Kvadratna nejednakost je manja od nule. Kvadratne nejednakosti. Algoritam za primjenu metode intervala

Kvadratna nejednakost - "OD i DO".U ovom članku ćemo razmotriti rješenje kvadratnih nejednakosti, koje se poziva na suptilnosti. Preporučujem da pažljivo proučite materijal članka ne propustite ništa. Nećete moći odmah savladati članak, preporučujem da to uradite u nekoliko pristupa, ima puno informacija.

sadržaj:

Uvod. Bitan!

Uvod. Bitan!

Kvadratna nejednakost je nejednakost oblika:

Ako uzmete kvadratnu jednadžbu i zamijenite znak jednakosti bilo kojim od gore navedenih, dobit ćete kvadratnu nejednakost. Rješavanje nejednakosti znači odgovor na pitanje pri kojim vrijednostima x će ova nejednakost biti tačna. primjeri:

10 x 2 – 6 x+12 ≤ 0

2 x 2 + 5 x –500 > 0

– 15 x 2 – 2 x+13 > 0

8 x 2 – 15 x+45≠ 0

Kvadratna nejednakost se može implicitno specificirati, na primjer:

10 x 2 – 6 x+14 x 2 –5 x +2≤ 56

2 x 2 > 36

8 x 2 <–15 x 2 – 2 x+13

0> – 15 x 2 – 2 x+13

U ovom slučaju potrebno je izvršiti algebarske transformacije i dovesti ga u standardni oblik (1).

* Koeficijenti mogu biti i razlomljeni i iracionalni, ali takvi primjeri su rijetki u školskom programu, a u zadacima USE ih uopće nema. Ali nemojte se uznemiriti ako, na primjer, sretnete:

Ovo je također kvadratna nejednakost.

Prvo ćemo razmotriti jednostavan algoritam rješenja koji ne zahtijeva razumijevanje šta je kvadratna funkcija i kako njen graf izgleda na koordinatnoj ravni u odnosu na koordinatne ose. Ako ste u stanju da čvrsto i dugo pamtite informacije, a da ih redovno pojačavate vježbom, onda će vam algoritam pomoći. Također, ako, kako kažu, trebate riješiti takvu nejednakost "odjednom", onda će vam algoritam pomoći. Prateći ga, lako možete provesti odluku.

Ako ste u školi, onda vam toplo preporučujem da počnete proučavati članak iz drugog dijela, koji govori cijeli smisao rješenja (vidi dolje od tačke -). Ako postoji razumijevanje suštine, onda neće biti potrebe da ne učite, ne pamtite navedeni algoritam, lako možete brzo riješiti bilo koju kvadratnu nejednakost.

Naravno, odmah treba započeti objašnjenje upravo grafikom kvadratne funkcije i objašnjenjem samog značenja, ali sam odlučio da članak „izgradim“ upravo tako.

Još jedna teorijska poenta! Pogledajte formulu za faktoriranje kvadratnog trinoma:

gdje su x 1 i x 2 korijeni kvadratne jednadžbe ax 2+ bx+ c = 0

* Da bi se riješila kvadratna nejednakost, potrebno je rastaviti kvadratni trinom na faktor.

Algoritam predstavljen u nastavku naziva se i metoda intervala. Pogodan je za rješavanje nejednačina oblika f(x)>0, f(x)<0 , f(x) ≥0 if(x)≤0 ... Imajte na umu da može postojati više od dva faktora, na primjer:

(x – 10) (x + 5) (x – 1) (x + 104) (x + 6) (x – 1)<0

Algoritam za rješavanje. Metoda intervala. Primjeri.

Nejednakost je data sjekira 2 + bx+ c> 0 (bilo koji znak).

1. Zapišite kvadratnu jednačinu sjekira 2 + bx+ c = 0 i riješi to. Dobijamo x 1 i x 2- korijeni kvadratne jednadžbe.

2. U formulu (2) zamjenjujemo koeficijent a i korenje. :

sjekira – x 1 )(x – x 2)> 0

3. Odredite intervale na brojevnoj pravoj (korijeni jednadžbe dijele brojevnu osu na intervale):

4. Odredite "znakove" na intervalima (+ ili -) zamjenom proizvoljne vrijednosti "x" iz svakog dobijenog intervala u izraz:

sjekira – x 1 )(x – x 2)

i označite ih.

