Celkový súčet všetkých uhlov trojuholníka v stupňoch. Veta o súčte trojuholníka

Veta. Množstvo vnútorného trojuholníkové uhly rovný dvom pravým uhlom.

Zoberme si trojuholník ABC (obr. 208). Označme jej vnútorné uhly číslami 1, 2 a 3. Dokážme to

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Nakreslime cez nejaký vrchol trojuholníka, napríklad B, priamku MN rovnobežnú s AC.

Vo vrchole B sme dostali tri uhly: ∠4, ∠2 a ∠5. Ich súčet je priamy uhol, preto sa rovná 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Ale ∠4 = ∠1 sú vnútorné priečne uhly s rovnobežkami MN a AC a sečnicou AB.

∠5 = ∠3 - ide o vnútorné priečne uhly s rovnobežkami MN a AC a sečnicou BC.

To znamená, že ∠4 a ∠5 možno nahradiť ich rovnými ∠1 a ∠3.

Preto ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Veta bola dokázaná.

2. Vlastnosť vonkajšieho uhla trojuholníka.

Veta. Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch vnútorných uhlov, ktoré s ním nesusedia.

V skutočnosti v trojuholníku ABC (obr. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, ale aj ∠ВСD je vonkajší uhol tohto trojuholníka, ktorý nesusedí s ∠1 a ∠2, tiež rovný 180°. - ∠3 .

Takto:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Preto ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Odvodená vlastnosť vonkajšieho uhla trojuholníka objasňuje obsah predtým dokázanej vety o vonkajšom uhle trojuholníka, ktorá uvádzala len to, že vonkajší uhol trojuholníka je väčší ako každý vnútorný uhol trojuholníka, ktorý s ním nesusedí; teraz sa zistilo, že vonkajší uhol sa rovná súčtu oboch vnútorných uhlov, ktoré s ním nesusedia.

3. Vlastnosť pravouhlého trojuholníka s uhlom 30°.

Veta. Rameno pravouhlého trojuholníka ležiace oproti uhlu 30° sa rovná polovici prepony.

Nech je uhol B v pravouhlom trojuholníku ACB rovný 30° (obr. 210). Potom bude jeho ďalší ostrý uhol rovný 60°.

Dokážme, že úsek AC sa rovná polovici prepony AB. Predĺžme nohu AC za vrchol pravého uhla C a odložme úsečku CM rovnajúcu sa úsečke AC. Spojme bod M s bodom B. Výsledný trojuholník ВСМ sa rovná trojuholníku ACB. Vidíme, že každý uhol trojuholníka ABM je rovný 60°, preto je tento trojuholník rovnostranný.

Úsek AC sa rovná polovici AM a keďže AM sa rovná AB, úsek AC sa bude rovnať polovici prepony AB.

Materiály umiestnené na tejto stránke sú chránené autorským právom. Kopírovanie za účelom zverejnenia na iných stránkach je povolené len s výslovným súhlasom autora a správy stránok.

Súčet uhlov trojuholníka.

Smirnova I. N., učiteľka matematiky.
Informačný prospekt k otvorenej lekcii.

Účel metodickej lekcie: predstaviť učiteľov moderné metódy a techniky na používanie nástrojov IKT v rôzne druhy vzdelávacie aktivity.
Téma lekcie: Súčet uhlov trojuholníka.
Názov lekcie:"Vedomosti sú len vtedy, keď sa získavajú úsilím vlastných myšlienok, a nie pamäťou." L. N. Tolstoj.
Metodické inovácie, ktoré budú tvoriť základ hodiny.
Lekcia ukáže metódy vedecký výskum využívaním IKT (využívanie matematických experimentov ako jednej z foriem získavania nových poznatkov; experimentálne testovanie hypotéz).
Prehľad modelu lekcie.

1. Motivácia pre štúdium vety.
2. Zverejnenie obsahu vety počas matematického experimentu s použitím vzdelávacieho a metodického súboru „Živá matematika“.
3. Motivácia pre potrebu dokázať vetu.
4. Práca na štruktúre vety.
5. Nájdenie dôkazu vety.
6. Dôkaz vety.
7. Upevnenie formulácie vety a jej dôkaz.
8. Aplikácia vety.

