Veta na riešenie exponenciálnych nerovností. Riešenie exponenciálnych nerovností: základné metódy

Rozhodnutie väčšiny matematické problémy nejako súvisí s transformáciou číselných, algebraických alebo funkčných výrazov. Uvedené platí najmä pre rozhodnutie. Vo verziách Jednotnej štátnej skúšky z matematiky tento typ úloh zahŕňa najmä úlohu C3. Naučiť sa riešiť úlohy C3 je dôležité nielen z dôvodu úspešného absolvovania Jednotnej štátnej skúšky, ale aj z dôvodu, že táto zručnosť bude užitočná pri štúdiu matematického kurzu na strednej škole.

Pri plnení úloh C3 sa musíte rozhodnúť rôzne druhy rovnice a nerovnice. Medzi nimi sú racionálne, iracionálne, exponenciálne, logaritmické, trigonometrické, obsahujúce moduly ( absolútne hodnoty), ako aj kombinované. Tento článok pojednáva o hlavných typoch exponenciálnych rovníc a nerovníc, ako aj o rôznych metódach ich riešenia. Prečítajte si o riešení iných typov rovníc a nerovníc v časti „“ v článkoch venovaných metódam riešenia úloh C3 z r. Možnosti jednotnej štátnej skúšky matematiky.

Než začneme analyzovať konkrétne exponenciálne rovnice a nerovnice, ako učiteľ matematiky vám navrhujem oprášiť nejaký teoretický materiál, ktorý budeme potrebovať.

Exponenciálna funkcia

Čo je to exponenciálna funkcia?

Funkcia formulára r = a x, Kde a> 0 a a≠ 1 sa volá exponenciálna funkcia.

Základné vlastnosti exponenciálna funkcia r = a x:

Graf exponenciálnej funkcie

Graf exponenciálnej funkcie je exponent:

Grafy exponenciálnych funkcií (exponentov)

Riešenie exponenciálnych rovníc

Orientačné sa nazývajú rovnice, v ktorých sa neznáma premenná nachádza iba v exponentoch niektorých mocnín.

Pre riešenia exponenciálne rovnice musíte poznať a vedieť používať nasledujúcu jednoduchú vetu:

Veta 1. Exponenciálna rovnica a f(X) = a g(X) (Kde a > 0, a≠ 1) je ekvivalentná rovnici f(X) = g(X).

Okrem toho je užitočné zapamätať si základné vzorce a operácie so stupňami:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Príklad 1 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: Používame vyššie uvedené vzorce a substitúciu:

Rovnica potom znie:

Diskriminant výslednej kvadratickej rovnice je kladný:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

To znamená, že táto rovnica má dva korene. Nájdeme ich:

Ak prejdeme na spätnú substitúciu, dostaneme:

Druhá rovnica nemá korene, pretože exponenciálna funkcia je striktne kladná v celej oblasti definície. Vyriešme to druhé:

Berúc do úvahy to, čo bolo povedané vo vete 1, prejdeme k ekvivalentnej rovnici: X= 3. Toto bude odpoveď na úlohu.

odpoveď: X = 3.

Príklad 2 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: obmedzenia v oblasti prijateľné hodnoty rovnica nie, pretože radikálny výraz má zmysel pre akúkoľvek hodnotu X(exponenciálna funkcia r = 9 4 -X kladné a nerovnajúce sa nule).

Rovnicu riešime ekvivalentnými transformáciami pomocou pravidiel násobenia a delenia mocnin:

Posledný prechod sa uskutočnil v súlade s vetou 1.

odpoveď:X= 6.

Príklad 3 Vyriešte rovnicu:

Riešenie: obe strany pôvodnej rovnice možno deliť 0,2 X. Tento prechod bude ekvivalentný, pretože tento výraz je väčší ako nula pre akúkoľvek hodnotu X(exponenciálna funkcia je vo svojej oblasti definície striktne pozitívna). Potom má rovnica tvar:

odpoveď: X = 0.

