Примери за аритметична прогресия с решение 9. Записи с етикет "Аритметична прогресия за 9 клас". III. Изучаване на нов материал

За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт (акаунт) в Google и влезте: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Визуализация:

Тема

Аритметична прогресия

ПРЕДНАЗНАЧЕНИЕ :

• научат да разпознават аритметичната прогресия, използвайки нейното определение и знак;
• учат да решават задачи, използвайки дефиницията, знака, формулата на общия член на прогресията.

ЦЕЛИ НА УРОКА:

дайте определение за аритметична прогресия, докажете знак за аритметична прогресия и учете как да ги прилагате при решаване на задачи.

МЕТОД НА ПРЕПОДАВАНЕ:

Актуализация на знанията на учениците, самостоятелна работа, индивидуална работа, създаване на проблемна ситуация.

СЪВРЕМЕННИ ТЕХНОЛОГИИ:

ИКТ, проблемно обучение, диференцирано учене, здравеопазващи технологии.

ПЛАН НА УРОКА

	Етапи на урока.	Време за изпълнение.
	Организиране на времето.	2 минути
	Повторение на миналото	5 минути
	Изучаване на нов материал	15 минути
	Физическа минута	3 минути
	Изпълнение на задачи по темата	15 минути
	Домашна работа	2 минути
	Обобщавайки	3 минути

ПО ВРЕМЕ НА УРОКИТЕ:

1. В последния урок се запознахме с понятието "Последователност".

Днес ще продължим да изучаваме числови поредици, да дефинираме някои от тях, да се запознаем с техните свойства и характеристики.

1. Отговорете на въпросите: Какво е последователност?

Какви са последователностите?

Как можете да настроите последователност?

Какво е числова последователност?

Какви са начините за определяне на числова последователност знаете? Коя формула се нарича рекурсивна?

1. Дадени са числови поредици:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

Намерете модел във всяка последователност и назовете следващите три члена на всяка.

1. a n = a n -1 +1
2. a n \u003d a n -1 + 3
3. a n = a n -1 + (-2)
4. a n \u003d a n -1 + 0,5

Назовете рекурсивната формула за всяка последователност.

слайд 1

Числова последователност, чийто всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния член, добавен към същото число, се нарича аритметична прогресия.

Числото d се нарича разлика от аритметична прогресия.

Аритметичната прогресия е числова последователност, така че може да бъде нарастваща, намаляваща, постоянна. Дайте примери за такива последователности, назовете разликата на всяка прогресия, направете заключение.

Извеждаме формулата за общия член на аритметична прогресия.

На дъската: нека а 1 е първият член на прогресията, тогава d е нейната разлика

a 2 \u003d a 1 + d

a 3 \u003d (a 1 + d) + d \u003d a 1 + 2d

a 4 \u003d (a 1 + 2d) + d \u003d a 1 + 3d

a 5 \u003d (a 1 + 3d) + d \u003d a 1 + 4d

a n \u003d a 1 + d (n-1) - формулата на n-ия член на аритметичната прогресия.

Решете задачата: В аритметична прогресия първият член е 5, а разликата е 4.

Намерете 22-ия член от тази прогресия.

Ученикът решава на дъската: a n =a 1 +d(n-1)

A 22 = a 1 + 21d = 5 + 21 * 4 = 89

Fizkultminutka.

Станахме.

Ръцете на колана. Наклони наляво, надясно, (2 пъти);

Наклони напред, назад (2 пъти);

Вдигнете ръцете си нагоре, поемете дълбоко въздух, спуснете ръцете си надолу, издишайте. (2 пъти)

Те си стиснаха ръцете. Благодаря ти.

Седна. Продължаваме урока.

Решаваме задачи по прилагането на формулата на общия член на аритметична прогресия.

На учениците се дават следните задачи:

1. В аритметична прогресия първият член е -2, d=3, a n=118.

Намерете n.

1. В аритметична прогресия първият член е 7, петнадесетият член е -35. Намерете разликата.
2. Известно е, че в аритметична прогресия d=-2, a39=83. Намерете първия член на прогресията.

Учениците са разделени на групи. Задачата се дава за 5 минути. След това първите 3-ма ученици, които решиха задачите, ги решават на дъската. Разтворът се дублира върху слайдовете.