Hodina geometrie v 7. ročníku
podľa učebnice "Geometria 7-9"
na tému: "Súčet uhlov trojuholníka."

Typ lekcie: lekcia učenia sa nového materiálu.
Ciele lekcie:
Vzdelávacie: dokážte vetu o súčte uhlov trojuholníka; získať zručnosti v práci s programom „Živá matematika“ a rozvíjať interdisciplinárne prepojenia.
Vzdelávacie: zlepšenie schopnosti vedome vykonávať také techniky myslenia, ako je porovnávanie, zovšeobecňovanie a systematizácia.
Vzdelávacie: podpora nezávislosti a schopnosti pracovať v súlade s plánovaným plánom.
Vybavenie: multimediálna skrinka, interaktívna tabuľa, kartičky plánov praktická práca, program „Živá matematika“.

Štruktúra lekcie.

1. Aktualizácia vedomostí.
   1. Mobilizačný začiatok hodiny.
   2. Vyhlásenie o problémovom probléme s cieľom motivovať štúdium nového materiálu.
   3. Stanovenie učebnej úlohy.
2. 1. Praktická práca „Súčet uhlov trojuholníka“.
   2. Dôkaz vety o súčte uhlov trojuholníka.
3. 1. Riešenie problematického problému.
   2. Riešenie problémov pomocou hotových výkresov.
   3. Zhrnutie lekcie.
   4. Stanovenie domácich úloh.

Počas vyučovania.

1. Aktualizácia vedomostí.

   Plán lekcie:

   1. Experimentálne vytvorte a predložte hypotézu o súčte uhlov ľubovoľného trojuholníka.
   2. Dokážte tento predpoklad.
   3. Potvrdiť preukázanú skutočnosť.
2. Formovanie nových poznatkov a metód konania.
   1. Praktická práca „Súčet uhlov trojuholníka“.

      Študenti si sadnú k počítačom a dostanú kartičky s plánom praktickej práce.

      Praktická práca na tému „Súčet uhlov trojuholníka“ (vzor karty)

      Vytlačte kartu
      

      Žiaci odovzdajú výsledky praktickej práce a posadia sa do svojich lavíc.
      Po prediskutovaní výsledkov praktickej práce sa predkladá hypotéza, že súčet uhlov trojuholníka je 180°.
      učiteľ: Prečo ešte nemôžeme povedať, že súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je rovný 180°?
      študent: Absolútne presné konštrukcie, ani absolútne presné merania nie je možné robiť ani na počítači.
      Tvrdenie, že súčet uhlov trojuholníka je 180°, platí len pre trojuholníky, ktoré sme uvažovali. Nemôžeme povedať nič o iných trojuholníkoch, pretože sme nemerali ich uhly.
      učiteľ: Správnejšie by bolo povedať: trojuholníky, ktoré sme uvažovali, majú súčet uhlov približne rovný 180°. Aby sme sa uistili, že súčet uhlov trojuholníka je presne rovný 180 °, a pre všetky trojuholníky musíme ešte vykonať príslušné zdôvodnenie, to znamená dokázať platnosť tvrdenia, ktoré nám navrhuje skúsenosť.
      

   2. Dôkaz vety o súčte uhlov trojuholníka.

      Žiaci si otvoria zošity a zapíšu si tému hodiny „Súčet uhlov trojuholníka“.

      Práca na štruktúre vety.

      Ak chcete formulovať vetu, odpovedzte na nasledujúce otázky:
      • Aké trojuholníky boli použité v procese merania?
      • Čo je zahrnuté v podmienkach vety (čo je dané)?
      • Čo sme zistili počas meraní?
      • Aký je záver vety (čo je potrebné dokázať)?
      • Pokúste sa sformulovať vetu o súčte uhlov trojuholníka.

      Konštrukcia kresby a stručný záznam vety

      V tejto fáze sú žiaci požiadaní, aby nakreslili a napísali, čo je dané a čo je potrebné dokázať.

      Konštrukcia kresby a stručný záznam vety.

      Dané: Triangle ABC.
      dokázať:
      டA + டB + டC = 180°.

