C 8 методи за решаване на системи от уравнения. Решаване на система от уравнения по метода на събиране. Решаване на сложни системи от уравнения

С това видео започвам поредица от уроци по системи от уравнения. Днес ще говорим за решаване на системи от линейни уравнения метод на добавяне- това е един от най-лесните начини, но в същото време един от най-ефективните.

Методът на добавяне се състои от три прости стъпки:

1. Погледнете системата и изберете променлива, която има същите (или противоположни) коефициенти във всяко уравнение;
2. Извършете алгебрично изваждане (за противоположни числа - събиране) уравнения едно от друго и след това приведете подобни членове;
3. Решете новото уравнение от втората стъпка.

Ако всичко е направено правилно, тогава на изхода ще получим едно уравнение с една променлива- няма да е трудно да го решим. След това остава само да замените намерения корен в оригиналната система и да получите окончателния отговор.

На практика обаче нещата не са толкова прости. Има няколко причини за това:

• Решаването на уравнения по метода на събиране предполага, че всички редове трябва да съдържат променливи с еднакви / противоположни коефициенти. Но какво ще стане, ако това изискване не е изпълнено?
• В никакъв случай, след добавяне/изваждане на уравнения по този начин, получаваме красива конструкция, която може лесно да бъде решена. Възможно ли е по някакъв начин да се опрости изчисленията и да се ускорят изчисленията?

За да получите отговор на тези въпроси и в същото време да се справите с няколко допълнителни тънкости, които много ученици „изпадат“, гледайте моя видео урок:

С този урок започваме поредица от лекции по системи от уравнения. И ще започнем от най-простите от тях, а именно от тези, които съдържат две уравнения и две променливи. Всеки от тях ще бъде линеен.

Systems е материал за 7-ми клас, но този урок ще бъде полезен и за ученици от гимназията, които искат да освежат знанията си по темата.

Като цяло има два метода за решаване на такива системи:

1. Метод на добавяне;
2. Метод за изразяване на една променлива чрез друга.

Днес ще се занимаваме с първия метод – ще приложим метода на изваждане и събиране. Но за това трябва да разберете следния факт: веднага щом имате две или повече уравнения, имате право да вземете всякакви две от тях и да ги добавите едно към друго. Добавят се термин по термин, т.е. "Xs" се добавят с "Xs" и се дават подобни;

Резултатът от такива машинации ще бъде ново уравнение, което, ако има корени, те непременно ще бъдат сред корените на оригиналното уравнение. Следователно, нашата задача е да направим изваждането или събирането по такъв начин, че или $ x $, или $ y $ да изчезне.

Как да постигнем това и какъв инструмент да използваме за това - ще говорим за това сега.

Решаване на проблеми със светлината чрез метода на добавяне

И така, ние се учим да прилагаме метода на събиране, използвайки примера на два най-прости израза.

Проблем номер 1

\ [\ вляво \ (\ начало (подравняване) & 5x-4y = 22 \\ & 7x + 4y = 2 \\\ край (подравняване) \ вдясно. \]

Обърнете внимание, че $ y $ има коефициент в първото уравнение $ -4 $, а във второто - $ + 4 $. Те са взаимно противоположни, така че е логично да предположим, че ако ги съберем, тогава в получената сума "игрите" ще бъдат взаимно унищожени. Добавяме и получаваме:

Ние решаваме най-простия дизайн:

Страхотно, намерихме X. Какво да правя с него сега? Имаме право да го заместим във всяко от уравненията. Нека заменим в първия:

\ [- 4y = 12 \ вляво | : \ ляво (-4 \ дясно) \ дясно. \]

Отговор: $ \ вляво (2; -3 \ вдясно) $.

Проблем номер 2

\ [\ наляво \ (\ начало (подравняване) & -6x + y = 21 \\ & 6x-11y = -51 \\\ край (подравняване) \ вдясно. \]

Тук ситуацията е напълно подобна, само с Xs. Нека ги съберем:

Получихме най-простото линейно уравнение, нека го решим:

Сега нека намерим $ x $:

Отговор: $ \ вляво (-3; 3 \ вдясно) $.

Важни точки

И така, току-що решихме двете най-прости системи от линейни уравнения чрез метода на събиране. Още веднъж ключовите точки:

1. Ако има противоположни коефициенти за една от променливите, тогава е необходимо да се съберат всички променливи в уравнението. В този случай един от тях ще бъде унищожен.
2. Заместваме намерената променлива в някое от уравненията на системата, за да намерим втората.
3. Окончателният запис на отговора може да бъде представен по различни начини. Например, така - $ x = ..., y = ... $, или под формата на координати на точки - $ \ вляво (...; ... \ вдясно) $. Вторият вариант е за предпочитане. Основното нещо, което трябва да запомните, е, че първата координата е $ x $, а втората е $ y $.
4. Правилото за записване на отговора под формата на точкови координати не винаги важи. Например, не може да се използва, когато променливите не са $ x $ и $ y $, а например $ a $ и $ b $.

В следващите задачи ще разгледаме техниката на изваждане, когато коефициентите не са противоположни.

Решаване на лесни задачи с помощта на метода на изваждане

Проблем номер 1

\ [\ ляво \ (\ начало (подравняване) & 10x-3y = 5 \\ & -6x-3y = -27 \\\ край (подравняване) \ дясно. \]

Имайте предвид, че тук няма противоположни коефициенти, но има еднакви. Следователно изваждаме второто от първото уравнение:

Сега заместваме стойността на $ x $ във всяко от уравненията на системата. Нека първо:

Отговор: $ \ вляво (2; 5 \ вдясно) $.

Проблем номер 2

\ [\ вляво \ (\ начало (подравняване) & 5x + 4y = -22 \\ & 5x-2y = -4 \\\ край (подравняване) \ вдясно. \]

Отново виждаме същия коефициент от $ 5 $ до $ x $ в първото и второто уравнение. Следователно е логично да приемем, че трябва да извадите второто от първото уравнение:

Изчислихме една променлива. Сега нека намерим втория, например, замествайки стойността на $ y $ във втората конструкция:

Отговор: $ \ вляво (-3; -2 \ вдясно) $.

Нюанси на решението

И така, какво виждаме? По същество схемата не се различава от решението на предишни системи. Единствената разлика е, че не събираме уравненията, а ги изваждаме. Правим алгебрично изваждане.

С други думи, щом видите система от две уравнения с две неизвестни, първото нещо, което трябва да погледнете, са коефициентите. Ако навсякъде са еднакви, уравненията се изваждат, а ако са противоположни, се прилага методът на събиране. Това винаги се прави така, че един от тях да изчезне, а в крайното уравнение да остане само една променлива, която остава след изваждане.

