Kvadratne enačbe z uporabo intervalne metode. Intervalna metoda, primeri, rešitve

V tej lekciji bomo nadaljevali z reševanjem racionalnih neenačb z intervalno metodo kompleksne neenakosti. Oglejmo si rešitev delno linearne in delno kvadratne neenačbe ter sorodnih problemov.

Zdaj pa se vrnimo k neenakosti

Oglejmo si nekaj povezanih nalog.

Poiščite najmanjšo rešitev neenačbe.

Poiščite število naravnih rešitev neenačbe

Poiščite dolžine intervalov, ki sestavljajo množico rešitev neenačbe.

2. Portal naravoslovja ().

3. Elektronski izobraževalni in metodološki kompleks za pripravo 10-11 razredov za sprejemni izpiti računalništvo, matematika, ruski jezik ().

5. Izobraževalni center "Tehnologija poučevanja" ().

6. College.ru razdelek o matematiki ().

1. Mordkovich A.G. in drugi Algebra 9. razred: Knjiga problemov za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina itd. - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 str .: ilustr. št. 28(b,c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38(a).

Že od pradavnine je bilo pri reševanju praktičnih problemov treba primerjati količine in količine. Hkrati so se pojavile besede, kot so več in manj, višje in nižje, lažji in težji, tišji in glasnejši, cenejši in dražji itd., ki označujejo rezultate primerjave homogenih količin.

Pojma več in manj sta nastala v povezavi s štetjem predmetov, merjenjem in primerjanjem količin. Na primer, matematiki stare Grčije so vedeli, da je stranica katerega koli trikotnika manjša od vsote drugih dveh strani in da večja stranica leži nasproti večjega kota v trikotniku. Arhimed je pri izračunu obsega ugotovil, da je obseg katerega koli kroga enak trikratnemu premeru s presežkom, ki je manjši od sedmine premera, vendar več kot deset sedemdesetkratnik premera.

Razmerja med števili in količinami simbolično zapiši z znakoma > in b. Zapisi, v katerih sta dve števili povezani z enim od predznakov: > (večji od), S številskimi neenakostmi ste se srečali tudi v nižjih razredih. Veste, da so neenakosti lahko resnične ali napačne. Na primer, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) je pravilna numerična neenakost, 0,23 > 0,235 je napačna numerična neenakost.

Neenakosti, ki vključujejo neznanke, so lahko resnične za nekatere vrednosti neznank in napačne za druge. Na primer, neenakost 2x+1>5 je resnična za x = 3, vendar je napačna za x = -3. Za neenačbo z eno neznanko lahko postavite nalogo: rešite neenačbo. Problemi reševanja neenačb v praksi se postavljajo in rešujejo nič manj pogosto kot problemi reševanja enačb. Številni ekonomski problemi se na primer zmanjšajo na preučevanje in reševanje sistemov linearnih neenakosti. V mnogih vejah matematike so neenakosti bolj pogoste kot enačbe.

Nekatere neenakosti služijo kot edino pomožno sredstvo za dokazovanje ali ovrženje obstoja določenega predmeta, na primer korena enačbe.

Številske neenakosti

Ali lahko primerjate cela števila? decimalke. poznati pravila za primerjanje navadnih ulomkov z enakimi imenovalci, a različnimi števci; z enaki števniki, Ampak različne imenovalce. Tukaj se boste naučili primerjati poljubni dve števili tako, da najdete predznak njune razlike.

Primerjava števil se pogosto uporablja v praksi. Na primer, ekonomist primerja načrtovane kazalnike z dejanskimi, zdravnik primerja pacientovo temperaturo z normalno, strugar primerja dimenzije obdelanega dela s standardom. V vseh takih primerih se nekatere številke primerjajo. Kot posledica primerjanja števil nastanejo številske neenakosti.

Opredelitev.Številka a več številk b, če razlika a-b pozitivno. Številka a manjše število b, če je razlika a-b negativna.

Če je a večji od b, potem pišejo: a > b; če je a manjši od b, potem pišejo: a Torej neenakost a > b pomeni, da je razlika a - b pozitivna, tj. a - b > 0. Neenakost a Za katerikoli dve števili a in b iz naslednjih treh razmerij a > b, a = b, a Primerjati števili a in b pomeni ugotoviti, kateri od znakov >, = oz. Izrek.Če je a > b in b > c, potem je a > c.

Izrek.Če obema stranema neenačbe prištejete enako število, se predznak neenačbe ne spremeni.
Posledica. Vsak člen lahko premaknemo iz enega dela neenačbe v drugega, tako da predznak tega člena spremenimo v nasprotno.

Izrek.Če obe strani neenačbe pomnožimo z istim pozitivnim številom, se predznak neenačbe ne spremeni. Če obe strani neenakosti pomnožimo z istim negativnim številom, se predznak neenakosti spremeni v nasprotno.
Posledica.Če obe strani neenačbe delimo z istim pozitivnim številom, se predznak neenačbe ne spremeni. Če obe strani neenakosti delimo z istim negativnim številom, se predznak neenakosti spremeni v nasprotno.

Veste, da lahko številske enakosti seštevamo in množimo člen za členom. Nato se boste naučili izvajati podobna dejanja z neenakostmi. Sposobnost seštevanja in množenja neenakosti člen za členom se pogosto uporablja v praksi. Ta dejanja pomagajo rešiti težave pri vrednotenju in primerjanju pomenov izrazov.

Pri reševanju različnih nalog je pogosto treba seštevati ali množiti levo in desno stran neenakosti člen za členom. Hkrati se včasih reče, da se neenakosti seštevajo ali množijo. Na primer, če je turist prvi dan prehodil več kot 20 km, drugi pa več kot 25 km, potem lahko rečemo, da je v dveh dneh prehodil več kot 45 km. Podobno, če je dolžina pravokotnika manjša od 13 cm in širina manjša od 5 cm, lahko rečemo, da je površina tega pravokotnika manjša od 65 cm2.

Pri obravnavi teh primerov je bilo uporabljeno naslednje: izreki o seštevanju in množenju neenačb:

Izrek. Pri seštevanju neenačb istega predznaka dobimo neenačbo istega predznaka: če a > b in c > d, potem a + c > b + d.

Izrek. Pri množenju neenačb istega predznaka, katerih leva in desna stran sta pozitivni, dobimo neenačbo istega predznaka: če so a > b, c > d in a, b, c, d pozitivna števila, potem je ac > bd.

