Как да решим система от уравнения в едно неизвестно. Примери за системи от линейни уравнения: метод на решение. Система от две линейни уравнения в две променливи

Системите от уравнения намират широко приложение в икономическата индустрия при математическото моделиране на различни процеси. Например, при решаване на проблеми с управлението и планирането на производството, логистичните маршрути (транспортен проблем) или разполагането на оборудване.

Системите от уравнения се използват не само в областта на математиката, но и във физиката, химията и биологията, при решаване на задачи за намиране на размера на населението.

Система от линейни уравнения се наричат ​​две или повече уравнения с няколко променливи, за които е необходимо да се намери общо решение. Такава последователност от числа, за която всички уравнения стават верни равенства или доказват, че последователността не съществува.

Линейно уравнение

Уравнения от вида ax + by = c се наричат ​​линейни. Означението x, y е неизвестното, чиято стойност трябва да се намери, b, a са коефициентите на променливите, c е свободният член на уравнението.
Решението на уравнението чрез начертаване на неговата графика ще има формата на права линия, всички точки на която са решението на полинома.

Видове системи от линейни уравнения

Най-простите примери се считат за системи от линейни уравнения с две променливи X и Y.

F1 (x, y) = 0 и F2 (x, y) = 0, където F1,2 са функции и (x, y) са функционални променливи.

Решаване на система от уравнения - това означава намиране на такива стойности (x, y), при които системата се превръща в истинско равенство, или установяване, че няма подходящи стойности за x и y.

Двойка стойности (x, y), записана като координати на точка, се нарича решение на система от линейни уравнения.

Ако системите имат едно общо решение или решението не съществува, те се наричат ​​еквивалентни.

Хомогенните системи от линейни уравнения са системи, чиято дясна страна е равна на нула. Ако дясната част след знака "равно" има стойност или се изразява с функция, такава система е хетерогенна.

Броят на променливите може да бъде много повече от две, тогава трябва да говорим за пример за система от линейни уравнения с три или повече променливи.

Когато се сблъскват със системи, учениците приемат, че броят на уравненията задължително трябва да съвпада с броя на неизвестните, но това не е така. Броят на уравненията в системата не зависи от променливи; може да има толкова, колкото искате.

Прости и сложни методи за решаване на системи от уравнения

Няма общ аналитичен начин за решаване на такива системи; всички методи се основават на числени решения. Училищният курс по математика описва подробно методи като пермутация, алгебрично събиране, заместване, както и графичния и матричния метод, решението по метода на Гаус.

Основната задача в обучението по методи за решаване е да се научи как правилно да се анализира системата и да се намери оптималният алгоритъм за решение за всеки пример. Основното нещо е не да запомните системата от правила и действия за всеки метод, а да разберете принципите на прилагане на конкретен метод

Решението на примери за системи от линейни уравнения за 7. клас от общоучилищната програма е доста просто и обяснено много подробно. Във всеки учебник по математика на този раздел се отделя достатъчно внимание. Решаването на примери за системи от линейни уравнения по метода на Гаус и Крамер се изучава по-подробно в първите години на висшите учебни заведения.

Решаване на системи по метод на заместване

Действията на метода на заместването са насочени към изразяване на стойността на една променлива чрез втората. Изразът се замества в останалото уравнение, след което се свежда до форма с една променлива. Действието се повтаря в зависимост от броя на неизвестните в системата

Нека дадем решението на пример на система от линейни уравнения от 7-ми клас по метода на заместване:

Както можете да видите от примера, променливата x беше изразена чрез F (X) = 7 + Y. Полученият израз, заместен във 2-рото уравнение на системата на мястото на X, помогна да се получи една променлива Y във 2-рото уравнение . Решението на този пример не създава никакви затруднения и ви позволява да получите стойността Y. Последната стъпка е да проверите получените стойности.

Не винаги е възможно да се реши пример за система от линейни уравнения чрез заместване. Уравненията могат да бъдат сложни и изразяването на променливата по отношение на втората неизвестна ще бъде твърде тромаво за по-нататъшни изчисления. Когато в системата има повече от 3 неизвестни, решението чрез заместване също е непрактично.

Решение на пример за система от линейни нехомогенни уравнения:

Алгебрично събирателно решение

При търсене на решение на системи по метода на събиране се извършва почленно събиране и умножение на уравнения по различни числа. Крайната цел на математическите операции е уравнение в една променлива.

Този метод изисква практика и наблюдение. Не е лесно да се реши система от линейни уравнения по метода на събиране с 3 или повече променливи. Удобно е да се използва алгебрично събиране, когато в уравненията присъстват дроби и десетични числа.

Алгоритъм за действие на решението:

1. Умножете двете страни на уравнението по някакво число. В резултат на аритметичната операция един от коефициентите на променливата трябва да стане равен на 1.
2. Добавете получения израз член по член и намерете едно от неизвестните.
3. Заместете получената стойност във 2-рото уравнение на системата, за да намерите останалата променлива.

Решение чрез въвеждане на нова променлива

Може да се въведе нова променлива, ако системата трябва да намери решение за не повече от две уравнения, броят на неизвестните също трябва да бъде не повече от две.

Методът се използва за опростяване на едно от уравненията чрез въвеждане на нова променлива. Новото уравнение се решава по отношение на въведеното неизвестно и получената стойност се използва за определяне на оригиналната променлива.

Примерът показва, че чрез въвеждане на нова променлива t е било възможно да се намали 1-вото уравнение на системата до стандартен квадратичен трином. Можете да решите полинома, като намерите дискриминанта.

Необходимо е да се намери стойността на дискриминанта по добре познатата формула: D = b2 - 4 * a * c, където D е исканият дискриминант, b, a, c са факторите на полинома. В дадения пример a = 1, b = 16, c = 39, следователно D = 100. Ако дискриминантът е по-голям от нула, тогава има две решения: t = -b ± √D / 2 * a, ако дискриминантът е по-малък от нула, тогава има едно решение: x = -b / 2 * a.