Разбира се, това не е всичко. Сега ще разгледаме системи, в които уравненията обикновено са непоследователни. Тези. в тях няма променливи, които биха били еднакви или противоположни. В този случай се използва допълнителна техника за решаване на такива системи, а именно умножаването на всяко от уравненията със специален коефициент. Как да го намерим и как да решим такива системи като цяло, сега ще говорим за това.

Решаване на задача чрез умножение по коефициент

Пример №1

\ [\ ляво \ (\ начало (подравняване) & 5x-9y = 38 \\ & 3x + 2y = 8 \\\ край (подравняване) \ дясно. \]

Виждаме, че нито за $ x $, нито за $ y $ коефициентите не само не са взаимно противоположни, но като цяло не корелират по никакъв начин с друго уравнение. Тези коефициенти няма да изчезнат по никакъв начин, дори ако добавим или извадим уравненията едно от друго. Следователно е необходимо да се приложи умножение. Нека се опитаме да се отървем от променливата $ y $. За да направите това, умножаваме първото уравнение по коефициента при $ y $ от второто уравнение, а второто уравнение - при $ y $ от първото уравнение, без да променяме знака. Умножаваме и получаваме нова система:

\ [\ вляво \ (\ начало (подравняване) & 10x-18y = 76 \\ & 27x + 18y = 72 \\\ край (подравняване) \ вдясно. \]

Разглеждаме го: за $ y $, противоположни коефициенти. В такава ситуация е необходимо да се приложи методът на добавяне. Нека добавим:

Сега трябва да намерим $ y $. За да направите това, заменете $ x $ в първия израз:

\ [- 9y = 18 \ вляво | : \ ляво (-9 \ дясно) \ дясно. \]

Отговор: $ \ вляво (4; -2 \ вдясно) $.

Пример №2

\ [\ вляво \ (\ начало (подравняване) & 11x + 4y = -18 \\ & 13x-6y = -32 \\\ край (подравняване) \ вдясно. \]

Отново, коефициентите за която и да е от променливите не са последователни. Нека умножим по коефициентите при $ y $:

\ [\ ляво \ (\ начало (подравняване) & 11x + 4y = -18 \ ляво | 6 \ дясно. \\ & 13x-6y = -32 \ ляво | 4 \ дясно. \\\ край (подравняване) \ дясно . \]

\ [\ вляво \ (\ начало (подравняване) & 66x + 24y = -108 \\ & 52x-24y = -128 \\\ край (подравняване) \ вдясно. \]

Нашата нова система е еквивалентна на предишната, но коефициентите на $ y $ са взаимно противоположни и затова е лесно да приложим метода на добавяне тук:

Сега намираме $ y $, като заместим $ x $ в първото уравнение:

Отговор: $ \ вляво (-2; 1 \ вдясно) $.

Нюанси на решението

Основното правило тук е следното: ние винаги умножаваме само по положителни числа - това ще ви спаси от глупави и обидни грешки, свързани със смяната на знаците. Като цяло схемата на решението е доста проста:

1. Разглеждаме системата и анализираме всяко уравнение.
2. Ако видим, че нито за $ y $, нито за $ x $ коефициентите не са последователни, т.е. те не са нито равни, нито противоположни, тогава правим следното: избираме променливата, от която да се отървем, и след това разглеждаме коефициентите на тези уравнения. Ако умножим първото уравнение по коефициента от второто, а второто, съответно, умножим по коефициента от първото, тогава в крайна сметка получаваме система, която е напълно еквивалентна на предишната, и коефициентите за $ y $ ще бъде последователно. Всички наши действия или трансформации са насочени само към получаване на една променлива в едно уравнение.
3. Намираме една променлива.
4. Заместваме намерената променлива в едно от двете уравнения на системата и намираме второто.
5. Пишем отговора под формата на координати на точки, ако имаме променливи $ x $ и $ y $.

Но дори и такъв прост алгоритъм има свои собствени тънкости, например коефициентите на $ x $ или $ y $ могат да бъдат дроби и други "грозни" числа. Сега ще разгледаме тези случаи поотделно, защото в тях може да се действа малко по-различно, отколкото според стандартния алгоритъм.

Решаване на задачи с дробни числа

Пример №1

\ [\ наляво \ (\ начало (подравняване) & 4m-3n = 32 \\ & 0.8m + 2.5n = -6 \\\ край (подравняване) \ вдясно. \]

Първо, имайте предвид, че във второто уравнение има дроби. Но имайте предвид, че можете да разделите $4 на $0,8. Получаваме $5 $. Нека умножим второто уравнение по $5:

\ [\ вляво \ (\ начало (подравняване) & 4m-3n = 32 \\ & 4m + 12.5m = -30 \\\ край (подравняване) \ вдясно \]

Извадете уравненията едно от друго:

Намерихме $ n $, сега нека изчислим $ m $:

Отговор: $ n = -4; m = $ 5

Пример №2

\ [\ ляво \ (\ начало (подравняване) & 2.5p + 1.5k = -13 \ ляво | 4 \ дясно. \\ & 2p-5k = 2 \ ляво | 5 \ дясно. \\\ край (подравняване) \ правилно. \]

Тук, както и в предишната система, има дробни коефициенти, но за нито една от променливите коефициентите не се вписват един в друг цял брой пъти. Затова използваме стандартния алгоритъм. Отърви се от $ p $:

\ [\ вляво \ (\ начало (подравняване) & 5p + 3k = -26 \\ & 5p-12,5k = 5 \\\ край (подравняване) \ вдясно. \]

Прилагаме метода на изваждане:

Нека намерим $ p $, като включим $ k $ във втората конструкция:

Отговор: $ p = -4; k = -2 $.

Нюанси на решението

Това е цялата оптимизация. В първото уравнение изобщо не умножихме по нищо, а второто уравнение беше умножено по $5 $. В резултат на това получихме последователно и дори същото уравнение за първата променлива. Във втората система следвахме стандартния алгоритъм.

Но как да намерите числата, по които трябва да умножите уравненията? В крайна сметка, ако умножим по дробни числа, ще получим нови дроби. Следователно дробите трябва да се умножат по число, което би дало ново цяло число, и едва след това променливите да се умножат по коефициенти, следвайки стандартния алгоритъм.

В заключение бих искал да обърна вниманието ви към формата на записа на отговора. Както вече казах, тъй като тук имаме не $ x $ и $ y $, а други стойности, ние използваме нестандартна нотация от формата:

Решаване на сложни системи от уравнения

Като последен акорд към днешния видео урок, нека да разгледаме няколко наистина сложни системи. Тяхната сложност ще се състои във факта, че те ще съдържат променливи отляво и отдясно. Следователно, за да ги разрешим, ще трябва да приложим предварителна обработка.

