Razmerje sosednjega kateh za hipotenuzo. Trigonometrija. No, poskusimo te formule, da okusimo, previdno pri iskanju točk na krogu

V življenju se bomo pogosto morali soočiti z matematičnimi nalogami: na šoli, na univerzi in nato pomagali otroku z domačo nalogo. Ljudje nekaterih poklicev se bodo na dan soočali z matematiko. Zato je koristno zapomniti ali zapomniti matematična pravila. V tem članku bomo analizirali enega izmed njih: iskanje pravokotne trikotne kategorije.

Kaj je pravokotni trikotnik

Za začetek se spomnite, kaj je pravokotni trikotnik. Pravokotni trikotnik je geometrijska figura treh segmentov, ki povezujejo točke, ki ne ležijo na eni ravni liniji, in eden od vogalov te slike je 90 stopinj. Stranice, ki tvorijo ravni kot, se imenujejo kategorije, in stran, ki leži nasproti neposrednega kota - hipotenuze.

Našli smo zvitek pravokotnega trikotnika

Obstaja več načinov za učenje dolžine kategorije. Želel bi jih obravnavati podrobneje.

Pythagoreov izrek, da bi našli zvitek pravokotnega trikotnika

Če smo znani po hipotenuzi in katat, lahko najdemo dolžino neznane kategorije na izreku Pythagore. Sliši se tako: "Trg hipotenuze je enak vsoti kvadratov katet." Formula: C² \u003d A² + B², kjer C je hipotenuza, A in B - Kartets. Pretvorimo formulo in dobimo: A² \u003d C²-B².

Primer. Hipotenuza je 5 cm, in roll - 3 cm. Pretvorimo formulo: C² \u003d A² + B² → A² \u003d C²-B². Nato se odločimo: a² \u003d 5²-3²; A² \u003d 25-9; A² \u003d 16; A \u003d √16; A \u003d 4 (cm).

Trigonometrične razmerja, da bi našli zvitek pravokotnega trikotnika

Prav tako lahko najdete neznano katato, če je katera koli druga stran in kateri koli oster kotiček pravokotnega trikotnika. Obstajajo štiri možnosti za iskanje katec, ki uporabljajo trigonometrične funkcije: v sinusu, kosinskem, tangentu, kotangentu. Za reševanje nalog bomo pomagali mizo, ki je nekoliko nižja. Razmislite o teh možnostih.

Poiščite zvitek pravokotnega trikotnika z Sinusom

Simen kot (Sin) je razmerje med nasprotno kategorijo za hipotenuzo. Formula: Sin \u003d A / C, kjer je a - Katat, ki leži proti temu kotu in C je hipotenuza. Nato pretvorimo formulo in dobimo: a \u003d greh * c.

Primer. Hipotenuza je 10 cm, kot A je 30 stopinj. Glede na tabelo izračunajte sinusni kot A, je 1/2. Potem, glede na transformirano formulo, smo reševali: a \u003d sin∠a * c; A \u003d 1/2 * 10; A \u003d 5 (cm).

Poiščite zvitek pravokotnega trikotnika s kosinom

Kosinski kot (COS) je razmerje med sosednjim kateč za hipotenuzo. Formula: COS \u003d B / C, kjer je B - Katat, ki meji na ta vogal, in C je hipotenuza. Pretvorimo formulo in dobimo: B \u003d cos * c.

Primer. Kot A je 60 stopinj, hipotenuza je 10 cm. V skladu s tabelo, izračunajte kozro kota A, je 1/2. Nato se odločimo: B \u003d COS∠A * C; B \u003d 1/2 * 10, B \u003d 5 (cm).

Poiščite zvitek pravokotnega trikotnika s tangento

Tangentni kot (TG) je razmerje nasprotnega kateh v sosednji. Formula: TG \u003d A / B, kjer je A, ki je jemanje kovine v kotu, in B je pobitljiva. Pretvorimo formulo in dobimo: a \u003d tg * b.

Primer. Kot A je 45 stopinj, hipotenuza je 10 cm. Glede na tabelo izračunate kotni kot a, se zmanjša: a \u003d tg∠a * b; A \u003d 1 * 10; A \u003d 10 (cm).

Poiščite zvitek pravokotnega trikotnika s kotangentom

Kotantski kot (CTG) je razmerje med sosednjimi kategorijo na nasprotno. Formula: CTG \u003d B / A, kjer je B pletilni nož, vendar je nasprotno. Z drugimi besedami, Cotgenenes je "obrnjen tangent". Dobimo: B \u003d CTG * a.

