Štvorcová nerovnosť je menšia ako nula. Štvorcové nerovnosti. Algoritmus na aplikáciu metódy intervalov

Štvorcová nerovnosť - "OD a DO".V tomto článku sa budeme zaoberať riešením štvorcových nerovností, ktoré sa nazývajú jemnosti. Odporúčam pozorne preštudovať materiál článku bez toho, aby vám niečo uniklo. Článok nezvládnete hneď, odporúčam to urobiť viacerými prístupmi, informácií je veľa.

Obsah:

Úvod. Dôležité!

Úvod. Dôležité!

Štvorcová nerovnosť je nerovnosťou v tvare:

Ak vezmete kvadratickú rovnicu a nahradíte znamienko rovnosti ktorýmkoľvek z vyššie uvedených, dostanete kvadratickú nerovnosť. Riešenie nerovnosti znamená odpovedať na otázku, pri akých hodnotách x bude táto nerovnosť pravdivá. Príklady:

10 X 2 – 6 X+12 ≤ 0

2 X 2 + 5 X –500 > 0

– 15 X 2 – 2 X+13 > 0

8 X 2 – 15 X+45≠ 0

Štvorcová nerovnosť môže byť implicitne špecifikovaná, napríklad:

10 X 2 – 6 X+14 X 2 –5 X +2≤ 56

2 X 2 > 36

8 X 2 <–15 X 2 – 2 X+13

0> – 15 X 2 – 2 X+13

V tomto prípade je potrebné vykonať algebraické transformácie a uviesť ho do štandardného tvaru (1).

* Koeficienty môžu byť zlomkové aj iracionálne, ale takéto príklady sú v školských osnovách zriedkavé a v úlohách USE sa vôbec nenachádzajú. Ale nezľaknite sa, ak napríklad stretnete:

Toto je tiež štvorcová nerovnosť.

Najprv zvážime jednoduchý algoritmus riešenia, ktorý nevyžaduje pochopenie toho, čo je kvadratická funkcia a ako jej graf vyzerá v súradnicovej rovine vzhľadom na súradnicové osi. Ak ste schopní zapamätať si informácie pevne a na dlhú dobu a zároveň ich pravidelne posilňovať praxou, algoritmus vám pomôže. Tiež, ak, ako sa hovorí, potrebujete vyriešiť takúto nerovnosť "naraz", algoritmus vám pomôže. Jeho dodržaním môžete rozhodnutie jednoducho implementovať.

Ak ste v škole, potom vám dôrazne odporúčam začať študovať článok z druhej časti, ktorý hovorí o celom bode riešenia (pozri nižšie od bodu -). Ak dôjde k pochopeniu podstaty, potom sa nebudete musieť učiť, nezapamätať si zadaný algoritmus, môžete ľahko rýchlo vyriešiť akúkoľvek štvorcovú nerovnosť.

Samozrejme, treba hneď začať s vysvetľovaním presne grafom kvadratickej funkcie a vysvetlením samotného významu, no rozhodol som sa článok „postaviť“ práve takto.

Ďalší teoretický bod! Pozrite sa na vzorec na faktorizáciu štvorcového trojčlenu:

kde x 1 a x 2 sú korene kvadratickej rovnice ax 2+ bx+ c = 0

* Na vyriešenie štvorcovej nerovnosti bude potrebné vynásobiť štvorcovú trojčlenku.

Algoritmus uvedený nižšie sa tiež nazýva metóda intervalov. Je vhodný na riešenie nerovností formy f(X)>0, f(X)<0 , f(X) ≥0 af(X)≤0 ... Upozorňujeme, že môžu existovať viac ako dva faktory, napríklad:

(x – 10) (x + 5) (x – 1) (x + 104) (x + 6) (x – 1)<0

Algoritmus na riešenie. Metóda intervalov. Príklady.

Nerovnosť je daná sekera 2 + bx+ c> 0 (ľubovoľné znamienko).

1. Napíšte kvadratickú rovnicu sekera 2 + bx+ c = 0 a vyriešiť to. Dostaneme x 1 a x 2- korene kvadratickej rovnice.

2. Do vzorca (2) dosadíme koeficient a a korene. :

a (x – X 1 )(X – x 2) > 0

3. Určte intervaly na číselnej osi (korene rovnice rozdeľujú číselnú os na intervaly):

4. Určte "znamienka" na intervaloch (+ alebo -) dosadením ľubovoľnej hodnoty "x" z každého získaného intervalu do výrazu:

a (x – X 1 )(X – x 2)

a označte ich.

