Как да извадим дроби с еднакъв числител. Изваждане на дроби с различни знаменатели. Събиране и изваждане на обикновени дроби

Този урок ще обхване събиране и изваждане. алгебрични дробис различни знаменатели. Вече знаем как да събираме и изваждаме обикновени дроби с различни знаменатели. За да направите това, дробите трябва да бъдат намалени до общ знаменател. Оказва се, че алгебричните дроби следват същите правила. В същото време вече знаем как да сведем алгебрични дроби до общ знаменател. Събирането и изваждането на дроби с различни знаменатели е една от най-важните и трудни теми в курса за 8. клас. Освен това тази тема ще бъде открита в много теми от курса по алгебра, който ще изучавате в бъдеще. Като част от урока ще изучаваме правилата за събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели, както и ще анализираме редица типични примери.

Обмисли най-простият примерза обикновени дроби.

Пример 1Добавете дроби: .

решение:

Запомнете правилото за събиране на дроби. Като начало дробите трябва да бъдат приведени до общ знаменател. Общият знаменател за обикновените дроби е най-малко общо кратно(LCM) на оригиналните знаменатели.

Определение

Най-малкото естествено число, което се дели както на числата, така и на .

За да се намери LCM, е необходимо да се разложат знаменателите на прости множители и след това да се изберат всички прости множители, които са включени в разширението на двата знаменателя.

; . Тогава LCM на числата трябва да включва две 2s и две 3s: .

След намирането на общия знаменател е необходимо всяка от дробите да намери допълнителен множител (всъщност да се раздели общият знаменател на знаменателя на съответната дроб).

След това всяка дроб се умножава по получения допълнителен фактор. Фракциите се получават от същите знаменатели, събиране и изваждане, които научихме в предишните уроци.

Получаваме: .

Отговор:.

Помислете сега за събирането на алгебрични дроби с различни знаменатели. Първо разгледайте дроби, чиито знаменатели са числа.

Пример 2Добавете дроби: .

решение:

Алгоритъмът за решение е абсолютно подобен на предишния пример. Лесно е да се намери общ знаменател за тези дроби: и допълнителни множители за всяка от тях.

.

Отговор:.

Така че нека формулираме алгоритъм за събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели:

1. Намерете най-малкия общ знаменател на дробите.

2. Намерете допълнителни множители за всяка от дробите (като разделите общия знаменател на знаменателя на тази дроб).

3. Умножете числителите по съответните допълнителни множители.

4. Събиране и изваждане на дроби по правилата за събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели.

Помислете сега за пример с дроби, чийто знаменател съдържа буквални изрази.

Пример 3Добавете дроби: .

решение:

Тъй като буквалните изрази в двата знаменателя са еднакви, трябва да намерите общ знаменател за числата. Крайният общ знаменател ще изглежда така: . Така че решението на този пример е:

Отговор:.

Пример 4Извадете дроби: .

решение:

Ако не можете да „измамите“ при избора на общ знаменател (не можете да го разделите на множители или да използвате формулите за съкратено умножение), тогава трябва да вземете произведението на знаменателите на двете дроби като общ знаменател.

Отговор:.

По принцип при решаването на подобни примери най-трудната задача е намирането на общ знаменател.

Нека да разгледаме по-сложен пример.

Пример 5Опростете: .

решение:

Когато намирате общ знаменател, първо трябва да опитате да разложите знаменателите на оригиналните дроби (за да опростите общия знаменател).

В този конкретен случай:

Тогава е лесно да се определи общият знаменател: .

Определяме допълнителни фактори и решаваме този пример:

Отговор:.

Сега ще фиксираме правилата за събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели.

Пример 6Опростете: .

решение:

Отговор:.

Пример 7Опростете: .

решение:

.

Отговор:.

Помислете сега за пример, в който се добавят не две, а три дроби (все пак правилата за събиране и изваждане за Повече ▼дробите остават същите).

Пример 8Опростете: .

Действия с дроби. В тази статия ще анализираме примери, всичко е подробно с обяснения. Ще разгледаме обикновените дроби. В бъдеще ще анализираме десетични числа. Препоръчвам да гледате целия и да изучавате последователно.

1. Сбор от дроби, разлика от дроби.

Правило: при събиране на дроби с еднакви знаменатели, резултатът е дроб, чийто знаменател остава същият, а числителят ще бъде е равно на суматачислители на дроби.

Правило: когато изчисляваме разликата на дроби с еднакви знаменатели, получаваме дроб - знаменателят остава същият, а числителят на втората се изважда от числителя на първата дроб.

