Vzorce na nájdenie rovnice naklonenej dotyčnice. Online kalkulačka. Rovnica priamej dotyčnice ku grafu funkcie v danom bode

Článok poskytuje podrobné vysvetlenie definícií, geometrický význam derivátu s grafické symboly. Rovnica dotyčnice bude uvažovaná s príkladmi, nájde sa rovnica dotyčnice ku krivkám 2. rádu.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definícia 1

Uhol sklonu priamky y = k x + b sa nazýva uhol α, ktorý sa meria od kladného smeru osi x k priamke y = k x + b v kladnom smere.

Na obrázku je smer x označený zelenou šípkou a zeleným oblúkom a uhol sklonu červeným oblúkom. Modrá čiara označuje priamku.

Definícia 2

Sklon priamky y = k x + b sa nazýva číselný koeficient k.

Uhlový koeficient sa rovná dotyčnici priamky, inými slovami k = t g α.

• Uhol sklonu priamky sa rovná 0 iba vtedy, ak je rovnobežná s x a sklon je rovný nule, pretože dotyčnica nuly sa rovná 0. To znamená, že tvar rovnice bude y = b.
• Ak je uhol sklonu priamky y = k x + b ostrý, potom sú splnené podmienky 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 a v grafe je nárast.
• Ak α = π 2, potom je umiestnenie priamky kolmé na x. Rovnosť je určená x = c, pričom hodnota c je reálne číslo.
• Ak je uhol sklonu priamky y = k x + b tupý, potom zodpovedá podmienkam π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Definícia 3

Sekanta je priamka, ktorá prechádza cez 2 body funkcie f (x). Inými slovami, sečna je priama čiara, ktorá je nakreslená cez ľubovoľné dva body v grafe danú funkciu.

Obrázok ukazuje, že A B je sečna a f (x) je čierna krivka, α je červený oblúk označujúci uhol sklonu sečny.

Kedy sklon priamka sa rovná dotyčnici uhla sklonu, je zrejmé, že dotyčnicu z pravouhlého trojuholníka A B C nájdeme pomerom protiľahlej strany k susednej.

Definícia 4

Dostaneme vzorec na nájdenie sekantu formulára:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, kde úsečky bodov A a B sú hodnoty x A, x B a f (x A), f (x B) sú funkcie hodnôt v týchto bodoch.

Je zrejmé, že uhlový koeficient sečnice sa určuje pomocou rovnosti k = f (x B) - f (x A) x B - x A alebo k = f (x A) - f (x B) x A - x B , pričom rovnicu treba zapísať ako y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) resp.
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B).

Secant rozdeľuje graf vizuálne na 3 časti: naľavo od bodu A, od A do B, napravo od B. Obrázok nižšie ukazuje, že existujú tri sečeny, ktoré sa považujú za zhodné, to znamená, že sú nastavené pomocou podobná rovnica.

Podľa definície je jasné, že priamka a jej sečnica v v tomto prípade zladiť sa.

Secant môže pretínať graf danej funkcie viackrát. Ak pre sečnicu existuje rovnica v tvare y = 0, potom je počet priesečníkov so sínusoidou nekonečný.

Definícia 5

Tangenta ku grafu funkcie f (x) v bode x 0 ; f (x 0) je priamka prechádzajúca daným bodom x 0; f (x 0), s prítomnosťou segmentu, ktorý má veľa hodnôt x blízkych x 0.

Príklad 1

Pozrime sa bližšie na príklad nižšie. Potom je jasné, že priamku definovanú funkciou y = x + 1 považujeme za dotyčnicu k y = 2 x v bode so súradnicami (1; 2). Pre prehľadnosť je potrebné zvážiť grafy s hodnotami blízkymi (1; 2). Funkcia y = 2 x je znázornená čiernou farbou, modrá čiara je dotyčnica a červená bodka je priesečník.

Je zrejmé, že y = 2 x sa spája s čiarou y = x + 1.

Na určenie dotyčnice by sme mali zvážiť správanie dotyčnice A B, keď sa bod B nekonečne približuje k bodu A. Pre prehľadnosť uvádzame nákres.

Sečna A B označená modrou čiarou smeruje k polohe samotnej dotyčnice a uhol sklonu sečny α sa začne približovať k uhlu sklonu samotnej dotyčnice α x.

Definícia 6

Dotyčnica ku grafu funkcie y = f (x) v bode A sa považuje za limitnú polohu sečny A B, keďže B smeruje k A, teda k B → A.

Teraz prejdime k uvažovaniu o geometrickom význame derivácie funkcie v bode.

Prejdime k uvažovaniu sečnice A B pre funkciu f (x), kde A a B so súradnicami x 0, f (x 0) a x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) a ∆ x je označené ako prírastok argumentu . Teraz bude mať funkcia tvar ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Pre názornosť uveďme príklad kresby.

Uvažujme výsledný pravouhlý trojuholník A B C. Na riešenie použijeme definíciu dotyčnice, to znamená, že získame vzťah ∆ y ∆ x = t g α . Z definície dotyčnice vyplýva, že lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Podľa pravidla o derivácii v bode máme, že derivácia f (x) v bode x 0 sa nazýva limita pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, kde ∆ x → 0 , potom to označíme ako f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Z toho vyplýva, že f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, kde k x je označená ako sklon dotyčnice.

To znamená, že zistíme, že f ' (x) môže existovať v bode x 0 a podobne ako dotyčnica k danému grafu funkcie v bode dotyku rovnajúcemu sa x 0, f 0 (x 0), kde hodnota sklon dotyčnice v bode sa rovná derivácii v bode x 0 . Potom dostaneme, že k x = f " (x 0) .

Geometrický význam derivácia funkcie v bode je, že je daný pojem existencie dotyčnice ku grafu v tom istom bode.

Na napísanie rovnice akejkoľvek priamky na rovine je potrebné mať uhlový koeficient s bodom, ktorým prechádza. Jeho zápis sa berie ako x 0 v priesečníku.

Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie y = f (x) v bode x 0, f 0 (x 0) má tvar y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

To znamená, že konečná hodnota derivácie f "(x 0) môže určiť polohu dotyčnice, teda vertikálne, za predpokladu, že lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ a lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ alebo vôbec neprítomnosť za podmienky lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Umiestnenie dotyčnice závisí od hodnoty jej uhlového koeficientu k x = f "(x 0). Keď je rovnobežná s osou x, dostaneme, že k k = 0, keď je rovnobežná s o y - k x = ∞, a tvar rovnica dotyčnice x = x 0 rastie s k x > 0, klesá ako k x< 0 .

