Как да докажем сумата на ъглите на триъгълника. Сумата на ъглите на триъгълника. Пълни уроци - хипермаркет за знания

Предварителна информация

Първоначално помислете директно понятието за триъгълник.

Определение 1.

Триъгълникът ще се нарича геометрична форма, която е съставена от три точки, свързани с сегменти (фиг. 1).

Определение 2.

Точките в рамките на дефиницията 1 ще бъдат наречени върховете на триъгълника.

Определение 3.

Сегменти в рамките на определението 1 ще бъдат наречени страните на триъгълника.

Очевидно всеки триъгълник ще има 3 върха, както и три страни.

Теорема на сумата на ъглите в триъгълника

Въвеменяваме и доказваме една от основните теореми, свързани с триъгълниците, а именно теоремата за количеството ъгли в триъгълника.

Теорема 1.

Сумата от ъглите в произволен триъгълник е $ 180 ^ \\ t

Доказателства.

Помислете за $ egf $ триъгълник. Доказваме, че сумата на ъглите в този триъгълник е равна на $ 180 ^ cir $. Ще направим допълнителна конструкция: ще прекараме директно $ xy || например $ (фиг. 2)

Тъй като правите $ xy $ и $, например $ паралелно, след това $ ∠e \u003d ∠ffe $, тъй като лъжите са подлежали под участъка от $ fe $, и $ ∠g \u003d ∠yfg $ като приблизителен под последователни $ fg $ $

Следователно ъгълът $ xfy $ ще бъде разгърнат, следователно се равнява на $ 180 ^ cirs $.

$ ∠xfy \u003d ∠xfe + ∠f + ∠yfg \u003d 180 ^ \\ t

Следователно

$ ∠e + ∠f + ∠g \u003d 180 ^ \\ t

Теорема се доказва.

Теорема на външния триъгълник

Друга теорема на ъглите за триъгълника може да се счита за външна теорема. За да започнем, въвеждаме тази концепция.

Определение 4.

Външният ъгъл на триъгълника ще се нарича такъв ъгъл, който ще бъде съседен с всеки триъгълник (фиг. 3).

Помислете сега пряко теорема.

Теорема 2.

Външният ъгъл на триъгълника е равен на сумата от два ъгъла на триъгълника, които не са в непосредствена близост.

Доказателства.

Помислете за произволен триъгълник $ efg $. Нека да има външен ъгъл на $ fgq $ триъгълник (фиг. 3).

От теорема 1, ние ще имаме това $ ∠e + ∠f + ∠g \u003d 180 ^ cirs $, следователно,

$ ∠g \u003d 180 ^ \\ t Цип- (∠ + ∠f) $

От ъгъла $ fgq $ външен, след това се регулира с ъгъл от $ ∠g $ тогава

$ ∠fgq \u003d 180 ^ cir-∠g \u003d 180 ^ \\ t Цип-180 ^ \\ t

Теорема се доказва.

Примерна задача

Пример 1.

Намерете всички ъгли на триъгълника, ако е равномерно.

Тъй като равностранен триъгълник е равен на равностранения триъгълник, тогава ще имаме, че всички ъгли в нея също са равни един на друг. Означават мерките си за степен чрез $ α $.

След това, според теорема 1 ще получим

$ α + α + α \u003d 180 ^ \\ t

Отговор: Всички ъгли са равни на $ 60 ^ \\ t

Пример 2.

Намерете всички ъгли на равновесния триъгълник, ако един от ъгъла му е равен на $ 100 ^ \\ t

Въвеждаме следните признаци на ъгли в еднакво окован триъгълник:

Тъй като не сме дадени в състоянието, кой ъгъл е $ 100 ^ cir $, тогава са възможни два случая:

Ъгъл, равен на $ 100 ^ цис $ е ъгъл в основата на триъгълника.

От теоремата на ъглите в основата на уравнителен триъгълник, получаваме

$ ∠2 \u003d ∠3 \u003d 100 ^ \\ t

Но тогава само тяхната сума ще бъде повече от $ 180 ^ цис $, което противоречи на състоянието на теорема 1. Така че този случай няма мястото.

Ъгъл, равен на $ 100 ^ цирк $ е ъгълът между равни партии, т.е.

Триъгълникът е многоъгълник с три страни (три ъгъл). Най-често страните са обозначени с малки букви, съответстващи на главните букви, които показват противоположните върхове. В тази статия ще се запознаем с възгледите на тези геометрични фигури, теорема, която определя каква е сумата на ъглите на триъгълника.

