Aká je hlavná vlastnosť logaritmu? Logaritmické výrazy. príklady

Definícia logaritmu

Logaritmus b na základ a je exponent, na ktorý sa a musí zvýšiť, aby sa dostalo b.

Číslo e v matematike je zvykom označovať hranicu, ku ktorej sa výraz snaží

Číslo e je iracionálne číslo- číslo neporovnateľné s jednotkou, nedá sa presne vyjadriť ani ako celé číslo, ani ako zlomok racionálnyčíslo.

List e- prvé písmeno Latinské slovo exponene- predvádzať sa, odtiaľ názov v matematike exponenciálny - exponenciálna funkcia.

číslo eširoko používané v matematike a vo všetkých vedách, ktoré tak či onak využívajú matematické výpočty pre svoje potreby.

Logaritmy. Vlastnosti logaritmov

Definícia: Logaritmus kladného čísla b k jeho základu je exponent c, na ktorý sa musí číslo a zvýšiť, aby sa získalo číslo b.

Základná logaritmická identita:

7) Vzorec pre prechod na novú základňu:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

Problémy a testy na tému „Logaritmy. Vlastnosti logaritmov"

• Logaritmy – dôležité témy na preskúmanie jednotnej štátnej skúšky z matematiky

Ak chcete úspešne dokončiť úlohy na túto tému, musíte poznať definíciu logaritmu, vlastnosti logaritmov, základnú logaritmickú identitu, definície desiatkových a prirodzených logaritmov. Hlavnými typmi problémov na túto tému sú problémy týkajúce sa výpočtu a transformácie logaritmických výrazov. Uvažujme o ich riešení pomocou nasledujúcich príkladov.

Riešenie: Pomocou vlastností logaritmov dostaneme

Riešenie: Pomocou vlastností stupňov dostaneme

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Vlastnosti logaritmov, formulácií a dôkazov.

Logaritmy majú množstvo charakteristických vlastností. V tomto článku sa pozrieme na to hlavné vlastnosti logaritmov. Tu uvedieme ich formulácie, zapíšeme vlastnosti logaritmov vo forme vzorcov, ukážeme príklady ich použitia a tiež poskytneme dôkaz o vlastnostiach logaritmov.

Navigácia na stránke.

Základné vlastnosti logaritmov, vzorce

Pre ľahšie zapamätanie a používanie si predstavme základné vlastnosti logaritmov vo forme zoznamu vzorcov. V ďalšom odseku uvedieme ich formulácie, dôkazy, príklady použitia a potrebné vysvetlenia.

Vlastnosť logaritmu jednoty: log a 1=0 pre ľubovoľné a>0, a≠1.

Logaritmus čísla rovného základu: log a a=1 pre a>0, a≠1.

Vlastnosť logaritmu mocniny základne: log a a p =p, kde a>0, a≠1 a p – ľubovoľné Reálne číslo.

Logaritmus súčinu dvoch kladných čísel: log a (x y) = log a x + log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
a vlastnosť logaritmu súčinu n kladných čísel: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 > 0, x 2 > 0, ..., x n > 0.

Vlastnosť logaritmu kvocientu: , kde a>0, a≠1, x>0, y>0.

Logaritmus mocniny čísla: log a b p =p·log a |b| , kde a>0, a≠1, b a p sú čísla také, že stupeň b p dáva zmysel a b p > 0.

Dôsledok: , kde a>0, a≠1, n je prirodzené číslo väčšie ako jedna, b>0.

Dôsledok 1: , a>0, a≠1, b>0, b≠1.

Dôsledok 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p a q sú reálne čísla, q≠0 , najmä pre b=a máme .

Formulácie a dôkazy vlastností

Prejdeme k formulácii a dôkazu zapísaných vlastností logaritmov. Všetky vlastnosti logaritmov sú dokázané na základe definície logaritmu a základnej logaritmickej identity, ktorá z neho vyplýva, ako aj vlastností stupňa.

Začnime s vlastnosti logaritmu jednotky. Jeho formulácia je nasledovná: logaritmus jednoty sa rovná nule, tj. log a 1=0 pre ľubovoľné a>0, a≠1. Dôkaz nie je zložitý: keďže a 0 = 1 pre ľubovoľné a spĺňajúce vyššie uvedené podmienky a> 0 a a≠1, potom logaritmus rovnosti a 1 = 0, ktorý sa má dokázať, okamžite vyplýva z definície logaritmu.

Uveďme príklady aplikácie uvažovanej vlastnosti: log 3 1=0, log1=0 a .

Prejdime k ďalšej vlastnosti: logaritmus čísla rovného základu sa rovná jednej, teda log a a=1 pre a>0, a≠1. Pretože a 1 = a pre ľubovoľné a, potom podľa definície logaritmu log a a = 1.

Príklady použitia tejto vlastnosti logaritmov sú rovnosti log 5 5 = 1, log 5,6 5,6 a lne = 1.

Logaritmus mocniny čísla rovného základu logaritmu sa rovná exponentu. Táto vlastnosť logaritmu zodpovedá vzorcu formulára log a a p =p, kde a>0, a≠1 a p – ľubovoľné reálne číslo. Táto vlastnosť vyplýva priamo z definície logaritmu. Všimnite si, že vám umožňuje okamžite uviesť hodnotu logaritmu, ak je možné reprezentovať číslo pod logaritmickým znakom ako mocninu základne; viac o tom hovoríme v článku o výpočte logaritmov.

Napríklad log 2 2 7 =7, log10-4 =-4 a .

Logaritmus súčinu dvoch kladných čísel x a y sa rovná súčinu logaritmov týchto čísel: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Dokážme vlastnosť logaritmu súčinu. Kvôli vlastnostiam stupňa a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, a keďže podľa hlavnej logaritmickej identity log a x =x a log a y =y, potom log a x ·a log a y =x· y. Teda log a x+log a y =x·y, z ktorého podľa definície logaritmu vyplýva dokazovaná rovnosť.