      Nájdenie dôkazu vety

      Pri hľadaní dôkazu by ste sa mali pokúsiť rozšíriť podmienku alebo záver vety. Vo vete o súčte uhlov trojuholníka sú pokusy o rozšírenie podmienky beznádejné, preto je rozumné pracovať so študentmi na vývoji záveru.
      učiteľ: Ktoré tvrdenia hovoria o uhloch, ktorých súčet sa rovná 180°?
      študent: Ak dve rovnobežné priamky pretína priečka, potom súčet vnútorných jednostranných uhlov je 180°.
      Sum priľahlé rohy rovný 180°.
      učiteľ: Skúsme na dôkaz použiť prvé tvrdenie. V tomto ohľade je potrebné postaviť dve rovnobežné čiary a sečnicu, ale musí sa to urobiť tak, aby najväčší počet rohy trojuholníka sa stali vnútornými alebo v nich zahrnuté. Ako sa to dá dosiahnuť?
      

      Nájdenie dôkazu vety.

      

      študent: Potom nakreslite čiaru rovnobežnú s druhou stranou cez jeden z vrcholov trojuholníka strane bude sekt. Napríklad cez vrchol B.
      učiteľ: Pomenujte vnútorné jednostranné uhly, ktoré zvierajú tieto priamky a priečne.
      študent: Uhly DBA a BAC.
      učiteľ: Ktoré uhly tvoria 180°?
      študent:டDBA a டBAC.
      učiteľ:Čo možno povedať o veľkosti uhla ABD?
      študent: Jeho hodnota sa rovná súčtu uhlov ABC a SVK.
      učiteľ: Aké tvrdenie potrebujeme na dôkaz vety?
      študent:டDBC = டACB.
      učiteľ: Aké sú tieto uhly?
      študent: Vnútorné ležiace krížom krážom.
      učiteľ: Na základe čoho môžeme povedať, že sú si rovní?
      študent: Podľa vlastnosti vnútorných priečnych uhlov pre rovnobežky a priečniky.

      V dôsledku hľadania dôkazu sa vypracuje plán na dokázanie vety:
      

      Plán dôkazu vety.

      1. Nakreslite priamku cez jeden z vrcholov trojuholníka rovnobežne s opačnou stranou.
      2. Dokážte rovnosť vnútorných priečnych uhlov.
      3. Napíšte súčet vnútorných jednostranných uhlov a vyjadrite ich pomocou uhlov trojuholníka.

      Dôkaz a jeho záznam.

      
      1. Poďme robiť BD || AC (axióma rovnobežných čiar).
      2. ட3 = ட4 (pretože ide o priečne uhly s BD || AC a sečnicou BC).
      3. டA + டАВD = 180° (pretože ide o jednostranné uhly s BD || AC a sečnicou AB).
      4. டA + டАВD = ட1 + (ட2 + ட4) = ட1 + ட2 + ட3 = 180°, čo je potrebné dokázať.

      Upevnenie formulácie vety a jej dôkaz.

      Na zvládnutie formulácie vety sú študenti požiadaní, aby splnili nasledujúce úlohy:

      1. Povedzte vetu, ktorú sme práve dokázali.
      2. Zvýraznite podmienku a záver vety.
      3. Na aké tvary sa veta vzťahuje?
      4. Formulujte vetu so slovami „ak... tak...“.
3. Aplikácia vedomostí, rozvoj zručností a schopností.

1) Súčet uhlov trojuholníka je 180°.

Dôkaz

Nech „ABC" je ľubovoľný trojuholník. Vedieme cez vrchol B priamku rovnobežnú s priamkou AC (takúto priamku nazývame euklidovská priamka). Označte na nej bod D tak, aby body A a D ležali na protiľahlé strany priamky BC. Uhly DBC a ACB sú rovnaké ako vnútro ležiace priečne, tvorené sečnicou BC s rovnobežnými priamkami AC a BD. Preto sa súčet uhlov trojuholníka vo vrcholoch B a C rovná uhlu ABD Súčet všetkých troch uhlov trojuholníka sa rovná súčtu uhlov ABD a BAC. Keďže tieto uhly sú pre rovnobežky AC a BD na sečne AB jednostranné, ich súčet sa rovná 180°. Veta je dokázaná .
2) Vonkajší uhol trojuholníka v danom vrchole je uhol susediaci s uhlom trojuholníka v tomto vrchole.