Формално записване на сумата и разликата на дроби с равни знаменатели:

Примери (1):

Ясно е, че когато са дадени обикновени дроби, тогава всичко е просто, но ако са смесени? Нищо сложно...

Опция 1- можете да ги конвертирате в обикновени и след това да ги изчислите.

Вариант 2- можете отделно да "работите" с целите и дробните части.

Примери (2):

Повече ▼:

А ако е дадена разликата на две смесени дроби и числителят на първата дроб е по-малък от числителя на втората? Също така може да се направи по два начина.

Примери (3):

* Преведени в обикновени дроби, изчислена разликата, преобразува получената неправилна дроб в смесена.

* Разделено на цели и дробни части, получено три, след това представено 3 като сбор от 2 и 1, като единицата е представена като 11/11, след това е намерена разликата между 11/11 и 7/11 и е изчислен резултатът. Смисълът на горните трансформации е да вземем (изберем) единицата и да я представим като дроб със знаменателя, от който се нуждаем, след което от тази дроб вече можем да извадим друга.

Друг пример:

Извод: има универсален подход - за да се изчисли сумата (разликата) на смесени дроби с равни знаменатели, те винаги могат да бъдат превърнати в неправилни, след което да се изпълни необходимо действие. След това, ако в резултат получим неправилна фракция, ние я превеждаме в смесена.

По-горе разгледахме примери с дроби, които имат равни знаменатели. Ами ако знаменателите се различават? В този случай дробите се свеждат до един и същ знаменател и се извършва определеното действие. За промяна (преобразуване) на дроб се използва основното свойство на дробта.

Помислете за прости примери:

В тези примери веднага виждаме как една от дробите може да се преобразува, за да се получат равни знаменатели.

Ако посочим начини за намаляване на дроби до един знаменател, тогава този ще бъде извикан МЕТОД ПЪРВИ.

Тоест, веднага когато „оценявате“ фракцията, трябва да разберете дали такъв подход ще работи - проверяваме дали по-големият знаменател се дели на по-малкия. И ако е разделено, тогава извършваме трансформацията - умножаваме числителя и знаменателя, така че знаменателите на двете дроби да станат равни.

Сега вижте тези примери:

При тях този подход не важи. Има и други начини за свеждане на дроби до общ знаменател, разгледайте ги.

Метод ВТОРИ.

Умножете числителя и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората и числителя и знаменателя на втората дроб по знаменателя на първата:

*Всъщност ние привеждаме дроби във формата, когато знаменателите станат равни. След това използваме правилото за добавяне на плахи с равни знаменатели.

Пример:

*Този метод може да се нарече универсален и винаги работи. Единственият минус е, че след изчисленията може да се окаже фракция, която ще трябва да бъде допълнително намалена.

Помислете за пример:

Вижда се, че числителят и знаменателят се делят на 5:

Метод ТРЕТИ.

Намерете най-малкото общо кратно (LCM) на знаменателите. Това ще бъде общият знаменател. Какво е това число? Това е най-малкото естествено число, което се дели на всяко от числата.

Вижте, ето две числа: 3 и 4, има много числа, които се делят на тях - това са 12, 24, 36, ... Най-малкото от тях е 12. Или 6 и 15, 30, 60, 90 са делим на тях.... Най-малко 30. Въпрос - как да определим това най-малко общо кратно?

Има ясен алгоритъм, но често това може да стане веднага без изчисления. Например, според горните примери (3 и 4, 6 и 15), не е необходим алгоритъм, ние взехме големи числа (4 и 15), удвоихме ги и видяхме, че те се делят на второто число, но двойки числа могат да бъдат други, като 51 и 119.

Алгоритъм. За да определите най-малкото общо кратно на няколко числа, трябва:

- разложи всяко от числата на ПРОСТИ множители

- изпишете разлагането на ПО-ГОЛЕМИТЕ от тях

- умножете го по ЛИПСВАЩИТЕ множители на други числа

Помислете за примери:

50 и 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

в разлагане Повече ▼липсва една петица

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 и 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

в разширяването на по-голям брой липсват две и три

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Най-малко общо кратно на две прости числаравно на техния продукт

Въпрос! И защо е полезно да намерите най-малкото общо кратно, защото можете да използвате втория метод и просто да намалите получената дроб? Да, можете, но не винаги е удобно. Вижте какъв ще бъде знаменателят на числата 48 и 72, ако просто ги умножите 48∙72 = 3456. Съгласете се, че е по-приятно да работите с по-малки числа.