Помислете за характерните свойства на аритметичната прогресия.

В аритметична прогресия

a n -d=a (n-1)

n+d=a (n+1)

Събираме тези две равенства член по член, получаваме: 2а n=a(n+1)+a(n-1)

A n =(a (n+1) +a (n-1))/2

Това означава, че всеки член на аритметичната прогресия, с изключение на първия и последния, е равен на средноаритметичната стойност на предишния и следващите членове.

ТЕОРЕМА:

Числовата последователност е аритметична прогресия тогава и само ако всеки от нейните членове, с изключение на първия (и последния, в случай на крайна последователност), е равен на средноаритметичната стойност на предходния и следващите членове (характерно свойство на аритметична прогресия).

Разбирането на много теми от математиката и физиката е свързано с познаването на свойствата на числовите редове. Учениците в 9 клас, когато изучават предмета "Алгебра", разглеждат една от важните поредици от числа - аритметична прогресия. Нека да дадем основните формули на аритметична прогресия (9 клас), както и примери за тяхното използване за решаване на задачи.

Алгебрична или аритметична прогресия

Числовият ред, който ще бъде разгледан в тази статия, се нарича по два различни начина, представени в заглавието на този параграф. И така, аритметична прогресия в математиката се разбира като такъв числов ред, в който всякакви две числа, стоящи едно до друго, се различават с една и съща сума, която се нарича разлика. Числата в такава серия обикновено се обозначават с букви с по-нисък целочислен индекс, например a 1 , a 2 , a 3 и така нататък, където индексът показва номера на елемента от серията.

Като се има предвид горната дефиниция за аритметична прогресия, можем да запишем следното равенство: a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d, тук d е разликата на алгебричната прогресия и n е всяко цяло число. Ако d>0, тогава можем да очакваме, че всеки следващ член от редицата ще бъде по-голям от предишния, в този случай говорим за нарастваща прогресия. Ако d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

Формули за аритметична прогресия (9 клас)

Разглежданата поредица от числа, тъй като е подредена и се подчинява на определен математически закон, има две свойства, които са важни за нейното използване:

1. Първо, като знаете само две числа a 1 и d, можете да намерите всеки член на последователността. Това се прави по следната формула: a n = a 1 +(n-1)*d.
2. Второ, за да изчислите сумата от n члена на първите, не е необходимо да ги добавяте в ред, тъй като можете да използвате следната формула: S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Първата формула е лесна за разбиране, тъй като е пряко следствие от факта, че всеки член на разглежданата поредица се различава от своя съсед със същата разлика.

Втората формула на аритметична прогресия може да се получи, като се обърне внимание на факта, че сумата a 1 +a n е еквивалентна на сумите a 2 +a n-1 , a 3 +a n-2 и т.н. Всъщност, тъй като a 2 = d+a 1 , a n-2 = -2*d+an , a 3 = 2*d+a 1 и a n-1 = -d+an , след това замествайки тези изрази в съответни суми, получаваме, че те ще бъдат еднакви. Факторът n/2 във 2-ра формула (за S n) се появява поради факта, че има точно n/2 суми от тип a i+1 +a ni, тук i е цяло число в диапазона от 0 до n/2 - един.

Според оцелелите исторически свидетелства, формулата за сумата S n е получена за първи път от Карл Гаус (известният немски математик), когато му е дадена задачата от учител да събере първите 100 числа.

Примерен проблем №1: Намерете разликата

Задачите, които поставят въпроса, както следва: познаването на формулите за аритметична прогресия, как да се намери q (d), са най-простите, които могат да бъдат само за тази тема.

Ето един пример: като се има предвид числова последователност -5, -2, 1, 4, ..., е необходимо да се определи нейната разлика, тоест d.

За да направите това е също толкова лесно, колкото и черупката на круши: трябва да вземете два елемента и да извадите по-малкия от по-големия. В този случай имаме: d = -2 - (-5) = 3.

За да сте сигурни в получения отговор, се препоръчва да проверите останалите разлики, тъй като представената последователност може да не удовлетворява условието за алгебрична прогресия. Имаме: 1-(-2)=3 и 4-1=3. Тези данни показват, че получихме правилния резултат (d=3) и доказахме, че поредицата от числа в формулировката на задачата наистина е алгебрична прогресия.

