Kako rešiti seštevanje in odštevanje ulomkov. Seštevanje in odštevanje algebrskih ulomkov z različnimi imenovalci (osnovna pravila, najenostavnejši primeri)

Opomba! Preden napišete končni odgovor, preverite, ali lahko zmanjšate delež, ki ste ga prejeli.

Odštevanje ulomkov z enakim imenovalcem, primeri:

,

,

Odštevanje pravilnega ulomka od enega.

Če je treba od enote odšteti pravilen ulomek, se enota prenese v obliko napačnega ulomka, njen imenovalec je enak imenovalcu ulomka, ki ga je treba odšteti.

Primer odštevanja pravilnega ulomka od enega:

Imenovalec odštetega ulomka = 7 , torej enoto predstavimo kot nepravilni ulomek 7/7 in jo odštejemo po pravilu odštevanja ulomkov z enakimi imenovalci.

Odštevanje pravilnega ulomka od celega števila.

Pravila za odštevanje ulomkov - pravilno iz celega števila (naravna številka):

• Dane ulomke, ki vsebujejo celo število, prevedemo v napačne. Dobimo normalne izraze (ni pomembno, če imajo različne imenovalce), ki jih štejemo po zgoraj navedenih pravilih;
• Nato izračunamo razliko ulomkov, ki smo jih prejeli. Posledično bomo skoraj našli odgovor;
• Izvedemo inverzno transformacijo, to pomeni, da se znebimo napačnega ulomka - izberemo celoten del v ulomku.

Od celega števila odštejte pravilen ulomek: predstavljajte naravno število kot mešano število. tiste. v naravnem številu zasedemo enoto in jo pretvorimo v obliko nepravilnega ulomka, imenovalec je enak kot pri odštetem ulomku.

Primer odštevanja ulomkov:

V primeru smo enoto zamenjali z nepravilnim ulomkom 7/7 in namesto 3 zapisali mešano število in od ulomnega dela odšteli ulomek.

Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.

Ali z drugimi besedami, odštevanje različnih ulomkov.

Pravilo za odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci. Da bi odšteli ulomke z različnimi imenovalci, je treba te ulomke najprej spraviti na najmanjši skupni imenovalec (LCN), šele nato pa odšteti kot pri ulomkih z enakimi imenovalci.

Skupni imenovalec več ulomkov je LCM (najmanj pogosti večkratnik) naravna števila, ki so imenovalci teh ulomkov.

Pozor!Če imata števec in imenovalec skupne faktorje v končnem ulomku, je treba ulomek razveljaviti. Slab ulomek je najbolje predstavljen kot mešani ulomek. Če pustite rezultat odštevanja, ne da bi preklicali ulomek, kjer je to mogoče, je nedokončana rešitev primera!

Postopek za odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.

• poišči LCM za vse imenovalce;
• dajte dodatne faktorje za vse ulomke;
• pomnožite vse števce z dodatnim faktorjem;
• nastale produkte zapišemo v števec in pod vsemi ulomki podpišemo skupni imenovalec;
• odštejemo števce ulomkov in podpišemo skupni imenovalec pod razliko.

Na enak način se seštevanje in odštevanje ulomkov izvaja, če so v števcu črke.

Odštevanje ulomkov, primeri:

Odštevanje mešanih ulomkov.

Pri odštevanje mešanih ulomkov (števil) ločeno od celotnega dela odštejemo cel del in od ulomnega dela odštejemo ulomni del.

Prva možnost je odštevanje mešanih ulomkov.

Če so delni deli enako imenovalci in števec ulomnega dela odštetega (odštej od njega) ≥ števec ulomnega dela odštetega (odštej ga).

Na primer:

Druga možnost je odštevanje mešanih ulomkov.

Ko so delni deli različno imenovalci. Za začetek pripeljemo ulomne dele na skupni imenovalec, nato pa od celote odštejemo celoten del, od ulomnega dela pa ulomni del.

Na primer:

Tretja možnost za odštevanje mešanih ulomkov.

Ulomni del zmanjšanega je manjši od ulomnega dela odštetega.

Primer:

Ker ulomni deli imajo različne imenovalce, kar pomeni, kot pri drugi možnosti, najprej navadne ulomke pripeljemo na skupni imenovalec.

Števec ulomnega dela odštetega je manjši od števca ulomnega dela odštetega.3 < 14. Zato iz celotnega dela vzamemo enoto in to enoto pripeljemo v obliko nepravilnega ulomka z enakim imenovalcem in števcem = 18.

V števcu z desne strani zapišemo vsoto števcev, nato z desne strani odpremo oklepaje v števcu, torej vse pomnožimo in damo podobne. Ne odpirajte oklepajev v imenovalcu. Običajno je delo pustiti v imenovalcih. Dobimo:

Mešane ulomke lahko odštejemo tako kot preproste ulomke. Če želite odšteti mešano število ulomkov, morate poznati več pravil za odštevanje. Raziščimo ta pravila s primeri.

Odštevanje mešanih ulomkov z enakim imenovalcem.

Razmislite o primeru s pogojem, da so zmanjšani celi in ulomni deli večji od odštetega celega oziroma ulomnega dela. Pod temi pogoji se odbitek izvede ločeno. Od celotnega dela odštejte cel del, od ulomnega dela pa delni del.

Poglejmo primer:

Izvedite odštevanje mešanih ulomkov \ (5 \ frac (3) (7) \) in \ (1 \ frac (1) (7) \).