Príklad 2

Zostavte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 v bode so súradnicami (1; 3) a určte uhol sklonu.

Riešenie

Podmienkou máme, že funkcia je definovaná pre všetkých reálne čísla. Zistíme, že bod so súradnicami určenými podmienkou (1; 3) je bod dotyku, potom x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Je potrebné nájsť deriváciu v bode s hodnotou - 1. Chápeme to

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Hodnota f' (x) v bode dotyčnice je sklon dotyčnice, ktorý sa rovná dotyčnici sklonu.

Potom k x = t g α x = y" (x 0) = 3 3

Z toho vyplýva, že α x = a r c t g 3 3 = π 6

odpoveď: dotyčnica má tvar

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Pre názornosť uvádzame príklad v grafickom znázornení.

Čierna farba je použitá pre graf pôvodnej funkcie, Modrá farba– obraz dotyčnice, červený bod – dotykový bod. Obrázok vpravo ukazuje zväčšený pohľad.

Príklad 3

Určte existenciu dotyčnice ku grafu danej funkcie
y = 3 · x - 1 5 + 1 v bode so súradnicami (1 ; 1) . Napíšte rovnicu a určte uhol sklonu.

Riešenie

Podmienkou máme, že definičný obor danej funkcie sa považuje za množinu všetkých reálnych čísel.

Prejdime k hľadaniu derivátu

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ak x 0 = 1, potom f' (x) nie je definované, ale limity sú zapísané ako lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ a lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , čo znamená existencia vertikálnej dotyčnice v bode (1; 1).

odpoveď: rovnica bude mať tvar x = 1, kde uhol sklonu bude rovný π 2.

Pre názornosť si to znázornime graficky.

Príklad 4

Nájdite body na grafe funkcie y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, kde

1. Neexistuje žiadna dotyčnica;
2. Dotyčnica je rovnobežná s x;
3. Dotyčnica je rovnobežná s priamkou y = 8 5 x + 4.

Riešenie

Je potrebné venovať pozornosť rozsahu definície. Podmienkou máme, že funkcia je definovaná na množine všetkých reálnych čísel. Rozšírime modul a riešime sústavu s intervalmi x ∈ - ∞ ; 2 a [-2; + ∞). Chápeme to

y = - 115 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [ - 2; + ∞)

Je potrebné odlíšiť funkciu. To máme

y" = -115 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y" = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [ - 2; + ∞)

Keď x = − 2, potom derivácia neexistuje, pretože jednostranné limity nie sú v tomto bode rovnaké:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Vypočítame hodnotu funkcie v bode x = - 2, kde to dostaneme

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, teda dotyčnica v bode ( - 2; - 2) nebude existovať.
2. Dotyčnica je rovnobežná s x, keď je sklon nula. Potom k x = t g α x = f "(x 0). To znamená, že je potrebné nájsť hodnoty takéhoto x, keď ho derivácia funkcie zmení na nulu. To znamená hodnoty f " (x) budú dotykové body, kde dotyčnica je rovnobežná s x .

Keď x ∈ - ∞ ; - 2, potom - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 a pre x ∈ (- 2; + ∞) dostaneme 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; +∞

Vypočítajte zodpovedajúce funkčné hodnoty

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 r 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Preto - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 sa považujú za požadované body grafu funkcie.

Pozrime sa na grafické znázornenie riešenia.

Čierna čiara je graf funkcie, červené bodky sú dotykové body.

1. Keď sú čiary rovnobežné, uhlové koeficienty sú rovnaké. Potom je potrebné hľadať body na grafe funkcie, kde sa sklon bude rovnať hodnote 8 5. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť rovnicu v tvare y "(x) = 8 5. Potom, ak x ∈ - ∞; - 2, dostaneme, že - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, a ak x ∈ ( - 2; + ∞), potom 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Prvá rovnica nemá korene, pretože diskriminant je menší ako nula. Poďme si to zapísať

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Ďalšia rovnica má teda dva skutočné korene

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

Prejdime k hľadaniu hodnôt funkcie. Chápeme to

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Body s hodnotami - 1; 4 15, 5; 8 3 sú body, v ktorých sú dotyčnice rovnobežné s priamkou y = 8 5 x + 4.

odpoveď:čierna čiara – graf funkcie, červená čiara – graf y = 8 5 x + 4, modrá čiara – dotyčnice v bodoch - 1; 4 15, 5; 8 3.

Pre dané funkcie môže existovať nekonečný počet dotyčníc.

Príklad 5

Napíšte rovnice všetkých dostupných dotyčníc funkcie y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, ktoré sú umiestnené kolmo na priamku y = - 2 x + 1 2.

Riešenie

Na zostavenie rovnice dotyčnice je potrebné nájsť koeficient a súradnice dotyčnicového bodu na základe podmienky kolmosti priamok. Definícia je nasledovná: súčin uhlových koeficientov, ktoré sú kolmé na priamky, sa rovná - 1, to znamená, že sa zapíše ako k x · k ⊥ = - 1. Z podmienky máme, že uhlový koeficient je umiestnený kolmo na priamku a rovná sa k ⊥ = - 2, potom k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Teraz musíte nájsť súradnice dotykových bodov. Musíte nájsť x a potom jeho hodnotu pre danú funkciu. Všimnite si, že z geometrického významu derivácie v bode
x 0 dostaneme, že k x = y "(x 0). Z tejto rovnosti nájdeme hodnoty x pre body dotyku.

Chápeme to

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - hriech 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 hriech 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 hriech 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 hriech 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ hriech 3 2 x 0 - π 4 = - 19

Táto trigonometrická rovnica sa použije na výpočet súradníc dotyčnicových bodov.

3 2 x 0 - π 4 = a rc sin - 1 9 + 2 πk alebo 3 2 x 0 - π 4 = π - a rc sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a rc sin 1 9 + 2 πk alebo 3 2 x 0 - π 4 = π + a rc sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk alebo x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z je množina celých čísel.

bolo nájdených x styčných bodov. Teraz musíte prejsť k hľadaniu hodnôt y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - hriech 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 alebo y 0 = 3 - 1 - hriech 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 alebo y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 alebo y 0 = - 4 5 + 1 3

Z toho dostaneme, že 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 sú dotykové body.

odpoveď: potrebné rovnice budú napísané ako

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Pre vizuálnu reprezentáciu zvážte funkciu a dotyčnicu na súradnicovej čiare.

Obrázok ukazuje, že funkcia sa nachádza na intervale [-10; 10 ], kde čierna čiara je graf funkcie, modré čiary sú dotyčnice, ktoré sú umiestnené kolmo na danú čiaru v tvare y = - 2 x + 1 2. Červené bodky sú dotykové body.

