Određivanje ispravnog tetraedra. Pravilni tetraedar (piramida). Tetraedri u mikrosvijetu

Sva njegova lica su jednaki trouglovi. Rasklop izoedarskog tetraedra je trokut podijeljen sa tri srednje linije na četiri jednaka trougla. U jednakostraničnom tetraedru, osnove visina, sredine visina i tačke preseka visina lica leže na površini jedne sfere (sfera od 12 tačaka) (analog Ojlerovog kruga za trokut) .

Svojstva izoedarskog tetraedra:

• Sva njegova lica su jednaka (kongruentna).
• Ukrštene ivice su jednake u parovima.
• Trouglasti uglovi su jednaki.
• Suprotni diedarski uglovi su jednaki.
• Dva ravna ugla na jednoj ivici su jednaka.
• Zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 180°.
• Rasklopiti tetraedar - trokut ili paralelogram.
• Opisani paralelepiped je pravougaonog oblika.
• Tetraedar ima tri ose simetrije.
• Uobičajene okomice ukrštanja rebara su uparene okomite.
• Srednje linije su okomite u parovima.
• Perimetri lica su jednaki.
• Površine lica su jednake.
• Visine tetraedra su jednake.
• Segmenti linija koji povezuju vrhove sa težištima suprotnih strana su jednaki.
• Radijusi kružnica opisanih oko ivica su jednaki.
• Težište tetraedra se poklapa sa centrom opisane sfere.
• Težište se poklapa sa centrom upisane sfere.
• Centar opisane sfere poklapa se sa centrom upisane.
• Upisana sfera dodiruje lica u središtima kružnica opisanih oko ovih lica.
• Zbir vanjskih jediničnih normala (jediničnih vektora okomitih na lica) je nula.
• Zbir svih diedarskih uglova je nula.

Ortocentrični tetraedar

Sve visine spuštene od vrhova do suprotnih strana seku se u jednoj tački.

Svojstva ortocentričnog tetraedra:

• Visine tetraedra se seku u jednoj tački.
• Osnove visina tetraedra su ortocentri lica.
• Svake dvije suprotne ivice tetraedra su okomite.
• Zbroji kvadrata suprotnih ivica tetraedra su jednaki.
• Segmenti koji spajaju sredine suprotnih ivica tetraedra su jednaki.
• Produkti kosinusa suprotnih diedarskih uglova su jednaki.
• Zbir kvadrata površina lica je četiri puta manji od zbira kvadrata proizvoda suprotnih ivica.
• Imati ortocentrični tetraedar krug od 9 tačaka (Ojlerov krug) svakog lica pripada jednoj sferi (sfera od 24 tačke).
• Imati ortocentrični tetraedar težišta i tačke preseka visina lica, kao i tačke koje dele segmente svake visine tetraedra od vrha do tačke preseka visina u odnosu 2:1, leže na ista sfera (sfera od 12 tačaka).

Pravougaoni tetraedar

Sve ivice koje su susjedne jednom od vrhova su okomite jedna na drugu. Pravougaoni tetraedar se dobija odsecanjem tetraedra ravninom od pravougaonog paralelepipeda.

Skeleton tetrahedron

To je tetraedar koji ispunjava bilo koji od sljedećih uslova:

• postoji sfera koja dodiruje sve ivice,
• sume dužina ukrštanja ivica su jednake,
• sume diedarskih uglova na suprotnim ivicama su jednake,
• krugovi upisani u lica dodiruju se u parovima,
• opisani su svi četvorouglovi dobijeni na tetraedru,
• okomice podignute na lica iz središta u njima upisanih krugova seku se u jednoj tački.

Promjerni tetraedar

Svojstva srazmjernog tetraedra:

• Visine su jednake. Tetraedarski bifeti su zajedničke okomice na dvije ukrštajuće ivice tetraedra (ivice koje nemaju zajedničke vrhove).
• Projekcija tetraedra na ravan okomitu na bilo koju bimedijanci, postoji romb. Bimedijanci tetraedar se naziva segmentima koji spajaju sredine njegovih rubova koji se ukrštaju (koji nemaju zajedničke vrhove).
• Lica opisanog paralelepipeda su iste veličine.
• Ispunjeni su sljedeći odnosi: $4a\; ^\; 2\; (a\_1)\; ^\; 2-\; (b\; ^\; 2\; +\; (b\_1)\; ^\; 2-c\; ^\; 2-\; (c\_1)\; ^\; 2)\; ^\; 2\; =\; 4b\; ^\; 2\; (b\_1)\; ^\; 2-\; (c\; ^\; 2\; +\; (c\_1)\; ^\; 2-a\; ^\; 2-\; (a\_1)\; ^\; 2)\; ^\; 2\; =\; 4c\; ^\; 2\; (c\_1)\; ^\; 2-\; (a\; ^\; 2\; +\; (a\_1)\; ^\; 2-b\; ^\; 2-\; (b\_1)\; ^\; 2)\; ^\; 2$, gdje $a$ i $a\_1$, $b$ i $b\_1$, $c$ i $c\_1$- dužina suprotnih rebara.
• Za svaki par suprotnih ivica tetraedra, ravnine povučene kroz jednu od njih i sredinu druge su okomite.
• Sfera se može upisati u opisani paralelepiped srazmjernog tetraedra.

Incentrični tetraedar

Kod ovog tipa, segmenti koji povezuju vrhove tetraedra sa centrima kružnica upisanih u suprotne strane seku se u jednoj tački. Osobine incentričnog tetraedra:

• Segmenti koji povezuju težišta lica tetraedra sa suprotnim vrhovima (medijani tetraedra) uvijek se sijeku u jednoj tački. Ova tačka je centar gravitacije tetraedra.
• Komentar... Ako u posljednjem stanju zamijenimo težišta lica sa ortocentrima lica, onda će se to pretvoriti u novu definiciju ortocentrični tetraedar... Ako ih zamijenimo centrima kružnica upisanih u lica, koja se ponekad nazivaju centrima, dobićemo definiciju nove klase tetraedara - incentric.
• Segmenti koji povezuju vrhove tetraedra sa centrima kružnica upisanih u suprotne strane seku se u jednoj tački.
• Simetrale uglova dvaju lica, povučene na zajedničku ivicu ovih lica, imaju zajedničku osnovu.
• Produkti dužina suprotnih ivica su jednaki.
• Trougao formiran od drugih tačaka preseka tri ivice koje se protežu iz jednog vrha sa bilo kojom sferom koja prolazi kroz tri kraja ovih ivica je jednakostraničan.

Regularni tetraedar

To je izoedarski tetraedar, sve njegove strane su pravilni trouglovi. To je jedno od pet Platonovih tijela.