\ (5 \ frac (3) (7) -1 \ frac (1) (7) = (5-1) + (\ frac (3) (7) - \ frac (1) (7)) = 4 \ frac (2) (7) \)

Pravilnost odštevanja se preveri z seštevanjem. Preverimo odštevanje:

\ (4 \ frac (2) (7) +1 \ frac (1) (7) = (4 + 1) + (\ frac (2) (7) + \ frac (1) (7)) = 5 \ frac (3) (7) \)

Razmislite o primeru s pogojem, ko je ulomni del zmanjšanega manj, oziroma ulomni del odštetega. V tem primeru si izposodimo eno od celote v zmanjšanem.

Poglejmo primer:

Izvedite odštevanje mešanih ulomkov \ (6 \ frac (1) (4) \) in \ (3 \ frac (3) (4) \).

Zmanjšani \ (6 \ frac (1) (4) \) ima ulomni del manjši od ulomnega dela odštetega \ (3 \ frac (3) (4) \). To pomeni, \ (\ frac (1) (4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)

\ (\ začni (poravnaj) & 6 \ frac (1) (4) -3 \ frac (3) (4) = (6 + \ frac (1) (4)) - 3 \ frac (3) (4) = (5 + \ barva (rdeča) (1) + \ frac (1) (4)) - 3 \ frac (3) (4) = (5 + \ barva (rdeča) (\ frac (4) (4) ) + \ frac (1) (4)) - 3 \ frac (3) (4) = (5 + \ frac (5) (4)) - 3 \ frac (3) (4) = \\\\ & = 5 \ frac (5) (4) -3 \ frac (3) (4) = 2 \ frac (2) (4) = 2 \ frac (1) (4) \\\\ \ konec (poravnaj) \ )

Naslednji primer:

\ (7 \ frac (8) (19) -3 = 4 \ frac (8) (19) \)

Odštevanje mešanega ulomka od celega števila.

Primer: \ (3-1 \ frac (2) (5) \)

Manjši 3 nima ulomnega dela, zato ga ne moremo takoj odšteti. Izposodimo si eno od celega dela 3 in nato izvedemo odštevanje. Enoto bomo zapisali kot \ (3 = 2 + 1 = 2 + \ frac (5) (5) = 2 \ frac (5) (5) \)

\ (3-1 \ frac (2) (5) = (2 + \ barva (rdeča) (1)) - 1 \ frac (2) (5) = (2 + \ barva (rdeča) (\ frac (5) ) (5))) - 1 \ frac (2) (5) = 2 \ frac (5) (5) -1 \ frac (2) (5) = 1 \ frac (3) (5) \)

Odštevanje mešanih ulomkov z različnimi imenovalci.

Razmislite o primeru s pogojem, če so ulomni deli zmanjšani in odšteti z različnimi imenovalci. Morate pripeljati do skupnega imenovalca in nato izvesti odštevanje.

Odštejte dva mešana ulomka z različnimi imenovalci \ (2 \ frac (2) (3) \) in \ (1 \ frac (1) (4) \).

Skupni imenovalec je 12.

\ (2 \ frac (2) (3) -1 \ frac (1) (4) = 2 \ frac (2 \ krat \ barva (rdeča) (4)) (3 \ krat \ barva (rdeča) (4) ) -1 \ frac (1 \ krat \ barva (rdeča) (3)) (4 \ krat \ barva (rdeča) (3)) = 2 \ frac (8) (12) -1 \ frac (3) (12 ) = 1 \ frac (5) (12) \)

Vprašanja na temo:
Kako odšteti mešane ulomke? Kako rešiti mešane ulomke?
Odgovor: odločiti se morate, kateri vrsti izraza pripada in glede na vrsto izraza uporabiti algoritem rešitve. Od celotnega dela odštejte celoto, od ulomnega dela odštejte delni del.

Kako od celega števila odšteti ulomek? Kako od celega števila odšteti ulomek?
Odgovor: iz celega števila morate vzeti enoto in to enoto zapisati kot ulomek

\ (4 = 3 + 1 = 3 + \ frac (7) (7) = 3 \ frac (7) (7) \),

in nato od celote odštej celoto, od ulomnega dela odštej delni del. Primer:

\ (4-2 \ frac (3) (7) = (3 + \ barva (rdeča) (1)) - 2 \ frac (3) (7) = (3 + \ barva (rdeča) (\ frac (7) ) (7))) - 2 \ frac (3) (7) = 3 \ frac (7) (7) -2 \ frac (3) (7) = 1 \ frac (4) (7) \)

Primer #1:
Odštejte pravilen ulomek od enega: a) \ (1- \ frac (8) (33) \) b) \ (1- \ frac (6) (7) \)

rešitev:
a) Enoto predstavimo kot ulomek z imenovalcem 33. Dobimo \ (1 = \ frac (33) (33) \)

\ (1- \ frac (8) (33) = \ frac (33) (33) - \ frac (8) (33) = \ frac (25) (33) \)

b) Enoto predstavimo kot ulomek z imenovalcem 7. Dobimo \ (1 = \ frac (7) (7) \)

\ (1- \ frac (6) (7) = \ frac (7) (7) - \ frac (6) (7) = \ frac (7-6) (7) = \ frac (1) (7) \)

Primer #2:
Od celega števila odštejte mešani ulomek: a) \ (21-10 \ frac (4) (5) \) b) \ (2-1 \ frac (1) (3) \)

rešitev:
a) Od celega števila si izposodimo 21 enot in ga zapišemo takole \ (21 = 20 + 1 = 20 + \ frac (5) (5) = 20 \ frac (5) (5) \)

\ (21-10 \ frac (4) (5) = (20 + 1) -10 \ frac (4) (5) = (20 + \ frac (5) (5)) - 10 \ frac (4) ( 5) = 20 \ frac (5) (5) -10 \ frac (4) (5) = 10 \ frac (1) (5) \\\\\)

b) Izposodimo si enoto od celega števila 2 in jo zapišemo takole \ (2 = 1 + 1 = 1 + \ frac (3) (3) = 1 \ frac (3) (3) \)