Видове ъгли

Разграничават се следните видове многоъгълници с три върха:

• остра дело, в която всички ъгли са остри;
• правоъгълна, с един прав ъгъл, с неговите състави, се наричат \u200b\u200bкатегории, а страната, която е поставена противоположна на директен ъгъл, се нарича хипотенуза;
• глупав, когато един;
• неудобства, в които две страни са равни, и те се наричат \u200b\u200bстрана, а третата - основата на триъгълника;
• еднакво, имайки трите равни страни.



Имоти

Разпределят основните свойства, които са характерни за всеки вид триъгълник:

• напротив, повечето страни винаги са по-голям ъгъл и обратно;
• напротив, равните ъгли са равни по дяволите на страните и обратно;
• всеки триъгълник има два остри ъгли;
• външен ъгъл повече в сравнение с всеки вътрешен ъгъл, който не е свързан с него;
• количеството на всеки два ъгъла е винаги по-малко от 180 градуса;
• външният ъгъл е равен на сумата от другите два ъгъла, които не се преплитат с нея.

Теорема на сумата на ъглите на триъгълника

Теоремът твърди, че ако добавите всички ъгли на дадена геометрична форма, която се намира на евклидовата равнина, тогава тяхното количество ще бъде 180 градуса. Нека се опитаме да докажем тази теорема.

Нека имаме произволен триъгълник с върховете на CMN.



Чрез върха, КН ще носи (все още се нарича пряко Euclidea direct). Тя ще отбележи точката и по този начин точката k и a се намира от различни страни на права линия. Получаваме равни ъгли на AMN и KNM, които, като вътрешни, лежат в най-близкия и са оформени от последователния MN, заедно с директни CN и MA, които са успоредни. От това следва, че сумата на ъглите на триъгълника, разположен в върховете на m и h, е равен на размера на ъгъла на CMA. И трите ъгъла представляват количеството, което е равно на количеството на ъглите на CMA и MCN. Тъй като тези ъгли са вътрешни едностранти спрямо паралелната директна Цнения и УО с последователен cm, тяхното количество е 180 градуса. Теорема се доказва.

Следствие

От гореизложеното теоремата следва следната последица: всеки триъгълник има два остри ъгли. Да се \u200b\u200bдокаже, да приемем, че тази геометрична фигура има само един остър ъгъл. Може да се предположи, че никой от ъглите не е остър. В този случай трябва да има поне два ъгъл, чиято величина е равна на или повече от 90 градуса. Но тогава сумата на ъглите ще бъде по-голяма от 180 градуса. И това не може да бъде, защото според теоремата сумата на ъглите на триъгълника е 180 ° - не повече и не по-малко. Това е необходимо, за да се докаже.

Собственост на външни ъгли

Каква е сумата на ъглите на триъгълника, които са външни? Отговорът на този въпрос може да бъде получен чрез прилагане на един от двата начина. Първото е, че е необходимо да се намери количеството на ъглите, които се приемат по един във всеки връх, т.е. три ъгъла. Втората предполага, че трябва да намерите сумата от всичките шест ъгъла на върховете. За да започнем, ще се справим с първия вариант. Така че триъгълникът съдържа шест външни ъгли - с всеки връх два.



Всяка двойка има равни ъгли, тъй като те са вертикални:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Освен това е известно, че външният ъгъл в триъгълника е равен на сумата на двата вътрешни, които не се преплитат с нея. Следователно,

∟1 \u003d ∟ + ∟с, ∟2 \u003d ∟a + ∟v, ∟3 \u003d ∟в + ∟с.

Оказва се, че количеството външни ъгли, които са взети един по един върхове, ще бъдат равни на:

∟1 + ∟2 + ∟3 \u003d ∟a + ∟с + ∟a + ∟v + ∟v + ∟с \u003d 2 x (∟ + ∟v + ∟с).

Като се вземе предвид фактът, че количеството на ъглите е равно на 180 градуса, може да се твърди, че ∟ + ∟V + ∟C \u003d 180 °. Това означава, че ∟1 + ∟2 + ∟3 \u003d 2 x 180 ° \u003d 360 °. Ако се използва втората опция, сумата от шест ъгъла ще бъде съответно повече от два пъти. Това означава, че сумата на външните ъгли на триъгълника ще бъде:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 \u003d 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) \u003d 720 °.

