

245. Atskirkite numerį 59 į dvi dalis, kad pirmosios dalies padalijimo skirtumas iki 3 iki 5 iki 5 yra 1.

246. Padalinkite numerį 75 į dvi dalis, kad didžioji dalis trijų skirtumų tarp abiejų dalių.

246. Atskirkite numerį 56 į dvi dalis, kad mažesnė dalis viršytų trijų laiko skirtumų tarp abiejų dalių.

247. Dviejų numerių suma 64. Dalijant didesnį skaičių iki mažiau, paaiškėja privataus 3 ir liekana 4. Rasti šiuos numerius.

247. Dviejų numerių suma 45. Skirstant didesnį skaičių į mažesnį skaičių, jis pasirodo privatūs 5 ir liekana 3. Rasti šiuos numerius.

248. Dviejų numerių skirtumas yra 35. Kai skiria didesnį skaičių iki mažiau, jis pasirodo privatūs 4 ir liekana 2. Rasti šiuos numerius.

248. Dviejų numerių skirtumas 23. Skiriant didesnį skaičių iki mažiau, jis pasirodo privatūs 2 ir liekana 11. Rasti šiuos numerius.

249. Vienas iš nežinomų dviejų numerių yra daugiau nei kita. 5. Jei padalinsite mažesnį skaičių 4, ir daugiau iki 3, tada pirmasis privatus bus 4 mažiau nei antrasis. Rasti abu numerius.

249. Vienas iš dviejų nežinomų skaičių yra daugiau nei 15. Jei jis yra padalintas į didesnį skaičių 9, ir mažiau nei 2, tada pirmasis privatus padaryti 3 mažiau nei antra. Rasti abu numerius.

250. Vienas iš dviejų nežinomų numerių yra mažesnis už kitą 6. Jei jis yra padalintas į didesnį skaičių per pusę, tada gautas privatus bus trys vienetai mažiau nei kitas numeris. Rasti abu numerius.

250. Vienas iš dviejų nežinomų skaičių yra mažesnis nei kitas iki 18. Jei jis yra padalintas į didesnį skaičių trijų, tada gautas privatus bus du vienetai daugiau nei kitas numeris. Rasti abu numerius.

251. Vienoje rezervuare du kartus į vandenį nei kitoje vietoje; Jei išpilsite nuo pirmojo iki antrojo 16 kibirų, tada vandenyje bus lygūs. Kiek vandens kiekvienas?

251. Viename rezervuare tris kartus daugiau vandens nei kitoje vietoje; Jei iš pirmojo 22 kibiro išpilkite iš pirmųjų 22, tada tiek vandenyje bus lygi, kiek vandens kiekviename?

252. Dviejų prekybos rinkoje yra tik 220 kiaušinių; Jei antroji iš jų davė pirmuosius 14 kiaušinių, tada kiaušinių skaičius kiekviena iš jų būtų buvę vienodi. Kiek kiaušinių kiekvienas?

252. Dviejų prekybos rinkoje yra tik 186 kiaušinių; Jei antrasis iš jų davė pirmuosius 10 kiaušinių, kiekvienos iš jų kiaušinių skaičius būtų buvęs tas pats. Kiek kiaušinių kiekvienas?

253. Kažkas turi 4 kartus daugiau nei rublių dešinėje kišenėje nei kairėje; Jei jis perkelia iš dešinės kišenės į kairę 6 r., Tada dešinėje bus pinigų tik 3 kartus daugiau nei kairėje. Kiek pinigų kiekvienoje kišenėje?

253. kažkas syet dešinėje kišenėje 3 kartus daugiau nei rubliais nei kairėje; Jei perkeliate iš kairės kišenės į dešinę 5 rublių, tada bus pinigų dešinėje penkis kartus daugiau nei kairėje. Kiek pinigų kiekvienoje kišenėje?

254. Apskaičiuojant dviejų darbuotojų gamyklą, pirmoji iš jų gavo už 12 rublių darbą daugiau nei antra, o po to antrasis darbuotojas sumokėjo 2 rublius. skolos. Paaiškėjo, kad pirmasis skubėjęs namai yra tris kartus daugiau nei antrasis. Kiek visi dirbo?

254. Apskaičiuojant dviejų darbuotojų gamyklą, pirmasis iš jų gavo 20 rublių mažiau nei antra, tačiau tuo pačiu metu antrasis darbuotojas sugrįžo į jį 2 rublių. skolos. Paaiškėjo, kad pirmasis skubėjęs namai buvo du kartus per sekundę. Kiek visi dirbo?

255. Vienas berniukas turi 30 kapeikų, o kitas - 11 kapeikų .. Kiek kartų jie atėjo duoti vieną centą, kad pirmasis pasirodė du kartus daugiau nei antrasis?

255. Vienas berniukas turi 48 kapeikus, dar 22 kapeikus .. Kiek kartų jie turi praleisti vieną kapeiką, kad pirmasis pasirodo, kad būtų tris kartus daugiau pinigų nei antrasis?

256. Tėvas 40 metų ir sūnus 12 metų. Kiek metų tėvas buvo savo vyresniuoju sūnumi?

256. Tėvas 49 metai ir sūnus 11 metų. Kiek senas yra tėvas bus tris kartus sūnaus?

257. Vienas žemės savininkas turi avis keturis kartus daugiau nei kitas. Jei abu nusipirkau 9 avis, pirmoji avys buvo tris kartus daugiau nei antroji. Kiek avių turi visus?