Решението за получените системи се намира чрез метода на добавяне.

Визуален метод за решаване на системи

Подходящ за системи с 3 уравнения. Методът се състои в нанасяне върху координатната ос на графиките на всяко уравнение, включено в системата. Координатите на пресечните точки на кривите ще бъдат общото решение на системата.

Графичният метод има редица нюанси. Нека разгледаме няколко примера за решаване на системи от линейни уравнения по визуален начин.

Както можете да видите от примера, за всяка права линия бяха построени две точки, стойностите на променливата x бяха избрани произволно: 0 и 3. Въз основа на стойностите на x бяха намерени стойностите за y : 3 и 0. Точки с координати (0, 3) и (3, 0) бяха отбелязани на графиката и свързани с права.

Стъпките трябва да се повторят за второто уравнение. Точката на пресичане на линиите е решението на системата.

В следващия пример трябва да намерите графично решение на система от линейни уравнения: 0,5x-y + 2 = 0 и 0,5x-y-1 = 0.

Както можете да видите от примера, системата няма решение, тъй като графиките са успоредни и не се пресичат по цялата си дължина.

Системите от примери 2 и 3 са сходни, но при изграждането им става очевидно, че техните решения са различни. Трябва да се помни, че не винаги е възможно да се каже дали дадена система има решение или не, винаги е необходимо да се изгради графика.

Матрицата и нейните разновидности

Матриците се използват за кратко написване на система от линейни уравнения. Матрицата е таблица от специален вид, пълна с числа. n * m има n - редове и m - колони.

Матрицата е квадратна, когато броят на колоните и редовете е равен един на друг. Векторната матрица е матрица с една колона с безкраен брой редове. Матрица с единици по един от диагоналите и други нулеви елементи се нарича матрица за идентичност.

Обратна матрица е такава матрица, когато се умножи, по която оригиналната се превръща в идентична матрица, такава матрица съществува само за оригиналната квадратна.

Правила за преобразуване на система от уравнения в матрица

Приложено към системите от уравнения, коефициентите и свободните членове на уравненията се записват като числа на матрицата, едно уравнение е един ред от матрицата.

Редът на матрицата се нарича ненулев, ако поне един елемент от реда е различен от нула. Следователно, ако в някое от уравненията броят на променливите се различава, тогава е необходимо да се напише нула вместо липсващата неизвестна.

Колоните на матрицата трябва стриктно да съвпадат с променливите. Това означава, че коефициентите на променливата x могат да бъдат записани само в една колона, например първата, коефициентът на неизвестното y - само във втората.

При умножаване на матрица всички елементи на матрицата се умножават последователно по число.

Варианти на намиране на обратната матрица

Формулата за намиране на обратната матрица е доста проста: K -1 = 1 / | K |, където K -1 е обратната матрица и | K | е детерминантата на матрицата. | К | не трябва да е нула, тогава системата има решение.

Детерминантата се изчислява лесно за матрица две по две; просто трябва да умножите елементите на диагонала един по друг. За опцията "три по три" има формулата | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1. Можете да използвате формулата или можете да запомните, че трябва да вземете по един елемент от всеки ред и всяка колона, така че броят на колоните и редовете с елементи да не се повтарят в продукта.

Решаване на примери за системи от линейни уравнения по матричния метод

Матричният метод за намиране на решение позволява да се намалят тромавите записи при решаване на системи с голям брой променливи и уравнения.

В примера a nm са коефициентите на уравненията, матрицата е вектор, x n са променливи, а b n са свободни членове.

Гаусово решение на системите

Във висшата математика методът на Гаус се изучава заедно с метода на Крамер, а процесът на намиране на решение на системите се нарича метод на Гаус – Крамер. Тези методи се използват за намиране на променливи системи с голям брой линейни уравнения.

Методът на Гаус е много подобен на решенията за заместване и алгебрично събиране, но по-систематичен. В училищния курс решението на Гаус се използва за системи от 3 и 4 уравнения. Целта на метода е да направи системата да изглежда като обърнат трапец. Чрез алгебрични трансформации и замествания стойността на една променлива се намира в едно от уравненията на системата. Второто уравнение е израз с 2 неизвестни, но 3 и 4 - съответно с 3 и 4 променливи.

След привеждане на системата в описания вид, по-нататъшното решение се свежда до последователно заместване на известни променливи в уравненията на системата.

В училищните учебници за 7 клас пример за решение по метода на Гаус е описан, както следва:

Както можете да видите от примера, на стъпка (3) бяха получени две уравнения: 3x 3 -2x 4 = 11 и 3x 3 + 2x 4 = 7. Решението на всяко от уравненията ще ви позволи да откриете една от променливите x n.

Теорема 5, спомената в текста, гласи, че ако едно от уравненията на системата бъде заменено с еквивалентно, тогава получената система също ще бъде еквивалентна на оригиналната.

Методът на Гаус е труден за разбиране от гимназистите, но е един от най-интересните начини за развитие на интелигентността на децата в напредналите часове по математика и физика.

За по-лесно записване на изчисленията е обичайно да се прави следното:

Коефициентите на уравненията и свободните членове се записват под формата на матрица, където всеки ред от матрицата е свързан с едно от уравненията на системата. разделя лявата страна на уравнението от дясната страна. Римските цифри показват номерата на уравненията в системата.

Първо, те записват матрицата, с която да работят, след това всички действия, извършени с един от редовете. Получената матрица се записва след знака на стрелката и необходимите алгебрични действия продължават, докато се постигне резултатът.

В резултат на това трябва да се получи матрица, в която един от диагоналите е 1, а всички други коефициенти са равни на нула, тоест матрицата се привежда в един вид. Не забравяйте да направите изчисления с числата от двете страни на уравнението.

Този метод на запис е по-малко тромав и ви позволява да не се разсейвате от изброяването на множество неизвестни.

Безплатното прилагане на всяко решение ще изисква грижи и известен опит. Не всички методи са от приложно естество. Някои начини за намиране на решения са по-предпочитани в тази друга област на човешката дейност, докато други съществуват за образователни цели.

