Primjeri aritmetičke progresije sa rješenjem 9. Zapisi s oznakom "Aritmetička progresija 9. razreda". III. Učenje novog gradiva

Da biste koristili pregled prezentacija, kreirajte sebi Google račun (nalog) i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Pregled:

Tema

Aritmetička progresija

NAMENA:

• naučiti da prepoznaju aritmetičku progresiju koristeći njenu definiciju i znak;
• naučiti rješavati probleme koristeći definiciju, osobinu, formulu općeg pojma progresije.

CILJEVI ČASA:

dati definiciju aritmetičke progresije, dokazati znak aritmetičke progresije i naučiti kako ih koristiti u rješavanju zadataka.

NASTAVNE METODE:

ažuriranje znanja učenika, samostalni rad, samostalni rad, kreiranje problemske situacije.

SAVREMENE TEHNOLOGIJE:

IKT, učenje zasnovano na problemima, diferencirano učenje, tehnologije koje štede zdravlje.

PLAN LEKCIJE

	Faze lekcije.	Vrijeme implementacije.
	Organiziranje vremena.	2 minute
	Ponavljanje prošlosti	5 minuta
	Učenje novog gradiva	15 minuta
	Fizičko vaspitanje	3 minute
	Izvršavanje zadataka na temu	15 minuta
	Zadaća	2 minute
	Rezimirajući	3 minute

TOKOM NASTAVE:

1. U prošloj lekciji smo se upoznali sa konceptom "Sekvenca".

Danas ćemo nastaviti proučavati numeričke nizove, dati definiciju nekih od njih, upoznati se s njihovim svojstvima i karakteristikama.

1. Odgovorite na pitanja: Šta je niz?

Koje sekvence postoje?

Na koje načine možete postaviti redoslijed?

Šta je numerički niz?

Koje metode specificiranja niza brojeva poznajete? Koja formula se zove rekurentna?

1. Date su numeričke sekvence:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

Pronađite obrazac u svakom nizu i imenujte sljedeća tri pojma u svakom od njih.

1. a n = a n -1 +1
2. a n = a n -1 + 3
3. a n = a n -1 + (-2)
4. a n = a n -1 + 0,5

Imenujte formulu koja se ponavlja za svaki niz.

Slajd 1

Brojčani niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu dodanom istom broju, naziva se aritmetička progresija.

Broj d naziva se razlika aritmetičke progresije.

Aritmetička progresija je numerički niz, stoga može biti rastuća, opadajuća, konstantna. Navedite primjere takvih nizova, navedite razliku svake progresije, izvedite zaključak.

Hajde da izvedemo formulu za opšti član aritmetičke progresije.

Na tabli: neka a 1 je prvi član progresije, d je onda njegova razlika

a 2 = a 1 + d

a 3 = (a 1 + d) + d = a 1 + 2d

a 4 = (a 1 + 2d) + d = a 1 + 3d

a 5 = (a 1 + 3d) + d = a 1 + 4d

a n = a 1 + d (n-1) je formula za n-ti član aritmetičke progresije.

Riješite zadatak: U aritmetičkoj progresiji, prvi član je 5, a razlika je 4.

Pronađite 22 člana ove progresije.

Učenik odlučuje na tabli: a n = a 1 + d (n-1)

A 22 = a 1 + 21d = 5 + 21 * 4 = 89

Fizičko vaspitanje.

Ustali smo.

Ruke na pojasu. Nagibi ulijevo, udesno, (2 puta);

Nagibi naprijed, nazad (2 puta);

Podignite ruke gore, duboko udahnite, spustite ruke, izdahnite. (2 puta)

Rukovali su se. Hvala ti.

Sjeli su. Nastavljamo lekciju.

Rješavamo zadatke o primjeni formule za opći član aritmetičke progresije.

Učenicima se nude sljedeći zadaci:

1. U aritmetičkoj progresiji, prvi član je -2, d = 3, a n = 118.

Nađi br.

1. U aritmetičkoj progresiji, prvi član je 7, petnaesti član je -35. Pronađite razliku.
2. Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji d = -2, a39 = 83. Pronađite prvi član progresije.

Učenici su podijeljeni u grupe. Zadatak se daje 5 minuta. Zatim prva 3 učenika koji su riješili probleme rješavaju ih na tabli. Rješenje je duplicirano na slajdovima.

Razmotrite karakteristična svojstva aritmetičke progresije.

U aritmetičkoj progresiji

a n -d = a (n-1)

a n + d = a (n + 1)

Zbrajamo ove dvije jednakosti pojam po član, dobijamo: 2a n = a (n + 1) + a (n-1)

A n = (a (n + 1) + a (n-1)) / 2

To znači da je svaki član aritmetičke progresije, osim prvog i posljednjeg, jednak aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećih članova.

