Broj modula (apsolutna vrijednost broja), definicije, primjeri, svojstva. Apsolutna vrijednost broja. Nenaučno objašnjenje zašto je to potrebno Osnovna svojstva modula realnog broja

Prvo definišemo predznak izraza pod znakom modula, a zatim širimo modul:

• ako je vrijednost izraza veća od nule, onda ga jednostavno pomjerimo ispod znaka modula,
• ako je izraz manji od nule, onda ga vadimo ispod predznaka modula, a mijenjamo predznak, kao što smo radili ranije u primjerima.

Pa, hoćemo li pokušati? Procijenimo:

(Zaboravio, ponovi.)

Ako, koji onda znak ima? Pa, naravno!

I, stoga, proširujemo znak modula, mijenjajući predznak izraza:

Razumijete? Onda probajte sami:

odgovori:

Koje druge osobine ima modul?

Ako trebamo pomnožiti brojeve unutar znaka modula, lako možemo pomnožiti module ovih brojeva !!!

u matematičkom smislu, modul proizvoda brojeva jednak je proizvodu modula ovih brojeva.

Na primjer:

Šta ako trebamo odvojiti dva broja (izraza) pod znakom modula?

Da, isto kao i kod množenja! Podijelimo se na dva odvojena broja (izraza) pod znakom modula:

pod uslovom da (pošto ne možete dijeliti sa nulom).

Vrijedi zapamtiti još jedno svojstvo modula:

Modul zbira brojeva je uvijek manji ili jednak zbiru modula ovih brojeva:

Žašto je to? Sve je vrlo jednostavno!

Kao što se sjećamo, modul je uvijek pozitivan. Ali znak modula može sadržavati bilo koji broj: i pozitivan i negativan. Pretpostavimo da su brojevi i oba pozitivni. Tada će lijevi izraz biti jednak desnom izrazu.

Uzmimo primjer:

Ako je pod znakom modula jedan broj negativan, a drugi pozitivan, levi izraz će uvek biti manji od desnog:

Čini se da je sve jasno s ovim svojstvom, razmotrimo još nekoliko korisnih svojstava modula.

Šta ako imamo ovaj izraz:

Šta možemo učiniti s ovim izrazom? Ne znamo vrijednost x, ali već znamo šta, što znači.

Broj je veći od nule, što znači da možete jednostavno napisati:

Tako smo došli do još jedne nekretnine, koja se općenito može predstaviti na sljedeći način:

I čemu je jednak ovaj izraz:

Dakle, treba da definišemo znak ispod modula. Da li je ovdje potrebno definirati znak?

Naravno da ne, ako zapamtite da je bilo koji broj u kvadratu uvijek veći od nule! Ako se ne sjećate, pogledajte temu. I šta se dešava? Evo šta:

Odlično, ha? Sasvim zgodno. A sada konkretan primjer koji treba popraviti:

Pa, čemu sumnje? Delujemo hrabro!

Jesi li shvatio? Onda samo naprijed i treniraj s primjerima!

1. Pronađite vrijednost izraza if.

2. Kojim brojevima je jednak modul?

3. Pronađite značenje izraza:

Ako još nije sve jasno i postoje poteškoće u rješenjima, hajde da to shvatimo:

Rješenje 1:

Dakle, zamijenimo vrijednosti u izraz

Rješenje 2:

Kao što se sjećamo, suprotni brojevi su jednaki po apsolutnoj vrijednosti. To znači da je vrijednost modula jednaka dvama brojevima: i.

Rješenje 3:

a)
b)
v)
G)

Jesi li sve uhvatio? Onda je vrijeme da pređemo na teže!

Pokušajmo da pojednostavimo izraz

Rješenje:

Dakle, zapamtimo da vrijednost modula ne može biti manja od nule. Ako je predznak modula pozitivan, onda možemo jednostavno odbaciti znak: modul broja će biti jednak ovom broju.

Ali ako je predznak modula negativan, tada je vrijednost modula jednaka suprotnom broju (tj. broju uzetom sa znakom "-").

Da biste pronašli modul bilo kojeg izraza, prvo morate saznati da li ima pozitivnu ili negativnu vrijednost.

Ispada vrijednost prvog izraza ispod modula.