Право триъгълник

Каква е сумата на ъглите на правоъгълния триъгълник, които са остър? Отговорът на този въпрос отново следва от теоремата, която твърди, че ъглите в триъгълника в сумата са 180 градуса. И нашето изявление (собственост) звучи така: в правоъгълен триъгълник, остри ъгли в количеството дава 90 градуса. Доказвам истинността му.



Нека ни дадем триъгълник на kmn, чийто \u003d 90 °. Необходимо е да се докаже, че ∟k + ∟m \u003d 90 °.

Така че, според теоремата на сумата на ъглите на ∟k + ∟m + ∟n \u003d 180 °. В нашето състояние се казва, че ∟n \u003d 90 °. Така се оказва, ∟k + ∟m + 90 ° \u003d 180 °. Това означава, ∟k + ∟m \u003d 180 ° - 90 ° \u003d 90 °. Това е, което трябва да докажем.

В допълнение към горните свойства на правоъгълния триъгълник, можете да добавите към следното:

• ъглите, които лежат срещу катетите, са остри;
• триъгълно хипотенуза е повече от някой от катедрите;
• количеството на катетите е по-хипотенуза;
• кататът на триъгълника, който се намира срещу ъгъла от 30 градуса, е два пъти по-малко хипотензи, т.е. равен на половината й.

Като друго свойство на тази геометрична форма можете да изберете теоремата Pythagora. Той твърди, че в триъгълник с ъгъл от 90 градуса (правоъгълна) сумата на квадратите на катерите е равна на квадрата на хипотенузата.

Сумата на ъглите на повишен триъгълник

По-рано казахме, че полигонът с три върха, съдържащ две равни страни, е еднакво извикан. Това свойство на тази геометрична форма е известно: ъглите в основата му са равни. Доказваме го.

Вземете триъгълника на кмн, който е еднакво съкратена, книгата е нейната основа.



Трябва да докажем, че ∟k \u003d ∟ Така че, да кажем, че УО е бисейк на нашия триъгълник на км. Триъгълникът на ICA, като се има предвид първият признак за равенство, е равен на триъгълника на МНК. Именно, според състоянието, се дава, че km \u003d nm, m е обща партия, ∟1 \u003d ∟2, тъй като Ma е бисектор. Използвайки факта на равенството на тези два триъгълника, тя може да се твърди, че ∟k \u003d ∟. Така че теоремата е доказана.

Но ние се интересуваме от това, което сумата на ъглите на триъгълника (е уравнена). Тъй като в това отношение той няма свой собствен черти, ще бъде отблъснат от теоремата, обсъждана по-рано. Това означава, че можем да твърдим, че ∟k + ∟m + ∟n \u003d 180 °, или 2 x ∟k + ∟m \u003d 180 ° (тъй като ∟k \u003d ∟N). Няма да докажем този имот, защото теоремата на сумата на ъглите на триъгълника е доказана по-рано.

В допълнение към свойствата на триъгълните ъгли, има и такива важни твърдения:

• който е пропуснат за базата, е едновременно среден, бисектор ъгъл, който е между равни партита, както и неговата база;
• медиани (бисектор, височини), които са били извършени от двете страни на такава геометрична форма, са равни.

Равностранен триъгълник

Също така се нарича правилно, това е триъгълник, който всички страни са равни. И следователно ъглите също са равни. Всеки от тях е 60 градуса. Доказваме този имот.

Да предположим, че имаме кмн триъгълник. Ние знаем, че km \u003d nm \u003d kN. И това означава, че според имота на ъглите, разположени в основата в равновесен триъгълник, ∟k \u003d ∟m \u003d ∟. Тъй като според теоремата, сумата на ъглите на триъгълника е ∟k + ∟m + ∟n \u003d 180 °, след това 3 x ∟k \u003d 180 ° или ∟k \u003d 60 °, ∟m \u003d 60 °, ∟N \u003d 60 °. По този начин се доказва одобрението.



Както може да се види от горното доказателство въз основа на теоремата, сумата на ъглите, тъй като сумата на ъглите на всеки друг триъгълник е 180 градуса. Да докаже тази теорема, която трябва да бъде необходима.

Все още има такива свойства, характерни за равностранен триъгълник:

• медиана, бисектор, височина в такава геометрична фигура съвпада и тяхната дължина се изчисляват като (и X √3): 2;
• ако опишете около този кръгъл кръг, неговият радиус ще бъде равен на (и X √3): 3;
• за да влезе в кръг в равностранен триъгълник, неговият радиус ще бъде (a x √3): 6;
• площта на тази геометрична форма се изчислява по формулата: (A2 X √3): 4.