\ (2-1 \ frac (1) (3) = (1 + 1) -1 \ frac (1) (3) = (1 + \ frac (3) (3)) - 1 \ frac (1) ( 3) = 1 \ frac (3) (3) -1 \ frac (1) (3) = \ frac (2) (3) \\\\\)

Primer #3:
Od mešanega ulomka odštejte celo število: a) \ (15 \ frac (6) (17) -4 \) b) \ (23 \ frac (1) (2) -12 \)

a) \ (15 \ frac (6) (17) -4 = 11 \ frac (6) (17) \)

b) \ (23 \ frac (1) (2) -12 = 11 \ frac (1) (2) \)

Primer št. 4:
Od mešanega ulomka odštejte pravilen ulomek: a) \ (1 \ frac (4) (5) - \ frac (4) (5) \)

\ (1 \ frac (4) (5) - \ frac (4) (5) = 1 \\\\\)

Primer #5:
Izračunaj \ (5 \ frac (5) (16) -3 \ frac (3) (8) \)

\ (\ začni (poravnaj) & 5 \ frac (5) (16) -3 \ frac (3) (8) = 5 \ frac (5) (16) -3 \ frac (3 \ krat \ barva (rdeča) ( 2)) (8 \ krat \ barva (rdeča) (2)) = 5 \ frac (5) (16) -3 \ frac (6) (16) = (5 + \ frac (5) (16)) - 3 \ frac (6) (16) = (4 + \ barva (rdeča) (1) + \ frac (5) (16)) - 3 \ frac (6) (16) = \\\\ & = ( 4 + \ barva (rdeča) (\ frac (16) (16)) + \ frac (5) (16)) - 3 \ frac (6) (16) = (4 + \ barva (rdeča) (\ frac ( 21 ) (16))) - 3 \ frac (3) (8) = 4 \ frac (21) (16) -3 \ frac (6) (16) = 1 \ frac (15) (16) \\\ \ \ konec (poravnaj) \)

Ta lekcija bo zajemala seštevanje in odštevanje algebraičnih ulomkov z enakimi imenovalci. Navadne ulomke z enakim imenovalcem že znamo seštevati in odštevati. Izkazalo se je, da algebraični ulomki upoštevajo ista pravila. Sposobnost dela z ulomki z enakim imenovalcem je eden od temeljnih kamnov pri učenju pravil za delo z algebrskimi ulomki. Zlasti razumevanje te teme bo olajšalo obvladovanje bolj zapletene teme - seštevanja in odštevanja ulomkov z različnimi imenovalci. V okviru lekcije bomo preučili pravila seštevanja in odštevanja algebrskih ulomkov z enakimi imenovalci ter analizirali številne tipične primere.

Pravilo za seštevanje in odštevanje algebraičnih ulomkov z enakim imenovalcem

Oblika-moo-li-ru-em desno-vi-lo foliacije (you-chi-ta-nia) al-geb-ra-i-che-dro-bey z odi-na-ko-vy -mi zn-me-na-te-la-mi (je sov-pa-da-em z ana-lo-gich-ny desnim-vi-lom za navadne-ven-dro-beys): to je za plastenje ali vy -chi-ta-niya al-geb-ra-i-che-dro-bey z "one-on-to-you know-me-on-te-la-mi" je potrebno -ho-di-mo so-to- daj z-the-vet-yu-al-geb-ra-i-che-vsota num-li-te-lei in zn-me-na-tel pusti brez me-not-niy.

Vzamemo to desno-ha-lo in na primeru običajnega-ven-draw-bei in na primeru zadetka al-geb-ra-i-che-drow.

Primeri uporabe pravila za navadne ulomke

Primer 1. Če želite dodati ulomek:.

Rešitev

Dodamo številko-ali-te-ali potegni-beat, znak-me-na-tel pa bo ostal enak. Nato število in imenovalec razdelimo na enostavne večkratnike in so-kra-tim. By-lo-chim: .

Opomba: standardna napaka, ki jo dopuščam pri odločanju o dodatni vrsti primerov za -klyu-cha-it-Xia na naslednji način-z-rešitvijo: ... To je velika napaka, saj know-n-tel ostaja enak, kot je bil v prvotnem žrebanju.

Primer 2. Če želite dodati ulomek:.

Rešitev

Dan-naya za-da-cha ni nič drugačen od prejšnjega:.

Primeri uporabe pravila za algebraične ulomke

Od navadnega-ampak-ven-dro-beat pe-re-dyom do al-geb-ra-i-che-skim.

Primer 3. Če želite dodati ulomek:.

Rešitev: kot je bilo že rečeno zgoraj, se plastenje al-geb-ra-i-che-dro-bei v ničemer ne razlikuje od besede same-niya navadni-ven-nyh draw-beat. Zato je metoda rešitve enaka:.

Primer 4. Vi ste čast ulomka:.

Rešitev

You-chi-ta-ti al-geb-ra-i-che-dro-bei from-li-cha-ee iz besede samo s tistimi, ki so oštevilčene pi-sy-va-em-Xia razlika v številu -li-te-lei začetnega draw-bei. Zato .

Primer 5. Vi ste čast ulomka:.

Rešitev: .

Primer 6. Poenostavite:.

Rešitev: .

Primeri uporabe pravila, ki jim sledi okrajšava

V ulomku, ki-ta-raj-lo-cha-is-sya v re-zul-ta-teh besedah ​​ali vy-chi-ta-nia, je mogoče so-lepa niya. Poleg tega ne smete pozabiti na ODZ al-geb-ra-i-che-dro-bey.

Primer 7. Poenostavite:.

Rešitev: .

