Сравняване на дроби без общ знаменател. Сравнение на дроби: правила, примери, решения

Две неравни дроби подлежат на допълнително сравнение, за да се установи коя дроб е по-голяма и коя е по-малка. За да сравним две дроби, има правило за сравняване на дроби, което ще формулираме по-долу, а също така ще анализираме примери за прилагането на това правило при сравняване на дроби с еднакви и различни знаменатели. Накрая показваме как да сравняваме дроби с същите числители, без да ги свеждате до общ знаменател, а също така помислете как да сравните обикновена дроб с естествено число.

Навигация в страницата.

Сравняване на дроби с еднакви знаменатели

Сравняване на дроби с същите знаменатели по същество е сравнение на броя на равните дялове. Например обикновената дроб 3/7 определя 3 части 1/7, а дробта 8/7 съответства на 8 части 1/7, така че сравняването на дроби с еднакви знаменатели 3/7 и 8/7 се свежда до сравняване на числата 3 и 8, тоест за сравнение на числителите.

От тези съображения следва правило за сравняване на дроби с еднакъв знаменател: От две дроби с еднакъв знаменател по-голямата дроб е тази, чийто числител е по-голям, а по-малката е дробта, чийто числител е по-малък.

Посоченото правило обяснява как да сравняваме дроби с еднакви знаменатели. Помислете за пример за прилагане на правилото за сравняване на дроби с еднакви знаменатели.

Пример.

Коя част е по-голяма: 65/126 или 87/126?

Решение.

Знаменателите на сравняваните обикновени дроби са равни, а числителят 87 на дробта 87/126 е по-голям от числителя 65 на дробта 65/126 (ако е необходимо, вижте сравнението на естествените числа). Следователно, според правилото за сравняване на дроби с еднакви знаменатели, дробта 87/126 е по-голяма от дробта 65/126.

Отговор:

Сравняване на дроби с различни знаменатели

Сравняване на дроби с различни знаменателиможе да се сведе до сравняване на дроби с еднакви знаменатели. За да направите това, просто трябва да приведете сравнените обикновени дроби към общ знаменател.

И така, за да сравните две дроби с различни знаменатели, трябва

• привеждат дроби към общ знаменател;
• сравнете получените дроби с еднакви знаменатели.

Нека да разгледаме едно примерно решение.

Пример.

Сравнете дробта 5/12 с дробта 9/16.

Решение.

Първо, привеждаме тези дроби с различни знаменатели към общ знаменател (вижте правилото и примерите за привеждане на дроби към общ знаменател). Като общ знаменател вземете най-малкия общ знаменател, равен на LCM(12, 16)=48. Тогава допълнителният множител на дробта 5/12 ще бъде числото 48:12=4 , а допълнителният множител на дробта 9/16 ще бъде числото 48:16=3 . Получаваме и .

Сравнявайки получените дроби, имаме . Следователно дробта 5/12 е по-малка от дробта 9/16. Това завършва сравнението на дроби с различни знаменатели.

Отговор:

Нека намерим друг начин за сравняване на дроби с различни знаменатели, който ще ви позволи да сравнявате дроби, без да ги свеждате до общ знаменател и всички трудности, свързани с този процес.

За да сравните дроби a / b и c / d, те могат да бъдат намалени до общ знаменател b d, равен на произведението на знаменателите на сравняваните дроби. В този случай допълнителните множители на дробите a/b и c/d са съответно числата d и b, а първоначалните дроби се свеждат до дроби и с общ знаменател b d . Припомняйки си правилото за сравняване на дроби с еднакви знаменатели, заключаваме, че сравнението на оригиналните дроби a/b и c/d е сведено до сравняване на продуктите на a d и c b.

От това следва следното правило за сравняване на дроби с различни знаменатели: ако a d>b c , тогава , и ако a d

Помислете за сравняване на дроби с различни знаменатели по този начин.

Пример.

Сравнете обикновените дроби 5/18 и 23/86.

Решение.

В този пример a=5, b=18, c=23 и d=86. Нека изчислим продуктите a d и b c . Имаме a d=5 86=430 и b c=18 23=414 . Тъй като 430>414, дробта 5/18 е по-голяма от дробта 23/86.

Отговор:

Сравняване на дроби с еднакъв числител

Дроби с еднакви числители и различни знаменатели със сигурност могат да се сравняват с помощта на правилата, обсъдени в предишния параграф. Резултатът от сравняването на такива дроби обаче е лесен за получаване чрез сравняване на знаменателите на тези дроби.

Има такъв правило за сравняване на дроби с еднакъв числител: От две дроби с еднакъв числител, тази с по-малък знаменател е по-голяма, а тази с по-голям знаменател е по-малка.

Нека разгледаме примерно решение.

Пример.