257. Viena premjerą turi avių tris kartus mažiau nei kitas. Jei abu buvo parduodami 10 avių, tada pirmoji pasirodytų mažiau avių mažiau nei antroji. Kiek avių turi visus?

258. Tėvas yra 39 metų vyresnis nei jo sūnus, o po 7 metų bus senesnis sūnus 4 kartus. Kiek senas yra kitas?

258. Tėvas ir sūnus kartu 88 metus, o prieš 8 metus jo tėvas buvo vyresnis nei sūnus 7 kartus. Kiek senas yra kitas?

259. Viename rezervuare 48 kibirai ir dar 22 vandens kibirai. Nuo pirmojo liejimo vandens du kartus daugiau nei nuo antrojo, o tada pirmiau buvo tris kartus daugiau vandens nei antrajame. Kiek kibirų pilami iš kiekvieno?

259. Viename rezervuare 42 kibirai ir kitose 8 vandens kibirose. Pirmoje kainavietėje vanduo buvo tris kartus daugiau nei antrajame, tada jis pasirodė per pirmuosius keturis kartus daugiau vandens nei antrajame. Kiek kibirų yra priversti kiekviename?

260. Du veidai, žaidžiant atskirai kortelėje, žaidimo pradžioje, pirmieji 72 rubliai, antrasis 21 rublių. Pirmasis prarastas tris kartus daugiau nei antrasis laimėjo. Po žaidimo pasirodė esąs pirmasis du kartus daugiau pinigų nei antrasis. Kiek laimėjo antrą ir prarado pirmąjį?

260. Du veidai, žaidžiant atskirai kortelėse, žaidimo pradžioje buvo pirmieji 25 rubliai, antrasis 12 rublių. Pirmasis laimėjo du kartus daugiau nei antrasis prarastas. Po žaidimo paaiškėjo, kad yra daugiau pinigų iš pirmųjų pinigų nei antroji. Kiek praradote antrą ir laimėjote pirmąjį?

261. Tarpai, parduodami pirmą kartą buvusio Yablok skaičiaus 2/7 dalis, antrą kartą P iš to paties numerio; Tada jis turėjo tik 8 obuolius. Kiek obuolių jis turėjo?

261. Pirmą kartą parduotas barstytuvas pirmą kartą 1/9 paraiškų skaičius iš jo, antrą kartą 5/6 to paties numerio; Tada jis turėjo tik 4 obuolius. Kiek obuolių jis turėjo?

262. Iš rezervuaro su vandeniu pirmiausia buvo trečdalis visų vandens kiekio, tada 5/6 liekanų ir tada tik 6 kibirai išliko. Kiek vandens buvo rezervuare?

262. Iš rezervuaro su vandeniu buvo pirmoji 3/5 dalis visų sumų, tada 3/4 lieka tik 5 kibirai liko. Kiek vandens buvo rezervuare?

263. Vienoje visuomenėje buvo 40 žmonių, vyrų, moterų ir vaikų. Moterų skaičius sudarė 3/5 žmonių skaičius, o vaikų skaičius buvo 2/3 vyrų ir moterų skaičius kartu. Kiek vyrų, moterų ir vaikų buvo?

263. Vienoje visuomenėje buvo 72 žmonės, moterys ir vaikai. Vyrų skaičius buvo 2/3 moterų skaičiaus, o vaikų skaičius buvo 4/5 skaičius vyrų ir moterų kartu. Kiek vyrų, moterų ir vaikų buvo?

264. 30 ARSHIN SUKNA dviem veislėms mokama tik 128 rublių; Arshyn pirmos klasės kainuoja 4 1/2 r. Ir antrojo 4 r.

264. 27 "Arshin Sukna" dvi veisles sumokėjo tik 120 r.; "Arshin" pirmos klasės kainuoja 5 rubliai; Arshin antroji 3 r. 75 K .. Kiek Arshin nusipirko kitą sertą?

265. Arbatos prekybininkas pardavė 38 svarų dviejų veislių, 3 p. per svarą pirmojo lygio ir 1 p. 60 K. Per svarą antrojo lygio ir atvirkščiai tuo pačiu metu už visą pirmojo lygio 22 rublių daugiau nei antroji. Kiek yra parduodami kai kuriose kitose veislėje?

265. Arbatos prekybininkas pardavė 110 dviem veislių, 4 1/2 p kainą. už svarą pirmojo lygio ir 2 p. 25 k. Per svarą antrojo lygio ir atsigavo tuo pačiu metu pirmos klasės 45 rublių mažiau nei antra. Kiek yra parduodami kai kuriose kitose veislėje?

266. Rangovas pasamdė darbuotoją su sąlyga, kad jam sumokėtų 90 kapeikų. Už kiekvieną darbo dieną ir atskaityti 40 kapeikų nuo jo. Už kiekvieną ne darbo dieną. Po 12 dienų darbuotojas gavo 6 p. 90 K .. Kiek dienų jis dirbo?

266. Rangovas pasamdė darbuotoją su sąlyga, kad jam sumokėtų 80 kapeikų. Už kiekvieną darbo dieną ir atimkite 50 kapeikų iš jo. Už kiekvieną ne darbo dieną. Po 50 dienų darbuotojas gavo 21 r. 80 .. Kiek dienų jis pasivaikė?

267. Bet ir. \\ T Į žaisti biliardą su sąlyga, kad laimėtojas gauna iš pralaimėtojo 76 k.; Po 20 šalių paaiškėjo Į Aš laimėjau tik 4 r. 50 iki .. Kiek partijų jis laimėjo?