Pri čemer . Na splošno, če ODZ začetnega draw-beat cov-pa-yes-et z ODZ ito-howl, potem ga je mogoče izpustiti (navsezadnje ulomek, po žarku, naya v ot-ve-tistih, tudi ne bo obstajal s co-ot-ot-tv-yu-si-ni-ni-n-re-men-ny). Če pa ODZ začetnega žrebanja in odgovor ni co-pa-da-et, potem je treba ODZ navesti.

Primer 8. Poenostavite:.

Rešitev: . V tem primeru y (ODZ začetnega draw-beat-a ne cov-pa-da-et z ODZ re-zul-ta-ta).

Seštevanje in odštevanje navadnih ulomkov z različnimi imenovalci

Za zlaganje za dihanje in za branje ulomkov al-geb-ra-i-che z različnimi znaki-me-na-te-la-mi, pro-ve-dem ana-lo-gyu z navadnim-no-ve -ny-mi dro-by-mi in ga pe-re-not-sem v al-geb-ra-i-th frakcije.

Ras-smot-rim je najpreprostejši primer za običajne draw-beats.

Primer 1. Lay-live frakcije:.

rešitev:

Ne pozabite na desno-ha-lo besede draw-beat. Za frakcijo na-cha-la je potrebno-ho-di-mo priti do splošnega zn-me-na-te-lyu. V vlogi navadnega know-me-na-te-la za navaden-ven-dro-beat, ti-stu-pa-e najmanjši skupni večkratnik(NOC) začetnih znakov-me-na-te-lei.

Opredelitev

Najmanjše število je na istem številu, ki je razdeljeno enkrat-a-na število in.

Če želite najti NOC, morate vedeti-me-na-te-ali razdeliti na preproste sklope, nato pa izbrati vse izdelke, ki jih je veliko, ki-rži so vključeni v razliko obeh znakov-me-na-te -lei.

; ... Nato naj LCM števil vključuje dve dvojki in dve trojki:.

Ko najde skupno znanje, mora vsak od žrebcev najti do polovico stanovanjskega tel (fact-ti-tski, tako da vlije skupni imenovalec v poimenovanje-na-tel z-od-vet -tstvu-yu-si-tel).

Nato vsaka frakcija pametno postane od polovice do pol polnega množitelja. By-be-cha-yut-Xia frakcije z ena-on-to-to-me-know-me-on-te-la-mi, put-to-blow in you-beri nekaj smo na -Naučeno na preteklih lekcijah .

By-lo-cha-eat: .

odgovor:.

Razmislite zdaj o plasti al-geb-ra-i-che-dro-bey z različnimi znaki-me-na-te-la-mi. Sna-cha-la ras-smot-rim frakcije, know-me-na-te-if some-ryh are-la-yut-sya number-la-mi.

Seštevanje in odštevanje algebraičnih ulomkov z različnimi imenovalci

Primer 2. Lay-live frakcije:.

rešitev:

Al-go-ritem odločitve ab-so-lut-no ana-lo-gi-chen before-do-shu-mu-me-ru. Enostavno je dobiti skupni imenovalec teh risb-utripov: in do polovičnih nizov za vsak od njih.

.

odgovor:.

Torej, za-moo-li-ru-em al-go-ritem plastenja in you-chi-ta-nia al-geb-ra-i-che-dro-bey z različnimi zn-me-na-te-la-mi:

1. Poišči najmanjši skupni imenovalec zadetek.

2. Poiščite do-pol-ni-tel-nye nize za vsako od ulomkov draw-bei).

3. Do-veliko-živi številko-ali-te-ali na so-odgovori-na-u-th-u-th-o-p-n-t-t-n-t-t-t-l.

4. Lay-live ali you-honor the fraction, uporabite desno-vi-la-mi lay-up in you-chi-ta-nia draw-beat z enakim znanjem -me-na-te-la-mi.

Ras-smot-rim zdaj primer z dro-by-mi, v know-me-na-te-le to-that-ryh come-to-sut-are-are-ve-nye you-ra-isti -nija.

Vsebina lekcije

Seštevanje ulomkov z enakim imenovalcem

Obstajata dve vrsti seštevanja frakcij:

1. Seštevanje ulomkov z enakim imenovalcem
2. Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Najprej preučimo seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite sešteti ulomke z enakim imenovalcem, dodajte njihove števce in pustite imenovalec nespremenjen. Na primer, dodajte ulomke in. Dodajte števce in pustite imenovalec nespremenjen:

Ta primer lahko zlahka razumete, če pomislite na pico, ki je razdeljena na štiri dele. Če pici dodate pice, dobite pice:

Primer 2. Dodajte ulomke in.

Odgovor je napačen ulomek. Če pride do konca težave, je običajno, da se znebite napačnih ulomkov. Če se želite znebiti napačnega ulomka, morate v njem izbrati celoten del. V našem primeru je celoten del enostavno razlikovati - dva, deljena z dva, je enaka enemu:

Ta primer lahko enostavno razumete, če pomislite na pico, ki je razdeljena na dva dela. Če pici dodate pico, dobite eno celo pico:

Primer 3... Dodajte ulomke in.

Ponovno dodajte števce in pustite imenovalec nespremenjen:

Ta primer lahko zlahka razumete, če pomislite na pico, ki je razdeljena na tri dele. Če pici dodate pico, dobite pico:

Primer 4. Poiščite vrednost izraza

Ta primer je rešen na enak način kot prejšnji. Številce je treba sešteti, imenovalec pa ostati nespremenjen:

Poskusimo našo rešitev upodobiti s sliko. Če pici dodate pice in pici dodate pice, dobite 1 celo pico in več.