Ukážme si príklady použitia vlastnosti logaritmu súčinu: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 a .

Vlastnosť logaritmu súčinu možno zovšeobecniť na súčin konečného počtu n kladných čísel x 1 , x 2 , …, x n ako log a (x 1 · x 2 ·...·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n. Túto rovnosť možno bez problémov dokázať pomocou metódy matematickej indukcie.

Napríklad prirodzený logaritmus súčinu možno nahradiť súčtom troch prirodzených logaritmov čísel 4, e a.

Logaritmus podielu dvoch kladných čísel x a y sa rovná rozdielu medzi logaritmami týchto čísel. Vlastnosť logaritmu kvocientu zodpovedá vzorcu tvaru , kde a>0, a≠1, x a y sú nejaké kladné čísla. Platnosť tohto vzorca je dokázaná rovnako ako vzorec pre logaritmus súčinu: od , potom podľa definície logaritmu .

Tu je príklad použitia tejto vlastnosti logaritmu: .

Prejdime k vlastnosť logaritmu mocniny. Logaritmus stupňa sa rovná súčinu exponentu a logaritmu modulu bázy tohto stupňa. Napíšme túto vlastnosť logaritmu mocniny ako vzorec: log a b p =p·log a |b|, kde a>0, a≠1, b a p sú čísla také, že stupeň b p dáva zmysel a b p > 0.

Najprv dokážeme túto vlastnosť pre kladné b. Základná logaritmická identita nám umožňuje reprezentovať číslo b ako log a b , potom b p = (a log a b) p a výsledný výraz sa vďaka vlastnosti mocniny rovná p·log a b . Dostávame sa teda k rovnosti b p =a p·log a b, z ktorej podľa definície logaritmu usúdime, že log a b p =p·log a b.

Zostáva dokázať túto vlastnosť pre záporné b. Tu si všimneme, že výraz log a b p pre záporné b má zmysel len pre párne exponenty p (keďže hodnota stupňa b p musí byť väčšia ako nula, inak logaritmus nebude dávať zmysel) a v tomto prípade b p =|b| p. Potom b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , odkiaľ log a b p =p·log a |b| .

Napríklad, a ln(-3)4=4·ln|-3|=4·ln3.

Vyplýva to z predchádzajúcej vlastnosti vlastnosť logaritmu od koreňa: logaritmus n-tej odmocniny sa rovná súčinu zlomku 1/n logaritmom radikálneho výrazu, teda kde a>0, a≠1, n je prirodzené číslo väčšie ako jedna, b>0 .

Dôkaz je založený na rovnosti (pozri definíciu exponentu so zlomkovým exponentom), ktorá platí pre každé kladné b, a vlastnosti logaritmu exponentu: .

Tu je príklad použitia tejto vlastnosti: .

Teraz dokážme vzorec na prechod na novú logaritmickú základňu milý . K tomu stačí dokázať platnosť rovnosti log c b=log a b·log c a. Základná logaritmická identita nám umožňuje reprezentovať číslo b ako log a b , potom log c b = log c a log a b . Zostáva použiť vlastnosť logaritmu stupňa: log c a log a b =log a b·log c a . To dokazuje rovnosť log c b=log a b·log c a, čo znamená, že je dokázaný aj vzorec na prechod na nový základ logaritmu .

Ukážme si niekoľko príkladov použitia tejto vlastnosti logaritmov: a .

Vzorec na prechod na novú základňu vám umožňuje prejsť na prácu s logaritmami, ktoré majú „pohodlnú“ základňu. Napríklad sa dá použiť na zmenu na prirodzené alebo desiatkové logaritmy, aby ste mohli vypočítať hodnotu logaritmu z tabuľky logaritmov. Vzorec na prechod na nový logaritmický základ tiež umožňuje v niektorých prípadoch nájsť hodnotu daného logaritmu, keď sú známe hodnoty niektorých logaritmov s inými základňami.

Často sa používa špeciálny prípad vzorca na prechod na nový logaritmický základ pre c=b tvaru. To ukazuje, že log a b a log b a sú vzájomne inverzné čísla. napr. .

Vzorec sa tiež často používa, čo je vhodné na nájdenie hodnôt logaritmov. Na potvrdenie našich slov si ukážeme, ako sa dá použiť na výpočet hodnoty logaritmu formulára . Máme . Na dokázanie vzorca stačí použiť vzorec na prechod na nový základ logaritmu a: .

Zostáva dokázať vlastnosti porovnávania logaritmov.

Použime opačnú metódu. Predpokladajme, že pre a 1 > 1, a 2 > 1 a a 1 2 a pre 0 1 platí log a 1 b≤ log a 2 b. Na základe vlastností logaritmov je možné tieto nerovnosti prepísať ako A v uvedenom poradí a z nich vyplýva, že log b a 1 ≤ log b a 2 a log b a 1 ≥ log b a 2, v tomto poradí. Potom podľa vlastností mocnín s rovnakými základmi musia platiť rovnosti b log b a 1 ≥b log b a 2 a b log b a 1 ≥b log b a 2, teda a 1 ≥a 2 . Tak sme sa dostali k rozporu s podmienkou a 1 2. Tým je dôkaz hotový.

Základné vlastnosti logaritmov

• Materiály na lekciu
• Stiahnite si všetky vzorce

Logaritmy, ako všetky čísla, sa dajú sčítať, odčítať a transformovať všetkými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú úplne obyčajné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú hlavné vlastnosti.