TEOREMA:

Numerički niz je aritmetička progresija ako i samo ako je svaki od njegovih članova, osim prvog (i posljednjeg, u slučaju konačnog niza), jednak aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećih članova (karakteristično svojstvo aritmetičke progresije).

Razumijevanje mnogih tema iz matematike i fizike povezano je sa poznavanjem svojstava nizova brojeva. Učenici 9. razreda prilikom izučavanja predmeta „Algebra“ razmatraju jedan od važnih nizova brojeva – aritmetičku progresiju. Ovdje su osnovne formule aritmetičke progresije (9. razred), kao i primjeri njihove upotrebe za rješavanje zadataka.

Algebarska ili aritmetička progresija

Brojevne serije, o kojima će biti reči u ovom članku, nazivaju se na dva različita načina, predstavljena u naslovu ovog paragrafa. Dakle, u matematici se aritmetička progresija podrazumijeva kao numerički niz u kojem se bilo koja dva broja koja stoje jedan pored drugog razlikuju za isti iznos, što se naziva razlika. Brojevi u takvom redu obično se označavaju slovima s nižim cijelim indeksom, na primjer, 1, a 2, a 3 i tako dalje, gdje indeks označava broj elementa reda.

Uzimajući u obzir gornju definiciju aritmetičke progresije, možemo napisati sljedeću jednakost: a 2 -a 1 = ... = an -a n-1 = d, ovdje je d razlika algebarske progresije, a n bilo koji cijeli broj. Ako je d> 0, onda možemo očekivati ​​da će svaki sljedeći član serije biti veći od prethodnog, u ovom slučaju govore o rastućoj progresiji. Ako d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

Formule aritmetičke progresije (9. razred škole)

Serija brojeva koja se razmatra, budući da je uređena i poštuje određeni matematički zakon, ima dva svojstva koja su važna za njegovu upotrebu:

1. Prvo, znajući samo dva broja a 1 i d, možete pronaći bilo koji član niza. Ovo se radi pomoću sljedeće formule: a n = a 1 + (n-1) * d.
2. Drugo, da biste izračunali zbir n članova prvog, nije ih potrebno sabirati po redu, jer možete koristiti sljedeću formulu: S n = n * (a n + a 1) / 2.

Prvu formulu je lako razumjeti, jer je direktna posljedica činjenice da se svaki član niza koji se razmatra razlikuje od svog susjeda istom razlikom.

Drugu formulu aritmetičke progresije možemo dobiti ako obratimo pažnju na činjenicu da se ispostavi da je zbir a 1 + an ekvivalentan zbiru a 2 + a n-1, a 3 + a n-2, i tako on. Zaista, budući da je a 2 = d + a 1, a n-2 = -2 * d + an, a 3 = 2 * d + a 1 i a n-1 = -d + an, onda zamjenjujući ove izraze u odgovarajućih suma, dobijamo da će biti isti. Faktor n / 2 u 2. formuli (za S n) pojavljuje se zbog činjenice da su sumi tipa a i + 1 + a ni tačno n / 2, ovdje je i cijeli broj u rasponu od 0 do n / 2 - jedan.

Prema sačuvanim istorijskim dokazima, formulu za zbir S n prvi je dobio Karl Gauss (čuveni njemački matematičar), kada ga je učiteljica zamolila da sabere prvih 100 brojeva.

Primjer problema #1: pronađite razliku

Problemi u kojima se postavlja pitanje: poznavanje formula aritmetičke progresije, kako pronaći d (d), najjednostavniji su koji mogu biti samo za ovu temu.

Navedimo primjer: s obzirom na numerički niz -5, -2, 1, 4, ..., potrebno je odrediti njegovu razliku, odnosno d.

To je jednostavno kao ljuštenje krušaka: trebate uzeti dva elementa i oduzeti manji od većeg. U ovom slučaju imamo: d = -2 - (-5) = 3.

Da biste bili sigurni u dobiveni odgovor, preporučuje se provjeriti preostale razlike, jer prikazani niz možda neće zadovoljiti uvjet algebarske progresije. Imamo: 1 - (- 2) = 3 i 4 - 1 = 3. Ovi podaci pokazuju da smo dobili tačan rezultat (d = 3) i dokazali da je niz brojeva u iskazu problema zaista algebarska progresija.

