Primerjava ulomkov, ne da bi prišli do skupnega imenovalca. Primerjanje ulomkov: pravila, primeri, rešitve

Dva neenaka ulomka še dodatno primerjamo, da ugotovimo, kateri ulomek je večji in kateri manjši. Za primerjavo dveh ulomkov obstaja pravilo za primerjavo ulomkov, ki ga bomo oblikovali spodaj, analizirali pa bomo tudi primere uporabe tega pravila pri primerjavi ulomkov z enakimi in različne imenovalce. Nazadnje vam bomo pokazali, kako primerjati ulomke z enaki števniki, ne da bi jih spravili na skupni imenovalec, in razmislite tudi, kako primerjati navaden ulomek z naravnim številom.

Navigacija po straneh.

Primerjanje ulomkov z enakimi imenovalci

Primerjava ulomkov z enaki imenovalci je v bistvu primerjava števila enakih delnic. Navadni ulomek 3/7 določa na primer 3 dele 1/7, ulomek 8/7 pa ustreza 8 delom 1/7, zato se primerjava ulomkov z enakima imenovalcema 3/7 in 8/7 zmanjša na primerjavo števil 3 in 8, torej za primerjavo števnikov.

Iz teh premislekov sledi pravilo za primerjavo ulomkov z enakimi imenovalci: od dveh ulomkov z enakima imenovalcema je večji tisti ulomek, katerega števec je večji, manjši pa tisti, katerega števec je manjši.

Navedeno pravilo pojasnjuje, kako primerjati ulomke z enakimi imenovalci. Oglejmo si primer uporabe pravila za primerjavo ulomkov z enakimi imenovalci.

Primer.

Kateri ulomek je večji: 65/126 ali 87/126?

rešitev.

Imenovalca primerjanih navadnih ulomkov sta enaka, števec 87 ulomka 87/126 pa je večji od števca 65 ulomka 65/126 (če je treba, glej primerjavo naravnih števil). Zato je po pravilu primerjanja ulomkov z enakimi imenovalci ulomek 87/126 večji od ulomka 65/126.

odgovor:

Primerjanje ulomkov z različnimi imenovalci

Primerjanje ulomkov z različnimi imenovalci lahko zmanjšamo na primerjavo ulomkov z enakimi imenovalci. Če želite to narediti, morate primerjane navadne ulomke spraviti na skupni imenovalec.

Torej, če želite primerjati dva ulomka z različnimi imenovalci, potrebujete

• zreducirati ulomke na skupni imenovalec;
• Primerjaj nastale ulomke z enakimi imenovalci.

Poglejmo rešitev primera.

Primer.

Primerjaj ulomek 5/12 z ulomkom 9/16.

rešitev.

Najprej spravimo te ulomke z različnimi imenovalci na skupni imenovalec (glej pravilo in primere spravljanja ulomkov na skupni imenovalec). Kot skupni imenovalec vzamemo najmanjši skupni imenovalec, ki je enak LCM(12, 16)=48. Potem bo dodatni faktor ulomka 5/12 število 48:12=4, dodatni faktor ulomka 9/16 pa število 48:16=3. Dobimo in .

Če primerjamo nastale ulomke, imamo. Zato je ulomek 5/12 manjši od ulomka 9/16. S tem je primerjava ulomkov z različnimi imenovalci končana.

odgovor:

Oglejmo si drug način za primerjavo ulomkov z različnimi imenovalci, ki vam bo omogočil primerjavo ulomkov brez reduciranja na skupni imenovalec in vseh težav, povezanih s tem postopkom.

Za primerjavo ulomkov a/b in c/d ju lahko zreduciramo na skupni imenovalec b·d, ki je enak zmnožku imenovalcev ulomkov, ki jih primerjamo. V tem primeru sta dodatna faktorja ulomkov a/b in c/d števili d oziroma b, prvotni ulomki pa se zmanjšajo na ulomke s skupnim imenovalcem b·d. Če se spomnimo pravila za primerjavo ulomkov z enakimi imenovalci, sklepamo, da se je primerjava prvotnih ulomkov a/b in c/d zmanjšala na primerjavo produktov a·d in c·b.