267 Bet ir. \\ T Į Žaisti ant biliardo su sąlyga, kad laimėtojas gauna 50 į pralaimėtoją; Po 12 šalių paaiškėjo Bet Laimėjo tik 2 r .. Kiek partijų jis prarado?

268. Du kurjeriai tuo pačiu metu paliko iš dviejų miestų, kurie yra 300 mylių atstumu ir į vieną kitą. Pirmasis praeinantis valandą 12 mylių, antroji 13 mylių. Kada jie susitiks?

268. Du kurjeriai tuo pačiu metu paliko iš dviejų miestų, esančių 280 mylių atstumu ir viena kitai. Pirmasis eina valandą 11 mylios, antroji 17 mylių. Kada jie susitiks?

269. Su dviem geležinkelio stotelėmis, esančiomis 77 metų atstumu, tuo pačiu metu yra du traukiniai ir eina viena kryptimi su 31 1/2 greičiu, nuoroda ir 18 2/3 mylių valandą ir pirmoji eina antrą kartą. Kada jis pasivijo?

269. Iš dviejų geležinkelio stočių, kurios yra 38 metų, yra tuo pačiu metu du traukiniai ir eiti į vieną kryptį su greičiu 25 1/4 Mile ir 20 1/2 mylių per valandą ir pirmoji eina antrą kartą. Kada jis pasivijo?

270. Iš stoties per 12 valandų keleivinis traukinys išeina iš 32. pirmą valandą. Po 45 minučių nuo tos pačios stoties, kurjerių traukinys, kuris sudaro 42 V. pirmą valandą. Kokiame valandos traukinyje bus sugauti keleivį?

270. Iš stoties 9 val. Keleivinis traukinys išeina iki 28 V. pirmą valandą. Vėliau valandą su ketvirčiu iš tos pačios stoties, kurjerių traukinys iš 40 V. pirmą valandą. Kokiame valandos traukinyje bus sugauti keleivį?

271. Kas kapitalas turėtų būti skiriamas 6% augimo, siekiant gauti 224 rublių pelno po 1 metų 2 mėnesių?

271. Koks kapitalas turėtų būti skiriamas 8% padidėjimui, kad gautumėte 182 rublių pelną per 7 mėnesius?

272. Kiek procentų turi būti suteikta kapitalo augimo 4400 rublių, siekiant pelnyti 280 rublių po 1 metų 5 mėnesių. 50 k.

272. Kiek procentų turi būti skiriamas Kapiligal 1800 r. Siekiant gauti 93 rublių po 11 mėnesių. 60 k.?

273. Prekybininkas, parduodantis prekes už 299 rublių, išgelbėjo 15% pelno. Kokia yra prekės jam sau?

273. Prekybininkas, parduodantis produktą 161 rublių, gavo 7 1/2% pelno. Kokia yra prekės jam sau?

274. Parduodant prekes 429 r. Buvo gautas 2 1/2% praradimas. Kokia yra prekės?

274. Parduodant prekes 366 p. Pateiktas nuostolis 8 1/2% Kas yra prekės?

275. Pagal sąskaitą 10 mėnesių iki termino, buvo sumokėta 1120 rublių, su 8% komercine sąskaita. Rasti valiutos sąskaitas.

275. Pagal sąskaitą už 1 metus prieš 3 mėnesius iki termino, buvo sumokėta 839 p. 60 policininko. Su komercine apskaita 7%. Rasti valiutos sąskaitas.

276. Baseinas yra pritvirtintas vienu vamzdiu 3 val., Dar 5 val. Kiek laiko jis bus užpildytas, jei vienu metu atidarote abu vamzdžius?

276. Baseena yra užpildyta vienu vamzdiu 7 1/2 valandomis, dar 5 val. Kiek laiko jis bus užpildytas, jei vienu metu atidarote abu vamzdžius?

277. Baseinas yra užpildytas vienu vamzdiu 4 val., O kita gali užpilti 6 val. Koks laikas bus užpildytas abiejų vamzdžių vienu metu veikiant vienu metu?

277. Baseinas yra užpildytas vienu vamzdiu 2 1/3 valandomis, o per kitą gali jį rasti per 2 valandas. 48 m.

278. Du darbuotojai cum kartu 3 valandas 36 min.; Pirmiausia galima įvykdyti jį 6 val. Koks laikas bus antrasis darbas?

278. Du darbuotojai Cum kartu 12 val. Vienas pirmiausia gali įvykdyti 20 val. Kiek laiko antrasis darbas daro tą patį darbą?

279. Baseine vyko trys vamzdžiai; Per pirmuosius du vandenį jis teka per trečius elementus. Per pirmąjį vamzdį baseinas gali būti užpildytas 3 valandomis, per antrąjį 2 val. Ir per trečiąjį vandenį galima sužinoti iš baseino 6 val. Koks laikas yra užpildytas, jei atidarote visus tris vamzdžius?

279. Baseine vyko trys vamzdžiai; Per pirmuosius du vandenį jis teka per trečius elementus. Per pirmąjį vamzdį baseinas gali būti užpildytas 2 val., Per antrąjį 5 val., O nuotakos trečiasis vanduo gali išsiaiškinti iš baseino 10 val. Koks laikas yra užpildytas, jei atidarote visus tris vamzdžius?

280. Iš trijų vamzdžių, praleistų baseine, pirmasis užpildo jį 5 val., Antrasis užpildas 15 val. Ir per trečiąjį, visas baseinas teka 3 val. Koks laikas yra pilnas baseinas, atitinka visų vamzdžių vienu metu veikiantis?