Primjer problema broj 2: pronađite razliku, znajući dva člana progresije

Razmotrimo još jedan zanimljiv problem koji se postavlja pitanjem kako pronaći razliku. U ovom slučaju, formula aritmetičke progresije se mora koristiti za n-ti član. Dakle, problem: s obzirom na prvi i peti broj niza, koji odgovara svim svojstvima algebarske progresije, na primjer, to su brojevi a 1 = 8 i a 5 = -10. Kako pronaći razliku d?

Rješenje ovog problema treba započeti pisanjem općeg oblika formule za n-ti element: a n = a 1 + d * (- 1 + n). Sada možete ići na dva načina: ili zamijenite brojeve odjednom i radite s njima, ili izrazite d, a zatim pređite na određene 1 i 5. Koristeći posljednju metodu, dobijamo: a 5 = a 1 + d * (- 1 + 5) ili a 5 = 4 * d + a 1, odakle slijedi da je d = (a 5 -a 1) / 4. Sada možete bezbedno zameniti poznate podatke iz uslova i dobiti konačan odgovor: d = (-10-8) / 4 = -4,5.

Imajte na umu da je u ovom slučaju razlika u progresiji bila negativna, odnosno, postoji opadajući niz brojeva. Na ovu činjenicu potrebno je obratiti pažnju prilikom rješavanja problema kako ne biste pobrkali znakove "+" i "-". Sve gore navedene formule su univerzalne, tako da ih uvijek treba slijediti bez obzira na predznak brojeva s kojima se operacije izvode.

Primjer rješavanja zadatka broj 3: pronaći a1, znajući razliku i element

Promenimo malo stanje problema. Neka postoje dva broja: razlika d = 6 i 9. element progresije a 9 = 10. Kako pronaći a1? Formule aritmetičke progresije ostaju nepromijenjene, mi ćemo ih koristiti. Za broj a 9 imamo sljedeći izraz: a 1 + d * (9-1) = a 9. Odakle lako dobijamo prvi element niza: a 1 = a 9 -8 * d = 10 - 8 * 6 = -38.

Primjer rješavanja zadatka broj 4: pronađite a1, znajući dva elementa

Ova varijanta problema je komplikovana verzija prethodne. Suština je ista, potrebno je izračunati 1, ali sada razlika d nije poznata, već je dat još jedan element progresije.

Primjer ove vrste problema je sljedeći: pronađite prvi broj niza za koji je poznato da je aritmetička progresija, te da su njegovi 15. i 23. element 7 odnosno 12.

Ovaj problem je potrebno riješiti tako što ćemo napisati izraz za n-ti član za svaki element poznat iz uvjeta, imamo: a 15 = d * (15-1) + a 1 i a 23 = d * (23-1) + a 1. Kao što vidite, dobili smo dvije linearne jednačine koje treba riješiti za 1 i d. Uradimo ovo: oduzmimo prvu od druge jednačine, tada ćemo dobiti sljedeći izraz: a 23 -a 15 = 22 * ​​d - 14 * d = 8 * d. Prilikom izvođenja posljednje jednadžbe, vrijednosti 1 su izostavljene jer se poništavaju kada se oduzmu. Zamjenom poznatih podataka nalazimo razliku: d = (a 23 -a 15) / 8 = (12-7) / 8 = 0,625.

Vrijednost d mora biti zamijenjena bilo kojom formulom za poznati element da bi se dobio prvi član niza: a 15 = 14 * d + a 1, odakle: a 1 = a 15 -14 * d = 7-14 * 0,625 = -1,75.

Provjerimo rezultat, za ovo nalazimo 1 kroz drugi izraz: a 23 = d * 22 + a 1 ili a 1 = a 23 -d * 22 = 12 - 0,625 * 22 = -1,75.

Primjer rješavanja zadatka broj 5: pronaći zbir n elemenata

Kao što vidite, do sada je za rješenje korištena samo jedna formula aritmetičke progresije (ocjena 9). Sada dajemo problem, za čije rješenje morate znati drugu formulu, odnosno za zbir S n.

Postoji sljedeći uređeni red brojeva -1,1, -2,1, -3,1, ..., potrebno je izračunati zbir njegovih prvih 11 elemenata.

Iz ove serije se može vidjeti da je opadajuća, a a 1 = -1,1. Njegova razlika je: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Sada definišimo 11. član: a 11 = 10 * d + a 1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Nakon što ste završili pripremne proračune, možete koristiti gornju formulu za zbir, imamo: S 11 = 11 * (- 1,1 + (- 11,1)) / 2 = -67,1. Pošto su svi članovi negativni brojevi, onda njihov zbir ima odgovarajući predznak.

Primjer rješavanja zadatka broj 6: pronađite zbir elemenata od n do m

Možda je ova vrsta problema najteža za većinu učenika. Dajemo tipičan primjer: za niz brojeva 2, 4, 6, 8 ..., potrebno je pronaći zbir od 7. do 13. člana.