Kot lahko vidite, pri seštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič težko. Dovolj je razumeti naslednja pravila:

1. Če želite sešteti ulomke z enakim imenovalcem, morate sešteti njihove števce, imenovalec pa pustiti nespremenjen;

Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Zdaj pa se naučimo seštevati ulomke z različnimi imenovalci. Pri seštevanju ulomkov morajo biti imenovalci teh ulomkov enaki. Niso pa vedno enaki.

Na primer, ulomke in je mogoče sešteti, saj imajo enake imenovalce.

Toda ulomkov ni mogoče sešteti takoj, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zmanjšati na isti (skupni) imenovalec.

Obstaja več načinov, kako ulomke pripeljati do istega imenovalca. Danes bomo obravnavali le enega od njih, saj se preostale metode morda zdijo težke za začetnika.

Bistvo te metode je, da najprej iščemo (LCM) za imenovalce obeh ulomkov. Nato se LCM deli z imenovalcem prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor. Enako storite z drugim ulomkom - LCM se deli z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor.

Nato se števci in imenovalci ulomkov pomnožijo z njihovimi dodatnimi faktorji. Zaradi teh dejanj se ulomki z različnimi imenovalci pretvorijo v ulomke z enakimi imenovalci. In že vemo, kako sešteti takšne ulomke.

Primer 1... Dodajte ulomke in

Najprej poiščemo najmanjši skupni večkratnik imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je 3, imenovalec drugega ulomka pa 2. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 6

LCM (2 in 3) = 6

Zdaj se vrnemo k ulomkom in. Najprej razdelimo LCM z imenovalcem prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 6 delimo s 3, dobimo 2.

Nastala številka 2 je prvi dodatni faktor. Zapišemo ga na prvi ulomek. Če želite to narediti, naredite majhno poševno črto nad ulomkom in nad njo napišite dodatni faktor, ki ga najdete:

Enako naredimo z drugim ulomkom. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec drugega ulomka pa je število 2. 6 delimo z 2, dobimo 3.

Nastala številka 3 je drugi dodatni faktor. Zapišemo ga na drugi ulomek. Ponovno narišemo majhno poševno črto nad drugim ulomkom in nad njo zapišemo dodatni faktor, ki ga najdemo:

Zdaj smo pripravljeni dodati. Še vedno je treba pomnožiti števce in imenovalce ulomkov z vašimi dodatnimi faktorji:

Poglejte natančno, do česa smo prišli. Prišli smo do zaključka, da se ulomki z različnimi imenovalci spremenijo v ulomke z enakimi imenovalci. In že vemo, kako sešteti takšne ulomke. Dokončajmo ta primer do konca:

Tako se primer konča. Izkazalo se je dodati.

Poskusimo našo rešitev upodobiti s sliko. Če pici dodate še pice, dobite eno celo pico in še eno šesto pico:

Zmanjšanje ulomkov na isti (skupni) imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Z zmanjševanjem ulomkov in na skupni imenovalec smo dobili ulomke in. Ti dve frakciji bosta predstavljeni z enakimi rezinami pice. Edina razlika je v tem, da bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zmanjšani na isti imenovalec).

Prva slika prikazuje ulomek (štiri od šestih kosov), druga slika pa ulomek (trije od šestih kosov). Če te kose združimo, dobimo (sedem kosov od šestih). Ta ulomek je napačen, zato smo v njem izbrali celoten del. Kot rezultat smo dobili (eno celo pico in še eno šesto pico).

Upoštevajte, da smo ta primer opisali preveč podrobno. V izobraževalnih ustanovah ni običajno pisati tako podrobno. Morate biti sposobni hitro najti LCM obeh imenovalcev in dodatnih faktorjev k njim ter hitro pomnožiti najdene dodatne faktorje s svojimi števci in imenovalci. V šoli bi morali ta primer napisati takole:

Toda kovanec ima tudi slabo stran. Če na prvih stopnjah študija matematike ne naredite podrobnih zapiskov, se začnejo pojavljati taka vprašanja »Od kod ta številka?« »Zakaj se ulomki nenadoma spremenijo v popolnoma različne ulomke? «.

Za lažje seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci lahko uporabite naslednja navodila po korakih:

1. Poiščite LCM imenovalcev ulomkov;
2. LCM delimo z imenovalcem vsakega ulomka in dobimo dodatni faktor za vsak ulomek;
3. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z dodatnimi faktorji;
4. Dodajte ulomke, ki imajo enak imenovalec;
5. Če se izkaže, da je odgovor napačen ulomek, izberite njegov celoten del;

Primer 2. Poiščite vrednost izraza .

Uporabimo zgornja navodila.

Korak 1. Poiščite LCM imenovalcev ulomkov

Poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalci ulomkov so števila 2, 3 in 4.

Korak 2. LCM delite z imenovalcem vsakega ulomka in dobite dodaten faktor za vsak ulomek

LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 2. 12 delimo z 2, dobimo 6. Dobimo prvi dodatni faktor 6. Zapišemo ga čez prvi ulomek:

Sedaj LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Dobimo drugi dodatni faktor 4. Zapišemo ga čez drugi ulomek:

Sedaj LCM delimo z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 12, imenovalec tretjega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Dobimo tretji dodatni faktor 3. Zapišemo ga čez tretji ulomek:

Korak 3. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z vašimi dodatnimi faktorji

Pomnožimo števce in imenovalce z našimi dodatnimi faktorji:

Korak 4. Dodajte ulomke z enakimi imenovalci

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. Ostaja še dodati te ulomke. dodajamo:

Dodatek ni ustrezal eni vrstici, zato smo preostali izraz premaknili v naslednjo vrstico. To je dovoljeno v matematiki. Kadar izraz ne paše v eno vrstico, se prenese v naslednjo vrstico, na koncu prve in na začetku nove vrstice pa je treba postaviti znak enakosti (=). Znak enakosti v drugi vrstici pomeni, da je to nadaljevanje izraza, ki je bil v prvi vrstici.

