Aká je prepona trojuholníka? Ako nájsť preponu, poznať nohu a uhol

Preložené z grécky jazyk, prepona znamená „tesný“. Aby ste to správne pochopili, predstavte si tetivu luku, ktorá spája dva konce ohybnej palice. Rovnako v pravouhlom trojuholníku je najdlhšou stranou prepona, ktorá leží oproti pravý uhol. Pôsobí ako konektor na ďalšie dve strany, nazývané nohy. Ak chcete zistiť, aká dlhá je táto „struna“, musíte mať dĺžku nôh alebo veľkosť dvoch ostrých uhlov. Kombináciou týchto údajov môžete vypočítať požadovanú hodnotu pomocou vzorcov.

Ako nájsť preponu nohami

Najjednoduchší spôsob výpočtu je, ak poznáte veľkosť dvoch nôh (jednou označme A, druhú B). Na pomoc prichádza samotný Pytagoras a jeho svetoznáma veta. Tá nám hovorí, že ak odmocníme dĺžku nôh a spočítame vypočítané hodnoty, potom ako výsledok budeme poznať druhú mocninu dĺžky prepony. Z vyššie uvedeného vyvodíme záver: na nájdenie hodnoty prepony je potrebné extrahovať druhá odmocnina z celkového súčtu štvorcov nôh C = √ (A² + B²). Príklad: strana A=10 cm, strana B=20 cm Prepona sa rovná 22,36 cm Výpočet je nasledujúci: √(10²+20²)=√(100+400)= √500≈22,36.

Ako nájsť preponu cez uhol

Je trochu ťažšie vypočítať dĺžku prepony cez daný uhol. Ak poznáte veľkosť jednej z dvoch nôh (označené A) a veľkosť uhla (označeného α), ktorý leží oproti nej, potom sa veľkosť prepony zistí pomocou trigonometrie a konkrétne sínusu. Všetko, čo musíte urobiť, je vydeliť hodnotu známej nohy sínusom uhla. C=A/sin(a). Príklad: dĺžka nohy A = 30 cm, uhol oproti nej je 45°, prepona bude 42,25 cm Výpočet je nasledovný: 30/sin(45°) = 30/0,71 = 42,25.

Ďalším spôsobom je nájsť veľkosť prepony pomocou kosínusu. Používa sa, ak poznáte veľkosť nohy (označuje sa B) a ostrý uhol(označené α), ktorý k nemu prilieha. Všetko, čo musíte urobiť, je rozdeliť hodnotu nohy sínusom uhla. С=В/ cos(α). Príklad: dĺžka nohy B = 30 cm, uhol oproti nej je 45°, prepona bude 42,25 cm Výpočet je nasledovný: 30/cos(45°) = 30/0,71 = 42,25.

Ako nájsť preponu rovnoramenného pravouhlého trojuholníka

Každý školák, ktorý si váži seba, vie, že trojuholník je rovnoramenný, za predpokladu, že dve z troch strán sú si navzájom rovné. Tieto strany sa nazývajú bočné a tá, ktorá zostáva, sa nazýva základňa. Ak je jeden z uhlov 90°, potom máte rovnoramenný pravouhlý trojuholník.

Nájdenie prepony v takomto trojuholníku je jednoduché, pretože má niekoľko vlastností, ktoré pomôžu. Uhlie susediace so základňou majú rovnakú hodnotu, celková suma hodnoty uhla sú 180°. To znamená, že pravý uhol leží oproti základni, čo znamená, že základňa je prepona a strany sú nohy.

- (grécky hypoteinousa, od hypoteino byť opak). Strana pravouhlého trojuholníka, ktorá leží oproti pravému uhlu. Slovník cudzie slová, zahrnuté v ruskom jazyku. Chudinov A.N., 1910. HYPOTENÚZA je najväčšia strana pravouhlého... ... Slovník cudzích slov ruského jazyka

hypotenzia- y, w. hypotenuse, lat. mat. Strana pravouhlého trojuholníka, ktorá leží oproti pravému uhlu. BAS 2. Prepona rovnouholníkového trojuholníka. Zemepisné heslo Gene. 165. V pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina prepony rovná dvom štvorcom... ... Historický slovník Galicizmy ruského jazyka

- (grécka hypoteinusa) strana pravouhlého trojuholníka ležiaca oproti pravému uhlu ... Veľký encyklopedický slovník

HYPOTENUSE, strana oproti pravému uhlu v pravouhlom trojuholníku. Toto je najdlhšia strana takého trojuholníka... Vedecko-technický encyklopedický slovník