5. Zostáva len napísať intervaly, ktoré nás zaujímajú, sú označené:

- znamienko "+", ak bola nerovnosť "> 0" alebo "≥0".

- znamienko "-", ak nerovnosť bola "<0» или «≤0».

POZNÁMKA!!! Samotné znaky nerovnosti môžu byť:

prísne sú "">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».

Ako to ovplyvní výsledok rozhodnutia?

Pri prísnych znakoch nerovnosti hranice intervalu NIE SÚ ZAHRNUTÉ do riešenia, pričom v odpovedi je samotný interval zapísaný v tvare ( X 1 ; X 2 ) - zátvorky.

Pre neprísne znaky nerovnosti sú do riešenia zahrnuté hranice intervalu a odpoveď je napísaná v tvare [ X 1 ; X 2 ] - hranaté zátvorky.

* To platí nielen pre štvorcové nerovnosti. Hranatá zátvorka znamená, že samotná hranica intervalu je zahrnutá v riešení.

Uvidíte to na príkladoch. Poďme si ich rozobrať, aby sme odstránili všetky otázky týkajúce sa tohto. Teoreticky sa algoritmus môže zdať trochu komplikovaný, v skutočnosti je všetko jednoduché.

PRÍKLAD 1: Vyriešte X 2 – 60 X+500 ≤ 0

Riešenie kvadratickej rovnice X 2 –60 X+500=0

D = b 2 –4 ac = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Nájdite korene:

Dosaďte koeficient a

X 2 –60 X+500 = (x – 50) (x – 10)

Nerovnosť zapíšeme do tvaru (x-50) (x-10) ≤ 0

Korene rovnice rozdeľujú číselnú os na intervaly. Ukážme ich na číselnej osi:

Dostali sme tri intervaly (–∞; 10), (10; 50) a (50; + ∞).

Určíme „znamienka“ na intervaloch, urobíme to tak, že do výrazu (x – 50) (x – 10) dosadíme ľubovoľné hodnoty každého získaného intervalu a pozrieme sa na zhodu získaného „znamienka“ s podpísať nerovnosť (x-50) (x-10) ≤ 0:

pri x = 2 (x – 50) (x – 10) = 384> 0 je nesprávne

pri x = 20 (x-50) (x-10) = –300 < 0 верно

pri x = 60 (x-50) (x-10) = 500> 0 nesprávne

Riešením je interval.

Pre všetky hodnoty x z tohto intervalu bude nerovnosť pravdivá.

* Upozorňujeme, že sme vložili hranaté zátvorky.

Pre x = 10 a x = 50 bude nerovnosť tiež pravdivá, to znamená, že hranice sú zahrnuté v riešení.

Odpoveď: x∊

znova:

- Hranice intervalu sú ZAHRNUTÉ do riešenia nerovnice, keď podmienka obsahuje znamienko ≤ alebo ≥ (nestriktná nerovnosť). V tomto prípade je v náčrte zvykom zobraziť výsledné korene šrafovanou kružnicou.

- Hranice intervalu NIE SÚ ZAHRNUTÉ do riešenia nerovnice, keď podmienka obsahuje znamienko< или >(prísna nerovnosť). V tomto prípade je zvyčajné zobraziť koreň v náčrte s kruhom NEZAŤAŽENÝ.

PRÍKLAD 2: Vyriešte X 2 + 4 X–21 > 0

Riešenie kvadratickej rovnice X 2 + 4 X–21 = 0

D = b 2 –4 ac = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Nájdite korene:

Dosaďte koeficient a a korene vo vzorci (2), dostaneme:

X 2 + 4 X–21 = (x – 3) (x + 7)

Nerovnosť zapíšeme do tvaru (x – 3) (x + 7) > 0.

Korene rovnice rozdeľujú číselnú os na intervaly. Označme ich na číselnej osi:

* Nerovnosť nie je striktná, preto označenie koreňov NIE JE tieňované. Prijaté tri intervaly (–∞; –7), (–7; 3) a (3; + ∞).