Formule aritmetička progresija(Razred 9) koriste se potpuno isto kao iu svim prethodnim problemima. Preporučuje se rješavanje ovog problema u fazama:

1. Prvo pronađite zbir 13 članova koristeći standardnu ​​formulu.
2. Zatim izračunajte ovaj iznos za prvih 6 stavki.
3. Nakon toga oduzmite 2. od 1. iznosa.

Hajdemo do rješenja. Kao iu prethodnom slučaju, izvršit ćemo pripremne proračune: a 6 = 5 * d + a 1 = 10 + 2 = 12, a 13 = 12 * d + a 1 = 24 + 2 = 26.

Izračunajmo dva zbroja: S 13 = 13 * (2 + 26) / 2 = 182, S 6 = 6 * (2 + 12) / 2 = 42. Uzimamo razliku i dobijamo željeni odgovor: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Imajte na umu da je prilikom dobijanja ove vrijednosti zbir 6 elemenata progresije korišten kao oduzet, pošto je 7. član uključen u zbir S 7-13.

Brojčani niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, koji se dodaje istim brojem za dati niz, naziva se aritmetička progresija. Poziva se broj koji se svaki put dodaje prethodnom broju razlika aritmetičke progresije i označeno slovom d.

Dakle, numerički niz a 1; a 2; a 3; a 4; a 5; ... i n će biti aritmetička progresija ako je a 2 = a 1 + d;

a 3 = a 2 + d;

Kažu da je data aritmetička progresija sa zajedničkim pojmom a n... Zapišite: data je aritmetička progresija (a n).

Aritmetička progresija se smatra određenom ako je poznat njen prvi član. a 1 i razlika d.

Primjeri aritmetičke progresije

Primjer 1. jedan; 3; 5; 7; 9; ... Evo a 1 = 1; d = 2.

Primjer 2. osam; 5; 2; -jedan; -4; -7; -10;... Evo a 1 = 8; d =-3.

Primjer 3.-šesnaest; -12; -osam; -4; ... Evo a 1 = -16; d = 4.

Imajte na umu da je svaki član u progresiji, počevši od drugog, jednak aritmetičkoj sredini njegovih susjednih članova.

U 1 uzorku drugi mandat 3 =(1+5): 2; one. a 2 = (a 1 + a 3) : 2; treći mandat 5 =(3+7): 2;

tj. a 3 = (a 2 + a 4) : 2.

Dakle, formula vrijedi:

Ali, u stvari, svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini ne samo njegovih susjednih članova, već i jednako udaljena od svojih članova, tj.

Hajde da se okrenemo primjer 2... Broj -1 je četvrti član aritmetičke progresije i jednako je udaljen od prvog i sedmog člana (a 1 = 8 i 7 = -10).

Po formuli (**) imamo:

Hajde da izvedemo formulu n- th član aritmetičke progresije.

Dakle, dobijamo drugi član aritmetičke progresije ako prvom dodamo razliku d; treći član se dobija ako drugom dodamo razliku d ili dodajte dvije razlike prvom članu d; četvrti član se dobija ako trećem dodamo razliku d ili prvoj dodati tri razlike d itd.

Pogodili ste: a 2 = a 1 + d;

a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d;

a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d;

…………………….

a n = a n-1 + d = a 1 + (n-1) d.

Rezultirajuća formula a n = a 1 + (n-1) d (***)

su pozvani formulanth član aritmetičke progresije.

Hajde sada da razgovaramo o tome kako pronaći zbir prvih n članova aritmetičke progresije. Označavamo ovu sumu sa S n.

Od preraspoređivanja mjesta pojmova, vrijednost sume se neće promijeniti, pa se može napisati na dva načina.

S n= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n i

S n = a n + a n-1 + a n-2 + a n-3 +… ... + a 4 + a 3 + a 2 + a 1

Dodajmo ove dvije jednakosti pojam po član:

2S n= (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) +…

Vrijednosti u zagradama su jednake jedna drugoj, jer su zbir ekvidistantnih članova niza, što znači da možete napisati: 2S n = n · (a 1 + a n).

Dobijamo formulu zbir prvognčlanovi aritmetičke progresije.

Ako zamijenimo a n vrijednošću a 1 + (n-1) d formulom (***), onda ćemo dobiti drugu formulu za zbir prvog nčlanovi aritmetičke progresije.

Matematika ima svoju lepotu, baš kao i slikarstvo i poezija.