To pomeni naslednje pravilo za primerjavo ulomkov z različnimi imenovalci: če a d>b c , potem , in če a d

Poglejmo primerjavo ulomkov z različnimi imenovalci na ta način.

Primer.

Primerjaj navadna ulomka 5/18 in 23/86.

rešitev.

V tem primeru je a=5, b=18, c=23 in d=86. Izračunajmo produkta a·d in b·c. Imamo a·d=5·86=430 in b·c=18·23=414. Ker je 430>414, je ulomek 5/18 večji od ulomka 23/86.

odgovor:

Primerjanje ulomkov z enakimi števci

Ulomke z enakimi števci in različnimi imenovalci lahko zagotovo primerjamo po pravilih, obravnavanih v prejšnjem odstavku. Rezultat primerjave takšnih ulomkov pa zlahka dobimo s primerjavo imenovalcev teh ulomkov.

Obstaja nekaj takega pravilo za primerjavo ulomkov z enakimi števci: od dveh ulomkov z enakima števcema je tisti z manjšim imenovalcem večji, ulomek z večjim imenovalcem pa manjši.

Poglejmo primer rešitve.

Primer.

Primerjaj ulomka 54/19 in 54/31.

rešitev.

Ker sta števca primerjanih ulomkov enaka in je imenovalec 19 ulomka 54/19 manjši od imenovalca 31 ulomka 54/31, je 54/19 večji od 54/31.

V tej lekciji se bomo naučili primerjati ulomke med seboj. To je zelo uporabna veščina, ki je potrebna za reševanje cele vrste kompleksnejših problemov.

Najprej naj vas spomnim na definicijo enakosti ulomkov:

Pravimo, da sta ulomka a /b in c /d enaka, če je ad = bc.

1. 5/8 = 15/24, saj je 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18, saj je 3 18 = 2 27 = 54.

V vseh drugih primerih so ulomki neenaki in zanje velja ena od naslednjih trditev:

1. Ulomek a/b je večji od ulomka c/d;
2. Ulomek a /b je manjši od ulomka c /d.

Pravimo, da je ulomek a /b večji od ulomka c /d, če je a /b − c /d > 0.

Za ulomek x /y pravimo, da je manjši od ulomka s /t, če je x /y − s /t< 0.

Oznaka:

Tako se primerjava ulomkov zmanjša na njihovo odštevanje. Vprašanje: kako se ne zamenjati z oznakama "več kot" (>) in "manj kot" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. Razširjeni del kavke vedno kaže proti večji številki;
2. Oster nos kavke vedno kaže na nižjo številko.

Pogosto je v nalogah, kjer morate primerjati števila, med njimi postavljen znak »∨«. To je davka z nosom navzdol, kar kot da namiguje: večja številka še ni bila določena.

Naloga. Primerjaj številke:

Po definiciji odštejte ulomke drug od drugega:

Pri vsaki primerjavi smo morali zreducirati ulomke na skupni imenovalec. Natančneje, z uporabo navzkrižne metode in iskanjem najmanjšega skupnega večkratnika. Namenoma se nisem osredotočil na te točke, če pa kaj ni jasno, si oglejte lekcijo "Seštevanje in odštevanje ulomkov" - zelo enostavno je.

Primerjava decimalk

V primeru decimalnih ulomkov je vse veliko preprostejše. Tukaj ni treba ničesar odštevati - samo primerjajte števke. Dobro je, da si zapomnite, kaj je pomemben del števila. Za tiste, ki ste pozabili, predlagam, da ponovite lekcijo "Množenje in deljenje decimalk" - tudi to vam bo vzelo le nekaj minut.

Pozitivno decimalno mesto X je večje od pozitivnega decimalnega števila Y, če vsebuje decimalno mesto tako, da:

1. Števka na tem mestu v ulomku X je večja od ustrezne števke v ulomku Y;
2. Vse števke, višje od tega za ulomka X in Y, so enake.

1. 12.25 > 12.16. Prvi dve števki sta enaki (12 = 12), tretja pa je večja (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Z drugimi besedami, enega za drugim gremo skozi decimalna mesta in iščemo razliko. V tem primeru večje število ustreza večjemu ulomku.