Určujeme „znamienka“ na intervaloch, robíme to tak, že do výrazu (x – 3) (x + 7) nahradíme ľubovoľné hodnoty týchto intervalov a pozrieme sa na zhodu s nerovnicou (x – 3) (x + 7) > 0:

pri x = –10 (–10–3) (- 10 +7) = 39> 0 pravda

pri x = 0 (0–3) (0 +7) = –21< 0 неверно

pri x = 10 (10–3) (10 +7) = 119> 0 pravda

Riešením budú dva intervaly (–∞; –7) a (3; + ∞). Pre všetky hodnoty x z týchto intervalov bude nerovnosť pravdivá.

* Upozorňujeme, že sme vložili zátvorky. Pre x = 3 a x = –7 bude nerovnosť nesprávna – hranice nie sú zahrnuté v riešení.

Odpoveď: x∊ (–∞; –7) U (3; + ∞)

PRÍKLAD 3: Vyriešte – X 2 –9 X–20 > 0

Riešenie kvadratickej rovnice – X 2 –9 X–20 = 0.

a = –1 b = –9 c = –20

D = b 2 –4 ac = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Nájdite korene:

Dosaďte koeficient a a korene vo vzorci (2), dostaneme:

– X 2 –9 X–20 = - (x - (- 5)) (x - (- 4)) = - (x + 5) (x + 4)

Nerovnosť zapíšeme do tvaru - (x + 5) (x + 4) > 0.

Korene rovnice rozdeľujú číselnú os na intervaly. Poznámka k číselnému radu:

* Nerovnosť je prísna, preto označenie koreňov nie je zatienené. Prijaté tri intervaly (–∞; –5), (–5; –4) a (–4; + ∞).

Definujeme „znaky“ v intervaloch, robíme to substitúciou vo výraze - (x + 5) (x + 4)ľubovoľné hodnoty týchto intervalov a pozrite sa na zhodu s nerovnosťou - (x + 5) (x + 4) > 0:

pri x = -10 - (-10 + 5) (- 10 +4) = -30< 0 неверно

pri x = –4,5 – (–4,5 + 5) (- 4,5 + 4) = 0,25> 0 pravda

pri x = 0 - (0 + 5) (0 +4) = -20< 0 неверно

Riešením bude interval (–5; –4). Pre všetky hodnoty "x", ktoré k nemu patria, bude nerovnosť platiť.

* Upozorňujeme, že v riešení nie sú zahrnuté hranice. Pre x = –5 a x = –4 bude nerovnosť nesprávna.

KOMENTUJTE!

Pri riešení kvadratickej rovnice môžeme dostať jeden koreň alebo tam nebudú žiadne korene, potom pri použití tejto metódy naslepo môžu nastať ťažkosti pri určovaní riešenia.

Malé zhrnutie! Metóda je dobrá a je vhodné ju použiť, najmä ak poznáte kvadratickú funkciu a poznáte vlastnosti jej grafu. Ak nie, prečítajte si ho, poďme na ďalšiu časť.

Použitie grafu kvadratickej funkcie. Odporúčame!

Kvadratická je funkcia tvaru:

Jeho graf je parabola, vetvy paraboly smerujú nahor alebo nadol:

Graf môže byť umiestnený nasledovne: môže pretínať os x v dvoch bodoch, môže sa jej dotýkať v jednom bode (vrchole), nemôže ju prechádzať. Viac o tom neskôr.

Teraz sa pozrime na tento prístup na príklade. Celý proces riešenia pozostáva z troch etáp. Vyriešte nerovnosť X 2 +2 X –8 >0.

Prvé štádium

Riešenie rovnice X 2 +2 X–8=0.

D = b 2 –4 ac = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Nájdite korene:

Máme x 1 = 2 a x 2 = - 4.

Druhá fáza

Budovanie paraboly y =X 2 +2 X–8 podľa bodov:

Body - 4 a 2 sú priesečníky paraboly a osi ox. Je to také jednoduché! Čo si to urobil? Vyriešili sme kvadratickú rovnicu X 2 +2 X–8=0. Pozrite si jeho príspevok v tomto formulári:

0 = x 2+ 2x - 8

Nula je pre nás hodnota „y“. Keď y = 0, dostaneme úsečky priesečníkov paraboly s osou x. Môžeme povedať, že nulová hodnota "y" je osou oh.