Kanonické rovnice kriviek 2. rádu nie sú jednohodnotové funkcie. Tangentové rovnice pre nich sú zostavené podľa známych schém.

Tangenta ku kruhu

Definovať kružnicu so stredom v bode x c ​​e n t e r ; y c e n t e r a polomer R, použite vzorec x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Túto rovnosť možno zapísať ako spojenie dvoch funkcií:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Prvá funkcia je umiestnená hore a druhá dole, ako je znázornené na obrázku.

Zostaviť rovnicu kružnice v bode x 0; y 0 , ktorý sa nachádza v hornom alebo dolnom polkruhu, by ste mali nájsť rovnicu grafu funkcie v tvare y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r alebo y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r v označenom bode.

Keď v bodoch x c e n t e r ; y c e n t e r + R a x c e n t e r; y c e n t e r - R dotyčnice môžu byť dané rovnicami y = y c e n t e r + R a y = y c e n t e r - R a v bodoch x c e n t e r + R; y c e n t e r a
x c e n t e r - R; y c e n t e r bude rovnobežné s o y, potom dostaneme rovnice tvaru x = x c e n t e r + R a x = x c e n t e r - R .

Tangenta k elipse

Keď má elipsa stred v x c e n t e r ; y c e n t e r s poloosami a a b, potom ho možno špecifikovať pomocou rovnice x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Elipsu a kružnicu môžeme označiť spojením dvoch funkcií, a to hornej a dolnej polovice elipsy. Potom to dostaneme

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ak sú dotyčnice umiestnené vo vrcholoch elipsy, potom sú rovnobežné okolo x alebo okolo y. Nižšie, kvôli prehľadnosti, zvážte obrázok.

Príklad 6

Napíšte rovnicu dotyčnice k elipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 v bodoch s hodnotami x rovnými x = 2.

Riešenie

Je potrebné nájsť dotykové body, ktoré zodpovedajú hodnote x = 2. Dosadíme do existujúcej rovnice elipsy a nájdeme ju

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Potom 2; 5 3 2 + 5 a 2; - 5 3 2 + 5 sú dotykové body, ktoré patria hornej a dolnej polovici elipsy.

Prejdime k hľadaniu a riešeniu rovnice elipsy vzhľadom na y. Chápeme to

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 r - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Je zrejmé, že horná polovica elipsy je špecifikovaná pomocou funkcie tvaru y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 a spodná polovica elipsy y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Aplikujme štandardný algoritmus na vytvorenie rovnice pre dotyčnicu ku grafu funkcie v bode. Napíšeme, že rovnica pre prvú dotyčnicu v bode 2; 5 3 2 + 5 bude vyzerať

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y" (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Zistíme, že rovnica druhej dotyčnice s hodnotou v bode
2; - 5 3 2 + 5 má formu

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y" (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Graficky sú dotyčnice označené nasledovne:

Tangenta k hyperbole

Keď má hyperbola stred v x c e n t e r ; y c e n t e r a vrcholy x c e n t e r + α ; y c e n t e r a x c e n t e r - a; y c e n t e r , nastáva nerovnosť x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, ak s vrcholmi x c e n t e r ; y c e n t e r + b a x c e n t e r; y c e n t e r - b , potom sa špecifikuje pomocou nerovnosti x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = -1 .

Hyperbola môže byť reprezentovaná ako dve kombinované funkcie formulára

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r alebo y = b a e e 2 c e 2 c e 2 c e 2 x - x e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

V prvom prípade platí, že dotyčnice sú rovnobežné s y a v druhom sú rovnobežné s x.

Z toho vyplýva, že na nájdenie rovnice dotyčnice k hyperbole je potrebné zistiť, ku ktorej funkcii dotykový bod patrí. Aby sme to určili, je potrebné dosadiť do rovníc a skontrolovať identitu.

Príklad 7

Napíšte rovnicu pre dotyčnicu k hyperbole x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 v bode 7; - 3 3 - 3 .

Riešenie

Je potrebné transformovať záznam riešenia pre nájdenie hyperboly pomocou 2 funkcií. Chápeme to

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 a y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Je potrebné identifikovať, do ktorej funkcie daný bod so súradnicami 7 patrí; - 3 3 - 3 .

Je zrejmé, že na kontrolu prvej funkcie je potrebné y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, potom bod nepatrí do grafu, keďže neplatí rovnosť.

Pre druhú funkciu platí, že y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, čo znamená, že bod patrí do daného grafu. Odtiaľ by ste mali nájsť svah.

Chápeme to

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

odpoveď: tangensová rovnica môže byť reprezentovaná ako

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Je to jasne znázornené takto:

Tangenta k parabole

Ak chcete vytvoriť rovnicu pre dotyčnicu k parabole y = a x 2 + b x + c v bode x 0, y (x 0), musíte použiť štandardný algoritmus, potom bude mať rovnica tvar y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0). Takáto dotyčnica vo vrchole je rovnobežná s x.

Mali by ste definovať parabolu x = a y 2 + b y + c ako spojenie dvoch funkcií. Preto musíme vyriešiť rovnicu pre y. Chápeme to

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Graficky znázornené ako:

Ak chcete zistiť, či bod x 0, y (x 0) patrí funkcii, postupujte jemne podľa štandardného algoritmu. Takáto dotyčnica bude rovnobežná s oy vzhľadom na parabolu.

Príklad 8

Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu x - 2 y 2 - 5 y + 3, keď máme dotyčnicový uhol 150°.

Riešenie

Riešenie začneme reprezentáciou paraboly ako dvoch funkcií. Chápeme to

2 r 2 - 5 r + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 r = 5 - 49 - 8 x - 4

Hodnota sklonu sa rovná hodnote derivácie v bode x 0 tejto funkcie a rovná sa dotyčnici uhla sklonu.

Dostaneme:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150° = - 1 3

Odtiaľ určíme hodnotu x pre body dotyku.

Prvá funkcia bude napísaná ako

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Je zrejmé, že neexistujú žiadne skutočné korene, pretože sme dostali zápornú hodnotu. Dospeli sme k záveru, že pre takúto funkciu neexistuje dotyčnica s uhlom 150°.