Система №1

\ [\ ляво \ (\ начало (подравняване) & 3 \ ляво (2x-y \ дясно) + 5 = -2 \ ляво (x + 3y \ дясно) +4 \\ & 6 \ ляво (y + 1 \ дясно) ) -1 = 5 \ ляво (2x-1 \ дясно) +8 \\\ край (подравняване) \ дясно. \]

Всяко уравнение носи определена степен на сложност. Следователно, с всеки израз, нека продължим както с нормална линейна конструкция.

Като цяло ще получим крайната система, която е еквивалентна на оригиналната:

\ [\ ляво \ (\ начало (подравняване) & 8x + 3y = -1 \\ & -10x + 6y = -2 \\\ край (подравняване) \ дясно. \]

Нека разгледаме коефициентите за $ y $: $ 3 $ се вписва в $ 6 $ два пъти, така че умножаваме първото уравнение по $ 2 $:

\ [\ наляво \ (\ начало (подравняване) & 16x + 6y = -2 \\ & -10 + 6y = -2 \\\ край (подравняване) \ вдясно. \]

Коефициентите при $ y $ вече са равни, така че изваждаме второто от първото уравнение: $$

Сега нека намерим $ y $:

Отговор: $ \ вляво (0; - \ frac (1) (3) \ вдясно) $

Система №2

\ [\ ляво \ (\ начало (подравняване) & 4 \ ляво (a-3b \ дясно) -2a = 3 \ ляво (b + 4 \ дясно) -11 \\ & -3 \ ляво (b-2a \ дясно) ) -12 = 2 \ ляво (a-5 \ дясно) + b \\\ край (подравняване) \ дясно. \]

Нека трансформираме първия израз:

Ние се занимаваме с второто:

\ [- 3 \ ляво (b-2a \ дясно) -12 = 2 \ ляво (a-5 \ дясно) + b \]

\ [- 3b + 6a-12 = 2a-10 + b \]

\ [- 3b + 6a-2a-b = -10 + 12 \]

И така, нашата първоначална система ще изглежда така:

\ [\ ляво \ (\ начало (подравняване) & 2a-15b = 1 \\ & 4a-4b = 2 \\\ край (подравняване) \ дясно. \]

Разглеждайки коефициентите за $ a $, виждаме, че първото уравнение трябва да се умножи по $ 2 $:

\ [\ ляво \ (\ начало (подравняване) & 4a-30b = 2 \\ & 4a-4b = 2 \\\ край (подравняване) \ дясно. \]

Извадете втората от първата конструкция:

Сега нека намерим $ a $:

Отговор: $ \ вляво (a = \ frac (1) (2); b = 0 \ вдясно) $.

Това е всичко. Надявам се, че този видео урок ще ви помогне да разберете тази трудна тема, а именно решаването на системи от прости линейни уравнения. По-късно ще има още много уроци по тази тема: ще анализираме по-сложни примери, където ще има повече променливи, а самите уравнения вече ще бъдат нелинейни. До следващия път!

Обикновено уравненията на системата се записват в колона едно под друго и се комбинират с фигурна скоба

Система от уравнения от този вид, където а, б, в- числа и x, y- наречени променливи система от линейни уравнения.

При решаване на система от уравнения се използват свойства, които са валидни за решаване на уравнения.

Решаване на система от линейни уравнения по метод на заместване

Нека разгледаме един пример

1) Изразете променливата в едно от уравненията. Например, ние изразяваме гв първото уравнение получаваме системата:

2) Заместете във второто уравнение на системата вместо гизразяване 3x-7:

3) Решаваме полученото второ уравнение:

4) Заместваме полученото решение в първото уравнение на системата:

Системата от уравнения има уникално решение: двойка числа x = 1, y = -4... Отговор: (1; -4) , изписано в скоби, на първа позиция стойността х, На втория - г.

Решаване на система от линейни уравнения по метода на събиране

Нека решим системата от уравнения от предишния пример по метода на добавяне.

1) Преобразувайте системата така, че коефициентите за една от променливите да станат противоположни. Нека умножим първото уравнение на системата по "3".

2) Добавете уравненията на системата член по член. Второто уравнение на системата (всякакво) се пренаписва без промени.

3) Заместваме полученото решение в първото уравнение на системата:

Решаване на система от линейни уравнения графично

Графичното решение на система от уравнения с две променливи се свежда до намиране на координатите на общите точки на графиките на уравненията.

Графиката на линейна функция е права линия. Две прави в една равнина могат да се пресичат в една точка, да бъдат успоредни или да съвпадат. Съответно системата от уравнения може: а) да има еднозначно решение; б) нямат решения; в) имат безкраен брой решения.

2) Решението на системата от уравнения е точката (ако уравненията са линейни) на пресечната точка на графиките.

Графично решение на системата

Метод за въвеждане на нови променливи

Промяната на променливите може да доведе до решаване на по-проста система от уравнения от оригиналната.

Помислете за решението на системата

Тогава въвеждаме замяна

Преминаваме към оригиналните променливи

Специални случаи

Без да се решава системата от линейни уравнения, може да се определи броят на нейните решения чрез коефициентите за съответните променливи.

Решаването на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) несъмнено е най-важната тема на курса по линейна алгебра. Огромен брой задачи от всички клонове на математиката се свеждат до решаване на системи от линейни уравнения. Тези фактори обясняват причината за създаването на тази статия. Материалът на статията е подбран и структуриран така, че с негова помощ можете

• изберете оптималния метод за решаване на вашата система от линейни алгебрични уравнения,
• изучаване на теорията на избрания метод,
• Решете вашата система от линейни уравнения, като разгледате подробно анализираните решения на типични примери и задачи.

Кратко описание на материала на статията.

Първо, даваме всички необходими определения и понятия и въвеждаме обозначението.

След това ще разгледаме методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и които имат уникално решение. Първо, ще се спрем на метода на Крамер, второ, ще покажем матричен метод за решаване на такива системи от уравнения, и трето, ще анализираме метода на Гаус (метод на последователно елиминиране на неизвестни променливи). За да консолидираме теорията, определено ще решим няколко SLAE по различни начини.

След това преминаваме към решаване на системи от линейни алгебрични уравнения с общ вид, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните променливи или основната матрица на системата е изродена. Нека формулираме теоремата на Кронекер - Капели, която ни позволява да установим съвместимостта на SLAE. Нека анализираме решението на системите (в случай на тяхната съвместимост), използвайки концепцията за основен минор на матрица. Ще разгледаме и метода на Гаус и ще опишем подробно решенията на примерите.