Помислете за примери:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

при разширяването на по-голямо число липсва тройка

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

И сега прилагаме първия метод:

* Вижте разликата в изчисленията, в първия случай има минимум от тях, а във втория трябва да работите отделно върху лист хартия и дори фракцията, която сте получили, трябва да бъде намалена. Намирането на LCM значително опростява работата.

Още примери:

* Във втория пример е ясно, че най-малкото число, което е разделено на 40 и 60 е равно на 120.

ОБЩА СУМА! ОБЩ АЛГОРИТЪМ ЗА ИЗЧИСЛЕНИЕ!

- привеждаме дроби към обикновени, ако има такива цяла част.

- привеждаме дробите към общ знаменател (първо гледаме дали един знаменател се дели на друг, ако се дели, тогава умножаваме числителя и знаменателя на тази друга дроб; ако не се дели, действаме през другата методи, посочени по-горе).

- като получим дроби с равни знаменатели, извършваме действия (събиране, изваждане).

- ако е необходимо, намаляваме резултата.

- ако е необходимо, изберете цялата част.

2. Произведение от дроби.

Правилото е просто. При умножаване на дроби техните числители и знаменатели се умножават:

Примери:

Задача. В базата са докарани 13 тона зеленчуци. Картофите съставляват ¾ от всички вносни зеленчуци. Колко килограма картофи бяха докарани в базата?

Да приключваме с работата.

*По-рано ви обещах да дам официално обяснение на основното свойство на дробта чрез продукта, моля:

3. Деление на дроби.

Разделянето на дроби се свежда до тяхното умножение. Тук е важно да запомните, че дробта, която е делител (тази, която е разделена на), се обръща и действието се променя на умножение:

Това действие може да се запише като така наречената четиристепенна дроб, тъй като самото деление „:“ също може да бъде записано като дроб:

Примери:

Това е всичко! Късмет!

С уважение, Александър Крутицких.

Съдържание на урока

Събиране на дроби с еднакви знаменатели

Добавянето на дроби е от два вида:

1. Събиране на дроби с еднакви знаменатели
2. Събиране на дроби с различни знаменатели

Нека започнем със събиране на дроби с еднакви знаменатели. Тук всичко е просто. За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен. Например, нека съберем дробите и . Добавяме числителите и оставяме знаменателя непроменен:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако си представим пица, която е разделена на четири части. Ако добавите пица към пица, получавате пица:

Пример 2Добавете дроби и .

Отговорът е неправилна дроб. Ако дойде краят на задачата, тогава е обичайно да се отървете от неправилните дроби. За да се отървете от неправилна дроб, трябва да изберете цялата част в нея. В нашия случай цялата част се разпределя лесно - две делено на две е равно на едно:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако си представим пица, която е разделена на две части. Ако добавите още пици към пицата, получавате една цяла пица:

Пример 3. Добавете дроби и .

Отново добавете числителите и оставете знаменателя непроменен:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако си представим пица, която е разделена на три части. Ако добавите още пици към пица, получавате пици:

Пример 4Намерете стойността на израз

Този пример се решава точно по същия начин като предишните. Числителите трябва да се добавят, а знаменателят да се остави непроменен:

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на картина. Ако добавите пици към една пица и добавите още пици, получавате 1 цяла пица и повече пици.

Както можете да видите, събирането на дроби с еднакви знаменатели не е трудно. Достатъчно е да разберете следните правила:

1. За да добавите дроби с еднакъв знаменател, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен;

Събиране на дроби с различни знаменатели

Сега ще научим как да събираме дроби с различни знаменатели. Когато събирате дроби, знаменателите на тези дроби трябва да са еднакви. Но те не винаги са еднакви.

Например, дроби могат да се добавят, защото имат еднакви знаменатели.

Но дробите не могат да се добавят наведнъж, защото тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да се сведат до един и същи (общ) знаменател.

Има няколко начина за намаляване на дроби до един и същи знаменател. Днес ще разгледаме само един от тях, тъй като останалите методи може да изглеждат сложни за начинаещ.

Същността на този метод се състои в това, че се търси първият (LCM) от знаменателите на двете дроби. Тогава LCM се разделя на знаменателя на първата дроб и се получава първият допълнителен множител. Те правят същото и с втората дроб - LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава вторият допълнителен множител.

След това числителите и знаменателите на дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези действия дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби.