Глупав триъгълник

Според дефиницията един от нейните ъгли е между 90 до 180 градуса. Но като се има предвид факта, че другият ъгъл на тази геометрична форма е остър, може да се заключи, че те не надвишават 90 градуса. Следователно теорема на сумата на ъглите на триъгълника работи при изчисляване на количеството на ъглите в глупавия триъгълник. Оказва се, че можем спокойно да твърдим, разчитайки на гореспоменатия теорема, че сумата на ъглите на глупавия триъгълник е 180 градуса. Отново, тази теорема не се нуждае от повторно доказателство.

Теорема на сумата на вътрешните ъгли на триъгълника

Сумата от ъглите на триъгълника е 180 °.

Доказателство:

• Дан триъгълник ABC.
• Чрез върхове B ще прекараме директен DK успоредно на основния AC.
• Ъгълът cbk \u003d ъгъл С като вътрешен по-близо под паралелния DK и AC и за закрепване на пр. Хр.
• Ъгъл DBA \u003d ъгълът е вътрешен по-близо до DK паралелния AC и обезопасяването на AB. DBK ъгъл се разгръща и равен
• Ъгъл dbk \u003d ъгъл DBA + ъгъл b + anle cbk
• Тъй като подробен ъгъл е 180 ^ cir, angle cbk \u003d angle c и ъгъл dba \u003d ъгъл А, получавам 180 ^ cirm \u003d ъгъл A + ъгъл B + angle c.

Теорема е доказана

Последиците от теоремата върху сумата на ъглите на триъгълника:

1. Сумата от острите ъгли на правоъгълния триъгълник е равна на 90 °..
2. В равновесен правоъгълен триъгълник всеки остър ъгъл е равен 45 °..
3. В равностранения триъгълник всеки ъгъл е равен 60 °..
4. Във всеки триъгълник, и всички ъгли са остри, или два ъгъла са остри, а третата е глупава или права.
5. Външният ъгъл на триъгълника е равен на сумата от два вътрешни ъгли, които не са свързани с нея.

Теорема на външния триъгълник

Външният ъгъл на триъгълника е равен на сумата от останалите триъгълни ъгли, а не в непосредствена близост до този външен ъгъл.

Доказателство:



• Дан триъгълник ABC, където ALD е външен ъгъл.
• Ъгъл Bac + Ъгъл ABC + Ъгъл BCA \u003d 180 ^ 0
• От равен ъгъл Ъгъл BCD + Ъгъл BCA \u003d 180 ^ 0
• Получаване Ъгъл BCD \u003d Ъгъл Bac + Ъгъл ABC.

Цели и задачи:

Образование:

• повторете и обобщете знанието на триъгълника;
• докаже теорема за сумата на ъглите на триъгълника;
• на практика да бъдат убедени от верността на формулировката на теоремата;
• научете се да прилагате знанията, придобити при решаване на задачи.

Разработване:

• разработване на геометрично мислене, интерес към темата, когнитивната и творческата дейност на учениците, математическата реч, способността за самостоятелно получават знания.

Образование:

• развиват личните качества на учениците, като целенасоченост, постоянство, точност, способност за работа в екипа.

Оборудване: Мултимедиен проектор, триъгълници от цветна хартия, CMC "Live Mathematics", компютър, екрана.

Подготвителен етап: Учителят дава задачата на ученика да подготви исторически сертификат за теоремата "сумата на ъглите на триъгълните ъгли".

Вид на урока: Изучаване на нов материал.

По време на класовете

I. Организационен момент

Поздрав. Психологическо отношение на учениците да работят.

II. Тренировка

С геометрична фигура "триъгълник" се срещнахме по предишни уроци. Да повторим какво знаем за триъгълника?

Учениците работят в групи. На тях им се дава възможност да общуват помежду си, всеки независимо изгради процеса на знание.

Какво стана? Всяка група изразява своите предложения, учителят ги пише на борда. Обсъждането на резултатите се извършва:

Снимка 1.

III. Ние формулираме задачата на урока

Така че, за триъгълника знаем доста много. Но не всички. Всеки от вас на бюрото има триъгълници и транспорт. Какво мислите, каква задача можем да формулираме?

Учениците формулират задачата на урока - да намерят сумата на ъглите на триъгълника.