По-надежден от графичния метод, разгледан в предишния параграф.

Метод на заместване

Използвахме този метод в 7. клас за решаване на системи от линейни уравнения. Алгоритъмът, който е разработен в 7-ми клас, е доста подходящ за решаване на системи от всякакви две уравнения (не непременно линейни) с две променливи x и y (разбира се, променливите могат да бъдат обозначени с други букви, което няма значение). Всъщност ние използвахме този алгоритъм в предишния параграф, когато проблемът с двуцифрено число доведе до математически модел, който е система от уравнения. Решихме тази система от уравнения по метода на заместване по-горе (виж пример 1 от § 4).

Алгоритъм за използване на метода на заместване при решаване на система от две уравнения с две променливи x, y.

1. Изразете y през x от едно уравнение на системата.
2. Заместете получения израз вместо y в друго уравнение на системата.
3. Решете полученото уравнение за x.
4. Заместете на свой ред всеки от корените на уравнението, намерено на третата стъпка, вместо x в израза за y до x, получен на първата стъпка.
5. Запишете отговора под формата на двойки стойности (x; y), които са открити съответно на третата и четвъртата стъпка.

4) Заменете на свой ред всяка от намерените стойности на y във формулата x = 5 - 3y. Ако тогава
5) Двойки (2; 1) и решения на дадена система от уравнения.

Отговор: (2; 1);

Алгебричен метод на събиране

Този метод, както и метода на заместване, ви е познат от курса по алгебра в 7. клас, където е бил използван за решаване на системи от линейни уравнения. Нека си припомним същността на метода, като използваме следния пример.

Пример 2.Решаване на система от уравнения

Умножаваме всички членове на първото уравнение на системата по 3 и оставяме второто уравнение непроменено:
Извадете второто уравнение на системата от първото уравнение:

В резултат на алгебричното събиране на двете уравнения на оригиналната система се получава уравнение, което е по-просто от първото и второто уравнение на дадената система. С това по-просто уравнение имаме право да заменим всяко уравнение на дадена система, например второто. Тогава дадената система от уравнения ще бъде заменена с по-проста система:

Тази система може да бъде решена чрез метода на заместване. От второто уравнение намираме Замествайки този израз вместо y в първото уравнение на системата, получаваме

Остава да заменим намерените стойности на x във формулата

Ако x = 2, тогава

Така намерихме две решения на системата:

Метод за въвеждане на нови променливи

Научихте за метода за въвеждане на нова променлива при решаване на рационални уравнения в една променлива в курса по алгебра за 8. клас. Същността на този метод при решаване на системи от уравнения е същата, но от техническа гледна точка има някои характеристики, които ще обсъдим в следващите примери.

Пример 3.Решаване на система от уравнения

Нека представим нова променлива. След това първото уравнение на системата може да бъде пренаписано в по-опростен вид: Нека решим това уравнение за променливата t:

И двете от тези стойности удовлетворяват условието и следователно са корените на рационално уравнение с променлива t. Но това означава, че или откъдето намираме, че x = 2y, или
По този начин, използвайки метода за въвеждане на нова променлива, успяхме сякаш да "разцепим" първото уравнение на системата, което е доста сложно на външен вид, на две по-прости уравнения:

х = 2 у; y - 2x.

Какво следва? И тогава всяко от двете получени прости уравнения трябва да бъде разгледано на свой ред в системата с уравнението x 2 - y 2 = 3, което все още не сме запомнили. С други думи, проблемът се свежда до решаване на две системи от уравнения:

Необходимо е да се намерят решения на първата система, втората система и да се включат всички получени двойки стойности в отговора. Нека решим първата система от уравнения:

Ще използваме метода на заместване, особено след като тук всичко е готово за него: заместваме израза 2y вместо x във второто уравнение на системата. Получаваме

Тъй като x = 2y, намираме съответно x 1 = 2, x 2 = 2. Така се получават две решения на дадената система: (2; 1) и (-2; -1). Нека решим втората система от уравнения:

Нека отново използваме метода на заместване: заменете израза 2x за y във второто уравнение на системата. Получаваме

Това уравнение няма корени, което означава, че системата от уравнения също няма решения. По този начин в отговора трябва да бъдат включени само решенията на първата система.

Отговор: (2; 1); (-2; -1).

Методът за въвеждане на нови променливи при решаване на системи от две уравнения с две променливи се използва в два варианта. Първи вариант: една нова променлива се въвежда и използва само в едно уравнение на системата. Точно такъв е случаят в пример 3. Втори вариант: две нови променливи се въвеждат и използват едновременно в двете уравнения на системата. Това ще бъде случаят в пример 4.

Пример 4.Решаване на система от уравнения

Нека представим две нови променливи:

Помислете за това тогава

Това ще позволи пренаписването на дадената система в много по-проста форма, но по отношение на новите променливи a и b:

Тъй като a = 1, то от уравнението a + 6 = 2 намираме: 1 + 6 = 2; 6 = 1. По този начин за променливите a и b имаме едно решение:

Връщайки се към променливите x и y, получаваме системата от уравнения

Нека приложим метода на алгебричното събиране, за да решим тази система:

Оттогава от уравнението 2x + y = 3 намираме:
Така за променливите x и y получаваме едно решение:

Ще завършим този раздел с кратка, но доста сериозна теоретична дискусия. Вече сте натрупали известен опит в решаването на различни уравнения: линейни, квадратни, рационални, ирационални. Знаете, че основната идея на решаването на уравнение е постепенен преход от едно уравнение към друго, по-просто, но еквивалентно на даденото. В предишния раздел въведохме концепцията за еквивалентност за уравнения в две променливи. Тази концепция се използва и за системи от уравнения.

Определение.

Две системи от уравнения с променливи x и y се наричат ​​еквивалентни, ако имат еднакви решения или ако и двете системи нямат решения.