Veta: Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch uhlov trojuholníka, ktoré s ním nesusedia

Dôkaz. Nech ABC je daný trojuholník. Podľa vety o súčte uhlov v trojuholníku
∠ ABC + ∠ BCA + ∠ CAB = 180º.
to znamená
∠ ABC + ∠ CAB = 180 º - ∠ BCA = ∠ BCD
Veta bola dokázaná.

Z vety vyplýva:
Vonkajší uhol trojuholníka je väčší ako ktorýkoľvek uhol trojuholníka, ktorý s ním nesusedí.
3) Súčet uhlov trojuholníka = 180 stupňov. Ak je jeden z uhlov pravý (90 stupňov), ďalšie dva sú tiež 90. To znamená, že každý z nich je menší ako 90, to znamená, že sú ostré. ak je jeden z uhlov tupý, potom ostatné dva sú menšie ako 90, to znamená, že sú jasne ostré.
4) tupý - viac ako 90 stupňov
akútne - menej ako 90 stupňov
5) a. Trojuholník, v ktorom je jeden z uhlov 90 stupňov.
b. Nohy a hypotenzia
6) 6°. V každom trojuholníku leží väčší uhol oproti väčšej strane a naopak: väčší uhol leží oproti väčšiemu uhlu. Každý segment má jeden a iba jeden stred.
7) Podľa Pytagorovej vety: druhá mocnina prepony sa rovná súčtu druhých mocnín nôh, čo znamená, že prepona je väčšia ako každá prepona.
8) --- to isté ako 7
9) Súčet uhlov trojuholníka je 180 stupňov. čo keby každá strana trojuholníka bola viac ako sumaďalšie dve strany, potom by súčet uhlov bol väčší ako 180, čo je nemožné. Preto je každá strana trojuholníka menšia ako súčet ostatných dvoch strán.
10) Súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je 180 stupňov.
Keďže tento trojuholník je pravouhlý, jeden z jeho uhlov je pravý, t.j. rovný 90 stupňom.
Preto súčet ďalších dvoch ostrých uhlov je 180-90=90 stupňov.
11) 1. Uvažujme pravouhlý trojuholník ABC, v ktorom je uhol A pravý uhol, uhol B = 30 stupňov a uhol C = 60. K trojuholníku ABC pripojíme rovnaký trojuholník ABD. Dostaneme trojuholníky BCD, v ktorých uhol B = uhol D = 60 stupňov, teda DC = BC. Ale podľa konštrukcie je AC 1/2 pred Kristom, čo bolo potrebné dokázať.2. Ak sa rameno pravouhlého trojuholníka rovná polovici prepony, potom uhol oproti tomuto ramenu je rovný 30 stupňom. Dokážme to. Uvažujme pravouhlý trojuholník ABC, ktorého rameno AC sa rovná polovici prepony AC. K trojuholníku ABC pripojíme rovnaký trojuholník ABD. Získa rovnostranný trojuholník BCD. Uhly rovnostranného trojuholníka sú si navzájom rovné (pretože protiľahlé rovnaké strany ležia rovnaké uhly), takže každý z nich = 60 stupňov. Ale uhol DBC = 2 uhly ABC, teda uhol ABC = 30 stupňov, čo bolo potrebné dokázať.

. (Snímka 1)

Typ lekcie: lekcia učenia sa nového materiálu.

Ciele lekcie:

• Vzdelávacie:
  • zvážte vetu o súčte uhlov trojuholníka,
  • ukázať aplikáciu vety pri riešení problémov.
• Vzdelávacie:
  • rozvíjať pozitívny vzťah študentov k vedomostiam,
  • Vzbudzujte v žiakoch sebadôveru prostredníctvom hodín.
• Vývojový:
  • rozvoj analytického myslenia,
  • rozvoj „zručností učiť sa“: využívať vedomosti, zručnosti a schopnosti vo vzdelávacom procese,
  • rozvoj logické myslenie, schopnosť jasne formulovať svoje myšlienky.

Vybavenie: interaktívna tabuľa, prezentácia, karty.