Teraz sa pozrite, aké hodnoty x má výraz X 2 +2 X – 8 viac (alebo menej) nula? Podľa parabolického grafu nie je ťažké určiť, ako sa hovorí, všetko je na očiach:

1. Pre x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен X 2 +2 X –8 bude pozitívny.

2. Na –4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен X 2 +2 X –8 bude negatívny.

3. Pre x> 2 leží vetva paraboly nad osou x. S uvedeným x je trojčlenný X 2 +2 X –8 bude pozitívny.

Tretia etapa

Podľa paraboly hneď vidíme, pri akom x je výraz X 2 +2 X–8 väčší ako nula, rovný nule, menší ako nula. Toto je podstata tretieho kroku riešenia, a to vidieť a identifikovať pozitívne a negatívne oblasti na obrázku. Získaný výsledok porovnáme s pôvodnou nerovnicou a odpoveď zapíšeme. V našom príklade je potrebné určiť všetky hodnoty x, pri ktorých je výraz X 2 +2 X–8 Nad nulou. Urobili sme to v druhej fáze.

Zostáva zapísať odpoveď.

Odpoveď: x∊ (–∞; –4) U (2; ∞).

Aby sme to zhrnuli: po vypočítaní koreňov rovnice v prvom kroku môžeme získané body označiť na osi x (to sú priesečníky paraboly s osou x). Ďalej si schematicky postavíme parabolu a už vidíme riešenie. Prečo schéma? Nepotrebujeme matematicky presný graf. A predstavte si napríklad, že ak sú odmocniny 10 a 1500, skúste zostaviť presný graf na hárku v bunke s takýmto nábehom hodnôt. Vynára sa otázka! Dobre, máme korene, dobre, označili sme ich na osi oh, ale načrtnúť umiestnenie samotnej paraboly - s vetvami nahor alebo nadol? Všetko je tu jednoduché! Koeficient na x 2 vám povie:

- ak je väčšia ako nula, potom vetvy paraboly smerujú nahor.

- ak je menšia ako nula, potom vetvy paraboly smerujú nadol.

V našom príklade sa rovná jednej, čiže je kladná.

*Poznámka! Ak nerovnica obsahuje neprísne znamienko, teda ≤ alebo ≥, potom by mali byť korene na číselnej osi zatienené, čo zvyčajne znamená, že do riešenia nerovnosti je zahrnutá aj hranica samotného intervalu. V tomto prípade korene nie sú zatienené (vydlabané), pretože naša nerovnosť je prísna (je tam znak ">"). Navyše v odpovedi sú v tomto prípade umiestnené zátvorky, nie hranaté zátvorky (hranice nie sú zahrnuté v riešení).

Veľa sa toho napísalo, pravdepodobne som niekoho zmiatol. Ak ale vyriešite aspoň 5 nerovností pomocou parabol, tak sa vášmu obdivu medze nekladú. Je to také jednoduché!

Takže v skratke:

1. Nerovnosť zapíšeme a uvedieme na štandardnú.

2. Napíšte kvadratickú rovnicu a vyriešte ju.

3. Nakreslite os x, označte výsledné korene, schematicky nakreslite parabolu, rozvetvte sa nahor, ak je koeficient pri x 2 kladný, alebo sa rozvetvte nadol, ak je záporný.

4. Určte vizuálne pozitívne alebo negatívne oblasti a zapíšte odpoveď na pôvodnú nerovnosť.

Pozrime sa na niekoľko príkladov.

PRÍKLAD 1: Vyriešte X 2 –15 X+50 > 0

Prvé štádium.

Riešenie kvadratickej rovnice X 2 –15 X+50=0

D = b 2 –4 ac = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Nájdite korene:

Druhá fáza.

Staviame os oh. Označme si získané korene. Keďže naša nerovnosť je prísna, nebudeme im tieniť. Schematicky zostavujeme parabolu, je umiestnená s vetvami nahor, pretože koeficient na x 2 je kladný:

Tretia etapa.

Definujeme vizuálne pozitívne a negatívne oblasti, tu sme ich označili rôznymi farbami kvôli prehľadnosti, nemôžete to urobiť.

Odpoveď zapíšeme.

Odpoveď: x∊ (–∞; 5) U (10; ∞).

* Znak U označuje riešenie zjednotenia. Obrazne sa to dá vyjadriť takto, riešením je „tento“ A „tento“ interval.

PRÍKLAD 2: Vyriešte – X 2 + X+20 ≤ 0

Prvé štádium.