Tieto pravidlá určite musíte poznať – bez nich sa nedá vyriešiť ani jeden vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Uvažujme dva logaritmy s rovnakými základňami: log a x a log a y. Potom ich možno sčítať a odčítať a:

Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel sa rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: kľúčový moment Tu - rovnaké dôvody. Ak sú dôvody iné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce vám pomôžu vypočítať logaritmický výraz, aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je to logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 6 4 + log 6 9.

Keďže logaritmy majú rovnaké základy, použijeme súčtový vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 2 48 − log 2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 3 135 − log 3 5.

Základy sú opäť rovnaké, takže máme:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré nie sú vypočítané samostatne. Ale po transformáciách sa ukážu celkom normálne čísla. Mnohé sú postavené na tejto skutočnosti testovacie papiere. Áno, na Jednotnej štátnej skúške sa so všetkou vážnosťou (niekedy prakticky bez zmien) ponúkajú výrazy podobné testom.

Extrahovanie exponentu z logaritmu

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme. Čo ak je základom alebo argumentom logaritmu mocnina? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:

• log a x n = n · log a x ;
• 
• 

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje prvé dve. Je však lepšie si to zapamätať - v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Samozrejme, všetky tieto pravidlá dávajú zmysel, ak je dodržaná ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak , t.j. Čísla pred znakom logaritmu môžete zadať do samotného logaritmu. To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 7 49 6 .

Zbavme sa stupňa v argumente pomocou prvého vzorca:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Úloha. Nájdite význam výrazu:

[Popis k obrázku]

Všimnite si, že menovateľ obsahuje logaritmus, ktorého základom a argumentom sú presné mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Máme:

[Popis k obrázku]

Myslím, že posledný príklad si vyžaduje určité objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom. Uviedli sme základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme mocničiek a vyňali sme exponenty - dostali sme „trojposchodový“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ a menovateľ obsahujú rovnaké číslo: log 2 7. Keďže log 2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa aj stalo. Výsledkom bola odpoveď: 2.

Prechod na nový základ

Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú dôvody iné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na nový základ. Sformulujme ich vo forme vety:

Nech je daný logaritmus log a x. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

[Popis k obrázku]

Konkrétne, ak nastavíme c = x, dostaneme:

[Popis k obrázku]

Z druhého vzorca vyplýva, že základ a argument logaritmu možno zameniť, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus sa objaví v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka vyskytujú v konvenčných číselné výrazy. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.

Sú však problémy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do novej nadácie. Pozrime sa na pár z nich:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 5 16 log 2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov obsahujú presné mocniny. Vyberme ukazovatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Teraz „otočme“ druhý logaritmus:

[Popis k obrázku]

Keďže sa súčin pri preskupovaní faktorov nemení, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme sa zaoberali logaritmami.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

[Popis k obrázku]

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

[Popis k obrázku]

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danému základu. V tomto prípade nám pomôžu nasledujúce vzorce:

1. n = log a a n

2. V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len logaritmická hodnota.

   Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. To je to, čo sa nazýva: základná logaritmická identita.

   Čo sa vlastne stane, ak sa číslo b zvýši na takú mocninu, že číslo b s touto mocninou dáva číslo a? Správne: výsledkom je rovnaké číslo a. Ešte raz si pozorne prečítajte tento odsek – veľa ľudí sa na ňom zasekne.

   Rovnako ako vzorce na prechod na novú základňu, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.

   [Popis k obrázku]

   Všimnite si, že log 25 64 = log 5 8 - jednoducho sme zobrali druhú mocninu zo základu a argumentu logaritmu. Ak vezmeme do úvahy pravidlá pre násobenie právomocí s rovnakým základom, dostaneme:

   [Popis k obrázku]

   Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky :)

   Logaritmická jednotka a logaritmická nula

   Na záver uvediem dve identity, ktoré možno len ťažko nazvať vlastnosťami – sú skôr dôsledkom definície logaritmu. Neustále sa objavujú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.

   1. log a a = 1 je logaritmická jednotka. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k ľubovoľnej základni a tejto samotnej základne sa rovná jednej.
   2. log a 1 = 0 je logaritmická nula. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak argument obsahuje jednotku, logaritmus sa rovná nule! Pretože a 0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

   To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.

   Logaritmus. Vlastnosti logaritmu (sčítanie a odčítanie).

   Vlastnosti logaritmu vyplýva z jeho definície. A teda logaritmus čísla b založené na A je definovaný ako exponent, na ktorý sa musí číslo zvýšiť a získať číslo b(logaritmus existuje len pre kladné čísla).

   Z tejto formulácie vyplýva, že výpočet x=log a b, je ekvivalentné riešeniu rovnice a x = b. Napríklad, log 2 8 = 3 pretože 8 = 2 3 . Formulácia logaritmu umožňuje zdôvodniť, že ak b = a c, potom logaritmus čísla b založené na a rovná sa s. Je tiež zrejmé, že téma logaritmov úzko súvisí s témou mocnín.

   S logaritmami, ako s akýmikoľvek číslami, môžete operácie sčítania, odčítania a transformovať všetkými možnými spôsobmi. Ale vzhľadom na to, že logaritmy nie sú úplne obyčajné čísla, platia tu ich vlastné špeciálne pravidlá, ktoré sa nazývajú hlavné vlastnosti.

   Sčítanie a odčítanie logaritmov.

   Zoberme si dva logaritmy s rovnakými základňami: prihlásiť sa x A prihlásiť sa y. Potom je možné vykonávať operácie sčítania a odčítania:

   Ako vidíme, súčet logaritmov sa rovná logaritmu súčinu a rozdiel logaritmy- logaritmus podielu. Navyše to platí, ak čísla A, X A pri pozitívne a a ≠ 1.

   Je dôležité poznamenať, že hlavným aspektom v týchto vzorcoch sú rovnaké základy. Ak sú dôvody odlišné, tieto pravidlá neplatia!