POČAS VYUČOVANIA

I. Organizačný moment

– Dnes si na hodine pripomenieme definície pravého, rovnoramenného a rovnostranného trojuholníka. Zopakujme si vlastnosti uhlov trojuholníkov. Pomocou vlastností vnútorných jednostranných a vnútorných priečne ležiacich uhlov dokážeme vetu o súčte uhlov trojuholníka a naučíme sa ju aplikovať pri riešení úloh.

II. Orálne(Snímka 2)

1) Nájdite na obrázkoch pravouhlé, rovnoramenné, rovnostranné trojuholníky.
2) Definujte tieto trojuholníky.
3) Formulujte vlastnosti uhlov rovnostranného a rovnoramenného trojuholníka.

4) Na obrázku KE II NH. (snímka 3)

– Pre tieto čiary zadajte sečny
– Nájdite vnútorné jednostranné uhly, vnútorné uhly ležiace naprieč, pomenujte ich vlastnosti

III. Vysvetlenie nového materiálu

Veta. Súčet uhlov trojuholníka je 180°

Podľa formulácie vety chlapi postavia kresbu, zapíšu podmienku a záver. Odpovedaním na otázky nezávisle dokazujú vetu.

Vzhľadom na to: dokázať:

dôkaz:

1. Cez vrchol B trojuholníka vedieme priamku BD II AC.
2. Špecifikujte sečny pre rovnobežné čiary.
3. Čo možno povedať o uhloch CBD a ACB? (urobte si poznámku)
4. Čo vieme o uhloch CAB a ABD? (urobte si poznámku)
5. Vymeňte uhol CBD za uhol ACB
6. Urobte záver.

IV. Dokončite vetu.(Snímka 4)

1. Súčet uhlov trojuholníka je...
2. V trojuholníku je jeden z uhlov rovný, druhý, tretí uhol trojuholníka sa rovná...
3. Súčet ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka je...
4. Uhly rovnoramenného pravouhlého trojuholníka sú rovnaké...
5. Uhly rovnostranného trojuholníka sú rovnaké...
6. Ak je uhol medzi bočnými stranami rovnoramenného trojuholníka 1000, potom sú uhly v základni rovnaké...

V. Trochu histórie.(Snímky 5-7)

Dôkaz vety o súčte uhlov trojuholníka „Súčet vnútorných uhly trojuholníka rovné dvom pravým uhlom“ sa pripisuje Pytagorasovi (580-500 pred Kr.)
Staroveký grécky vedec Proclus (410-485 n.l.),

Trojuholník je mnohouholník, ktorý má tri strany (tri uhly). Najčastejšie sú strany označené malými písmenami zodpovedajúcimi veľkým písmenám, ktoré predstavujú opačné vrcholy. V tomto článku sa zoznámime s typmi týchto geometrických útvarov, vetou, ktorá určuje, čomu sa rovná súčet uhlov trojuholníka.

Typy podľa veľkosti uhla

Rozlišovať nasledujúce typy polygón s tromi vrcholmi:

• ostrý uhol, v ktorom sú všetky rohy ostré;
• obdĺžnikový, ktorý má jeden pravý uhol, jeho generátory sa nazývajú nohy a strana, ktorá je umiestnená oproti pravý uhol, sa nazýva prepona;
• tupý keď jeden ;
• rovnoramenné, v ktorých sú dve strany rovnaké a nazývajú sa bočné a tretia je základňa trojuholníka;
• rovnostranný, ktorý má všetky tri rovnaké strany.

Vlastnosti

Existujú základné vlastnosti, ktoré sú charakteristické pre každý typ trojuholníka:

• Oproti väčšej strane je vždy väčší uhol a naopak;
• protiľahlé rovnaké strany sú rovnaké uhly a naopak;
• každý trojuholník má dva ostré uhly;
• vonkajší uhol je väčší ako akýkoľvek vnútorný uhol, ktorý s ním nesusedí;
• súčet akýchkoľvek dvoch uhlov je vždy menší ako 180 stupňov;
• vonkajší uhol sa rovná súčtu ostatných dvoch uhlov, ktoré sa s ním nepretínajú.

Veta o súčte trojuholníka

Veta hovorí, že ak sčítate všetky uhly daného geometrický obrazec, ktorý sa nachádza na euklidovskej rovine, potom ich súčet bude 180 stupňov. Pokúsme sa dokázať túto vetu.

Majme ľubovoľný trojuholník s vrcholmi KMN.