Príklad 4. Vyriešte rovnicu:

Riešenie: rovnicu zjednodušíme na elementárnu pomocou ekvivalentných transformácií s použitím pravidiel delenia a násobenia mocnin uvedených na začiatku článku:

Delenie oboch strán rovnice 4 X, ako v predchádzajúcom príklade, je ekvivalentná transformácia, pretože tento výraz sa pre žiadne hodnoty nerovná nule X.

odpoveď: X = 0.

Príklad 5. Vyriešte rovnicu:

Riešenie: funkciu r = 3X, stojaci na ľavej strane rovnice, sa zvyšuje. Funkcia r = —X-2/3 na pravej strane rovnice klesá. To znamená, že ak sa grafy týchto funkcií pretínajú, tak maximálne jeden bod. IN v tomto prípade nie je ťažké uhádnuť, že grafy sa v bode pretínajú X= -1. Nebudú žiadne iné korene.

odpoveď: X = -1.

Príklad 6. Vyriešte rovnicu:

Riešenie: rovnicu zjednodušujeme pomocou ekvivalentných transformácií, pričom máme všade na pamäti, že exponenciálna funkcia je striktne väčšia ako nula pre akúkoľvek hodnotu X a pomocou pravidiel na výpočet súčinu a kvocientu mocnin uvedených na začiatku článku:

odpoveď: X = 2.

Riešenie exponenciálnych nerovností

Orientačné sa nazývajú nerovnice, v ktorých je neznáma premenná obsiahnutá len v exponentoch niektorých mocnín.

Pre riešenia exponenciálne nerovnosti vyžaduje sa znalosť nasledujúcej vety:

Veta 2. Ak a> 1, potom nerovnosť a f(X) > a g(X) sa rovná nerovnosti rovnakého významu: f(X) > g(X). Ak 0< a < 1, то показательное неравенство a f(X) > a g(X) je ekvivalentná nerovnosti s opačným významom: f(X) < g(X).

Príklad 7. Vyriešte nerovnosť:

Riešenie: Uveďme pôvodnú nerovnosť v tvare:

Vydeľme obe strany tejto nerovnosti 3 2 X, v tomto prípade (vzhľadom na pozitívnosť funkcie r= 3 2X) znamienko nerovnosti sa nezmení:

Použime náhradu:

Potom bude mať nerovnosť tvar:

Takže riešením nerovnosti je interval:

prechodom na opačnú substitúciu dostaneme:

Vzhľadom na kladnosť exponenciálnej funkcie je ľavá nerovnosť splnená automaticky. Využiť známa vlastnosť logaritmus, prejdeme na ekvivalentnú nerovnosť:

Keďže základom stupňa je číslo väčšie ako jedna, ekvivalentom (podľa vety 2) je prechod na nasledujúcu nerovnosť:

Tak sa konečne dostávame odpoveď:

Príklad 8. Vyriešte nerovnosť:

Riešenie: Pomocou vlastností násobenia a delenia mocnín prepíšeme nerovnosť do tvaru:

Predstavme si novú premennú:

Ak vezmeme do úvahy túto substitúciu, nerovnosť má tvar:

Vynásobením čitateľa a menovateľa zlomku číslom 7 dostaneme nasledujúcu ekvivalentnú nerovnosť:

Nasledujúce hodnoty premennej teda spĺňajú nerovnosť t:

Potom, keď prejdeme na opačnú substitúciu, dostaneme:

Pretože základ stupňa je tu väčší ako jedna, prechod k nerovnosti bude ekvivalentný (podľa vety 2):

Konečne sa dostávame odpoveď:

Príklad 9. Vyriešte nerovnosť:

Riešenie:

Obe strany nerovnosti delíme výrazom:

Je vždy väčšia ako nula (kvôli kladnosti exponenciálnej funkcie), takže nie je potrebné meniť znamienko nerovnosti. Dostaneme:

t sa nachádza v intervale:

Ak prejdeme k reverznej substitúcii, zistíme, že pôvodná nerovnosť sa rozdelí na dva prípady:

Prvá nerovnosť nemá riešenia kvôli kladnosti exponenciálnej funkcie. Vyriešme to druhé:

Príklad 10. Vyriešte nerovnosť:

Riešenie:

Vetvy paraboly r = 2X+2-X 2 smerujú nadol, preto je zhora obmedzená hodnotou, ktorú dosahuje vo svojom vrchole:

Vetvy paraboly r = X 2 -2X+2 v ukazovateli smeruje nahor, čo znamená, že je zdola obmedzený hodnotou, ktorú dosiahne vo svojom vrchole:

Zároveň sa ukazuje, že funkcia je ohraničená aj zdola r = 3 X 2 -2X+2, čo je na pravej strane rovnice. Dosahuje svoj cieľ najnižšia hodnota v rovnakom bode ako parabola v exponente a táto hodnota sa rovná 3 1 = 3. Pôvodná nerovnosť teda môže byť pravdivá iba vtedy, ak funkcia vľavo a funkcia vpravo nadobudnú hodnotu rovnajúcu sa 3 v tom istom bode (pri priesečníku Rozsah hodnôt týchto funkcií je iba toto číslo). Táto podmienka je splnená v jednom bode X = 1.

odpoveď: X= 1.

Aby sa naučili rozhodovať exponenciálne rovnice a nerovnice, ich riešenie je potrebné neustále trénovať. S touto neľahkou úlohou vám môžu pomôcť rôzne veci. metodické príručky, problémové knihy zo základnej matematiky, zbierky súťažných úloh, hodiny matematiky v škole, ako aj individuálne hodiny s odborným tútorom. Úprimne vám želám veľa úspechov v príprave a výborné výsledky na skúške.

Sergej Valerijevič

P.S. Vážení hostia! Do komentárov prosím nepíšte požiadavky na riešenie vašich rovníc. Bohužiaľ na to nemám absolútne čas. Takéto správy budú vymazané. Prečítajte si prosím článok. Možno v ňom nájdete odpovede na otázky, ktoré vám nedovolili vyriešiť svoju úlohu sami.

Belgorodská štátna univerzita

ODDELENIE algebra, teória čísel a geometria

Pracovná téma: Exponenciálne mocninné rovnice a nerovnice.

Absolventská prácaštudent fyzikálno-matematickej fakulty

Vedecký poradca:

______________________________

Recenzent: ________________________________

________________________

Belgorod. 2006

Úvod			3
Predmet ja	Analýza literatúry k výskumnej téme.
Predmet II.	Funkcie a ich vlastnosti používané pri riešení exponenciálnych rovníc a nerovníc.
	I.1.	Mocninná funkcia a jej vlastnosti.
	I.2.	Exponenciálna funkcia a jej vlastnosti.
Predmet III.	Riešenie exponenciálnych mocninových rovníc, algoritmus a príklady.
Predmet IV.	Riešenie exponenciálnych nerovností, plán riešenia a príklady.
Predmet V.	Skúsenosti s vedením tried so školákmi na tému: „Riešenie exponenciálnych rovníc a nerovností“.
V. 1.	Vzdelávací materiál.
V. 2.	Problémy na samostatné riešenie.
Záver.	Závery a ponuky.
Bibliografia.
Aplikácie

Úvod.

"...radosť vidieť a pochopiť..."

A. Einstein.

V tejto práci som sa snažil sprostredkovať svoje skúsenosti učiteľa matematiky, sprostredkovať aspoň do určitej miery svoj postoj k jej vyučovaniu – ľudskému snaženiu, v ktorom sa prekvapivo prelínajú matematické vedy, pedagogika, didaktika, psychológia, ba aj filozofia.

Mal som možnosť pracovať s deťmi a absolventmi, s deťmi na extrémnych úrovniach intelektuálneho rozvoja: s tými, ktorí boli registrovaní u psychiatra a skutočne sa zaujímali o matematiku.

Mal som možnosť riešiť mnohé metodické problémy. Pokúsim sa porozprávať o tých, ktoré sa mi podarilo vyriešiť. Ale ešte viac zlyhalo a aj v tých, ktoré sa zdajú byť vyriešené, vyvstávajú nové otázky.