Riešenie kvadratickej rovnice – X 2 + X+20=0

D = b 2 –4 ac = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Nájdite korene:

Druhá fáza.

Staviame os oh. Označme si získané korene. Keďže naša nerovnosť nie je striktná, zatieňujeme označenia koreňov. Schematicky zostavíme parabolu, je umiestnená s vetvami nadol, pretože koeficient na x 2 je záporný (rovná sa –1):

Tretia etapa.

Určite vizuálne pozitívne a negatívne oblasti. Porovnajte s pôvodnou nerovnicou (naše znamienko je ≤ 0). Nerovnosť bude platiť pre x ≤ - 4 a x ≥ 5.

Odpoveď zapíšeme.

Odpoveď: x∊ (–∞; –4] U ∪ [1 + 3 4, + ∞) alebo x ≤ 1 - 3 4, x ≥ 1 + 3 4.

Príklad 3

Vyriešte štvorcovú nerovnosť - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.

Riešenie

Najprv nájdeme korene štvorcového trinomu z ľavej strany nerovnosti:

D "= 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7

Toto je prísna nerovnosť, preto v grafe používame „prázdny“ bod. So súradnicou 7.

Teraz musíme určiť znamienka na výsledných intervaloch (- ∞, 7) a (7, + ∞). Keďže diskriminant štvorcového trojčlenu je nula a vodiaci koeficient je záporný, položíme znamienka -, -:

Keďže riešime podpísanú nerovnosť< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

V tomto prípade sú riešenia obidva intervaly (- ∞, 7), (7, + ∞).

odpoveď:(- ∞, 7) ∪ (7, + ∞) alebo v inom zápise x ≠ 7.

Príklad 4

Má štvorcová nerovnosť x 2 + x + 7< 0 решения?

Riešenie

Nájdite korene štvorcového trojčlenu z ľavej strany nerovnosti. Aby sme to dosiahli, nájdeme diskriminant: D = 1 2 - 4 · 1 · 7 = 1 - 28 = - 27. Diskriminant je menší ako nula, čo znamená, že neexistujú žiadne skutočné korene.

Grafický obrázok bude vyzerať ako číselná os bez vyznačených bodov.

Určme znamienko hodnôt štvorcového trinomu. Keď D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :

V tomto prípade by sme mohli použiť tieňovanie cez medzery so znamienkom "-". Ale my také medzery nemáme. Výkres si preto zachováva tento vzhľad:

V dôsledku výpočtov sme dostali prázdnu množinu. To znamená, že táto štvorcová nerovnosť nemá riešenia.

odpoveď: nie

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

V tejto časti sme zhromaždili informácie o štvorcových nerovnostiach a základných prístupoch k ich riešeniu. Upevnime materiál analýzou príkladov.

Čo je štvorcová nerovnosť

Pozrime sa, ako rozlíšiť nerovnosti rôznych typov podľa typu zápisu a rozlíšiť medzi nimi štvorcové.

Definícia 1

Štvorcová nerovnosť Je to nerovnosť, ktorá má tvar a x 2 + b x + c< 0 kde a, b a c- navyše nejaké čísla a nie je nula. x je premenná a namiesto znamienka < môže byť akýkoľvek iný znak nerovnosti.

Druhý názov pre kvadratické rovnice je názov „nerovnosť druhého stupňa“. Prítomnosť druhého mena možno vysvetliť nasledovne. Na ľavej strane nerovnosti je polynóm druhého stupňa - štvorcový trojčlen. Aplikácia termínu „kvadratické nerovnosti“ na kvadratické nerovnosti je nesprávna, pretože kvadratické funkcie sú funkcie, ktoré sú dané rovnicami tvaru y = a x 2 + b x + c.

Tu je príklad štvorcovej nerovnosti:

Príklad 1

Vezmime 5 x 2 - 3 x + 1 > 0... V tomto prípade a = 5, b = - 3 a c = 1.

Alebo táto nerovnosť:

Príklad 2

- 2, 2 z 2 - 0,5 z - 11 ≤ 0, kde a = - 2, 2, b = - 0, 5 a c = -11.