Cez vrchol M vedieme KN (táto čiara sa nazýva aj euklidovská priamka). Označte na ňom bod A tak, aby sa body K a A nachádzali s rôzne strany priamy MN. Získame rovnaké uhly AMN a KNM, ktoré rovnako ako vnútorné ležia priečne a sú tvorené sečnicou MN spolu s priamkami KH a MA, ktoré sú rovnobežné. Z toho vyplýva, že súčet uhlov trojuholníka nachádzajúcich sa vo vrcholoch M a H sa rovná veľkosti uhla KMA. Všetky tri uhly tvoria súčet, ktorý sa rovná súčtu uhlov KMA a MKN. Keďže tieto uhly sú vzhľadom na rovnobežné priamky KN a MA so sečnicou KM vnútorné jednostranné, ich súčet je 180 stupňov. Veta bola dokázaná.

Dôsledok

Z vyššie uvedenej vety vyplýva nasledujúci dôsledok: každý trojuholník má dva ostré uhly. Aby sme to dokázali, predpokladajme, že tento geometrický útvar má iba jeden ostrý uhol. Dá sa tiež predpokladať, že žiadny z rohov nie je akútny. V tomto prípade musia existovať aspoň dva uhly, ktorých veľkosť je rovná alebo väčšia ako 90 stupňov. Ale potom bude súčet uhlov väčší ako 180 stupňov. To sa však nemôže stať, pretože podľa vety sa súčet uhlov trojuholníka rovná 180 ° - nič viac a nič menej. Toto bolo potrebné dokázať.

Vlastnosť vonkajších uhlov

Aký je súčet vonkajších uhlov trojuholníka? Odpoveď na túto otázku možno získať jedným z dvoch spôsobov. Prvým je, že je potrebné nájsť súčet uhlov, ktoré sa berú po jednom v každom vrchole, teda tri uhly. Druhý znamená, že musíte nájsť súčet všetkých šiestich vrcholových uhlov. Najprv sa pozrime na prvú možnosť. Trojuholník teda obsahuje šesť vonkajších uhlov - dva v každom vrchole.

Každý pár má rovnaké uhly, pretože sú vertikálne:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Okrem toho je známe, že vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch vnútorných, ktoré sa s ním nepretínajú. teda

∟1 = ∟A + ∟C, ∟2 = ∟A + ∟B, ∟3 = ∟B + ∟C.

Z toho vyplýva, že súčet vonkajších uhlov, ktoré sa odoberajú po jednom v každom vrchole, sa bude rovnať:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C = 2 x (∟A + ∟B + ∟C).

Ak vezmeme do úvahy skutočnosť, že súčet uhlov sa rovná 180 stupňom, môžeme povedať, že ∟A + ∟B + ∟C = 180°. To znamená, že ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180° = 360°. Ak sa použije druhá možnosť, súčet šiestich uhlov bude teda dvakrát väčší. To znamená, že súčet vonkajších uhlov trojuholníka bude:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

Správny trojuholník

Aký je súčet ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka? Odpoveď na túto otázku opäť vyplýva z vety, ktorá hovorí, že súčet uhlov v trojuholníku je 180 stupňov. A náš výrok (vlastnosť) znie takto: v pravouhlom trojuholníku ostré rohy celkovo je 90 stupňov. Dokážme jej pravdivosť.

Dostaneme trojuholník KMN, v ktorom ∟Н = 90°. Je potrebné dokázať, že ∟К + ∟М = 90°.

Takže podľa vety o súčte uhlov ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. Naša podmienka hovorí, že ∟H = 90°. Takže to dopadá, ∟К + ∟М + 90° = 180°. To znamená, ∟К + ∟М = 180° - 90° = 90°. Presne toto sme potrebovali dokázať.

Okrem vlastností pravouhlého trojuholníka opísaných vyššie môžete pridať nasledujúce:

• uhly, ktoré ležia oproti nohám, sú ostré;
• prepona je trojuholníková väčšia ako ktorákoľvek z nôh;
• súčet nôh je väčší ako prepona;
• Noha trojuholníka, ktorá leží oproti uhlu 30 stupňov, má polovičnú veľkosť prepony, to znamená, že sa rovná jej polovici.