Сравнете дробите 54/19 и 54/31.

Решение.

Тъй като числителите на сравняваните дроби са равни и знаменателят 19 на дробта 54/19 е по-малък от знаменателя 31 на дробта 54/31, тогава 54/19 е по-голямо от 54/31.

В този урок ще научим как да сравняваме дроби една с друга. Това е много полезно умение, което е необходимо за решаване на цял клас по-сложни проблеми.

Първо, позволете ми да ви напомня дефиницията на равенството на дробите:

Дроби a /b и c /d се наричат ​​равни, ако ad = bc.

1. 5/8 = 15/24, защото 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18, защото 3 18 = 2 27 = 54.

Във всички останали случаи дробите са неравни и за тях е вярно едно от следните твърдения:

1. Дробта a /b е по-голяма от дробта c /d ;
2. Дробта a /b е по-малка от дробта c /d.

Дробта a /b се нарича по-голяма от дробта c /d, ако a /b − c /d > 0.

Дроб x /y се нарича по-малък от дроб s /t, ако x /y − s /t< 0.

Обозначаване:

По този начин сравнението на дроби се свежда до тяхното изваждане. Въпрос: как да не се объркате със символите "по-голямо от" (>) и "по-малко от" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. Разширяващата се част на чека винаги е насочена към по-голямото число;
2. Острият нос на чавката винаги показва по-ниско число.

Често в задачите, където искате да сравните числата, поставят знака "∨" между тях. Това е чавка с нос надолу, което, така да се каже, подсказва: по-голямото от числата все още не е определено.

Задача. Сравнете числата:

Следвайки определението, изваждаме дробите един от друг:

При всяко сравнение трябваше да приведем дробите към общ знаменател. По-специално, използвайки метода на кръстосване и намиране на най-малкото общо кратно. Умишлено не се съсредоточих върху тези точки, но ако нещо не е ясно, вижте урока "Събиране и изваждане на дроби" - много е лесен.

Десетично сравнение

В случай на десетични дроби всичко е много по-просто. Тук не е необходимо да изваждате нищо - просто сравнете цифрите. Няма да е излишно да си припомним какво е значителна част от числото. За тези, които са забравили, предлагам да повторите урока „ Умножение и деление на десетични дроби" - това също ще отнеме само няколко минути.

Положителен десетичен знак X е по-голям от положителен десетичен знак Y, ако има десетичен знак, така че:

1. Цифрата в тази цифра в дробта X е по-голяма от съответната цифра в дробта Y;
2. Всички цифри, по-стари от дадените в фракции X и Y, са еднакви.

1. 12.25 > 12.16. Първите две цифри са еднакви (12 = 12), а третата е по-голяма (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

С други думи, ние последователно разглеждаме десетичните знаци и търсим разликата. В този случай по-голямо число съответства на по-голяма дроб.

Това определение обаче изисква пояснение. Например, как да пиша и сравнявам цифри до десетичната запетая? Запомнете: всяко число, написано в десетична форма, може да получи произволен брой нули отляво. Ето още няколко примера:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (говорим сиотносно старши ниво).
2. 2300,5 > 0,0025, защото 0,0025 = 0000,0025 - добавени три нули отляво. Сега можете да видите, че разликата започва в първия бит: 2 > 0.

Разбира се, в дадените примери с нули имаше изрично изброяване, но смисълът е точно този: попълнете липсващите цифри вляво и след това сравнете.

Задача. Сравнете дроби:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

По дефиниция имаме:

1. 0,029 > 0,007. Първите две цифри са еднакви (00 = 00), след което започва разликата (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0,00003 > 0,0000099. Тук трябва внимателно да преброите нулите. Първите 5 цифри в двете дроби са нула, но по-нататък в първата дроб е 3, а във втората - 0. Очевидно е, че 3 > 0;
4. 1700,1 > 0,99501. Нека пренапишем втората дроб като 0000,99501, добавяйки 3 нули отляво. Сега всичко е очевидно: 1 > 0 - разликата се намира в първата цифра.

За съжаление горната схема за сравнение десетични дробине е универсален. Този метод може само да сравнява положителни числа. В общия случай алгоритъмът на работа е следният:

1. Положителната дроб винаги е по-голяма от отрицателната;
2. Две положителни фракции се сравняват съгласно горния алгоритъм;
3. Две отрицателни дроби се сравняват по същия начин, но накрая знакът за неравенство се обръща.

Е, не е ли слабо? Сега помислете конкретни примери- и всичко ще стане ясно.

Задача. Сравнете дроби:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. -0,192 > -0,39. Дробите са отрицателни, 2 цифри са различни. един< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0,15 > -11,3. Положителното число винаги е по-голямо от отрицателното;
4. 19,032 > 0,091. Достатъчно е да пренапишете втората дроб под формата на 00.091, за да видите, че разликата се появява вече в 1 цифра;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. Разликата е в първата категория.