Svojstva pravilnog tetraedra:

• sve ivice tetraedra su jednake jedna drugoj,
• sve strane tetraedra su jednake jedna drugoj,
• perimetri i površine svih lica su međusobno jednaki.
• Pravilni tetraedar je istovremeno ortocentrično, okvirno, ekvidistantno, incentrično i proporcionalno.
• Tetraedar je ispravan ako pripada bilo koje dvije od sljedećih vrsta tetraedara: ortocentrično, okvirno, incentrično, proporcionalno, jednako.
• Tetraedar je ispravan ako jeste jednaka i pripada jednoj od sljedećih vrsta tetraedara: ortocentrična, okvirna, incentrična, proporcionalna.
• Oktaedar se može upisati u pravilan tetraedar, štaviše, četiri (od osam) lica oktaedra će biti poravnate sa četiri strane tetraedra, svih šest vrhova oktaedra će biti poravnato sa središtima šest ivica tetraedar.
• Pravilan tetraedar se sastoji od jednog upisanog oktaedra (u centru) i četiri tetraedra (duž vrhova), a ivice ovih tetraedara i oktaedra su upola manji od ivica pravilnog tetraedra.
• Pravilan tetraedar se može upisati u kocku na dva načina, štaviše, četiri vrha tetraedra će biti poravnata sa četiri vrha kocke.
• Pravilan tetraedar se može upisati u ikosaedar, štaviše, četiri vrha tetraedra će biti poravnata sa četiri vrha ikosaedra.
• Ukrštene ivice pravilnog tetraedra su međusobno okomite.

Volumen tetraedra

• Volumen tetraedra (uzimajući u obzir znak), čiji se vrhovi nalaze u tačkama $\backslash \; mathbf\; (r)\; \_1\; (x\_1,\; y\_1,\; z\_1),$ $\backslash \; mathbf\; (r)\; \_2\; (x\_2,\; y\_2,\; z\_2),$ $\backslash \; mathbf\; (r)\; \_3\; (x\_3,\; y\_3,\; z\_3),$ $\backslash \; mathbf\; (r)\; \_4\; (x\_4,\; y\_4,\; z\_4),$ je jednako sa

$V\; =\; \backslash \; frac16$

\ begin (vmatrix) 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \ end (vmatrix) = \ frac16 \ begin ( vmatrix) x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1 & z_4 - z_1 \ end (vmatrix), ili

$V\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (3)\; \backslash \; S\; H,$

gdje $S$ Da li je područje bilo kojeg lica, i $H$- visina je pala na ovu ivicu.

• Zapremina tetraedra u smislu dužina ivica izražava se pomoću Cayley-Mengerove determinante:

$288\; \backslash \; cdot\; V\; ^\; 2\; =$

0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & d_ (12) ^ 2 & d_ (13) ^ 2 & d_ (14) ^ 2 \\ 1 & d_ (12) ^ 2 & 0 & d_ ( 23) ^ 2 & d_ (24) ^ 2 \\ 1 & d_ (13) ^ 2 & d_ (23) ^ 2 & 0 & d_ (34) ^ 2 \\ 1 & d_ (14) ^ 2 & d_ ( 24) ^ 2 & d_ (34) ^ 2 & 0

\ end (vmatrix).

• Ova formula ima ravni analog za površinu trokuta u obliku varijante Heronove formule kroz sličnu determinantu.
• Zapremina tetraedra kroz dužine dvije suprotne ivice a i b poput ukrštanja linija koje su udaljene h jedan od drugog i formiraju ugao jedan s drugim $\backslash \; phi$, nalazi se po formuli:

$V\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (6)\; ab\; h\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi.$

$V\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (3)\; \backslash \; abc\; \backslash \; sqrt\; (D),$

gdje $$D\; =\; \backslash \; započeti\; (vmatrix)$$

1 & \ cos \ gamma & \ cos \ beta \\ \ cos \ gamma & 1 & \ cos \ alpha \\ \ cos \ beta & \ cos \ alpha & 1 \ end (vmatrix).

• Analog za ravninu posljednje formule je formula za površinu trokuta u smislu dužina njegovih dviju strana a i b koji izlaze iz jednog vrha i formiraju ugao jedan s drugim $\backslash \; gama$:

$S\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (2)\; \backslash \; ab\; \backslash \; sqrt\; (D),$

gdje $D\; =\; \backslash \; započeti\; (vmatrix)$

1 & \ cos \ gamma \\ \ cos \ gamma & 1 \\ \ end (vmatrix).

Tetraedri u mikrosvijetu

• Pravilni tetraedar nastaje tokom sp 3 -hibridizacije atomskih orbitala (njihove ose su usmerene na vrhove pravilnog tetraedra, a jezgro centralnog atoma se nalazi u centru opisane sfere pravilnog tetraedra), dakle, mnogi molekuli u kojima se odvija takva hibridizacija centralnog atoma imaju oblik ovog poliedra
• Molekul metana CH 4
• Sulfat ion SO 4 2-, fosfat ion PO 4 3-, perhlorat ion ClO 4 - i mnogi drugi joni
• Dijamant C je tetraedar sa ivicom jednakom 2,5220 angstroma
• Fluorit CaF 2, tetraedar sa ivicom jednakom 3, 8626 angstroma
• Sfalerit, ZnS, tetraedar sa ivicom jednakom 3.823 angstroma
• Kompleksni joni -, 2-, 2-, 2+
• Silikati, čija je struktura zasnovana na tetraedru silicijum-kiseonik 4-

Tetraedri u prirodi

Neki plodovi, kojih je četiri s jedne strane, nalaze se na vrhovima tetraedra, koji je blizu ispravnog. Ovaj dizajn je zbog činjenice da su centri četiri identične kugle koje dodiruju jedna drugu u vrhovima pravilnog tetraedra. Dakle, loptasti plodovi čine sličan međusobni raspored. Na primjer, orasi se mogu postaviti na ovaj način.

Tetraedri u tehnologiji

vidi takođe

• Simpleks - n-dimenzionalni tetraedar

Napišite recenziju na članak "Tetrahedron"

Bilješke (uredi)

Književnost

• Matizen V.E., Dubrovsky. Iz geometrije tetraedra "Kvant", br. 9, 1988 P.66.
• Zaslavsky A.A. // Matematičko obrazovanje, ser. 3 (2004), br. 8, str. 78-92.

tacno tacno nekonveksan Konveksna formule, teoreme, teorija Ostalo

Izvod iz Tetraedra

Četvrtog dana počeli su požari na Zubovskom valu.
Pjer i još trinaest drugih odvedeni su u Krimski Brod, u kočiju jedne trgovačke kuće. Prolazeći ulicama, Pjer se gušio od dima koji kao da se nadvijao nad cijelim gradom. Požari su se mogli vidjeti sa raznih strana. Pjer još nije shvatio značaj spaljene Moskve u to vreme i sa užasom je gledao na ove požare.
U kočiji jedne kuće u blizini Krimskog Broda Pjer je ostao još četiri dana, a ovih dana je iz razgovora francuskih vojnika saznao da su svi koji su tu bili svaki dan očekivali maršalovu odluku. Kakav maršal, Pjer nije mogao saznati od vojnika. Za vojnika je, očigledno, maršal izgledao kao najviša i pomalo misteriozna karika moći.
Ovi prvi dani, do 8. septembra, dana kada su zatvorenici odvedeni na drugo ispitivanje, bili su za Pjera najteži.