Ako ďalšiu vlastnosť tohto geometrického útvaru môžeme vyzdvihnúť Pytagorovu vetu. Uvádza, že v trojuholníku s uhlom 90 stupňov (obdĺžnikový) sa súčet štvorcov nôh rovná štvorcu prepony.

Súčet uhlov rovnoramenného trojuholníka

Predtým sme povedali, že sa nazýva rovnoramenný mnohouholník s tromi vrcholmi a obsahujúci dve rovnaké strany. Táto vlastnosť tohto geometrického útvaru je známa: uhly na jeho základni sú rovnaké. Poďme to dokázať.

Zoberme si trojuholník KMN, ktorý je rovnoramenný, KN ​​je jeho základňa.

Sme povinní dokázať, že ∟К = ∟Н. Povedzme teda, že MA je osi nášho trojuholníka KMN. Trojuholník MKA, berúc do úvahy prvé znamienko rovnosti, sa rovná trojuholníku MNA. Podmienkou je totiž dané, že KM = NM, MA je spoločná strana, ∟1 = ∟2, keďže MA je os. Na základe skutočnosti, že tieto dva trojuholníky sú rovnaké, môžeme konštatovať, že ∟К = ∟Н. To znamená, že teorém je dokázaný.

Nás ale zaujíma, aký je súčet uhlov trojuholníka (rovnomerného). Keďže v tomto ohľade nemá svoje vlastné zvláštnosti, budeme stavať na vete, o ktorej sme hovorili vyššie. To znamená, že môžeme povedať, že ∟К + ∟М + ∟Н = 180° alebo 2 x ∟К + ∟М = 180° (keďže ∟К = ∟Н). Túto vlastnosť nebudeme dokazovať, keďže samotná veta o súčte uhlov trojuholníka bola dokázaná skôr.

Okrem diskutovaných vlastností o uhloch trojuholníka platia aj tieto dôležité tvrdenia:

• v ktorom bol spustený na základňu, je súčasne stredom, osou uhla, ktorý je medzi rovnakými stranami, ako aj jeho základňou;
• mediány (osi, výšky), ktoré sú nakreslené na bočné strany takéhoto geometrického útvaru, sú rovnaké.

Rovnostranný trojuholník

Nazýva sa tiež pravidelný, je to trojuholník, v ktorom sú všetky strany rovnaké. A preto sú aj uhly rovnaké. Každý z nich má 60 stupňov. Dokážme túto vlastnosť.

Povedzme, že máme trojuholník KMN. Vieme, že KM = NM = KN. To znamená, že podľa vlastnosti uhlov umiestnených na základni v rovnoramennom trojuholníku ∟К = ∟М = ∟Н. Keďže podľa vety je súčet uhlov trojuholníka ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, potom 3 x ∟К = 180° alebo ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟ H = 60°. Teda tvrdenie je dokázané.

Ako je možné vidieť z vyššie uvedeného dôkazu založeného na vete, súčet uhlov, rovnako ako súčet uhlov akéhokoľvek iného trojuholníka, je 180 stupňov. Túto vetu nie je potrebné znovu dokazovať.

Existujú aj také vlastnosti charakteristické pre rovnostranný trojuholník:

• medián, stred, výška v takomto geometrickom útvare sa zhodujú a ich dĺžka sa vypočíta ako (a x √3): 2;
• ak opíšeme kružnicu okolo daného mnohouholníka, tak jej polomer bude rovný (a x √3): 3;
• ak vpíšete kruh do rovnostranného trojuholníka, jeho polomer bude (a x √3): 6;
• Plocha tohto geometrického útvaru sa vypočíta podľa vzorca: (a2 x √3) : 4.

Tupý trojuholník

Podľa definície je jeden z jeho uhlov medzi 90 a 180 stupňami. Ale vzhľadom na to, že ďalšie dva uhly tohto geometrického útvaru sú ostré, môžeme konštatovať, že nepresahujú 90 stupňov. Preto veta o súčte uhlov trojuholníka funguje pri výpočte súčtu uhlov v tupom trojuholníku. Ukazuje sa, že na základe vyššie uvedenej vety môžeme bezpečne povedať, že súčet uhlov tupého trojuholníka sa rovná 180 stupňom. Túto vetu opäť netreba znovu dokazovať.