IV. Обяснение на новия материал

Практическа част(допринася за актуализирането на знанията и уменията на знанието). Гледайте измерванията на ъглите, като използвате транспорта и ги намерите. Резултати Запис в бележника (чуйте получените отговори). Разбираме, че сумата на ъглите на всички се оказа, че е различна (тя може да се окаже, защото неточно поставянето на транспорта, небрежно извършено преброяване и т.н.).

Извършване на пунктирани линии и разберете какво все още е равно на сумата на триъгълните ъгли:

но)
Фигура 2.

б)
Фигура 3.

в)
Фигура 4.

д)
Фигура 5.

д)
Фигура 6.

След извършване на практическа работа, учениците формулират отговора: сумата на ъглите на триъгълника е равна на степен на разширен ъгъл, т.е. 180 °.

Учител: По математика практическата работа прави възможно само да се направи известно одобрение, но трябва да се докаже. Одобрението, правосъдието, което е установено с доказателства, се нарича теорема. Коя теорема можем да формулираме и докажем?

Ученици: Сумата на ъглите на триъгълника е 180 градуса.

Историческа справка:Имотът на ъглите на триъгълника е създаден в Древен Египет. Доказателството, посочено в съвременните учебници, се съдържа в коментарите на свързването към "началото на" евклидея. Границата твърди, че това доказателство (фиг. 8) е отворено от питагорейците (5 V. пр. Хр. Д.). Първата книга "началото" Евклид определя друго доказателство за теоремата на сумата на ъглите на триъгълника, което е лесно да се разбере с помощта на чертежа (фиг. 7):


Фигура 7.


Фигура 8.

Чертежите се маркират на екрана през проектора.

Учителят предлага да се докаже теорема с помощта на рисунки.

Тогава доказателството се извършва с помощта на UMC "Live Mathematics". Учителят на компютъра проектира доказателство за теоремата.

Теоремата на сумата на ъглите на триъгълника: "Сумата на ъглите на триъгълника е 180 °"


Фигура 9.

Доказателство:

но)

Фигура 10.

б)

Фигура 11.

в)

Фигура 12.

Учениците в тетрадката правят кратък запис на доказателството за теорема:

Теорема: Сумата от ъглите на триъгълника е 180 °.


Фигура 13.

Дадено:Δ ABS.

Докажи A + B + C \u003d 180 °.

Доказателство:

Какво е необходимо да се докаже.

V. Физически. Минута.

VI. Обяснение на новия материал (продължение)

Последствията от теоремата на сумата на ъглите на триъгълника произтичат самостоятелно, тя допринася за развитието на способността да се формулира собствената си гледна точка, изразяват и твърдят:

Във всеки триъгълник или всички ъгли са остри, или два остри ъгли, а третата глупава или директна.

Ако в триъгълника всички ъгли са остри, тогава се нарича otterugal.

Ако един от ъглите на триъгълника е глупав, тогава се нарича глупак.

Ако един от ъглите на триъгълника е прав, тогава се нарича правоъгълна.

Теоремата на сумата на ъглите на триъгълника ви позволява да класифицирате триъгълниците не само от двете страни, но и в ъглите. (В хода на въвеждането на видове триъгълници масата е изпълнена с ученици)

маса 1

Тип триъгълник	Isosceles.	Равностранен	Гъвкав
Правоъгълна
Глупак
Счупване

VII. Закрепване на изследвания материал.

1. Решаване на задачи орално:

(Чертежите се маркират на екрана през проектора)

Задача 1. Намерете ъгъла на C.


Фигура 14.

Задача 2. Намерете ъгъла F.


Фигура 15.

Задача 3. Намерете ъглите към и Н.

Фигура 16.

Задача 4. Намерете ъглите на P и T.


Фигура 17.

1. Решете проблема със собствени No. 223 (B, D).
2. Решаване на задачата на борда и в тетража номер 224.
3. Въпроси: Може ли триъгълник: а) два прави ъгли; б) два глупави ъгъл; в) един прав и един глупав ъгъл.
4. (изпълнява се орално) на картите, налични на всяка таблица, са изобразени различни триъгълници. Определете изгледа на всеки триъгълник.


Фигура 18.

1. Намерете сумата от ъглите 1, 2 и 3.


Фигура 19.

VIII. Резултата от урока.

Учител: Какво знаехме? За всеки триъгълник прилага теоремата?

IX. Размисъл.

Дай ми настроението си момчета! От обратната страна на триъгълника, моля свържете се с изражението на лицето си.


Фигура 20.

Домашна работа:стр.30 (1 част), въпрос 1 ch. IV стр. 89 учебник; № 223 (А, б), № 225.