   Pravidlá pre sčítanie a odčítanie logaritmov s rovnakými základmi sa čítajú nielen zľava doprava, ale aj naopak. Výsledkom je, že máme vety pre logaritmus súčinu a logaritmus kvocientu.

   Logaritmus produktu dve kladné čísla rovná súčtu ich logaritmy ; preformulovaním tejto vety dostaneme nasledujúce čísla A, X A pri pozitívne a a ≠ 1, To:

   Logaritmus kvocientu dve kladné čísla sa rovnajú rozdielu medzi logaritmami dividendy a deliteľa. Inak povedané, ak čísla A, X A pri pozitívne a a ≠ 1, To:

   Aplikujme vyššie uvedené teorémy na riešenie príklady:

   Ak čísla X A pri sú teda negatívne vzorec na logaritmus produktu stáva bezvýznamným. Preto je zakázané písať:

   keďže výrazy log 2 (-8) a log 2 (-4) nie sú vôbec definované (logaritmická funkcia pri= log 2 X definované len pre kladné hodnoty argument X).

   Veta o produkte použiteľné nielen pre dva, ale aj pre neobmedzený počet faktorov. To znamená, že pre každého prírodného k a akékoľvek kladné čísla X 1 , X 2 , . . . ,x n existuje identita:

   Od logaritmická kvocientová veta Je možné získať ešte jednu vlastnosť logaritmu. Je všeobecne známe, že log a 1 = 0 teda

   To znamená, že existuje rovnosť:

   Logaritmy dvoch navzájom recipročné čísla z rovnakého dôvodu sa budú navzájom líšiť výlučne znakom. Takže:

   Logaritmus. Vlastnosti logaritmov

   Logaritmus. Vlastnosti logaritmov

   Uvažujme o rovnosti. Dajte nám vedieť hodnoty a a my chceme nájsť hodnotu .

   To znamená, že hľadáme exponent, ktorým ho musíme natiahnuť, aby sme dostali .

   Nechaj premenná môže nadobudnúť akúkoľvek skutočnú hodnotu, potom sa na premenné vzťahujú nasledujúce obmedzenia: o" title="a>o"/> , 1″ title="a1″/>, 0″ title="b>0″ />

   Ak poznáme hodnoty a a stojíme pred úlohou nájsť neznáme, potom sa na tento účel zavádza matematická operácia, ktorá sa nazýva logaritmus.

   Aby sme našli hodnotu, ktorú berieme logaritmus čísla Autor: základ :

   Logaritmus čísla k jeho základu je exponent, na ktorý sa musí zvýšiť, aby sa dostalo.

   Teda základná logaritmická identita:

   o» názov=»a>o»/> , 1″ názov=»a1″/>, 0″ názov=»b>0″/>

   je v podstate matematický zápis definície logaritmu.

   Matematická operácia logaritmu je inverzná k operácii umocňovania, tj vlastnosti logaritmovúzko súvisia s vlastnosťami stupňa.

   Vymenujme hlavné vlastnosti logaritmov:

   (o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ title=”d1″/>

   4.

   5.

   Nasledujúca skupina vlastností vám umožňuje reprezentovať exponent výrazu pod znamienkom logaritmu alebo stojacim na základni logaritmu vo forme koeficientu pred znamienkom logaritmu:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Ďalšia skupina vzorcov vám umožňuje prejsť od logaritmu s daným základom k logaritmu s ľubovoľným základom a je tzv. vzorce prechodu na nový základ:

   10.

   12. (dôsledok vlastnosti 11)

   

   Nasledujúce tri vlastnosti nie sú dobre známe, ale často sa používajú pri riešení logaritmických rovníc alebo pri zjednodušovaní výrazov obsahujúcich logaritmy:

   13.

   14.

   15.

   Špeciálne prípady:

   — desiatkový logaritmus

   — prirodzený logaritmus

   Pri zjednodušovaní výrazov obsahujúcich logaritmy sa používa všeobecný prístup:

   1. Predstavenie desatinné miesta v podobe obyčajných.

   2. Zmiešané čísla reprezentujeme ako nevlastné zlomky.

   3. Čísla na báze logaritmu a pod znamienkom logaritmu rozložíme na jednoduché faktory.

   4. Pokúsime sa zredukovať všetky logaritmy na rovnaký základ.

   5. Použite vlastnosti logaritmov.

   Pozrime sa na príklady zjednodušenia výrazov obsahujúcich logaritmy.

   Príklad 1

   Vypočítať:

   Zjednodušme všetky exponenty: našou úlohou je zredukovať ich na logaritmy, ktorých základ je rovnaký ako základ exponentu.

   ==(podľa vlastnosti 7)=(podľa vlastnosti 6) =

   Dosadíme ukazovatele, ktoré sme dostali do pôvodného výrazu. Dostaneme:

   Odpoveď: 5.25

   Príklad 2. Vypočítajte:

   

   Znížme všetky logaritmy na základ 6 (v tomto prípade logaritmy z menovateľa zlomku „migrujú“ do čitateľa):

   Rozložme čísla pod logaritmickým znakom na jednoduché faktory:

   Aplikujme vlastnosti 4 a 6:

   Predstavme si náhradu

   Dostaneme:

   odpoveď: 1

   Logaritmus . Základná logaritmická identita.

   Vlastnosti logaritmov. Desatinný logaritmus. Prirodzený logaritmus.

   Logaritmus kladné číslo N k základu (b > 0, b 1) je exponent x, na ktorý sa musí zvýšiť b, aby sme dostali N .

   Tento záznam je ekvivalentný nasledujúcemu: b x = N .

   Príklady: log 3 81 = 4, pretože 3 4 = 81;

   log 1/3 27 = – 3, pretože (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

   Vyššie uvedená definícia logaritmu môže byť napísaná ako identita:

   

   Základné vlastnosti logaritmov.