Druhá funkcia bude napísaná ako

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Máme, že styčné body sú 23 4 ; - 5 + 3 4 .

odpoveď: dotyčnica má tvar

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Poďme si to graficky znázorniť takto:

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Y = f(x) a ak v tomto bode možno nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie, ktorá nie je kolmá na os x, potom sa uhlový koeficient dotyčnice rovná f"(a). to viackrát použil.Napríklad v § 33 bolo ustanovené, že graf funkcie y = sin x (sínusoida) v počiatku zviera s osou x (presnejšie dotyčnicou k osi x) uhol 45°. graf na začiatku zviera uhol 45° s kladným smerom osi x) a v príklade 5 § 33 bodov bolo nájdených podľa plánu funkcie, v ktorom je dotyčnica rovnobežná s osou x. V príklade 2 § 33 bola zostavená rovnica pre dotyčnicu ku grafu funkcie y = x 2 v bode x = 1 (presnejšie v bode (1; 1), ale častejšie je len hodnota abscisy). naznačené v domnienke, že ak je známa hodnota úsečky, potom hodnotu zvislej osi možno nájsť z rovnice y = f(x)). V tejto časti vyvinieme algoritmus na zostavenie tangentovej rovnice ku grafu ľubovoľnej funkcie.

Nech je daná funkcia y = f(x) a bod M (a; f(a)) a je tiež známe, že existuje f"(a). Vytvorme rovnicu pre dotyčnicu ku grafu daná funkcia v daný bod. Táto rovnica, podobne ako rovnica akejkoľvek priamky, ktorá nie je rovnobežná s osou ordinátov, má tvar y = kx+m, takže úlohou je nájsť hodnoty koeficientov k a m.

S uhlovým koeficientom k nie sú žiadne problémy: vieme, že k = f "(a). Na výpočet hodnoty m použijeme skutočnosť, že požadovaná priamka prechádza bodom M(a; f (a)) To znamená, že ak do rovnice priamky dosadíme súradnice bodu M, dostaneme správnu rovnosť: f(a) = ka+m, z čoho zistíme, že m = f(a) - ka.
Zostáva dosadiť nájdené hodnoty koeficientov súpravy rovnica rovno:

Získali sme rovnicu pre dotyčnicu ku grafu funkcie y = f(x) v bode x=a.
Ak povedzme
Dosadením nájdených hodnôt a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 do rovnice (1) dostaneme: y = 1+2(x-f), teda y = 2x-1.
Porovnajte tento výsledok s výsledkom získaným v príklade 2 z § 33. Prirodzene, stalo sa to isté.
Vytvorme rovnicu pre dotyčnicu ku grafu funkcie y = tan x v počiatku. Máme: to znamená cos x f"(0) = 1. Dosadením nájdených hodnôt a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 do rovnice (1) dostaneme: y = x.
Preto sme tangentoid v § 15 (pozri obr. 62) nakreslili cez počiatok súradníc pod uhlom 45° k osi x.
Vyriešenie týchto dosť jednoduché príklady, vlastne sme použili určitý algoritmus, ktorý je obsiahnutý vo vzorci (1). Urobme tento algoritmus explicitným.

ALGORITHM NA VYTVORENIE ROVNICE PRE TANGENTU KU GRAFU FUNKCIE y = f(x)

1) Označte úsečku dotykového bodu písmenom a.
2) Vypočítajte 1 (a).
3) Nájdite f"(x) a vypočítajte f"(a).
4) Dosaďte nájdené čísla a, f(a), (a) do vzorca (1).

Príklad 1 Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode x = 1.
Použime algoritmus, berúc do úvahy to v tomto príklade

Na obr. 126 je znázornená hyperbola, je zostrojená priamka y = 2.
Nákres potvrdzuje vyššie uvedené výpočty: skutočne sa priamka y = 2 dotýka hyperboly v bode (1; 1).

odpoveď: y = 2-x.
Príklad 2 Nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie tak, aby bola rovnobežná s priamkou y = 4x - 5.
Ujasnime si formuláciu problému. Požiadavka „nakresliť dotyčnicu“ zvyčajne znamená „vytvoriť rovnicu pre dotyčnicu“. Je to logické, pretože ak bol človek schopný vytvoriť rovnicu pre dotyčnicu, potom je nepravdepodobné, že by mal ťažkosti zostrojiť priamku na rovine súradníc pomocou jej rovnice.
Použime algoritmus na zostavenie dotyčnicovej rovnice, berúc do úvahy, že v tomto príklade je tu však na rozdiel od predchádzajúceho príkladu nejednoznačnosť: úsečka dotyčnicového bodu nie je explicitne uvedená.
Začnime takto uvažovať. Požadovaná dotyčnica musí byť rovnobežná s priamkou y = 4x-5. Dve čiary sú rovnobežné práve vtedy, ak sú ich sklony rovnaké. To znamená, že uhlový koeficient dotyčnice sa musí rovnať uhlovému koeficientu danej priamky: Hodnotu a teda môžeme nájsť z rovnice f"(a) = 4.
Máme:
Z rovnice To znamená, že existujú dve dotyčnice, ktoré spĺňajú podmienky úlohy: jedna v bode s osou 2, druhá v bode s osou -2.
Teraz môžete postupovať podľa algoritmu.

Príklad 3 Z bodu (0; 1) nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie
Použime algoritmus na zostavenie dotyčnicovej rovnice, berúc do úvahy, že v tomto príklade, Všimnite si, že tu, ako v príklade 2, úsečka dotyčnicového bodu nie je explicitne uvedená. Napriek tomu postupujeme podľa algoritmu.

Podľa podmienky dotyčnica prechádza bodom (0; 1). Dosadením hodnôt x = 0, y = 1 do rovnice (2) dostaneme:
Ako vidíte, v tomto príklade sa nám až vo štvrtom kroku algoritmu podarilo nájsť úsečku dotyčnicového bodu. Dosadením hodnoty a = 4 do rovnice (2) dostaneme:

Na obr. 127 predstavuje geometrické znázornenie uvažovaného príkladu: nakreslí sa graf funkcie

V § 32 sme poznamenali, že pre funkciu y = f(x), ktorá má deriváciu v pevnom bode x, platí približná rovnosť:

Pre uľahčenie ďalšieho uvažovania zmeňme zápis: namiesto x budeme písať a, namiesto x budeme písať x a podľa toho namiesto x-a. Potom bude mať vyššie napísaná približná rovnosť podobu:

Teraz sa pozrite na obr. 128. Ku grafu funkcie y = f(x) v bode M (a; f (a)) sa nakreslí dotyčnica. Bod x je vyznačený na osi x blízko a. Je jasné, že f(x) je ordináta grafu funkcie v zadanom bode x. Čo je f(a) + f"(a) (x-a)? Toto je ordináta dotyčnice zodpovedajúcej rovnakému bodu x - pozri vzorec (1). Aký význam má približná rovnosť (3)? Skutočnosť že Ak chcete vypočítať približnú hodnotu funkcie, vezmite hodnotu ordináty dotyčnice.