Stoga je izraz pod predznakom modula negativan. Drugi izraz pod predznakom modula je uvijek pozitivan, jer sabiramo dva pozitivna broja.

Dakle, vrijednost prvog izraza pod predznakom modula je negativna, a druga pozitivna:

To znači da, proširujući znak modula prvog izraza, moramo uzeti ovaj izraz sa znakom "-". Volim ovo:

U drugom slučaju jednostavno odbacujemo znak modula:

Hajde da pojednostavimo ceo izraz:

Modul broja i njegova svojstva (rigorozne definicije i dokazi)

definicija:

Modul (apsolutna vrijednost) broja je sam broj, ako, i broj, ako:

Na primjer:

primjer:

Pojednostavite izraz.

Rješenje:

Osnovna svojstva modula

Za sve:

primjer:

Dokazati svojstvo br. 5.

dokaz:

Pretpostavimo da postoje takvi

Kvadratirajmo lijevu i desnu stranu nejednakosti (ovo se može učiniti, pošto su obje strane nejednakosti uvijek nenegativne):

a to je u suprotnosti sa definicijom modula.

Prema tome, takvi ne postoje, a samim tim, za sve, nejednakost

Primjeri za nezavisno rješenje:

1) Dokazati svojstvo 6.

2) Pojednostavite izraz.

odgovori:

1) Koristimo svojstvo #3:, i od tada

Da bi stvari bile jednostavne, morate proširiti module. A da biste proširili module, morate saznati da li su izrazi ispod modula pozitivni ili negativni?

a. Uporedimo brojeve i i:

b. Sada uporedimo i:

Dodajte vrijednosti modula:

Apsolutna vrijednost broja. Ukratko o glavnoj stvari.

Modul (apsolutna vrijednost) broja je sam broj, ako, i broj, ako:

Svojstva modula:

1. Modul broja je nenegativan broj:;
2. Moduli suprotnih brojeva su jednaki:;
3. Modul proizvoda dva (ili više) brojeva jednak je proizvodu njihovih modula:;
4. Modul količnika dva broja jednak je količniku njihovih modula:;
5. Modul zbira brojeva je uvijek manji ili jednak zbiru modula ovih brojeva:;
6. Konstantni pozitivni faktor se može uzeti izvan znaka modula: at;

Da biste koristili pregled prezentacija, kreirajte sebi Google račun (nalog) i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Ciljevi i zadaci časa Upoznati definiciju modula realnog broja, razmotriti svojstva i objasniti geometrijsko značenje modula; Uvesti funkciju y = | x | , pokazati pravila za konstruisanje njegovog grafa; Naučiti na različite načine rješavati jednadžbe koje sadrže modul; Razvijati interesovanje za matematiku, samostalnost, logičko mišljenje, matematički govor, usađivati ​​tačnost i marljivost.

Definicija. Na primjer: |8 | = 8; | -8 | = - (- 8) = 8;

Svojstva modula

Geometrijsko značenje modula linearnih brojeva je dobar primjer skupa realnih brojeva. Označimo dvije tačke a i b na brojevnoj pravoj i pokušamo pronaći rastojanje ρ (a; b) između ovih tačaka. Očigledno, ova udaljenost je jednaka b-a, ako je b> a. Ako zamijenite, odnosno a> b, udaljenost će biti jednaka a - b. Ako je a = b onda je udaljenost nula, jer se dobija tačka. Sva tri slučaja možemo opisati na jedinstven način:

Primjer. Riješite jednačinu: a) | x-3 | = 6 b) | x + 5 | = 3 c) | x | = 2,8 d) Rješenje. a) Moramo pronaći tačke na koordinatnoj liniji koje su udaljene od tačke 3 na udaljenosti jednakoj 6. Takve tačke su 9 i -3. (Dodali su i oduzeli šest od tri.) Odgovor: x = 9 i x = -3 b) | x +5 | = 3, prepisujemo jednačinu kao | x - (- 5) | = 3. Nađimo udaljenost od tačke -5 udaljene za 3. Ova udaljenost, ispostavilo se, od dvije tačke: x = 2 i x = -8 Odgovor: x = 2 i x = -8. c) | x | = 2,8, može se predstaviti kao | x-0 | = 2,8 ili Očigledno, x = -2,8 ili x = 2,8 Odgovor: x = -2,8 i x = 2,8. d) ekvivalent Očigledno,