Korak 5. Če se izkaže, da je odgovor napačen ulomek, v njem izberite celoten del

V odgovoru smo dobili napačen ulomek. Iz nje moramo izbrati celoten del. Poudarek:

Prejel odgovor

Odštevanje ulomkov z enakim imenovalcem

Obstajata dve vrsti odštevanja ulomkov:

1. Odštevanje ulomkov z enakim imenovalcem
2. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Najprej preučimo odštevanje ulomkov z enakim imenovalcem. Tukaj je vse preprosto. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate od števca prvega ulomka odšteti števec drugega ulomka, imenovalec pa pustiti enak.

Na primer, poiščimo vrednost izraza. Za rešitev tega primera odštejte števec drugega ulomka od števca prvega ulomka in pustite imenovalec nespremenjen. Torej naredimo to:

Ta primer lahko zlahka razumete, če pomislite na pico, ki je razdeljena na štiri dele. Če iz pice narežete pice, dobite pice:

Primer 2. Poiščite vrednost izraza.

Še enkrat odštejte števec drugega ulomka od števca prvega ulomka in pustite imenovalec nespremenjen:

Ta primer lahko zlahka razumete, če pomislite na pico, ki je razdeljena na tri dele. Če iz pice narežete pice, dobite pice:

Primer 3. Poiščite vrednost izraza

Ta primer je rešen na enak način kot prejšnji. Od števca prvega ulomka morate odšteti števce preostalih ulomkov:

Kot lahko vidite, ni nič težkega pri odštevanju ulomkov z enakimi imenovalci. Dovolj je razumeti naslednja pravila:

1. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate od števca prvega ulomka odšteti števec drugega ulomka, imenovalec pa pustiti nespremenjen;
2. Če se izkaže, da je odgovor napačen ulomek, morate v njem izbrati celoten del.

Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Na primer, od ulomka lahko odštejete ulomek, saj imajo ti ulomki enak imenovalec. Toda od ulomka ne morete odšteti ulomka, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zmanjšati na isti (skupni) imenovalec.

Skupni imenovalec najdemo po istem principu, kot smo ga uporabili pri seštevanju ulomkov z različnimi imenovalci. Najprej poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Nato LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor, ki ga zapišemo čez prvi ulomek. Podobno se LCM deli z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor, ki se zapiše čez drugi ulomek.

Nato se ulomke pomnožijo z njihovimi dodatnimi faktorji. Kot rezultat teh operacij se ulomki z različnimi imenovalci pretvorijo v ulomke z enakimi imenovalci. Takšne ulomke že znamo odšteti.

Primer 1. Poiščite vrednost izraza:

Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate pripeljati do istega (skupnega) imenovalca.

Najprej poiščemo LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je 3, imenovalec drugega ulomka pa 4. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 12

LCM (3 in 4) = 12

Zdaj nazaj k ulomkom in

Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. Če želite to narediti, LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Štiriko zapišemo čez prvi ulomek:

Enako naredimo z drugim ulomkom. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Zapiši tri čez drugi ulomek:

Zdaj smo pripravljeni na odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z vašimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da se ulomki z različnimi imenovalci spremenijo v ulomke z enakimi imenovalci. Takšne ulomke že znamo odšteti. Dokončajmo ta primer do konca:

Prejel odgovor

Poskusimo našo rešitev upodobiti s sliko. Če iz pice režeš pico, dobiš pico

To je podrobna različica rešitve. V šoli bi morali ta primer rešiti na krajši način. Takšna rešitev bi izgledala takole:

Zmanjšanje ulomkov in na skupni imenovalec je mogoče prikazati tudi s pomočjo slike. Če te ulomke pripeljemo do skupnega imenovalca, dobimo ulomke in. Ti ulomki bodo predstavljeni z enakimi rezinami pice, vendar bodo tokrat razdeljeni na enake dele (zmanjšani na isti imenovalec):

Prva risba prikazuje ulomek (osem od dvanajstih kosov), druga risba pa ulomek (trije od dvanajstih kosov). Če od osmih kosov odrežemo tri kose, dobimo pet kosov od dvanajstih. Ulomek in opisuje teh pet kosov.

Primer 2. Poiščite vrednost izraza

Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate najprej pripeljati do istega (skupnega) imenovalca.

Poiščite LCM imenovalcev teh ulomkov.

Imenovalci ulomkov so 10, 3 in 5. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 30

LCM (10, 3, 5) = 30

Zdaj najdemo dodatne faktorje za vsak ulomek. Če želite to narediti, LCM delimo z imenovalcem vsakega ulomka.

Poiščimo dodaten faktor za prvi ulomek. LCM je število 30, imenovalec prvega ulomka pa 10. 30 delimo z 10, dobimo prvi dodatni faktor 3. Zapišemo ga čez prvi ulomek:

Zdaj najdemo dodaten faktor za drugi ulomek. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 30, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. 30 delimo s 3, dobimo drugi dodatni faktor 10. Zapišemo ga čez drugi ulomek:

Zdaj najdemo dodaten faktor za tretji ulomek. LCM delimo z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 30, imenovalec tretjega ulomka pa je število 5. 30 delimo s 5, dobimo tretji dodatni faktor 6. Zapišemo ga čez tretji ulomek:

Zdaj je vse pripravljeno za odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z vašimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki z različnimi imenovalci spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. Takšne ulomke že znamo odšteti. Dopolnimo ta primer.