Neenakosti z znakom > (večji od) in 1/2, 3/4 b, c Skupaj z znaki strogih neenakosti > in Na enak način neenakost \(a \geq b \) pomeni, da je število a večji ali enak b, tj. .in ne manjši od b.

Neenačbe, ki vsebujejo znak \(\geq \) ali znak \(\leq \), se imenujejo nestroge. Na primer, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) niso stroge neenakosti.

Vse lastnosti strogih neenakosti veljajo tudi za nestroge neenakosti. Še več, če bi za stroge neenakosti znaki > veljali za nasprotne in veste, da morate za rešitev številnih uporabnih problemov ustvariti matematični model v obliki enačbe ali sistema enačb. Nato se boste naučili, da so matematični modeli za reševanje številnih problemov neenačbe z neznankami. Predstavili bomo koncept reševanja neenačbe in pokazali, kako preveriti, ali dano številko reševanje določene neenačbe.

Neenakosti oblike
\(ax > b, \quad ax, v katerem sta a in b dani števili in je x neznanka, imenujemo linearne neenačbe z eno neznanko.

Opredelitev. Rešitev neenačbe z eno neznanko je vrednost neznanke, pri kateri postane ta neenačba prava numerična neenakost. Rešiti neenačbo pomeni najti vse njene rešitve ali ugotoviti, da ni nobene.

Enačbe ste rešili tako, da ste jih reducirali na najpreprostejše enačbe. Podobno se pri reševanju neenačb poskuša le-te z uporabo lastnosti reducirati na obliko enostavnih neenačb.

Reševanje neenačb druge stopnje z eno spremenljivko

Neenakosti oblike
\(ax^2+bx+c >0 \) in \(ax^2+bx+c, kjer je x spremenljivka, a, b in c so nekatera števila in \(a \neq 0 \), imenovana neenakosti druge stopnje z eno spremenljivko.

Rešitev neenakosti
\(ax^2+bx+c >0 \) ali \(ax^2+bx+c lahko štejemo za iskanje intervalov, v katerih je funkcija \(y= ax^2+bx+c \) pozitivna ali negativna Če želite to narediti, je dovolj analizirati, kako se graf funkcije \(y= ax^2+bx+c\) nahaja v koordinatni ravnini: kam so usmerjene veje parabole - navzgor ali navzdol, ali parabola seka os x in če seka, v katerih točkah.

Algoritem za reševanje neenačb druge stopnje z eno spremenljivko:
1) poišči diskriminant kvadratnega trinoma \(ax^2+bx+c\) in ugotovi, ali ima trinom korenine;
2) če ima trinom korenine, jih označimo na osi x in skozi označene točke narišemo shematsko parabolo, katere veje so usmerjene navzgor za a > 0 ali navzdol za a 0 ali spodaj za a 3) poiščite intervale na osi x, pri katerih se parabole točk nahajajo nad osjo x (če rešijo neenačbo \(ax^2+bx+c >0\)) ali pod osjo x (če rešijo neenakost
\(ax^2+bx+c Reševanje neenačb z intervalno metodo

Upoštevajte funkcijo
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Domena te funkcije je množica vseh števil. Ničle funkcije so števila -2, 3, 5. Delijo definirano področje funkcije na intervale \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) in \( (5; +\infty)\)

Ugotovimo, kakšni so znaki te funkcije v vsakem od navedenih intervalov.

Izraz (x + 2)(x - 3)(x - 5) je zmnožek treh faktorjev. Znak vsakega od teh dejavnikov v obravnavanih intervalih je naveden v tabeli:

Na splošno naj bo funkcija podana s formulo
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
kjer je x spremenljivka, x 1, x 2, ..., x n pa so števila, ki si med seboj niso enaka. Števila x 1 , x 2 , ..., x n so ničle funkcije. V vsakem od intervalov, na katere je definicijsko področje razdeljeno z ničlami ​​funkcije, se predznak funkcije ohrani, pri prehodu skozi ničlo pa se njegov predznak spremeni.

Ta lastnost se uporablja za reševanje neenakosti oblike
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) kjer so x 1, x 2, ..., x n števila, ki si med seboj niso enaka

Upoštevana metoda reševanje neenačb imenujemo intervalna metoda.

Navedimo primere reševanja neenačb z intervalno metodo.

Reši neenačbo:

\(x(0,5-x)(x+4) Očitno so ničle funkcije f(x) = x(0,5-x)(x+4) točke \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Na številsko os narišemo ničle funkcije in vsakemu intervalu izračunamo predznak:

Izberemo tiste intervale, pri katerih je funkcija manjša ali enaka nič in zapišemo odgovor.

odgovor:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \desno) \cup \left[ 4; \; +\infty \desno) \)

Intervalna metoda velja za univerzalno za reševanje neenačb. Včasih se ta metoda imenuje tudi metoda vrzeli. Uporablja se lahko tako za reševanje racionalnih neenačb z eno spremenljivko kot tudi za neenačbe drugih vrst. V našem gradivu smo poskušali posvetiti pozornost vsem vidikom vprašanja.

Kaj vas čaka v tej rubriki? Analizirali bomo intervalno metodo in obravnavali algoritme za reševanje neenačb z njeno uporabo. Dotaknimo se teoretičnih vidikov, na katerih temelji uporaba metode.

Posebno pozornost posvečamo niansam teme, ki običajno niso obravnavane znotraj šolski kurikulum. Na primer, upoštevajte pravila za razporeditev znakov v intervalih in metodo samih intervalov splošni pogled brez povezave z racionalnimi neenakostmi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algoritem

Kdo se spomni, kako se seznaniti z metodo intervalov v šolski tečaj algebra? Običajno se vse začne z reševanjem neenačb oblike f (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >ali ≥). Tu je f(x) lahko polinom ali razmerje polinomov. Polinom pa lahko predstavimo kot:

• produkt linearnih binomov s koeficientom 1 za spremenljivko x;
• delo kvadratni trinomi z vodilnim koeficientom 1 in negativnim diskriminantom njihovih korenin.

Tukaj je nekaj primerov takih neenakosti:

(x + 3) · (x 2 − x + 1) · (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) · (x + 5) x + 3 > 0,

(x − 5) · (x + 5) ≤ 0,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0.