И трите метода (заместване, алгебрично събиране и въвеждане на нови променливи), които обсъдихме в този раздел, са абсолютно правилни от гледна точка на еквивалентността. С други думи, използвайки тези методи, ние заменяме една система от уравнения с друга, по-проста, но еквивалентна на оригиналната система.

Графичен метод за решаване на системи от уравнения

Вече се научихме как да решаваме системи от уравнения чрез такива общи и надеждни методи като метода на заместване, алгебрично събиране и въвеждане на нови променливи. Сега нека си припомним с вас метода, който вече изучавахте в предишния урок. Тоест, нека повторим това, което знаете за метода на графичното решение.

Методът за решаване на системи от уравнения по графичен начин е изграждането на графика за всяко от конкретните уравнения, които са включени в тази система и се намират в една и съща координатна равнина, а също и където е необходимо да се намерят пресечните точки на точки от тези графики. За решаване на тази система от уравнения са координатите на тази точка (x; y).

Трябва да се помни, че е обичайно графичната система от уравнения да има или едно правилно решение, или безкраен набор от решения, или изобщо да няма решения.

И сега нека се спрем на всяко от тези решения по-подробно. И така, системата от уравнения може да има уникално решение, ако правите линии, които са графиките на уравненията на системата, се пресичат. Ако тези прави линии са успоредни, тогава такава система от уравнения няма абсолютно никакви решения. В случай на съвпадение на директните графики на уравненията на системата, тогава такава система ви позволява да намерите набор от решения.

Е, сега нека разгледаме алгоритъма за решаване на система от две уравнения с 2 неизвестни графични метода:

Първо, в началото изграждаме графика на 1-во уравнение;
Втората стъпка е да се начертае графиката, която се отнася до второто уравнение;
Трето, трябва да намерим пресечните точки на диаграмите.
И в резултат получаваме координатите на всяка пресечна точка, която ще бъде решението на системата от уравнения.

Нека разгледаме по-отблизо този метод с пример. Дадена ни е система от уравнения, които трябва да бъдат решени:

Решаване на уравнения

1. Първо ще начертаем това уравнение: x2 + y2 = 9.

Но трябва да се отбележи, че тази графика от уравнения ще бъде кръг с център в началото и радиусът му ще бъде равен на три.

2. Следващата ни стъпка е да начертаем уравнение като: y = x - 3.

В този случай трябва да построим права и да намерим точките (0; −3) и (3; 0).

3. Да видим какво имаме. Виждаме, че правата пресича окръжността в двете й точки A и B.

Сега търсим координатите на тези точки. Виждаме, че координатите (3; 0) съответстват на точка A, а координатите (0; −3) съответстват на точка B.

И какво получаваме в крайна сметка?

Числата (3; 0) и (0; −3), получени при пресичането на права линия с окръжност, са точно решенията на двете уравнения на системата. И от това следва, че тези числа също са решения на тази система от уравнения.

Тоест отговорът на това решение са числата: (3; 0) и (0; −3).

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато оставите заявка на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да докладваме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, състезание или подобно промоционално събитие, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме тези програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Изключения:

• Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебно разпореждане, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Можем също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други социално важни причини.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на подходящата трета страна – правоприемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на ниво компания

За да сме сигурни, че вашата лична информация е безопасна, ние въвеждаме правилата за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно наблюдаваме прилагането на мерките за поверителност.

Обикновено уравненията на системата се записват в колона едно под друго и се комбинират с фигурна скоба

Система от уравнения от този вид, където а, б, в- числа и x, y- наречени променливи система от линейни уравнения.

При решаване на система от уравнения се използват свойства, които са валидни за решаване на уравнения.

Решаване на система от линейни уравнения по метод на заместване

Нека разгледаме един пример

1) Изразете променливата в едно от уравненията. Например, ние изразяваме гв първото уравнение получаваме системата:

2) Заместете във второто уравнение на системата вместо гизразяване 3x-7:

3) Решаваме полученото второ уравнение:

4) Заместваме полученото решение в първото уравнение на системата:

Системата от уравнения има уникално решение: двойка числа x = 1, y = -4... Отговор: (1; -4) , изписано в скоби, на първа позиция стойността х, На втория - г.

Решаване на система от линейни уравнения по метода на събиране

Нека решим системата от уравнения от предишния пример по метода на добавяне.

1) Преобразувайте системата така, че коефициентите за една от променливите да станат противоположни. Нека умножим първото уравнение на системата по "3".

2) Добавете уравненията на системата член по член. Второто уравнение на системата (всякакво) се пренаписва без промени.

3) Заместваме полученото решение в първото уравнение на системата:

Решаване на система от линейни уравнения графично

Графичното решение на система от уравнения с две променливи се свежда до намиране на координатите на общите точки на графиките на уравненията.

Графиката на линейна функция е права линия. Две прави в една равнина могат да се пресичат в една точка, да бъдат успоредни или да съвпадат. Съответно системата от уравнения може: а) да има еднозначно решение; б) нямат решения; в) имат безкраен брой решения.

2) Решението на системата от уравнения е точката (ако уравненията са линейни) на пресечната точка на графиките.

Графично решение на системата

Метод за въвеждане на нови променливи

Промяната на променливите може да доведе до решаване на по-проста система от уравнения от оригиналната.

Помислете за решението на системата

Тогава въвеждаме замяна

Преминаваме към оригиналните променливи

Специални случаи

Без да се решава системата от линейни уравнения, може да се определи броят на нейните решения чрез коефициентите за съответните променливи.

Съдържание на урока

Линейни уравнения в две променливи

Един ученик има 200 рубли за обяд в училище. Една торта струва 25 рубли, а чаша кафе е 10 рубли. Колко торти и чаши кафе можете да купите за 200 рубли?

Нека да обозначим броя на тортите х, и броят на чашите кафе след това г... Тогава цената на тортите ще бъде обозначена с израза 25 х, и цената на чаши кафе след 10 г .

25х -цена хсладкиши
10y -цена гчаши кафе

Общата сума трябва да бъде равна на 200 рубли. Тогава получаваме уравнение с две променливи хи г

25х+ 10г= 200

Колко корена има това уравнение?