   2) log 1 = 0, keďže b 0 = 1 .

   3) Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov faktorov:

   4) Logaritmus podielu sa rovná rozdielu medzi logaritmami dividendy a deliteľa:

   5) Logaritmus mocniny sa rovná súčinu exponentu a logaritmu jeho základu:

   Dôsledkom tejto vlastnosti je nasledovné: logaritmus koreňa rovná sa logaritmu radikálneho čísla deleného mocninou odmocniny:

   

   6) Ak je základom logaritmu stupeň, potom hodnota prevrátenú hodnotu exponentu možno vyňať ako logický rým:

   

   Posledné dve vlastnosti je možné spojiť do jednej:

   

   7) Vzorec prechodového modulu (t. j. prechod z jednej logaritmickej bázy na inú bázu):

   

   V špeciálnom prípade, keď N=a máme:

   

   Desatinný logaritmus volal základný logaritmus 10. Označuje sa lg, t.j. denník 10 N= log N. Logaritmy čísel 10, 100, 1000, . p sú 1, 2, 3, …, t.j. mať veľa pozitívnych

   jednotiek, koľko núl je v logaritmickom čísle po jednotke. Logaritmy čísel 0,1, 0,01, 0,001, . p sú –1, –2, –3, …, t.j. mať toľko záporných jednotiek, koľko je núl v logaritmickom čísle pred jednotkou (vrátane nuly celých čísel). Logaritmy iných čísel majú zlomkovú časť tzv mantisa. Celá časť logaritmus sa nazýva charakteristika. Pre praktické použitie sú najvhodnejšie desiatkové logaritmy.

   Prirodzený logaritmus volal základný logaritmus e. Označuje sa ln, t.j. log e N= log N. číslo e je iracionálna, jej približná hodnota je 2,718281828. Je to hranica, ku ktorej číslo smeruje (1 + 1 / n) n s neobmedzeným nárastom n(cm. prvá úžasná limitka na stránke "Limity číselnej postupnosti").
   Akokoľvek sa to môže zdať zvláštne, prirodzené logaritmy sa ukázali ako veľmi vhodné pri vykonávaní rôznych typov operácií súvisiacich s analýzou funkcií. Výpočet logaritmov so základňou e vykonaná oveľa rýchlejšie ako z akéhokoľvek iného dôvodu.

• Ako získať osvedčenie o štátnej registrácii vlastníctva bytu? V súlade s Ústavou Ruskej federácie je štát poverený funkciou garanta súkromných vlastníckych práv. Právomoci štátu v tejto oblasti […]
• Rohy a stredy v skupinách Rohy - sekcia, kde zaujímavé nápady a možnosti dizajnu pre informačné, vývojové a hracie kútiky v MATERSKÁ ŠKOLA, vyrobené rukami učiteľov a vychovávateľov. V skupine predškolského vzdelávacieho zariadenia v závislosti od [...]
• Čo je dnes potrebné na adopciu dieťaťa v Rusku? Adopcia v Rusku okrem zodpovedného osobného rozhodnutia zahŕňa aj množstvo postupov štátneho overovania kandidátov. Prísny výber v prípravnej fáze prispieva k viac […]
• Pokuta za nepredloženie správ SZV-M a RSV-1 Dôchodkovému fondu Ruskej federácie Na konci každého vykazovacieho a zúčtovacieho obdobia musí poistenec poskytnúť Dôchodkový fond potrebný výpočet podľa formulára RSV-1. Ak z akéhokoľvek dôvodu […]
• Kedy a ako získať financovanú časť dôchodku od Sberbank? Sberbank je partnerskou bankou štátneho dôchodkového fondu. Na základe toho mohli občania, ktorí sa zaregistrovali na kapitalizačný dôchodok, previesť financovanú časť […]
• Ako získať dotácie na výplatu komunálne služby(prenájom)? Dotácie na účty za energie sa poskytujú určitým kategóriám občanov v súlade s právnymi predpismi Ruskej federácie o bývaní. Ak sa chcete dozvedieť viac o postupe [...]
• Informácie zadarmo prostredníctvom TIN alebo OGRN z daňového registra v celom Rusku - online On Jediný portál Daňové služby môžu získať informácie o štátnej registrácii právnických osôb, jednotliví podnikatelia, […]
• Žumpa: sanitárne a stavebné predpisy a predpisy Ak chcete nainštalovať kanalizáciu v chate alebo mestskej oblasti, musíte dodržiavať nielen stavebné, ale aj legislatívne normy. Žumpa: normy a pravidlá pre jej usporiadanie [...]

Vo vzťahu k

možno nastaviť úlohu nájsť ľubovoľné z troch čísel z ďalších dvoch daných. Ak je dané a a potom N, zistíme ich umocnením. Ak N a potom a sú dané prevzatím odmocniny zo stupňa x (alebo jeho umocnením). Teraz zvážte prípad, keď za predpokladu a a N potrebujeme nájsť x.

Nech je číslo N kladné: číslo a je kladné a nerovná sa jednej: .

Definícia. Logaritmus čísla N k základu a je exponent, na ktorý musí byť a umocnené, aby sa získalo číslo N; logaritmus je označený

V rovnosti (26.1) teda nájdeme exponent ako logaritmus N k základu a. Príspevky

majú rovnaký význam. Rovnosť (26.1) sa niekedy nazýva hlavnou identitou teórie logaritmov; v skutočnosti vyjadruje definíciu pojmu logaritmus. Autor: túto definíciu Základ logaritmu a je vždy kladný a odlišný od jednoty; logaritmické číslo N je kladné. Záporné čísla a nula nemajú logaritmy. Dá sa dokázať, že každé číslo s daným základom má dobre definovaný logaritmus. Preto rovnosť znamená . Všimnite si, že podmienka je tu nevyhnutná; inak by záver nebol opodstatnený, pretože rovnosť platí pre všetky hodnoty x a y.