X
Dana 8. septembra u štalu je zarobljenicima ušao veoma važan oficir, sudeći po poštovanju stražara prema njemu. Ovaj oficir, verovatno štabni oficir, sa spiskom u rukama, dozivao je sve Ruse, nazivajući Pjera: celui qui n "avoue pas son nom [onaj koji ne izgovara svoje ime]. I ravnodušno i lenjo gledajući sve zarobljenike, naredio je strazaru da ih oficir propisno obuce i sredi prije nego ih odvede do marsala.Sat vremena kasnije stigla je ceta vojnika, a Pjer i ostalih trinaest odvedeni su na Djevojacko polje. Dan je bio vedar ,sunčano posle kiše,a vazduh je bio neobično čist.onog dana kada je Pjer izveden iz stražarnice Zubovskog okna;dim se dizao u stubovima na čistom vazduhu.Vatre nigde nije bilo,ali su se stubovi dima dizali iz svi pravci, i cela Moskva, sve što je Pjer mogao da vidi, bio je jedan požar.sa svih strana videla se pustoš sa pećima i dimnjacima i povremeno spaljeni zidovi kamenih kuća.Pjer je izbliza zurio u vatre i nije prepoznao poznate odaje grada. lice. U neposrednoj blizini veselo je blistala kupola manastira Novo Deviči, a odatle su se posebno glasno čula zvona i zvižduci. Ova poruka podsjetila je Pjera da je nedjelja i praznik Rođenja Bogorodice. Ali, činilo se da nema ko da proslavi ovaj praznik: svuda je bilo razaranja požara, a od ruskog naroda tek povremeno je bilo odrpanih, uplašenih ljudi koji su se krili na vidiku Francuza.
Očigledno, rusko gnijezdo je opustošeno i uništeno; ali iza uništenja ovog ruskog poretka života, Pjer je nesvesno osećao da je nad ovim razorenim gnezdom uspostavljen njegov, sasvim drugačiji, ali čvrst francuski poredak. Osjetio je to na vidiku onih, veselo i veselo, u pravilnim redovima marširajućih vojnika koji su ga pratili s drugim zločincima; mogao je to osjetiti od pogleda nekog važnog francuskog zvaničnika u parnoj kočiji koju je vozio vojnik, koji je jahao prema njemu. Osjetio je to po veselim zvucima pukovske muzike koji su dopirali s lijeve strane polja, a posebno je osjetio i razumio iz spiska da je francuski oficir koji je jutros stigao, nakon što je pozvao zarobljenike, pročitao ovo jutro. Pjera su odveli neki vojnici, odveli na jedno mjesto, na drugo mjesto sa desetinama drugih ljudi; činilo se da mogu zaboraviti na njega, pomiješati ga s drugima. Ali ne: njegovi odgovori dati tokom ispitivanja vratili su mu se u obliku njegovog imena: celui qui n "avoue pas son nom. I pod ovim imenom, kojeg se Pjer plašio, sada je vođen nekamo, sa nesumnjivim poverenjem ispisanim na njihovom lica, da su svi ostali zatvorenici i on bili ti koji su bili potrebni i da su odvedeni na pravo mjesto.“ Pjer se osjećao kao beznačajan čip zakačen u točkove njemu nepoznate mašine, ali ispravno radi.
Pjer i drugi kriminalci odvedeni su na desnu stranu Djevojačkog polja, nedaleko od manastira, do velike bijele kuće sa ogromnom baštom. Ovo je bila kuća kneza Ščerbatova, u kojoj je Pjer često posećivao vlasnika i u kojoj je sada, kako je saznao iz razgovora vojnika, bio maršal, vojvoda od Eckmühl-a.
Odvedeni su na trem i jedan po jedan uveden u kuću. Pierre je doveden kao šesti. Kroz staklenu galeriju, ulazni hol, poznat Pjeru, uveli su ga u dugačku, nisku kancelariju, na čijim vratima je stajao ađutant.
Davout je sjedio na kraju sobe iznad stola, s naočalama na nosu. Pjer mu se približio. Davout se, ne podižući oči, očito nosio s nekakvim papirom koji je ležao ispred njega. Ne podižući oči, tiho je upitao:
- Qui etes vous? [Ko si ti?]
Pjer je šutio jer nije mogao izgovoriti riječi. Davout za Pjera nije bio samo francuski general; jer je Pierre Davout bio čovjek poznat po svojoj okrutnosti. Gledajući hladno lice Davouta, koji je, poput strogog učitelja, pristao da se malo strpi i sačeka odgovor, Pjer je osetio da bi ga svaka sekunda odlaganja mogla koštati života; ali nije znao šta da kaže. Nije se usudio da kaže šta je rekao na prvom ispitivanju; otkriti svoj čin i položaj bilo je i opasno i sramotno. Pjer je ćutao. Ali prije nego što je Pjer stigao da odluči o bilo čemu, Davout je podigao glavu, podigao naočare na čelo, suzio oči i pažljivo pogledao Pjera.
„Poznajem ovog čoveka“, rekao je odmerenim, hladnim glasom, očigledno sračunatim da uplaši Pjera. Hladnoća koja je prethodno tekla niz Pjerova leđa uhvatila mu je glavu kao u poroku.
- Mon generale, vous ne pouvez pas me connaitre, je ne vous ai jamais vu ... [Nisi me mogao poznavati, generale, nikad te nisam vidio.]
- C "est un espion russe, [Ovo je ruski špijun,]" prekinuo ga je Davout, obraćajući se drugom generalu koji je bio u prostoriji, a Pjer nije primetio. I Davo se okrenuo. Sa neočekivanim pljeskom u glasu, Pjer je iznenada govorio brzo.
"Ne, Monseigneur", rekao je, iznenada se sjetivši da je Davout vojvoda. - Non, Monseigneur, vous n "avez pas pu me connaitre. Je suis un officier militionnaire et je n" ai pas quitte Moscou. [Ne, Vaša Visosti... Ne, Vaše Visočanstvo, niste me mogli poznavati. Ja sam policajac i nisam napustio Moskvu.]
- Votre nom? [Vaše ime?] Davout je ponovio.
- Besouhof. [Bezuhov.]
- Qu "est ce qui me prouvera que vous ne mentez pas? [Ko će mi dokazati da ne lažeš?]
- Monseigneur! [Vaše Visočanstvo!] - Pjer je povikao molećivim, a ne uvrijeđenim glasom.
Davout je podigao oči i pažljivo pogledao Pjera. Nekoliko sekundi su se gledali, i ovaj pogled je spasio Pjera. U tom pogledu, pored svih ratnih i sudskih uslova, između ova dva čovjeka uspostavljeni su i ljudski odnosi. Obojica su u tom trenutku nejasno osjetili bezbroj stvari i shvatili da su obojica djeca čovječanstva, da su braća.
Na prvi pogled za Davouta, koji je podigao samo glavu sa svoje liste, na kojoj se ljudski poslovi i život nazivaju brojevima, Pjer je bio samo okolnost; i, ne uzimajući to loše djelo na svoju savjest, Davout bi ga upucao; ali sada je u njemu vidio čovjeka. Razmislio je na trenutak.
- Comment me prouverez vous la verite de ce que vous me dites? [Kako ćeš mi dokazati istinitost svojih riječi?] - hladno je rekao Davout.
Pjer se sjetio Rambala i nazvao svoj puk, i svoje prezime, i ulicu u kojoj se nalazila kuća.
- Vous n "etes pas ce que vous dites, [Nisi ono što kažeš.] - Davout je ponovo rekao.
Pjer je drhtavim, slomljenim glasom počeo da dokazuje valjanost svog svedočenja.
Ali u to vrijeme uđe ađutant i nešto prijavi Davoutu.
Davout je iznenada zasjao na vijesti koje je izvijestio ađutant i počeo se zakopčavati. Očigledno je potpuno zaboravio na Pjera.
Kada ga je ađutant podsjetio na zatvorenika, on je, namršten, klimnuo prema Pjeru i rekao mu da ga vode. Ali kuda su ga trebali odvesti - Pjer nije znao: nazad u separe ili na pripremljeno stratište, koje su mu, prolazeći kroz Devojačko polje, pokazali drugovi.
Okrenuo je glavu i vidio da ađutant opet nešto pita.
- Oui, sans doute! [Da, naravno!] - rekao je Davout, ali to "da", Pjer nije znao.
Pjer se nije sjećao kako, koliko je hodao i gdje. On je, u stanju potpune gluposti i tuposti, ne videći ništa oko sebe, pomerao noge zajedno sa drugima dok svi nisu stali, a on je stao. Jedna misao za sve ovo vrijeme bila je u Pjerovoj glavi. Bila je to pomisao ko ga je, konačno, osudio na smrt. To nisu bili ljudi koji su ga ispitivali u komisiji: niko od njih to nije htio i, očigledno, nije mogao. Nije ga Davout pogledao tako ljudski. Još jedan minut, i Davout bi shvatio šta rade pogrešno, ali ovaj minut je prekinuo ađutant koji je ušao. A ovaj ađutant, očigledno, nije htio ništa loše, ali nije mogao ući. Ko mu je konačno pogubio, ubio, oduzeo život - Pjera sa svim njegovim sjećanjima, težnjama, nadama, mislima? ko je to uradio? I Pjer je osećao da je to niko.
To je bio red, splet okolnosti.
Neki nalog ga je ubio - Pjer, lišio života, svega, uništio ga.