Цели на урока:

1. Уроци:научете как да сравнявате дроби различни видовеизползване на различни методи;
2. Разработване:развитие на основни методи на умствена дейност, обобщения на сравнението, подчертаване на основното; развитие на паметта, речта.
3. Образователни:научете се да се изслушвате, да възпитавате взаимопомощ, култура на общуване и поведение.

Стъпки на урока:

1. Организационни.

Нека започнем урока с думите на френския писател А. Франс: „Ученето може да бъде забавно.... За да усвоите знанията, трябва да ги усвоите с апетит.“

Нека следваме този съвет, опитайте се да бъдете внимателни, нека попиваме знания с голямо желание. те ще ни бъдат полезни в бъдеще.

2. Актуализиране на знанията на учениците.

1.) Фронтална устна работа на учениците.

Цел: повторение на преминатия материал, който се изисква при изучаване на нов:

А) правилни и неправилни дроби;
Б) привеждане на дроби към нов знаменател;
В) намиране на най-малък общ знаменател;

(Работят се файлове. Учениците ги имат на разположение на всеки урок. Отговорите се записват върху тях с маркер, след което ненужната информация се изтрива.)

Задачи за устна работа.

1. Назовете допълнителна дроб сред веригата:

А) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7.
Б) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.

2. Приведете дроби към нов знаменател 30:

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

Намерете най-малкия общ знаменател на дробите:

1/5 и 2/7; 3/4 и 1/6; 2/9 и 1/2.

2.) Ситуация на играта.

Момчета, нашият познат клоун (учениците го срещнаха в началото на учебната година) ме помоли да му помогна да реши проблема. Но мисля, че вие ​​можете да помогнете на нашия приятел и без мен. И следващата задача.

„Сравнете дроби:

а) 1/2 и 1/6;
б) 3/5 и 1/3;
в) 5/6 и 1/6;
г) 7/12 и 7/4;
д) 3 1/7 и 3 1/5;
е) 7 5/6 и 3 1/2;
ж) 1/10 и 1;
з) 10/3 и 1;
i) 7/7 и 1.“

Момчета, за да помогнем на клоуна, какво трябва да научим?

Целта на урока, задачи (учениците формулират самостоятелно).

Учителят им помага, като им задава въпроси:

а) коя от двойките дроби вече можем да сравним?

б) какъв инструмент ни е необходим, за да сравним дроби?

3. Момчета в групи (в постоянно много ниво).

Всяка група получава задача и инструкции за нейното изпълнение.

Първа група : Сравнете смесените дроби:

а) 1 1/2 и 2 5/6;
б) 3 1/2 и 3 4/5

и изведе правило за приравняване на смесени дроби с еднакви и различни цели числа.

Инструкция: Сравняване на смесени дроби (с помощта на числов лъч)

1. сравняват целите части на дробите и правят заключение;
2. сравняване на дробни части (не показвайте правилото за сравняване на дробни части);
3. създайте правило - алгоритъм:

Втора група: Сравняват дроби с различни знаменатели и различни числители. (използвайте цифров лъч)

а) 6/7 и 9/14;
б) 5/11 и 1/22

Инструкция

1. Сравнете знаменателите
2. Помислете дали е възможно да се сведат дроби до общ знаменател
3. Започнете правилото с думите: „За да сравните дроби с различни знаменатели, трябва да ...“

Трета група: Сравнение на дроби с единица.

а) 2/3 и 1;
б) 8/7 и 1;
в) 10/10 и 1 и формулирайте правило.

Инструкция

Разгледайте всички случаи: (използвайте числов лъч)

а) Ако числителят на дроб е равен на знаменателя, ………;
б) Ако числителят на дроб е по-малък от знаменателя,………;
в) Ако числителят на дроб е по-голям от знаменателя, ………. .

Формулирайте правило.

Четвърта група: Сравнете дроби:

а) 5/8 и 3/8;
б) 1/7 и 4/7 и формулирайте правило за сравняване на дроби с еднакъв знаменател.

Инструкция

Използвайте цифровия лъч.

Сравнете числителите и направете заключение, като започнете с думите: „От две дроби с еднакви знаменатели……“.

Пета група: Сравнете дроби:

а) 1/6 и 1/3;
б) 4/9 и 4/3 с помощта на числовата ос:

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

Формулирайте правило за сравняване на дроби с еднакви числители.

Инструкция

Сравнете знаменателите и направете заключение, като започнете с думите:

„От две дроби с еднакви числители………..“.

Шеста група: Сравнете дроби:

а) 4/3 и 5/6; б) 7/2 и 1/2 с помощта на числова ос

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

Формулирайте правило за сравняване на правилни и неправилни дроби.