Primer. Kot A je 30 stopinj, nasprotna katat pa je 5 cm. Glede na tablisato tabele kota A je √3. Izračunajte: B \u003d CTG∠A * A; B \u003d √3 * 5; B \u003d 5√3 (cm).

Zdaj veste, kako najti CATT v pravokotnem trikotniku. Kot lahko vidite, ni tako težko, glavna stvar je, da se spomnite formul.

Poglavje I. Raztopina pravokotnih trikotnikov

§3 (37). Glavni odnosi in naloge

Trigonometrija obravnava naloge, v katerih morajo izračunati tiste ali druge elemente trikotnika na zadostnem številu numeričnih vrednosti njegovih elementov. Te naloge se običajno imenujejo nalog sklep Trikotnik.

Naj bo ABC pravokoten trikotnik, C-pravin, zvezek in b. - korenine, nasprotujejo ostrim vogalom A in B, od - hipotenuza (prekleto 3);

potem imamo:

Kosina akutnega kota je razmerje med sosednjimi kategorijami za hipotenuze:

cos a \u003d. b / c. , Cos b \u003d A / c. (1)

Sinus akutnega kota je odnos nasprotne kategorije hipotenuze:

sin A \u003d. A / c. , sin B \u003d b / c. (2)

Tangent akutnega kota je odnos nasprotne kategorije sosednjim:

tg a \u003d. A / b. , Tg b \u003d b / a. (3)

Cotgenenes akutnega kota je razmerje med sosednjimi kategorijo na nasprotno:

cTG A \u003d. b / a. , CTG B \u003d A / b. (4)

Količina ostrih vogalov je enaka 90 °.

Glavne naloge na pravokotnih trikotnikih.

Naloga I. Hipotenizije daril in enega izmed ostrih vogalov, izračunajte druge elemente.

Sklep.Naj daj od in A. Kot B \u003d 90 ° - kot tudi znana; Kartets so iz formul (1) in (2).

a \u003d S. Sin A. B \u003d S. Cos A.

Naloga II. . Dana Catat in eden od ostrih vogalov, izračunajte druge elemente.

Sklep. Naj daj zvezek in A. Kot B \u003d 90 ° in znan; Iz formula (3) in (2) bomo našli:

b. = a. Tg B (\u003d a. CTG A) Od = a. Sin A.

Naloga III. Dana Catat in hipotenuza, izračunajte preostale elemente.

Sklep. Naj daj zvezek in od (In. zvezek< с ). Od enakopravnosti (2) Našel bom kot A:

sin A \u003d. A / c. in a \u003d lok greh A / c. ,

in končno katat b.:

b. = od Cos a (\u003d od Sin C).

Naloga IV. Dana Karteta A in B najdejo druge elemente.

Sklep. Od enakopravnosti (3) bomo našli oster kot, na primer, A:

tg a \u003d. A / b. , A \u003d arc tg A / b. ,

kot B \u003d 90 ° - A,

hipotenuza: C. = a. / Greh a (\u003d b. Sin B; \u003d. a. / Cos b)

Spodaj je primer reševanja pravokotnega trikotnika z uporabo logaritmičnih tabel *.

* Izračun elementov pravokotnih trikotnikov vzdolž naravnih tabel je znan iz tečaja geometrije VIII.

Pri izračunu logaritmičnih tabel je treba napisati ustrezne formule za nadomestne številske podatke, da bi našli potrebne logaritme znanih elementov (ali njihovih trigonometričnih funkcij), izračunajte logaritme želenih elementov (ali njihovih trigonometričnih funkcij) in na tabelah, da najdejo želeni elementi.

Primer.Dana Kartet. zvezek \u003d 166.1 in hipotenuza od \u003d 187.3; Izračunajte ostre vogale, drugo katato in območje.

Sklep. Imamo:

sin A \u003d. A / c. ; LG Sin A \u003d LG a. - LG. c.;

A ≈ 62 ° 30 ", v ≈ 90 ° - 62 ° 30" ≈ 27 ° 30 ".

Izračunajte kateta b.:

b \u003d A.tg B; Lg. b.\u003d LG. b.+ LG Tg B;

Območje trikotnika se lahko izračuna s formulo

S \u003d 1/2 ab. = 0,5 a. 2 tg;

Za nadzor, smo izračunamo kot in na logaritemski liniji:

A \u003d Sin A / c. \u003d Arc Sin 166/187 ≈ 62 °.