Príklad 4. Nájdite približnú hodnotu číselné vyjadrenie 1,02 7 .
Je to o o nájdení hodnoty funkcie y = x 7 v bode x = 1,02. Použime vzorec (3), berúc do úvahy to v tomto príklade
V dôsledku toho dostaneme:

Ak použijeme kalkulačku, dostaneme: 1,02 7 = 1,148685667...
Ako vidíte, presnosť aproximácie je celkom prijateľná.
odpoveď: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovich Algebra 10. ročník

Kalendár-tematické plánovanie v matematike, video v matematike online, Matematika v škole na stiahnutie

Obsah lekcie poznámky k lekcii podporná rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia autotest workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rečnícke otázky študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, diagramy, humor, anekdoty, vtipy, komiksy, podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky triky pre zvedavcov jasličky učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici, prvky inovácie v lekcii, nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok usmernenia diskusné programy Integrované lekcie

Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Čeľabinská oblasť

Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie

Článok vyšiel s podporou Hotelového komplexu ITAKA+. Pri pobyte v meste staviteľov lodí Severodvinsk sa nestretnete s problémom nájsť dočasné bývanie. , na webovej stránke hotelového komplexu „ITHAKA+“ http://itakaplus.ru si môžete jednoducho a rýchlo prenajať byt v meste na akékoľvek obdobie s dennou platbou.

Zapnuté moderná scéna rozvoj vzdelania, jednou z jeho hlavných úloh je formovanie tvorivo mysliacej osobnosti. Schopnosť tvorivosti u žiakov možno rozvíjať len vtedy, ak sa systematicky zapájajú do základov výskumnej činnosti. Základom pre uplatnenie tvorivých síl, schopností a talentu študentov sú plnohodnotné vedomosti a zručnosti. V tomto smere je nemenej dôležitý problém vytvorenia systému základných vedomostí a zručností pre každú tému školského kurzu matematiky. Plnohodnotné zručnosti by zároveň mali byť didaktickým cieľom nie jednotlivých úloh, ale ich dôkladne premysleného systému. V najširšom zmysle je systém chápaný ako súbor vzájomne prepojených interagujúcich prvkov, ktoré majú celistvosť a stabilnú štruktúru.

Uvažujme o technike, ako naučiť študentov písať rovnicu pre dotyčnicu ku grafu funkcie. V podstate všetky problémy hľadania tangensovej rovnice spočívajú v potrebe vybrať z množiny (zväzku, rodiny) čiar tie, ktoré spĺňajú určitú požiadavku - sú dotyčnicou ku grafu určitej funkcie. V tomto prípade je možné množinu riadkov, z ktorých sa vykonáva výber, určiť dvoma spôsobmi:

a) bod ležiaci v rovine xOy (stredová ceruzka čiar);
b) uhlový koeficient (rovnobežný lúč priamok).

V tomto ohľade sme pri štúdiu témy „Dotyčnica ku grafu funkcie“ s cieľom izolovať prvky systému identifikovali dva typy problémov:

1) problémy na dotyčnici danej bodom, ktorým prechádza;
2) problémy na dotyčnici danej jej sklonom.

Školenie v riešení tangenciálnych problémov sa uskutočnilo pomocou algoritmu navrhnutého A.G. Mordkovič. Jeho zásadný rozdiel z už známych je, že úsečka dotykového bodu sa označuje písmenom a (namiesto x0), a preto rovnica dotyčnice nadobúda tvar

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(porovnaj s y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Táto metodická technika podľa nášho názoru umožňuje študentom rýchlo a jednoducho pochopiť, kde sú súradnice aktuálneho bodu v všeobecnú tangentovú rovnicu a kde sú body dotyku.

Algoritmus na zostavenie tangensovej rovnice ku grafu funkcie y = f(x)

1. Označte úsečku dotykového bodu písmenom a.
2. Nájdite f(a).
3. Nájdite f "(x) a f "(a).
4. Nájdené čísla a, f(a), f "(a) dosaďte do všeobecnej rovnice dotyčnice y = f(a) = f "(a)(x – a).

Tento algoritmus je možné zostaviť na základe nezávislej identifikácie operácií študentov a postupnosti ich implementácie.

Prax ukázala, že postupné riešenie každého z kľúčových problémov pomocou algoritmu vám umožňuje rozvíjať zručnosti zapisovania rovnice dotyčnice ku grafu funkcie v etapách a kroky algoritmu slúžia ako referenčné body pre akcie. . Tento prístup zodpovedá teórii postupného formovania mentálnych akcií, ktorú vyvinul P.Ya. Galperin a N.F. Talyzina.

V prvom type úloh boli identifikované dve kľúčové úlohy:

• dotyčnica prechádza bodom ležiacim na krivke (úloha 1);
• dotyčnica prechádza bodom, ktorý neleží na krivke (úloha 2).

Úloha 1. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode M(3; – 2).

Riešenie. Bod M(3; – 2) je dotykový bod, pretože

1. a = 3 – úsečka dotykového bodu.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – tangentová rovnica.

Úloha 2. Napíšte rovnice všetkých dotyčníc ku grafu funkcie y = – x 2 – 4x + 2 prechádzajúcej bodom M(– 3; 6).

Riešenie. Bod M(– 3; 6) nie je dotykový bod, pretože f(– 3) 6 (obr. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f" (a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – rovnica dotyčnice.

Dotyčnica prechádza bodom M(– 3; 6), preto jej súradnice vyhovujú rovnici dotyčnice.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2 (a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ak a = – 4, potom rovnica dotyčnice je y = 4x + 18.

Ak a = – 2, rovnica dotyčnice má tvar y = 6.

V druhom type budú kľúčové úlohy nasledovné:

• dotyčnica je rovnobežná s nejakou priamkou (úloha 3);
• dotyčnica prechádza pod určitým uhlom k danej priamke (úloha 4).

Úloha 3. Napíšte rovnice všetkých dotyčníc ku grafu funkcie y = x 3 – 3x 2 + 3 rovnobežne s priamkou y = 9x + 1.

Riešenie.

1. a – úsečka dotykového bodu.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Ale na druhej strane f "(a) = 9 (podmienka rovnobežnosti). To znamená, že potrebujeme vyriešiť rovnicu 3a 2 – 6a = 9. Jej korene sú a = – 1, a = 3 (obr. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f" (– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – rovnica dotyčnice;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f"(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x – 3);

y = 9x – 24 – tangensová rovnica.