Funkcija y = |x |

Riješite jednačinu |x-1 | = 4 1 način (analitički) Zadatak 2

Metoda 2 (grafički)

Modul realnog broja. Identitet Razmotrimo izraz, ako je a> 0, onda znamo šta. Ali šta ako je 0. 2. Hajde da rezimiramo: Po definiciji modula: To je

Modul realnog broja. Primjer. Pojednostavite izraz ako: a) a-2≥0 b) a -2

Modul realnog broja. Primjer. Izračunaj rješenje. Znamo da: Ostaje da proširimo module. Razmotrimo prvi izraz:

Razmotrimo drugi izraz: Koristeći definiciju, otkrivamo znakove modula: Kao rezultat, dobili smo: Odgovor: 1.

Osiguravanje novog materijala. br. 16.2, br. 16.3, br. 16.4, br. 16.12, br. 16.16 (a, d), br. 16.19

Zadaci za samostalno rješenje. 1. Riješite jednačinu: a) | x -10 | = 3 b) | x +2 | = 1 c) | x | = 2,8 d) 2. Riješite jednačinu: a) | 3 x -9 | = 33 b) | 8-4 x | = 16 c) | x +7 | = -3 3. Pojednostavite izraz ako a) a-3≥0 b) a -3

Spisak korištene literature: Zvavich L.I. Algebra. Advanced Study. 8. razred: problemska knjiga / L.I. Zvavič, A.R. Ryazanovsky. - 4. izdanje, Rev. - M.: Mnemosina, 2006.-- 284 str. Mordkovich A.G. Algebra. 8. razred. U 14 sati 1. dio. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A.G. Mordkovich. - 12. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosina, 2014.-- 215 str. Mordkovich A.G. et al. Algebra. 8. razred. U 2 sata, 2. dio. Zadatak za studente obrazovnih institucija / ur. A.G. Mordkovich. - 12. izdanje, Rev. i dodati. - M.: Mnemosina, 2014.-- 271 str.

§ 1 Modul realnog broja

U ovoj lekciji ćemo istražiti koncept "modula" za bilo koji realan broj.

Zapišimo svojstva modula realnog broja:

§ 2 Rješenje jednačina

Koristeći geometrijsko značenje modula realnog broja, rješavamo nekoliko jednačina.

Dakle, jednadžba ima 2 korijena: -1 i 3.

Dakle, jednadžba ima 2 korijena: -3 i 3.

U praksi se koriste različita svojstva modula.

Razmotrite ovo u primjeru 2:

Dakle, u ovoj lekciji ste proučavali pojam "modula realnog broja", njegova osnovna svojstva i geometrijsko značenje. Također smo riješili nekoliko tipičnih problema o primjeni svojstava i geometrijskog prikaza modula realnog broja.

Spisak korišćene literature:

1. Mordkovich A.G. "Algebra" 8 razred. U 2 sata, 1. dio. Udžbenik za obrazovne ustanove / A.G. Mordkovich. - 9. izdanje, Rev. - M.: Mnemosina, 2007.-- 215str.: Il.
2. Mordkovich A.G. "Algebra" 8 razred. U 2 sata, 2. dio. Problematika za obrazovne ustanove / A.G. Mordkovich, T.N. Mišustina, E.E. Tulchinskaya .. - 8. izd., - M.: Mnemosina, 2006. - 239 str.
3. Algebra. 8. razred. Testovi za studente obrazovnih ustanova L.A. Aleksandrov, ur. A.G. Mordkovich 2. izd., Izbrisano. - M.: Mnemosina, 2009.-- 40-te.
4. Algebra. 8. razred. Samostalni rad za studente obrazovnih ustanova: do udžbenika A.G. Mordkovich, L.A. Aleksandrov, ur. A.G. Mordkovich, 9. izdanje, Izbrisano. - M.: Mnemosina, 2013.-- 112s.

U ovom članku ćemo detaljno analizirati apsolutnu vrijednost broja... Dat ćemo različite definicije modula broja, uvesti notaciju i dati grafičke ilustracije. U ovom slučaju ćemo razmotriti različite primjere pronalaženja modula broja po definiciji. Nakon toga ćemo navesti i obrazložiti glavna svojstva modula. Na kraju članka, hajde da razgovaramo o tome kako se određuje i pronalazi modul kompleksnog broja.

