Kako riješiti sistem jednačina u jednoj nepoznanici. Primjeri sistema linearnih jednadžbi: metoda rješenja. Sistem dvije linearne jednadžbe u dvije varijable

Sistemi jednačina se široko koriste u ekonomskoj industriji u matematičkom modeliranju različitih procesa. Na primjer, prilikom rješavanja problema upravljanja i planiranja proizvodnje, logističkih ruta (problem transporta) ili smještaja opreme.

Sistemi jednačina se koriste ne samo u oblasti matematike, već iu fizici, hemiji i biologiji, u rešavanju problema određivanja veličine populacije.

Sistemom linearnih jednadžbi nazivaju se dvije ili više jednadžbi sa više varijabli, za koje je potrebno pronaći opšte rješenje. Takav niz brojeva za koji sve jednačine postaju istinite jednakosti ili dokazuju da niz ne postoji.

Linearna jednačina

Jednačine oblika ax + by = c nazivaju se linearne. Oznaka x, y je nepoznata, čija se vrijednost mora naći, b, a su koeficijenti varijabli, c je slobodni član jednačine.
Rješenje jednadžbe iscrtavanjem njenog grafa imat će oblik prave linije, čije su sve točke rješenje polinoma.

Vrste sistema linearnih jednačina

Najjednostavnijim primjerima smatraju se sistemi linearnih jednadžbi s dvije varijable X i Y.

F1 (x, y) = 0 i F2 (x, y) = 0, gdje su F1,2 funkcije, a (x, y) funkcionalne varijable.

Riješiti sistem jednačina - to znači pronalaženje takvih vrijednosti (x, y) pri kojima se sistem pretvara u pravu jednakost, ili utvrđivanje da ne postoje odgovarajuće vrijednosti za x i y.

Par vrijednosti (x, y), zapisan kao koordinate tačke, naziva se rješenjem sistema linearnih jednadžbi.

Ako sistemi imaju jedno zajedničko rješenje ili rješenje ne postoji, nazivaju se ekvivalentnim.

Homogeni sistemi linearnih jednačina su sistemi čija je desna strana jednaka nuli. Ako desni dio iza znaka "jednako" ima vrijednost ili je izražen funkcijom, takav sistem je heterogen.

Broj varijabli može biti mnogo veći od dvije, tada treba govoriti o primjeru sistema linearnih jednačina sa tri ili više varijabli.

Kada se suoče sa sistemima, školarci pretpostavljaju da se broj jednačina nužno mora podudarati s brojem nepoznanica, ali to nije slučaj. Broj jednačina u sistemu ne zavisi od varijabli, može ih biti koliko god želite.

Jednostavne i složene metode za rješavanje sistema jednačina

Ne postoji opći analitički način rješavanja takvih sistema, sve metode su zasnovane na numeričkim rješenjima. Školski kurs matematike detaljno opisuje metode kao što su permutacija, algebarsko sabiranje, supstitucija, kao i grafička i matrična metoda, rješenje Gaussovom metodom.

Glavni zadatak u nastavi metoda rješenja je naučiti kako pravilno analizirati sistem i pronaći optimalni algoritam rješenja za svaki primjer. Glavna stvar nije zapamtiti sistem pravila i radnji za svaku metodu, već razumjeti principe primjene određene metode

Rješenje primjera sistema linearnih jednačina za 7. razred opšteškolskog programa je prilično jednostavno i detaljno objašnjeno. U svakom udžbeniku matematike, ovom dijelu se posvećuje dovoljno pažnje. Rješenje primjera sistema linearnih jednačina Gauss-ovom i Cramerovom metodom detaljnije se proučava na prvim godinama visokoškolskih ustanova.

Rješenje sistema metodom supstitucije

Radnje metode zamjene imaju za cilj izražavanje vrijednosti jedne varijable kroz drugu. Izraz se zamjenjuje u preostalu jednačinu, a zatim se svodi na oblik s jednom promjenljivom. Akcija se ponavlja u zavisnosti od broja nepoznatih u sistemu

Dajemo rješenje primjera sistema linearnih jednadžbi 7. klase metodom zamjene:

Kao što možete vidjeti iz primjera, varijabla x je izražena kroz F (X) = 7 + Y. Rezultirajući izraz, zamijenjen u 2. jednačinu sistema umjesto X, pomogao je da se dobije jedna varijabla Y u 2. jednačini . Rješenje ovog primjera ne izaziva nikakve poteškoće i omogućava vam da dobijete vrijednost Y. Zadnji korak je provjera dobivenih vrijednosti.