Всичко зависи от апетита на ученика. Ако той купи 6 торти и 5 чаши кафе, тогава корените на уравнението ще бъдат 6 и 5.

Двойката стойности 6 и 5 се казва, че са корените на уравнение 25 х+ 10г= 200. Записва се като (6; 5), като първото число е стойността на променливата х, а вторият е стойността на променливата г .

6 и 5 не са единствените корени, които обръщат уравнение 25 х+ 10г= 200 за самоличност. Ако желае, студентът може да закупи 4 торти и 10 чаши кафе за същите 200 рубли:

В този случай корените на уравнение 25 х+ 10г= 200 е двойка стойности (4; 10).

Освен това студентът може изобщо да не купува кафе, а да купи торти за всичките 200 рубли. Тогава корените на уравнение 25 х+ 10г= 200 ще има стойности 8 и 0

Или обратното, не купувайте торти, а купете кафе за всичките 200 рубли. Тогава корените на уравнение 25 х+ 10г= 200 ще има стойности 0 и 20

Нека се опитаме да изброим всички възможни корени на уравнение 25 х+ 10г= 200. Нека се съгласим, че ценностите хи гпринадлежат на набор от цели числа. И нека тези стойности са по-големи или равни на нула:

х∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Така че ще бъде удобно за самия ученик. По-удобно е да купувате торти цели, отколкото например няколко цели торти и половин торта. Освен това е по-удобно да приемате кафе в цели чаши, отколкото например няколко цели чаши и половин чаша.

Имайте предвид, че за нечетно хневъзможно е да се постигне равенство по никакъв г... След това стойностите хще има следните числа 0, 2, 4, 6, 8. И знаейки хможете лесно да определите г

Така получихме следните двойки стойности (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Тези двойки са решения или корени на уравнение 25 х+ 10г= 200. Те правят това уравнение тъждество.

Уравнение на формата ax + by = cса наречени линейно уравнение в две променливи... Решението или корените на това уравнение се нарича двойка стойности ( х; г), което го прави идентичност.

Забележете също, че ако линейно уравнение в две променливи е записано във формата ax + b y = c,тогава казват, че е написано в каноничен(нормална) форма.

Някои линейни уравнения в две променливи могат да бъдат сведени до канонична форма.

Например, уравнението 2(16х+ 3y - 4) = 2(12 + 8х − г) може да се сведе до формата ax + by = c... Разширявайки скобите в двете страни на това уравнение, получаваме 32х + 6г − 8 = 24 + 16х − 2г ... Групираме членовете, съдържащи неизвестни, в лявата страна на уравнението, а членовете без неизвестни - в дясната. Тогава получаваме 32х - 16х+ 6г+ 2г = 24 + 8 ... Като имаме предвид сходни членове в двете части, получаваме уравнение 16 х+ 8г= 32. Това уравнение се свежда до вида ax + by = cи е каноничен.

Разглежданото по-рано уравнение 25 х+ 10г= 200 също е линейно уравнение с две променливи в канонична форма. В това уравнение параметрите а , би ° Сса равни на стойности съответно 25, 10 и 200.

Всъщност уравнението ax + by = cима безброй решения. Решаване на уравнението 25х+ 10г= 200, търсихме корените му само в множеството цели числа. В резултат на това бяха получени няколко двойки стойности, които направиха това уравнение идентичност. Но на набора от рационални числа уравнение 25 х+ 10г= 200 ще има безброй решения.

За да получите нови двойки стойности, трябва да вземете произволна стойност за хслед това изразете г... Например, нека вземем за променлива хстойност 7. Тогава получаваме уравнението с една променлива 25 × 7 + 10г= 200 в който можете да изразите г

Позволявам х= 15. След това уравнението 25х+ 10г= 200 ще приеме формата 25 × 15 + 10г= 200. От това откриваме, че г = −17,5

Позволявам х= −3. След това уравнението 25х+ 10г= 200 ще приеме формата 25 × (−3) + 10г= 200. От това откриваме, че г = −27,5

Система от две линейни уравнения в две променливи

За уравнението ax + by = cможете да вземете произволни стойности за хи намерете стойности за г... Взето отделно, такова уравнение ще има безброй решения.

Но също така се случва, че променливите хи гса свързани не с едно, а с две уравнения. В този случай те образуват т.нар система от линейни уравнения в две променливи... Такава система от уравнения може да има една двойка стойности (или с други думи: "едно решение").

Възможно е също така системата да няма никакви решения. Една система от линейни уравнения може да има безброй решения в редки и изключителни случаи.

Две линейни уравнения образуват система, когато стойностите хи гса включени във всяко от тези уравнения.

Нека се върнем към първото уравнение 25 х+ 10г= 200. Една от двойките стойности за това уравнение беше двойката (6; 5). Това е случай, когато можете да си купите 6 торти и 5 чаши кафе за 200 рубли.

Нека формулираме задачата така, че двойката (6; 5) да стане единственото решение на уравнение 25 х+ 10г= 200. За да направим това, ще съставим друго уравнение, което ще се отнася за същото хторти и гчаши кафе.

Нека зададем текста на проблема, както следва:

„Ученикът купи няколко торти и няколко чаши кафе за 200 рубли. Една торта струва 25 рубли, а чаша кафе е 10 рубли. Колко торти и чаши кафе е купил ученик, ако е известно, че броят на тортите е с една повече от броя на чашите кафе? "

Вече имаме първото уравнение. Това уравнение е 25 х+ 10г= 200. Сега нека направим уравнение за условието "Броят на тортите е с една повече от броя на чашите кафе" .