Определено ще се спрем на структурата на общото решение на хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения. Нека да дадем концепцията за фундаментална система от решения и да покажем как се записва общото решение на SLAE с помощта на вектори на фундаменталната система от решения. За по-добро разбиране, нека разгледаме няколко примера.

В заключение разглеждаме системи от уравнения, които се свеждат до линейни, както и различни проблеми, при решаването на които възникват SLAE.

Навигация в страницата.

Дефиниции, понятия, обозначения.

Ще разгледаме системи от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи (p може да бъде равно на n) от вида

Неизвестни променливи, - коефициенти (някои реални или комплексни числа), - свободни термини (също реални или комплексни числа).

Тази форма на нотация на SLAE се нарича координати.

V матрична форманотация, тази система от уравнения има формата,
където - основната матрица на системата, - матрицата-колона от неизвестни променливи, - матрицата-колона на свободните членове.

Ако добавим към матрицата A като (n + 1)-та колона матрицата-колона от свободни членове, тогава получаваме т.нар. разширена матрицасистеми от линейни уравнения. Обикновено разширената матрица се обозначава с буквата T, а колоната от свободни членове е разделена с вертикална линия от останалите колони, т.е.

Чрез решаване на система от линейни алгебрични уравненияе набор от стойности на неизвестни променливи, който преобразува всички уравнения на системата в идентичности. Матричното уравнение за дадените стойности на неизвестните променливи също се превръща в идентичност.

Ако система от уравнения има поне едно решение, то се нарича става.

Ако системата от уравнения няма решения, тогава тя се нарича непоследователно.

Ако SLAE има уникално решение, тогава то се нарича сигурен; ако има повече от едно решение, тогава - неопределено.

Ако свободните членове на всички уравнения на системата са равни на нула , тогава системата се извиква хомогенна, в противен случай - хетерогенен.

Решение на елементарни системи от линейни алгебрични уравнения.

Ако броят на уравненията на системата е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на нейната основна матрица не е равна на нула, тогава такива SLAE ще бъдат наречени елементарен... Такива системи от уравнения имат уникално решение, а в случай на хомогенна система всички неизвестни променливи са равни на нула.

Започнахме да изучаваме такива SLAE в гимназията. Когато ги решавахме, взехме едно уравнение, изразихме една неизвестна променлива чрез други и я заместихме в останалите уравнения, след това взехме следващото уравнение, изразихме следващата неизвестна променлива и я заместихме в други уравнения и т.н. Или са използвали метода на събиране, тоест добавят две или повече уравнения, за да елиминират някои неизвестни променливи. Няма да се спираме на тези методи в подробности, тъй като те всъщност са модификации на метода на Гаус.

Основните методи за решаване на елементарни системи от линейни уравнения са методът на Крамер, матричният метод и методът на Гаус. Нека ги анализираме.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер.

Да предположим, че трябва да решим система от линейни алгебрични уравнения

в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, т.е.

Нека е детерминантата на основната матрица на системата и - детерминанти на матрици, които се получават от A чрез заместване 1-ви, 2-ри, ..., n-тиколона, съответно, към колоната на свободните членове:

С тази нотация неизвестните променливи се изчисляват по формулите на метода на Крамер като ... Ето как се намира решението на система от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер.

Пример.

Методът на Крамер .

Решение.

Основната матрица на системата има формата ... Нека изчислим неговия детерминант (ако е необходимо, вижте статията):

Тъй като детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, системата има уникално решение, което може да бъде намерено по метода на Крамер.

Нека съставим и изчислим необходимите детерминанти (детерминантата се получава чрез замяна на първата колона в матрица A с колона от свободни членове, детерминантата - чрез замяна на втората колона с колона от свободни членове, - чрез замяна на третата колона на матрица A с колона от свободни членове ):

Намерете неизвестни променливи по формулите :

Отговор:

Основният недостатък на метода на Крамер (ако може да се нарече недостатък) е сложността на изчисляването на детерминантите, когато броят на уравненията в системата е повече от три.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по матричния метод (с помощта на обратната матрица).

Нека системата от линейни алгебрични уравнения е дадена в матричен вид, където матрицата A има размерност n по n и нейната детерминанта е различна от нула.

Тъй като матрицата A е обратима, тоест има обратна матрица. Ако умножим двете страни на равенството по ляво, тогава ще получим формула за намиране на матрицата на колоните от неизвестни променливи. Така получихме решението на система от линейни алгебрични уравнения по матричния метод.

Пример.

Решаване на система от линейни уравнения матричен метод.

Решение.

Нека пренапишем системата от уравнения в матричен вид:

Защото

тогава SLAE може да се реши по матричния метод. Използвайки обратната матрица, решението на тази система може да се намери като .

Нека построим обратна матрица, използвайки матрица от алгебрични допълнения на елементи от матрица A (ако е необходимо, вижте статията):

Остава да се изчисли - матрицата от неизвестни променливи чрез умножаване на обратната матрица към матрица на колони от свободни членове (вижте статията, ако е необходимо):

Отговор:

или в друга нотация x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Основният проблем при намирането на решение на системи от линейни алгебрични уравнения по матричния метод е сложността на намирането на обратната матрица, особено за квадратни матрици с порядък по-висок от третия.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус.

Да предположим, че трябва да намерим решение на система от n линейни уравнения с n неизвестни променливи
детерминантата на основната матрица на която е различна от нула.

Същността на метода на Гауссе състои в последователно елиминиране на неизвестни променливи: първо, x 1 се изключва от всички уравнения на системата, започвайки от второто, след това x 2 се изключва от всички уравнения, започвайки с третата, и така нататък, докато само неизвестната променлива xn остава в последното уравнение. Такъв процес на преобразуване на уравненията на системата за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича по прекия ход на метода на Гаус... След завършване на напредването на метода на Гаус, x n се намира от последното уравнение, като се използва тази стойност, x n-1 се изчислява от предпоследното уравнение и така нататък, x 1 се намира от първото уравнение. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича обратен метод на Гаус.

Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.

Ще приемем това, тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Елиминирайте неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, като се започне от второто. За да направите това, към второто уравнение на системата добавяме първото, умножено по, към третото уравнение добавяме първото, умножено по, и така нататък, към n-то уравнение добавяме първото, умножено по. Системата от уравнения след такива трансформации приема формата

къде и .

Ще стигнем до същия резултат, ако изразим x 1 чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и заменим получения израз във всички други уравнения. По този начин променливата x 1 е изключена от всички уравнения, като се започне от второто.