Nije uvijek moguće riješiti primjer sistema linearnih jednačina zamjenom. Jednačine mogu biti komplikovane i izraz varijable u terminima druge nepoznate biće previše glomazan za dalje proračune. Kada u sistemu ima više od 3 nepoznate, rješenje zamjenom je također nepraktično.

Rješenje primjera sistema linearnih nehomogenih jednadžbi:

Algebarsko rješenje sabiranja

Prilikom traženja rješenja sistema metodom sabiranja vrši se sabiranje član po član i množenje jednačina različitim brojevima. Krajnji cilj matematičkih operacija je jednačina u jednoj varijabli.

Ova metoda zahtijeva praksu i promatranje. Nije lako riješiti sistem linearnih jednačina metodom sabiranja sa 3 ili više varijabli. Pogodno je koristiti algebarsko sabiranje kada su u jednadžbama prisutni razlomci i decimalni brojevi.

Algoritam akcije rješenja:

1. Pomnožite obje strane jednačine nekim brojem. Kao rezultat aritmetičke operacije, jedan od koeficijenata varijable mora postati jednak 1.
2. Dodajte rezultirajući izraz pojam po član i pronađite jednu od nepoznatih.
3. Zamijenite dobijenu vrijednost u 2. jednačinu sistema da biste pronašli preostalu varijablu.

Rješenje uvođenjem nove varijable

Nova varijabla se može uvesti ako sistem treba da pronađe rješenje za najviše dvije jednačine, broj nepoznatih također ne smije biti veći od dvije.

Metoda se koristi za pojednostavljenje jedne od jednadžbi uvođenjem nove varijable. Nova jednačina se rješava s obzirom na unesenu nepoznatu, a rezultirajuća vrijednost se koristi za određivanje originalne varijable.

Primjer pokazuje da je uvođenjem nove varijable t bilo moguće svesti 1. jednadžbu sistema na standardni kvadratni trinom. Polinom možete riješiti pronalaženjem diskriminanta.

Potrebno je pronaći vrijednost diskriminanta prema poznatoj formuli: D = b2 - 4 * a * c, gdje je D traženi diskriminant, b, a, c su faktori polinoma. U datom primjeru, a = 1, b = 16, c = 39, dakle D = 100. Ako je diskriminanta veća od nule, postoje dva rješenja: t = -b ± √D / 2 * a, ako je diskriminanta manja od nule, postoji jedno rješenje: x = -b / 2 * a.

Rješenje za rezultirajuće sisteme nalazi se metodom sabiranja.

Vizuelna metoda za rješavanje sistema

Pogodno za sisteme sa 3 jednačine. Metoda se sastoji u crtanju na koordinatnoj osi grafika svake jednačine uključene u sistem. Koordinate presečnih tačaka krivih biće opšte rešenje sistema.

Grafička metoda ima niz nijansi. Razmotrimo nekoliko primjera rješavanja sistema linearnih jednačina na vizuelni način.

Kao što možete vidjeti iz primjera, za svaku pravu liniju izgrađene su dvije tačke, vrijednosti varijable x su odabrane proizvoljno: 0 i 3. Na osnovu vrijednosti x pronađene su vrijednosti za y : 3 i 0. Tačke sa koordinatama (0, 3) i (3, 0) su označene na grafikonu i povezane linijom.

Koraci se moraju ponoviti za drugu jednačinu. Tačka preseka linija je rešenje sistema.

U sljedećem primjeru morate pronaći grafičko rješenje za sistem linearnih jednačina: 0,5x-y + 2 = 0 i 0,5x-y-1 = 0.

Kao što možete vidjeti iz primjera, sistem nema rješenja, jer su grafovi paralelni i ne seku se cijelom dužinom.

Sistemi iz primjera 2 i 3 su slični, ali pri izgradnji postaje očigledno da su njihova rješenja različita. Treba imati na umu da nije uvijek moguće reći da li sistem ima rješenje ili ne, uvijek je potrebno izgraditi graf.

Matrica i njene varijante

Matrice se koriste za koncizno pisanje sistema linearnih jednačina. Matrica je tablica posebne vrste ispunjena brojevima. n * m ima n - redova i m - kolona.

Matrica je kvadratna kada je broj kolona i redova jednak jedni drugima. Vektorska matrica je matrica sa jednim stupcem sa beskonačnim brojem redova. Matrica s jedinicama duž jedne od dijagonala i drugim nultim elementima naziva se matrica identiteta.

Inverzna matrica je takva matrica, kada se pomnoži s kojom se originalna matrica pretvara u matricu identiteta, takva matrica postoji samo za originalnu kvadratnu.

Pravila za transformaciju sistema jednačina u matricu

U primjeni na sisteme jednačina, koeficijenti i slobodni članovi jednadžbi su zapisani kao brojevi matrice, jedna jednačina je jedan red matrice.