Navigacija po stranici.

Modul brojeva - definicija, notacija i primjeri

Prvo predstavljamo oznaka modula broja... Modul broja a zapisuje se kao, odnosno lijevo i desno od broja stavljamo okomite crtice koje čine znak modula. Evo nekoliko primjera. Na primjer, modulo -7 se može napisati kao; modul 4.125 je napisan kao, a modul je napisan kao.

Sljedeća definicija modula se odnosi na, i prema tome, na, i na cijele brojeve, i na racionalne, i na iracionalne brojeve, kao sastavne dijelove skupa realnih brojeva. Razgovaraćemo o modulu kompleksnih brojeva.

Definicija.

Modul broja a Da li je ili sam broj a, ako je a pozitivan broj, ili broj −a, suprotan broju a, ako je a negativan broj, ili 0 ako je a = 0.

Zvučna definicija modula broja često se piše u sljedećem obliku , ova notacija znači da ako je a> 0, ako je a = 0, i ako je a<0 .

Zapis se može predstaviti u kompaktnijoj formi ... Ova notacija znači da ako (a je veće ili jednako 0), i ako je a<0 .

Postoji i zapis ... Ovdje treba posebno razjasniti slučaj gdje je a = 0. U ovom slučaju imamo, ali −0 = 0, pošto se nula smatra brojem koji je suprotan samom sebi.

Hajde da damo primjeri nalaženja modula broja koristeći artikulisanu definiciju. Na primjer, pronađimo module brojeva 15 i. Počnimo od pronalaženja. Pošto je broj 15 pozitivan, njegov je modul po definiciji jednak samom ovom broju, tj. A koja je apsolutna vrijednost broja? Pošto je broj negativan, njegov modul je jednak suprotnom broju, odnosno broju ... Na ovaj način, .

U zaključku ovog paragrafa donosimo jedan zaključak, koji je vrlo pogodan za primjenu u praksi pri pronalaženju modula broja. Iz definicije modula broja proizlazi da modul broja jednak je broju ispod predznaka modula bez obzira na njegov predznak, a iz gore navedenih primjera to je vrlo jasno vidljivo. Navedena izjava objašnjava zašto se naziva i modul broja apsolutnu vrijednost broja... Dakle, modul broja i apsolutna vrijednost broja su jedno te isto.

Modul broja kao udaljenost

Geometrijski, modul broja može se tumačiti kao razdaljina... Hajde da damo određivanje modula broja u smislu udaljenosti.

Definicija.

Modul broja a Je rastojanje od početka na koordinatnoj liniji do tačke koja odgovara broju a.

Ova definicija je u skladu sa definicijom modula broja datom u prvom paragrafu. Hajde da razjasnimo ovu tačku. Udaljenost od početka do tačke koja odgovara pozitivnom broju jednaka je ovom broju. Nula odgovara ishodištu, tako da je udaljenost od početka do tačke s koordinatom 0 nula (ne morate odlagati niti jedan jedinični segment i niti jedan segment koji čini bilo koji dio jediničnog segmenta da biste došli od tačku O u tačku sa koordinatom 0). Udaljenost od ishodišta do tačke sa negativnom koordinatom jednaka je broju suprotnom od koordinate ove tačke, jer je jednaka udaljenosti od ishodišta do tačke čija je koordinata suprotan broj.

Na primjer, apsolutna vrijednost 9 je 9, jer je udaljenost od početka do tačke sa koordinatom 9 devet. Dajemo još jedan primjer. Tačka sa koordinatom −3,25 nalazi se na udaljenosti 3,25 od tačke O, dakle .

Zvučna definicija modula broja je poseban slučaj određivanja modula razlike dva broja.

Definicija.

Modul razlike dva broja a i b je jednako rastojanju između tačaka koordinatne prave sa koordinatama a i b.

To jest, ako su tačke date na koordinatnoj liniji A (a) i B (b), tada je udaljenost od tačke A do tačke B jednaka modulu razlike između brojeva a i b. Ako uzmemo tačku O (početak) kao tačku B, onda ćemo dobiti definiciju modula broja datu na početku ovog pasusa.

Određivanje modula broja kroz aritmetički kvadratni korijen

Povremeno se javlja definicija modula u terminima aritmetičkog kvadratnog korijena.