Ale ešte dôležitejšie ako samotná skúsenosť sú učiteľove úvahy a pochybnosti: prečo je to práve takto, táto skúsenosť?

A leto je teraz iné a vývoj vzdelávania sa stal zaujímavejším. „Pod Jupitermi“ dnes nie je hľadaním mýtického optimálneho systému výučby „všetkých a všetkého“, ale samotného dieťaťa. Ale potom - z nutnosti - učiteľ.

IN školský kurz algebra a začiatok analýzy, ročníky 10 - 11, s zloženie jednotnej štátnej skúšky V priebehu strednej školy a na prijímacích skúškach na vysoké školy sa stretávame s rovnicami a nerovnicami, ktoré obsahujú v základe a exponentoch neznámu - to sú exponenciálne rovnice a nerovnice.

V škole sa im venuje málo pozornosti, v učebniciach na túto tému prakticky nie sú žiadne úlohy. Avšak zvládnutie techniky ich riešenia, zdá sa mi, je veľmi užitočné: zvyšuje duševné a Tvorivé schopnostištudenti, otvárajú sa pred nami úplne nové obzory. Pri riešení problémov žiaci získavajú prvé zručnosti výskumná práca, ich matematická kultúra je obohatená, ich schopnosti logické myslenie. U školákov sa rozvíjajú také osobnostné vlastnosti, ako je rozhodnosť, stanovovanie cieľov a samostatnosť, ktoré sa im budú hodiť v neskoršom živote. A tiež existuje opakovanie, rozširovanie a hlboká asimilácia vzdelávacieho materiálu.

Tejto téme som začal pracovať pre svoju diplomovú prácu písaním mojej ročníkovej práce. Počas toho, čo som do hĺbky študoval a analyzoval matematickú literatúru na túto tému, som identifikoval najviac vhodná metóda riešenie exponenciálnych mocninových rovníc a nerovníc.

Spočíva v tom, že okrem všeobecne akceptovaného prístupu pri riešení exponenciálnych rovníc (základ sa berie väčší ako 0) a pri riešení rovnakých nerovníc (základ sa berie väčší ako 1 alebo väčší ako 0, ale menší ako 1) , zohľadňujú sa aj prípady, keď sú základy záporné, rovné 0 a 1.

Analýza písomných prác študentov ukazuje, že nedostatočné pokrytie otázky zápornej hodnoty argumentu exponenciálnej funkcie v školských učebniciach im spôsobuje množstvo ťažkostí a vedie k chybám. A tiež majú problémy v štádiu systematizácie získaných výsledkov, kde sa v dôsledku prechodu na rovnicu - dôsledok alebo nerovnosť - dôsledok môžu objaviť cudzie korene. Na odstránenie chýb používame test s pôvodnou rovnicou alebo nerovnicou a algoritmus na riešenie exponenciálnych rovníc, prípadne plán na riešenie exponenciálnych nerovníc.

Zabezpečiť, aby študenti boli schopní úspešne zložiť maturitu a vstupné testy, Domnievam sa, že je potrebné venovať väčšiu pozornosť riešeniu exponenciálnych rovníc a nerovníc v triedach, prípadne dodatočne vo voliteľných predmetoch a krúžkoch.

Teda predmet , moja diplomovej práce je definovaná takto: „Rovnice a nerovnosti exponenciálnej moci“.

Ciele tejto práce sú:

1. Analyzujte literatúru na túto tému.

2. Dajte úplná analýza riešenie exponenciálnych mocninových rovníc a nerovníc.

3. Uveďte dostatočný počet príkladov rôznych typov na túto tému.

4. Overte si na triednych, výberových a klubových hodinách, ako budú vnímané navrhované metódy riešenia exponenciálnych rovníc a nerovníc. Poskytnite vhodné odporúčania na štúdium tejto témy.

Predmet Naším výskumom je vyvinúť metodológiu riešenia exponenciálnych rovníc a nerovníc.