Примерен проблем №2: Намерете разликата, като знаете два члена на прогресията

Помислете за друг интересен проблем, който е поставен от въпроса как да намерите разликата. Формулата за аритметичната прогресия в този случай трябва да се използва за n-ия член. И така, задачата: като се имат предвид първото и петото число от серия, която отговаря на всички свойства на алгебричната прогресия, например, това са числата a 1 = 8 и a 5 = -10. Как да намеря разликата d?

Трябва да започнете да решавате този проблем, като напишете общата форма на формулата за n-тия елемент: a n = a 1 + d * (-1 + n). Сега можете да отидете по два начина: или заменете числата веднага и вече работите с тях, или изразете d и след това отидете на конкретни 1 и 5 . Нека използваме последния метод, получаваме: a 5 = a 1 + d * (-1 + 5) или a 5 = 4 * d + a 1, от което следва, че d \u003d (a 5 -a 1 ) / 4. Сега можете спокойно да замените известните данни от условието и да получите крайния отговор: d = (-10-8)/4 = -4,5.

Имайте предвид, че в този случай разликата в прогресията се оказва отрицателна, тоест има намаляваща последователност от числа. Необходимо е да се обърне внимание на този факт при решаване на проблеми, за да не се бъркат знаците "+" и "-". Всички формули по-горе са универсални, така че винаги трябва да се следват независимо от знака на числата, с които се извършват операциите.

Пример за решаване на задача № 3: намерете a1, като знаете разликата и елемента

Нека променим малко условието на проблема. Нека има две числа: разликата d=6 и 9-ия елемент от прогресията a 9 = 10. Как да намерим a1? Формулите на аритметичната прогресия остават непроменени, ще ги използваме. За числото a 9 имаме следния израз: a 1 +d*(9-1) = a 9 . Откъдето лесно получаваме първия елемент от поредицата: a 1 = a 9 -8 * d = 10 - 8 * 6 = -38.

Пример за решаване на задача №4: намерете a1, като знаете два елемента

Тази версия на проблема е сложна версия на предишната. Същността е същата, необходимо е да се изчисли a 1 , но сега разликата d не е известна, а вместо това е даден още един елемент от прогресията.

Пример за този тип задача е следният: намерете първото число в последователност, за която е известно, че е аритметична прогресия и чиито 15-ти и 23-ти елемент са съответно 7 и 12.

Необходимо е да се реши този проблем, като се напише израз за n-тия член за всеки елемент, известен от условието, имаме: a 15 = d*(15-1)+a 1 и a 23 = d*(23- 1)+a 1 . Както можете да видите, получихме две линейни уравнения, които трябва да бъдат решени по отношение на a 1 и d. Нека направим това: извадете първото уравнение от второто уравнение, след което получаваме следния израз: a 23 -a 15 \u003d 22 * ​​d - 14 * d \u003d 8 * d. При извеждането на последното уравнение стойностите на 1 са пропуснати, тъй като се отменят при изваждане. Замествайки известните данни, намираме разликата: d = (a 23 -a 15) / 8 = (12-7) / 8 = 0,625.

Стойността на d трябва да бъде заместена във всяка формула за известен елемент, за да се получи първият член на последователността: a 15 = 14*d+a 1, откъдето: a 1 = a 15 -14*d = 7- 14*0,625 = -1,75.

Нека проверим резултата, за това намираме от 1 до втория израз: a 23 = d * 22 + a 1 или a 1 = a 23 -d * 22 = 12 - 0,625 * 22 = -1,75.

Пример за решаване на задача No 5: намерете сумата от n елемента

Както можете да видите, до този момент за решението е използвана само една формула за аритметична прогресия (Клас 9). Сега даваме задача, за чиито решения трябва да знаем втората формула, тоест за сумата S n .

Като се има предвид следната подредена серия от числа -1.1, -2.1, -3.1,..., трябва да изчислите сумата от първите 11 елемента.

От тази серия може да се види, че тя намалява, а 1 = -1,1. Разликата му е: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Сега нека дефинираме 11-ия член: a 11 = 10 * d + a 1 = -10 + (-1.1) = -11.1. След като завършите подготвителните изчисления, можете да използвате горната формула за сумата, имаме: S 11 = 11 * (-1,1 + (-11,1)) / 2 = -67,1. Тъй като всички членове са отрицателни числа, тяхната сума също има съответния знак.