5. Ostaje samo da napišemo intervale koji nas zanimaju, oni su označeni:

- znak "+" ako je nejednakost bila "> 0" ili "≥0".

- znak "-" ako je nejednakost "<0» или «≤0».

BILJEŠKA!!! Sami predznaci u nejednakosti mogu biti:

strogi su ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».

Kako to utiče na ishod odluke?

Uz stroge predznake nejednakosti, granice intervala NISU UKLJUČENE u rješenje, dok se u odgovoru sam interval zapisuje u obliku ( x 1 ; x 2 ) - zagrade.

Za nestroge znakove nejednakosti, granice intervala su uključene u rješenje, a odgovor je zapisan u obliku [ x 1 ; x 2 ] - uglaste zagrade.

* Ovo se ne odnosi samo na kvadratne nejednakosti. Uglata zagrada znači da je sama granica intervala uključena u rješenje.

To ćete vidjeti na primjerima. Razdvojimo nekoliko kako bismo otklonili sva pitanja o ovome. U teoriji, algoritam može izgledati pomalo komplicirano, u stvari, sve je jednostavno.

PRIMJER 1: Riješi x 2 – 60 x+500 ≤ 0

Rješavanje kvadratne jednadžbe x 2 –60 x+500=0

D = b 2 –4 ac = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Pronađite korijene:

Zamijenite koeficijent a

x 2 –60 x+500 = (x – 50) (x – 10)

Nejednakost zapisujemo u obliku (x-50) (x-10) ≤ 0

Korijeni jednadžbe dijele brojevnu osu na intervale. Pokažimo ih na brojevnoj pravoj:

Dobili smo tri intervala (–∞; 10), (10; 50) i (50; + ∞).

Određujemo "znakove" na intervalima, to radimo tako što zamenimo proizvoljne vrednosti svakog njihovog dobijenog intervala u izraz (x – 50) (x – 10) i pogledamo korespondenciju dobijenog "znaka" sa potpiše nejednakost (x-50) (x-10) ≤ 0:

na x = 2 (x – 50) (x – 10) = 384> 0 je netačno

na x = 20 (x-50) (x-10) = –300 < 0 верно

kod x = 60 (x-50) (x-10) = 500> 0 pogrešno

Rješenje je interval.

Za sve vrijednosti x iz ovog intervala, nejednakost će biti tačna.

* Imajte na umu da smo stavili uglaste zagrade.

Za x = 10 i x = 50, nejednakost će također biti tačna, odnosno granice su uključene u rješenje.

Odgovor: x∊

opet:

- Granice intervala se UKLJUČUJU u rješenje nejednakosti kada uslov sadrži znak ≤ ili ≥ (nestroga nejednakost). U ovom slučaju, na skici je uobičajeno da se rezultirajući korijeni prikazuju ŠRAFRANIM krugom.

- Granice intervala NISU UKLJUČENE u rješenje nejednačine kada uslov sadrži znak< или >(stroga nejednakost). U ovom slučaju, uobičajeno je da se korijen na skici prikaže sa NESHATED krugom.

PRIMJER 2: Riješi x 2 + 4 x–21 > 0

Rješavanje kvadratne jednadžbe x 2 + 4 x–21 = 0

D = b 2 –4 ac = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Pronađite korijene:

Zamijenite koeficijent a i korijena u formuli (2), dobijamo:

x 2 + 4 x–21 = (x – 3) (x + 7)

Nejednakost zapisujemo u obliku (x – 3) (x + 7)> 0.

Korijeni jednadžbe dijele brojevnu osu na intervale. Označimo ih na brojevnoj pravoj:

* Nejednakost nije stroga, stoga oznake korijena NISU zasjenjene. Primljena tri intervala (–∞; –7), (–7; 3) i (3; + ∞).