Na primjer, izračunajmo apsolutne vrijednosti brojeva −30 i na osnovu ove definicije. Imamo. Slično, izračunavamo modul dvije trećine: .

Definicija modula broja kroz aritmetički kvadratni korijen je također u skladu sa definicijom datom u prvom stavu ovog člana. Hajde da to pokažemo. Neka je a pozitivan broj, dok je broj −a negativan. Onda i , ako je a = 0, onda .

Svojstva modula

Modul ima niz karakterističnih rezultata - svojstva modula... Sada ćemo dati glavne i najčešće korištene. Kada opravdavamo ova svojstva, oslonićemo se na definiciju modula broja u smislu udaljenosti.

Počnimo s najočiglednijim svojstvom modula - modul broja ne može biti negativan... U doslovnom obliku, ovo svojstvo ima zapis oblika za bilo koji broj a. Ovo svojstvo je vrlo lako opravdati: modul broja je udaljenost, a udaljenost se ne može izraziti kao negativan broj.

Pređimo na sljedeće svojstvo modula. Apsolutna vrijednost broja je nula ako i samo ako je ovaj broj nula... Modul nule je nula po definiciji. Nula odgovara početku, nijedna druga tačka na koordinatnoj liniji ne odgovara nuli, pošto je svaki realan broj povezan sa jednom tačkom na koordinatnoj liniji. Iz istog razloga, bilo koji broj osim nule odgovara tački koja nije ishodište. A rastojanje od početka do bilo koje tačke osim tačke O nije nula, pošto je rastojanje između dve tačke nula ako i samo ako se ove tačke poklapaju. Gornje rezonovanje dokazuje da je samo modul nule jednak nuli.

Nastavi. Suprotni brojevi imaju jednake module, odnosno za bilo koji broj a. Zaista, dvije točke na koordinatnoj liniji, čije su koordinate suprotni brojevi, nalaze se na istoj udaljenosti od ishodišta, što znači da su apsolutne vrijednosti suprotnih brojeva jednake.

Sljedeće svojstvo modula je sljedeće: modul proizvoda dva broja jednak je proizvodu modula ovih brojeva, to je, . Po definiciji, modul proizvoda brojeva a i b jednak je ili a b, ako, ili - (a b), ako. Iz pravila za množenje realnih brojeva slijedi da je proizvod apsolutnih vrijednosti brojeva a i b jednak ili a b, ili - (a b), ako, što dokazuje svojstvo koje se razmatra.

Modul količnika dijeljenja a sa b jednak je količniku dijeljenja modula broja a modulom broja b, to je, . Hajde da opravdamo ovo svojstvo modula. Pošto je količnik jednak proizvodu, onda. Na osnovu prethodnog svojstva, imamo ... Ostaje samo koristiti jednakost, koja vrijedi na osnovu definicije modula broja.

Sljedeće svojstvo modula zapisuje se kao nejednakost: , a, b i c su proizvoljni realni brojevi. Napisana nejednakost nije ništa drugo do nejednakost trougla... Da ovo bude jasno, uzmite tačke A (a), B (b), C (c) na koordinatnoj liniji i razmotrite degenerisani trougao ABC, čiji vrhovi leže na jednoj pravoj liniji. Po definiciji, modul razlike je jednak dužini odsječka AB, dužina je odsječka AC i dužina segmenta CB. Kako dužina bilo koje stranice trokuta ne prelazi zbir dužina druge dvije stranice, nejednakost stoga je i nejednakost tačna.

Upravo dokazana nejednakost je mnogo češća u obliku ... Napisana nejednakost se obično smatra posebnim svojstvom modula sa formulacijom: “ Apsolutna vrijednost zbira dva broja ne prelazi zbir apsolutnih vrijednosti ovih brojeva". Ali nejednakost proizlazi direktno iz nejednakosti ako stavimo −b umjesto b i uzmemo c = 0.

Modul kompleksnih brojeva

Hajde da damo određivanje modula kompleksnog broja... Neka nam se da kompleksni broj, napisan u algebarskom obliku, gdje su x i y neki realni brojevi koji predstavljaju, redom, realni i imaginarni dio datog kompleksnog broja z, i predstavlja imaginarnu jedinicu.