Opomba.Catte. b. Možno je izračunati na Theoremu Pythagore z uporabo tabel kvadratov in kvadratnih korenin (tabela III in IV):

b.= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.

Neskladje s predhodno pridobljeno vrednostjo b \u003d. 86.48 je pojasnjeno z napakami tabel, v katerih so podane približne vrednosti funkcij. Rezultat 86.54 je natančnejši.

Odnos nasprotne kategorije za hipotenuse se imenuje sinus akutnega kota pravokotni trikotnik.

Sin alfa \u003d frac (a) (c)

Kosina akutnega kota pravokotnega trikotnika

Odnos bližnje kategorije za hipotenuzo se imenuje kosina akutnega kota pravokotni trikotnik.

COS ALPHA \u003d FRAC (B) (C)

Tangent akutnega kota pravokotnega trikotnika

Poklican je odnos nasprotne kategorije v bližnji kateple tangent akutnega kota pravokotni trikotnik.

tg alfa \u003d frac (a) (b)

Kotageni akutnega kota pravokotnega trikotnika

Poklican je odnos bližnje kategorije na nasprotno katelji kotance akutnega kota pravokotni trikotnik.

cTG ALFA \u003d FRAC (B) (A)

Sinusni arbitrarni kot

Vrstni red točke na enotnem krogu, ki ustreza kotu alfa klica sinusni arbitrarni kot Turn alpha.

Sin alfa \u003d y

Kosina poljubnega kota

Point abscisa na enotnem krogu, ki ustreza kotu, ki se imenuje kosina poljubnega kota Turn alpha.

Cos alfa \u003d x

Tangent poljuben kot

Poklican je razmerje med sinusom poljubnega kota rotacije alfa na njegov kozin tangent poljuben kot Turn alpha.

tg alfa \u003d y_ (a)

tg Alpha \u003d Frac (Sin alfa) (COS ALPHA)

Kotanitev poljubnega kota

Poklican je odnos kosina poljubnega kota rotacije alfa na njen sinus poljuben kot Cotangen Turn alpha.

cTG ALPHA \u003d X_ (A)

cTG ALPHA \u003d FRAC (COS ALPHA) (SIN ALPHA)

Primer iskanja samovoljnega kota

Če je alfa določen kot AOM, kjer je m točka enega samega kroga, potem

sin alfa \u003d y_ (m), cos alfa \u003d x_ (m), \\ t tg alfa \u003d frac (y_ (m)) (x_ (m)), ctg alfa \u003d frac (x_ (m)) (y_ (m)).

Na primer, če Kot AOM \u003d - Frac (PI) (4)potem: Point Mint M je enak - Frac (sqrt (2)) (2) \\ t, abscisa je enaka Frac (sqrt (2)) (2) \\ t In zato

Sin levo (- Frac (PI) (4) Desno) \u003d - Facrt (2) (2)) (2);

Cos levo (Frac (PI) (4) Desno) \u003d \\ Trac (2) (2) \\ t;

tg.;

cTG. levo (- Frac (PI) (4) Desno \u003d - 1.

Tabela sinusov Sinusov Tangente Cotanges

Vrednosti glavnih skupnih kotov so prikazane v tabeli:

	0 ^ (cik) (0)	30 ^ (Circ) levo (Frac (PI) (6) \\ t	45 ^ (Circ) levo (Frac (PI) (4) \\ t	60 ^ (Circ) levo (Frac (PI) (3) \\ t	90 ^ (Circ) levo (Frac (PI) (2) \\ t	180 ^ (\\ t	270 ^ (Circ) levo (Frac (3 PI) (2) \\ t	360 ^ (Circ) levo (2 \\ t
sin alfa	0	FRAC12.	Frac (sqrt 2) (2) \\ t	Frac (SQRT 3) (2) \\ t	1	0	−1	0
Cos alfa	1	Frac (SQRT 3) (2) \\ t	Frac (sqrt 2) (2) \\ t	FRAC12.	0	−1	0	1
tg alfa.	0	Frac (Sqrt 3) (3) \\ t	1	Sqrt3.	—	0	—	0
cTG ALPHA.	—	Sqrt3.	1	Frac (Sqrt 3) (3) \\ t	0	—	0	—

Sinus. Akutni kot α pravokotnega trikotnika je razmerje nasprotno Kate za hipotenuse.
Označuje kot: sin α.