Ukážme niekoľko príkladov štvorcových nerovností:

Príklad 3

Osobitná pozornosť by sa mala venovať skutočnosti, že koeficient pri x 2 sa považuje za nenulový. Vysvetľuje to skutočnosť, že v opačnom prípade získame lineárnu nerovnosť tvaru b x + c > 0, pretože štvorcová premenná sa po vynásobení nulou sama rovná nule. Navyše koeficienty b a c sa môže rovnať nule spolu aj oddelene.

Príklad 4

Príklad takejto nerovnosti x 2 - 5 ≥ 0.

Spôsoby riešenia štvorcových nerovností

Existujú tri hlavné metódy:

Definícia 2

• grafický;
• metóda intervalov;
• zvýraznením štvorca dvojčlenu vľavo.

Grafická metóda

Metóda zahŕňa konštrukciu a analýzu grafu kvadratickej funkcie y = a x 2 + b x + c pre štvorcové nerovnosti a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥). Riešením štvorcovej nerovnosti sú intervaly alebo intervaly, v ktorých zadaná funkcia nadobúda kladné a záporné hodnoty.

Metóda rozstupu

Pomocou intervalovej metódy môžete vyriešiť štvorcovú nerovnosť s jednou premennou. Metóda je použiteľná na riešenie akejkoľvek nerovnosti, nielen štvorcovej. Podstatou metódy je určiť znamienka intervalov, na ktoré sa delí súradnicová os nulami trojčlenky. a x 2 + b x + c Ak je k dispozícii.

Pre nerovnosť a x 2 + b x + c< 0 riešenia sú intervaly so znamienkom mínus pre nerovnosť a x 2 + b x + c > 0, medzery so znamienkom plus. Ak máme do činenia s nestriktnými nerovnosťami, potom sa riešením stáva interval, ktorý obsahuje body, ktoré zodpovedajú nulám trojčlenky.

Výber štvorca dvojčlenu

Princíp oddelenia druhej mocniny binomu na ľavej strane štvorcovej nerovnosti spočíva v vykonaní ekvivalentných transformácií, ktoré nám umožňujú prejsť k riešeniu ekvivalentnej nerovnosti tvaru (x - p) 2< q (≤ , >, ≥), kde p a q- nejaké čísla.

Rovnaké transformácie možno použiť na získanie štvorcových nerovností z nerovností iných typov. Dá sa to urobiť rôznymi spôsobmi. Napríklad preskupením pojmov v danej nerovnosti alebo prenesením pojmov z jednej časti do druhej.

Uveďme si príklad. Zvážte ekvivalentnú transformáciu nerovnosti 5 ≤ 2 x - 3 x 2... Ak prenesieme všetky členy z pravej strany na ľavú, dostaneme štvorcovú nerovnosť tvaru 3 x 2 - 2 x + 5 ≤ 0.

Príklad 5

Je potrebné nájsť množinu riešení nerovnosti 3 (x - 1) (x + 1)< (x − 2) 2 + x 2 + 5 .

Riešenie

Na vyriešenie problému používame skrátené vzorce násobenia. Aby sme to dosiahli, zhromaždíme všetky výrazy na ľavej strane nerovnosti, rozšírime zátvorky a predstavíme podobné výrazy:

3 (x - 1) (x + 1) - (x - 2) 2 - x 2 - 5< 0 , 3 · (x 2 − 1) − (x 2 − 4 · x + 4) − x 2 − 5 < 0 , 3 · x 2 − 3 − x 2 + 4 · x − 4 − x 2 − 5 < 0 , x 2 + 4 · x − 12 < 0 .

Získali sme ekvivalentnú štvorcovú nerovnosť, ktorú možno graficky vyriešiť určením diskriminačných a priesečníkových bodov.

D '= 2 2 - 1 (- 12) = 16, x 1 = - 6, x 2 = 2

Po zostavení grafu vidíme, že množinou riešení je interval (- 6, 2).

odpoveď: (− 6 , 2) .

Iracionálne a logaritmické nerovnosti sú príkladmi nerovností, ktoré sú často redukované na štvorcové. Takže napríklad nerovnosť 2 x 2 + 5< x 2 + 6 · x + 14

je ekvivalentná štvorcovej nerovnosti x 2 - 6 x - 9< 0 a logaritmická nerovnosť log 3 (x 2 + x + 7) ≥ 2 - na nerovnosť x 2 + x - 2 ≥ 0.