Úloha 4. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y = 0,5x 2 – 3x + 1, prechádzajúcej pod uhlom 45° k priamke y = 0 (obr. 4).

Riešenie. Z podmienky f "(a) = tan 45° zistíme a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – úsečka dotykového bodu.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – rovnica dotyčnice.

Je ľahké ukázať, že riešenie akéhokoľvek iného problému spočíva v riešení jedného alebo viacerých kľúčových problémov. Zvážte nasledujúce dva problémy ako príklad.

1. Napíšte rovnice dotyčníc k parabole y = 2x 2 – 5x – 2, ak sa dotyčnice pretínajú v pravom uhle a jedna z nich sa dotýka paraboly v bode s osou 3 (obr. 5).

Riešenie. Keďže je daná úsečka dotykového bodu, prvá časť riešenia je zredukovaná na kľúčový problém 1.

1. a = 3 – úsečka bodu dotyku jednej zo strán pravého uhla.
2. f(3) = 1.
3. f"(x) = 4x – 5, f"(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – rovnica prvej dotyčnice.

Nechajte a – uhol sklonu prvej dotyčnice. Pretože dotyčnice sú kolmé, potom je uhol sklonu druhej dotyčnice. Z rovnice y = 7x – 20 prvej dotyčnice máme tg a = 7. Poďme nájsť

To znamená, že sklon druhej dotyčnice je rovný .

Ďalšie riešenie sa týka kľúčovej úlohy 3.

Nech B(c; f(c)) je dotykový bod druhej priamky

1. – úsečka druhého bodu dotyku.
2.
3.
4.
– rovnica druhej dotyčnice.

Poznámka. Uhlový koeficient dotyčnice sa dá ľahšie zistiť, ak žiaci poznajú pomer koeficientov kolmých priamok k 1 k 2 = – 1.

2. Napíšte rovnice všetkých spoločných dotyčníc ku grafom funkcií

Riešenie. Úlohou je nájsť úsečku dotyčnicových bodov spoločných dotyčníc, teda vyriešiť kľúčovú úlohu 1 vo všeobecnej forme, zostaviť sústavu rovníc a následne ju vyriešiť (obr. 6).

1. Nech a je úsečka dotykového bodu ležiaceho na grafe funkcie y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Nech c je úsečka dotykového bodu ležiaceho na grafe funkcie
2.
3. f "(c) = c.
4.

Keďže dotyčnice sú všeobecné, potom

Takže y = x + 1 a y = – 3x – 3 sú spoločné dotyčnice.

Hlavným cieľom uvažovaných úloh je pripraviť študentov na samostatné rozpoznanie typu kľúčového problému pri riešení zložitejších problémov, ktoré si vyžadujú určité výskumné zručnosti (schopnosť analyzovať, porovnávať, zovšeobecňovať, predkladať hypotézy atď.). Takéto úlohy zahŕňajú akúkoľvek úlohu, v ktorej je kľúčová úloha zahrnutá ako komponent. Uvažujme ako príklad problém (inverzný k problému 1) nájsť funkciu z rodiny jej dotyčníc.

3. Pre aké b a c sú priamky y = x a y = – 2x dotyčnica ku grafu funkcie y = x 2 + bx + c?

Riešenie.

Nech t je úsečka bodu dotyku priamky y = x s parabolou y = x 2 + bx + c; p je úsečka dotykového bodu priamky y = – 2x s parabolou y = x 2 + bx + c. Potom rovnica dotyčnice y = x bude mať tvar y = (2t + b)x + c – t 2 a rovnica dotyčnice y = – 2x bude mať tvar y = (2p + b)x + c – p 2 .

Zostavme a riešme sústavu rovníc

odpoveď:

Problémy riešiť samostatne

1. Napíšte rovnice dotyčníc nakreslených ku grafu funkcie y = 2x 2 – 4x + 3 v priesečníkoch grafu s priamkou y = x + 3.

Odpoveď: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. Pre aké hodnoty a prechádza dotyčnica nakreslená ku grafu funkcie y = x 2 – ax v bode grafu s x 0 = 1 bodom M(2; 3)?

Odpoveď: a = 0,5.

3. Pre aké hodnoty p sa priamka y = px – 5 dotýka krivky y = 3x 2 – 4x – 2?

Odpoveď: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Nájdite všetky spoločné body grafu funkcie y = 3x – x 3 a dotyčnicu vedenú k tomuto grafu cez bod P(0; 16).

Odpoveď: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Nájdite najkratšiu vzdialenosť medzi parabolou y = x 2 + 6x + 10 a priamkou

odpoveď:

6. Na krivke y = x 2 – x + 1 nájdite bod, v ktorom je dotyčnica ku grafu rovnobežná s priamkou y – 3x + 1 = 0.

Odpoveď: M(2; 3).

7. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y = x 2 + 2x – | 4x |, ktorý sa ho dotýka v dvoch bodoch. Urobte si kresbu.

Odpoveď: y = 2x – 4.

8. Dokážte, že priamka y = 2x – 1 nepretína krivku y = x 4 + 3x 2 + 2x. Nájdite vzdialenosť medzi ich najbližšími bodmi.

odpoveď:

9. Na parabole y = x 2 sú vzaté dva body s x 1 = 1, x 2 = 3. Cez tieto body je nakreslená sečna. V ktorom bode paraboly bude dotyčnica k nej rovnobežná so sečnicou? Napíšte rovnice sečny a dotyčnice.

Odpoveď: y = 4x – 3 – rovnica sečny; y = 4x – 4 – tangensová rovnica.

10. Nájdite uhol q medzi dotyčnicami ku grafu funkcie y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 nakreslenej v bodoch s osami 0 a 1.

Odpoveď: q = 45°.

11. V ktorých bodoch zviera dotyčnica ku grafu funkcie s osou Ox uhol 135°?

Odpoveď: A(0; – 1), B(4; 3).

12. V bode A(1; 8) ku krivke nakreslí sa dotyčnica. Nájdite dĺžku dotyčnicového segmentu medzi súradnicovými osami.

odpoveď:

13. Napíšte rovnicu všetkých spoločných dotyčníc ku grafom funkcií y = x 2 – x + 1 a y = 2x 2 – x + 0,5.

Odpoveď: y = – 3x a y = x.

14. Nájdite vzdialenosť medzi dotyčnicami ku grafu funkcie rovnobežne s osou x.

odpoveď:

15. Určte, pod akými uhlami parabola y = x 2 + 2x – 8 pretína os x.

Odpoveď: q 1 = arktan 6, q 2 = arktan (– 6).