Zapišimo algoritem za reševanje neenačb tega tipa, kot smo ga podali v primerih, z intervalno metodo:

• poiščemo ničle števca in imenovalca, za to izenačimo števec in imenovalec izraza na levi strani neenakosti na nič in rešimo nastale enačbe;
• določimo točke, ki ustrezajo najdenim ničlam, in jih označimo s črticami na koordinatni osi;
• določi izrazne znake f(x) z leve strani neenačbe, ki jo rešujemo, na vsakem intervalu in jih postavimo na graf;
• nanesite senčenje na zahtevane odseke grafa, vodeni po naslednje pravilo: v primeru, da ima neenakost predznake< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >ali ≥ , nato osvetlimo s senčenjem z znakom “+” označena področja.

Vzorec, s katerim bomo delali, ima lahko shematski pogled. Preveč podrobnosti lahko preobremeni risbo in jo oteži. Lestvica nas bo malo zanimala. Dovolj bo, da se drži pravilno lokacijo točke, ko se njihove vrednosti koordinat povečujejo.

Pri delu s strogimi neenačbami bomo uporabljali zapis točke v obliki kroga z nezapolnjenim (praznim) središčem. V primeru nestrogih neenakosti bomo točke, ki ustrezajo ničlam imenovalca, upodobili kot prazne, vse ostale pa kot navadne črne.

Označene točke delijo koordinatno premico na več številskih intervalov. S tem dobimo geometrijsko predstavitev številske množice, ki je pravzaprav rešitev te neenakosti.

Znanost o metodi vrzeli

Pristop, na katerem temelji intervalna metoda, temelji na naslednji lastnosti zvezne funkcije: funkcija ohranja konstanten predznak na intervalu (a, b), na katerem je ta funkcija zvezna in ne izniči. Ista lastnost je značilna za numerične žarke (− ∞ , a) in (a, + ∞).

To lastnost funkcije potrjuje Bolzano-Cauchyjev izrek, ki je podan v številnih učbenikih za pripravo na sprejemne izpite.

Nespremenljivost predznaka na intervalih lahko utemeljimo tudi na podlagi lastnosti številskih neenačb. Na primer, vzemimo neenakost x - 5 x + 1 > 0. Če poiščemo ničle števca in imenovalca in ju narišemo na številsko premico, dobimo niz intervalov: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) in (5 , + ∞) .

Vzemimo katerega koli od intervalov in na njem pokažimo, da bo skozi celoten interval imel izraz na levi strani neenakosti konstanten predznak. Naj bo to interval (− ∞ , − 1) . Vzemimo poljubno število t iz tega intervala. Zadovoljeval bo pogoje t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Z uporabo dobljenih neenakosti in lastnosti numeričnih neenakosti lahko predpostavimo, da je t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t na intervalu (− ∞ , − 1) .

Uporaba pravila delitve negativna števila, lahko rečemo, da bo vrednost izraza t - 5 t + 1 pozitivna. To pomeni, da bo vrednost izraza x - 5 x + 1 pozitivna za katero koli vrednost x od med (− ∞ , − 1) . Vse to nam omogoča, da trdimo, da ima izraz na intervalu, vzetem kot primer, konstanten predznak. V našem primeru je to znak "+".

Iskanje ničel števca in imenovalca

Algoritem za iskanje ničel je preprost: izraza iz števca in imenovalca izenačimo z ničlo in rešimo nastale enačbe. Če imate kakršne koli težave, se lahko obrnete na temo "Reševanje enačb s faktorizacijo." V tem razdelku se bomo omejili le na ogled primera.

Razmislite o ulomku x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3. Da bi našli ničle števca in imenovalca, ju enačimo z ničlo, da dobimo in rešimo enačbe: x (x − 0, 6) = 0 in x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

V prvem primeru gremo lahko do nabora dveh enačb x = 0 in x − 0, 6 = 0, kar nam da dva korena 0 in 0, 6. To so ničle števca.

Druga enačba je enakovredna nizu treh enačb x 7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Izvedemo niz transformacij in dobimo x = 0, x 2 + 2 · x + 7 = 0, x + 5 = 0. Koren prve enačbe je 0, druga enačba je brez korenin, ker ima negativno diskriminacijo, koren tretje enačbe je 5. To so ničle imenovalca.

0 in v tem primeru je tako nič števca kot nič imenovalca.

Na splošno, ko leva stran neenakosti vsebuje ulomek, ki ni nujno racionalen, sta tudi števec in imenovalec enaka nič, da dobimo enačbe. Reševanje enačb vam omogoča, da poiščete ničle števca in imenovalca.

Določitev predznaka intervala je preprosta. Če želite to narediti, lahko poiščete vrednost izraza z leve strani neenakosti za katero koli poljubno izbrano točko iz danega intervala. Dobljeni predznak vrednosti izraza na poljubno izbrani točki v intervalu bo sovpadal s predznakom celotnega intervala.

Poglejmo to izjavo s primerom.

Vzemimo neenakost x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0. Izraz na levi strani neenačbe nima ničel v števcu. Nič imenovalca bo število - 3. Na številski premici dobimo dva intervala (− ∞ , − 3) in (− 3 , + ∞) .

Da bi določili predznake intervalov, izračunamo vrednost izraza x 2 - x + 4 x + 3 za poljubno vzete točke na vsakem od intervalov.

Od prve vrzeli (− ∞ , − 3) vzemimo − 4. pri x = − 4 imamo (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24. Prejeli smo negativno vrednost, kar pomeni, da bo imel celoten interval znak »-«.

Za vrzel (− 3 , + ∞) Izvedimo izračune s točko, ki ima koordinato nič. Pri x = 0 imamo 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3. dobil pozitivna vrednost, kar pomeni, da bo imela celotna vrzel znak "+".

Za določanje znakov lahko uporabite drug način. Da bi to naredili, lahko poiščemo znak na enem od intervalov in ga shranimo ali spremenimo pri prehodu skozi ničlo. Da bi vse naredili pravilno, je treba upoštevati pravilo: ko gre skozi nič imenovalec, ne pa števec, ali števec, ne pa imenovalec, lahko spremenimo predznak v nasprotno, če stopnja izraz, ki daje to ničlo, je lih in ne moremo spremeniti predznaka, če je stopnja soda. Če smo prejeli točko, ki je hkrati nič števca in imenovalca, potem lahko predznak spremenimo v nasprotno le, če je vsota potenc izrazov, ki dajejo to ničlo, liha.

Če se spomnimo neenakosti, ki smo jo preučili na začetku prvega odstavka tega gradiva, potem lahko na skrajni desni interval postavimo znak "+".

Zdaj pa poglejmo primere.