След това действаме по подобен начин, но само с част от получената система, която е отбелязана на фигурата

За да направите това, към третото уравнение на системата добавяме второто умножено по, към четвъртото уравнение добавяме второто, умножено по, и така нататък, към n-то уравнение добавяме второто, умножено по. Системата от уравнения след такива трансформации приема формата

къде и ... По този начин променливата x 2 е изключена от всички уравнения, като се започне с третото.

След това преминаваме към елиминирането на неизвестното x 3, докато действаме по същия начин с частта от системата, отбелязана на фигурата

Така че ние продължаваме директния ход на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратния ход на метода на Гаус: изчисляваме xn от последното уравнение, като използвайки получената стойност на xn, намираме x n-1 от предпоследното уравнение и така нататък намираме x 1 от първото уравнение.

Пример.

Решаване на система от линейни уравнения по метода на Гаус.

Решение.

Елиминирайте неизвестната променлива x 1 от второто и третото уравнение на системата. За да направите това, добавете съответните части от първото уравнение, умножени по и по, към двете страни на второто и третото уравнение:

Сега изключваме x 2 от третото уравнение, като добавяме към лявата и дясната му страна лявата и дясната страна на второто уравнение, умножено по:

В този момент движението напред на метода на Гаус приключи, започваме обратното движение.

От последното уравнение на получената система от уравнения намираме x 3:

От второто уравнение получаваме.

От първото уравнение намираме останалата неизвестна променлива и това завършва обратния ход на метода на Гаус.

Отговор:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Решение на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

В общия случай броят на уравненията в системата p не съвпада с броя на неизвестните променливи n:

Такива SLAE може да нямат решения, да имат едно решение или да имат безкрайно много решения. Това твърдение важи и за системи от уравнения, чиято основна матрица е квадратна и изродена.

Теоремата на Кронекер - Капели.

Преди да се намери решение на система от линейни уравнения, е необходимо да се установи нейната съвместимост. Отговорът на въпроса кога SLAE е съвместим и кога несъвместим се дава от теоремата на Кронекер - Капели:
за да е последователна система от p уравнения с n неизвестни (p може да бъде равно на n), е необходимо и достатъчно рангът на основната матрица на системата да е равен на ранга на разширената матрица, т.е. ранг (A) = Ранг (T).

Нека разгледаме като пример приложението на теоремата на Кронекер - Капели за определяне на съвместимостта на система от линейни уравнения.

Пример.

Разберете дали системата от линейни уравнения решения.

Решение.

... Нека използваме метода на граничните непълнолетни. Минор от втори ред различен от нула. Нека подредим непълнолетните от трети порядък, които граничат с него:

Тъй като всички граничещи минорни от третия ред са равни на нула, рангът на основната матрица е два.

От своя страна, рангът на разширената матрица е равно на три, тъй като минорът от трети ред

различен от нула.

По този начин, Rang (A), следователно, по теоремата на Кронекер - Капели можем да заключим, че първоначалната система от линейни уравнения е непоследователна.

Отговор:

Системата няма решения.

И така, ние се научихме да установяваме несъответствието на системата с помощта на теоремата на Кронекер - Капели.

Но как да намерим решение на SLAE, ако е установена неговата съвместимост?

За да направим това, ни трябва концепцията за основен минор на матрица и теорема за ранга на матрица.

Най-високият минор на матрицата A, различен от нула, се нарича основен.

От определението за основен минор следва, че неговият ред е равен на ранга на матрицата. За ненулева матрица A може да има няколко основни минорни; винаги има един основен минор.

Например, помислете за матрицата .

Всички минори от трети ред на тази матрица са равни на нула, тъй като елементите на третия ред на тази матрица са сумата от съответните елементи на първия и втория ред.

Следните минорни от втори ред са основни, тъй като са различни от нула

Непълнолетни не са основни, тъй като са равни на нула.

Теорема за ранг на матрицата.

Ако рангът на матрица от порядък p по n е равен на r, тогава всички елементи от редовете (и колоните) на матрицата, които не образуват избрания основен минор, се изразяват линейно чрез съответните елементи на редовете ( и колони), които образуват основния минор.

Какво ни дава теоремата за ранг на матрицата?

Ако по теоремата на Кронекер - Капели сме установили съвместимостта на системата, тогава избираме произволен основен минор от основната матрица на системата (нейният ред е r) и изключваме от системата всички уравнения, които не образуват избрания основен минор. Така получената SLAE ще бъде еквивалентна на оригиналната, тъй като изхвърлените уравнения все още са излишни (съгласно теоремата за ранга на матрицата те са линейна комбинация от останалите уравнения).

В резултат на това след отхвърляне на ненужните уравнения на системата са възможни два случая.

Ако броят на уравненията r в получената система е равен на броя на неизвестните променливи, тогава то ще бъде определено и единственото решение може да бъде намерено по метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Пример.

.

Решение.

Рангът на основната матрица на системата е равно на две, тъй като второстепенен ред различен от нула. Разширен матричен ранг също е равно на две, тъй като единственият минор от трети ред е равен на нула

и второстепенният минор, разгледан по-горе, е различен от нула. Въз основа на теоремата на Кронекер - Капели можем да твърдим съвместимостта на оригиналната система от линейни уравнения, тъй като ранг (A) = ранг (T) = 2.

Приемаме за основно непълнолетно ... Образува се от коефициентите на първото и второто уравнение:


Третото уравнение на системата не участва във формирането на основния минор, поради което го изключваме от системата въз основа на теоремата за ранга на матрицата:


Така получихме елементарна система от линейни алгебрични уравнения. Нека го решим по метода на Крамер:


Отговор:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ако броят на уравненията r в получения SLAE е по-малък от броя на неизвестните променливи n, тогава в лявата страна на уравненията оставяме членовете, които образуват основния минор, останалите членове се прехвърлят вдясно -страни на уравненията на системата с противоположен знак.

Неизвестни променливи (има r от тях), останали в лявата страна на уравненията, се наричат основното.

Неизвестни променливи (има n - r парчета), които се появяват в дясната страна, се извикват Безплатно.

Сега приемаме, че свободните неизвестни променливи могат да приемат произволни стойности и r основни неизвестни променливи ще бъдат изразени чрез свободни неизвестни променливи по уникален начин. Тяхното изразяване може да бъде намерено чрез решаване на получената SLAE по метода на Крамер, по матричния метод или по метода на Гаус.

Да вземем пример.

Пример.

Решаване на система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Намерете ранга на основната матрица на системата по метода на граничене на непълнолетни. Взимаме 1 1 = 1 като ненулев минор от първи ред. Нека започнем да търсим ненулев минор от втори ред, който заобикаля този минор:


Ето как открихме ненулев минор от втори ред. Нека започнем да търсим минор от трети порядък, различен от нула:


По този начин рангът на основната матрица е три. Рангът на разширената матрица също е три, тоест системата е последователна.