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

Tento článok zhromaždil materiál na tému „ riešenie štvorcových nerovností". Najprv je ukázané, čo sú štvorcové nerovnosti s jednou premennou a je daný ich všeobecný tvar. A potom sa podrobne rozoberá, ako vyriešiť štvorcové nerovnosti. Sú znázornené hlavné prístupy k riešeniu: grafická metóda, metóda intervalov a zvýraznením štvorca binomu na ľavej strane nerovnosti. Uvádzajú sa riešenia typických príkladov.

Navigácia na stránke.

Čo je štvorcová nerovnosť?

Prirodzene, skôr ako budeme hovoriť o riešení štvorcových nerovností, musíme jasne pochopiť, čo je štvorcová nerovnosť. Inými slovami, musíte vedieť rozlíšiť štvorcové nerovnosti od nerovností iných typov podľa typu zápisu.

Definícia.

Štvorcová nerovnosť Je nerovnosť tvaru a x 2 + b x + c<0 (вместо знака >môže byť akékoľvek iné znamienko nerovnosti ≤,>, ≥), kde a, b a c sú nejaké čísla a a ≠ 0 a x je premenná (premenná môže byť označená akýmkoľvek iným písmenom).

Okamžite dajme ešte jedno meno pre štvorcové nerovnosti - nerovnosti druhého stupňa... Tento názov sa vysvetľuje tým, že na ľavej strane nerovností a x 2 + b x + c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

Niekedy tiež môžete počuť, že štvorcové nerovnosti sa nazývajú kvadratické nerovnosti. To nie je úplne správne: definícia „kvadratická“ sa vzťahuje na funkcie definované rovnicami v tvare y = a · x 2 + b · x + c. Takže existujú štvorcové nerovnosti a kvadratické funkcie ale nie kvadratické nerovnosti.

Ukážme niekoľko príkladov štvorcových nerovností: 5 · x 2 −3 · x + 1> 0, tu a = 5, b = −3 a c = 1; −2,2 z 2 −0,5 z − 11≤0, koeficienty tejto štvorcovej nerovnosti sú a = −2,2, b = −0,5 a c = −11; , v tomto prípade .

Všimnite si, že v definícii štvorcovej nerovnosti sa koeficient a v x 2 považuje za nenulový. Je to pochopiteľné, rovnosť koeficientu a na nulu vlastne „odstráni“ druhú mocninu a my sa budeme zaoberať lineárnou nerovnosťou tvaru b · x + c> 0 bez druhej mocniny premennej. Koeficienty b a c sa však môžu rovnať nule, a to samostatne aj súčasne. Tu sú príklady takýchto štvorcových nerovností: x 2 −5≥0, tu je koeficient b pri premennej x rovný nule; −3 x 2 −0,6 x<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 a b a c sú nula.

Ako vyriešiť štvorcové nerovnosti?

Teraz si môžete lámať hlavu nad otázkou, ako vyriešiť štvorcové nerovnosti. V zásade sa na riešenie používajú tri hlavné metódy:

• grafická metóda (alebo, ako v A.G. Mordkovich, funkčno-grafická),
• intervalová metóda,
• a riešenie štvorcových nerovností zvýraznením štvorca dvojčlenu vľavo.

Graficky

Urobme si hneď výhradu, že metóda na riešenie štvorcových nerovností, o ktorej začíname uvažovať, sa v školských učebniciach nenazýva grafická. V skutočnosti je to však ono. Navyše prvé zoznámenie s graficky riešiť nerovnosti zvyčajne začína, keď vyvstane otázka, ako vyriešiť štvorcové nerovnosti.

Grafický spôsob riešenia štvorcových nerovností a x 2 + b x + c<0 (≤, >, ≥) spočíva v analýze grafu kvadratickej funkcie y = a x 2 + b x + c s cieľom nájsť intervaly, v ktorých špecifikovaná funkcia nadobúda záporné, kladné, záporné alebo nezáporné hodnoty. Tieto intervaly tvoria riešenia štvorcových nerovností a x 2 + b x + c<0 , a·x 2 +b·x+c>0, ax2 + bx + c≤0 a ax2 + bx + c≥0.