Određujemo "znakove" na intervalima, to radimo zamjenom proizvoljnih vrijednosti ovih intervala u izraz (x – 3) (x + 7) i gledamo korespondenciju nejednakosti (x – 3) (x + 7)> 0:

pri x = –10 (–10–3) (- 10 +7) = 39> 0 tačno

pri x = 0 (0–3) (0 +7) = –21< 0 неверно

pri x = 10 (10–3) (10 +7) = 119> 0 tačno

Rješenje će biti dva intervala (–∞; –7) i (3; + ∞). Za sve vrijednosti x iz ovih intervala, nejednakost će biti tačna.

* Imajte na umu da smo stavili zagrade. Za x = 3 i x = –7, nejednakost će biti netačna - granice nisu uključene u rješenje.

Odgovor: x∊ (–∞; –7) U (3; + ∞)

PRIMJER 3: Riješi – x 2 –9 x–20 > 0

Rješavanje kvadratne jednadžbe – x 2 –9 x–20 = 0.

a = –1 b = –9 c = –20

D = b 2 –4 ac = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Pronađite korijene:

Zamijenite koeficijent a i korijena u formuli (2), dobijamo:

– x 2 –9 x–20 = - (x - (- 5)) (x - (- 4)) = - (x + 5) (x + 4)

Nejednakost zapisujemo u obliku - (x + 5) (x + 4)> 0.

Korijeni jednadžbe dijele brojevnu osu na intervale. Napomena na brojevnoj pravoj:

* Nejednakost je stroga, stoga oznake korijena nisu zasjenjene. Primljena tri intervala (–∞; –5), (–5; –4) i (–4; + ∞).

Definiramo "znakove" u intervalima, to radimo zamjenom u izrazu - (x + 5) (x + 4) proizvoljne vrijednosti ovih intervala i pogledajte korespondenciju nejednakosti - (x + 5) (x + 4)> 0:

pri x = –10 - (–10 + 5) (- 10 +4) = –30< 0 неверно

pri x = –4,5 - (–4,5 + 5) (- 4,5 + 4) = 0,25> 0 istina

pri x = 0 - (0 + 5) (0 +4) = –20< 0 неверно

Rješenje će biti interval (–5; –4). Za sve vrijednosti "x" koje mu pripadaju, nejednakost će biti tačna.

* Imajte na umu da granice nisu uključene u rješenje. Za x = –5 i x = –4, nejednakost će biti netačna.

KOMENTAR!

Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe možemo dobiti jedan korijen ili uopće neće biti korijena, tada kada se ova metoda koristi slijepo, mogu nastati poteškoće u određivanju rješenja.

Mali sažetak! Metoda je dobra i zgodna je za korištenje, posebno ako poznajete kvadratnu funkciju i poznajete svojstva njenog grafa. Ako ne, pročitajte ga, idemo na sljedeći odjeljak.

Korištenje grafa kvadratne funkcije. Preporučeno!

Kvadrat je funkcija oblika:

Njegov graf je parabola, grane parabole su usmjerene gore ili dolje:

Grafikon se može postaviti na sljedeći način: može prelaziti x-osu u dvije tačke, može je dodirnuti u jednoj tački (apeks), ne može je preći. Više o ovome kasnije.

Pogledajmo sada ovaj pristup na primjeru. Cijeli proces rješenja sastoji se od tri faze. Riješite nejednakost x 2 +2 x –8 >0.

Prva faza

Rješavanje jednačine x 2 +2 x–8=0.

D = b 2 –4 ac = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Pronađite korijene:

Dobili smo x 1 = 2 i x 2 = - 4.

Druga faza

Izgradnja parabole y =x 2 +2 x–8 po bodovima:

Tačke - 4 i 2 su tačke preseka parabole i ose vola. To je tako jednostavno! Šta si uradio? Riješili smo kvadratnu jednačinu x 2 +2 x–8=0. Pogledajte njegov unos u ovom obliku:

0 = x 2+ 2x - 8

Nula za nas je vrijednost "y". Kada je y = 0, dobijamo apscise tačaka preseka parabole sa x-osom. Možemo reći da je nulta vrijednost "y" osa oh.