Iz kuće kneza Ščerbatova zarobljenike su vodili pravo niz Devičji pol, levo od manastira Deviči, i vodili u baštu na kojoj je stajao stub. Iza stuba je iskopana velika jama sa tek iskopanom zemljom, a velika gomila ljudi stajala je u polukrugu kraj jame i stuba. Gomilu je činio mali broj Rusa i veliki broj Napoleonovih trupa izvan reda: Nijemci, Italijani i Francuzi u različitim uniformama. Desno i lijevo od stuba bili su frontovi francuskih trupa u plavim uniformama sa crvenim epoletama, u čizmama i šakama.
Zločinci su raspoređeni po poznatom redosledu, koji je bio na listi (Pjer je bio šesti), i dovedeni na položaj. Nekoliko bubnjeva iznenada je udarilo sa obe strane i Pjer je osetio da mu je tim zvukom otkinut deo duše. Izgubio je sposobnost razmišljanja i rasuđivanja. Mogao je samo vidjeti i čuti. A imao je samo jednu želju - želju da se dogodi nešto strašno što je trebalo učiniti što prije. Pjer se osvrnuo na svoje drugove i pregledao ih.
Dvije osobe na rubu bile su obrijane i oprezne. Jedan je visok, mršav; drugi je crn, dlakav, mišićav, sa spljoštenim nosom. Treća je bila avlija, stara oko četrdeset pet godina, sa sedom kosom i punim, uhranjenim tijelom. Četvrti je bio muškarac, veoma zgodan, guste plave brade i crnih očiju. Peti je bio fabrički radnik, žut, mršav, star oko osamnaest godina, u kućnom ogrtaču.
Pjer je čuo da se Francuzi savjetuju kako pucati - jedan po jedan ili dva? "Dva po dva", hladno i mirno je odgovorio stariji oficir. Došlo je do pomeranja u redovima vojnika i bilo je primetno da su svi žurili - i žurili su ne isto koliko žure da urade nešto svima razumljivo, ali isto kao i oni. požurite da izvršite neophodan, ali neugodan i neshvatljiv zadatak.
Francuski zvaničnik u šalu prišao je desnoj strani kriminalne linije i pročitao kaznu na ruskom i francuskom.
Tada su dva para Francuza prišla kriminalcima i odveli, prema uputama policajca, dvojicu zatvorskih čuvara koji su stajali na ivici. Stražari su, popevši se do stupa, zastali i, dok su vreće donosili, nijemo se osvrnuli oko sebe, kao što nokautirana životinja gleda pogodnog lovca. Jedan se stalno prekrstio, drugi se češao po leđima i kretao usnama kao osmeh. Vojnici su, žureći sa rukama, počeli da im povezuju oči, stavljaju vreće i vezuju ih za stub.
Dvanaest ljudi puškara s puškama izašlo je iza redova i zaustavilo se osam koraka od stupa. Pjer se okrenuo da ne vidi šta će se dogoditi. Odjednom se začuo tresak i tresak, koji se Pjeru učinio glasnijim od najstrašnijih udara groma, i on se osvrne oko sebe. Bilo je dima, a Francuzi bledih lica i drhtavih ruku nešto su radili u blizini jame. Druga dvojica su vođena. Na isti način, istim očima, ova dvojica su gledala sve, uzalud, istim očima, ćutke, tražeći zaštitu i, očigledno, ne shvatajući i ne verujući šta će se desiti. Nisu mogli vjerovati, jer su sami znali šta je njihov život za njih, pa stoga nisu razumjeli i nisu vjerovali da bi im se mogao oduzeti.
Pjer je htio da ne pogleda i ponovo se okrenuo; ali opet, kao da mu je strašna eksplozija udarila u uši, i uz ove zvukove video je dim, nečiju krv i bleda uplašena lica Francuza, koji su opet nešto radili na stubu, gurajući se drhtavim rukama. Pjer je, teško dišući, pogledao oko sebe, kao da pita: šta je ovo? Isto je pitanje bilo u svim pogledima koji su se susreli s Pjerovim.

U ovoj lekciji ćemo pogledati tetraedar i njegove elemente (ivica tetraedra, površina, lica, vrhovi). I riješit ćemo nekoliko problema konstruiranja presjeka u tetraedru, koristeći opći metod za konstruiranje presjeka.

Tema: Paralelizam pravih i ravni

Lekcija: Tetraedar. Problemi preseka tetraedra

Kako izgraditi tetraedar? Uzmite proizvoljan trougao ABC... Proizvoljna tačka D ne leži u ravni ovog trougla. Dobijamo 4 trougla. Površina koju čine ova 4 trokuta naziva se tetraedar (slika 1.). Unutrašnje tačke ograničene ovom površinom takođe su deo tetraedra.

Rice. 1. Tetraedar ABCD

Elementi tetraedra
A,B, C, D - vrhovi tetraedra.
AB, AC, AD, BC, BD, CD - ivice tetraedra.
ABC, ABD, BDC, ADC - lica tetraedra.

komentar: možete uzeti avion ABC per baza tetraedra, a zatim poenta D je vrh tetraedra... Svaka ivica tetraedra je presek dve ravni. Na primjer, rebro AB je presek ravnina ABD i ABC... Svaki vrh tetraedra je presek tri ravni. Vertex A leži u avionima ABC, ABD, ADWITH... Dot A- ovo je presek tri označene ravni. Ova činjenica je napisana na sljedeći način: A= ABC ∩ ABD ∩ ASD.