Red matrice naziva se nenula ako je barem jedan element reda različit od nule. Stoga, ako se u bilo kojoj od jednadžbi razlikuje broj varijabli, tada je potrebno upisati nulu umjesto nepoznate koja nedostaje.

Kolone matrice moraju se striktno podudarati sa varijablama. To znači da se koeficijenti varijable x mogu upisati samo u jedan stupac, na primjer, prvi, koeficijent nepoznatog y - samo u drugi.

Prilikom množenja matrice, svi elementi matrice se sekvencijalno množe brojem.

Varijante pronalaženja inverzne matrice

Formula za pronalaženje inverzne matrice je prilično jednostavna: K -1 = 1 / | K |, gdje je K -1 inverzna matrica, a | K | je determinanta matrice. K | ne bi trebalo biti nula, tada sistem ima rješenje.

Determinanta se lako izračunava za matricu dva po dva; potrebno je samo pomnožiti elemente na dijagonali jedan s drugim. Za opciju "tri po tri" postoji formula | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1. Možete koristiti formulu, ili se možete sjetiti da trebate uzeti po jedan element iz svakog reda i svake kolone kako se brojevi stupaca i redova elemenata ne bi ponavljali u proizvodu.

Rješenje primjera sistema linearnih jednadžbi matričnom metodom

Matrična metoda pronalaženja rješenja omogućava smanjenje glomaznih zapisa pri rješavanju sistema sa velikim brojem varijabli i jednačina.

U primjeru, a nm su koeficijenti jednadžbi, matrica je vektor x n su varijable, a b n su slobodni termini.

Gausovo rješenje sistema

U višoj matematici Gaussova metoda se proučava zajedno sa Cramer metodom, a proces pronalaženja rješenja za sisteme naziva se Gauss - Cramer metoda. Ove metode se koriste za pronalaženje varijabilnih sistema sa velikim brojem linearnih jednačina.

Gaussova metoda je vrlo slična rješenjima zamjene i algebarskog sabiranja, ali je sistematičnija. U školskom predmetu se koristi Gausovo rješenje za sisteme od 3 i 4 jednačine. Cilj metode je da sistem izgleda kao obrnuti trapez. Algebarskim transformacijama i supstitucijama, vrijednost jedne varijable se nalazi u jednoj od jednačina sistema. Druga jednačina je izraz sa 2 nepoznate, ali 3 i 4 - sa 3 i 4 varijable.

Nakon dovođenja sistema u opisani oblik, dalje rješenje se svodi na sekvencijalnu zamjenu poznatih varijabli u jednačine sistema.

U školskim udžbenicima za 7. razred primjer rješenja Gaussovom metodom opisan je na sljedeći način:

Kao što možete vidjeti iz primjera, u koraku (3) su dobijene dvije jednačine: 3x 3 -2x 4 = 11 i 3x 3 + 2x 4 = 7. Rješenje bilo koje od jednadžbi će vam omogućiti da saznate jednu od varijabli x n.

Teorema 5, spomenuta u tekstu, kaže da ako se jedna od jednačina sistema zamijeni ekvivalentnom, onda će i rezultirajući sistem biti ekvivalentan izvornom.

Gaussovu metodu teško je razumjeti srednjoškolcima, ali je jedan od najzanimljivijih načina za razvoj inteligencije djece na naprednim časovima matematike i fizike.

Radi lakšeg snimanja proračuna, uobičajeno je učiniti sljedeće:

Koeficijenti jednadžbi i slobodnih termina zapisani su u obliku matrice, gdje je svaki red matrice vezan za jednu od jednačina sistema. odvaja lijevu stranu jednačine od desne. Rimski brojevi označavaju brojeve jednačina u sistemu.

Prvo zapisuju matricu s kojom će raditi, a zatim sve radnje koje se izvode jednom od linija. Rezultirajuća matrica se upisuje nakon znaka strelice i nastavljaju se potrebne algebarske radnje dok se ne postigne rezultat.

Kao rezultat, trebala bi se dobiti matrica u kojoj je jedna od dijagonala 1, a svi ostali koeficijenti jednaki nuli, odnosno matrica se dovodi u jedan oblik. Ne zaboravite napraviti proračune s brojevima na obje strane jednačine.

Ova metoda snimanja je manje glomazna i omogućava vam da vas ne ometa nabrajanje brojnih nepoznanica.

Besplatna primjena bilo kojeg rješenja zahtijevat će brigu i određeno iskustvo. Nisu sve metode primijenjene prirode. Neki načini pronalaženja rješenja su poželjniji u ovoj drugoj oblasti ljudske djelatnosti, dok drugi postoje u obrazovne svrhe.