Пример за решаване на задача No 6: намерете сумата от елементи от n до m

Може би този тип проблеми е най-трудният за повечето ученици. Нека да дадем типичен пример: дадена серия от числа 2, 4, 6, 8 ..., трябва да намерите сумата от 7-мия до 13-ия член.

Формули аритметична прогресия(9 клас) се използват точно както във всички задачи преди. Тази задача се препоръчва да се решава на етапи:

1. Първо намерете сбора от 13 члена, като използвате стандартната формула.
2. След това изчислете тази сума за първите 6 елемента.
3. След това извадете 2-ра от 1-вата сума.

Да стигнем до решението. Както в предишния случай, ще извършим подготвителни изчисления: a 6 = 5*d+a 1 = 10+2 = 12, a 13 = 12*d+a 1 = 24+2 = 26.

Нека изчислим две суми: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182, S 6 = 6*(2+12)/2 = 42. Вземаме разликата и получаваме желания отговор: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Обърнете внимание, че при получаване на тази стойност, сумата от 6 елемента на прогресията беше използвана като изваждане, тъй като 7-ият член е включен в сумата S 7-13 .

Числова последователност, чийто всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния, добавен със същия номер за дадената последователност, се нарича аритметична прогресия. Извиква се номерът, който се добавя към предишното число всеки път разликата в аритметична прогресияи се отбелязва с буквата д.

И така, числовата последователност a 1 ; а 2; а 3; а 4; а 5 ; ... и n ще бъде аритметична прогресия, ако a 2 = a 1 + d;

a 3 \u003d a 2 + d;

Казват, че като се има предвид аритметична прогресия с общ термин a n. Напишете: дадена аритметична прогресия (а н).

Аритметичната прогресия се счита за определена, ако първият й член е известен. а 1и разлика д.

Примери за аритметична прогресия

Пример 1един; 3; 5; 7; 9;...Тук а 1 = 1; д = 2.

Пример 2осем; 5; 2; -един; -4; -7; -10;… Ето а 1 = 8; д =-3.

Пример 3-шестнадесет; -12; -осем; -4;… Ето а 1 = -16; д = 4.

Обърнете внимание, че всеки член на прогресията, започвайки от втория, е равен на средноаритметичната стойност на членовете, съседни на него.

В 1 примервтори член 3 =(1+5): 2; тези. a 2 \u003d (a 1 + a 3) : 2; трети член 5 =(3+7): 2;

т.е. a 3 = (a 2 + a 4) : 2.

Така че формулата е валидна:

Но всъщност всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичната стойност не само на членовете, съседни на него, но и на на еднакво разстояниечленове от него, т.е.

Да се ​​обърнем пример 2. номер -1 е четвъртият член на аритметичната прогресия и е на еднакво разстояние от първия и седмия член (a 1 = 8 и 7 = -10).

Според формулата (**) имаме:

Извеждаме формулата н- th член на аритметична прогресия.

И така, получаваме втория член на аритметичната прогресия, ако добавим разликата към първия д; получаваме третия член, ако добавим разликата към втория дили добавете две разлики към първия член д; получаваме четвъртия член, ако добавим разликата към третия дили добавете три разлики към първата ди т.н.

Познахте: a 2 = a 1 + d;

a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d;

a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d;

…………………….

a n = a n-1 + d = a 1 + (n-1) d.

Получената формула a n = а 1 + (н-1) д (***)

Наречен формуланth член на аритметична прогресия.

Сега нека поговорим как да намерим сумата от първите n члена на аритметична прогресия. Нека означим тази сума като S n.

От пренареждането на местата на термините стойността на сумата няма да се промени, така че може да се запише по два начина.

S n= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n и

S n = a n + a n-1 + a n-2 + a n-3 + …...+ a 4 + a 3 + a 2 + a 1

Нека добавим тези две равенства член по член:

2Sn= (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) + …

Стойностите в скоби са равни една на друга, тъй като те са суми от еднакво разположени членове на редицата, което означава, че можем да запишем: 2S n = n (a 1 + a n).

Получаваме формулата суми от първиянчленове на аритметична прогресия.

Ако заменим a n със стойността a 1 + (n-1) d съгласно формулата (***), тогава получаваме друга формула за сумата от първата нчленове на аритметична прогресия.