Vendar ta opredelitev zahteva pojasnilo. Na primer, kako zapisati in primerjati decimalna mesta? Ne pozabite: kateremu koli številu, zapisanemu v decimalni obliki, je lahko levo dodano poljubno število ničel. Tu je še nekaj primerov:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (govorimo o o višjem činu).
2. 2300,5 > 0,0025, ker 0,0025 = 0000,0025 - na levi so bile dodane tri ničle. Zdaj lahko vidite, da se razlika začne pri prvi števki: 2 > 0.

Seveda je v navedenih primerih z ničlami ​​prišlo do očitnega pretiravanja, a bistvo je ravno v tem: dopolni manjkajoče koščke na levi in ​​nato primerjaj.

Naloga. Primerjaj ulomke:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

Po definiciji imamo:

1. 0,029 > 0,007. Prvi dve števki sovpadata (00 = 00), nato se začne razlika (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0,00003 > 0,0000099. Tukaj morate skrbno prešteti ničle. Prvih 5 števk v obeh ulomkih je nič, potem pa je v prvem ulomku 3, v drugem pa 0. Očitno je 3 > 0;
4. 1700,1 > 0,99501. Prepišimo drugi ulomek kot 0000,99501 in na levo dodamo 3 ničle. Zdaj je vse očitno: 1 > 0 - razlika je zaznana v prvi števki.

Na žalost podana primerjalna shema decimalke ni univerzalno. Ta metoda lahko samo primerja pozitivna števila. V splošnem primeru je algoritem delovanja naslednji:

1. Pozitivni ulomek je vedno večji od negativnega ulomka;
2. Z zgornjim algoritmom se primerjata dva pozitivna ulomka;
3. Dva negativna ulomka primerjamo na enak način, vendar se na koncu znak neenakosti obrne.

No, ni slabo? Zdaj pa poglejmo konkretni primeri- in vse bo jasno.

Naloga. Primerjaj ulomke:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. −0,192 > −0,39. Ulomki so negativni, 2. števka je drugačna. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0,15 > −11,3. Pozitivno število je vedno večje od negativnega števila;
4. 19,032 > 0,091. Dovolj je, da drugi ulomek prepišemo v obliki 00,091, da vidimo, da razlika nastane že v 1. števki;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. Razlika je v prvi kategoriji.

Cilji lekcije:

1. Izobraževalni: naučiti primerjati ulomke različne vrste z uporabo različnih tehnik;
2. Izobraževalni: razvoj osnovnih tehnik miselne dejavnosti, posploševanje primerjave, poudarjanje glavne stvari; razvoj spomina, govora.
3. Izobraževalni: naučiti se poslušati drug drugega, negovati medsebojno pomoč, kulturo komuniciranja in vedenja.

Koraki lekcije:

1. Organizacijski.

Začnimo lekcijo z besedami francoskega pisatelja A. Francea: »Učenje je lahko zabavno ... Če želite prebaviti znanje, ga morate absorbirati z apetitom.«

Upoštevajmo ta nasvet, poskušajmo biti pozorni in z veliko željo črpati znanje, saj... nam bodo koristili v prihodnosti.

2. Posodabljanje znanja učencev.

1.) Frontalno ustno delo učencev.

Cilj: ponoviti obravnavano snov, ki je potrebna pri učenju novih stvari:

A) navadni in nepravi ulomki;
B) spravljanje ulomkov na nov imenovalec;
C) iskanje najmanjšega skupnega imenovalca;

(Delamo z datotekami. Učenci jih imajo na voljo pri vsaki učni uri. Vanje zapišejo odgovore s flomastrom, nato pa se nepotrebne informacije izbrišejo.)

Naloge za ustno delo.

1. Poimenujte dodatni ulomek v verigi:

A) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7.
B) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.

2. Zmanjšajte ulomke na nov imenovalec 30:

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

Poiščite najmanjši skupni imenovalec ulomkov:

1/5 in 2/7; 3/4 in 1/6; 2/9 in 1/2.

2.) Situacija igre.

Fantje, naš prijatelj klovn (učenci so ga spoznali na začetku šolskega leta) me je prosil, naj mu pomagam rešiti problem. Ampak verjamem, da lahko pomagate našemu prijatelju brez mene. In naloga je naslednja.