HYPOTENUSE, hypotenuse, female. (grécky hypoteinusa strečing) (mat.). Strana pravouhlého trojuholníka, ktorá leží oproti pravému uhlu. Slovník Ushakova. D.N. Ušakov. 1935 1940 … Ušakovov vysvetľujúci slovník

HYPOTENUSE, s, ženský. V matematike: strana pravouhlého trojuholníka, ktorá leží oproti pravému uhlu. Ozhegovov výkladový slovník. S.I. Ozhegov, N.Yu. Švedova. 1949 1992 … Ozhegovov výkladový slovník

Podstatné meno, počet synoným: 1 strana (57) ASIS Slovník synonym. V.N. Trishin. 2013… Slovník synoným

hypotenzia- prepona. Výslovnosť [hypotenuse] je zastaraná... Slovník problémov s výslovnosťou a stresom v modernom ruskom jazyku

Existuje mnoho typov trojuholníkov: pozitívny, rovnoramenný, ostrý atď. Všetky majú vlastnosti, ktoré sú klasické len pre nich, a každá má svoje pravidlá na zisťovanie veličín, či už ide o stranu alebo uhol pri základni. Ale z každej odrody týchto geometrických útvarov je možné vyčleniť trojuholník s pravým uhlom do samostatnej skupiny.

Budete potrebovať

• Prázdny list, ceruzka a pravítko na schematické znázornenie trojuholníka.

Pokyny

1. Trojuholník sa nazýva obdĺžnikový, ak jeden z jeho uhlov je 90 stupňov. Skladá sa z 2 nôh a prepony. Prepona je najväčšia strana tohto trojuholníka. Leží proti pravému uhlu. Nohy sa preto nazývajú jeho menšie strany. Môžu byť rovnaké alebo mať rôzne veľkosti. Rovnosť nôh znamená, že pracujete s rovnoramenným pravouhlým trojuholníkom. Jeho krása spočíva v tom, že kombinuje vlastnosti 2 figúrok: pravouhlého trojuholníka a rovnoramenného trojuholníka. Ak nohy nie sú rovnaké, trojuholník je ľubovoľný a riadi sa základným zákonom: čím väčší je uhol, tým väčší je ten, ktorý leží oproti nemu.

2. Existuje niekoľko metód na nájdenie prepony podľa nohy a uhla. Pred použitím jedného z nich by ste však mali určiť, ktorá noha a uhol sú známe. Ak je daný uhol a k nemu priľahlá noha, potom sa prepona ľahšie zistí pri pohľade na kosínus uhla. Kosínus ostrého uhla (cos a) v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej vetvy k prepone. Z toho vyplýva, že prepona (c) sa bude rovnať pomeru susedného ramena (b) ku kosínusu uhla a (cos a). Dá sa to napísať takto: cos a=b/c => c=b/cos a.

3. Ak je daný uhol a opačná noha, potom by ste mali pracovať so sínusom. Sínus ostrého uhla (sin a) v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej strany (a) k prepone (c). Téza tu funguje ako v predchádzajúcom príklade, len namiesto funkcie kosínus sa berie sínus. sin a=a/c => c=a/sin a.

4. Môžete tiež použiť goniometrickú funkciu, napríklad tangens. Nájdenie požadovanej hodnoty však bude o niečo ťažšie. Tangenta ostrého uhla (tg a) v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlého ramena (a) k susednému ramenu (b). Po nájdení oboch strán použite Pytagorovu vetu (druhá mocniny prepony rovná súčtuštvorce nôh) a odhalí sa obrovská strana trojuholníka.

Prepona je strana pravouhlého trojuholníka, ktorá je oproti 90 stupňovému uhlu. Na výpočet jeho dĺžky stačí poznať dĺžku jednej z nôh a veľkosť jedného z ostrých uhlov trojuholníka.

Pokyny

1. So zadnou vetvou a ostrým uhlom pravouhlého trojuholníka sa veľkosť prepony môže rovnať pomeru vetvy ku kosínusu/sínusu tohto uhla, ak je tento uhol protiľahlý/susedný s ňou: h = C1 ( alebo C2)/sin? h = C1 (alebo C2 )/cos?.Príklad: Nech je daný pravouhlý trojuholník ABC s preponou AB a pravouhlým uhlom C dĺžka nohy BC je 8 cm Musíme nájsť dĺžku prepony AB. Na tento účel môžete použiť ktorúkoľvek z vyššie navrhnutých metód: AB = BC/cos60 = 8 cm AB = BC/sin30 = 8 cm.

slovo " nohu„pochádza z gréckych slov „kolmý“ alebo „olovnica“ – to vysvetľuje, prečo boli obe strany pravouhlého trojuholníka, ktoré tvoria jeho deväťdesiatstupňový uhol, pomenované týmto spôsobom. Nájdite dĺžku každého z nich nohu Nie je to ťažké, ak poznáte hodnotu susedného uhla a nejaký ďalší parameter, pretože v tomto prípade budú skutočne známe hodnoty všetkých 3 uhlov.