Математиката има своя красота, както и живописта и поезията.

Руски учен, механик Н.Е. Жуковски

Много често срещани задачи във входните тестове по математика са задачи, свързани с понятието аритметична прогресия. За успешно решаване на подобни задачи е необходимо да се познават добре свойствата на аритметичната прогресия и да имате определени умения за тяхното прилагане.

Нека първо си припомним основните свойства на аритметичната прогресия и представим най-важните формули, свързани с това понятие.

Определение. Числова последователност, в който всеки следващ член се различава от предишния със същото число, наречена аритметична прогресия. В същото време броятсе нарича разлика в прогресията.

За аритметична прогресия формулите са валидни

, (1)

където . Формула (1) се нарича формула на общия член на аритметична прогресия, а формула (2) е основното свойство на аритметична прогресия: всеки член на прогресията съвпада със средноаритметичната стойност на съседните й членове и .

Имайте предвид, че именно поради това свойство разглежданата прогресия се нарича "аритметична".

Формулите (1) и (2) по-горе са обобщени, както следва:

(3)

За изчисляване на суматапърво членове на аритметична прогресияобикновено се използва формулата

(5) където и .

Ако вземем предвид формулата (1), тогава формула (5) предполага

Ако посочим

където . Тъй като , то формулите (7) и (8) са обобщение на съответните формули (5) и (6).

По-специално , от формула (5) следва, Какво

Сред малко познатите на повечето ученици е свойството на аритметична прогресия, формулирано посредством следната теорема.

Теорема.Ако, тогава

Доказателство.Ако, тогава

Теоремата е доказана.

Например , използвайки теоремата, може да се покаже, че

Нека да преминем към разглеждането на типични примери за решаване на задачи по темата "Аритметична прогресия".

Пример 1Нека и . Намирам .

Решение.Прилагайки формула (6), получаваме . Тъй като и , тогава или .

Пример 2Нека три пъти повече и при деление на частно се получава 2, а остатъкът е 8. Определете и.

Решение.Системата от уравнения следва от условието на примера

Тъй като , , и , то от системата от уравнения (10) получаваме

Решението на тази система от уравнения са и .

Пример 3Намерете дали и .

Решение.Съгласно формула (5) имаме или . Въпреки това, използвайки свойството (9), получаваме .

Тъй като и , След това от равенството уравнението следваили .

Пример 4Намерете ако .

Решение.По формула (5) имаме

Въпреки това, използвайки теоремата, може да се пише

От тук и от формула (11) получаваме .

Пример 5. Дадено: . Намирам .

Решение.От тогава . Въпреки това, следователно.

Пример 6Нека , и . Намирам .

Решение.Използвайки формула (9), получаваме . Следователно, ако , тогава или .

Тъй като и тогава тук имаме система от уравнения

Решавайки кое, получаваме и .

Естествен корен на уравнениетое .

Пример 7Намерете дали и .

Решение.Тъй като съгласно формула (3) имаме, че , тогава системата от уравнения следва от условието на задачата

Ако заменим изразавъв второто уравнение на системата, тогава получаваме или .

Корените на квадратното уравнение саи .

Нека разгледаме два случая.

1. Нека , тогава . Тъй като и , тогава .

В този случай, съгласно формула (6), имаме

2. Ако , тогава , и

Отговор: и.

Пример 8Известно е, че и Намирам .

Решение.Като вземем предвид формулата (5) и условието на примера, пишем и .

Това предполага системата от уравнения

Ако умножим първото уравнение на системата по 2 и след това го добавим към второто уравнение, получаваме

Съгласно формула (9) имаме. В тази връзка от (12) следваили .

Тъй като и , тогава .

Отговор: .

Пример 9Намерете дали и .

Решение.Тъй като , и по условие , тогава или .

От формула (5) е известно, Какво . От тогава .

следователно, тук имаме система от линейни уравнения

От тук получаваме и . Като вземем предвид формулата (8), пишем .

Пример 10Решете уравнението.

Решение.От даденото уравнение следва, че . Да приемем, че , , и . В такъв случай .

Съгласно формула (1) можем да напишем или .

Тъй като , уравнение (13) има уникален подходящ корен .

Пример 11.Намерете максималната стойност при условие, че и .