Sada pogledajte koje su vrijednosti izraza x x 2 +2 x – 8 više (ili manje) nula? Prema grafu parabole nije teško odrediti, kako kažu, sve je na vidiku:

1. Za x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x 2 +2 x –8 će biti pozitivna.

2. Na –4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x 2 +2 x –8 će biti negativan.

3. Za x> 2, grana parabole leži iznad x ose. Sa označenim x, tročlani x 2 +2 x –8 će biti pozitivna.

Treća faza

Po paraboli možemo odmah vidjeti pri čemu je x izraz x 2 +2 x–8 veći od nule, jednak nuli, manji od nule. Ovo je suština trećeg koraka rješenja, naime vidjeti i identificirati pozitivne i negativne oblasti na slici. Dobiveni rezultat uspoređujemo s izvornom nejednakošću i zapisujemo odgovor. U našem primjeru potrebno je odrediti sve vrijednosti x na kojima je izraz x 2 +2 x–8 Iznad nule. To smo uradili u drugoj fazi.

Ostaje da zapišemo odgovor.

Odgovor: x∊ (–∞; –4) U (2; ∞).

Da rezimiramo: nakon što smo izračunali korijene jednadžbe u prvom koraku, možemo označiti dobijene tačke na x-osi (ovo su tačke preseka parabole sa x-osom). Zatim šematski gradimo parabolu i već možemo vidjeti rješenje. Zašto shematski? Ne treba nam matematički tačan grafikon. I zamislite, na primjer, ako su korijeni 10 i 1500, pokušajte napraviti tačan graf na listu u ćeliji s takvim brojem vrijednosti. Postavlja se pitanje! Pa, dobili smo korijene, pa, označili smo ih na oh-osi, ali skicirajte lokaciju same parabole - sa granama gore ili dolje? Ovdje je sve jednostavno! Koeficijent na x 2 će vam reći:

- ako je veći od nule, tada su grane parabole usmjerene prema gore.

- ako je manji od nule, tada su grane parabole usmjerene prema dolje.

U našem primjeru jednak je jedan, odnosno pozitivan.

*Bilješka! Ako nejednakost sadrži nestrogi znak, odnosno ≤ ili ≥, tada bi korijeni na brojevnoj liniji trebali biti zasjenjeni, to konvencionalno znači da je granica samog intervala uključena u rješenje nejednakosti. U ovom slučaju, korijeni nisu zasjenjeni (izdubljeni), jer je naša nejednakost stroga (postoji znak ">"). Štaviše, u odgovoru se u ovom slučaju stavljaju zagrade, a ne uglaste zagrade (granice nisu uključene u rješenje).

Dosta je napisano, verovatno sam nekoga zbunio. Ali ako riješite barem 5 nejednačina pomoću parabola, tada nema granice vašem divljenju. To je tako jednostavno!

Dakle, ukratko:

1. Zapisujemo nejednačinu i dovodimo je do standardne.

2. Zapišite kvadratnu jednačinu i riješite je.

3. Nacrtajte x-osu, označite rezultujuće korijene, shematski nacrtajte parabolu, granajte se prema gore ako je koeficijent na x 2 pozitivan, ili granate prema dolje ako je negativan.

4. Odredite vizuelno pozitivne ili negativne oblasti i zapišite odgovor na izvornu nejednakost.

Pogledajmo neke primjere.

PRIMJER 1: Riješi x 2 –15 x+50 > 0

Prva faza.

Rješavanje kvadratne jednadžbe x 2 –15 x+50=0

D = b 2 –4 ac = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Pronađite korijene:

Druga faza.

Gradimo oh osovinu. Označimo dobijene korijene. Pošto je naša nejednakost stroga, nećemo ih zasjeniti. Šematski gradimo parabolu, ona se nalazi sa granama prema gore, budući da je koeficijent pri x 2 pozitivan:

Treća faza.

Definiramo vizualno pozitivna i negativna područja, ovdje smo ih označili različitim bojama radi jasnoće, to ne možete učiniti.

Zapisujemo odgovor.

Odgovor: x∊ (–∞; 5) U (10; ∞).

* U znak označava rješenje ujedinjenja. Slikovito to možete izraziti ovako, rješenje je "ovaj" I "ovaj" interval.

PRIMJER 2: Riješi – x 2 + x+20 ≤ 0

Prva faza.

Rješavanje kvadratne jednadžbe – x 2 + x+20=0

D = b 2 –4 ac = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Pronađite korijene:

Druga faza.