16. Graf funkcií nájdite všetky body, z ktorých dotyčnica k tomuto grafu pretína kladné poloosi súradníc a oddeľuje od nich rovnaké segmenty.

Odpoveď: A(– 3; 11).

17. Priamka y = 2x + 7 a parabola y = x 2 – 1 sa pretínajú v bodoch M a N. Nájdite bod K priesečníka priamok dotýkajúcich sa paraboly v bodoch M a N.

Odpoveď: K(1; – 9).

18. Pre aké hodnoty b je priamka y = 9x + b dotyčnica ku grafu funkcie y = x 3 – 3x + 15?

Odpoveď: – 1; 31.

19. Pre aké hodnoty k má priamka y = kx – 10 iba jednu spoločný bod s grafom funkcie y = 2x 2 + 3x – 2? Pre nájdené hodnoty k určite súradnice bodu.

Odpoveď: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).

20. Pre aké hodnoty b prechádza dotyčnica nakreslená ku grafu funkcie y = bx 3 – 2x 2 – 4 v bode s os x 0 = 2 bodom M(1; 8)?

Odpoveď: b = – 3.

21. Parabola s vrcholom na osi Ox sa dotýka priamky prechádzajúcej bodmi A(1; 2) a B(2; 4) v bode B. Nájdite rovnicu paraboly.

odpoveď:

22. Pri akej hodnote koeficientu k sa parabola y = x 2 + kx + 1 dotýka osi Ox?

Odpoveď: k = d 2.

23. Nájdite uhly medzi priamkou y = x + 2 a krivkou y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Nájdite vzdialenosť medzi dotyčnicami ku grafu funkcie a generátormi s kladným smerom osi Ox pod uhlom 45°.

odpoveď:

30. Nájdite ťažisko vrcholov všetkých parabol tvaru y = x 2 + ax + b dotyčnica k priamke y = 4x – 1.

Odpoveď: priamka y = 4x + 3.

Literatúra

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra a začiatky analýzy: 3600 problémov pre školákov a študentov vysokých škôl. – M., Drop, 1999.
2. Mordkovich A. Seminár štyri pre mladých učiteľov. Téma: Aplikácie derivátov. – M., „Matematika“, č. 21/94.
3. Formovanie vedomostí a zručností na základe teórie postupnej asimilácie mentálnych akcií. / Ed. P.Ya. Galperina, N.F. Talyzina. – M., Moskovská štátna univerzita, 1968.

V tomto článku analyzujeme všetky typy problémov, ktoré treba nájsť

Spomeňme si geometrický význam derivácie: ak je ku grafu funkcie v bode nakreslená dotyčnica, potom koeficient sklonu dotyčnice (rovnajúci sa dotyčnici uhla medzi dotyčnicou a kladným smerom osi) sa rovná derivácii funkcie. v bode.

Zoberme si ľubovoľný bod na dotyčnici so súradnicami:

A zvážte pravouhlý trojuholník:

V tomto trojuholníku

Odtiaľ

Toto je rovnica dotyčnice nakreslená ku grafu funkcie v bode.

Na napísanie rovnice dotyčnice nám stačí poznať rovnicu funkcie a bod, v ktorom je dotyčnica nakreslená. Potom môžeme nájsť a .

Existujú tri hlavné typy problémov tangenciálnych rovníc.

1. Daný kontaktný bod

2. Je daný koeficient sklonu dotyčnice, teda hodnota derivácie funkcie v bode.

3. Dané sú súradnice bodu, cez ktorý je dotyčnica vedená, ale ktorý nie je dotykovým bodom.

Pozrime sa na každý typ úlohy.

1. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode .

.

b) Nájdite hodnotu derivátu v bode . Najprv nájdime deriváciu funkcie

Nájdené hodnoty dosadíme do tangentovej rovnice:

Otvorme zátvorky na pravej strane rovnice. Dostaneme:

odpoveď: .

2. Nájdite úsečku bodov, v ktorých sa funkcie dotýkajú grafu rovnobežne s osou x.

Ak je dotyčnica rovnobežná s osou x, uhol medzi dotyčnicou a kladným smerom osi je nulový, preto je dotyčnica uhla dotyčnice nula. To znamená, že hodnota derivácie funkcie v bodoch dotyku je nula.

a) Nájdite deriváciu funkcie .

b) Prirovnajme deriváciu k nule a nájdime hodnoty, v ktorých je dotyčnica rovnobežná s osou:

Prirovnaním každého faktora k nule dostaneme:

Odpoveď: 0;3;5

3. Napíšte rovnice pre dotyčnice ku grafu funkcie , paralelný rovno .

Dotyčnica je rovnobežná s priamkou. Sklon tejto čiary je -1. Keďže dotyčnica je rovnobežná s touto priamkou, sklon dotyčnice je tiež -1. Teda poznáme sklon dotyčnice, a tým, derivačná hodnota v bode dotyku.

Toto je druhý typ problému na nájdenie tangentovej rovnice.

Dostaneme teda funkciu a hodnotu derivácie v bode dotyku.

a) Nájdite body, v ktorých sa derivácia funkcie rovná -1.

Najprv nájdime derivačnú rovnicu.

Prirovnajme deriváciu k číslu -1.

Nájdite hodnotu funkcie v bode.

(podľa podmienok)

.

b) Nájdite rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode .

Nájdite hodnotu funkcie v bode.

(podľa stavu).

Dosadme tieto hodnoty do tangentovej rovnice:

.

odpoveď:

4. Napíšte rovnicu dotyčnice ku krivke , prechod cez bod

Najprv skontrolujme, či je bod dotykovým bodom. Ak je bod dotykovým bodom, potom patrí do grafu funkcie a jeho súradnice musia spĺňať rovnicu funkcie. Dosadíme súradnice bodu do rovnice funkcie.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} záporné číslo, rovnosť nie je pravdivá a bod nepatrí do grafu funkcie a nie je styčným bodom.

Toto je posledný typ problému na nájdenie tangentovej rovnice. Prvá vec musíme nájsť úsečku dotykového bodu.

Poďme nájsť hodnotu.

Nech je styčným bodom. Bod patrí dotyčnici ku grafu funkcie. Ak dosadíme súradnice tohto bodu do rovnice dotyčnice, dostaneme správnu rovnosť:

.

Hodnota funkcie v bode je .

Nájdite hodnotu derivácie funkcie v bode.

Najprv nájdime deriváciu funkcie. Toto .

Derivácia v bode sa rovná .