Решение.Тъй като , тогава разглежданата аритметична прогресия намалява. В тази връзка изразът придобива максимална стойност, когато е номерът на минималния положителен член на прогресията.

Използваме формула (1) и факта, което и . Тогава получаваме това или .

Защото , тогава или . Въпреки това, в това неравенствонай-голямо естествено число, Ето защо .

Ако стойностите и са заместени във формула (6), тогава получаваме .

Отговор: .

Пример 12.Намерете сбора от всички двуцифрени естествени числа, които, разделени на 6, имат остатък от 5.

Решение.Означаваме с множеството от всички двузначни естествени числа, т.е. . След това конструираме подмножество, състоящо се от онези елементи (числа) от множеството, които, разделени на числото 6, дават остатъка от 5.

Лесен за инсталиране, Какво . очевидно , че елементите на множествотообразуват аритметична прогресия, в което и .

За да определим мощността (броя на елементите) на множеството, приемаме, че . Тъй като и , тогава формула (1) предполага или . Като се вземе предвид формула (5), получаваме .

Горните примери за решаване на проблеми в никакъв случай не могат да претендират за изчерпателност. Тази статия е написана на базата на анализ на съвременни методи за решаване на типични задачи по дадена тема. За по-задълбочено изследване на методите за решаване на задачи, свързани с аритметичната прогресия, е препоръчително да се обърнете към списъка с препоръчителната литература.

1. Сборник със задачи по математика за кандидати в технически университети / Изд. М.И. Scanavi. - М .: Светът и образованието, 2013. - 608 с.

2. Супрун В.П. Математика за гимназисти: допълнителни раздели от училищната програма. – М.: Ленанд / URSS, 2014. - 216 с.

3. Медински М.М. Пълен курс по елементарна математика в задачи и упражнения. Книга 2: Числови поредици и прогресии. – М.: Едитус, 2015. - 208 с.

Имате ли някакви въпроси?

За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.

сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

тема: Аритметични и геометрични прогресии

клас: 9

Система за обучение: материал за подготовка на изучаването на тема по алгебра и подготвителния етап за полагане на изпит OGE

Цел: формиране на понятията за аритметична и геометрична прогресия

Задачи: научете да правите разлика между видовете прогресия, учете правилно, използвайте формули

Аритметична прогресияназовете последователност от числа (членове на прогресия)

в който всеки следващ член се различава от предишния със стоманен член, който също се нарича разлика в стъпка или прогресия.

По този начин, като зададете стъпката на прогресията и нейния първи член, можете да намерите всеки от нейните елементи с помощта на формулата

1) Всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от второто число, е средноаритметичната стойност на предишния и следващия член на прогресията

Обратното също е вярно. Ако средноаритметичната стойност на съседните нечетни (четни) членове на прогресията е равна на члена, който стои между тях, тогава тази последователност от числа е аритметична прогресия. С това твърдение е много лесно да се провери всяка последователност.

Също така чрез свойството на аритметична прогресия, горната формула може да бъде обобщена до следното

Това е лесно да се провери, ако напишем термините вдясно от знака за равенство

Често се използва на практика за опростяване на изчисленията в задачи.

2) Сумата от първите n члена на аритметична прогресия се изчислява по формулата

Запомнете добре формулата за сбора на аритметична прогресия, тя е незаменима при изчисления и е доста често срещана в прости житейски ситуации.

3) Ако трябва да намерите не цялата сума, а част от последователността, започваща от нейния k-ти член, тогава следната формула за сума ще ви бъде полезна

4) От практически интерес е намирането на сумата от n члена на аритметична прогресия, започваща от k-то число. За да направите това, използвайте формулата

Намерете четиридесетия член на аритметичната прогресия 4;7;...

Решение:

Според условието имаме

Определете стъпката на прогресиране

Според добре познатата формула намираме четиридесетия член на прогресията

Аритметичната прогресия се дава от третия и седмия член. Намерете първия член на прогресията и сбора от десет.

Решение:

Записваме дадените елементи на прогресията по формулите

Аритметична прогресия се дава от знаменателя и един от неговите членове. Намерете първия член на прогресията, сбора от неговите 50 члена, започващи от 50 и сбора от първите 100 .