Vzemite neenačbo (x - 2) · (x - 3) 3 · (x - 4) 2 (x - 1) 4 · (x - 3) 5 · (x - 4) ≥ 0 in jo rešite z intervalno metodo . Za to moramo poiskati ničle števca in imenovalca ter ju označiti na koordinatni premici. Ničle števca bodo točke 2 , 3 , 4 , točka imenovalca 1 , 3 , 4 . Označimo jih na koordinatni osi s pomišljaji.

Ničle imenovalca označimo s praznimi pikami.

Ker imamo opravka z nestrogo neenakostjo, preostale pomišljaje zamenjamo z navadnimi pikami.

Zdaj pa postavimo pike na intervale. Skrajni desni presledek (4 , + ∞) bo znak +.

Z desne proti levi bomo postavili znake za preostale intervale. Gremo skozi točko s koordinato 4. To je tako nič števca kot imenovalca. V seštevku te ničle dajejo izraze (x − 4) 2 in x − 4. Seštejmo njihove moči 2 + 1 = 3 in dobimo liho število. To pomeni, da se znak med prehodom v tem primeru spremeni v nasprotno. Interval (3, 4) bo imel predznak minus.

Skozi točko s koordinato 3 preidemo na interval (2, 3). To je tudi ničla tako v števcu kot v imenovalcu. Dobili smo ga zaradi dveh izrazov (x − 3) 3 in (x − 3) 5, katere vsota potenc je 3 + 5 = 8. Pridobivanje sodega števila nam omogoča, da predznak intervala pustimo nespremenjen.

Točka s koordinato 2 je ničelna točka števca. Potenca izraza x - 2 je 1 (liho). To pomeni, da je treba pri prehodu skozi to točko znak spremeniti v nasprotno.

Ostane nam zadnji interval (− ∞ , 1) . Točka s koordinato 1 je ničla imenovalca. Izhajalo je iz izraza (x − 1) 4, s celo diplomo 4 . Zato znak ostaja enak. Končna risba bo videti takole:

Intervalna metoda je še posebej učinkovita, ko izračun vrednosti izraza vključuje veliko dela. Primer bi bila potreba po izračunu vrednosti izraza

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

na kateri koli točki v intervalu 3 - 3 4, 3 - 2 4.

Zdaj pa začnimo uporabljati pridobljeno znanje in veščine v praksi.

Primer 1

Rešite neenačbo (x - 1) · (x + 5) 2 (x - 7) · (x - 1) 3 ≤ 0.

rešitev

Za reševanje neenačbe je priporočljivo uporabiti intervalno metodo. Poiščite ničle števca in imenovalca. Ničle števca so 1 in - 5, ničle imenovalca pa 7 in 1. Označimo jih na številski premici. Opravka imamo z nestrogo neenakostjo, zato bomo ničle imenovalca označili s praznimi pikami, ničlo števca - 5 - pa z navadno polno piko.

Postavimo predznake intervalom s pomočjo pravil za spremembo predznaka pri prehodu skozi ničlo. Začnimo s skrajno desnim intervalom, za katerega izračunamo vrednost izraza z leve strani neenakosti v točki, poljubno vzeti iz intervala. Dobimo znak "+". Pomaknimo se zaporedno skozi vse točke na koordinatni črti, razporedimo znake in dobimo:

Delamo z nestrogo neenakostjo z znakom ≤. To pomeni, da moramo s senčenjem označiti prostore, označene z znakom »-«.

odgovor: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Rešitev racionalnih neenakosti v večini primerov zahteva njihovo predhodno transformacijo pravi tip. Šele po tem postane možna uporaba intervalne metode. Algoritmi za izvajanje takšnih transformacij so obravnavani v gradivu "Reševanje racionalnih neenakosti."

Oglejmo si primer pretvorbe kvadratnih trinomov v neenačbe.

Primer 2

Poiščite rešitev neenačbe (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0.

rešitev

Poglejmo, ali so diskriminanti kvadratnih trinomov v zapisu neenakosti res negativni. To nam bo omogočilo ugotoviti, ali oblika te neenačbe omogoča uporabo intervalne metode za rešitev.

Izračunajmo diskriminanco za trinom x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0 . Sedaj pa izračunajmo diskriminant za trinom x 2 + 2 · x − 8: D ’ = 1 2 − 1 · (− 8) = 9 > 0 . Kot lahko vidite, neenakost zahteva predhodno transformacijo. Da bi to naredili, trinom x 2 + 2 x − 8 predstavimo kot (x + 4) · (x − 2), nato pa uporabi intervalno metodo za rešitev neenačbe (x 2 + 3 · x + 3) · (x + 3) (x + 4) · (x - 2) > 0.

odgovor: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Posplošena intervalna metoda se uporablja za reševanje neenačb oblike f (x)< 0 (≤ , >, ≥), kjer je f (x) poljuben izraz z eno spremenljivko x.

Vsa dejanja se izvajajo po določenem algoritmu. V tem primeru bo algoritem za reševanje neenakosti z uporabo metode posplošenih intervalov nekoliko drugačen od tistega, o čemer smo razpravljali prej:

• poiščemo domeno definicije funkcije f in ničle te funkcije;
• označite mejne točke na koordinatni osi;
• na številsko premico nariše ničle funkcije;
• določi znake intervalov;
• uporabite senčenje;
• zapišite odgovor.

Na številski premici je treba med drugim označiti posamezne točke definiralnega področja. Na primer, domena definicije funkcije je množica (− 5, 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . To pomeni, da moramo točke označiti s koordinatami − 5, 1, 3, 4 , 7 in 10 . Točke − 5 in 7 bo prikazan kot prazen, ostale lahko označite z barvnim svinčnikom, da jih ločite od ničel funkcije.

Pri nestrogih neenačbah so ničle funkcije izrisane z navadnimi (osenčenimi) točkami, pri strogih neenačbah pa s praznimi točkami. Če ničle sovpadajo z mejnimi točkami ali posameznimi točkami definicijskega področja, jih lahko prebarvamo v črno, tako da postanejo prazne ali zasenčene, odvisno od vrste neenakosti.

Zapis odgovora je numerični niz, ki vključuje:

• prostori s senčenjem;
• posamezne točke definiralnega področja s predznakom plus, če imamo opravka z neenačbo, katere predznak je > ali ≥, ali z minusom, če ima neenačba predznake< или ≤ .

Zdaj je postalo jasno, da je algoritem, ki smo ga predstavili na samem začetku teme, poseben primer algoritma za uporabo metode generaliziranih intervalov.