Пример 1. Добавете дроби и

Първо, намираме най-малкото общо кратно на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е числото 3, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Най-малкото общо кратно на тези числа е 6

LCM (2 и 3) = 6

Сега обратно към дробите и . Първо, разделяме LCM на знаменателя на първата дроб и получаваме първия допълнителен фактор. LCM е числото 6, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 6 на 3, получаваме 2.

Полученото число 2 е първият допълнителен фактор. Записваме го до първата дроб. За да направите това, правим малка наклонена линия над фракцията и записваме намерения допълнителен фактор над нея:

Правим същото с втората фракция. Разделяме LCM на знаменателя на втората дроб и получаваме втория допълнителен множител. LCM е числото 6, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Разделяме 6 на 2, получаваме 3.

Полученото число 3 е вторият допълнителен фактор. Записваме го във втората дроб. Отново правим малка наклонена линия над втората фракция и записваме намерения допълнителен фактор над нея:

Сега сме готови да добавим. Остава да умножим числителите и знаменателите на дробите с техните допълнителни фактори:

Погледнете внимателно до какво сме стигнали. Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби. Нека завършим този пример до края:

Така примерът завършва. За добавяне се оказва.

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на картина. Ако добавите пици към пица, получавате една цяла пица и още една шеста от пица:

Намаляването на дроби до един и същи (общ) знаменател може също да бъде изобразено с помощта на картина. Привеждайки дробите и към общ знаменател, получаваме дробите и . Тези две фракции ще бъдат представени от едни и същи парчета пица. Единствената разлика ще бъде, че този път те ще бъдат разделени на равни части (приведени към един знаменател).

Първата рисунка показва дроб (четири части от шест), а втората снимка показва дроб (три части от шест). Събирайки тези части заедно, получаваме (седем части от шест). Тази дроб е неправилна, затова сме подчертали цялата част в нея. Резултатът беше (една цяла пица и още една шеста пица).

Обърнете внимание, че сме нарисували този пример твърде подробно. В образователните институции не е обичайно да се пише толкова подробно. Трябва да можете бързо да намерите LCM на двата знаменателя и допълнителните множители към тях, както и бързо да умножите допълнителните множители, намерени от вашите числители и знаменатели. Докато сме в училище, ще трябва да напишем този пример, както следва:

Но има и другата страна на монетата. Ако не се правят подробни бележки на първите етапи от изучаването на математика, тогава въпроси от този вид „Откъде идва това число?“, „Защо дробите изведнъж се превръщат в напълно различни дроби? «.

За да улесните добавянето на дроби с различни знаменатели, можете да използвате следните инструкции стъпка по стъпка:

1. Намерете LCM на знаменателите на дробите;
2. Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен множител за всяка дроб;
3. Умножете числителите и знаменателите на дробите с техните допълнителни множители;
4. Съберете дроби с еднакви знаменатели;
5. Ако отговорът се оказа неправилна дроб, тогава изберете цялата му част;

Пример 2Намерете стойността на израз .

Нека използваме инструкциите по-горе.

Стъпка 1. Намерете LCM на знаменателите на дробите

Намерете LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателите на дробите са числата 2, 3 и 4

Стъпка 2. Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен множител за всяка дроб

Разделете LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 2. Разделяме 12 на 2, получаваме 6. Получихме първия допълнителен множител 6. Записваме го върху първата дроб:

Сега разделяме LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Получихме втория допълнителен множител 4. Записваме го върху втората дроб:

Сега разделяме LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на третата дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Получаваме третия допълнителен множител 3. Записваме го върху третата дроб:

Стъпка 3. Умножете числителите и знаменателите на дробите по вашите допълнителни множители

Ние умножаваме числителите и знаменателите по нашите допълнителни множители:

Стъпка 4. Добавете дроби с еднакви знаменатели

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви (общи) знаменатели. Остава да съберем тези дроби. Добавите:

Добавката не се побираше на един ред, така че преместихме оставащия израз на следващия ред. Това е позволено в математиката. Когато израз не се побира на един ред, той се прехвърля на следващия ред, като е необходимо да се постави знак за равенство (=) в края на първия ред и в началото на нов ред. Знакът за равенство на втория ред показва, че това е продължение на израза, който беше на първия ред.

Стъпка 5. Ако отговорът се оказа неправилна дроб, изберете цялата част в нея

Нашият отговор е неправилна дроб. Трябва да отделим цялата му част. Подчертаваме:

Имам отговор

Изваждане на дроби с еднакви знаменатели

Има два вида изваждане на дроби:

1. Изваждане на дроби с еднакви знаменатели
2. Изваждане на дроби с различни знаменатели

Първо, нека научим как да изваждаме дроби с еднакви знаменатели. Тук всичко е просто. За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя същия.