Definicija tetraedra

dakle, tetraedar je površina koju čine četiri trokuta.

Ivica tetraedra- linija preseka dve ravni tetraedra.

Napravite 4 jednaka trougla od 6 šibica. Problem se ne može riješiti u avionu. A u svemiru je to lako učiniti. Uzmimo tetraedar. 6 šibica su njegove ivice, četiri lica tetraedra i biće četiri jednaka trougla. Problem je riješen.

Dan tetrahedron ABCD. Dot M pripada ivici tetraedra AB, tačka N pripada ivici tetraedra VD i tačka R pripada ivici DWITH(Sl. 2.). Konstruišite presek tetraedra sa ravninom MNP.

Rice. 2. Crtež za zadatak 2 - Konstruisati presek tetraedra ravninom

Rješenje:
Razmotrimo lice tetraedra DNed... Na ovoj ivici tačke N i P rubovi pripadaju DNed, a time i tetraedar. Ali pod uslovom tačke N, P pripadaju reznoj ravni. znači, NP je linija presjeka dvije ravni: čeone ravni DNed i sekantna ravan. Pretpostavimo ravne linije NP i Ned ne paralelno. Leže u istoj ravni. DNed. Nađite tačku preseka pravih NP i Ned... Mi to označavamo E(Sl. 3.).

Rice. 3. Crtež za zadatak 2. Pronalaženje tačke E

Dot E pripada ravnini preseka MNP pošto leži na pravoj liniji NP i ravno NP u potpunosti leži u ravnini preseka MNP.

Također tačka E leži u avionu ABC jer leži na pravoj liniji Ned van aviona ABC.

Shvatili smo to JEDI- linija preseka ravnina ABC i MNP, od bodova E i M leže istovremeno u dve ravni - ABC i MNP. Povežite tačke M i E, i nastavite pravo JEDI prije prelaska prave linije AS... Točka preseka linija JEDI i AS označiti Q.

Dakle, u ovom slučaju NPQM je obavezna sekcija.

Rice. 4. Crtež za zadatak 2. Rješenje zadatka 2

Razmotrimo sada slučaj kada NP paralelno BC... Ako je ravno NP paralelno nekoj pravoj liniji, na primjer, pravoj liniji Ned van aviona ABC onda pravo NP paralelno sa celom ravninom ABC.

Željena presečna ravnina prolazi kroz pravu liniju NP paralelno sa ravninom ABC, i siječe ravan u pravoj liniji MQ... Dakle, linija raskrsnice MQ paralelno sa pravom linijom NP... Dobijamo NPQM je obavezna sekcija.

Dot M leži na bočnoj ivici ADV tetraedar ABCD... Konstruišite presek tetraedra sa ravninom koja prolazi kroz tačku M paralelno sa bazom ABC.

Rice. 5. Crtež za zadatak 3 Konstruišite presek tetraedra ravninom

Rješenje:
Ravan za sečenje φ paralelno sa ravninom ABC po uslovu, to znači da ovaj avion φ paralelno sa pravim linijama AB, AS, Ned.
U avionu ABD kroz tačku M hajde da nacrtamo pravu liniju PQ paralelno AB(sl. 5). Pravo PQ leži u avionu ABD... Slično i u avionu ASD kroz tačku R hajde da nacrtamo pravu liniju PR paralelno AS... Shvatio sam poentu R... Dvije linije koje se ukrštaju PQ i PR avion PQR odnosno paralelno sa dve prave linije koje se seku AB i AS avion ABC, dakle, avioni ABC i PQR su paralelne. PQR je obavezna sekcija. Problem je riješen.

Dan tetrahedron ABCD... Dot M- unutrašnja tačka, čeona tačka tetraedra ABD. N- unutrašnja tačka segmenta DWITH(Sl. 6.). Nacrtajte presek linija NM i avion ABC.

Rice. 6. Crtež za zadatak 4

Rješenje:
Da biste riješili, konstruirajte pomoćnu ravan DMN... Neka bude pravo DM seče pravu AB u tački TO(Sl. 7.). onda, SCD je dio aviona DMN i tetraedar. U avionu DMN laže i ravna NM, i rezultirajuća ravna linija SC... Sta ako NM ne paralelno SC, onda će se u nekom trenutku preseći R... Dot R i biće željena tačka preseka prave linije NM i avion ABC.

Rice. 7. Crtež za zadatak 4. Rješenje zadatka 4

Dan tetrahedron ABCD. M- unutrašnja tačka lica ABD. R- unutrašnja tačka lica ABC. N- unutrašnja tačka rebra DWITH(Sl. 8.). Konstruišite presek tetraedra sa ravninom koja prolazi kroz tačke M, N i R.

Rice. 8. Crtež za zadatak 5 Konstruišite presek tetraedra ravninom

Rješenje:
Razmotrimo prvi slučaj kada je prava linija MN nije paralelno sa ravninom ABC... U posljednjem zadatku pronašli smo točku presjeka prave MN i avion ABC... Ovo je poenta TO, dobija se pomoću pomoćne ravni DMN, tj. mi radimo DM i dobijamo poen F... Izvodimo CF i na raskrsnici MN shvati poentu TO.

Rice. 9. Crtež za zadatak 5. Pronalaženje tačke K

Hajde da nacrtamo pravu liniju KR... Pravo KR leži i u ravnini preseka i u ravni ABC... Dobijamo bodove R 1 i R 2... Povezujemo se R 1 i M a u nastavku shvatamo poentu M 1... Povežite tačku R 2 i N... Kao rezultat, dobijamo traženu sekciju R 1 R 2 NM 1... Problem u prvom slučaju je riješen.
Razmotrimo drugi slučaj, kada je prava linija MN paralelno sa ravninom ABC... Avion MNP prolazi kroz pravu liniju MN paralelno sa ravninom ABC i prelazi avion ABC duž neke prave linije R 1 R 2 onda pravo R 1 R 2 paralelno sa ovom linijom MN(Sl. 10.).

Rice. 10. Crtež za zadatak 5. Traženi dio

Sada nacrtajmo pravu liniju P 1 M i dobiti poen M 1.R 1 R 2 NM 1 je obavezna sekcija.

Dakle, ispitali smo tetraedar, riješili neke tipične probleme za tetraedar. U sljedećoj lekciji ćemo pogledati kutiju.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, prerađeno i dopunjeno - M.: Mnemosina, 2008. - 288 str. : ill. Geometrija. 10-11 razred: udžbenik za učenike obrazovnih ustanova (osnovni i profilni nivoi)

2. Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 str.: ilustr. Geometrija. 10-11 razred: Udžbenik za opšteobrazovne ustanove

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izdanje, stereotip. - M.: Drfa, 008 .-- 233 str. : ill. Geometrija. 10. razred: Udžbenik za obrazovne ustanove sa dubljim i specijalističkim izučavanjem matematike

Dodatni web resursi

2. Kako izgraditi presek tetraedra. Matematika ().

3. Festival pedagoških ideja ().

Uradite domaće zadatke na temu "Tetraedar", kako pronaći ivicu tetraedra, lica tetraedra, vrhove i površinu tetraedra

1. Geometrija. 10-11 razred: udžbenik za učenike obrazovnih institucija (osnovni i profilni nivoi) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, prerađeno i dopunjeno - M.: Mnemozina, 2008. - 288 str.: ilustr. Zadaci 18, 19, 20 str

2. Tačka E srednjeg rebra MA tetraedar MAVS... Konstruišite presek tetraedra sa ravninom koja prolazi kroz tačke B, C i E.