Oglejmo si primer uporabe metode posplošenih intervalov.

Primer 3

Reši neenačbo x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

rešitev

Uvedemo funkcijo f tako, da je f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Poiščimo domeno definicije funkcije f:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Zdaj pa poiščimo ničle funkcije. Da bi to naredili, bomo rešili iracionalno enačbo:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Dobimo koren x = 12.

Za označevanje mejnih točk na koordinatni osi uporabimo oranžno barvo. Točke - 6, 4 se izpolnijo, 7 pa ostanejo prazne. Dobimo:

Označimo ničlo funkcije s prazno črno piko, saj delamo s strogo neenakostjo.

Predznake določamo v posameznih intervalih. Če želite to narediti, vzemite eno točko iz vsakega intervala, npr. 16 , 8 , 6 in − 8 , in izračunajte vrednost funkcije v njih f:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) = - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 = 24 + 3 - 15< 0

Postavimo novo definirane znake in senčimo prostore z znakom minus:

Odgovor bo zveza dveh intervalov z znakom »-«: (− ∞, − 6 ] ∪ (7, 12).

Kot odgovor smo vključili točko s koordinato - 6. To ni ničla funkcije, ki je ne bi vključili v odgovor pri reševanju stroge neenačbe, temveč mejna točka definicijskega področja, ki je vključeno v definicijsko področje. Vrednost funkcije na tej točki je negativna, kar pomeni, da zadosti neenakosti.

Točke 4 nismo vključili v odgovor, tako kot nismo vključili celotnega intervala [4, 7]. Na tej točki je tako kot v celotnem navedenem intervalu vrednost funkcije pozitivna, kar ne zadošča neenačbi, ki jo rešujemo.

Zapišimo to še enkrat za jasnejše razumevanje: barvne pike morajo biti vključene v odgovor v naslednjih primerih:

• te točke so del šrafirane vrzeli,
• te točke so posamezne točke v domeni definicije funkcije, vrednosti funkcije pri katerih zadoščajo neenačbi, ki se rešuje.

odgovor: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Intervalna metoda– preprost način za reševanje ulomkov racionalnih neenakosti. To je ime za neenačbe, ki vsebujejo racionalne (ali ulomke-racionalne) izraze, ki so odvisni od spremenljivke.

1. Upoštevajte na primer naslednjo neenakost

Intervalna metoda vam omogoča, da jo rešite v nekaj minutah.

Na levi strani te neenakosti je ulomljena racionalna funkcija. Racionalno, ker ne vsebuje korenov, sinusov ali logaritmov – le racionalne izraze. Na desni je nič.

Intervalna metoda temelji na naslednji lastnosti ulomljene racionalne funkcije.

Delna racionalna funkcija lahko spremeni predznak samo v tistih točkah, kjer je enaka nič ali ne obstaja.

Spomnimo se, kako je faktoriziran kvadratni trinom, to je izraz oblike .

Kje in kje so korenine kvadratna enačba.

Narišemo os in postavimo točke, v katerih gresta števec in imenovalec proti nič.

Ničle imenovalca in so preluknjane točke, saj na teh točkah funkcija na levi strani neenakosti ni definirana (ne morete deliti z ničlo). Ničle števca in - so zasenčene, saj neenakost ni stroga. Kdaj in je naša neenakost izpolnjena, saj sta obe strani enaki nič.

Te točke razdelijo os na intervale.

Določimo predznak ulomljene racionalne funkcije na levi strani naše neenakosti na vsakem od teh intervalov. Spomnimo se, da lahko ulomljena racionalna funkcija spremeni predznak samo v tistih točkah, kjer je enaka nič ali ne obstaja. To pomeni, da bo v vsakem od intervalov med točkami, kjer gre števec ali imenovalec na nič, predznak izraza na levi strani neenakosti konstanten - bodisi "plus" ali "minus".

In zato za določitev znaka funkcije na vsakem takem intervalu vzamemo katero koli točko, ki pripada temu intervalu. Tisti, ki je primeren za nas.
. Vzemimo na primer in preverimo predznak izraza na levi strani neenakosti. Vsak od "oklepajev" je negativen. Na levi strani je znak.

Naslednji interval: . Preverimo znak pri . To razumemo leva stran spremenil znak v .

Vzemimo ga. Ko je izraz pozitiven - torej je pozitiven v celotnem intervalu od do.

Ko je leva stran neenakosti negativna.

In končno, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Ugotovili smo, v kakšnih intervalih je izraz pozitiven. Preostane le še zapisati odgovor:

Odgovor: .

Prosimo, upoštevajte: znaki se izmenjujejo med intervali. To se je zgodilo, ker pri prehodu skozi vsako točko je natanko eden od linearnih faktorjev spremenil predznak, ostali pa so ga ohranili nespremenjenega.

Vidimo, da je intervalna metoda zelo preprosta. Za rešitev ulomljeno-racionalne neenačbe z intervalno metodo jo reduciramo na obliko:

oz class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, ali ali .

(na levi strani je ulomljena racionalna funkcija, na desni strani pa nič).

Nato na številski premici označimo točke, v katerih gre števec ali imenovalec na nič.
Te točke razdelijo celotno številsko premico na intervale, na vsakem od katerih ulomno-racionalna funkcija ohrani svoj predznak.
Vse, kar ostane, je ugotoviti njegov predznak v vsakem intervalu.
To naredimo tako, da preverimo predznak izraza na kateri koli točki, ki pripada danemu intervalu. Po tem zapišemo odgovor. To je vse.

Toda postavlja se vprašanje: ali se znaki vedno izmenjujejo? Ne ne vedno! Bodite previdni in ne postavljajte znakov mehanično in nepremišljeno.

2. Oglejmo si še eno neenakost.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ levo(x-3 \desno))>0"> !}

Ponovno postavite točke na os. Piki in sta preluknjani, ker sta ničli v imenovalcu. Tudi točka je izrezana, saj je neenakost stroga.

Ko je števec pozitiven, sta oba faktorja v imenovalcu negativna. To lahko enostavno preverimo tako, da vzamemo poljubno število iz danega intervala, na primer . Na levi strani je znak:

Ko je števec pozitiven; Prvi faktor v imenovalcu je pozitiven, drugi faktor pa negativen. Na levi strani je znak:

Situacija je enaka! Števec je pozitiven, prvi faktor v imenovalcu je pozitiven, drugi pa negativen. Na levi strani je znak:

Končno s class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Odgovor: .