Pokyny

1. Ak je okrem hodnoty susedného uhla (β) dĺžka druhého nohu a (b), potom dĺžku nohu a (a) možno definovať ako podiel dĺžky slávneho nohu a pre tangens požadovaného uhla: a=b/tg(β). Vyplýva to z definície tejto goniometrickej funkcie. Bez dotyčnice sa zaobídete, ak použijete sínusovú vetu. Z toho vyplýva, že pomer dĺžky požadovanej strany k sínusu opačného uhla sa rovná pomeru dĺžky požadovanej strany. nohu a na sínus slávneho uhla. Na rozdiel od toho, čo je žiaduce nohu y ostrý uhol možno vyjadriť cez známy uhol ako 180°-90°-β = 90°-β, pretože súčet všetkých uhlov akéhokoľvek trojuholníka musí byť 180° a podľa definície pravouhlého trojuholníka jeden z jeho uhly sa rovnajú 90°. To znamená požadovanú dĺžku nohu a môže sa vypočítať pomocou vzorca a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

2. Ak je známa hodnota susedného uhla (β) a dĺžka prepony (c), potom dĺžka nohu a (a) možno vypočítať ako súčin dĺžky prepony a kosínusu známeho uhla: a=c∗cos(β). Vyplýva to z definície kosínusu ako goniometrickej funkcie. Ale môžete použiť, ako v predchádzajúcom kroku, vetu o sínusoch a potom dĺžku požadovaného nohu a sa bude rovnať súčinu sínusu rozdielu medzi 90° a referenčným uhlom a pomeru dĺžky prepony k sínusu pravého uhla. A keďže sínus 90° je rovný jednej, vzorec možno napísať takto: a=sin(90°-β)∗c.

3. Skutočné výpočty je možné vykonať napríklad pomocou softvérovej kalkulačky, ktorá je súčasťou operačného systému Windows. Ak ho chcete spustiť, vyberte položku „Spustiť“ v hlavnom menu na tlačidle „Štart“, zadajte príkaz calc a kliknite na tlačidlo „OK“. V najjednoduchšej verzii rozhrania tohto programu, ktorá sa štandardne otvára goniometrické funkcie nie sú k dispozícii, preto po jeho spustení musíte kliknúť na sekciu „Zobraziť“ v ponuke a vybrať riadok „Vedec“ alebo „Inžinier“ (v závislosti od verzie použitého operačného systému).

Video k téme

Slovo „kathet“ prišlo do ruštiny z gréčtiny. V presnom preklade to znamená olovnica, teda kolmá na povrch zeme. V matematike sú nohy strany, ktoré tvoria pravý uhol pravouhlého trojuholníka. Strana opačná k tomuto uhlu sa nazýva prepona. Pojem „noha“ sa používa aj v architektúre a špeciálnej technológii zvárania.