Броят на тортите е х, а броят на чашите кафе е г... Можете да напишете тази фраза с помощта на уравнението х - у= 1. Това уравнение би означавало, че разликата между сладкиши и кафе е 1.

x = y+ 1. Това уравнение означава, че броят на тортите е с една повече от броя на чашите кафе. Следователно, за да се получи равенство, към броя на чашите кафе се добавя една. Това може лесно да се разбере, ако използваме модела на теглата, който разгледахме при изучаването на най-простите задачи:

Получаваме две уравнения: 25 х+ 10г= 200 и x = y+ 1. Тъй като стойностите хи г, а именно 6 и 5 са ​​включени във всяко от тези уравнения, след което заедно образуват система. Нека запишем тази система. Ако уравненията образуват система, тогава те са оформени от знака на системата. Системният знак е къдрава скоба:

Нека решим тази система. Това ще ни позволи да видим как стигаме до стойности 6 и 5. Има много методи за решаване на такива системи. Нека разгледаме най-популярните.

Метод на заместване

Името на този метод говори само за себе си. Същността му е да замени едно уравнение с друго, като предварително е изразило една от променливите.

Няма нужда да изразяваме нищо в нашата система. Във второто уравнение х = г+ 1 променлива хвече изразено. Тази променлива е равна на израза г+ 1. След това можете да замените този израз в първото уравнение вместо променливата х

След заместване на израза г+ 1 в първото уравнение вместо х, получаваме уравнението 25(г+ 1) + 10г= 200 ... Това е линейно уравнение с една променлива. Това уравнение е доста лесно за решаване:

Намерихме стойността на променливата г... Сега заместваме тази стойност в едно от уравненията и намираме стойността х... За това е удобно да се използва второто уравнение х = г+ 1. В него заместваме стойността г

Това означава, че двойката (6; 5) е решение на системата от уравнения, както възнамеряваме. Проверяваме и се уверяваме, че двойката (6; 5) удовлетворява системата:

Пример 2

Заменете първото уравнение х= 2 + гвъв второто уравнение 3 х - 2г= 9. В първото уравнение променливата хе равно на 2 + г... Заместваме този израз във второто уравнение вместо х

Сега нека намерим стойността х... За да направите това, заменете стойността гв първото уравнение х= 2 + г

Така че решението на системата е стойността на двойката (5; 3)

Пример 3... Решете следната система от уравнения по метода на заместване:

Тук, за разлика от предишните примери, една от променливите не е изрично изразена.

За да замените едно уравнение с друго, първо трябва.

Желателно е да се изрази променливата, която има коефициент единица. Коефициентът едно има променлива хкоято се съдържа в първото уравнение х+ 2г= 11. Ще изразим тази променлива.

След променлив израз х, нашата система ще приеме следната форма:

Сега заместваме първото уравнение с второто и намираме стойността г

Заместител г х

Това означава, че решението на системата е двойка стойности (3; 4)

Разбира се, можете също да изразите променливата г... Корените няма да се променят от това. Но ако изразиш y,получавате не толкова просто уравнение, чието решаване ще отнеме повече време. Ще изглежда така:

Виждаме това в този пример да изразим хмного по-удобно от изразяване г .

Пример 4... Решете следната система от уравнения по метода на заместване:

Нека изразим в първото уравнение х... Тогава системата ще приеме формата:

г

Заместител гв първото уравнение и намерете х... Можете да използвате оригиналното уравнение 7 х+ 9г= 8 или използвайте уравнението, в което е изразена променливата х... Ще използваме това уравнение, както е удобно:

Следователно решението на системата е двойка стойности (5; −3)

Метод на добавяне

Методът на събиране се състои в добавяне на уравненията в системата член по член. Това добавяне води до факта, че се формира ново уравнение с една променлива. И да се реши такова уравнение е доста просто.

Нека решим следната система от уравнения:

Добавете лявата страна на първото уравнение към лявата страна на второто уравнение. И дясната страна на първото уравнение с дясната страна на второто уравнение. Получаваме следното равенство:

Ето подобни термини:

В резултат на това получихме най-простото уравнение 3 х= 27, чийто корен е 9. Знаейки стойността хможете да намерите смисъла г... Заменете стойността хвъв второто уравнение х - у= 3. Получаваме 9 - г= 3. Оттук г= 6 .

Така че решението на системата е двойка стойности (9; 6)

Пример 2

Добавете лявата страна на първото уравнение към лявата страна на второто уравнение. И дясната страна на първото уравнение с дясната страна на второто уравнение. В полученото равенство представяме подобни термини:

В резултат на това получихме най-простото уравнение 5 х= 20, чийто корен е 4. Знаейки стойността хможете да намерите смисъла г... Заменете стойността хв първото уравнение 2 х + у= 11. Получаваме 8+ г= 11. Оттук г= 3 .

Това означава, че решението на системата е двойка стойности (4; 3)

Процесът на добавяне не е подробен. Трябва да се прави в ума. Освен това и двете уравнения трябва да се сведат до канонична форма. Това е да се каже ac + by = c .

От разгледаните примери може да се види, че основната цел на добавянето на уравнения е да се отървем от една от променливите. Но не винаги е възможно незабавно да се реши системата от уравнения по метода на добавянето. Най-често системата е предварително приведена във вид, в който можете да добавите уравненията, включени в тази система.

Например системата може да бъде решен незабавно чрез метода на добавяне. При събиране на двете уравнения, членовете ги −yизчезват, защото тяхната сума е нула. В резултат на това се образува най-простото уравнение 11 х= 22, чийто корен е 2. Тогава ще бъде възможно да се определи гравно на 5.

И системата от уравнения методът на добавяне не може да бъде решен веднага, тъй като това няма да доведе до изчезването на една от променливите. Добавянето ще доведе до уравнение 8 х+ г= 28, което има безброй решения.

Ако двете страни на уравнението се умножат или разделят на едно и също число, което не е равно на нула, тогава се получава уравнение, което е еквивалентно на даденото. Това правило е вярно и за система от линейни уравнения в две променливи. Едно от уравненията (или и двете уравнения) може да се умножи по произволно число. Резултатът ще бъде еквивалентна система, чиито корени ще съвпадат с предишната.

Да се ​​върнем към първата система, която описва колко торти и чаши кафе е купил ученик. Решението на тази система беше двойка стойности (6; 5).