Účel a predmet štúdie si vyžadoval riešenie nasledujúcich problémov:

1. Preštudujte si literatúru na tému: „Rovnice a nerovnice exponenciálnej mocniny“.

2. Ovládať techniky riešenia exponenciálnych rovníc a nerovníc.

3. Vyberte tréningový materiál a vytvorte systém cvičení rôzne úrovne na tému: "Riešenie exponenciálnych rovníc a nerovníc."

Počas výskumu diplomovej práce bolo viac ako 20 prác venovaných využitiu rôzne metódy riešenie exponenciálnych mocninových rovníc a nerovníc. Odtiaľto sa dostaneme.

Plán diplomovej práce:

Úvod.

Kapitola I. Analýza literatúry k výskumnej téme.

Kapitola II. Funkcie a ich vlastnosti používané pri riešení exponenciálnych rovníc a nerovníc.

II.1. Mocninná funkcia a jej vlastnosti.

II.2. Exponenciálna funkcia a jej vlastnosti.

Kapitola III. Riešenie exponenciálnych mocninových rovníc, algoritmus a príklady.

Kapitola IV. Riešenie exponenciálnych nerovností, plán riešenia a príklady.

Kapitola V. Skúsenosti s vedením vyučovania so školákmi na túto tému.

1.Tréningový materiál.

2.Úlohy na samostatné riešenie.

Záver. Závery a ponuky.

Zoznam použitej literatúry.

Kapitola I analyzuje literatúru

V tejto lekcii sa pozrieme na rôzne exponenciálne nerovnosti a naučíme sa ich riešiť na základe techniky riešenia najjednoduchších exponenciálnych nerovností.

1. Definícia a vlastnosti exponenciálnej funkcie

Pripomeňme si definíciu a základné vlastnosti exponenciálnej funkcie. Na týchto vlastnostiach je založené riešenie všetkých exponenciálnych rovníc a nerovníc.

Exponenciálna funkcia je funkciou tvaru , kde základ je stupeň a x je nezávislá premenná, argument; y je závislá premenná, funkcia.

Ryža. 1. Graf exponenciálnej funkcie

Graf ukazuje rastúce a klesajúce exponenty, ktoré ilustrujú exponenciálnu funkciu so základňou väčšou ako jedna a menšou ako jedna, ale väčšou ako nula.

Obe krivky prechádzajú bodom (0;1)

Vlastnosti exponenciálnej funkcie:

Doména: ;

Rozsah hodnôt: ;

Funkcia je monotónna, rastie s, klesá s.

Monotónna funkcia preberá každú z jej hodnôt s jednou hodnotou argumentu.

Keď , keď sa argument zvýši z mínus na plus nekonečno, funkcia sa zvýši od nuly vrátane do plus nekonečna, t.j. pre dané hodnoty argumentu máme monotónne rastúcu funkciu (). Naopak, keď sa argument zvyšuje z mínus na plus nekonečno, funkcia klesá z nekonečna na nulu vrátane, t.j. pre dané hodnoty argumentu máme monotónne klesajúcu funkciu ().

2. Najjednoduchšie exponenciálne nerovnice, metóda riešenia, príklad

Na základe vyššie uvedeného uvádzame metódu riešenia jednoduchých exponenciálnych nerovností:

Technika riešenia nerovností:

Vyrovnajte základy stupňov;

Porovnajte ukazovatele zachovaním alebo zmenou znamienka nerovnosti na opačné.

Riešenie zložitých exponenciálnych nerovností zvyčajne spočíva v ich redukcii na najjednoduchšie exponenciálne nerovnosti.

Základňa stupňa je väčšia ako jedna, čo znamená, že znak nerovnosti je zachovaný:

Poďme sa transformovať pravá strana podľa vlastností stupňa:

Základňa stupňa je menšia ako jedna, znamienko nerovnosti musí byť obrátené:

Pre riešenia kvadratická nerovnosť rozhodneme o vhodnom kvadratická rovnica:

Pomocou Vietovej vety nájdeme korene:

Vetvy paraboly smerujú nahor.