Приемаме намерения ненулев минор от трети порядък като основен.

За по-голяма яснота показваме елементите, които образуват основния минор:


Оставяме от лявата страна на уравненията на системата членовете, участващи в основния минор, прехвърляме останалите с противоположни знаци в дясната страна:


Нека присвоим произволни стойности на свободните неизвестни променливи x 2 и x 5, тоест вземаме , където са произволни числа. В този случай SLAE ще приеме формата


Получената елементарна система от линейни алгебрични уравнения се решава по метода на Крамер:


Следователно, .

Не забравяйте да посочите безплатни неизвестни променливи в отговора си.

Отговор:

Къде са произволни числа.

Обобщавайте.

За да решим система от линейни алгебрични уравнения с общ вид, първо установяваме нейната съвместимост с помощта на теоремата на Кронекер - Капели. Ако рангът на основната матрица не е равен на ранга на разширената матрица, тогава заключаваме, че системата е несъвместима.

Ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената матрица, тогава избираме основния минор и отхвърляме уравненията на системата, които не участват във формирането на избрания основен минор.

Ако редът на основния минор е равен на броя на неизвестните променливи, тогава SLAE има уникално решение, което намираме по всеки известен метод.

Ако редът на основния минор е по-малък от броя на неизвестните променливи, тогава от лявата страна на уравненията на системата оставяме членовете с основните неизвестни променливи, прехвърляме останалите членове в дясната страна и дайте произволни стойности на свободните неизвестни променливи. От получената система от линейни уравнения намираме основните неизвестни променливи по метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Методът на Гаус може да се използва за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от всякакъв вид, без първо да се изследват за съвместимост. Процесът на последователно елиминиране на неизвестни променливи дава възможност да се направи заключение както за съвместимостта, така и за несъвместимостта на SLAE и ако съществува решение, прави възможно намирането му.

От гледна точка на изчислителната работа, методът на Гаус е за предпочитане.

Вижте подробното му описание и анализираните примери в статията Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Записване на общото решение на хомогенни и нехомогенни линейни алгебрични системи с помощта на вектори на основната система от решения.

В този раздел ще се съсредоточим върху съвместими хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения с безкраен набор от решения.

Нека първо се заемем с хомогенните системи.

Фундаментална система за вземане на решенияХомогенна система от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи е множеството (n - r) от линейно независими решения на тази система, където r е порядъкът на основния минор на основната матрица на системата.

Ако обозначим линейно независими решения на хомогенна SLAE като X (1), X (2),..., X (nr) (X (1), X (2),..., X (nr) са n-by-1 колонни матрици), то общото решение на тази хомогенна система се представя под формата на линейна комбинация от вектори на основната система от решения с произволни постоянни коефициенти С 1, С 2, ..., С (nr), т.е. ,.

Какво означава терминът общо решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения (oroslau)?

Значението е просто: формулата определя всички възможни решения на оригиналния SLAE, с други думи, вземайки произволен набор от стойности на произволни константи С 1, С 2, ..., С (nr), съгласно формулата, която ние получавате едно от решенията на оригиналния хомогенен SLAE.

По този начин, ако намерим фундаментална система от решения, тогава можем да зададем всички решения на тази хомогенна SLAE като.

Нека покажем процеса на изграждане на фундаментална система от решения на хомогенна SLAE.

Избираме основния минор на оригиналната система от линейни уравнения, изключваме всички други уравнения от системата и прехвърляме всички членове, съдържащи свободни неизвестни променливи, в дясната страна на уравненията на системата с противоположни знаци. Нека дадем на свободните неизвестни променливи стойностите 1,0,0, ..., 0 и да изчислим основните неизвестни, като решим получената елементарна система от линейни уравнения по какъвто и да е начин, например по метода на Крамер. Това ще даде X (1) - първото решение на фундаменталната система. Ако дадем на свободните неизвестни стойности 0,1,0,0, ..., 0 и изчислим основните неизвестни, получаваме X (2). И т.н. Ако дадем стойностите 0,0, ..., 0,1 на свободните неизвестни променливи и изчислим основните неизвестни, получаваме X (n-r). Така ще бъде построена основната система от решения на хомогенна SLAE и нейното общо решение може да бъде записано във формата.

За нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения общото решение се представя във формата, където е общото решение на съответната хомогенна система и е частното решение на оригиналната нехомогенна SLAE, което получаваме, като даваме на свободните неизвестни стойностите ​​0,0, ..., 0 и изчисляване на стойностите на основните неизвестни.

Нека да разгледаме примери.

Пример.

Намерете основната система от решения и общото решение на хомогенната система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Рангът на основната матрица на хомогенни системи от линейни уравнения винаги е равен на ранга на разширената матрица. Нека намерим ранга на главната матрица по метода на граничните минорни. Като ненулев минор от първи ред приемаме елемента a 1 1 = 9 от основната матрица на системата. Намерете граничещ ненулев минор от втори ред:

Открита е ненулева минор от втори ред. Нека повторим по граничещите с него минорите от трети порядък в търсене на ненулева единица:

Всички граничещи минорни от трети ред са равни на нула, следователно рангът на основната и разширената матрици е равен на две. Вземете като основно непълнолетно. За по-голяма яснота отбелязваме елементите на системата, които я формират:

Третото уравнение на оригиналното SLAE не участва във формирането на основния минор, следователно може да бъде изключено:

Оставяме от дясната страна на уравненията членовете, съдържащи основните неизвестни, а от дясната страна прехвърляме членовете със свободни неизвестни:

Нека построим фундаментална система от решения на оригиналната хомогенна система от линейни уравнения. Основната система от решения на този SLAE се състои от две решения, тъй като оригиналният SLAE съдържа четири неизвестни променливи, а редът на основния му минор е два. За да намерим X (1), присвояваме на свободните неизвестни променливи стойностите x 2 = 1, x 4 = 0, след което намираме основните неизвестни от системата от уравнения
.

Линейно уравнение - уравнение от вида a x = b, където x е променлива, a и b са някои числа и a ≠ 0.

Примери за линейни уравнения:

1. 3 х = 2

1. 2 7 х = - 5

Линейни уравнения се наричат ​​не само уравнения от вида a x = b, но и всякакви уравнения, които с помощта на трансформации и опростявания се свеждат до този вид.

Как се решават уравнения, които се редуцират до вида a x = b? Достатъчно е лявата и дясната част на уравнението да се разделят на стойността a. В резултат на това получаваме отговора: x = b a.

Как да разберем дали едно произволно уравнение е линейно или не? Необходимо е да се обърне внимание на променливата, която присъства в него. Ако най-високата степен, в която стои променливата, е равна на единица, тогава такова уравнение е линейно.