Príklad 1. Nájdite

Riešenie. Ak chcete získať číslo, musíte zvýšiť základnú 2 na silu Preto.

Pri riešení takýchto príkladov si môžete robiť poznámky v nasledujúcom tvare:

Príklad 2. Nájdite .

Riešenie. Máme

V príkladoch 1 a 2 sme ľahko našli požadovaný logaritmus reprezentovaním logaritmického čísla ako mocniny základu s racionálnym exponentom. Vo všeobecnom prípade, napríklad pre atď., to nemožno urobiť, pretože logaritmus má iracionálnu hodnotu. Venujme pozornosť jednej otázke súvisiacej s týmto tvrdením. V odseku 12 sme uviedli koncept možnosti určenia akejkoľvek skutočnej mocniny daného kladného čísla. Bolo to potrebné na zavedenie logaritmov, ktoré vo všeobecnosti môžu byť iracionálne čísla.

Pozrime sa na niektoré vlastnosti logaritmov.

Vlastnosť 1. Ak sa číslo a základ rovnajú, potom sa logaritmus rovná jednej, a naopak, ak sa logaritmus rovná jednej, potom sa číslo a základ rovnajú.

Dôkaz. Nech Podľa definície logaritmu máme a odkiaľ

Naopak, nech Potom podľa definície

Vlastnosť 2. Logaritmus jedna k ľubovoľnému základu sa rovná nule.

Dôkaz. Podľa definície logaritmu (nulová mocnina akejkoľvek kladnej bázy sa rovná jednej, pozri (10.1)). Odtiaľ

Q.E.D.

Platí aj opačné tvrdenie: ak , potom N = 1. V skutočnosti máme .

Pred formulovaním ďalšej vlastnosti logaritmov sa dohodneme, že dve čísla a a b ležia na rovnakej strane od tretieho čísla c, ak sú obe väčšie ako c alebo menšie ako c. Ak je jedno z týchto čísel väčšie ako c a druhé menšie ako c, potom povieme, že ležia spolu rôzne strany z dediny

Vlastnosť 3. Ak číslo a základ ležia na tej istej strane jednotky, potom je logaritmus kladný; Ak číslo a základ ležia na opačných stranách jednej, potom je logaritmus záporný.

Dôkaz vlastnosti 3 je založený na skutočnosti, že mocnina a je väčšia ako jedna, ak je základ väčší ako jeden a exponent je kladný alebo základ je menší ako jeden a exponent je záporný. Mocnina je menšia ako jedna, ak je základ väčší ako jedna a exponent je záporný alebo ak je základ menší ako jedna a exponent je kladný.

Je potrebné zvážiť štyri prípady:

Obmedzíme sa na analýzu prvého z nich, zvyšok si čitateľ zváži sám.

Nech potom v rovnosti exponent nemôže byť ani záporný, ani rovný nule, preto je kladný, t.

Príklad 3. Zistite, ktoré z nižšie uvedených logaritmov sú kladné a ktoré záporné:

Riešenie, a) keďže číslo 15 a základňa 12 sú umiestnené na rovnakej strane jednej;

b) keďže 1000 a 2 sú umiestnené na jednej strane jednotky; v tomto prípade nie je dôležité, aby bol základ väčší ako logaritmické číslo;

c) keďže 3,1 a 0,8 ležia na opačných stranách jednoty;

G); prečo?

d) ; prečo?

Nasledujúce vlastnosti 4-6 sa často nazývajú pravidlá logaritmácie: umožňujú, poznajúc logaritmy niektorých čísel, nájsť logaritmy ich súčinu, kvocient a stupeň každého z nich.

Vlastnosť 4 (pravidlo logaritmu súčinu). Logaritmus súčinu niekoľkých kladných čísel k danému základu sa rovná súčtu logaritmov týchto čísel k rovnakému základu.

Dôkaz. Nech sú dané čísla kladné.

Pre logaritmus ich súčinu napíšeme rovnosť (26.1), ktorá definuje logaritmus:

Odtiaľto nájdeme

Porovnaním exponentov prvého a posledného výrazu získame požadovanú rovnosť:

Všimnite si, že podmienka je nevyhnutná; logaritmus súčinu dvoch záporné čísla dáva zmysel, ale v tomto prípade dostaneme

Vo všeobecnosti, ak je súčin viacerých faktorov kladný, potom sa jeho logaritmus rovná súčtu logaritmov absolútnych hodnôt týchto faktorov.

Vlastnosť 5 (pravidlo pre logaritmy kvocientov). Logaritmus kvocientu kladných čísel sa rovná rozdielu medzi logaritmami dividendy a deliteľa, berúc do úvahy rovnaký základ. Dôkaz. Dôsledne nachádzame

Q.E.D.

Vlastnosť 6 (pravidlo mocninového logaritmu). Logaritmus mocniny ľubovoľného kladného čísla sa rovná logaritmu tohto čísla vynásobenému exponentom.

Dôkaz. Napíšme znova hlavnú identitu (26.1) pre číslo:

Q.E.D.

Dôsledok. Logaritmus odmocniny kladného čísla sa rovná logaritmu radikálu deleného exponentom odmocniny:

Platnosť tohto následku možno preukázať predstavou, ako a použitím vlastnosti 6.

Príklad 4. Zoberte logaritmus na základ a:

a) (predpokladá sa, že všetky hodnoty b, c, d, e sú kladné);

b) (predpokladá sa, že ).