Решение:

Нека напишем формулата за стотния елемент от прогресията

и намерете първия

Въз основа на първия намираме 50-ия член на прогресията

Намиране на сумата от частта от прогресията

и сумата от първите 100

Сборът на прогресията е 250. Намерете броя на членовете на аритметичната прогресия, ако:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Решение:

Записваме уравненията по отношение на първия член и стъпката на прогресията и ги дефинираме

Заместваме получените стойности във формулата за сбора, за да определим броя на членовете в сбора

Правене на опростявания

и решаване на квадратното уравнение

От двете намерени стойности само числото 8 е подходящо за състоянието на проблема. Така сборът от първите осем члена на прогресията е 111.

реши уравнението

1+3+5+...+x=307.

Решение:

Това уравнение е сбор от аритметична прогресия. Изписваме първия му член и намираме разликата в прогресията

Заместваме намерените стойности във формулата за сумата от прогресията, за да намерим броя на термините

Както в предишната задача, ние извършваме опростяване и решаваме квадратното уравнение

Изберете по-логичната от двете стойности. Имаме, че сборът от 18 члена на прогресията с дадени стойности a1=1, d=2 е равен на Sn=307.

Примери за решаване на проблеми: Аритметична прогресия

Задача 1

Студентският екип се договори за полагане на керамични плочки на пода в залата на младежкия клуб с площ от 288 м2. Натрупвайки опит, учениците всеки следващ ден, започвайки от втория, разположиха с 2 м2 повече от предишния, и имаха достатъчно плочки за точно 11 дни работа. Планирайки производителността да се увеличи по същия начин, бригадирът определи, че ще са необходими още 5 дни, за да завърши работата. Колко кутии с плочки трябва да поръча, ако 1 кутия е достатъчна за 1,2 m2 подова настилка, а за смяна на некачествени плочки са необходими 3 кутии?

Решение

От условието на задачата е ясно, че говорим за аритметична прогресия, в която нека

a1=x, Sn=288, n=16

Тогава използваме формулата: Sn= (2а1+d(n-1))*n/0.86=200mm Hg. Изкуство.

288=(2x+2*15)*16/2

Изчислете колко m2 ще разположат учениците за 11 дни: S11=(2*3+2*10)*11.2=143m 2

288-143=145м2 останали след 11 дни работа, т.е. за 5 дни

145/1,2=121(приблизително) кутии трябва да бъдат поръчани за 5 дни.

121+3=124 кутии трябва да бъдат поръчани с дефекти

Отговор: 124 кутии

Задача 2

След всяко движение на буталото на помпата за разреждане, 20% от въздуха в него се отстранява от съда. Нека определим налягането на въздуха вътре в съда след шест движения на буталото, ако първоначалното налягане е 760 mm Hg. Изкуство.

Решение

Тъй като 20% от наличния въздух се отстранява от съда след всяко движение на буталото, остава 80% от въздуха. За да разберете налягането на въздуха в съда след следващото движение на буталото, трябва да увеличите налягането на предишното движение на буталото с 0,8.

Имаме геометрична прогресия, чийто първи член е 760 и чийто знаменател е 0,8. Числото, изразяващо налягането на въздуха в съда (в mm Hg) след шест удара на буталото, е седмият член на тази прогресия. Равно на 760*0,86=200mm Hg. Изкуство.

Отговор: 200 mmHg

Дадена е аритметична прогресия, където петият и десетият член са равни съответно на 38 и 23. Намерете петнадесетия член на прогресията и сбора от първите десет члена.

Решение:

Намерете номера на члена на аритметичната прогресия 5,14,23,..., ако неговият -ти член е равен на 239.

Решение:

намирам броят на членовете на една аритметична прогресия е 9,12,15,..., ако нейната сума е 306.

Решение:

Намерете x, за който числата x-1, 2x-1, x2-5 образуват аритметична прогресия

Решение:

Намерете разликата между 1 и 2 члена на прогресията:

d=(2x-1)-(x-1)=x

Намерете разликата между 2 и 3 члена на прогресията:

d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4

Защото разликата е същата, тогава условията на прогресията могат да бъдат приравнени:

При отметка и в двата случая се получава аритметична прогресия

Отговор: при x=-1 и x=4

Аритметичната прогресия се дава от нейните трети и седми член a3=5; a7=13. Намерете първия член на прогресията и сбора от десет.