3. U MAVS tetraedru, tačka M pripada AMB licu, tačka P - BMC licu, tačka K - ivici AC. Konstruišite presek tetraedra sa ravninom koja prolazi kroz tačke M, R, K.

4. Koje figure se mogu dobiti kao rezultat preseka ravni tetraedra?

Bilješka... Ovo je dio lekcije sa problemima iz geometrije (stereometrijski dio, piramidalni problemi). Ako trebate riješiti problem geometrije koji nije ovdje, pišite o tome na forumu. U zadacima se umjesto simbola "kvadratni korijen" koristi funkcija sqrt (), u kojoj je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz je naznačen u zagradama.Za jednostavne radikalne izraze može se koristiti znak "√".. Regularni tetraedar je pravilna trouglasta piramida u kojoj su sva lica jednakostranični trouglovi.

Za pravilan tetraedar, svi diedarski uglovi na ivicama i svi triedarski uglovi na vrhovima su jednaki

Tetraedar ima 4 lica, 4 vrha i 6 ivica.

Osnovne formule za pravilan tetraedar date su u tabeli.

gdje:
S - Površina pravilnog tetraedra
V - volumen
h - visina spuštena do baze
r - poluprečnik kružnice upisane u tetraedar
R - poluprečnik opisane kružnice
a - dužina rebra

Praktični primjeri

Zadatak.
Nađite površinu trokutaste piramide sa svakim rubom jednakim √3

Rješenje.
Pošto su sve ivice trouglaste piramide jednake, ona je pravilna. Površina pravilne trouglaste piramide je S = a 2 √3.
Onda
S = 3√3

Odgovori: 3√3

Zadatak.
Sve ivice pravilne trouglaste piramide su 4 cm.Nađite zapreminu piramide

Rješenje.
Budući da je u pravilnoj trouglastoj piramidi visina piramide projektovana u centar osnove, koja je ujedno i središte opisane kružnice, tada

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3 / 3

Dakle, visina piramide OM se može naći iz pravouglog trougla AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √ (32/3)
OM = 4√2 / √3

Zapremina piramide se nalazi po formuli V = 1/3 Sh
U ovom slučaju, površina baze se nalazi po formuli S = √3 / 4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2 / 3

Odgovori: 16√2 / 3 cm

Odjeljci: Matematika

Plan pripreme i izvođenja časa:

I. Pripremna faza:

1. Ponavljanje poznatih svojstava trokutaste piramide.
2. Iznošenje hipoteza o mogućim, ranije nerazmatranim karakteristikama tetraedra.
3. Formiranje grupa za sprovođenje istraživanja ovih hipoteza.
4. Podjela zadataka za svaku grupu (uzimajući u obzir želju).
5. Raspodjela odgovornosti za zadatak.

II. Glavna faza:

1. Rješenje hipoteze.
2. Konsultacije sa nastavnikom.
3. Registracija rada.

III. završna faza:

1. Izlaganje i odbrana hipoteze.

Ciljevi lekcije:

• da generalizuje i sistematizuje znanja i veštine učenika; proučiti dodatni teorijski materijal na navedenu temu; naučiti da primjenjuje znanje u rješavanju nestandardnih problema, da u njima vidi jednostavne komponente;
• formirati umijeće učenika u radu sa dodatnom literaturom, unaprijediti sposobnost analize, generalizacije, pronalaženja glavnog u pročitanom, dokazivanja novih stvari; razvijati komunikacijske vještine učenika;
• negovati grafičku kulturu.

Pripremna faza (1 lekcija):

1. Studentska poruka “Tajne velikih piramida”.
2. Uvodni govor nastavnika o raznolikosti vrsta piramida.
3. Diskusija o pitanjima:

• Koji su kriterijumi za kombinovanje nepravilnih trouglastih piramida
• Šta podrazumevamo pod ortocentrom trougla, a šta se može nazvati ortocentrom tetraedra
• Da li pravougaoni tetraedar ima ortocentar?
• Koji tetraedar se naziva izoedar Koja svojstva može imati?

1. Kao rezultat razmatranja različitih tetraedara, razmatranja njihovih svojstava, koncepti se razjašnjavaju i pojavljuje se određena struktura:

1. Razmotrite svojstva pravilnog tetraedra (Dodatak)

Svojstva 1-4 se usmeno dokazuju korištenjem Slide1.

Svojstvo 1: Sve ivice su jednake.

Svojstvo 2: Svi planarni uglovi su 60°.

Svojstvo 3: Zbir ravnih uglova na bilo koja tri vrha tetraedra je 180°.

Svojstvo 4: Ako je tetraedar pravilan, tada se bilo koji od njegovih vrhova projektuje u ortocentar suprotne strane.

Dato:

ABCD je pravilan tetraedar

AH - visina

dokazati:

H - ortocentar

dokaz:

1) tačka H može se poklapati sa bilo kojom od tačaka A, B, C. Neka H? B, H? C

2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) Uzmite u obzir ABH, BCH, ADH

AD - ukupno => ABH, BCH, ADH => BH = CH = DH

AB = AC = AD t. H - je ortocentar ABC

Q.E.D.

1. U lekciji 1, svojstva 5-9 su formulisana kao hipoteze koje zahtevaju dokaz.

Svaka grupa dobija svoj domaći zadatak:

Dokažite jedno od svojstava.

Pripremite obrazloženje uz prezentaciju.

II. Glavna faza (u roku od nedelju dana):

1. Rješenje hipoteze.
2. Konsultacije sa nastavnikom.
3. Registracija rada.

III. Završna faza (1-2 časa):

Izlaganje i odbrana hipoteze pomoću prezentacija.

Prilikom pripreme materijala za završnu lekciju, učenici dolaze do zaključka o posebnosti tačke preseka visina, slažemo se da je nazovemo „neverovatnom“ tačkom.

Svojstvo 5: Centri opisane i upisane sfere se poklapaju.

Dato:

DABC - pravilni tetraedar

O 1 - centar opisane sfere

O - centar upisane sfere

N - tačka dodira upisane sfere sa licem ABC

Dokazati: O 1 = O

dokaz:

Neka su OA = OB = OD = OC polumjeri opisane kružnice

Izostavimo ON + (ABC)

AON = CON - pravougaona, duž kraka i hipotenuze => AN = CN

Izostavite OM + (BCD)

COM DOM - pravougaona, duž kraka i hipotenuze => CM = DM

Od stavke 1 CON COM => ON = OM

ON + (ABC) => ON, OM su poluprečnici upisane kružnice.

Teorema je dokazana.