Riešenie, a) V tomto výraze je vhodné prejsť na zlomkové mocniny:

Na základe rovnosti (26,5)-(26,7) môžeme teraz napísať:

Všimli sme si, že s logaritmami čísel sa vykonávajú jednoduchšie operácie ako so samotnými číslami: pri násobení čísel sa ich logaritmy sčítajú, pri delení sa odčítajú atď.

Preto sa vo výpočtovej praxi používajú logaritmy (pozri odsek 29).

Inverzná akcia logaritmu sa nazýva potenciácia, konkrétne: potenciácia je akcia, pri ktorej sa z daného logaritmu čísla zistí samotné číslo. Potenciácia v podstate nie je žiadna špeciálna akcia: ide o zvýšenie základne na mocninu (rovnajúcu sa logaritmu čísla). Pojem "potenciácia" možno považovať za synonymum pojmu "umocnenie".

Pri potencovaní musíte použiť pravidlá inverzné k pravidlám logaritmácie: nahradiť súčet logaritmov logaritmom súčinu, rozdiel logaritmov logaritmom kvocientu atď. Najmä ak je v popredí faktor znamienka logaritmu, potom sa musí pri potenciácii preniesť na stupne exponentov pod znamienko logaritmu.

Príklad 5. Nájdite N, ak je to známe

Riešenie. V súvislosti s práve uvedeným pravidlom potenciácie prenesieme faktory 2/3 a 1/3 stojace pred znamienkami logaritmov na pravej strane tejto rovnosti do exponentov pod znamienkami týchto logaritmov; dostaneme

Teraz nahradíme rozdiel logaritmov logaritmom kvocientu:

aby sme získali posledný zlomok v tomto reťazci rovnosti, oslobodili sme predchádzajúci zlomok od iracionality v menovateli (klauzula 25).

Vlastnosť 7. Ak je základňa väčšia ako jedna, tak väčšie číslo má väčší logaritmus (a menšie číslo má menší), ak je základ menší ako jedna, potom väčšie číslo má menší logaritmus (a menšie číslo má väčší).

Táto vlastnosť je tiež formulovaná ako pravidlo pre logaritmy nerovností, ktorých obe strany sú kladné:

Pri logaritmovaní nerovností so základom väčším ako jedna sa znamienko nerovnosti zachová a pri logaritmovaní so základom menším ako jedna sa znamienko nerovnosti zmení na opačné (pozri aj odsek 80).

Dôkaz je založený na vlastnostiach 5 a 3. Uvažujme prípad, keď If , then a logaritmovaním dostaneme

(a a N/M ležia na rovnakej strane jednoty). Odtiaľ

V nasledujúcom prípade na to čitateľ príde sám.

Logaritmus so základňou a je funkciou y (x) = log a x, inverzná k exponenciálnej funkcii so základom a: x (y) = a y.

Desatinný logaritmus je logaritmus k základu čísla 10 : log x ≡ log 10 x.

Prirodzený logaritmus je logaritmus k základu e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Graf logaritmu sa získa z grafu exponenciálnej funkcie jeho zrkadlením vzhľadom na priamku y = x. Vľavo sú grafy funkcie y (x) = log a x pre štyri hodnoty logaritmické základy: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 a = 1/8 . Graf ukazuje, že keď a > 1 logaritmus sa zvyšuje monotónne. Keď sa x zvyšuje, rast sa výrazne spomalí. O 0 < a < 1 logaritmus monotónne klesá.

Vlastnosti logaritmu

Doména, množina hodnôt, rastúca, klesajúca

Logaritmus je monotónna funkcia, takže nemá žiadne extrémy. Hlavné vlastnosti logaritmu sú uvedené v tabuľke.

doména	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Rozsah hodnôt	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotónne	monotónne zvyšuje	monotónne klesá
Nuly, y = 0	x = 1	x = 1
Priesečník bodov s ordinátnou osou x = 0	Nie	Nie
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Súkromné ​​hodnoty

Volá sa logaritmus so základom 10 desiatkový logaritmus a označuje sa takto:

Logaritmus na základňu e volal prirodzený logaritmus:

Základné vzorce pre logaritmy

Vlastnosti logaritmu vyplývajúce z definície inverznej funkcie:

Hlavná vlastnosť logaritmov a jej dôsledky

Vzorec na nahradenie bázy

Logaritmus je matematická operácia logaritmu. Pri logaritmoch sa súčin faktorov konvertuje na súčty členov.

Potencovanie je inverzná matematická operácia logaritmu. Počas potenciácie sa daná báza zvýši na stupeň expresie, pri ktorom sa potenciácia vykonáva. V tomto prípade sa súčty členov transformujú na produkty faktorov.

Dôkaz základných vzorcov pre logaritmy

Vzorce súvisiace s logaritmami vyplývajú zo vzorcov pre exponenciálne funkcie az definície inverznej funkcie.

Zvážte vlastnosť exponenciálnej funkcie
.
Potom
.
Aplikujme vlastnosť exponenciálnej funkcie
:
.

Dokážme základný náhradný vzorec.
;
.
Za predpokladu, že c = b, máme:

Inverzná funkcia

Inverzia logaritmu k základu a je exponenciálna funkcia s exponentom a.

Ak potom

Ak potom

Derivácia logaritmu

Derivácia logaritmu modulu x:
.
Derivát n-tého rádu:
.
Odvodzovanie vzorcov >> >

Ak chcete nájsť deriváciu logaritmu, musíte ho zredukovať na základňu e.
;
.

Integrálne

Integrál logaritmu sa vypočíta integráciou po častiach: .
takže,

Výrazy využívajúce komplexné čísla

Zvážte funkciu komplexných čísel z:
.
Vyjadrime komplexné číslo z cez modul r a argument φ :
.
Potom pomocou vlastností logaritmu máme:
.
Alebo

Avšak, argument φ nie sú jednoznačne definované. Ak dáte
, kde n je celé číslo,
potom to bude rovnaké číslo pre rôzne n.