Nadaljevanje primera ne bo šlo v eno vrstico, zato nadaljevanje prenesemo v naslednjo vrstico. Ne pozabite na znak enakosti (=) v novi vrstici:

Izkazalo se je, da je odgovor pravilen ulomek in zdi se, da nam vse ustreza, vendar je preveč okoren in grd. Morali bi olajšati. Kaj je mogoče storiti? Ta ulomek lahko skrajšate.

Če želite zmanjšati ulomek, morate njegov števec in imenovalec deliti z (GCD) številkama 20 in 30.

Torej, najdemo GCD številk 20 in 30:

Zdaj se vrnemo k našemu primeru in delimo števec in imenovalec ulomka z najdenim GCD, to je z 10

Prejel odgovor

Množenje ulomka s številom

Če želite ulomek pomnožiti s številom, morate števec tega ulomka pomnožiti s tem številom, imenovalec pa pustiti enak.

Primer 1... Ulomek pomnožite z 1.

Pomnožite števec ulomka z 1

Snemanje lahko razumemo kot polovico 1-krat. Na primer, če vzamete pico 1-krat, dobite pice

Iz zakonov množenja vemo, da če sta množitelj in množitelj obrnjena, se produkt ne bo spremenil. Če je izraz zapisan kot, bo produkt še vedno enak. Spet deluje pravilo za množenje celega števila in ulomka:

Ta zapis lahko razumemo kot polovico enega. Na primer, če je 1 cela pica in vzamemo polovico, potem bomo imeli pico:

Primer 2... Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec ulomka s 4

Odgovor je napačen ulomek. V njem izberimo celoten del:

Izraz lahko razumemo tako, da vzamemo dve četrtini 4-krat. Na primer, če vzamete pico 4-krat, dobite dve celi pici.

In če zamenjamo množitelj in množitelj na mestih, dobimo izraz. Prav tako bo enako 2. Ta izraz lahko razumemo kot vzeti dve pici iz štirih celih pic:

Množenje ulomkov

Če želite pomnožiti ulomke, morate pomnožiti njihove števce in imenovalce. Če se izkaže, da je odgovor napačen ulomek, morate v njem izbrati celoten del.

Primer 1. Poiščite vrednost izraza.

Dobili smo odgovor. To frakcijo je zaželeno skrajšati. Ulomek se lahko zmanjša za 2. Potem bo končna odločitev naslednja:

Izraz lahko razumemo kot vzeti pico iz polovice pice. Recimo, da imamo pol pice:

Kako dobiti dve tretjini te polovice? Najprej morate to polovico razdeliti na tri enake dele:

In vzemite dva od teh treh kosov:

Naredili bomo pico. Ne pozabite, kako izgleda pica, če je razdeljena na tri dele:

Ena rezina te pice in dve rezini, ki smo jo vzeli, bosta imeli enake dimenzije:

Z drugimi besedami, govorimo o enaki velikosti pice. Zato je vrednost izraza

Primer 2... Poiščite vrednost izraza

Števec prvega ulomka pomnožimo s števcem drugega ulomka, imenovalec prvega ulomka pa z imenovalcem drugega ulomka:

Odgovor je napačen ulomek. V njem izberimo celoten del:

Primer 3. Poiščite vrednost izraza

Števec prvega ulomka pomnožimo s števcem drugega ulomka, imenovalec prvega ulomka pa z imenovalcem drugega ulomka:

Odgovor je pravilen ulomek, vendar bo dobro, če ga zmanjšate. Če želite zmanjšati ta ulomek, morate števec in imenovalec tega ulomka deliti z največjim skupnim deliteljem (GCD) številk 105 in 450.

Torej, poiščimo GCD številk 105 in 450:

Zdaj delimo števec in imenovalec našega odgovora na GCD, ki smo ga zdaj našli, to je s 15

Predstavitev ulomka celega števila

Vsako celo število je mogoče predstaviti kot ulomek. Na primer, število 5 je lahko predstavljeno kot. Od tega pet ne bo spremenilo svoje vrednosti, saj izraz pomeni "število pet, deljeno z eno", in to je, kot veste, enako pet:

Obratne številke

Zdaj se bomo seznanili z zelo zanimivo temo iz matematike. Imenuje se "zadnje številke".

Opredelitev. Inverzno številoa je število, ki se pomnoži za daje eno.

Zamenjajmo v tej definiciji namesto spremenljivke aštevilka 5 in poskusite prebrati definicijo:

Inverzno število 5 je število, ki se pomnoži z 5 daje eno.

Ali lahko najdete število, ki, če ga pomnožite s 5, daje eno? Izkazalo se je, da lahko. Predstavimo pet kot ulomek:

Nato ta ulomek pomnožite sam, samo zamenjajte mesta števca in imenovalca. Z drugimi besedami, ulomek pomnožimo sam s seboj, samo obrnjeno:

Kaj bo rezultat tega? Če nadaljujemo z reševanjem tega primera, dobimo enega:

To pomeni, da je inverzno število 5 število, saj se 5 pomnoži z eno.

Vzajemno vrednost lahko najdemo tudi za katero koli drugo celo število.

Prav tako lahko najdete recipročno vrednost za kateri koli drug ulomek. Če želite to narediti, ga preprosto obrnite.

Deljenje ulomka s številom

Recimo, da imamo pol pice:

Razdelimo ga enako na dva. Koliko pice bo dobil vsak?

Vidi se, da po razdelitvi polovice pice ostaneta dve enaki rezini, od katerih vsaka sestavlja pico. Tako vsak dobi pico.

Delitev ulomkov se izvaja z uporabo recipročnih številk. Inverzne številke omogočajo zamenjavo deljenja z množenjem.

Če želite ulomek deliti s številom, morate ta ulomek pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja.

S tem pravilom zapišimo razdelitev naše polovice pice na dva dela.

Torej morate ulomek deliti s številom 2. Tu je deljivo ulomek, delilec pa število 2.