Например, нека намерим стойността на израза. За да решите този пример, е необходимо да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя непроменен. Да го направим:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако си представим пица, която е разделена на четири части. Ако режете пици от пица, получавате пици:

Пример 2Намерете стойността на израза.

Отново от числителя на първата дроб извадете числителя на втората дроб и оставете знаменателя непроменен:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако си представим пица, която е разделена на три части. Ако режете пици от пица, получавате пици:

Пример 3Намерете стойността на израз

Този пример се решава точно по същия начин като предишните. От числителя на първата дроб трябва да извадите числителите на останалите дроби:

Както можете да видите, няма нищо сложно в изваждането на дроби с еднакви знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:

1. За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя непроменен;
2. Ако отговорът се оказа неправилна дроб, тогава трябва да изберете цялата част в нея.

Изваждане на дроби с различни знаменатели

Например, една дроб може да бъде извадена от дроб, тъй като тези дроби имат еднакви знаменатели. Но една дроб не може да бъде извадена от дроб, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да се сведат до един и същи (общ) знаменател.

Общият знаменател се намира по същия принцип, който използвахме при събиране на дроби с различни знаменатели. Първо, намерете LCM на знаменателите на двете дроби. След това LCM се разделя на знаменателя на първата дроб и се получава първият допълнителен множител, който се записва върху първата дроб. По подобен начин LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава втори допълнителен множител, който се записва върху втората дроб.

След това дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези операции дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби.

Пример 1Намерете стойността на израз:

Тези дроби имат различни знаменатели, така че трябва да ги приведете към един и същи (общ) знаменател.

Първо, намираме LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е числото 3, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Най-малкото общо кратно на тези числа е 12

LCM (3 и 4) = 12

Сега обратно към дробите и

Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. За да направим това, разделяме LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Записваме четирите върху първата дроб:

Правим същото с втората фракция. Разделяме LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Напишете тройка върху втората дроб:

Сега всички сме готови за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни множители:

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека завършим този пример до края:

Имам отговор

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на картина. Ако режете пици от пица, получавате пици.

то подробна версиярешения. Тъй като сме в училище, ще трябва да решим този пример по по-кратък начин. Такова решение би изглеждало така:

Намаляването на дроби и до общ знаменател също може да бъде изобразено с помощта на картина. Привеждайки тези дроби към общ знаменател, получаваме дробите и . Тези дроби ще бъдат представени от същите парчета пица, но този път те ще бъдат разделени на същите дроби (намалени до същия знаменател):

Първата рисунка показва дроб (осем части от дванадесет), а втората картина показва дроб (три части от дванадесет). Като отрежем три парчета от осем парчета, получаваме пет парчета от дванадесет. Дробта описва тези пет части.

Пример 2Намерете стойността на израз

Тези дроби имат различни знаменатели, така че първо трябва да ги приведете към един и същи (общ) знаменател.

Намерете LCM на знаменателите на тези дроби.

Знаменателите на дробите са числата 10, 3 и 5. Най-малкото общо кратно на тези числа е 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Сега намираме допълнителни множители за всяка дроб. За да направим това, разделяме LCM на знаменателя на всяка дроб.

Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на първата дроб е числото 10. Разделяме 30 на 10, получаваме първия допълнителен множител 3. Записваме го върху първата дроб:

Сега намираме допълнителен фактор за втората дроб. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 30 на 3, получаваме втория допълнителен множител 10. Записваме го върху втората дроб:

Сега намираме допълнителен фактор за третата дроб. Разделете LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на третата дроб е числото 5. Разделяме 30 на 5, получаваме третия допълнителен множител 6. Записваме го върху третата дроб:

Сега всичко е готово за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни множители:

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви (общи) знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека завършим този пример.

Продължението на примера няма да се побере на един ред, затова преместваме продължението на следващия ред. Не забравяйте за знака за равенство (=) на новия ред:

Отговорът се оказа правилна дроб и изглежда, че всичко ни подхожда, но е твърде тромаво и грозно. Трябва да го направим по-лесно. Какво може да се направи? Можете да намалите тази фракция.

За да намалите дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на (gcd) числата 20 и 30.

И така, намираме НОД на числата 20 и 30:

Сега се връщаме към нашия пример и разделяме числителя и знаменателя на дробта на намерения НОД, тоест на 10

Имам отговор

Умножение на дроб по число

За да умножите дроб по число, трябва да умножите числителя на дадения дроб по това число и да оставите знаменателя същия.