Za pravilan tetraedar postoji mogućnost njegovog relativnog položaja sa sferom - dodirivanje određene sfere svim svojim ivicama. Ova sfera se ponekad naziva i "polu-upisana".

Svojstvo 6: Pravi segmenti koji spajaju sredine suprotnih ivica i okomiti na ove ivice su poluprečnici poluupisane sfere.

Dato:

ABCD je pravilan tetraedar;

AL = BL, AK = CK, AS = DS,

BP = CP, BM = DM, CN = DN.

dokazati:

LO = OK = OS = OM = ON = OP

Dokaz.

Tetraedar ABCD - ispravno => AO = BO = CO = DO

Razmotrimo trouglove AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD.

AO = BO =>?AOB - jednakokraki =>
OL - medijan, visina, simetrala
AO = CO =>?AOC– jednakokraki =>
OK - medijana, visina, simetrala
CO = DO =>?COD– jednakokraki =>
ON– medijan, visina, simetrala AOB => AOC = COD =
BO = DO => BOD– jednakokračan => BOD = BOC = AOD
OM - medijan, visina, simetrala
AO = DO =>?AOD– jednakokraki =>
OS - medijan, visina, simetrala
BO = CO => BOC– jednakokraki =>
OP– medijan, visina, simetrala
AO = BO = CO = DO
AB = AC = AD = BC = BD = CD

3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - visine jednake OL, OK, ON, OM, OS, OP radijusima

jednakokraki trouglovi sfere

Zaključak:

U pravilnom tetraedru može se nacrtati poluupisana sfera.

Nekretnina 7: ako je tetraedar pravilan, onda su svaka dva suprotna ruba tetraedra međusobno okomita.

Dato:

DABC - pravilni tetraedar;

H - ortocentar

dokazati:

dokaz:

DABC - pravilni tetraedar =>? ADB - jednakostraničan

(ADB) (EDC) = ED

ED - visina ADB => ED + AB,

AB + CE, => AB + (EDC) => AB + CD.

Na sličan način se dokazuje i okomitost ostalih ivica.

Svojstvo 8: Šest ravni simetrije se seku u jednoj tački. U tački O seku se četiri prave linije, povučene kroz centre opisane oko ivica kružnica okomitih na ravni lica, a tačka O je centar opisane sfere.

Dato:

ABCD je pravilan tetraedar

dokazati:

O - centar opisane sfere;

6 ravni simetrije se seku u tački O;

Dokaz.

CG + BD jer BCD - jednakostranični => GO + BD (po teoremi o tri GO + BD okomice)

BG = GD, jer AG - srednji ABD

ABD (ABD) =>? BOD - jednakokraki => BO = DO

ED + AB, jer ABD - jednostrano => OE + AD (po teoremi o tri okomice)

BE = AE jer DE je medijan? ABD

ABD (ABD) =>?AOB - jednakokračan => BO = AO

(AOB) (ABD) = AB

ON + (ABC) OF + AC (prema teoremi o tri

BF + AC, jer ABC - jednakostranične okomice)

AF = FC, jer BF - medijan? ABC

ABC (ABC) => AOC - jednakokraki => AO = CO

(AOC)? (ABC) = AC

BO = AO => AO = BO = CO = DO - radijusi sfere,

AO = CO opisan oko tetraedra ABCD

(ABR) (ACG) = AO

(BCT) (ABR) = BO

(ACG) (BCT) = CO

(ADH) (CED) = DO

AB + (ABR) (ABR) (BCT) (ACG) (ADH) (CED) (BDF)

dakle:

Tačka O je centar opisane sfere,

6 ravni simetrije se seku u tački O.

Nekretnina 9: Tupi ugao između okomica koje prolaze kroz vrhove tetraedra do ortocentra je 109 ° 28 "

Dato:

ABCD je pravilan tetraedar;

O je centar opisane sfere;

dokazati:

dokaz:

1) AS - visina

ASB = 90 o OSB pravougaoni

2) (po svojstvu pravilnog tetraedra)

3) AO = BO - poluprečniki opisane sfere

4) 70 ° 32 "

6) AO = BO = CO = DO =>? AOD =? AOC =? AOD =? COD =? BOD =? BOC

je tačka preseka visina pravilnog tetraedra

je centar upisane sfere

je centar poluupisane sfere

je centar opisane sfere

je težište tetraedra

je vrh četiri jednake pravilne trouglaste piramide sa osnovama - plohama tetraedra.

Zaključak.

(Nastavnik i učenici sumiraju čas. Jedan od učenika govori kratkom porukom o tetraedrima kao strukturnoj jedinici hemijskih elemenata.)

Proučavaju se svojstva pravilnog tetraedra i njegove „neverovatne“ tačke.

Utvrđeno je da oblik samo takvog tetraedra, koji ima sva navedena svojstva, kao i "idealnu" tačku, može imati molekule silikata i ugljovodonika. Alternativno, molekuli mogu biti sastavljeni od nekoliko pravilnih tetraedara. Trenutno je tetraedar poznat ne samo kao predstavnik drevne civilizacije, matematike, već i kao osnova strukture supstanci.

Silikati su soli slične tvari koje sadrže spoj silicija i kisika. Njihovo ime dolazi od latinske riječi "sylex" - "kremen". Osnova silikatnih molekula su atomski radikali u obliku tetraedra.

Silikati su pijesak, glina, cigla, staklo, cement, emajl, talk, azbest, smaragd i topaz.

Silikati čine više od 75% zemljine kore (a zajedno sa kvarcom oko 87%) i više od 95% magmatskih stijena.

Važna karakteristika silikata je sposobnost međusobne kombinacije (polimerizacije) dva ili više tetraedara silicijum-kiseonik kroz zajednički atom kiseonika.

Zasićeni ugljikovodici imaju isti oblik molekula, ali se sastoje, za razliku od silikata, od ugljika i vodika. Opća formula molekula

Ugljovodonici uključuju prirodni gas.

Potrebno je razmotriti svojstva pravokutnih i jednakostraničnih tetraedara.

Književnost.

• Potapov V.M., Tatarinčik S.N. "Organska hemija", Moskva 1976
• V.P.Babarin "Tajne velikih piramida", Sankt Peterburg, 2000.
• Sharygin I. F. "Problemi u geometriji", Moskva, 1984.
• Veliki enciklopedijski rečnik.
• „Školski priručnik“, Moskva, 2001.

|
tetraedar, formula tetraedra
Tetrahedron(starogrčki τετρά-εδρον - tetraedar, od starogrčkog. τέσσᾰρες, τέσσερες, τέττᾰρες, τέττορες, τέτορες - "četiri" + starogrčki. ἕδρα - "sjedište, baza") je najjednostavniji poliedar čija su lica četiri trokuta. Tetraedar ima 4 lica, 4 vrha i 6 ivica. Tetraedar u kojem su sva lica jednakostranični trouglovi naziva se pravilan. Pravilni tetraedar je jedan od pet pravilnih poliedara.