Нека умножим и двете уравнения в тази система по някои числа. Да кажем, че първото уравнение се умножава по 2, а второто по 3

В резултат на това получихме системата
Решението на тази система все още е двойка стойности (6; 5)

Това означава, че уравненията, включени в системата, могат да се сведат до форма, подходяща за прилагане на метода на добавяне.

Обратно към системата , което не можахме да решим с метода на добавяне.

Умножете първото уравнение по 6, а второто по −2

След това получаваме следната система:

Нека съберем уравненията, включени в тази система. Добавяне на компоненти 12 хи −12 хще доведе до 0, допълнение 18 ги 4 гще даде 22 г, а добавянето на 108 и −20 дава 88. Тогава получаваме уравнение 22 г= 88, следователно г = 4 .

Ако в началото ви е трудно да добавяте уравнения в ума си, тогава можете да запишете как лявата страна на първото уравнение се добавя към лявата страна на второто уравнение, а дясната страна на първото уравнение се добавя към дясната страната на второто уравнение:

Знаейки, че стойността на променлива ге 4, можете да намерите стойността х... Заместител гв едно от уравненията, например в първото уравнение 2 х+ 3г= 18. Тогава получаваме уравнение с една променлива 2 х+ 12 = 18. Преместете 12 от дясната страна, променете знака, получаваме 2 х= 6, следователно х = 3 .

Пример 4... Решете следната система от уравнения по метода на събиране:

Умножете второто уравнение по −1. Тогава системата ще приеме следната форма:

Нека съберем и двете уравнения. Добавяне на компоненти хи −xще доведе до 0, допълнение 5 ги 3 гще даде 8 г, а добавянето на 7 и 1 дава 8. Резултатът е уравнение 8 г= 8, чийто корен е 1. Знаейки, че стойността ге равно на 1, можете да намерите стойността х .

Заместител гв първото уравнение получаваме х+ 5 = 7, следователно х= 2

Пример 5... Решете следната система от уравнения по метода на събиране:

Желателно е термините, съдържащи едни и същи променливи, да са разположени един под друг. Следователно във второто уравнение членовете 5 ги −2 хразменете местата. В резултат на това системата ще приеме формата:

Нека умножим второто уравнение по 3. Тогава системата ще приеме вида:

Сега нека съберем и двете уравнения. В резултат на събирането получаваме уравнение 8 г= 16, чийто корен е 2.

Заместител гв първото уравнение получаваме 6 х- 14 = 40. Преместете члена −14 надясно, като промените знака, получаваме 6 х= 54. Оттук х= 9.

Пример 6... Решете следната система от уравнения по метода на събиране:

Да се ​​отървем от дробите. Умножете първото уравнение по 36, а второто по 12

В получената система първото уравнение може да се умножи по −5, а второто по 8

Нека съберем уравненията в получената система. Тогава получаваме най-простото уравнение −13 г= −156. Оттук г= 12. Заместител гв първото уравнение и намерете х

Пример 7... Решете следната система от уравнения по метода на събиране:

Нека приведем и двете уравнения в нормална форма. Тук е удобно да се приложи правилото за пропорция и в двете уравнения. Ако в първото уравнение дясната страна е представена като, а дясната страна на второто уравнение като, тогава системата ще приеме формата:

Имаме пропорцията. Нека умножим крайния и средния му член. Тогава системата ще приеме формата:

Умножаваме първото уравнение по −3, а във второто разширяваме скобите:

Сега нека съберем и двете уравнения. В резултат на добавянето на тези уравнения получаваме равенство, в двете части на което ще има нула:

Оказва се, че системата има безброй решения.

Но не можем просто да вземем от небето произволни стойности за хи г... Можем да посочим една от стойностите, а другата ще бъде определена в зависимост от стойността, която сме посочили. Например, нека х= 2. Нека заместим тази стойност в системата:

В резултат на решаването на едно от уравненията стойността за гкоето ще удовлетвори и двете уравнения:

Получената двойка стойности (2; −2) ще удовлетвори системата:

Нека намерим друга двойка стойности. Позволявам х= 4. Заменете тази стойност в системата:

На око можете да определите, че стойността ге равно на нула. След това получаваме двойка стойности (4; 0), която удовлетворява нашата система:

Пример 8... Решете следната система от уравнения по метода на събиране:

Умножете първото уравнение по 6, а второто по 12

Нека пренапишем това, което е останало:

Умножете първото уравнение по −1. Тогава системата ще приеме формата:

Сега нека съберем и двете уравнения. В резултат на събирането се образува уравнението 6 б= 48, чийто корен е 8. Заместител бв първото уравнение и намерете а

Система от линейни уравнения в три променливи

Линейно уравнение с три променливи включва три променливи с коефициенти, както и пресечна точка. В каноничната си форма може да се запише, както следва:

ax + by + cz = d

Това уравнение има безброй решения. Като се дадат различни значения на две променливи, може да се намери трето значение. Решението в този случай е три стойности ( х; y; z), което превръща уравнението в тъждество.

Ако променливите x, y, zса свързани с три уравнения, тогава се формира система от три линейни уравнения с три променливи. За да решите такава система, можете да приложите същите методи, които се прилагат към линейни уравнения с две променливи: метода на заместване и метода на добавяне.

Пример 1... Решете следната система от уравнения по метода на заместване:

Нека изразим в третото уравнение х... Тогава системата ще приеме формата:

Сега нека направим замяната. Променлива хравно на изразяване 3 − 2г − 2z ... Заменете този израз в първото и второто уравнение:

Нека отворим скобите и в двете уравнения и да дадем подобни термини:

Стигнахме до система от линейни уравнения в две променливи. В този случай е удобно да използвате метода на добавяне. В резултат на това променливата гще изчезне и можем да намерим стойността на променливата z

Сега нека намерим стойността г... За това е удобно да използвате уравнението - г+ z= 4. Заместете в него стойността z

Сега нека намерим стойността х... За това е удобно да използвате уравнението х= 3 − 2г − 2z ... Нека заменим в него стойностите ги z

По този начин тройката стойности (3; −2; 2) е решение на нашата система. Чрез проверка се уверяваме, че тези стойности удовлетворяват системата:

Пример 2... Решете системата с помощта на метода на добавяне

Добавете първото уравнение към второто, умножено по −2.