Пример 1. Умножете дробта по числото 1.

Умножете числителя на дробта по числото 1

Въвеждането може да се разбира като вземане на половин 1 път. Например, ако вземете пица 1 път, ще получите пица

От законите на умножението знаем, че ако множителят и множителят са разменени, тогава произведението няма да се промени. Ако изразът е записан като , тогава произведението пак ще бъде равно на . Отново правилото за умножение на цяло число и дроб работи:

Това влизане може да се разбира като вземане на половината от единицата. Например, ако има 1 цяла пица и вземем половината от нея, тогава ще имаме пица:

Пример 2. Намерете стойността на израз

Умножете числителя на дробта по 4

Отговорът е неправилна дроб. Нека вземем цяла част от него:

Изразът може да се разбира като вземане на две четвърти 4 пъти. Например, ако вземете пици 4 пъти, ще получите две цели пици.

И ако разменим умножаващото и множителя на места, получаваме израза. То също ще бъде равно на 2. Този израз може да се разбира като вземане на две пици от четири цели пици:

Умножение на дроби

За да умножите дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели. Ако отговорът е неправилна дроб, трябва да изберете цялата част в нея.

Пример 1Намерете стойността на израза.

Имам отговор. Желателно е тази фракция да се намали. Дробта може да се намали с 2. Тогава окончателното решение ще приеме следната форма:

Изразът може да се разбира като вземане на пица от половин пица. Да кажем, че имаме половин пица:

Как да вземем две трети от тази половина? Първо трябва да разделите тази половина на три равни части:

И вземете две от тези три части:

Ще вземем пица. Припомнете си как изглежда пицата, разделена на три части:

Едно парче от тази пица и двете парчета, които взехме, ще имат еднакви размери:

С други думи, говорим сиприблизително същия размер пица. Следователно стойността на израза е

Пример 2. Намерете стойността на израз

Умножете числителя на първата дроб по числителя на втората дроб и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:

Отговорът е неправилна дроб. Нека вземем цяла част от него:

Пример 3Намерете стойността на израз

Умножете числителя на първата дроб по числителя на втората дроб и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:

Отговорът се оказа правилна дроб, но ще е добре, ако се намали. За да намалите тази дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на тази дроб на най-големия общ делител (НОД) на числата 105 и 450.

И така, нека намерим НОД на числата 105 и 450:

Сега разделяме числителя и знаменателя на нашия отговор на GCD, който намерихме сега, тоест на 15

Представяне на цяло число като дроб

Всяко цяло число може да бъде представено като дроб. Например числото 5 може да бъде представено като . От това петте няма да променят значението си, тъй като изразът означава „числото пет, разделено на едно“, а това, както знаете, е равно на пет:

Обратни числа

Сега ще се запознаем с интересна темапо математика. Нарича се "обратни числа".

Определение. Обратно на номера е числото, което, когато се умножи поа дава единица.

Нека заместим в това определение вместо променлива аномер 5 и се опитайте да прочетете определението:

Обратно на номер 5 е числото, което, когато се умножи по 5 дава единица.

Възможно ли е да се намери число, което, умножено по 5, дава единица? Оказва се, че можете. Нека представим пет като дроб:

След това умножете тази дроб сама по себе си, просто разменете числителя и знаменателя. С други думи, нека умножим дробта сама по себе си, само обърната:

Какъв ще бъде резултатът от това? Ако продължим да решаваме този пример, получаваме един:

Това означава, че обратното на числото 5 е числото, тъй като когато 5 се умножи по едно, се получава едно.

Реципрочната стойност може да се намери и за всяко друго цяло число.

Можете също да намерите реципрочната стойност за всяка друга дроб. За да направите това, достатъчно е да го обърнете.

Деление на дроб с число

Да кажем, че имаме половин пица:

Нека го разделим поравно между две. Колко пици ще получи всеки?

Вижда се, че след разделянето на половината от пицата се получават две еднакви парчета, всяко от които представлява пица. Така че всеки получава пица.

Разделянето на дроби се извършва с помощта на реципрочни числа. Обратни числави позволяват да замените делението с умножение.

За да разделите дроб на число, трябва да умножите този дроб по реципрочната стойност на делителя.

Използвайки това правило, ще запишем разделянето на нашата половина от пица на две части.

И така, трябва да разделите дроба на числото 2. Тук дивидентът е дроб, а делителят е 2.