Máme teda riešenie nerovnosti:

Je ľahké uhádnuť, že pravá strana môže byť reprezentovaná ako mocnina s exponentom nula:

Základňa stupňa je väčšia ako jedna, znamienko nerovnosti sa nemení, dostaneme:

Pripomeňme si techniku ​​riešenia takýchto nerovností.

Zvážte zlomkovo-racionálnu funkciu:

Nájdeme doménu definície:

Nájdenie koreňov funkcie:

Funkcia má jeden koreň,

Vyberieme intervaly konštantného znamienka a určíme znamienka funkcie na každom intervale:

Ryža. 2. Intervaly stálosti znamienka

Tak sme dostali odpoveď.

odpoveď:

3. Riešenie štandardných exponenciálnych nerovností

Uvažujme nerovnosti s rovnakými ukazovateľmi, ale rôznymi základňami.

Jednou z vlastností exponenciálnej funkcie je, že pre akúkoľvek hodnotu argumentu to platí striktne kladné hodnoty, čo znamená, že sa dá rozdeliť na exponenciálnu funkciu. Rozdeľme danú nerovnosť jej pravou stranou:

Základňa stupňa je väčšia ako jedna, znak nerovnosti je zachovaný.

Ukážme si riešenie:

Obrázok 6.3 zobrazuje grafy funkcií a . Je zrejmé, že keď je argument väčší ako nula, graf funkcie je vyšší, táto funkcia je väčšia. Keď sú hodnoty argumentov záporné, funkcia ide nižšie, je menšia. Keď je argument rovnaký, funkcie sú rovnaké, čo znamená daný bod je tiež riešením danej nerovnosti.

Ryža. 3. Príklad príkladu 4

Transformujme danú nerovnosť podľa vlastností stupňa:

Tu je niekoľko podobných výrazov:

Rozdeľme obe časti na:

Teraz pokračujeme v riešení podobne ako v príklade 4, obe časti vydeľte:

Základňa stupňa je väčšia ako jedna, znak nerovnosti zostáva:

4. Grafické riešenie exponenciálnych nerovníc

Príklad 6 - Vyriešte nerovnosť graficky:

Pozrime sa na funkcie na ľavej a pravej strane a zostavme graf pre každú z nich.

Funkcia je exponenciálna a zvyšuje sa v celej svojej doméne definície, t. j. pre všetky reálne hodnoty argumentu.

Funkcia je lineárna a klesá v celej svojej doméne definície, t.j. pre všetky reálne hodnoty argumentu.

Ak sa tieto funkcie prelínajú, to znamená, že systém má riešenie, potom je takéto riešenie jedinečné a dá sa ľahko uhádnuť. Aby sme to urobili, iterujeme cez celé čísla ()

Je ľahké vidieť, že koreň tohto systému je:

Grafy funkcií sa teda pretínajú v bode s argumentom rovným jednej.

Teraz musíme dostať odpoveď. Význam danej nerovnosti je, že exponent musí byť väčší alebo rovný lineárna funkcia, teda byť vyšší alebo sa s ním zhodovať. Odpoveď je zrejmá: (Obrázok 6.4)

Ryža. 4. Príklad 6

Pozreli sme sa teda na riešenie rôznych štandardných exponenciálnych nerovností. Ďalej prejdeme na zváženie zložitejších exponenciálnych nerovností.

Bibliografia

Mordkovich A. G. Algebra a začiatky matematickej analýzy. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra a začiatky matematickej analýzy. - M.: Drop. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. a kol. Algebra a začiatky matematickej analýzy. - M.: Osveta.

Matematika. md. Matematika-opakovanie. com. Diffur. kesu. ru.

Domáca úloha

1. Algebra a začiatky analýzy, ročníky 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, č. 472, 473;

2. Vyriešte nerovnosť:

3. Vyriešte nerovnosť.

a x = b je najjednoduchšia exponenciálna rovnica. V ňom a väčší ako nula a A nerovná sa jeden.