280. Iš trijų vamzdžių, praleistų baseine, pirmasis užpildo jį 6 val., Antrasis užpildytas 18 val. Ir per trečiąjį, visas baseinas teka 3 val. Koks laikas yra pilnas baseinas, su vienu metu veiksmai visuose vamzdžiuose?

281. Aš traukiu geležinkelį Bet į Į vidutiniškai 30 mylių per valandą, tada grįžta iš Į į Bet 28 mylių per valandą greičiu. Visa ten ir atgal ji sudaro 14 1/2 valandų. Kiek gali Bet anksčiau Į?

281. IG traukinys atvyksta iš Bet į Į vidutinis 24 versijų greitis per valandą, tada grįžta iš Į į Bet Su 30 versijų greičiu per valandą. Visos kelionės ten ir atgal užtrunka 11 1/4 valandų. Kiek gali Bet anksčiau Į?

282. Apie Bet į Į Išėjo traukinys, einantis 20 mylių valandoje. 8 valandos palieka traukinį Į į Bet30 c. pirmą valandą. Atstumas Au lygus 350 v .. kokiu atstumu nuo Bet Traukiniai susitiks?

282. Nuo Bet į Į Išėjo traukinys, einantis per 24 versijas. Po 5 valandų traukinys ateina iš Į į Bet28 in. pirmą valandą. Atstumas Au lygus 380 V., kokiu atstumu nuo Į Traukiniai susitiks?

283. Trys numeriai yra 70. Antrasis skaičius padalinio metu pateikiamas privačiame 2 ir liekana 1, trečiasis padalijimas į antrą suteikia privatams 3 ir liekana 3. Rasti šiuos numerius.

283. Trys numeriai yra 60. Antrasis skaičius padalijimo metu yra suteikta privataus 3 ir likučių 2, trečias padalijimo į antrąjį suteikia privataus 2 ir likusioje 4. Rasti numerius.

284. Rasti Cheilo, kuris padalinys 5 suteikia likučių 2, ir kai padaliniai 8 suteikia likutyje 5, žinant, kas pirmoji privatūs dar trys sekundes.

284. Norint rasti numerį, kuris padalintas iš 7, duoda likučius 2, o 9 d padalijimas suteikia likučiai 4, žinant. kad pirmieji privatūs dar du sekundę.

285. Kažkas, norintis paskirstyti pinigus per jį su prasta, apskaičiuota, kad jei visi duoda 15 kapeikų, tada jis neturi 10 COP., Ir jei visi suteikia 13 kapeikų, jis bus 6 į. Nereikalingas. Kiek buvo prašoma ir kiek pinigų?

285. Kažkas, norinti paskirstyti pinigus, kuriuos turėjau per jį, apskaičiuotu, kad jei visi duoda 8 COP., Tada 4 kapeikai išliks. Nereikalingas, ir jei visi duoda 9 kapeikus, tai nėra pakankamai 2 kapeikai .. Kiek buvo elgetai ir kiek pinigų?

286. Inžinierius vietose telegrafo polius tam tikru atstumu. Jei jis juos įdėjo į 25 atstumu nuo kito, būtina imtis dar 150 stulpų, o jei jis padidino atstumą tarp 5 vietų stulpelių, tada 70 ramsčių pasirodytų a ėriena. Kaip didelis atstumas ir kiek ramsčių yra?

286. Įdarbinimo inžinieriaus telegrafo poliai tam tikru atstumu. Jei jis juos įdėjo į 30 iš kitos atstumu nuo kito, jis turėtų papildomų 100 stulpų liko, ir jei jis sumažino etatų atstumą 4 sohen, būtina imtis dar 180 polių. Kaip didelis atstumas ir kiek ramsčių yra?

287. Kažkas, kai samdydamas tarną pažadėjo jam už tarnybos metus mokėti pinigus 144 rublių. Ir duoti drabužius. Tarnautojas buvo paimtas po 7 mėnesių ir gautas mokant drabužius ir 54 rublius. Kokie kainuoja drabužiai?

287. Kažkas, kai samdomas tarnas, pažadėjo jį per 7 mėnesius nuo 75 rublių ir duoti drabužius. Serūdas įvyko per 5 mėnesius ir gautas mokant drabužius ir 45 rublius. Kas yra drabužiai?

288. 195 rublių gas 46 svarų cukraus. Daugiau nei 73 svarų; 9 svarų cukrus yra 30 rublių pigiau nei 37 svarų. Kas yra arbatos ir miltelių cukraus svaras?

288. Perkėlė 21 svaras arbatos 238 rublių mažiau nei 40 svarų cukraus; 15 svarų yra 2 rubliai. brangesnis nei 4 tvenkinys. Kas yra arbatos ir miltelių cukraus svaras?

289. Žemės savininkas pasamdė du valstiečius už tą patį tinkamą mokestį. Vienas iš jų per 40 dienų jis davė 7 p. 50 k. Pinigai ir 3 1/2 ketvirtadaliai avižų, dar 24 dienų 4 rublių. 80 k. Pinigai ir 2 ketvirtadaliai avižų. Kas yra ketvirtadalis avižų?

289. Žemės savininkas pasamdė du valstiečius už tą patį tinkamą mokestį. Vienas iš jų per 56 dienas jis davė 14 p. Pinigai ir 8 ketvirtadaliai avižų, dar 88 dienų 13 r. 50 k. Pinigai ir 15 ketvirtadalių avižų. Kas kainuoja ketvirtadalį avižų?