Nakreslite pravouhlý trojuholník DIA. Označte jeho nohy ako a a b a jeho preponu ako c. Všetky strany a uhly pravouhlého trojuholníka sú navzájom spojené určitými vzťahmi. Pomer nohy oproti jednému z ostrých uhlov k prepone sa nazýva sínus tohto uhla. V tomto trojuholníku sinCAB=a/c. Kosínus je pomer k prepone susednej nohy, to znamená cosCAB=b/c. Inverzné vzťahy sa nazývajú sekanta a kosekans. Sekanta daného uhla sa získa delením prepony o susedná noha, to znamená secCAB=c/b. Výsledkom je prevrátená hodnota kosínusu, to znamená, že ho možno vyjadriť pomocou vzorca secCAB=1/cosSAB. Kosekans sa rovná podielu prepony delenej opačnou stranou a je prevrátenou hodnotou sínusu. Dá sa vypočítať pomocou vzorca cosecCAB = 1/sinCAB Obe vetvy sú vo vzájomnom vzťahu dotyčnicou a kotangensom. IN v tomto prípade dotyčnica bude pomer strany a ku strane b, teda opačnej strany k susednej strane. Tento vzťah možno vyjadriť vzorcom tgCAB=a/b. V súlade s tým bude inverzný pomer kotangens: ctgCAB=b/a. Vzťah medzi veľkosťou prepony a oboch nôh určil starogrécky matematik Pytagoras. Vetu pomenovanú po ňom ľudia používajú dodnes. Hovorí, že druhá mocnina prepony sa rovná súčtu druhých mocnín nôh, teda c2 = a2 + b2. Podľa toho sa každá vetva bude rovnať druhej odmocnine rozdielu medzi druhými mocninami prepony a druhej vetvy. Tento vzorec možno zapísať ako b=?(c2-a2). Dĺžku nohy možno vyjadriť aj známymi vzťahmi. Podľa sínusovej a kosínusovej vety sa noha rovná súčinu prepony a jednej z týchto funkcií. Môže byť tiež vyjadrený prostredníctvom tangens alebo kotangens. Nohu a možno nájsť povedzme pomocou vzorca a = b*tan CAB. Rovnakým spôsobom sa v závislosti od danej dotyčnice alebo kotangens určuje 2. vetva V architektúre sa používa aj pojem „noha“. Používa sa vo vzťahu k iónskej kapitálke a označuje olovnicu cez stred jej chrbta. To znamená, že v tomto prípade tento výraz označuje kolmicu na danú čiaru. V špeciálnej technológii zvárania existuje pojem „noha kútového zvaru“. Ako v iných prípadoch, aj tu je to najviac krátka vzdialenosť. Tu hovoríme o o intervale medzi jedným z privarených dielov k hranici švu nachádzajúceho sa na povrchu iného dielu.

Video k téme

Venujte pozornosť!
Pri práci s Pytagorovou vetou nezabúdajte, že máte do činenia s titulom. Po objavení súčtu štvorcov nôh, aby ste získali konečný výsledok, musíte extrahovať druhú odmocninu.

Geometria nie je jednoduchá veda. Môže to byť užitočné pre oboch školské osnovy, a v skutočný život. Znalosť mnohých vzorcov a viet zjednoduší geometrické výpočty. Jeden z najviac jednoduché figúrky v geometrii je to trojuholník. Jedna z odrôd trojuholníkov, rovnostranná, má svoje vlastné charakteristiky.

Vlastnosti rovnostranného trojuholníka

Podľa definície je trojuholník mnohosten, ktorý má tri uhly a tri strany. Toto je plochá dvojrozmerná postava, jej vlastnosti sa študujú na strednej škole. Podľa typu uhla sa rozlišujú trojuholníky s ostrým, tupouhlým a pravouhlým uhlom. Pravý trojuholník je takýto geometrický obrazec, kde jeden z uhlov je 90º. Takýto trojuholník má dve nohy (vytvárajú pravý uhol) a jednu preponu (je oproti pravému uhlu). V závislosti od toho, aké množstvá sú známe, existujú tri jednoduchými spôsobmi Vypočítajte preponu pravouhlého trojuholníka.

Prvým spôsobom je nájsť preponu pravouhlého trojuholníka. Pytagorova veta

Pytagorova veta - najstarší spôsob Vypočítajte ľubovoľnú stranu pravouhlého trojuholníka. Znie to takto: "V pravouhlom trojuholníku sa štvorec prepony rovná súčtu štvorcov nôh." Na výpočet prepony je teda potrebné odvodiť druhú odmocninu súčtu dvoch mocnín na druhú. Pre prehľadnosť sú uvedené vzorce a diagram.

Druhý spôsob. Výpočet prepony pomocou 2 známych veličín: rameno a priľahlý uhol

Jedna z vlastností pravouhlého trojuholníka hovorí, že pomer dĺžky ramena k dĺžke prepony je ekvivalentný kosínusu uhla medzi týmto ramenom a preponou. Nám známy uhol nazvime α. Teraz vďaka známej definícii môžete jednoducho sformulovať vzorec na výpočet prepony: Prepona = noha/cos(α)

Tretia cesta. Výpočet prepony pomocou 2 známych veličín: nohy a opačného uhla

Ak je známy opačný uhol, je možné opäť využiť vlastnosti pravouhlého trojuholníka. Pomer dĺžky nohy a prepony je ekvivalentný sínusu opačného uhla. Nazvime opäť známy uhol α. Teraz na výpočty použijeme trochu iný vzorec:
Hypotenza = noha/hriech (α)

Príklady, ktoré vám pomôžu pochopiť vzorce

Pre hlbšie pochopenie každého zo vzorcov by ste mali zvážiť názorné príklady. Predpokladajme teda, že ste dostali pravouhlý trojuholník, kde sú nasledujúce údaje:

• Noha - 8 cm.
• Susedný uhol cosα1 je 0,8.
• Opačný uhol sinα2 je 0,8.