Gradimo oh osovinu. Označimo dobijene korijene. Budući da naša nejednakost nije stroga, zasjenimo oznake korijena. Šematski gradimo parabolu, ona se nalazi sa granama nadole, jer je koeficijent na x 2 negativan (jednak je –1):

Treća faza.

Odredite vizuelno pozitivna i negativna područja. Uporedite sa originalnom nejednakošću (naš predznak je ≤ 0). Nejednakost će biti tačna za x ≤ - 4 i x ≥ 5.

Zapisujemo odgovor.

Odgovor: x∊ (–∞; –4] U ∪ [1 + 3 4, + ∞) ili x ≤ 1 - 3 4, x ≥ 1 + 3 4.

Primjer 3

Riješite kvadratnu nejednačinu - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.

Rješenje

Prvo, nalazimo korijene kvadratnog trinoma s lijeve strane nejednakosti:

D "= 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7

Ovo je stroga nejednakost, tako da koristimo "praznu" tačku na grafu. Sa koordinatom 7.

Sada treba da odredimo predznake na rezultujućim intervalima (- ∞, 7) i (7, + ∞). Kako je diskriminanta kvadratnog trinoma nula, a vodeći koeficijent negativan, stavljamo predznake -, -:

Pošto rješavamo označenu nejednačinu< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

U ovom slučaju rješenja su oba intervala (- ∞, 7), (7, + ∞).

odgovor:(- ∞, 7) ∪ (7, + ∞) ili u drugom zapisu x ≠ 7.

Primjer 4

Da li je kvadratna nejednakost x 2 + x + 7< 0 решения?

Rješenje

Nađite korijene kvadratnog trinoma s lijeve strane nejednačine. Da bismo to učinili, nalazimo diskriminanta: D = 1 2 - 4 · 1 · 7 = 1 - 28 = - 27. Diskriminant je manji od nule, što znači da nema pravih korijena.

Grafička slika će izgledati kao brojevna prava bez označenih tačaka.

Odredimo predznak vrijednosti kvadratnog trinoma. Kada je D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :

U ovom slučaju, mogli bismo primijeniti senčenje preko praznina sa znakom "-". Ali kod nas nema takvih praznina. Stoga crtež zadržava ovaj izgled:

Kao rezultat proračuna, dobili smo prazan skup. To znači da ova kvadratna nejednakost nema rješenja.

odgovor: br.

Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter

U ovom dijelu smo prikupili informacije o kvadratnim nejednačinama i osnovnim pristupima njihovom rješavanju. Konsolidirajmo gradivo analizom primjera.

Šta je kvadratna nejednakost

Pogledajmo kako razlikovati nejednakosti različitih tipova prema vrsti notacije i među njima razlikovati kvadratne.

Definicija 1

Kvadratna nejednakost Je nejednakost koja ima oblik a x 2 + b x + c< 0 gdje su a, b i c- štaviše, neki brojevi a nije nula. x je varijabla i umjesto znaka < može biti bilo koji drugi znak nejednakosti.

Drugi naziv za kvadratne jednačine je naziv "nejednakosti drugog stepena". Prisustvo drugog imena može se objasniti na sljedeći način. Na lijevoj strani nejednakosti nalazi se polinom drugog stepena - kvadratni trinom. Primjena termina "kvadratne nejednakosti" na kvadratne nejednakosti je netočna, budući da su kvadratne funkcije funkcije koje su date jednadžbama oblika y = a x 2 + b x + c.

Evo primjera kvadratne nejednakosti:

Primjer 1

Uzmimo 5 x 2 - 3 x + 1> 0... U ovom slučaju a = 5, b = - 3 i c = 1.

Ili ova nejednakost:

Primjer 2

- 2, 2 z 2 - 0,5 z - 11 ≤ 0, gdje je a = - 2, 2, b = - 0, 5 i c = - 11.

Pokažimo nekoliko primjera nejednakosti kvadrata:

Primjer 3

Posebnu pažnju treba obratiti na činjenicu da je koeficijent at x 2 smatra se da nije nula. Ovo se objašnjava činjenicom da ćemo u suprotnom dobiti linearnu nejednakost oblika b x + c> 0, budući da će kvadratna varijabla kada se pomnoži sa nulom sama postati jednaka nuli. Štaviše, koeficijenti b i c može biti jednak nuli i zajedno i odvojeno.