COSINE. Akutni kot α pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjim kateč za hipotenuzo.
Označuje na naslednji način: cos α.

Tangent. Akutni kot α je razmerje nasprotnega katecha do sosednje kateplet.
Označuje kot: tg α.

Cotangent. Akutni kot α je razmerje med sosednjim katemcem na nasprotno.
Označuje kot: CTG α.

Sine, kosinske, tangente in kot katateže so odvisni samo od velikosti kota.

Pravila:

Osnovne trikonometrične identitete v pravokotnem trikotniku:

(α - oster kot, nasprotni katet b. in ob katetru a. . Stran od - Hipotenuza. β - drugi oster kot).

b. Sin α \u003d - C.	sin 2 α + cos 2 α \u003d 1
a. cos α \u003d - C.	1 1 + Tg 2 α \u003d - Cos 2 α.
b. Tg α \u003d - A.	1 1 + CTG 2 α \u003d - Sin 2 α.
a. CTG α \u003d - B.	1 1 1 + -- = -- Tg 2 α sin 2 α
sin α. Tg α \u003d - Cos α.

S povečanjem akutnega kotasin α.tg α narašča incos α se zmanjšuje.

Za vsak akutni kot α:

sin (90 ° - α) \u003d cos α

cO (90 ° - α) \u003d Sin α

Primer - Pojasnilo:

Recimo v pravokotni trikotniku ABC
AB \u003d 6,
SUN \u003d 3,
kot a \u003d 30 °.

Ugotovite sine kot A in kosinski kot V.

Sklep.

1) Najprej najdemo velikost kota V. Vse je preprosto: Ker je v pravokotnem trikotniku, je vsota ostrih vogalov 90 °, nato pa kot B \u003d 60 °:

B \u003d 90 ° - 30 ° \u003d 60 °.

2) Izračunajte greh A. Vemo, da je sinus enak odnos nasprotne kateh za hipotenuzo. Za kota in nasprotni kateta je stran letala. Zato:

BC 3 1.
Sin A \u003d - \u003d - \u003d -
AB 6 2.

3) Zdaj izračunam CO B. Vemo, da je kosina enaka odnosu sosednjega kateh za hipotenuzo. Za kot v sosednji kateta, na isti strani sonca. To pomeni, da moramo ponovno razdeliti letala na AV-to, da naredite enake ukrepe kot pri izračunu sinusnega kota A:

BC 3 1.
cos b \u003d - \u003d - \u003d -
AB 6 2.

Kot rezultat, se izkaže:
sin A \u003d Cos B \u003d 1/2.

sin 30º \u003d COS 60º \u003d 1/2.

Iz tega izhaja, da je v pravokotni trikotni sinus enega akutnega kota enak kosinu drugega akutnega kota - in obratno. To je točno to, kar naša dva formula pomenita:
sin (90 ° - α) \u003d cos α
cO (90 ° - α) \u003d Sin α

Poskrbimo, da je to spet:

1) Naj bo α \u003d 60 °. Namestitev vrednosti α v sinu formule, dobimo:
Sin (90 ° - 60 °) \u003d COS 60º.
Sin 30º \u003d COS 60º.

2) Naj α \u003d 30 °. Namestitev vrednosti α v kosinskem formule, dobimo:
CO (90 ° - 30 °) \u003d SIN 30º.
COS 60 ° \u003d SIN 30º.

(Več o trigonometriji - glej izbor algebre)

Kot lahko vidite, je ta krog zgrajen v kartezičnem koordinatnem sistemu. Polmer kroga je enak enemu, medtem ko je središče kroga leži na začetku koordinat, začetni položaj radija-vektorja je pritrjen vzdolž pozitivne smeri osi (v našem primeru, to je polmer ).

Vsaka točka kroga ustreza dve številki: koordinate vzdolž osi in koordinate vzdolž osi. In kaj je ta koordinatna številka? In na splošno, kaj se nanašajo na zadevno temo? Da bi to storili, se moramo spomniti obravnavanega pravokotnega trikotnika. Zgoraj prikazana številka, lahko vidite toliko kot dva pravokotne trikotnike. Razmislite o trikotniku. To je pravokotno, saj je to pravokotno na os.