290. Gali būti 25 arshin suknos ir 21 arsh. Velvet 247 rubliai. Yra žinoma, kad 10 arsh. Velvetas yra 18 rublių daugiau nei 13 Arshin Sukna. Kas yra arshin ir kita?

290. Turi 15 Arshin Velvet ir 52 arsh. Sukna 276 rublių. Yra žinoma, kad 2 arsh. Velvetas stovi iki 17 rublių, 11 arsh. Sukna. Kas yra arshin ir kita?

291. Kai kurių dviejų skaitmenų numerio numerių suma yra 12. Jei 18 yra paimta iš norimo numerio, tada nurodomas tas pats skaičius, bet parašyta atvirkštine tvarka. Rasti šį numerį.

291. Vienetų skaičiaus ir dešimčių kai kurių dvigubo skaitmenų skaičiaus skirtumas yra lygus 3. Jei pridedate 27 iki norimo numerio, tada numeris nurodytas ta pačia numeriai, bet parašyta atvirkštine tvarka. Rasti šį numerį.

292. Kai kuriuose dviejų skaitmenų skaičiumi, dešimtys du kartus daugiau nei vienetų skaičius. Jei numerio numeriai nutrauks, tada mes gauname mažesnį už norimą 36. Rasti šį numerį.

292. Kai kuriuose dviejų skaitmenų skaičiumi dešimtys tris kartus mažiau nei vienetų skaičius. Jei numerio numeriai nustos, tada mes gauname skaičių, didesnį už norimą 36. Rasti šį numerį.

293.a. Žaidžia šaškius su Į Ir jis laimėjo tris iš keturių šalių, tada groja su Nuo. Ir pastarasis laimi du iš kiekvienų trijų šalių. Iš viso. \\ T Bet grojo 21 partiją ir laimėjo 15 iš jų. Kiek partijų grojo su Į ir S. Nuo.?

293. Bet Žaidžia šaškius su Į ir praranda jam nuo aštuonių šalių trijų, tada groja su Nuo. Ir praranda paskutinę iš penkių partijų du. Paprastai. \\ T Bet grojo 26 vakarėliai ir prarado iš jų 10. Kiek partijų grojo su Į ir S. Nuo.?

294. Kuris dabar yra valanda, jei 1/5 valandų laikrodžių, praėjusių nuo vidurdienio, yra lygūs 1/3 valandų valandų iki vidurnakčio?

294. Kuris dabar yra valanda, jei 1/11 valandų, praėjusi nuo vidurdienio, skaičius yra lygus 1/13 valandų skaičiui iki vidurnakčio?

295. Rasti žuvies svorį, žinant, kad jo uodega sveria 2 f., Galva sveria tiek, kiek uodega ir pusė kūno sveria, o liemens pasverti tiek, kiek galvos ir uodegos.

295. Raskite žuvies svorį, žinodami, kad jos galva sveria 7 f., Uodega sveria tiek, kiek sveria galvą ir pusę kūno, ir liemens sveria, kiek uodegos ir galvos.

296. Kai suma turi būti suskirstyti į du asmenis, kad pirmojo ir antrojo dalys yra tarpusavyje, kaip 5 ir 3 numeriai, ir kad pirmosios dalies dalis yra 50 rublių. Daugiau nei 5/9 visos sumos. Kaip yra kiekvieno dalis?

296. Tam tikra suma turi būti padalyta tarp dviejų asmenų, kad pirmosios ir antrosios dalys priklauso tarp savaičių, kaip 7 ir 4 numeriai, ir kad antrojo dalis buvo 21 rublių. Mažiau nei 5/12 visų sumi. Kaip yra kiekvieno dalis?

297. Produktas parduodamas su 420 rublių praradimu; Jei jis buvo parduotas už 570 p., Tada pelnas būtų 5 kartus daugiau nei patirti nuostoliai. Kokia yra prekės?

297. Produktas parduodamas su pelno 520 p.; Jei jis buvo parduotas už 320 rublių, tai būtų nuostolis, kuris sudaro 3/7 atvirkštinį pelną. Kokia yra prekės?

298. "Arshin Citz" numeriai yra trys vienetai apima 2: 3: 5. Jei nukirsite nuo pirmojo 4 Arshin dalies, nuo antrojo 6 arsh. ir nuo trečiųjų 10 ars. Likęs viso CITZ kiekis bus 5/6 buvęs. Kiek arshin kiekviename gabale?

298. Arshin Sitz linijos, esančios trimis gabalais, priklauso kaip 3: 5: 8. Jei nukirsite nuo pirmojo 10 Arshin nuo antrojo 20 arsh. ir nuo trečiųjų 30 ars. Likęs viso CITZ kiekis bus 5/8 buvęs. Kiek arshin kiekviename gabale?

299. Nuo rezervuaro, pusę viso vandens ir pusiau vandens, tada pusė liekanų ir pusiau vandens, pagaliau pusė liekanos ir pusiau vandens; Po to rezervuare liko 6 kibirai. Kiek vandens buvo iš pradžių?

299. Iš rezervuaro, buvusio vandens trečdalis jame ir trečdalis kibirų yra pilamas, tada trečdaliu balanso ir trečdalio kibirų galiausiai dar viena likutis ir trečdalis kibiro; Po to rezervuare palikta 7 kibirai. Kiek vandens buvo pradžioje?