Решение:

Изваждаме първото уравнение от второто, в резултат намираме стъпката на прогресия

a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, така че d=2

Намерената стойност се замества във всяко от уравненията, за да се намери първия член на аритметичната прогресия

Изчислете сумата от първите десет члена на прогресията

S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100

Отговор: a1=1; S10=100

В аритметична прогресия, чийто първи член е -3,4 и разликата е 3, намерете петия и единадесетия член.

Значи знаем, че a1 = -3,4; d = 3. Намерете: a5, a11-.

Решение.За да намерим n-тия член на аритметичната прогресия, използваме формулата: an = a1+ (n – 1)d. Ние имаме:

a5 = a1 + (5 - 1) d = -3,4 + 4 3 = 8,6;

a11 = a1 + (11 - 1) d = -3,4 + 10 3 = 26,6.

Както можете да видите, в този случай решението не е трудно.

Дванадесетият член на аритметичната прогресия е 74, а разликата е -4. Намерете тридесет и четвъртия член на тази прогресия.

Казват ни, че a12 = 74; d = -4 и трябва да намерите a34-.

В този проблем не е възможно незабавно да се приложи формулата an = a1 + (n – 1)d, тъй като първият член a1 не е известен. Този проблем може да бъде решен в няколко стъпки.

1. Използвайки термина a12 и формулата на n-ия член, намираме a1:

a12 = a1 + (12 – 1)d, сега опростете и заменете d: a12 = a1 + 11 (-4). От това уравнение намираме a1: a1 = a12 - (-44);

Знаем дванадесетия член от условието на задачата, така че изчисляваме a1 без никакви проблеми

a1 = 74 + 44 = 118. Да преминем към втората стъпка - изчисляване на a34.

2. Отново, според формулата an = a1 + (n - 1)d, тъй като a1 вече е известно, ще определим a34-,

a34 = a1 + (34 - 1)d = 118 + 33 (-4) = 118 - 132 = -14.

Отговор: Тридесет и четвъртият член на аритметична прогресия е -14.

Както можете да видите, решението на втория пример е по-сложно. Една и съща формула се използва два пъти, за да се получи отговорът. Но всичко е толкова сложно. Разтворът може да бъде съкратен чрез използване на допълнителни формули.

Както вече беше отбелязано, ако a1 е известно в задачата, тогава е много удобно да се приложи формулата за определяне на n-ия член на аритметична прогресия. Но ако не е посочен първият член в условието, тогава на помощ може да дойде формула, която свързва n-ия член, от който се нуждаем, и члена ak, посочен в проблема.

an = ak + (n – k)d.

Нека решим втория пример, но с помощта на новата формула.

Дадено е: a12 = 74; d=-4. Намерете: a34-.

Използваме формулата an = ak + (n – k)d. В нашия случай ще бъде:

a34 = a12 + (34 - 12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74 - 88 = -14.

Отговорът в задачата беше получен много по-бързо, тъй като не беше необходимо да се извършват допълнителни действия и да се търси първият член на прогресията.

Използвайки горните формули, можете да решите задачи за изчисляване на разликата от аритметична прогресия. И така, използвайки формулата an = a1 + (n - 1)d, можем да изразим d:

d = (an - a1) / (n - 1). Проблемите с даден първи член обаче не са толкова чести и могат да бъдат решени с помощта на нашата формула an = ak + (n – k)d, от която се вижда, че d = (an – ak) / (n – к). Нека разгледаме такава задача.

Намерете разликата в аритметичната прогресия, ако е известно, че a3 = 36; a8 = 106.

Използвайки формулата, която получихме, решението на задачата може да бъде записано на един ред:

d = (a8 - a3) / (8 - 3) = (106 - 36) / 5 = 14.

Ако тази формула не беше в арсенала, решението на проблема щеше да отнеме много повече време, т.к ще трябва да реши система от две уравнения.

геометрични прогресии

1. Формула на тия член (общ член на прогресията).
2. Формулата за сбора на първите членове на прогресията:. Когато е обичайно да се говори за конвергентна геометрична прогресия; в този случай можете да изчислите сумата от цялата прогресия, като използвате формулата .
3. Формулата на "средната геометрична": ако , , са три последователни члена на геометрична прогресия, тогава по силата на дефиницията имаме връзката: или или .