Kaj je enako trikotniku? Tako je. Poleg tega vemo, da je polmer enega samega kroga in zato. Namestite to vrednost v naši formuli za kosine. To se izkaže:

In kaj je enako trikotniku? No, seveda,! Namestimo vrednost polmera v tej formuli in dobite:

Torej, lahko rečete, katere koordinate imajo točko, ki pripada krogu? No, nikakor? In če ugotovite, da - je to samo številke? Katera koordinata ustreza? No, seveda, koordinata! In kakšna koordinata ustreza? V redu, koordinata! Tako, točka.

In potem je potem enaka in? Tako je, uporabljamo ustrezne opredelitve tangenta in kotangenta in to dobimo, toda.

In kaj če je kot več? Tu, na primer, kot na tej sliki:

Kaj se je spremenilo v tem primeru? Ukvarjajmo se. V ta namen se obrnite na pravokotni trikotnik. Razmislite o pravokotni trikotnik: kot (kot ob kotu). Kakšen je pomen sinusa, kosina, tangenta in katangenta za vogal? V redu, upoštevajte ustrezne definicije trigonometričnih funkcij:

No, kot vidite, je vrednost vogalnega sinusa še vedno koordinata; Kosinska vrednost kota - koordinata; In vrednote tangenta in kotagen z ustreznimi odnosi. Tako se ta razmerja uporabljajo za vse zavoje radija-vektorja.

Omenilo je, da je začetni položaj vlaktorja polmera vzdolž pozitivne smeri osi. Do sedaj smo obrnili ta vektor v nasprotni smeri urinega kazalca in kaj se bo zgodilo, če ga obrnete v smeri urinega kazalca? Nič nenavadnega, prav tako bo kota določenega zneska, vendar bo samo negativna. Tako se pri vrtenju polmera-vektorja v nasprotni smeri urinega kazalca izklopi pozitivni kotiin pri vrtenju v smeri urinega kazalca - negativno.

Torej, vemo, da je celoten promet obsega radija-vector je Or. Ali lahko obrnete radijsko vektor na ali naprej? No, seveda, lahko! V prvem primeru, tako, da je polmer vector naredil en polni obrat in se ustavi v OR.

V drugem primeru, to je, bo radij-vektor naredil tri popolne zavoje in se ustavi v položaju ali.

Tako lahko od zgoraj navedenih primerov zaključimo, da se koti, ki se razlikujejo od ali (kjer - katero koli celo število) ustrezajo istemu položaju vektorja polmera.

Spodaj na sliki prikazuje kot. Ista slika ustreza vogalu itd. Ta seznam se lahko nadaljuje do neskončnosti. Vsi ti vogali se lahko zabeležijo s splošno formulo ali (kjer - katero koli celo število)

Zdaj, poznavanje definicij glavnih trigonometričnih funkcij in z uporabo enega kroga, poskusite odgovoriti, kaj so vrednosti:

Tukaj je en krog, ki vam pomaga:

Imajo težave? Potem se ukvarjamo. Torej, vemo, da:

Od tu definiramo koordinate točk, ki ustrezajo določenemu kotarskemu merilu. No, začnimo v redu: vogal, ki ustreza točki s koordinatami, zato:

Ne obstaja;

Poleg tega se upošteva iste logike, ugotovite, da vogali ustrezajo točkam s koordinatami. Poznavanje tega je enostavno določiti vrednosti trigonometričnih funkcij na ustreznih točkah. Najprej poskusite, in nato preverite z odgovori.

Odgovori:

Ne obstaja

Ne obstaja

Ne obstaja

Ne obstaja

Tako lahko naredimo naslednji znak:

Ni treba spomniti vseh teh vrednot. Dovolj je, da se spomnite korespondence koordinat točk na enem krogu in vrednosti trigonometričnih funkcij:

Vendar vrednosti trigonometričnih funkcij kotov v spodnji tabeli in prikazane v spodnji tabeli, moram se spomniti:

Ne bojte se, zdaj kažemo enega od primerov precej enostavno zapomnitev ustreznih vrednosti:

Za uporabo te metode je nujno, da si zapomnijo sinusne vrednosti za vse tri kote () ukrepe, pa tudi vrednost tangenta kota v. Poznavanje teh vrednot je zelo preprosto obnoviti celotno tabelo celotne kosinske mize, prenesene v skladu s puščicami, to je:

Vedeti, da je mogoče obnoviti vrednosti za. Števec, ki se bo ujemal, in imenovalec "" ustreza. Vrednosti Cotangen se prenesejo v skladu s puščicami, določenimi na sliki. Če razumete in se spomnite sheme puščice, bo dovolj, da se spomnite celotne vrednosti iz tabele.