Ruski naučnik, mehaničar N.E. Zhukovsky

Problemi vezani za koncept aritmetičke progresije su veoma česti problemi na prijemnim ispitima iz matematike. Za uspješno rješavanje ovakvih problema potrebno je dobro poznavati svojstva aritmetičke progresije i imati određene vještine u njihovoj primjeni.

Prvo se prisjećamo glavnih svojstava aritmetičke progresije i predstavljamo najvažnije formule, vezano za ovaj koncept.

Definicija. Brojčani niz, u kojoj se svaki naredni pojam razlikuje od prethodnog za isti broj, zove se aritmetička progresija. Štaviše, brojnazvana razlika u progresiji.

Za aritmetičku progresiju važe sljedeće formule

, (1)

gdje . Formula (1) se naziva formulom za opći član aritmetičke progresije, a formula (2) je glavno svojstvo aritmetičke progresije: svaki član progresije se poklapa sa aritmetičkom sredinom njegovih susjednih članova i.

Imajte na umu da se upravo zbog ovog svojstva razmatrana progresija naziva "aritmetičkom".

Gore navedene formule (1) i (2) su generalizirane na sljedeći način:

(3)

Za izračunavanje iznosa prvi članovi aritmetičke progresijeobično se primjenjuje formula

(5) gdje i.

Uzimajući u obzir formulu (1), onda formula (5) implicira

Ako označimo, onda

gdje . Budući da su tada formule (7) i (8) generalizacija odgovarajućih formula (5) i (6).

posebno, iz formule (5) slijedi, šta

Svojstvo aritmetičke progresije, formulisano pomoću sljedeće teoreme, je među malo poznatim većini studenata.

Teorema. Ako onda

Dokaz. Ako onda

Teorema je dokazana.

Na primjer , koristeći teoremu, može se pokazati da

Prijeđimo na razmatranje tipičnih primjera rješavanja zadataka na temu "Aritmetička progresija".

Primjer 1. Neka i. Pronađite .

Rješenje. Primjenom formule (6) dobijamo. Od i, onda ili.

Primjer 2. Neka je tri puta više, a kada se podijeli sa u količniku, dobijemo 2 i ostatak 8. Odrediti i.

Rješenje. Uslov primjera podrazumijeva sistem jednačina

Pošto, i, onda iz sistema jednačina (10) dobijamo

Rješenje ovog sistema jednačina je i.

Primjer 3. Pronađite ako i.

Rješenje. Prema formuli (5) imamo ili. Međutim, koristeći svojstvo (9), dobijamo.

Od i, zatim iz jednakosti jednačina slijedi ili .

Primjer 4. Pronađite ako.

Rješenje.Po formuli (5) imamo

Međutim, koristeći teoremu, može se pisati

Iz ovoga i formule (11) dobijamo.

Primjer 5. Dato:. Pronađite .

Rješenje. Od tada. Međutim, stoga.

Primjer 6. Neka, i. Pronađite .

Rješenje. Koristeći formulu (9), dobijamo. Stoga, ako, onda ili.

Od i, onda ovdje imamo sistem jednačina

Rešavajući koje, dobijamo i.

Prirodni korijen jednadžbe je .

Primjer 7. Pronađite ako i.

Rješenje. Budući da po formuli (3) imamo to, onda se u iskazu problema podrazumijeva sistem jednačina

Ako zamijenite izrazu drugu jednačinu sistema, tada dobijamo ili.

Korijeni kvadratne jednadžbe su i .

Razmotrimo dva slučaja.

1. Neka onda. Od i tada.

U ovom slučaju, prema formuli (6), imamo

2. Ako, onda, i

Odgovor: i.

Primjer 8. Poznato je da i. Pronađite .

Rješenje. Uzimajući u obzir formulu (5) i uvjet primjera, zapisujemo i.

Otuda slijedi sistem jednačina

Ako pomnožimo prvu jednačinu sistema sa 2, a zatim je dodamo drugoj jednačini, dobićemo

Prema formuli (9), imamo... S tim u vezi, iz (12) slijedi ili .

Od i tada.

Odgovor: .

Primjer 9. Pronađite ako i.

Rješenje. Pošto, i po uslovu, onda ili.

Iz formule (5) je poznato, šta . Od tada.

dakle, ovdje imamo sistem linearnih jednačina

Stoga dobijamo i. Uzimajući u obzir formulu (8), zapisujemo.

Primjer 10. Riješite jednačinu.

Rješenje. Iz date jednačine slijedi da. Pretpostavimo da,, i. U ovom slučaju .

Prema formuli (1) možete napisati ili.

Budući da, tada jednačina (13) ima jedan odgovarajući korijen.

Primjer 11. Pronađite maksimalnu vrijednost pod uvjetom da i.