Zakaj je bila menjava znakov motena? Ker je pri prehodu skozi točko za to "odgovoren" množitelj ni spremenil znaka. Posledično celotna leva stran naše neenakosti ni spremenila predznaka.

Zaključek: če je linearni množitelj soda potenca (na primer na kvadrat), se pri prehodu skozi točko znak izraza na levi strani ne spremeni. V primeru lihe stopnje se predznak seveda spremeni.

3. Razmislimo več težak primer. Od prejšnje se razlikuje po tem, da neenakost ni stroga:

Leva stran je enaka kot v prejšnjem problemu. Slika znakov bo enaka:

Morda bo odgovor enak? ne! Rešitev je dodana. To se zgodi, ker sta na levi in ​​desni strani neenakosti enaki nič - zato je ta točka rešitev.

Odgovor: .

Ta situacija se pogosto pojavi pri nalogah enotnega državnega izpita iz matematike. Tu se kandidati ujamejo v past in izgubijo točke. Bodi previden!

4. Kaj storiti, če števca ali imenovalca ni mogoče razdeliti na linearne faktorje? Razmislite o tej neenakosti:

Kvadratnega trinoma ni mogoče faktorizirati: diskriminant je negativen, ni korenin. Ampak to je dobro! To pomeni, da je predznak izraza za vse enak, natančneje pozitiven. Več o tem si lahko preberete v članku o lastnostih kvadratnih funkcij.

In zdaj lahko obe strani naše neenakosti razdelimo z vrednostjo, ki je pozitivna za vse. Pridemo do enakovredne neenakosti:

Kar je enostavno rešiti z intervalno metodo.

Upoštevajte, da smo obe strani neenakosti delili z vrednostjo, za katero smo zagotovo vedeli, da je pozitivna. Seveda na splošno ne bi smeli množiti ali deliti neenakosti s spremenljivko, katere predznak ni znan.

5 . Oglejmo si še eno neenakost, ki je na videz precej preprosta:

Rad bi samo pomnožiti z . Ampak mi smo že pametni in tega ne bomo storili. Navsezadnje je lahko pozitiven in negativen. In vemo, da če obe strani neenakosti pomnožimo z negativno vrednostjo, se predznak neenakosti spremeni.

Naredili bomo drugače - vse bomo zbrali v enem delu in pripeljali do skupni imenovalec. Desna stran bo ostala nič:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

In po tem - prijavite se intervalna metoda.

Intervalna metoda(ali kot jo včasih imenujemo intervalna metoda) je univerzalna metoda za reševanje neenačb. Primeren je za reševanje najrazličnejših neenačb, najbolj priročen pa je pri reševanju racionalne neenakosti z eno spremenljivko. Zato je v šolskem tečaju algebre metoda intervalov tesno povezana prav z racionalnimi neenačbami, reševanju drugih neenakosti z njeno pomočjo pa se praktično ne posveča pozornosti.

V tem članku bomo podrobno analizirali intervalno metodo in se dotaknili vseh zapletenosti reševanja neenačb z eno spremenljivko z njeno uporabo. Začnimo s predstavitvijo algoritma za reševanje neenačb z uporabo intervalne metode. Nato bomo razložili, na katerih teoretičnih vidikih temelji, in analizirali korake algoritma, še posebej pa se bomo podrobno posvetili določanju predznakov na intervalih. Po tem bomo prešli na prakso in pokazali rešitve na več tipičnih primerih. In na koncu bomo obravnavali intervalno metodo v splošni obliki (to je brez sklicevanja na racionalne neenakosti), z drugimi besedami, posplošeno intervalno metodo.

Navigacija po straneh.

Algoritem

Spoznavanje intervalne metode v šoli se začne z reševanjem neenačb oblike f(x)<0 (знак неравенства может быть и другим ≤, >ali ≥), kjer je f(x) bodisi , predstavljen kot produkt linearni binomi z 1 za spremenljivko x in/ali kvadratni trinomi z vodilnim koeficientom 1 in z negativno diskriminanto ter njihovimi potencami ali razmerjem takih polinomov. Zaradi jasnosti podajamo primere takih neenakosti: (x−5)·(x+5)≤0 , (x+3)·(x 2 −x+1)·(x+2) 3 ≥0, .

Da bo nadaljnji pogovor vsebinski, si takoj zapišimo algoritem za reševanje neenačb zgornjega tipa z intervalno metodo, potem pa bomo ugotovili, kaj, kako in zakaj. Torej, z uporabo intervalne metode:

• Najprej se najdejo ničle števca in ničle imenovalca. Če želite to narediti, sta števec in imenovalec izraza na levi strani neenakosti enaka nič, nastale enačbe pa so rešene.
• Po tem so točke, ki ustrezajo najdenim ničlam, označene s pomišljaji. Dovolj je shematska risba, v kateri ni treba upoštevati lestvice, glavna stvar je, da se držite lokacije točk relativno druga proti drugi: točka z manjšo koordinato se nahaja levo od točke z večja koordinata. Po tem postane jasno, kako jih je treba prikazati: navadne ali preluknjane (s praznim središčem). Pri reševanju stroge neenakosti (s predznakom< или >) vse točke so upodobljene kot preluknjane. Pri reševanju nestroge neenačbe (z znakom ≤ ali ≥) so točke, ki ustrezajo ničlam imenovalca, preluknjane, preostale točke, označene s pomišljaji, pa so navadne. Te točke delijo koordinatno črto na več numeričnih intervalov.
• Nato določimo predznake izraza f(x) z leve strani neenačbe, ki jo rešujemo, na vsakem intervalu (podrobno bomo opisali, kako to naredimo v enem od naslednjih odstavkov), zgoraj pa postavimo + ali − jih v skladu z znaki, ki so na njih opredeljeni.
• Nazadnje, pri reševanju predpisane neenačbe< или ≤ изображается штриховка над промежутками, отмеченными знаком −, а при решении неравенства со знаком >ali ≥ - čez presledke, označene z znakom +. Rezultat je , kar je želena rešitev neenačbe.

Upoštevajte, da je zgornji algoritem skladen z opisom intervalne metode v šolskih učbenikih.

Na čem temelji metoda?

Pristop, na katerem temelji metoda intervalov, poteka zaradi naslednje lastnosti zvezne funkcije: če je na intervalu (a, b) funkcija f zvezna in ne izgine, potem ohrani na tem intervalu konstanten predznak (bi dodamo, da podobna lastnost velja tudi za številska žarka (−∞, a) in (a, +∞) ). In ta lastnost izhaja iz Bolzano-Cauchyjevega izreka (njegovo upoštevanje je izven obsega šolskega kurikuluma), katerega formulacijo in dokaz, če je potrebno, lahko najdete na primer v knjigi.