Če želite ulomek deliti z 2, morate ta ulomek pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja 2. Recipročna vrednost 2 je ulomek. Torej morate pomnožiti s

Ulomki so navadna števila in jih je mogoče seštevati in odštevati. Toda zaradi dejstva, da imajo imenovalec, zahtevajo bolj zapletena pravila kot za cela števila.

Razmislite o najpreprostejšem primeru, ko obstajata dva ulomka z enakim imenovalcem. Nato:

Če želite sešteti ulomke z enakim imenovalcem, dodajte njihove števce in pustite imenovalec nespremenjen.

Če želite odšteti ulomke z enakim imenovalcem, odštejte števec drugega od števca prvega ulomka in pustite imenovalec nespremenjen.

Znotraj vsakega izraza so imenovalci ulomkov enaki. Z definicijo seštevanja in odštevanja ulomkov dobimo:

Kot vidite, nič zapletenega: samo seštejte ali odštejte števce in to je to.

Toda tudi pri tako preprostih dejanjih ljudem uspe narediti napake. Najpogosteje se pozablja, da se imenovalec ne spremeni. Na primer, ko se dodajo, začnejo tudi dodajati, in to je v osnovi narobe.

Precej enostavno se je znebiti slabe navade dodajanja imenovalcev. Poskusite narediti enako za odštevanje. Posledično bo imenovalec nič, ulomek (nenadoma!) pa bo izgubil svoj pomen.

Zato si zapomnite enkrat za vselej: pri seštevanju in odštevanju se imenovalec ne spremeni!

Prav tako se mnogi zmotijo ​​pri seštevanju več negativnih ulomkov. Z znaki je zmeda: kam postaviti minus in kje plus.

Tudi ta problem je zelo enostavno rešiti. Dovolj je, da se spomnimo, da je minus pred znakom ulomka vedno mogoče prenesti v števec - in obratno. In seveda ne pozabite na dva preprosta pravila:

1. Plus in minus daje minus;
2. Dva negativa pomenita pritrdilno.

Analizirajmo vse to s konkretnimi primeri:

Naloga. Poiščite pomen izraza:

V prvem primeru je vse preprosto, v drugem pa števcem ulomkov dodamo minuse:

Kaj storiti, če so imenovalci različni

Ne morete neposredno seštevati ulomkov z različnimi imenovalci. Vsaj meni ta metoda ni znana. Vendar pa je prvotne ulomke vedno mogoče prepisati tako, da postanejo imenovalci enaki.

Obstaja veliko načinov za pretvorbo ulomkov. Tri od njih so obravnavane v lekciji "Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec", zato se na njih tukaj ne bomo zadrževali. Oglejmo si bolje primere:

Naloga. Poiščite pomen izraza:

V prvem primeru ulomke pripeljemo do skupnega imenovalca po metodi "križnega križa". V drugem primeru bomo iskali LCM. Upoštevajte, da je 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Zadnji faktorji v teh razširitvah so enaki, prvi pa so enaki. Zato je LCM (6; 9) = 2 3 3 = 18.

Kaj storiti, če ima ulomek celo število

Lahko te razveselim: različni imenovalci za ulomke še niso največje zlo. Veliko več napak se pojavi, ko je cel del izbran v ulomkih.

Seveda obstajajo lastni algoritmi za seštevanje in odštevanje za takšne ulomke, vendar so precej zapleteni in zahtevajo dolgo študijo. Bolje je uporabiti spodnjo preprosto shemo:

1. Pretvorite vse ulomke, ki vsebujejo celo število, v napačne. Dobimo normalne izraze (tudi z različnimi imenovalci), ki so izračunani po zgoraj obravnavanih pravilih;
2. Pravzaprav izračunajte vsoto ali razliko dobljenih ulomkov. Posledično bomo praktično našli odgovor;
3. Če je to vse, kar je bilo potrebno v problemu, izvedemo inverzno transformacijo, tj. znebimo se napačnega ulomka in v njem poudarimo celoten del.

Pravila za prehod na nepravilne ulomke in poudarjanje celotnega dela so podrobno opisana v lekciji "Kaj je številski ulomek". Če se ne spomnite, ga ne pozabite ponoviti. Primeri:

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Tukaj je vse preprosto. Imenovalci v vsakem izrazu so enaki, zato je treba vse ulomke prevesti v napačne in prešteti. Imamo:

Da bi bile stvari preproste, sem v zadnjih primerih preskočil nekaj očitnih korakov.

Majhna opomba k zadnjima dvema primeroma, kjer se odštejejo ulomki z označenim celim delom. Minus pred drugim ulomkom pomeni, da se odšteje celoten ulomek in ne le njegov celoten del.

Ponovno preberite ta stavek, poglejte primere - in razmislite. Tukaj začetniki naredijo ogromno napak. Take naloge radi dajejo na testnih listih. Večkrat jih boste srečali tudi pri testih za to lekcijo, ki bodo kmalu objavljeni.

Povzetek: splošna shema izračuna

Za zaključek bom podal splošen algoritem, ki vam bo pomagal najti vsoto ali razliko dveh ali več ulomkov:

1. Če ima en ali več ulomkov cel del, te ulomke pretvorite v napačne;
2. Vse ulomke prinesite na skupni imenovalec na kakršen koli način, ki vam ustreza (če seveda to niso storili avtorji problema);
3. Dobljena števila seštej ali odštej po pravilih seštevanja in odštevanja ulomkov z enakimi imenovalci;
4. Po možnosti zmanjšajte rezultat. Če se izkaže, da je ulomek napačen, izberite cel del.

Ne pozabite, da je bolje izbrati celoten del na samem koncu težave, tik pred pisanjem odgovora.