"Primerjaj ulomke:

a) 1/2 in 1/6;
b) 3/5 in 1/3;
c) 5/6 in 1/6;
d) 7. 12. in 7. 4.;
e) 3 1/7 in 3 1/5;
e) 7 5/6 in 3 1/2;
g) 1/10 in 1;
h) 10/3 in 1;
i) 7/7 in 1.«

Fantje, česa bi se morali naučiti, da bi pomagali klovnu?

Namen lekcije, naloge (učenci samostojno oblikujejo).

Učitelj jim pomaga z vprašanji:

a) katere pare ulomkov že lahko primerjamo?

b) katero orodje potrebujemo za primerjavo ulomkov?

3. Fantje v skupinah (v stalnih skupinah na več ravneh).

Vsaka skupina dobi nalogo in navodila za njeno izvedbo.

Prva skupina : Primerjaj mešane ulomke:

a) 1 1/2 in 2 5/6;
b) 3 1/2 in 3 4/5

in izpeljati pravilo za izenačevanje mešanih ulomkov z enakimi in z različnimi celimi deli.

Navodila: Primerjava mešanih ulomkov (z uporabo številskega žarka)

1. primerjati cele dele ulomkov in sklepati;
2. primerjaj ulomke (ne izpiši pravila za primerjanje ulomkov);
3. naredite pravilo - algoritem:

Druga skupina: Primerjajte ulomke z različnimi imenovalci in različnimi števci. (uporabite številčni žarek)

a) 7. 6. in 14. 9.;
b) 11. 5. in 22. 1

Navodila

1. Primerjajte imenovalce
2. Razmislite, ali je mogoče ulomke skrčiti na skupni imenovalec
3. Začnite pravilo z besedami: "Če želite primerjati ulomke z različnimi imenovalci, morate ..."

Tretja skupina: Primerjava ulomkov z enico.

a) 2/3 in 1;
b) 8/7 in 1;
c) 10/10 in 1 ter oblikujte pravilo.

Navodila

Upoštevajte vse primere: (uporabite številski žarek)

a) Če je števec ulomka enak imenovalcu, ………;
b) Če je števec ulomka manjši od imenovalca,………;
c) Če je števec ulomka večji od imenovalca, ………. .

Oblikujte pravilo.

Četrta skupina: Primerjaj ulomke:

a) 5/8 in 3/8;
b) 1/7 in 4/7 ter oblikujte pravilo za primerjanje ulomkov z enakim imenovalcem.

Navodila

Uporabite številčni žarek.

Primerjajte števce in naredite sklep, začenši z besedami: "Dveh ulomkov z enakima imenovalcema ...".

Peta skupina: Primerjaj ulomke:

a) 1/6 in 1/3;
b) 4/9 in 4/3 z uporabo številskega žarka:

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

Oblikujte pravilo za primerjavo ulomkov z enakimi števci.

Navodila

Primerjajte imenovalce in sklepajte, začenši z besedami:

“Dveh ulomkov z enakima števcema ………..”.

Šesta skupina: Primerjaj ulomke:

a) 4/3 in 5/6; b) 7/2 in 1/2 z uporabo številskega žarka

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

Oblikujte pravilo za primerjavo pravih in nepravih ulomkov.

Navodila.

Pomisli, kateri ulomek je vedno večji, pravi ali nepravi.

4. Razprava o sklepih v skupinah.

Beseda za vsako skupino. Oblikovanje učenčevih pravil in njihova primerjava s standardi ustreznih pravil. Nato vsak učenec dobi izpise pravil za primerjavo različnih vrst navadnih ulomkov.

5. Vrnimo se k nalogi, zastavljeni na začetku lekcije. (Problem klovna rešimo skupaj).

6. Delo v zvezkih. S pomočjo pravil za primerjanje ulomkov učenci pod vodstvom učitelja primerjajo ulomke:

a) 13. 8. in 25. 8.;
b) 11/42 in 3/42;
c) 7/5 in 1/5;
d) 21. 18. in 3. 7.;
e) 2 1/2 in 3 1/5;
e) 5 1/2 in 5 4/3;

(možno je povabiti študenta k tabli).