Инструкция.

Помислете коя дроб винаги е по-голяма, правилна или грешна.

4. Обсъждане на направените заключения в групи.

Дума на всяка група. Формулиране на правилата на учениците и тяхното сравнение със стандартите на съответните правила. След това на всеки ученик се дават разпечатки на правилата за сравняване на различни видове обикновени дроби.

5. Връщаме се към задачата, поставена в началото на урока. (Ние решаваме проблема с клоуна заедно).

6. Работа в тетрадки. Използвайки правилата за сравняване на дроби, учениците под ръководството на учител сравняват дроби:

а) 8/13 и 8/25;
б) 11/42 и 3/42;
в) 7/5 и 1/5;
г) 18/21 и 7/3;
д) 2 1/2 и 3 1/5;
е) 5 1/2 и 5 4/3;

(възможно е да поканите ученик на дъската).

7. Учениците са поканени да изпълнят тест, сравняващ дроби за два варианта.

1 опция.

1) сравнете дроби: 1/8 и 1/12

а) 1/8 > 1/12;
б) 1/8<1/12;
в) 1/8=1/12

2) Кое е по-голямо: 5/13 или 7/13?

а) 5/13;
б) 7/13;
в) са равни

3) Кое е по-малко: 2/3 или 4/6?

а) 2/3;
б) 4/6;
в) са равни

4) Коя от дробите е по-малка от 1: 3/5; 17/9; 7/7?

а) 3/5;
б) 17/9;
в) 7/7

5) Коя от дробите е по-голяма от 1: ?; 7/8; 4/3?

а) 1/2;
б) 7/8;
в) 4/3

6) Сравнете дробите: 2 1/5 и 1 7/9

а) 2 1/5<1 7/9;
б) 2 1/5 = 1 7/9;
в) 2 1/5 >1 7/9

Вариант 2.

1) сравнете дроби: 3/5 и 3/10

а) 3/5 > 3/10;
б) 3/5<3/10;
в) 3/5=3/10

2) Кое е по-голямо: 10/12 или 1/12?

а) са равни;
б) 10/12;
в) 1/12

3) Кое е по-малко: 3/5 или 1/10?

а) 3/5;
б) 1/10;
в) са равни

4) Коя от дробите е по-малка от 1: 4/3; 1/15; 16/16?

а) 4/3;
б) 1/15;
в) 16/16

5) Коя от дробите е по-голяма от 1: 2/5; 9/8; 11/12?

а) 2/5;
б) 9/8;
в) 11/12

6) Сравнете дробите: 3 1/4 и 3 2/3

а) 3 1/4 = 3 2/3;
б) 3 1/4 > 3 2/3;
в) 3 1/4< 3 2/3

Отговори на теста:

Вариант 1: 1а, 2б, 3в, 4а, 5б, 6а

Вариант 2: 2a, 2b, 3b, 4b, 5b, 6c

8. Още веднъж се връщаме към целта на урока.

Проверяваме правилата за сравнение и даваме диференцирана домашна работа:

1,2,3 групи - измислете по два примера за всяко правило и ги решете.

4,5,6 групи - No 83 a, b, c, No 84 a, b, c (от учебника).

От две дроби с еднакъв знаменател тази с по-голям числител е по-голяма, а тази с по-малък числител е по-малка.. Всъщност, в края на краищата, знаменателят показва на колко части е разделена една цяла стойност, а числителят показва колко такива части са взети.

Оказва се, че всеки цял кръг е разделен на едно и също число 5 , но взеха различен брой части: взеха повече - голяма фракция и се оказа.

От две дроби с еднакъв числител тази с по-малък знаменател е по-голяма, а тази с по-голям знаменател е по-малка.Всъщност, ако разделим един кръг на 8 части и другото 5 части и вземете по една част от всеки от кръговете. Коя част ще е по-голяма?

Разбира се, от кръг, разделен на 5 части! А сега си представете, че са си поделили не кръгове, а торти. Кое парче бихте предпочели, по-точно кой дял: пети или осми?

За да сравните дроби с различни числители и различни знаменатели, трябва да намалите дробите до най-малкия общ знаменател и след това да сравните дробите с еднакви знаменатели.

Примери. Сравнете обикновените дроби:

Нека приведем тези дроби към най-малкия общ знаменател. NOZ(4 ; 6)=12. Намираме допълнителни множители за всяка от дробите. За 1-ва дроб, допълнителен множител 3 (12: 4=3 ). За 2-ра дроб, допълнителен множител 2 (12: 6=2 ). Сега сравняваме числителите на двете получени дроби с еднакви знаменатели. Тъй като числителят на първата дроб е по-малък от числителя на втората дроб ( 9<10) , тогава самата първа дроб е по-малка от втората дроб.