• 1 Osobine tetraedra
• 2 Vrste tetraedara
• 3 Volumen tetraedra
• 4 tetraedra u mikrosvijetu
• 5 Tetraedra u prirodi
• 6 Tetraedra u tehnici
• 7 Napomene
• 8 Vidi također

Svojstva tetraedra

• Paralelne ravni koje prolaze kroz parove ukrštanja ivica tetraedra definiraju paralelepiped opisan oko tetraedra.
• Ravan koja prolazi središtem dvaju ivica tetraedra koji se sijeku dijeli ga na dva dijela jednake zapremine.: 216-217

Vrste tetraedara

Osim pravilnog tetraedra, razlikuju se sljedeće posebne vrste tetraedara.

• Jednakostranični tetraedar sa svim stranama jednakih trokuta.
• Ortocentrični tetraedar u kojem se sve visine spuštene od vrhova do suprotnih strana sijeku u jednoj tački.
• Pravougaoni tetraedar u kojem su sve ivice koje se nalaze uz jedan od vrhova okomite jedna na drugu.
• Tetraedar skeleta je tetraedar koji ispunjava bilo koji od sljedećih uslova:
  • postoji sfera koja dodiruje sve ivice,
  • sume dužina ukrštanja ivica su jednake,
  • sume diedarskih uglova na suprotnim ivicama su jednake,
  • krugovi upisani u lica dodiruju se u parovima,
  • opisani su svi četvorouglovi dobijeni razvojem tetraedra,
  • okomice podignute na lica iz središta u njima upisanih krugova seku se u jednoj tački.
• Srazmjeran tetraedar jednakih visina.
• Incentrični tetraedar, u kojem se segmenti koji povezuju vrhove tetraedra sa centrima kružnica upisanih u suprotne strane sijeku u jednoj tački.

Volumen tetraedra

Volumen tetraedra (uzimajući u obzir znak), čiji se vrhovi nalaze u tačkama, jednak je:

Ili, gdje je površina bilo kojeg lica, i je li visina spuštena na ovo lice.

Kroz dužine ivica, volumen tetraedra se izražava pomoću Cayley-Mengerove determinante:

Tetraedri u mikrosvijetu

• Pravilni tetraedar nastaje tokom sp3 hibridizacije atomskih orbitala (njihove ose su usmjerene na vrhove pravilnog tetraedra, a jezgro centralnog atoma nalazi se u središtu opisane sfere pravilnog tetraedra), stoga mnogi molekule u kojima se odvija takva hibridizacija centralnog atoma imaju oblik ovog poliedra
• Molekul metana CH4
• Amonijum jon NH4+
• Sulfat ion SO42-, fosfatni jon PO43-, perhloratni jon ClO4- i mnogi drugi joni
• Dijamant C je tetraedar sa ivicom jednakom 2,5220 angstroma
• Fluorit CaF2, tetraedar sa ivicom jednakom 3, 8626 angstroma
• Sfalerit, ZnS, tetraedar sa ivicom jednakom 3.823 angstroma
• Kompleksni joni -, 2-, 2-, 2+
• Silikati, čija je struktura zasnovana na tetraedru silicijum-kiseonik 4-

Tetraedri u prirodi

Orah tetraedar

Neki plodovi, kojih je četiri s jedne strane, nalaze se na vrhovima tetraedra, koji je blizu ispravnog. Ovaj dizajn je zbog činjenice da su centri četiri identične kugle koje dodiruju jedna drugu u vrhovima pravilnog tetraedra. Dakle, loptasti plodovi čine sličan međusobni raspored. Na primjer, orasi se mogu postaviti na ovaj način.

Tetraedri u tehnologiji

• Tetraedar formira krutu, statički definiranu strukturu. Tetraedar od šipki često se koristi kao osnova za prostorne nosive konstrukcije raspona zgrada, podova, greda, rešetki, mostova itd. Šipke su izložene samo uzdužnim opterećenjima.
• U optici se koristi pravougaoni tetraedar. Ako su lica pod pravim uglom prekrivena reflektujućim spojem ili je ceo tetraedar napravljen od materijala sa jakim prelamanjem svetlosti tako da se javlja efekat totalne unutrašnje refleksije, tada se svetlost usmerava na lice suprotno od vrha sa pravim uglom. odrazit će se u istom smjeru iz kojeg je došao... Ovo svojstvo se koristi za stvaranje kutnih reflektora, reflektora.
• Kvaternarni triger graf je tetraedar.

Bilješke (uredi)

1. Starogrčko-ruski rječnik Butlera "τετρά-εδρον"
2. Selivanov D.F.,. Geometrijsko tijelo // Enciklopedijski rječnik Brockhausa i Efrona: 86 svezaka (82 sveska i 4 dodatna). - SPb., 1890-1907.
3. Gusjatnikov P.B., Rezničenko S.V. Vektorska algebra u primjerima i problemima. - M.: Viša škola, 1985.-- 232 str.
4. V. E. MATIZEN Jednoobrazni i okvirni tetraedri "Kvant" br. 7, 1983.
5. http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#view Trigger

vidi takođe

• Simpleks - n-dimenzionalni tetraedar

Poliedri
tacno (platonska tijela)
tacno nekonveksan	zvjezdani dodekaedar zvjezdani ikosidodekaedar zvjezdani ikosaedar zvjezdani poliedar zvjezdani oktaedar
Konveksna	Arhimedova tela Kuboktaedar Ikozidodekaedar Skraćeni tetraedar Odsječeni oktaedar Anti-krnji ikosaedar Skraćeni dodekaedar Skraćeni dodekaedar Romboikozododekaedar Romboikozododekaedar Rombo-krnji kuboktaedar Rombo-oktaedar Truncad Rombo-kubokahedron Truncated dodekaedar Catalan Bodies Rombododekaedar Rombotriakontahedron Triakistetraedar Tetrakišeksaedar Pentakisdodekaedar Triakisoktaedar Triakisikosaedar Deltoidni ikositetraedar Deltoidni hekskontaedar Pentagonalni ikostetraedar Bez pune prostorni simetrija Piramida Prizma Bipiramida Antiprizma Zonohedron Paralelepiped Romboedar Prizmatoid Krnja piramida Pentagondodekaedar paraleloedar
formule, teoreme, teorija	Aleksandrova teorema o konveksnim politopima Bleeckerova teorema Cauchyjeva teorema o politopima Lindelöfova teorema o politopima Minkowskijeva teorema o politopima Sabitova teorema Ojlerova teorema za politope Schläflijeva formula
Ostalo	Ortocentrični tetraedar Jednaki tetraedar Pravougaoni paralelepiped Grupa poliedara Dodekaedri Puni ugao Jedinična kocka Savitljivi poliedar Rasklopivi Schläfli simbol Džonsonov poliedar Višedimenzionalni (N-dimenzionalni tetraedar Tesseract Penteprater) Hexera Penteprater

tetraedar, tetraedar, tetraedar, tetraedar sa strane, tetraedar sa strane, tetraedar sa strane, tetraedar gezh yu ve, tetrahedron gezh yu ve, tetrahedron gezh yu ve, tetraedar, dүrs, tetrahedron, slike tetrahedron, slike tetrahedron, tetrahedron slike definicija tetraedra, definicija tetraedra, definicija tetraedra, formule tetraedra, formule tetraedra, formule tetraedra, uzorak tetraedra, crtež tetraedra, crtež tetraedra, tetraedar

Tetrahedron Information About