7. Učence prosimo, da rešijo test primerjave ulomkov z dvema možnostma.

Možnost 1.

1) primerjaj ulomke: 1/8 in 1/12

a) 1/8 > 1/12;
b) 1/8<1/12;
c) 1/8=1/12

2) Kaj je večje: 5/13 ali 7/13?

a) 5/13;
b) 7/13;
c) enaka

3) Kateri je manjši: 2\3 ali 4/6?

a) 2/3;
b) 4/6;
c) enaka

4) Kateri ulomek je manjši od 1 : 3/5; 17/9; 7/7?

a) 3/5;
b) 17/9;
c) 7/7

5) Kateri ulomek je večji od 1: ?; 7/8; 4/3?

a) 1/2;
b) 7/8;
c) 4/3

6) Primerjaj ulomka: 2 1/5 in 1 7/9

a) 2 1/5<1 7/9;
b) 2 1/5 = 1 7/9;
c) 2 1/5 >1 7/9

Možnost 2.

1) primerjaj ulomke: 3/5 in 3/10

a) 3/5 > 3/10;
b) 3/5<3/10;
c) 3/5=3/10

2) Kaj je večje: 10/12 ali 1/12?

a) enaka;
b) 10/12;
c) 1/12

3) Kaj je manj: 3/5 ali 1/10?

a) 3/5;
b) 1/10;
c) enaka

4) Kateri ulomek je manjši od 1: 4/3; 1/15; 16/16?

a) 4/3;
b) 1/15;
c) 16/16

5) Kateri ulomek je večji od 1: 2/5;9/8;11/12?

a) 2/5;
b) 9/8;
c) 11/12

6) Primerjaj ulomka: 3 1/4 in 3 2/3

a) 3 1/4=3 2/3;
b) 3 1/4 > 3 2/3;
c) 3 1/4< 3 2/3

Odgovori na test:

1. možnost: 1a, 2b, 3c, 4a, 5b, 6a

2. možnost: 2a, 2b, 3b, 4b, 5b, 6c

8. Še enkrat se vrnemo k namenu lekcije.

Preverimo primerjalna pravila in naredimo diferencirano domačo nalogo:

Skupine 1,2,3 – pripravite dva primerjalna primera za vsako pravilo in ju rešite.

4,5,6 skupine - št. 83 a, b, c, št. 84 a, b, c (iz učbenika).

Od dveh ulomkov z enakima imenovalcema je tisti z večjim števcem večji, tisti z manjšim pa manjši.. Pravzaprav imenovalec kaže, na koliko delov je bila razdeljena cela vrednost, števec pa na koliko takih delov je bilo vzetih.

Izkazalo se je, da smo vsak cel krog razdelili z istim številom 5 , vendar so vzeli različno število delov: več kot so vzeli, večji ulomek ste dobili.

Od dveh ulomkov z enakima števcema je tisti z manjšim imenovalcem večji, tisti z večjim pa manjši. No, pravzaprav, če en krog razdelimo na 8 deli, drugo pa na 5 delov in vzemite en del iz vsakega kroga. Kateri del bo večji?

Seveda iz kroga, deljenega z 5 deli! Zdaj pa si predstavljajte, da niso delili krogov, ampak torte. Kateri komad bi vam bil ljubši oziroma kakšen delež: petino ali osmino?

Če želite primerjati ulomke z različnimi števci in imenovalci, morate ulomke zreducirati na njihov najmanjši skupni imenovalec in nato primerjati ulomke z enakimi imenovalci.

Primeri. Primerjaj navadne ulomke:

Zmanjšajmo te ulomke na njihov najmanjši skupni imenovalec. NOZ(4 ; 6)=12. Za vsakega izmed ulomkov poiščemo dodatne faktorje. Za 1. ulomek dodatni faktor 3 (12: 4=3 ). Za 2. ulomek dodatni faktor 2 (12: 6=2 ). Zdaj primerjamo števce obeh dobljenih ulomkov z enakima imenovalcema. Ker je števec prvega ulomka manjši od števca drugega ulomka ( 9<10) , potem je sam prvi ulomek manjši od drugega ulomka.