За да се реши линейното уравнение , е необходимо да отворите скобите (ако има такива), да прехвърлите "x" вляво, числата вдясно и да донесете подобни термини. Получавате уравнение от вида a x = b. Решението на това линейно уравнение: x = b a.

Примери за решаване на линейни уравнения:

1. 2 x + 1 = 2 (x - 3) + 8

Това е линейно уравнение, тъй като променливата е в първа степен.

Нека се опитаме да го преобразуваме във формата a x = b:

Първо, нека разширим скобите:

2 x + 1 = 4 x - 6 + 8

Всички термини с x се прехвърлят в лявата страна, числата вдясно:

2 x - 4 x = 2 - 1

Сега нека разделим лявата и дясната страна на числото (-2):

- 2 x - 2 = 1 - 2 = - 1 2 = - 0,5

Отговор: x = - 0,5

1. х 2 - 1 = 0

Това уравнение не е линейно, тъй като най-високата степен, в която стои променливата x, е две.

1. x (x + 3) - 8 = x - 1

Това уравнение изглежда линейно на пръв поглед, но след разширяване на скобите най-високата степен става равна на две:

x 2 + 3 x - 8 = x - 1

Това уравнение не е линейно.

Специални случаи(в задача 4 на OGE не са се срещали, но е полезно да ги познавате)

Примери:

1. 2 x - 4 = 2 (x - 2)

2 x - 4 = 2 x - 4

2 x - 2 x = - 4 + 4

И как търсиш х тук, ако го няма? След извършване на трансформациите получаваме правилното равенство (идентичност), което не зависи от стойността на променливата x. Каквато и стойност на x да заместим в оригиналното уравнение, резултатът винаги е правилното равенство (идентичност). Следователно x може да бъде произволно число. Нека запишем отговора на това линейно уравнение.

Отговор: x ∈ (- ∞; + ∞)

1. 2 x - 4 = 2 (x - 8)

Това е линейно уравнение. Нека отворим скобите, преместим Xs наляво, числата вдясно:

2 x - 4 = 2 x - 16

2 x - 2 x = - 16 + 4

В резултат на трансформациите x беше намалено, но в крайна сметка получихме неправилно равенство, тъй като. Каквато и стойност на x да заместим в оригиналното уравнение, резултатът винаги ще бъде неправилно равенство. Това означава, че няма такива стойности на x, за които равенството да стане вярно. Нека запишем отговора на това линейно уравнение.

Отговор: x ∈ ∅

Квадратни уравнения

Квадратно уравнение - уравнение от вида a x 2 + b x + c = 0, където x е променлива, a, b и c са някои числа и a ≠ 0.

Алгоритъм за решаване на квадратно уравнение:

1. Разгънете скобите, преместете всички членове в лявата страна, така че уравнението да изглежда така: a x 2 + b x + c = 0
2. Напишете на какво са равни коефициентите в числа: a =… b =… c =…
3. Изчислете дискриминанта по формулата: D = b 2 - 4 a c
4. Ако D> 0, ще има два различни корена, които се намират по формулата: x 1,2 = - b ± D 2 a
5. Ако D = 0, ще има един корен, който се намира по формулата: x = - b 2 a
6. Ако Д< 0, решений нет: x ∈ ∅

Примери за решаване на квадратно уравнение:

1. - x 2 + 6 x + 7 = 0

a = - 1, b = 6, c = 7

D = b 2 - 4 a c = 6 2 - 4 ⋅ (- 1) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D> 0 - ще има два различни корена:

x 1,2 = - b ± D 2 a = - 6 ± 64 2 ⋅ (- 1) = - 6 ± 8 - 2 = [- 6 + 8 - 2 = 2 - 2 = - 1 - 6 - 8 - 2 = - 14 - 2 = 7

Отговор: x 1 = - 1, x 2 = 7

1. - x 2 + 4 x - 4 = 0

a = - 1, b = 4, c = - 4

D = b 2 - 4 a c = 4 2 - 4 ⋅ (- 1) ⋅ (- 4) = 16 - 16 = 0

D = 0 - ще има един корен:

x = - b 2 a = - 4 2 ⋅ (- 1) = - 4 - 2 = 2

Отговор: x = 2

1. 2 x 2 - 7 x + 10 = 0

a = 2, b = - 7, c = 10

D = b 2 - 4 a c = (- 7) 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 - 80 = - 31

д< 0 – решений нет.

Отговор: x ∈ ∅

Също така има непълни квадратни уравнения (това са квадратни уравнения, за които или b = 0, или c = 0, или b = c = 0). Гледайте видеото как да решавате такива квадратни уравнения!

Разлагане на квадратен трином

Квадратният трином може да бъде разложен на множители, както следва:

A x 2 + b x + c = a ⋅ (x - x 1) ⋅ (x - x 2)

където a е число, коефициент преди най-високия коефициент,

x е променлива (т.е. буква),

x 1 и x 2 са числа, корените на квадратното уравнение a x 2 + b x + c = 0, които се намират чрез дискриминанта.

Ако квадратното уравнение има само един корен, тогава разширението изглежда така:

a x 2 + b x + c = a ⋅ (x - x 0) 2

Примери за разлагане на квадратен трином:

1. - x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = - 1, x 2 = 7

- x 2 + 6 x + 7 = (- 1) ⋅ (x - (- 1)) (x - 7) = - (x + 1) (x - 7) = (x + 1) (7 - x)

1. - x 2 + 4 x - 4 = 0; ⇒ x 0 = 2

- x 2 + 4 x - 4 = (- 1) ⋅ (x - 2) 2 = - (x - 2) 2

Ако квадратният трином е непълен ((b = 0 или c = 0), тогава той може да бъде разложен на множители по следните начини:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)

• b = 0 ⇒ се прилага за разликата на квадратите.

Дробни рационални уравнения

Нека f (x) и g (x) са някои функции, зависещи от променливата x.

Дробно рационално уравнение Това е уравнение от вида f (x) g (x) = 0.

За да се реши дробно рационално уравнение, трябва да се помни какво е ODD и кога възниква.

ОДЗ- диапазонът на допустимите стойности на променливата.

В израз от вида f (x) g (x) = 0

ODZ: g (x) ≠ 0 (знаменателят на дроба не може да бъде нула).

Алгоритъм за решаване на дробно рационално уравнение:

1. Изпишете ODZ: g (x) ≠ 0.
2. Задайте числителя на дроба на нула f (x) = 0 и намерете корените.

Пример за решаване на дробно рационално уравнение:

Решете дробното рационално уравнение x 2 - 4 2 - x = 1.