Rješenje. Budući da se razmatrana aritmetička progresija smanjuje. U tom smislu izraz poprima maksimalnu vrijednost kada je broj minimalnog pozitivnog člana progresije.

Koristimo formulu (1) i činjenicu, as. Tada dobijamo to ili.

Od tada bilo ... Međutim, u ovoj nejednakostinajveći prirodni broj, Zbog toga .

Ako su vrijednosti, i su zamijenjene u formuli (6), onda dobivamo.

Odgovor: .

Primjer 12. Odredite zbir svih dvocifrenih prirodnih brojeva koji, kada se podijele sa 6, daju ostatak od 5.

Rješenje. Označimo skupom svih dvocifrenih prirodnih brojeva, tj. ... Zatim konstruiramo podskup koji se sastoji od onih elemenata (brojeva) skupa koji, kada se podijele sa 6, daju ostatak 5.

Nije teško ustanoviti, šta . Očigledno, da su elementi skupaformiraju aritmetičku progresiju, u kojem i.

Da bismo ustanovili kardinalnost (broj elemenata) skupa, pretpostavljamo da. Pošto i, onda iz formule (1) slijedi ili. Uzimajući u obzir formulu (5), dobijamo.

Navedeni primjeri rješavanja problema ni na koji način ne mogu tvrditi da su iscrpni. Ovaj članak je napisan na osnovu analize savremenih metoda za rešavanje tipičnih problema na zadatu temu. Za dublje proučavanje metoda za rješavanje problema povezanih s aritmetičkom progresijom, preporučljivo je pogledati listu preporučene literature.

1. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate za tehničke fakultete / Ed. M.I. Skanavi. - M.: Mir i obrazovanje, 2013.-- 608 str.

2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatni dijelovi školskog programa. - M.: Lenand / URSS, 2014.-- 216 str.

3. Medynsky M.M. Kompletan kurs osnovne matematike u zadacima i vježbama. Knjiga 2: Brojčani nizovi i progresije. - M.: Edithus, 2015.-- 208 str.

Imate još pitanja?

Da dobijete pomoć od tutora - registrujte se.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Tema: Aritmetičke i geometrijske progresije

Klasa: 9

Sistem pripreme: materijal za pripremu proučavanja teme iz algebre i pripremne faze za polaganje ispita

Target: formiranje pojmova aritmetičke i geometrijske progresije

Zadaci: naučiti razlikovati tipove napredovanja, naučiti ispravno, koristiti formule

Aritmetička progresija naziva se niz brojeva (članovi progresije)

u kojoj se svaki naredni pojam razlikuje od prethodnog po novom pojmu, koji se naziva i razlika koraka ili progresije.

Dakle, postavljanjem koraka progresije i njegovog prvog člana, možete pronaći bilo koji njegov element po formuli

1) Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog broja, je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana progresije

I obrnuto je tačno. Ako je aritmetička sredina susjednih neparnih (parnih) članova progresije jednaka članu između njih, onda je ovaj niz brojeva aritmetička progresija. Ova izjava olakšava provjeru bilo koje sekvence.

Također, svojstvom aritmetičke progresije, gornja formula se može generalizirati na sljedeće

To je lako provjeriti ako napišemo pojmove desno od znaka jednakosti

Često se koristi u praksi za pojednostavljenje proračuna u problemima.

2) Zbir prvih n članova aritmetičke progresije izračunava se po formuli

Dobro zapamtite formulu za zbir aritmetičke progresije, neophodna je za proračune i prilično je česta u jednostavnim životnim situacijama.

3) Ako trebate pronaći ne cijeli iznos, već dio niza počevši od k-tog člana, onda će vam sljedeća formula sume dobro doći

4) Od praktičnog je interesa pronaći zbir n članova aritmetičke progresije počevši od k-tog broja. Da biste to učinili, koristite formulu

Pronađite četrdeseti član aritmetičke progresije 4; 7; ...

Rješenje:

Prema uslovima imamo

Odredite korak napredovanja

Koristeći dobro poznatu formulu, nalazimo četrdeseti član progresije

Aritmetička progresija data je trećim i sedmim članom. Pronađite prvi član progresije i zbir deset.

Rješenje:

Ispišimo date elemente progresije koristeći formule

Aritmetičku progresiju daje imenilac i jedan od njegovih članova. Pronađite prvog člana progresije, zbir njegovih 50 članova počevši od 50 i zbir prvih 100.

Rješenje:

Napišimo formulu za stoti element progresije

i pronađite prvu

Na osnovu prvog, nalazimo 50 član progresije

Pronađite zbroj dijela progresije

i zbir prvih 100

Zbir progresije je 250. Pronađite broj članova aritmetičke progresije ako:

a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.