За да разделите дроб на числото 2, трябва да умножите тази дроб по реципрочната стойност на делителя 2. Реципрочната стойност на делителя 2 е дроб. Така че трябва да умножите по

Инструкция

Обичайно е да се разделят обикновените и десетичните дроби, запознаването с който започва още в гимназията. В момента няма такава област на знанието, където това да не се прилага. Дори в говорим за първия 17 век, и то наведнъж, което означава 1600-1625. Също така често трябва да се справяте с елементарни операции върху , както и с трансформирането им от една форма в друга.

Намаляването на дробите до общ знаменател е може би най-важната операция. Тя е в основата на всички изчисления. Да кажем, че има две дроби a/b и c/d. След това, за да ги приведете към общ знаменател, трябва да намерите най-малкото общо кратно (M) на числата b и d и след това да умножите числителя на първото дробина (M/b), а вторият числител на (M/d).

Сравняването на дроби е друга важна задача. За да направите това, дайте дадено просто дробикъм общ знаменател и след това сравнете числителите, чийто числител е по-голям, тази дроб е по-голяма.

За да извършите събиране или изваждане на обикновени дроби, трябва да ги приведете до общ знаменател и след това да извършите необходимата математическа операция от тези дроби. Знаменателят остава непроменен. Да предположим, че трябва да извадите c/d от a/b. За да направите това, трябва да намерите най-малкото общо кратно M на числата b и d и след това да извадите другото от един числител, без да променяте знаменателя: (a*(M/b)-(c*(M/d) )/М

Достатъчно е просто да умножите една дроб по друга, за това просто трябва да умножите техните числители и знаменатели:
(a / b) * (c / d) \u003d (a * c) / (b * d) За да разделите една дроб на друга, трябва да умножите частта на дивидента по реципрочната стойност на делителя. (a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)
Струва си да припомним, че за да получите реципрочна стойност, трябва да размените числителя и знаменателя.

В този урок ще разгледаме събирането и изваждането на алгебрични дроби с еднакви знаменатели. Вече знаем как да събираме и изваждаме обикновени дроби с еднакви знаменатели. Оказва се, че алгебричните дроби следват същите правила. Умението да работите с дроби с еднакви знаменатели е един от крайъгълните камъни в изучаването на правилата за работа с алгебрични дроби. По-специално, разбирането на тази тема ще улесни овладяването на повече трудна тема- Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели. Като част от урока ще изучаваме правилата за добавяне и изваждане на алгебрични дроби с еднакви знаменатели, както и ще анализираме редица типични примери

Правило за събиране и изваждане на алгебрични дроби с еднакви знаменатели

Sfor-mu-li-ru-em pr-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-and-che-dro-bey с един-към-ти - mi-know-on-te-la-mi (това е co-pa-yes-et с ана-логичното дясно на палеца за обикновен-но-ven-nyh-dr-bay): Това е за допълнението или you-chi-ta-niya al-geb-ra-and-che-dro-bey с one-to-you-mi-know-me-on-te-la-mi е необходимо -ho-di-mo с -застанете с-from-vet-stu-u-th al-geb-ra-i-che-sum от броя на-li-te-lei, а знакът-me-on-tel напуска без iz-me- не-ни.

Ще анализираме това дясно-vi-lo както на примера на обикновени, но-венни удари, така и на примера на al-geb-ra-and-che-dro-bey.

Примери за прилагане на правилото за обикновени дроби

Пример 1. Съберете дроби:.

Решение

Нека добавим числото-дали-те-дали тегли-побеждават и нека оставим знак-ме-на-тел същия. След това разделяме numer-li-tel и sign-me-on-tel на прости множители и so-kra-tim. Нека го вземем: .

Забележка: стандартна грешка, ще стартирам нещо при разрешаване в добър пример, за -key-cha-et-sya в следния-du-u-sch-so-so-be-so-she-tion : . Това е груба грешка, тъй като номерът за регистрация остава същият, както беше в оригиналните фракции.

Пример 2. Съберете дроби:.

Решение

Тази за-да-ча не е нищо от-дали-ча-ет-ся от предишната:.

Примери за прилагане на правилото за алгебрични дроби

От обичайния-но-ven-nyh dro-bay per-rey-dem до al-geb-ra-i-che-skim.

Пример 3. Съберете дроби:.

Решение: както вече беше посочено по-горе, добавянето на al-geb-ra-and-che-dro-bey не е нищо от-is-cha-is-sya от zhe-niya обикновено-но-vein-nyh dro-bay. Следователно методът на решение е същият:.

Пример 4. Вие-чест дроби:.