Za izraze f(x), ki imajo obliko, navedeno v prejšnjem odstavku, lahko konstantnost predznaka na intervalih utemeljimo drugače, izhajajoč iz lastnosti številskih neenakosti in ob upoštevanju pravil za množenje in deljenje števil z enakimi znamenja in drugačna znamenja.

Kot primer upoštevajte neenakost. Ničle števca in imenovalca delijo številsko premico na tri intervale (−∞, −1), (−1, 5) in (5, +∞). Pokažimo, da ima na intervalu (−∞, −1) izraz na levi strani neenakosti konstanten predznak (lahko vzamemo drug interval, sklepanje bo podobno). Vzemimo poljubno število t iz tega intervala. Očitno bo zadostil neenakosti t<−1 , и так как −1<5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5 . Из этих неравенств в силу свойств числовых неравенств следует, что t+1<0 и t−5<0. То есть, t+1 и t−5 – отрицательные числа, не зависимо от того, какое конкретно число t мы возьмем из промежутка (−∞, −1) . Тогда позволяет констатировать, что значение выражения будет положительным, откуда следует, что значение выражения будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1) . Итак, на указанном промежутке выражение имеет постоянный знак, причем, это знак +.

Tako smo gladko pristopili k vprašanju določanja predznakov na intervalih, vendar ne bomo preskočili prvega koraka intervalne metode, ki vključuje iskanje ničel števca in imenovalca.

Kako najti ničle števca in imenovalca?

Iskanje ničel števca in imenovalca ulomka vrste, navedene v prvem odstavku, običajno ne predstavlja težav. V ta namen se izraza iz števca in imenovalca postavijo na nič, nastale enačbe pa se rešijo. Načelo reševanja enačb te vrste je podrobno opisano v članku reševanje enačb z metodo faktorizacije. Tu se bomo omejili le na primer.

Upoštevajte ulomek in poiščite ničle njegovega števca in imenovalca. Začnimo z ničlami ​​števca. Števec izenačimo z nič, dobimo enačbo x·(x−0,6)=0, iz katere preidemo na niz dveh enačb x=0 in x−0,6=0, od koder najdemo dva korena 0 in 0,6 . To so zahtevane ničle števca. Zdaj poiščemo ničle imenovalca. Sestavimo enačbo x 7 ·(x 2 +2·x+7) 2 ·(x+5) 3 =0, je enakovreden naboru treh enačb x 7 =0, (x 2 +2 x+7) 2 =0, (x+5) 3 =0 in nato x=0, x 2 +2 x+7 =0 , x+5=0 . Koren prve od teh enačb je očiten, je 0, druga enačba je brez korenin, ker je njen diskriminant negativen, koren tretje enačbe pa je −5. Torej, našli smo ničle imenovalca, dve sta bili: 0 in −5. Upoštevajte, da se je 0 izkazala za ničlo v števcu in ničlo v imenovalcu.

Za iskanje ničel števca in imenovalca v splošnem primeru, ko je leva stran neenakosti ulomek, vendar ni nujno racionalen, se tudi števec in imenovalec izenačita z nič in rešita ustrezni enačbi.

Kako določiti znake v intervalih?

Najbolj zanesljiv način za določitev predznaka izraza na levi strani neenakosti na vsakem intervalu je izračun vrednosti tega izraza na kateri koli točki v vsakem intervalu. V tem primeru želeni znak na intervalu sovpada z znakom vrednosti izraza na kateri koli točki v tem intervalu. Razložimo to s primerom.

Vzemimo neenakost . Izraz na levi strani nima ničel v števcu, ničla v imenovalcu pa je število −3. Številsko premico razdeli na dva intervala (−∞, −3) in (−3, +∞). Določimo znake na njih. Če želite to narediti, vzemite eno točko iz teh intervalov in izračunajte vrednosti izraza v njih. Naj takoj opozorimo, da je priporočljivo vzeti takšne točke, da je enostavno izvesti izračune. Na primer, iz prvega intervala (−∞, −3) lahko vzamemo −4. Za x=−4 imamo , je prejela vrednost s predznakom minus (negativno), zato bo na tem intervalu predznak minus. Preidemo na določanje predznaka na drugem intervalu (−3, +∞). Iz njega je priročno vzeti 0 (če je 0 vključena v interval, potem je priporočljivo, da jo vedno vzamete, saj so pri x=0 izračuni najpreprostejši). Pri x=0 imamo . Ta vrednost ima znak plus (pozitivno), zato bo na tem intervalu znak plus.

Obstaja še en pristop k določanju predznakov, ki je sestavljen iz iskanja predznaka na enem od intervalov in njegovega ohranjanja ali spreminjanja pri prehodu na sosednji interval skozi ničlo. Upoštevati morate naslednje pravilo. Pri prehodu skozi ničlo števca, ne pa tudi imenovalca, ali skozi ničlo imenovalca, ne pa števca, se predznak spremeni, če je stopnja izraza, ki daje to ničlo, liha, in se ne spremeni, če je soda . In pri prehodu skozi točko, ki je hkrati nič števca in nič imenovalca, se predznak spremeni, če je vsota potenc izrazov, ki dajejo to nič, liha, in se ne spremeni, če je soda.

Mimogrede, če ima izraz na desni strani neenakosti obliko, navedeno na začetku prvega odstavka tega člena, bo na skrajni desni vrzeli znak plus.

Da bo vse jasno, poglejmo primer.