Rješenje:

Zapisujemo jednačine u terminima prvog člana i koraka progresije i definiramo ih

Dobivene vrijednosti zamjenjujemo u formulu zbira da odredimo broj članova u zbroju

Izvođenje pojednostavljenja

i riješi kvadratnu jednačinu

Od dvije vrijednosti pronađene za stanje problema, prikladan je samo broj 8. Dakle, zbir prvih osam članova progresije je 111.

Riješite jednačinu

1 + 3 + 5 + ... + x = 307.

Rješenje:

Ova jednadžba je zbir aritmetičke progresije. Hajde da napišemo njegov prvi član i pronađemo razliku u progresiji

Pronađene vrijednosti zamjenjujemo u formulu za zbir progresije da bismo pronašli broj pojmova

Kao iu prethodnom zadatku, kvadratnu jednačinu ćemo pojednostaviti i riješiti

Od te dvije vrijednosti biramo logičniju. Imamo da je zbir 18 članova progresije sa datim vrijednostima a1 = 1, d = 2 jednak Sn = 307.

Primjeri rješavanja problema: Aritmetička progresija

Zadatak1

Studentski tim je ugovorio postavljanje keramičkih pločica na pod u sali omladinskog kluba površine 288 m2. Sticanje iskustva, studenti su svakog narednog dana, počevši od drugog, postavljali 2 m2 više od prethodnog. , a imali su dovoljno zaliha pločica za tačno 11 dana rada. Planirajući povećanje produktivnosti na isti način, predradnik je odredio da će za završetak posla biti potrebno još 5 dana. Koliko kutija pločica treba naručiti ako je 1 kutija dovoljna za 1,2 m2 poda, a za zamjenu nekvalitetnih pločica potrebne su 3 kutije?

Rješenje

Prema stanju zadatka, jasno je da je riječ o aritmetičkoj progresiji u kojoj neka

a1 = x, Sn = 288, n = 16

Tada koristimo formulu: Sn = (2a1 + d (n-1)) * n / 0,86 = 200 mm Hg. Art.

288 = (2x + 2 * 15) * 16/2

Izračunajmo koliko će m2 učenici položiti za 11 dana: S11 = (2 * 3 + 2 * 10) * 11,2 = 143m 2

288-143 = 145m2 ostalo nakon 11 dana rada, tj. za 5 dana

145 / 1,2 = 121 (približno) kutija potrebno je naručiti 5 dana.

121 + 3 = 124 kutije potrebno je naručiti uključujući nedostatak

Odgovor: 124 kutije

Zadatak2

Nakon svakog pokreta klipa vakuum pumpe, 20% zraka u njoj se uklanja iz posude. Odredimo tlak zraka unutar posude nakon šest pokreta klipa, ako je početni tlak bio 760 mm Hg. Art.

Rješenje

Budući da se nakon svakog pokreta klipa 20% raspoloživog zraka uklanja iz posude, ostaje 80% zraka. Da biste saznali tlak zraka u posudi nakon sukcesivnog kretanja klipa, potrebno je smanjiti pritisak prethodnog pomicanja klipa za 0,8.

Imamo geometrijsku progresiju, čiji je prvi član 760, a imenilac je 0,8. Broj koji izražava pritisak vazduha u posudi (u mm Hg) nakon šest pokreta klipa je sedmi član u ovoj progresiji. To je jednako 760 * 0,86 = 200 mm Hg. Art.

Odgovor: 200 mm Hg.

Zadana je aritmetička progresija, gdje su peti i deseti član 38, odnosno 23. Pronađite petnaesti član progresije i zbir njegovih prvih deset članova.

Rješenje:

Pronađite broj aritmetičke progresije člana 5,14,23, ..., ako je njegov th član 239.

Rješenje:

Nađi broj članova aritmetičke progresije 9,12,15, ..., ako je njen zbir 306.

Rješenje:

Pronađite x za koji brojevi x-1, 2x-1, x2-5 čine aritmetičku progresiju

Rješenje:

Nađimo razliku između 1 i 2 člana progresije:

d = (2x-1) - (x-1) = x

Nađimo razliku između 2 i 3 člana progresije:

d = (x2-5) - (2x-1) = x2-2x-4

Jer razlika je ista, onda se članovi progresije mogu izjednačiti:

Prilikom provjere u oba slučaja, dobija se aritmetička progresija

Odgovor: za x = -1 i x = 4

Aritmetička progresija je data njenim trećim i sedmim članom a3 = 5; a7 = 13. Pronađite prvi član progresije i zbir deset.