300. Keli asmenys dalijasi tam tikra suma; Pirmasis gauna 100 p. Ir penktoji balanso dalis, antroji 200 rublių ir penktadalis naujos pusiausvyros, trečioji 300 rublių ir penktadalis liekanos ir tt Paaiškėjo, kad visa suma yra padalinta į lygias dalis. Kaip yra ši suma, kiek dalyvių akcijoje ir kiek visi gauna?

300. Keli asmenys dalijasi tam tikra suma taip: pirmoji gauna 50 rublių ir šeštosios dalies pusiausvyros, antrojo 100 rublių ir šeštosios naujos pusiausvyros, trečiąjį 150 rublių ir šeštadalį likučių ir tt jis pasuko Visa suma yra padalinta į lygias dalis. Kaip yra ši suma, kiek dalyvių akcijoje ir kiek visi gauna?

Šios užduotys skiriasi nuo ankstesnių, kad duomenys yra netiesiogiai, tai yra raidės. Šios užduotys priklauso toms pačioms rūšims kaip ir ankstesniam. Sprendžiant, jie kartojami svarbiausi iš šių metodų, kurie buvo naudojami anksčiau, bet dėl \u200b\u200bnetiesioginių duomenų duomenų, argumentai turi bendresnį ir tuo pačiu metu nei abdicated charakterį. Naujuose pratimuose būtina taip pat, kaip ir pirmojoje vietoje, pirmiausia rūpinasi daugiausia nežinoma ir per šias paskyrimus visos šios užduočių vertybės tiesiogiai kalba, arba kuri joje yra numanoma, ir Tuo pačiu metu jums reikia nuosekliai atkreipti dėmesį į visus pavadinimus, duomenis problemoje, ir visos su duomenimis ir norima sąlygomis, kai visos sąlygos bus naudojamos tuo atveju, tada idėja, kaip padaryti reikalinga lygtis.

301. Dviejų numerių skirtumas s. q. . Rasti abu numerius.

301. Pats dviejų numerių kokybė d. , mažesnis santykis mažesnis q. . Rasti abu numerius.

302. Padalinkite numerį bet trys dalys, kad pirmoji dalis būtų daugiau nei antroji t. ir mažiau nei trečia p laikas.

302. Padalinkite numerį bet trijų dalių taip, kad pirmoji dalis yra mažesnė už antrąjį t. ir daugiau nei trečdalis p laikas.

303. Vienas numeris B. bet Kartą mažesnis nei kitas. Jei pridedate, pirmiausia t. ir į antrą p Tada pirmoji suma bus b. Kartą mažiau nei antra. Rasti šiuos numerius.

303. Vienas numeris bet Kartą mažesnis nei kitas. Jei atimsite nuo pirmos dienos t. ir nuo antrojo p Tada pirmasis skirtumas bus b. Dar kartą. Rasti šiuos numerius.

304. Frakcijų skaičius mažesnis už jo vardiklį bet ; Jei frakcijos yra iš abiejų narių b. t. / p . Rasti frakcijos narius.

304. Frakcijos skaitiklis daugiau jo vardiklio už numerį bet . Jei pridedate prie abiejų frakcijos narių b. , tai paaiškėja, kad frakcija yra lygi frakcijai t. / p . Rasti frakcijos narius.

305. Padalinkite numerį bet r. kartų daugiau sekundės ir q. Kartą mažiau nei trečia.

305. Padalinkite numerį bet Dėl tokių trijų dalių yra pirmoji. į r. kartų mažiau nei antroji ir q. kartą daugiau nei trečia.

306. Frakcijos denomoteris yra didelis skaitiklis bet laikas. Jei pridedate į numerio numerį b. ir atimkite numerį iš vardiklio nuo. , tai paaiškėja, kad frakcija yra lygi frakcijai K. / L. . Rasti frakcijos narius.

306. mažesnio skaitiklio skaičiaus denominoras bet laikas. Jei išskaičiuojate iš numerio numerio b. ir pridėti numerį į vardiklį nuo. , tada frakcija, lygi frakcijai K. / L. . Rasti frakcijos narius.

307. Padalinkite numerį t. į dvi dalis, kad skirtumas būtų privatus nuo pirmosios dalies padalijimo bet ir antra b. Valcavimas r.

307. Padalinkite numerį t. į dvi dalis, kad privataus iš pirmosios dalies padalijimo suma bet ir antra b. būtų lygus s. .

308. Už kiekvieną darbo dieną gauna darbuotojas bet Kopeikai ir kiekvienam neveikimui jis išskaičiuojamas iš jo b. Kopeikai. Po pasibaigimo p dienos švarios darbuotojų pajamos yra lygios s. Rubles. Kiek darbo dienų ir kiek neveikia?

308. Kiekvienos darbo dienos darbuotojas gauna bet kopeikai ir kiekvienam neveikėjui su juo išskaičiuokite b. Kopeikai. Po pasibaigimo p Dienos darbuotojas turi sumokėti 5 rublių save, kiek darbo dienų ir kiek neveikia?

309. Dviejų numerių skirtumas d. . Skiriant atimamąjį yra gaunamas privatus q. ir likutis yra lygus pusei skirtumui. Rasti šiuos numerius

309. Dviejų numerių skirtumas d. . Skiriant atskaitytiną liekaną r. ir privatus lygus pusei skirtumo. Rasti šiuos numerius.

310. Dėl kelių Arshin Suknos. Popped. bet rubliai; Jei nusipirkote crunk daugiau nuo. b.

310. Keliems Arshin Sukna sumokėjo bet rubliai; Jei nusipirkote mėšlungį nuo. Arshin, tai būtų būtina mokėti b. rublių. Kiek arshin nusipirko?