Naj bo pred nami neenakost , rešimo pa jo z intervalno metodo. Če želite to narediti, poiščemo ničle števca 2, 3, 4 in ničle imenovalca 1, 3, 4, najprej jih označimo na koordinatni črti s pomišljaji

potem zamenjamo ničle imenovalca s slikami preluknjanih pik

in ker rešujemo nestrogo neenačbo, preostale pomišljaje zamenjamo z navadnimi pikami

In potem pride trenutek prepoznavanja znakov v intervalih. Kot smo opazili pred tem primerom, bo na skrajnem desnem intervalu (4, +∞) znak +:

Določimo preostale znake, medtem ko se premikamo od vrzeli do vrzeli od desne proti levi. Če se premaknemo na naslednji interval (3, 4), gremo skozi točko s koordinato 4. To je nič števca in imenovalca, te ničle dajejo izraza (x−4) 2 in x−4, vsota njunih potenc je 2+1=3 in to je liho število, kar pomeni, pri prehodu skozi to točko morate zamenjati znak. Zato bo na intervalu (3, 4) znak minus:

Gremo naprej do intervala (2, 3), medtem ko gremo skozi točko s koordinato 3. To je tudi nič števca in imenovalca, podana je z izrazoma (x−3) 3 in (x−3) 5, vsota njunih potenc je 3+5=8 in to je sodo številko, zato bo znak ostal nespremenjen:

Pomaknemo se naprej v interval (1, 2). Pot do njega ovira točka s koordinato 2. To je nič števca, podana je z izrazom x−2, njegova stopnja je 1, torej je liha, zato se bo pri prehodu skozi to točko znak spremenil:

Nazadnje ostane še določiti predznak na zadnjem intervalu (−∞, 1) . Da pridemo do nje, moramo premagati točko s koordinato 1. To je nič imenovalca, podana je z izrazom (x−1) 4, njegova stopnja je 4, torej je soda, zato se predznak pri prehodu skozi to točko ne spremeni. Tako smo identificirali vse znake in risba ima naslednjo obliko:

Jasno je, da je uporaba obravnavane metode še posebej upravičena, kadar izračun vrednosti izraza zahteva veliko dela. Na primer, izračunajte vrednost izraza na kateri koli točki v intervalu .

Primeri reševanja neenačb z intervalno metodo

Zdaj lahko sestavite vse predstavljene informacije, ki zadostujejo za reševanje neenačb z intervalno metodo, in analizirate rešitve več primerov.

Primer.

Reši neenačbo .

rešitev.

Rešimo to neenačbo z intervalno metodo. Očitno je, da sta ničli števca 1 in −5, ničli imenovalca pa 1. Označimo jih na številski premici, pri čemer točke s koordinatami in 1 ločimo kot ničle imenovalca, preostalo ničlo števca −5 pa upodobimo kot navadno točko, saj rešujemo nestrogo neenačbo:

Sedaj postavimo znake na intervale, pri čemer se držimo pravila ohranjanja ali spreminjanja znaka pri prehodu skozi ničle. Nad skrajno desno vrzeljo bo znak + (to lahko preverite tako, da izračunate vrednost izraza na levi strani neenakosti na neki točki te vrzeli, na primer pri x=3). Pri prehodu čez znak spremenimo, pri prehodu čez 1 ga pustimo enakega, pri prehodu čez −5 pa ponovno pustimo znak nespremenjen:

Ker neenačbo rešujemo z znakom ≤, ostane še, da narišemo senčenje čez intervale, označene z znakom − in iz dobljene slike zapišemo odgovor.

Torej, rešitev, ki jo iščemo, je: .

odgovor:

.

Po pravici povedano naj opozorimo na dejstvo, da jih je treba v veliki večini primerov pri reševanju racionalnih neenačb najprej transformirati v zahtevano obliko, da jih je mogoče rešiti z metodo intervalov. O tem, kako izvesti takšne preobrazbe, bomo podrobno razpravljali v članku. reševanje racionalnih neenačb, zdaj pa bomo podali primer, ki ponazarja eno pomembno točko v zvezi s kvadratnimi trinomi pri zapisu neenačb.

Primer.

Poiščite rešitev neenačbe .

rešitev.

Na prvi pogled na to neenakost se zdi, da je njena oblika primerna za uporabo intervalne metode. Ne škodi pa preveriti, ali so diskriminanti kvadratnih trinomov v njegovem zapisu res negativni. Ugotovimo jih, da si olajšamo vest. Za trinom x 2 +3 x+3 imamo D=3 2 −4 1 3=−3<0 , а для трехчлена x 2 +2·x−8 получаем D’=1 2 −1·(−8)=9>0 . To pomeni, da so potrebne transformacije, da tej neenakosti damo želeno obliko. V tem primeru je dovolj, da trinom x 2 +2 x−8 predstavimo kot (x+4) (x−2) , nato pa neenačbo rešimo z metodo intervalov .

odgovor:

.

Metoda generaliziranih intervalov

Posplošena intervalna metoda vam omogoča reševanje neenačb oblike f(x)<0 (≤, >, ≥), kjer je f(x) poljubna z eno spremenljivko x. Zapišimo algoritem za reševanje neenačb z metodo posplošenih intervalov:

• Najprej potrebujete f in ničle te funkcije.
• Na številski premici so označene mejne točke, vključno s posameznimi točkami definiranega področja. Na primer, če je domena funkcije množica (−5, 1]∪(3)∪ (ne definiramo predznaka na intervalu (−6, 4), ker ni del definicijske domene funkcije.) Če želite to narediti, vzemite eno točko iz vsakega intervala, na primer 16 , 8 , 6 in −8, ter izračunajte vrednost funkcije f v njih:
  
  

  Če imate vprašanja o tem, kako je bilo ugotovljeno, kakšne so izračunane vrednosti funkcije, pozitivne ali negativne, potem preučite gradivo v članku primerjava številk.

  Postavimo novo definirane znake in senčimo prostore z znakom minus:
  

  V odgovoru zapišemo unijo dveh intervalov z znakom −, imamo (−∞, −6]∪(7, 12). Upoštevajte, da je v odgovor vključeno −6 (ustrezna točka je polna, ni preluknjana) Dejstvo je, da to ni ničelna točka funkcije (ki je pri reševanju stroge neenakosti ne bi vključili v odgovor), ampak mejna točka domene definicije (je obarvana, ne črna) in vključena v domeni definicije. Vrednost funkcije na tej točki je negativna (kar dokazuje znak minus nad ustreznim intervalom), kar pomeni, da izpolnjuje neenakost. Vendar 4 ni treba vključiti v odgovor (kot kot celoten interval ∪(7, 12) .

  Bibliografija.

  1. Algebra: 9. razred: poučna. za splošno izobraževanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  2. Mordkovič A. G. Algebra. 9. razred. V 2 urah 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
  3. Algebra in začetek analize: Proc. za 10-11 razrede. Splošna izobrazba institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn in drugi; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. izd. - M.: Izobraževanje, 2004. - 384 str .: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.
  4. Kudrjavcev L. D. Tečaj matematične analize (v dveh zvezkih): Učbenik za študente in študente. – M.: Višje. šola, 1981, letnik 1. – 687 str., ilustr.