Riešenie exponenciálnych rovníc

Z vlastností exponenciálnej funkcie vieme, že jej rozsah hodnôt je obmedzený na kladné reálne čísla. Potom, ak b = 0, rovnica nemá riešenia. Rovnaká situácia nastáva v rovnici, kde b

Teraz predpokladajme, že b>0. Ak je v exponenciálnej funkcii základ a je väčšia ako jednota, potom sa funkcia bude zvyšovať v celej oblasti definície. Ak v exponenciálnej funkcii pre základ A hotový ďalšia podmienka 0

Na základe toho a použitím koreňovej vety zistíme, že rovnica a x = b má jeden koreň, pre b>0 a kladný a nerovná sa jednej. Aby ste to našli, musíte reprezentovať b ako b = a c.
Potom je zrejmé, že s bude riešením rovnice a x = a c .

Zvážte nasledujúci príklad: vyriešte rovnicu 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25.

Predstavme si 25 ako 5 2, dostaneme:

5 (x 2 - 2 x - 1) = 52.

Alebo čo je ekvivalentné:

x 2 - 2 x - 1 = 2.

Výslednú kvadratickú rovnicu riešime niektorou zo známych metód. Dostaneme dva korene x = 3 a x = -1.

Odpoveď: 3;-1.

Vyriešme rovnicu 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Urobme náhradu: t=2 x a získame nasledujúcu kvadratickú rovnicu:

t2 - 5*t + 4 = 0.
Túto rovnicu riešime pomocou niektorej zo známych metód. Dostaneme korene t1 = 1 t2 = 4

Teraz riešime rovnice 2 x = 1 a 2 x = 4.

Odpoveď: 0; 2.

Riešenie exponenciálnych nerovností

Riešenie najjednoduchších exponenciálnych nerovníc je tiež založené na vlastnostiach rastúcich a klesajúcich funkcií. Ak v exponenciálnej funkcii je základ a väčší ako jedna, potom funkcia bude narastať v celej oblasti definície. Ak v exponenciálnej funkcii pre základ A je splnená nasledujúca podmienka 0, potom bude táto funkcia klesajúca na celej množine reálnych čísel.

Zvážte príklad: vyriešte nerovnosť (0,5) (7 - 3*x)< 4.

Všimnite si, že 4 = (0,5) 2 . Potom bude mať nerovnosť tvar (0,5) (7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

Dostaneme: 7 - 3*x>-2.

Preto: x<3.

Odpoveď: x<3.

Ak by základňa v nerovnosti bola väčšia ako jedna, potom by pri odstraňovaní základne nebolo potrebné meniť znamienko nerovnosti.

Lekcia a prezentácia na tému: "Exponenciálne rovnice a exponenciálne nerovnice"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 11. ročník
Interaktívna príručka pre ročníky 9–11 „Trigonometria“
Interaktívna príručka pre ročníky 10 – 11 "Logaritmy"

Definícia exponenciálnych rovníc

Chlapci, študovali sme exponenciálne funkcie, naučili sme sa ich vlastnosti a vytvorili grafy, analyzovali príklady rovníc, v ktorých sa našli exponenciálne funkcie. Dnes budeme študovať exponenciálne rovnice a nerovnice.

Definícia. Rovnice v tvare: $a^(f(x))=a^(g(x))$, kde $a>0$, $a≠1$ sa nazývajú exponenciálne rovnice.

Pripomínajúc si vety, ktoré sme študovali v téme „Exponenciálna funkcia“, môžeme zaviesť novú vetu:
Veta. Exponenciálna rovnica $a^(f(x))=a^(g(x))$, kde $a>0$, $a≠1$ je ekvivalentná rovnici $f(x)=g(x) $.

Príklady exponenciálnych rovníc

Príklad.
Riešte rovnice:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Riešenie.
a) Dobre vieme, že $27=3^3$.
Prepíšme našu rovnicu: $3^(3x-3)=3^3$.
Použitím vyššie uvedenej vety zistíme, že naša rovnica sa redukuje na rovnicu $3x-3=3$; riešením tejto rovnice dostaneme $x=2$.
Odpoveď: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Potom je možné našu rovnicu prepísať: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
2 x + 0,2 USD = 0,2 USD.
$ x = 0 $.
Odpoveď: $x=0$.