Rješenje:

Od druge jednačine oduzimamo prvu, kao rezultat toga nalazimo korak progresije

a1 + 6d- (a1 + 2d) = 4d = 13-5 = 8, dakle d = 2

Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u bilo koju od jednadžbi kako bismo pronašli prvi član aritmetičke progresije

Izračunavamo zbir prvih deset članova progresije

S10 = (2 * 1 + (10-1) * 2) * 10/2 = 100

Odgovor: a1 = 1; S10 = 100

U aritmetičkoj progresiji u kojoj je prvi član -3,4, a razlika 3, pronađite peti i jedanaesti član.

Dakle, znamo da je a1 = -3,4; d = 3. Naći: a5, a11-.

Rješenje. Da bismo pronašli n-ti član aritmetičke progresije, koristimo formulu: an = a1 + (n - 1) d. Imamo:

a5 = a1 + (5 - 1) d = -3,4 + 43 = 8,6;

a11 = a1 + (11 - 1) d = -3,4 + 10 * 3 = 26,6.

Kao što vidite, u ovom slučaju rješenje nije teško.

Dvanaesti član aritmetičke progresije je 74, a razlika je -4. Pronađite trideset četvrti član u ovoj progresiji.

Rečeno nam je da je a12 = 74; d = -4, ali morate pronaći a34-.

U ovom problemu nije moguće odmah primijeniti formulu an = a1 + (n - 1) d, jer prvi član a1 nije poznat. Ovaj zadatak se može riješiti u nekoliko koraka.

1. Koristeći termin a12 i formulu za n-ti član, nalazimo a1:

a12 = a1 + (12 - 1) d, sada pojednostavljujemo i zamjenjujemo d: a12 = a1 + 11 (-4). Iz ove jednačine nalazimo a1: a1 = a12 - (-44);

Znamo dvanaesti član iz izjave problema, tako da možemo lako izračunati a1

a1 = 74 + 44 = 118. Idite na drugi korak - izračunavanje a34.

2. Opet, koristeći formulu an = a1 + (n - 1) d, pošto je a1 već poznato, definiraćemo a34-,

a34 = a1 + (34 - 1) d = 118 + 33 (-4) = 118 - 132 = -14.

Odgovor: trideset četvrti član aritmetičke progresije je -14.

Kao što vidite, rješenje drugog primjera je složenije. Ista formula se koristi dva puta da se dobije odgovor. Ali sve je tako komplikovano. Rješenje se može skratiti korištenjem dodatnih formula.

Kao što je već napomenuto, ako je a1 poznat u zadatku, onda je formula za određivanje n-tog člana aritmetičke progresije vrlo zgodna za korištenje. Ali, ako uvjet ne specificira prvi pojam, tada u pomoć može doći formula koja povezuje n-ti član koji nam je potreban i pojam ak naveden u problemu.

an = ak + (n - k) d.

Rešimo drugi primjer, ali koristeći novu formulu.

Zadato: a12 = 74; d = -4. Nađi: a34-.

Koristimo formulu an = ak + (n - k) d. U našem slučaju to će biti:

a34 = a12 + (34 - 12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74 - 88 = -14.

Odgovor na problem je dobio mnogo brže, jer nije bilo potrebe za dodatnim radnjama i traženjem prvog termina progresije.

Koristeći gornje formule, možete riješiti probleme izračunavanja razlike aritmetičke progresije. Dakle, koristeći formulu an = a1 + (n - 1) d, možete izraziti d:

d = (an - a1) / (n - 1). Međutim, problemi sa datim prvim članom nisu toliko česti, a mogu se riješiti pomoću naše formule an = ak + (n - k) d, iz koje se vidi da je d = (an - ak) / (n - k ). Hajde da razmotrimo takav zadatak.

Naći razliku aritmetičke progresije ako je poznato da je a3 = 36; a8 = 106.

Koristeći formulu koju smo dobili, rješenje problema se može napisati u jednom redu:

d = (a8 - a3) / (8 - 3) = (106 - 36) / 5 = 14.

Bez ove formule u arsenalu, rješenje problema bi trajalo mnogo duže, jer morao bi riješiti sistem od dvije jednačine.

Geometrijske progresije

1. Formula th člana (zajednički član progresije).
2. Formula za zbir prvih članova progresije:. Kada je uobičajeno govoriti o konvergentnoj geometrijskoj progresiji; u ovom slučaju, možete izračunati zbir cjelokupne progresije koristeći formulu.
3. Formula "geometrijske sredine": ako su,, tri uzastopna člana geometrijske progresije, onda na osnovu definicije imamo omjer: ili ili .