Primjer 4

Primjer takve nejednakosti x 2 - 5 ≥ 0.

Načini rješavanja kvadratnih nejednačina

Postoje tri glavne metode:

Definicija 2

• grafički;
• metoda intervala;
• isticanjem kvadrata binoma na lijevoj strani.

Grafička metoda

Metoda uključuje konstrukciju i analizu grafa kvadratne funkcije y = a x 2 + b x + c za kvadratne nejednačine a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥). Rješenje kvadratne nejednakosti su intervali ili intervali u kojima navedena funkcija poprima pozitivne i negativne vrijednosti.

Metoda razmaka

Kvadratnu nejednačinu s jednom promjenljivom možete riješiti metodom intervala. Metoda je primjenjiva za rješavanje bilo koje vrste nejednakosti, ne samo kvadratnih. Suština metode je određivanje znakova intervala na koje je koordinatna os podijeljena nulama trinoma a x 2 + b x + c ako je dostupno.

Za nejednakost a x 2 + b x + c< 0 rješenja su intervali sa predznakom minus, za nejednakost a x 2 + b x + c> 0, razmaci sa znakom plus. Ako imamo posla sa nestriktnim nejednačinama, tada rješenje postaje interval koji uključuje točke koje odgovaraju nulama trinoma.

Odabir kvadrata binoma

Princip odvajanja kvadrata binoma na lijevoj strani kvadratne nejednakosti sastoji se u izvođenju ekvivalentnih transformacija koje nam omogućavaju da pređemo na rješenje ekvivalentne nejednakosti oblika (x - p) 2< q (≤ , >, ≥), gdje str i q- neki brojevi.

Jednake transformacije se mogu koristiti da se dođe do kvadratnih nejednačina iz nejednakosti drugih tipova. To se može učiniti na različite načine. Na primjer, preuređivanjem pojmova u datoj nejednakosti ili prijenosom pojmova iz jednog dijela u drugi.

Dajemo primjer. Razmotrimo ekvivalentnu transformaciju nejednakosti 5 ≤ 2 x - 3 x 2... Ako prenesemo sve članove s desne strane na lijevu stranu, onda ćemo dobiti kvadratnu nejednakost oblika 3 x 2 - 2 x + 5 ≤ 0.

Primjer 5

Potrebno je pronaći skup rješenja nejednačine 3 (x - 1) (x + 1)< (x − 2) 2 + x 2 + 5 .

Rješenje

Za rješavanje problema koristimo se skraćenim formulama za množenje. Da bismo to učinili, skupljamo sve pojmove na lijevoj strani nejednakosti, širimo zagrade i predstavljamo slične pojmove:

3 (x - 1) (x + 1) - (x - 2) 2 - x 2 - 5< 0 , 3 · (x 2 − 1) − (x 2 − 4 · x + 4) − x 2 − 5 < 0 , 3 · x 2 − 3 − x 2 + 4 · x − 4 − x 2 − 5 < 0 , x 2 + 4 · x − 12 < 0 .

Dobili smo ekvivalentnu kvadratnu nejednačinu koja se može riješiti grafički određivanjem diskriminantne i presječne točke.

D '= 2 2 - 1 (- 12) = 16, x 1 = - 6, x 2 = 2

Nakon što smo izgradili graf, možemo vidjeti da je skup rješenja interval (- 6, 2).

odgovor: (− 6 , 2) .

Iracionalne i logaritamske nejednakosti su primjeri nejednakosti koje se često svode na kvadratne. Tako, na primjer, nejednakost 2 x 2 + 5< x 2 + 6 · x + 14

je ekvivalentna kvadratnoj nejednakosti x 2 - 6 x - 9< 0 , a logaritamska nejednakost log 3 (x 2 + x + 7) ≥ 2 - na nejednakost x 2 + x - 2 ≥ 0.

Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter

Ovaj članak je sakupio materijal koji pokriva temu “ rješenje kvadratnih nejednačina". Prvo se pokazuje šta su kvadratne nejednakosti sa jednom promenljivom i daje se njihov opšti oblik. Zatim se detaljno raspravlja o tome kako riješiti kvadratne nejednakosti. Prikazani su glavni pristupi rješenju: grafička metoda, metoda intervala i isticanjem kvadrata binoma na lijevoj strani nejednačine. Navedena su rješenja tipičnih primjera.

Navigacija po stranici.

Šta je kvadratna nejednakost?

Naravno, prije nego što govorimo o rješavanju kvadratnih nejednakosti, mora se jasno razumjeti šta je kvadratna nejednačina. Drugim riječima, morate biti u stanju da razlikujete kvadratne nejednakosti od nejednakosti drugih tipova prema vrsti notacije.

Definicija.

Kvadratna nejednakost Je nejednakost oblika a x 2 + b x + c<0 (вместо знака >može biti bilo koji drugi znak nejednakosti ≤,>, ≥), gdje su a, b i c neki brojevi, a a ≠ 0, a x je varijabla (promjenljiva se može označiti bilo kojim drugim slovom).

Odmah dajmo još jedno ime za kvadratne nejednačine - nejednakosti drugog stepena... Ovaj naziv se objašnjava činjenicom da je na lijevoj strani nejednačina a x 2 + b x + c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

Također ponekad možete čuti da se kvadratne nejednakosti nazivaju kvadratne nejednakosti. Ovo nije sasvim tačno: definicija "kvadratično" se odnosi na funkcije definisane jednadžbama oblika y = a · x 2 + b · x + c. Dakle, postoje kvadratne nejednakosti i kvadratne funkcije ali ne i kvadratne nejednakosti.

Pokažimo neke primjere kvadratnih nejednačina: 5 · x 2 −3 · x + 1> 0, ovdje je a = 5, b = −3 i c = 1; −2,2 z 2 −0,5 z − 11≤0, koeficijenti ove kvadratne nejednakosti su a = −2,2, b = −0,5 i c = −11; , u ovom slučaju .

Imajte na umu da se u definiciji kvadratne nejednakosti koeficijent a na x 2 smatra različitim od nule. Ovo je razumljivo, jednakost koeficijenta a prema nuli će zapravo "ukloniti" kvadrat, a mi ćemo se baviti linearnom nejednakošću oblika b · x + c> 0 bez kvadrata varijable. Ali koeficijenti b i c mogu biti jednaki nuli, i odvojeno i istovremeno. Evo primjera takvih kvadratnih nejednakosti: x 2 −5≥0, ovdje je koeficijent b na promjenljivoj x jednak nuli; −3 x 2 −0,6 x<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 i b i c su nula.

Kako riješiti kvadratne nejednačine?

Sada možete biti zbunjeni pitanjem kako riješiti kvadratne nejednakosti. U osnovi, postoje tri glavne metode koje se koriste za rješenje:

• grafička metoda (ili, kao u A.G. Mordkovich, funkcionalno-grafička),
• intervalna metoda,
• i rješenje kvadratnih nejednačina isticanjem kvadrata binoma na lijevoj strani.

Grafički

Odmah da rezervišemo da se metoda rješavanja kvadratnih nejednačina, koju počinjemo razmatrati, u školskim udžbenicima ne naziva grafičkom. Međutim, u stvari, to je to. Štaviše, prvo poznanstvo sa grafičko rješavanje nejednačina obično počinje kada se postavi pitanje kako riješiti kvadratne nejednakosti.

Grafički način rješavanja kvadratnih nejednačina a x 2 + b x + c<0 (≤, >, ≥) sastoji se u analizi grafa kvadratne funkcije y = a x 2 + b x + c kako bi se pronašli intervali u kojima navedena funkcija poprima negativne, pozitivne, nepozitivne ili nenegativne vrijednosti. Ovi intervali čine rješenja kvadratnih nejednačina a x 2 + b x + c<0 , a·x 2 +b·x+c>0, ax2 + bx + c≤0 i ax2 + bx + c≥0, respektivno.