Ако второто уравнение се умножи по −2, то приема формата −6х+ 6y - 4z = −4 ... Сега го добавете към първото уравнение:

Виждаме, че в резултат на елементарни трансформации се определя стойността на променливата х... То е равно на единица.

Да се ​​върнем към основната система. Добавете второто уравнение към третото, умножено по −1. Ако третото уравнение се умножи по −1, то приема формата −4х + 5г − 2z = −1 ... Сега го добавете към второто уравнение:

Получихме уравнението х - 2г= −1. Нека заменим в него стойността хкоито открихме по-рано. След това можем да определим стойността г

Вече знаем стойностите хи г... Това ви позволява да определите стойността z... Нека използваме едно от уравненията, включени в системата:

По този начин триплетът от стойности (1; 1; 1) е решението на нашата система. Чрез проверка се уверяваме, че тези стойности удовлетворяват системата:

Задачи за съставяне на системи от линейни уравнения

Проблемът за съставянето на системи от уравнения се решава чрез въвеждане на няколко променливи. След това се съставят уравнения въз основа на условията на задачата. Те образуват система от уравненията и я решават. След като решите системата, е необходимо да се провери дали нейното решение отговаря на условията на проблема.

Проблем 1... Кола "Волга" тръгна от града за колхоза. Тя се върна обратно по друг път, който беше с 5 км по-къс от първия. Общо колата е изминала 35 км в двете посоки. Колко километра е всеки път?

Решение

Позволявам х -дължината на първия път, г- дължината на втория. Ако колата измина 35 км до двата края, тогава първото уравнение може да се запише като х+ г= 35. Това уравнение описва сумата от дължините на двата пътя.

Говори се, че колата се върнала обратно по пътя, който бил с 5 км по-къс от първия. Тогава второто уравнение може да се запише като х− г= 5. Това уравнение показва, че разликата между дължините на пътищата е 5 km.

Или второто уравнение може да се запише като х= г+ 5. Ще използваме това уравнение.

Тъй като променливите хи ги в двете уравнения означават едно и също число, тогава можем да образуваме система от тях:

Нека решим тази система, като използваме някои от предварително проучените методи. В този случай е удобно да се използва методът на заместване, тъй като във второто уравнение променливата хвече изразено.

Заместете второто уравнение с първото и намерете г

Заменете намерената стойност гвъв второто уравнение х= г+ 5 и намерете х

Дължината на първия път беше обозначена с променливата х... Сега открихме значението му. Променлива хе равно на 20. Значи дължината на първия път е 20 км.

А дължината на втория път беше обозначена с г... Стойността на тази променлива е 15. Значи дължината на втория път е 15 км.

Да проверим. Първо, нека се уверим, че системата е решена правилно:

Сега нека проверим дали решението (20; 15) удовлетворява условията на задачата.

Говореше се, че колата е изминала 35 км в двете посоки. Добавете дължините на двата пътя и се уверете, че решението (20; 15) удовлетворява това условие: 20 км + 15 км = 35 км

Следващото условие: назад колата се връщаше по друг път, който беше с 5 км по-къс от първия ... Виждаме, че решението (20; 15) също удовлетворява това условие, тъй като 15 km е по-късо от 20 km с 5 km: 20 км - 15 км = 5 км

При компилиране на система е важно променливите да означават едни и същи числа във всички уравнения, включени в тази система.

Така че нашата система съдържа две уравнения. Тези уравнения от своя страна съдържат променливите хи г, които представляват едни и същи числа в двете уравнения, а именно дължини на пътищата, равни на 20 km и 15 km.

Задача 2... На платформата бяха натоварени траверси от дъб и бор, общо 300 бр. Известно е, че всички дъбови траверси тежат с 1 тон по-малко от всички борови траверси. Определете колко дъбови и борови траверси са били поотделно, ако всеки дъбов траверс тежи 46 кг, а всеки боров траверс 28 кг.

Решение

Позволявам хдъб и гборови траверси бяха натоварени на платформата. Ако имаше общо 300 траверси, тогава първото уравнение може да се запише като х + у = 300 .

Всички дъбови траверси тежат 46 хкг, а борът тежи 28 гкилограма. Тъй като дъбовите траверси тежат с 1 тон по-малко от боровите траверси, второто уравнение може да се запише като 28y - 46х= 1000 ... Това уравнение показва, че разликата в масата между дъбови и борови траверси е 1000 кг.

Тоновете са превърнати в килограми, тъй като теглото на дъбовите и боровите траверси се измерва в килограми.

В резултат на това получаваме две уравнения, които образуват системата

Нека решим тази система. Нека изразим в първото уравнение х... Тогава системата ще приеме формата:

Заменете първото уравнение с второто и намерете г

Заместител гв уравнението х= 300 − ги разберете какво е равно х

Това означава, че на платформата са натоварени 100 дъбови и 200 борови траверси.

Нека проверим дали решението (100; 200) удовлетворява условията на задачата. Първо, нека се уверим, че системата е решена правилно:

Говореше се, че има общо 300 спални. Съберете броя на траверсите от дъб и бор и се уверете, че решението (100; 200) удовлетворява това условие: 100 + 200 = 300.

Следващото условие: всички дъбови траверси тежат с 1 тон по-малко от всички борови траверси ... Виждаме, че решението (100; 200) също удовлетворява това условие, тъй като 46 × 100 kg дъбови траверси са по-леки от 28 × 200 kg борови траверси: 5600 кг - 4600 кг = 1000 кг.

Проблем 3... Взети са три парчета медно-никелова сплав в тегловни съотношения 2: 1, 3: 1 и 5: 1. От тях се разтопява парче с тегло 12 кг със съотношение на мед и никел 4: 1. Намерете масата на всяко оригинално парче, ако масата на първото е два пъти по-голяма от масата на второто.