Podľa Pytagorovej vety: Prepona = druhá odmocnina z (36+64) = 10 cm.
Podľa veľkosti nohy a priľahlého uhla: 8/0,8 = 10 cm.
Podľa veľkosti nohy a opačného uhla: 8/0,8 = 10 cm.

Keď pochopíte vzorec, môžete ľahko vypočítať preponu s ľubovoľnými údajmi.

Video: Pytagorova veta

Geometria - č jednoduchá veda. Vyžaduje si to osobitnú pozornosť a znalosť presných vzorcov. Tento typ matematiky k nám prišiel Staroveké Grécko a ani po niekoľkých tisíckach rokov nestráca na aktuálnosti. Nadarmo si nemyslite, že ide o zbytočný predmet, ktorý trápi hlavy študentov a školákov. V skutočnosti je geometria použiteľná v mnohých oblastiach života. Bez znalosti geometrie sa nepostaví ani jedna architektonická štruktúra, nevzniknú autá, vesmírne lode a lietadlá. Zložité a nie príliš zložité cestné križovatky a vyjazdené koľaje – to všetko si vyžaduje geometrické výpočty. Áno, dokonca niekedy nemôžete robiť opravy vo svojej izbe bez znalosti základných vzorcov. Preto nepodceňujte dôležitosť tejto témy. Študujeme najčastejšie vzorce, ktoré musíme v škole použiť pri mnohých riešeniach. Jedným z nich je nájdenie prepony v pravouhlom trojuholníku. Aby ste tomu porozumeli, prečítajte si nižšie.

Než začneme cvičiť, začnime so základmi a definujme, čo je prepona v pravouhlom trojuholníku.

Prepona je jedna zo strán pravouhlého trojuholníka, ktorá je oproti 90 stupňovému uhlu (pravý uhol) a je vždy najdlhšia.

Existuje niekoľko spôsobov, ako zistiť dĺžku požadovanej prepony v danom pravouhlom trojuholníku.

V prípade, že sú nám už nohy známe, použijeme Pytagorovu vetu, kde sčítame súčet druhých mocnín dvoch nôh, ktorý sa bude rovnať druhej mocnine prepony.

a a b sú nohy, c je prepona.

V našom prípade pre pravouhlý trojuholník bude vzorec vyzerať takto:

Ak dosadíme známe počty ramien a a b, nech je a=3 a b=4, potom c=√32+42, dostaneme c=√25, c=5

Keď poznáme dĺžku iba jednej nohy, vzorec možno transformovať a nájsť dĺžku druhej. Vyzerá to takto:

V prípade, že podľa podmienok úlohy poznáme rameno A a preponu C, potom vieme vypočítať pravý uhol trojuholníka, nazvime ho α.

Na tento účel použijeme vzorec:

Nech druhý uhol, ktorý potrebujeme vypočítať, je β. Vzhľadom na to, že poznáme súčet uhlov trojuholníka, ktorý je 180°, potom: β= 180°-90°-α

V prípade, že poznáme hodnoty nôh, môžeme použiť vzorec na nájdenie hodnoty ostrého uhla trojuholníka:

V závislosti od známych všeobecne uznávaných hodnôt možno strany obdĺžnika nájsť z rôznych rôzne vzorce. Tu sú niektoré z nich:

Pri riešení problémov s hľadaním neznámych v pravouhlom trojuholníku je veľmi dôležité zamerať sa na hodnoty, ktoré už poznáte a na základe toho ich dosadiť do požadovaného vzorca. Bude ťažké si ich hneď zapamätať, preto vám odporúčame urobiť si malú ručnú nápovedu a vložiť si ju do zošita.

Ako vidíte, ak sa ponoríte do všetkých zložitostí tohto vzorca, môžete to ľahko zistiť. Odporúčame pokúsiť sa vyriešiť niekoľko problémov na základe tohto vzorca. Keď uvidíte svoj výsledok, bude vám jasné, či ste tejto téme porozumeli alebo nie. Pokúste sa nezapamätať si, ale ponoriť sa do materiálu, bude to oveľa užitočnejšie. Zapamätaný materiál je po prvom teste zabudnutý a s týmto vzorcom sa budete stretávať pomerne často, preto ho najskôr pochopte, až potom si ho zapamätajte. Ak tieto odporúčania nie sú uvedené pozitívny efekt, to znamená, že má zmysel absolvovať ďalšie hodiny na túto tému. A pamätajte: učenie je svetlo, nie učenie je tma!