Dosadíme výrazy za a do tangentovej rovnice. Dostaneme rovnicu pre:

Poďme vyriešiť túto rovnicu.

Znížte čitateľa a menovateľa zlomku o 2:

Dajme si pravá strana rovnice k spoločný menovateľ. Dostaneme:

Zjednodušme čitateľa zlomku a vynásobme obe strany - tento výraz je striktne väčší ako nula.

Dostaneme rovnicu

Poďme to vyriešiť. Aby sme to urobili, urobme štvorec oboch častí a prejdeme k systému.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ))) ( )">!}

Poďme vyriešiť prvú rovnicu.

Rozhodnime sa kvadratická rovnica, dostaneme

Druhý koreň nespĺňa podmienku title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Napíšeme rovnicu dotyčnice ku krivke v bode. Ak to chcete urobiť, dosaďte hodnotu do rovnice - Už sme to nahrali.

odpoveď:
.

Dotyčnica je priamka , ktorý sa v jednom bode dotýka grafu funkcie a ktorého všetky body sú v najkratšej vzdialenosti od grafu funkcie. Preto dotyčnica prechádza dotyčnicou ku grafu funkcie pod určitým uhlom a niekoľko dotyčníc pod rôznymi uhlami nemôže prechádzať bodom dotyku. Dotykové rovnice a normálové rovnice ku grafu funkcie sú zostrojené pomocou derivácie.

Rovnica dotyčnice je odvodená z rovnice priamky .

Odvoďme rovnicu dotyčnice a potom rovnicu normály ku grafu funkcie.

r = kx + b .

V ňom k- uhlový koeficient.

Odtiaľ dostaneme nasledujúci záznam:

r - r 0 = k(X - X 0 ) .

Hodnota derivátu f "(X 0 ) funkcie r = f(X) v bode X0 rovná sklonu k= tg φ dotyčnica ku grafu funkcie nakreslenej cez bod M0 (X 0 , r 0 ) , Kde r0 = f(X 0 ) . Toto je geometrický význam derivácie .

Môžeme teda nahradiť k na f "(X 0 ) a získajte nasledujúce rovnica dotyčnice ku grafu funkcie :

r - r 0 = f "(X 0 )(X - X 0 ) .

V problémoch týkajúcich sa skladania rovnice dotyčnice ku grafu funkcie (a čoskoro k nim prejdeme), je potrebné zredukovať rovnicu získanú z vyššie uvedeného vzorca na rovnica priamky vo všeobecnom tvare. Ak to chcete urobiť, musíte preniesť všetky písmená a čísla do ľavá strana rovnicu a na pravej strane ponechajte nulu.

Teraz o normálnej rovnici. Normálne - je to priamka prechádzajúca bodom dotyku ku grafu funkcie kolmá na dotyčnicu. Normálna rovnica :

(X - X 0 ) + f "(X 0 )(r - r 0 ) = 0

Aby ste sa zahriali, musíte sami vyriešiť prvý príklad a potom sa pozrieť na riešenie. Existuje dôvod dúfať, že táto úloha nebude pre našich čitateľov „studenou sprchou“.

Príklad 0. Vytvorte tangentovú rovnicu a normálnu rovnicu pre graf funkcie v bode M (1, 1) .

Príklad 1 Napíšte tangentovú rovnicu a normálnu rovnicu pre graf funkcie , ak úsečka je dotyčnica .

Poďme nájsť deriváciu funkcie:

Teraz máme všetko, čo je potrebné dosadiť do položky uvedenej v teoretickej nápovede, aby sme dostali tangentovú rovnicu. Dostaneme

V tomto príklade sme mali šťastie: sklon sa ukázal ako nulový, takže rovnicu samostatne zredukujeme na celkový vzhľad nebolo potrebné. Teraz môžeme vytvoriť normálnu rovnicu:

Na obrázku nižšie: graf funkcie bordová farba, dotyčnica Zelená farba, oranžová normálna.

Nasledujúci príklad tiež nie je komplikovaný: funkcia, ako v predchádzajúcom, je tiež polynóm, ale sklon sa nebude rovnať nule, takže sa pridá ešte jeden krok - uvedenie rovnice do všeobecného tvaru.

Príklad 2

Riešenie. Poďme nájsť ordinátu dotyčnicového bodu:

Poďme nájsť deriváciu funkcie:

.

Nájdite hodnotu derivácie v bode tangencie, teda v sklone dotyčnice:

Všetky získané údaje dosadíme do „prázdneho vzorca“ a dostaneme tangentovú rovnicu:

Privedieme rovnicu do jej všeobecného tvaru (na ľavej strane zhromažďujeme všetky písmená a čísla iné ako nula a na pravej strane necháme nulu):

Zostavíme normálnu rovnicu:

Príklad 3 Napíšte rovnicu dotyčnice a rovnicu normály do grafu funkcie, ak úsečka je bod dotyku.

Riešenie. Poďme nájsť ordinátu dotyčnicového bodu:

Poďme nájsť deriváciu funkcie:

.

Nájdite hodnotu derivácie v bode tangencie, teda v sklone dotyčnice:

.

Nájdeme tangentovú rovnicu:

Pred uvedením rovnice do jej všeobecného tvaru ju musíte trochu „prečesať“: vynásobte člen po člene 4. Urobíme to a rovnicu uvedieme do jej všeobecného tvaru:

Zostavíme normálnu rovnicu:

Príklad 4. Napíšte rovnicu dotyčnice a rovnicu normály do grafu funkcie, ak úsečka je bod dotyku.

Riešenie. Poďme nájsť ordinátu dotyčnicového bodu:

.

Poďme nájsť deriváciu funkcie:

Nájdite hodnotu derivácie v bode tangencie, teda v sklone dotyčnice:

.

Dostaneme tangentovú rovnicu:

Prinášame rovnicu do jej všeobecného tvaru:

Zostavíme normálnu rovnicu:

Častou chybou pri písaní tangensových a normálnych rovníc je nevšimnúť si, že funkcia uvedená v príklade je zložitá a vypočítať jej deriváciu ako deriváciu jednoduchej funkcie. Nasledujúce príklady sú už z komplexné funkcie(príslušná lekcia sa otvorí v novom okne).

Príklad 5. Napíšte rovnicu dotyčnice a rovnicu normály do grafu funkcie, ak úsečka je bod dotyku.

Riešenie. Poďme nájsť ordinátu dotyčnicového bodu:

Pozor! Táto funkcia- zložitý, pretože argument dotyčnice (2 X) je sama osebe funkciou. Preto deriváciu funkcie nájdeme ako deriváciu komplexnej funkcie.