Metodom intervala

Za rješavanje kvadratnih nejednačina jednom promjenljivom, pored grafičke, prilično je zgodna metoda intervala, koja je sama po sebi vrlo univerzalna, te je pogodna za rješavanje različitih nejednačina, a ne samo kvadratnih. Njegova teorijska strana je izvan okvira algebre u 8., 9. razredu, kada uče rješavati kvadratne nejednačine. Stoga, ovdje nećemo ulaziti u teorijske osnove metode intervala, već ćemo se fokusirati na to kako se točno kvadratne nejednačine rješavaju uz pomoć nje.

Suština metode intervala, u odnosu na rješenje kvadratnih nejednačina a x 2 + b x + c<0 (≤, >, ≥), sastoji se u određivanju znakova koji imaju vrijednosti kvadratnog trinoma a x 2 + b x + c na intervalima na koje je koordinatna osa podijeljena nulama ovog trinoma (ako ih ima). Intervali sa predznacima minus čine rješenja kvadratne nejednačine a x 2 + b x + c<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0, a pri rješavanju nestrogih nejednačina označenim intervalima se dodaju tačke koje odgovaraju nulama trinoma.

Možete se upoznati sa svim detaljima ove metode, njenim algoritmom, pravilima postavljanja znakova na intervalima i razmotriti gotova rješenja za tipične primjere sa datim ilustracijama, pozivajući se na materijalno rješenje članka rješenje kvadratnih nejednačina metodom intervalima.

Odabirom kvadrata binoma

Pored grafičke metode i metode intervala, postoje i drugi pristupi koji omogućavaju rješavanje kvadratnih nejednačina. I došli smo do jednog od njih, koji je zasnovan na izbor kvadrata binoma na lijevoj strani kvadratne nejednakosti.

Princip ove metode za rješavanje kvadratnih nejednačina je izvođenje ekvivalentnih transformacija nejednačine, koje omogućavaju prijelaz na rješenje ekvivalentne nejednačine oblika (x − p) 2 , ≥), gdje su p i q neki brojevi.

A kako je prijelaz na nejednakost (x − p) 2 , ≥) i kako ga riješiti objašnjava se rješenjem kvadratnih nejednačina odabirom kvadrata binoma. Postoje i primjeri rješavanja kvadratnih nejednačina na ovaj način i date su potrebne grafičke ilustracije.

Nejednakosti koje se svode na kvadrat

U praksi se vrlo često mora suočiti s nejednačinama koje se pomoću ekvivalentnih transformacija svode na kvadratne nejednačine oblika a x 2 + b x + c<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

Počnimo s primjerima najjednostavnijih nejednačina koje se svode na kvadratne. Ponekad, da bi se prešlo na kvadratnu nejednakost, dovoljno je preurediti članove u ovoj nejednakosti ili ih preneti iz jednog dela u drugi. Na primjer, ako prenesemo sve članove s desne strane nejednakosti 5≤2 · x-3 Drugi primjer: preuređivanjem na lijevoj strani nejednakosti 5 + 0,6 x 2 −x<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

U školi, na časovima algebre, kada nauče rješavati kvadratne nejednačine, bave se i njima rješenje racionalnih nejednakosti svedeno na kvadrat. Njihovo rješenje uključuje prijenos svih članova na lijevu stranu sa naknadnom transformacijom izraza koji se tamo formira u oblik a · x 2 + b · x + c izvršavanjem. Pogledajmo primjer.

Primjer.

Pronađite skup rješenja nejednakosti 3 (x − 1) (x + 1)<(x−2) 2 +x 2 +5 .iracionalnu nejednakost je ekvivalentna kvadratnoj nejednakosti x 2 −6 x − 9<0 , а logaritamska nejednakost - nejednakost x 2 + x − 2≥0.

Bibliografija.

• algebra: studija. za 8 cl. opšte obrazovanje. institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008.-- 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• algebra: 9. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje. institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2009.-- 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• A. G. Mordkovich Algebra. 8. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009.-- 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• A. G. Mordkovich Algebra. 9. razred. U 14:00 Deo 1. Udžbenik za studente obrazovnih institucija / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemozina, 2011.-- 222 str.: Il. ISBN 978-5-346-01752-3.
• A. G. Mordkovich Algebra i početak matematičke analize. 11. razred. U 14:00 1. dio. Udžbenik za studente obrazovnih institucija (profilni nivo) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosina, 2008.-- 287 str.: Il. ISBN 978-5-346-01027-2.