Preto logaritmus ako funkcia komplexnej premennej nie je funkciou s jednou hodnotou.

Rozšírenie výkonového radu

Keď dôjde k expanzii:

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.

Jedným z prvkov algebry primitívnych úrovní je logaritmus. Názov pochádza z grécky jazyk od slova „číslo“ alebo „moc“ a znamená stupeň, o ktorý sa musí číslo v základe zvýšiť, aby sa zistilo konečné číslo.

Typy logaritmov

• log a b – logaritmus čísla b so základom a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – desiatkový logaritmus (logaritmus so základom 10, a = 10);
• ln b – prirodzený logaritmus (logaritmus k základu e, a = e).

Ako vyriešiť logaritmy?

Logaritmus b na základ a je exponent, ktorý vyžaduje, aby sa b zvýšilo na základ a. Získaný výsledok sa vyslovuje takto: „logaritmus b na základ a“. Riešením logaritmických problémov je, že musíte zo zadaných čísel určiť danú mocninu v číslach. Existuje niekoľko základných pravidiel na určenie alebo riešenie logaritmu, ako aj na prevod samotného zápisu. Pomocou nich sa riešia logaritmické rovnice, nachádzajú sa derivácie, riešia sa integrály a vykonáva sa mnoho ďalších operácií. V zásade je riešením samotného logaritmu jeho zjednodušený zápis. Nižšie sú uvedené základné vzorce a vlastnosti:

Pre akékoľvek a ; a > 0; a ≠ 1 a pre ľubovoľné x; y > 0.

• a log a b = b – základná logaritmická identita
• log a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x, pre k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – vzorec pre prechod na nový základ
• log a x = 1/log x a

Ako riešiť logaritmy - pokyny na riešenie krok za krokom

• Najprv si zapíšte požadovanú rovnicu.

Poznámka: ak je základný logaritmus 10, potom sa záznam skráti, čo vedie k desiatkovému logaritmu. Ak existuje prirodzené číslo e, zapíšeme ho a zredukujeme na prirodzený logaritmus. To znamená, že výsledkom všetkých logaritmov je mocnina, na ktorú sa základné číslo zvýši, aby sa získalo číslo b.

Priamo riešenie spočíva vo výpočte tohto stupňa. Pred riešením výrazu s logaritmom je potrebné ho zjednodušiť podľa pravidla, teda pomocou vzorcov. Hlavné identity nájdete tak, že sa v článku vrátite trochu späť.

Sčítanie a odčítanie logaritmov s dvoma rôzne čísla, ale s rovnakými základmi nahraďte jedným logaritmom súčin alebo delenie čísel b a c. V tomto prípade môžete použiť vzorec na prechod na inú základňu (pozri vyššie).

Ak používate výrazy na zjednodušenie logaritmu, je potrebné zvážiť určité obmedzenia. A to je: základ logaritmu a je iba kladné číslo, ale nie je rovné jednej. Číslo b, podobne ako a, musí byť väčšie ako nula.

Existujú prípady, keď zjednodušením výrazu nebudete môcť vypočítať logaritmus numericky. Stáva sa, že takýto výraz nedáva zmysel, pretože mnohé mocniny sú iracionálne čísla. Za tejto podmienky ponechajte mocninu čísla ako logaritmus.

Dnes budeme hovoriť o logaritmické vzorce a dáme orientačné príklady riešenia.

Sami implikujú vzory riešení podľa základných vlastností logaritmov. Pred použitím logaritmických vzorcov na riešenie vám pripomenieme všetky vlastnosti:

Teraz si to na základe týchto vzorcov (vlastností) ukážeme príklady riešenia logaritmov.

Príklady riešenia logaritmov na základe vzorcov.

Logaritmus kladné číslo b na základ a (označené log a b) je exponent, na ktorý musí byť a umocnené, aby sme dostali b, pričom b > 0, a > 0 a 1.

Podľa definície log a b = x, čo je ekvivalent a x = b, teda log a a x = x.

Logaritmy, príklady:

log 2 8 = 3, pretože 2 3 = 8

log 7 49 = 2, pretože 72 = 49

log 5 1/5 = -1, pretože 5-1 = 1/5

Desatinný logaritmus- ide o obyčajný logaritmus, ktorého základňa je 10. Označuje sa ako lg.

log 10 100 = 2, pretože 102 = 100

Prirodzený logaritmus- tiež obyčajný logaritmus, logaritmus, ale so základom e (e = 2,71828... - iracionálne číslo). Označené ako ln.

Je vhodné zapamätať si vzorce alebo vlastnosti logaritmov, pretože ich budeme potrebovať neskôr pri riešení logaritmov, logaritmických rovníc a nerovníc. Prepracujme každý vzorec znova s ​​príkladmi.

• Základná logaritmická identita
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1 * 10) = log 3 81 = 4

• Logaritmus kvocientu sa rovná rozdielu logaritmov
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Vlastnosti mocniny logaritmického čísla a základu logaritmu

  Exponent logaritmického čísla log a b m = mlog a b

  Exponent základu logaritmu log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  ak m = n, dostaneme log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Prechod na nový základ
  log a b = log c b/log c a,

  ak c = b, dostaneme log b b = 1

  potom log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Ako vidíte, vzorce pre logaritmy nie sú také zložité, ako sa zdá. Teraz, keď sme sa pozreli na príklady riešenia logaritmov, môžeme prejsť k logaritmickým rovniciam. Na príklady riešenia logaritmických rovníc sa pozrieme podrobnejšie v článku: "". Nenechajte si ujsť!

Ak máte stále otázky týkajúce sa riešenia, napíšte ich do komentárov k článku.

Poznámka: rozhodli sme sa získať inú triedu vzdelávania a študovať v zahraničí ako voliteľnú možnosť.