Koordinate točke na krogu

In je mogoče najti točko (svoje koordinate) na krogu, poznavanje koordinat centra kroga, njegovega polmera in kota vrtenja?

No, seveda, lahko! Pojdimo splošna formula za koordinate točk.

Tukaj, na primer, imamo tak krog:

Glede na to, da je točka središče kroga. Polmer kroga je enak. Potrebno je najti koordinate točke, dobljene z obračanjem točke na stopinj.

Kot je razvidno iz slike, bitna koordinata ustreza dolžini segmenta. Dolžina segmenta ustreza koordinata središča kroga, to je enako. Dolžina segmenta se lahko izrazi s kosinsko opredelitvijo:

Potem imamo to za koordinatno točko.

Z isto logiko najdemo vrednost koordinate Y za točko. V to smer,

Torej, v splošni obliki, koordinate točk določajo formule:

Koordinate središča kroga,

Polmer kroga

Kot vektorskega polmera.

Kot lahko vidite, za obravnavani obseg enote, se te formule znatno zmanjšajo, saj so koordinate centra enake nič, in polmer je enak eni:

No, poskusite te formule okusiti, previdno pri iskanju točk na krogu?

1. Poiščite točke koordinate na enem krogu, dobljene s prelomnico.

2. Poiščite koordinate točke na enem krogu, pridobljenem z obračanjem točke.

3. Poiščite koordinate točke na enem krogu, dobljenem s prelomnico.

4. Točka je središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, dobljene z obračanjem začetnega radijskega vektorja.

5. Točka je središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, dobljene z obračanjem začetnega radijskega vektorja.

Prišlo je do težav pri iskanju koordinat točke na krogu?

Delite te pet primerov (ali dobro razumevanje pri reševanju) in naučili se jih boste našli!

1.

To lahko vidite. In vemo, da ustreza celotnemu prometu iz izhodišča. Tako bo želena točka v istem položaju kot pri vklopu. Poznavanje tega bomo našli želene koordinate točke:

2. Obod je samski s Centrom na točki, to pomeni, da lahko izkoristimo poenostavljene formule:

To lahko vidite. Vemo, kaj ustreza obe popolni hitrosti izhodišča. Tako bo želena točka v istem položaju kot pri vklopu. Poznavanje tega bomo našli želene koordinate točke:

Sinus in kosin so vrednosti tabel. Ne pozabite na njihove vrednote in dobiti:

Tako je želena točka koordinate.

3. Obod je samski s Centrom na točki, to pomeni, da lahko izkoristimo poenostavljene formule:

To lahko vidite. Slike Primer, ki se upošteva na sliki:

Obrazci za radij s kotom, enako in. Poznavanje, da so tabletomi kosina in sinue enake, in ugotavljanje, da kosine tukaj ima negativno vrednost, in sinu je pozitiven, imamo:

Podrobnosti Takšni primeri se obravnavajo pri preučevanju formul za prinašanje trigonometričnih funkcij v predmetu.

Tako je želena točka koordinate.

4.

Kot vrtenja vektorja vektorja (s pogojem)

Za določitev ustreznih znakov sinusa in kosina smo zgradili en sam krog in kot:

Kot lahko vidite, vrednost, ki je pozitivno, in vrednost, je, je negativna. Poznavanje vrednosti tabele ustreznih trigonometričnih funkcij, smo dobili to:

Vrednosti bomo nadomestili v naši formuli in našli koordinate:

Tako je želena točka koordinate.

5. Rešiti ta problem, uporabljamo formule na splošno, kjer

Koordinate središča kroga (v našem primeru,

Polmer kroga (s pogojem)

Kot vrtenja polmera vektorja (s pogojem).

Nameravamo vse vrednosti v formuli in dobimo:

in - vrednosti tabel. Spomnim se in jih nadomestimo v formuli:

Tako je želena točka koordinate.

Povzetek in osnovne formule

Sinusni kota je razmerje med nasprotno (dolga razdaljo) za hipotenuzo.

Kosinski kot je razmerje med sosednjimi (blizu) kategorijo za hipotenuzo.

Tangentni kot je razmerje med nasprotno (dolga razdalja) v sosednji (blizu).

Kotantski kot je razmerje med sosednjimi (relativnimi) kategorijo na nasprotno (dolga razdalja).