311. Koks skaičius, padaugintas iš a. padidės pagal skaičių t. ?

311. Koks skaičius yra suskirstytas į Bet sumažės skaičius t. ?

312. Parduodant namuose m. gavo rublių. r. žalos proc. Ką jis kainavo pardavėjui?

312. Parduodant namus t. Gavo rublių. r. proceso pelnas. Ką jis kainavo pardavėjui?

313. Du kurjeriai tuo pačiu metu išvyksta iš dviejų vietų Bet ir. \\ T Į ir eikite į vieną kryptį Betiki Į Ir toliau. "Iters" praeina per valandą bet Musto, antra b. Turi. Atstumas Au vienodai D. Turi. Kada ir kokiu atstumu nuo Bet Pirmasis kurjeris pasieks antrąjį?

313. Du kurjeriai tuo pačiu metu išvyksta iš dviejų vietų Bet ir. \\ T Į Ir jie eina susitikti su kitais. Pirmasis einantis per valandą bet Musto, antra b. Turi. Atstumas Au vienodai d. Turi. Kada. Ir kokiu atstumu nuo Bet Abu kurjeriai susitiks?

314. Įgulos priekinis ratas turi ratą bet pėdų, galinio perimetro B. kojos. Koks atstumas turėtų įgulai eiti į priekinį ratą p Įjungia didelį galą?

314. Priekinis ratas iš įgulos turi apskritimą bet pėdų mažesni už galą. Koks atstumas turi praeiti įgulą, kad padarytumėte priekinį ratą t. ir gale. \\ t p posūkiai?

315. Baseine vyksta du vamzdžiai, kurie abu užpildo jį, pirmasis su atskirais veiksmais bet valandos, antra taip pat yra atskiras veiksmas b. valandos. Kiek laiko bus užpildytas abiejų vamzdžių vienu metu veikiant vienu metu?

315. Baseine vyko du vamzdžiai, kurių pirmasis su atskirais veiksmais užpildo jį bet valandos, o antrasis taip pat išsprendžia visą baseiną b. valandos. Kiek laiko bus užpildytas abiejų vamzdžių vienu metu elgiamasi?

316. Įgulos rato įgula bet Kartą didesnis priekinio rato perimetras. Įgulos apsauga. \\ T t. pėdų ir tuo pačiu metu ratas laikomas iki Rolims yra didelės. Nustatykite abiejų ratų apskritimus ir revoliucijų skaičių.

316. Priekinio rato ratas bet Mažesnis už galo perimetrus. Įgulos apsauga. \\ T t. kojų ir tuo pačiu metu galinis ratas laikomas iki laikai mažiau revoliucijų, tikrinimo priekyje. Nuleiskite abiejų ratų perimetrą ir revoliucijų skaičių.

317. Vieno miesto gyventojai kasmet didėja r. % Palyginimai su praėjusių metų gyventojais. Šiuo metu mieste t.

317. Vieno miesto gyventojų skaičius kasmet mažėja r. % Palyginimai su praėjusių metų gyventojais. Dabartiniu metu mieste t. gyventojai. Kiek žmonių buvo prieš 3 metus?

318. Dwee darbuotojai, dirbantys tuo pačiu metu, cum dirbti bet valandos. Pirmiausia pasirinks tą patį darbą b. , laikas netrukus, su viena sekunde. Kiek laiko kiekvienas iš darbuotojų baigs darbą?

318. Dwee darbuotojai, dirbantys tuo pačiu metu, cumshots į bet valandos. Vienas jausmas užima neteisingą darbą b. , kai medleneeeeeeeee, SEM viena sekundę. Kiek laiko kiekvienas darbuotojas dirba?

319. Boatman, irklavimas plečiasi p Sage B. t. valandos; Geben agage prieš teismą, tai suvartojama ir. \\ T Daugiau valandų plaukti, tada atstumas. Nustatykite srauto laikrodžio greitį.

319. Laivas, irklavimas prieš prasmę plaukioja p Seda B. t. valandos; Irklavimas kursuose, jis sunaudoja ir. \\ T Menee laikrodžiai plaukti tada atstumu. Nustatyti tikslo laiko greitį.

320. Kalbėti Bet Juda su greičiu V. Galingi per sekundę. Koks greitis buvo perkelti kitą Į, mokykitės iš tokio pobūdžio t. Po anksčiau, jei jis buvo užveržtas žodžiu Bet per ir. \\ T sekundžių įrašai, kad pradėtumėte šio žodžio judėjimą?

320. Kalbėkite A. Juda su greičiu v. Galingi per sekundę. Koks greitis turėtų judėti Įiš tos pačios MEST ir. \\ T po sekundžių, jei jis pasivijo Betper ir posto lytis pradėjo pradėti savo kelią?

321. Iš dviejų veislių, prekių bet Rubles ir B. b. Rubliai už svarą, sudarytas d. t. Gautos rubliai s. rublių praradimas. Kiek svarų kitos veislės nuėjo padaryti mišinį?

321. Iš dviejų veislių, prekių, ceno į bet rubles ir B. b. Rubliai už svarą, sudarytas d. svarų smei. Parduodant šį patikrinimą t. Gautos rubliai s. rublių pelnas. Kiek svarų kitos veislės buvo sudarytas į vaško kompiliaciją?