Решение:

Ще действаме в съответствие с алгоритъма.

1. Намалете израза до вида f (x) g (x) = 0.

Прехвърляме един в лявата страна, записваме допълнителен фактор към него, за да приведем двата термина в един общ знаменател:

x 2 - 4 2 - x - 1 \ 2 - x = 0

x 2 - 4 2 - x - 2 - x 2 - x = 0

x 2 - 4 - (2 - x) 2 - x = 0

x 2 - 4 - 2 + x 2 - x = 0

x 2 + x - 6 2 - x = 0

Първата стъпка от алгоритъма е завършена успешно.

1. Изпишете ODZ:

Очертаваме ODZ, не забравяйте за него: x ≠ 2

1. Приравнете числителя на дроба към нула f (x) = 0 и намерете корените:

x 2 + x - 6 = 0 - Квадратно уравнение. Ние решаваме чрез дискриминанта.

a = 1, b = 1, c = - 6

D = b 2 - 4 a c = 1 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (- 6) = 1 + 24 = 25

D> 0 - ще има два различни корена.

x 1,2 = - b ± D 2 a = - 1 ± 25 2 ⋅ 1 = - 1 ± 5 2 = [- 1 + 5 2 = 4 2 = 2 - 1 - 5 2 = - 6 2 = - 3

[x 1 = 2 x 2 = - 3

1. Посочете в отговора корените от числителя, с изключение на онези корени, които попаднаха в ODZ.

Корени, получени в предишната стъпка:

[x 1 = 2 x 2 = - 3

Това означава, че в отговора има само един корен, x = - 3.

Отговор: x = - 3.

Системи от уравнения

Системата от уравнения наричаме две уравнения с две неизвестни (като правило неизвестните се означават с x и y), които се комбинират в обща система чрез фигурна скоба.

Пример за система от уравнения

(x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

Решаване на система от уравнения - намерете двойка числа x и y, които, когато се заменят в системата от уравнения, образуват правилното равенство в двете уравнения на системата.

Има два метода за решаване на системи от линейни уравнения:

1. Метод на заместване.
2. Метод на добавяне.

Алгоритъм за решаване на система от уравнения по метода на заместване:

1. Намерете останалото неизвестно.

пример:

Решаване на система от уравнения по метода на заместване

(x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

Решение:

1. Изразете една променлива от всяко уравнение през друго.

(x = 8 - 2 y 3 x - y = - 4

1. Заместете получената стойност с друго уравнение вместо изразената променлива.

(x = 8 - 2 y 3 x - y = - 4

(x = 8 - 2 y 3 (8 - 2 y) - y = - 4

1. Решете уравнение с едно неизвестно.

3 (8 - 2 г) - у = - 4

24 - 6 y - y = - 4

- 7 y = - 4 - 24

- 7 y = - 28

y = - 28 - 7 = 28 7 = 4

1. Намерете останалото неизвестно.

x = 8 - 2 y = 8 - 2 ⋅ 4 = 8 - 8 = 0

Отговорът може да бъде написан по един от трите начина:

1. x = 0, y = 4
2. (x = 0 y = 4
3. (0 ;   4)

Решаване на система от уравнения по метода на събиране.

Методът на добавяне се основава на следното свойство:

(a + c) = (b + d)

Идеята зад метода на събиране е да се отървете от една от променливите чрез добавяне на уравненията.

пример:

Решаване на система от уравнения по метода на събирането

(x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

Нека се отървем от променливата x в този пример. Същността на метода е, че в първото и второто уравнение противоположни коефициенти стоят пред променливата x. Във второто уравнение x се предхожда от коефициент 3. За да работи методът на събиране, коефициентът (- 3) трябва да е пред променливата x. За да направите това, умножете лявата и дясната страна на първото уравнение по (- 3).

Решаване на система от уравнения- това означава да намерите общи решения за всички уравнения на системата или да се уверите, че няма решение.

За да решите система от уравнения, трябва да изключите едно неизвестно, тоест от две уравнения с две неизвестни да направите едно уравнение с едно неизвестно. Има три начина за премахване на едно от неизвестните: заместване, сравнение, събиране или изваждане.

Метод на заместване

За да решите система от уравнения по метода на заместване, трябва да изразите едно неизвестно чрез другото в едно от уравненията и да замените резултата с друго уравнение, което след това ще съдържа само едно неизвестно. След това намираме стойността на това неизвестно и го заместваме в първото уравнение, след което намираме стойността на второто неизвестно.

Помислете за решението на системата от уравнения:

Решаваме полученото уравнение, за да намерим на какво е равно г... Как се решават уравнения с едно неизвестно, можете да видите в свързаната тема.

3(2 + 4г) - 2г = 16

6 + 12г - 2г = 16

6 + 10г = 16

10г = 16 - 6

10г = 10

г = 10: 10

г = 1

Ние сме го определили г= 1. Сега, за да намерите числовата стойност х, заместете стойността гв трансформираното първо уравнение, където преди това намерихме кой израз е х:

х = 2 + 4г= 2 + 4 1 = 2 + 4 = 6

Отговор: х = 6, г = 1.

Метод за сравнение

Сравнението е специален случай на заместване. За да решите система от уравнения чрез метод за сравнение, трябва да намерите в двете уравнения кой израз ще бъде равен на една и съща неизвестна и да приравните получените изрази един към друг. Полученото уравнение ви позволява да разберете значението на едно неизвестно. След това тази стойност се използва за изчисляване на стойността на второто неизвестно.

Например за системно решение:

Съставяме уравнението от получените изрази:

2 - х = 32 - 6х 2 - х + 6х = 32 - 2 5х = 30 х = 30: 5 х = 6

Сега заместваме стойността хв първото или второто уравнение на системата и намерете стойността г:

Отговор: х = 6, г = 1.

Метод на събиране или изваждане

За да решите система от уравнения по метода на събиране, трябва да направите едно от двете уравнения, като добавите лявата и дясната част, докато едно от неизвестните трябва да бъде изключено от полученото уравнение. Неизвестното може да бъде елиминирано чрез изравняване на коефициентите в двете уравнения.

Помислете за системата:

Сега добавяме и двете уравнения по части, за да получим уравнение с едно неизвестно:

Сега нека извадим второто уравнение от първото по част, за да получим уравнение с едно неизвестно:

Отговор: х = 6, г = 1.

За решаване на системата от уравнения, разгледана по-горе, беше използван методът на добавяне, който се основава на следното свойство:

Всяко уравнение в системата може да бъде заменено с уравнение, получено чрез добавяне (или изваждане) на уравненията, включени в системата. В този случай се получава система от уравнения, която има същите решения като оригиналната.