Решение

You-chi-ta-nie al-geb-ra-and-che-dro-bey from-whether-cha-et-sya от усложнението само от факта, че в броя на pi-sy-va-et-sya разликата в броя на-li-te-lei е-run-nyh-dro-bay. Следователно .

Пример 5. Вие-чест дроби:.

Решение: .

Пример 6. Опростете:.

Решение: .

Примери за прилагане на правилото, последвано от намаление

Във фракция, нещо-пара-лу-ча-ет-ся в ре-зул-та-тези усложнения или ти-чи-та-ния, е възможно да се съ-красиво ния. Освен това не трябва да забравяте за ODZ al-geb-ra-i-che-dro-bey.

Пример 7. Опростете:.

Решение: .

При което . Като цяло, ако ODZ на out-of-hot-drow-bay owls-pa-yes-et с ODZ на total-go-howl, тогава не можете да го посочите (в края на краищата, малка част, в a lu-chen- naya в from-ve-those, също няма да съществува с co-from-vet-stu-u-s-knowing-che-no-yah-re-men-nyh). Но ако ODZ е източникът на изстрелите и от ve-ta не е co-pa-yes-et, тогава ODZ показва нуждата-ho-di-mo.

Пример 8. Опростете:.

Решение: . В същото време, y (ODZ на изходящия теглещ отсек не съвпада с ODZ на re-zul-ta-ta).

Събиране и изваждане на обикновени дроби с различни знаменатели

За да съхранявате и you-chi-tat al-geb-ra-and-che-fractions с различни-we-know-me-on-te-la-mi, pro-ve-dem ana-lo -gyu от обичайните- but-ven-ny-mi dro-bya-mi и re-re-not-sem го в ал-геб-ра-и-че-фракции.

Ras-погледнете най-простия пример за обикновени венозни снимки.

Пример 1.Добавяне на дроби:.

решение:

Нека си спомним десния-vi-lo-slo-drow-bay. За фракции na-cha-la е необходимо да добавите-ve-sti към общия знак-me-to-te-lu. В ролята на общ sign-me-on-te-la за обикновени-но-ven-draw-ритъмове, you-stu-pa-et най-малко общо кратно(NOK) източникът на знаците-me-on-the-lei.

Определение

Най-малкият-врат-към-ту-рал-число, някой-рояк се разделя едновременно на числа и.

За да намерите NOC, трябва да де-lo-live know-me-on-the-hether в прости множители и след това да изберете да вземете всичко про - има много, много, някои от тях са включени в разликата между двете signs-me-on-the-lei.

; . Тогава LCM на числата трябва да включва две двойки и две тройки:.

След намирането на общия знак на те-ла е необходимо всеки от дро-баите да намери допълнителен мулти-жи-тел (фак-ти-че-ски, при изливане на общ знак-ме- on-tel on sign-me-on-tel co-from-rep-to-th-th fraction).

След това всяка фракция се умножава с полу-чен-ни до половин-не-тел-ни множител. Дроби със същия-на-ти-знаеш-ме-на-те-ла-ми, складове и ти-чи-тат някой, на който сме - изучавани в миналите уроци.

By-lu-cha-eat: .

Отговор:.

Ras-look-rim сега гънката на al-geb-ra-and-che-dro-bey с различни знаци-me-on-te-la-mi. Sleep-cha-la, ние-гледаме фракциите, познаваме-на-дали някои от тях са-la-yut-sya номер-la-mi.

Събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели

Пример 2.Добавяне на дроби:.

решение:

Al-go-ритъм на re-she-niya ab-so-lyut-но ana-lo-gi-chen предишния-du-sche-mu p-me-ru. Лесно е да се вземе общ знаменател на дадените дроби: и да се добавят към пълни множители за всеки от тях.

.

Отговор:.

И така, sfor-mu-li-ru-em al-go-ритъм на усложнения и you-chi-ta-niya al-geb-ra-and-che-dro-битове с различни-we-know-me-on-te-la-mi:

1. Намерете най-малката обща стойка за записване на телефон.

2. Намерете допълнителни множители за всяка от фракциите на тегленето).

3. Направете умножаване на живи числа-независимо дали на co-ot-vet-stu-u-s-up to-half-no-tel-nye-multiple-those.

4. Add-to-live или you-honor фракциите, използвайте right-wi-la-mi на fold и you-chi-ta-niya draw-bay с one-to-you-know -me-on- те-ла-ми.

Ras-look-rim сега пример с dro-bya-mi, в know-me-on-the-le-there-are-there-are-there-are-beech-ven-nye you-ra-same - ция.