322. B Plaukimo baseinas t. Buvo atlikti du vamzdžiai. Pirmasis supilamas į baseiną bet Vedes per valandą. Antrasis supilkite visą baseiną b. valandos. Skolos valandos bus užpildytos plaukimo baseinu, tuo pačiu metu sužinojote apie vamzdžius?

322. Baseine, kuris t. Buvo atlikti du vamzdžiai. Pirmasis užpildo visą baseiną bet valandos. Antroji per valandą išlieta iš baseino b. kibirai. Kiek valandų bus pripildyta sinchroninio naudojimo abiejų vamzdžių?

323. Vis dar yra numeris bet trijų dalių, kad pirmoji būtų nurodyta antra, kaip t: P. ir antrasis - trečias, kaip p: Q.

323. Vis dar yra numeris bet trys dalys, kad antroji priklauso pirmajam kaip t: P. ir trečiasis į antrąjį, kaip p: Q.

324. Iš dviejų moių Bet ir. \\ T Į p Salotos, plaukia vieni su kitais dviem laivais, kuriuos varo su ta pačia jėga. Іііііііііera, plaukiojanti byloje, perduoda visus atstumus Au į t. valandos; Antrasis, plūduriuojantis nuo tikslo, tuo didesnis laikas naudoja didesnį laiką ir. \\ T valandos. Nuleiskite srauto laikrodžio greitį.

324. Iš dviejų metrų Bet ir. \\ T Į laikotarpiu, kuris yra atskirtas nuo kito p Salotos, plaukia vieni su kitais dviem laivais, kuriuos varo su ta pačia jėga. Atlikti flakavimą nuo mokymo, yra visas atstumas Au į t. valandos; Antrasis, plūdantis per srautą, jis naudoja mažiau nei mažiausias tuo pačiu atstumu ir. \\ T valandos. Nustatykite srauto laikrodžio greitį.

325. Identifikuoti trijų asmenų sostinę, žinant, kad pirmasis su antruoju reikalinga t. rubliai, antrasis su trečiuoju p rublių ir kad kapitalas yra r. Kai trečiasis kapitalas yra trečias.

325. ištrinti trijų asmenų sostinę, žinant, kad pirmasis su trečiuoju turite t. rubliai, antrasis su trečiuoju p rublių ir kad kapitalas yra pirmoji r. Dar kartą sostinė.

326. Du medžiai pereina į vieną iš kitų dviejų metrų atstumu d. metrų. Pirmieji juda greičiu v. metrų per sekundę. Kaip greitai turėtų judėti antrasis skonis, jis nuėjo į h. Pirmiausia pirmiausia ir turėtų eiti iki visų p Sekundžių?

326. Du medžiai pereina į vieną iš dviejų MES į atstumą d. metrų. Pirmieji juda greičiu v. metrų per sekundę. Kaip greitai turėtų būti perkeltas antrasis skonis, jei tai įvyko h. sekundės anksčiau pirmiausia ir turėtų eiti į visus p Sekundžių?

327. Įtraukta komercinė sąskaita r. % per p Iki šiol suteikia apskaitos didesnį matematinį, taip pat mirė r. % ir už p Leidžia bet rublių. Rasti valiutą buriavimo.

327. Vexel, atsižvelgiant į komerciškai r. % per p Eiti stovi t. rublių pigiau, chem su vartotojų apskaita, atrinkta taip r. % ir už p LED. Kokia suma yra sąskaita?

328. Du kreivės yra pagamintos iš MEAST Bet ir. \\ T B.Įsikūręs atstumu d. Vert, ir yra mezgėjas, pirmoji valanda u. Versija ir antra v. Verso; Pirmiausia pirmiau Bet Geriau. \\ T h. Į. Apibrėžkite, kada ir GDE bus kurjeriai?

328. Du kurjeriai pasirinkite iš "Meis" Bet ir. \\ T B. Įsikūręs atstumu d. Lust, ir jie abu yra ta pačia kryptimi, pirmoji pirmoji ir. \\ T Turi ir antra v. Verso; Kiti Pervagas nuo Bet Geriau. \\ T h. valandų iki antrojo B.. Nuspręskite, kada ir DGE pirmasis kurjeris pasieks antrąjį?

329. Vis dar yra numeris bet Takia, trys dalys, kurios taikomos t. , antrasis pirmoji sumažėja m. ir nustatykite daugintis p ir trečiasis skaidinys p , gauti rezultatai bus lygūs.

329. Vis dar skaičius bet Takia, trys dalys, kad jei pirmasis bus suprantamas t. , antrasis pirmasis padidėjimas t. , tada padauginkite p ir trečiasis skaidinys p Tai bus lygūs rezultatai.

330. Baseine vyko trys vamzdžiai A, B. ir. \\ T Nuo.. Per Bet ir. \\ T Nuo. Vanduo sustiprintas Į Bet ir. \\ T Įbaseinas užpildo B. t. valandos Bet ir. \\ T C. į p valandos Į ir. \\ T Nuo. į r. valandos. Koks laikas bus užpildytas vienu metu trimis vamzdžiais?

330. Baseine vyko trys vamzdžiai A, B. ir. \\ T Nuo.. Per Bet Vanduo sustiprintas Į ir. \\ T Nuo. Tai reiškia Jungtinės atveju Bet ir. \\ T Į Baseinas užpildo B. t. valandos Bet ir. \\ T Nuo. į p Valandos, vamzdžiai Į ir. \\ T Nuo. išpilkite visą baseiną r. valandos. Koks laikas yra visas baseinas, apimantis tuo pačiu metu pastaruosius iš visų trijų vamzdžių?