Metódou intervalov

Na riešenie štvorcových nerovností jednou premennou je okrem grafickej celkom pohodlná aj intervalová metóda, ktorá je sama o sebe veľmi univerzálna a hodí sa na riešenie rôznych, nielen štvorcových nerovností. Jeho teoretická stránka leží mimo rámca algebry v ročníkoch 8, 9, keď sa učia riešiť štvorcové nerovnice. Preto sa tu nebudeme venovať teoretickým základom intervalovej metódy, ale zameriame sa na to, ako presne sa pomocou nej riešia štvorcové nerovnosti.

Podstata metódy intervalov vo vzťahu k riešeniu štvorcových nerovností a x 2 + b x + c<0 (≤, >, ≥), spočíva v určení znamienok, ktoré majú hodnoty štvorcovej trojčlenky a x 2 + b x + c na intervaloch, na ktoré je súradnicová os rozdelená nulami tejto trojčlenky (ak existujú). Intervaly so znamienkom mínus tvoria riešenia štvorcovej nerovnosti a x 2 + b x + c<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 a pri riešení nestriktných nerovníc sa k uvedeným intervalom pripočítavajú body zodpovedajúce nulám trojčlenky.

Môžete sa zoznámiť so všetkými podrobnosťami tejto metódy, jej algoritmom, pravidlami pre umiestňovanie značiek na intervaloch a zvážiť hotové riešenia pre typické príklady s uvedenými ilustráciami, odvolávajúc sa na článok materiálové riešenie štvorcových nerovností metódou intervaloch.

Výberom štvorca dvojčlenu

Okrem grafickej metódy a metódy intervalov existujú aj iné prístupy, ktoré umožňujú riešenie štvorcových nerovností. A prišli sme k jednej z nich, ktorá vychádza z výber štvorca dvojčlenu na ľavej strane štvorcovej nerovnosti.

Princípom tejto metódy riešenia štvorcových nerovností je vykonávanie ekvivalentných transformácií nerovnosti, ktoré umožňujú prejsť k riešeniu ekvivalentnej nerovnosti tvaru (x − p) 2 , ≥), kde p a q sú nejaké čísla.

A ako prebieha prechod k nerovnosti (x − p) 2 , ≥) a ako to riešiť, vysvetľuje riešenie štvorcových nerovníc výberom druhej mocniny binomu. Sú tam aj príklady riešenia štvorcových nerovností týmto spôsobom a sú uvedené potrebné grafické ilustrácie.

Zmenšenie nerovností na štvorec

V praxi sa veľmi často musíme vysporiadať s nerovnosťami, ktoré sa pomocou ekvivalentných transformácií redukujú na štvorcové nerovnosti v tvare a x 2 + b x + c<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

Začnime s príkladmi najjednoduchších nerovností, ktoré sa zmenšia na štvorcové. Niekedy na prechod na štvorcovú nerovnosť stačí zmeniť usporiadanie členov v tejto nerovnosti alebo ich preniesť z jednej časti do druhej. Napríklad, ak prenesieme všetky členy z pravej strany nerovnosti 5≤2 · x-3 Ďalší príklad: preusporiadaním na ľavej strane nerovnosti 5 + 0,6 x 2 −x<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

V škole sa na hodinách algebry, keď sa učia riešiť štvorcové nerovnosti, venujú aj riešenie racionálnych nerovností zredukované na štvorec. Ich riešenie spočíva v presune všetkých členov na ľavú stranu s následnou transformáciou tam vytvoreného výrazu do tvaru a · x 2 + b · x + c vykonaním. Pozrime sa na príklad.

Príklad.

Nájdite množinu riešení nerovnosti 3 (x − 1) (x + 1)<(x−2) 2 +x 2 +5 .iracionálna nerovnosť je ekvivalentná štvorcovej nerovnosti x 2 −6 x − 9<0 , а logaritmická nerovnosť - nerovnosť x 2 + x − 2≥0.

Bibliografia.

• algebra:štúdium. za 8 cl. všeobecné vzdelanie. inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008 .-- 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• algebra: 9. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie. inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2009 .-- 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• A. G. Mordkovich Algebra. 8. trieda. O 14.00 h Časť 1. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., Vymazané. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
• A. G. Mordkovich Algebra. 9. ročník O 14.00 h Časť 1. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. vyd., Vymazané. - M .: Mnemozina, 2011 .-- 222 s.: Ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
• A. G. Mordkovich Algebra a začiatok matematickej analýzy. 11. ročník O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., Vymazané. - M .: Mnemosina, 2008 .-- 287 s.: Ill. ISBN 978-5-346-01027-2.