C) Pôvodná rovnica je ekvivalentná rovnici: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ a $x_2=-3$.
Odpoveď: $x_1=6$ a $x_2=-3$.

Príklad.
Vyriešte rovnicu: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Riešenie:
Vykonajte sériu akcií postupne a privedte obe strany našej rovnice na rovnaké základy.
Vykonajte niekoľko operácií na ľavej strane:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Prejdime na pravú stranu:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) 16 USD*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x)= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Pôvodná rovnica je ekvivalentná rovnici:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$ x = 0 $.
Odpoveď: $x=0$.

Príklad.
Vyriešte rovnicu: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Riešenie:
Prepíšme našu rovnicu: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Urobme zmenu premenných, nech $a=3^x$.
V nových premenných bude mať rovnica tvar: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ a $a_2=3$.
Urobme opačnú zmenu premenných: $3^x=-12$ a $3^x=3$.
V minulej lekcii sme sa naučili, že exponenciálne výrazy môžu nadobúdať iba kladné hodnoty, zapamätajte si graf. To znamená, že prvá rovnica nemá riešenia, druhá rovnica má jedno riešenie: $x=1$.
Odpoveď: $x=1$.

Pripomeňme si, ako riešiť exponenciálne rovnice:
1. Grafická metóda. Predstavujeme obe strany rovnice vo forme funkcií a zostavujeme ich grafy, nájdeme priesečníky grafov. (Túto metódu sme použili v minulej lekcii).
2. Princíp rovnosti ukazovateľov. Princíp je založený na skutočnosti, že dva výrazy s rovnakými základmi sú rovnaké práve vtedy, ak sú stupne (exponenty) týchto základov rovnaké. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Variabilná metóda výmeny. Táto metóda by sa mala použiť, ak rovnica pri nahrádzaní premenných zjednodušuje svoj tvar a je oveľa jednoduchšie vyriešiť.

Príklad.
Vyriešte sústavu rovníc: $\začiatok (prípady) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (cases)$.
Riešenie.
Uvažujme obe rovnice systému oddelene:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3r)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Zvážte druhú rovnicu:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12 $.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Použime metódu zmeny premenných, nech $y=2^(x+y)$.
Potom bude mať rovnica tvar:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ a $y_2=-3$.
Prejdime k počiatočným premenným, z prvej rovnice dostaneme $x+y=2$. Druhá rovnica nemá riešenia. Potom je náš počiatočný systém rovníc ekvivalentný systému: $\začiatok (prípady) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (cases)$.
Odčítaním druhého od prvej rovnice dostaneme: $\začiatok (prípady) 2y=-2, \\ x+y=2. \end (cases)$.
$\začiatok (prípady) y=-1, \\ x=3. \end (cases)$.
Odpoveď: $(3;-1)$.

Exponenciálne nerovnosti

Prejdime k nerovnostiam. Pri riešení nerovností je potrebné dbať na základ stupňa. Pri riešení nerovností sú možné dva scenáre vývoja udalostí.

Veta. Ak $a>1$, potom exponenciálna nerovnosť $a^(f(x))>a^(g(x))$ je ekvivalentná nerovnosti $f(x)>g(x)$.
Ak 0 USD a^(g(x))$ je ekvivalentné nerovnosti $f(x)

Príklad.
Vyriešte nerovnosti:
a) $3^(2x+3)>81 $.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Riešenie.
a) $3^(2x+3)>81 $.
$3^(2x+3)>3^4$.
Naša nerovnosť je ekvivalentná nerovnosti:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$ x > 0,5 $.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) V našej rovnici je základ, keď je stupeň je menšia ako 1, potom Pri výmene nerovnosti za ekvivalentnú je potrebné zmeniť znamienko.
$2x-4>2$.
$ x > 3 $.

C) Naša nerovnosť je ekvivalentná nerovnosti:
$ x ^ 2 + 6 x ≥ 4 x + 15 $.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Použime metódu intervalového riešenia:
Odpoveď: $(-∞;-5]U)