Pouzdaniji od grafičke metode o kojoj smo govorili u prethodnom paragrafu.

Metoda zamjene

Ovu metodu smo koristili u 7. razredu za rješavanje sistema linearnih jednačina. Algoritam koji je razvijen u 7. razredu sasvim je pogodan za rješavanje sistema bilo koje dvije jednačine (ne nužno linearne) sa dvije varijable x i y (naravno, varijable se mogu označiti i drugim slovima, što nije bitno). U stvari, koristili smo ovaj algoritam u prethodnom pasusu, kada je problem dvocifrenog broja doveo do matematičkog modela, koji je sistem jednačina. Ovaj sistem jednačina smo riješili gornjom metodom zamjene (vidi primjer 1 iz § 4).

Algoritam za korištenje metode zamjene pri rješavanju sistema od dvije jednačine sa dvije varijable x, y.

1. Izrazite y kroz x iz jedne jednačine sistema.
2. Dobijeni izraz umjesto y zamijeniti drugom jednačinom sistema.
3. Riješi rezultirajuću jednačinu za x.
4. Zamijenite redom svaki od korijena jednadžbe pronađene u trećem koraku umjesto x u izraz za y do x dobiven u prvom koraku.
5. Zapišite odgovor u obliku parova vrijednosti (x; y) koji su pronađeni u trećem i četvrtom koraku.

4) Zamijenite redom svaku od pronađenih vrijednosti y u formulu x = 5 - 3y. Ako onda
5) Parovi (2; 1) i rješenja datog sistema jednačina.

Odgovor: (2; 1);

Algebarska metoda sabiranja

Ova metoda, kao i metoda zamjene, poznata vam je iz predmeta algebra 7. razreda, gdje je korištena za rješavanje sistema linearnih jednačina. Prisjetimo se suštine metode koristeći sljedeći primjer.

Primjer 2. Riješiti sistem jednačina

Sve članove prve jednačine sistema množimo sa 3, a drugu jednačinu ostavljamo nepromenjenom:
Oduzmite drugu jednačinu sistema od prve jednačine:

Kao rezultat algebarskog sabiranja dvije jednačine originalnog sistema, dobija se jednačina koja je jednostavnija od prve i druge jednačine datog sistema. Ovom jednostavnijom jednačinom imamo pravo zamijeniti bilo koju jednačinu datog sistema, na primjer, drugu. Tada će dati sistem jednačina biti zamijenjen jednostavnijim sistemom:

Ovaj sistem se može riješiti metodom zamjene. Iz druge jednačine nalazimo Zamjenom ovog izraza umjesto y u prvoj jednačini sistema, dobijamo

Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti x u formulu

Ako je x = 2, onda

Tako smo pronašli dva rješenja za sistem:

Metoda za uvođenje novih varijabli

O načinu uvođenja nove varijable u rješavanje racionalnih jednačina u jednoj varijabli učili ste u predmetu algebra 8. razreda. Suština ove metode pri rješavanju sistema jednačina je ista, ali sa tehničke tačke gledišta, postoje neke karakteristike o kojima ćemo govoriti u sljedećim primjerima.

Primjer 3. Riješiti sistem jednačina

Hajde da uvedemo novu promenljivu. Tada se prva jednačina sistema može prepisati u jednostavnijem obliku: Rešimo ovu jednačinu za varijablu t:

Obje ove vrijednosti zadovoljavaju uvjet, pa su stoga korijeni racionalne jednadžbe s varijablom t. Ali to znači da ili odakle nalazimo da je x = 2y, ili
Tako smo metodom uvođenja nove varijable uspjeli, takoreći, da prvu jednačinu sistema, koja je po izgledu prilično složena, „razdvojimo“ na dvije jednostavnije jednačine:

x = 2 y; y - 2x.

Šta je sledeće? A onda se svaka od dvije dobijene jednostavne jednadžbe naizmjence mora razmatrati u sistemu sa jednačinom x 2 - y 2 = 3, koje se još nismo sjetili. Drugim riječima, problem se svodi na rješavanje dva sistema jednačina:

Potrebno je pronaći rješenja prvog sistema, drugog sistema i uključiti sve dobijene parove vrijednosti u odgovor. Hajde da rešimo prvi sistem jednačina:

Koristićemo metodu zamene, pogotovo što je ovde sve spremno za to: u drugu jednačinu sistema zamenjujemo izraz 2y umesto x. Dobijamo

Pošto je x = 2y, nalazimo, respektivno, x 1 = 2, x 2 = 2. Tako se dobijaju dva rešenja datog sistema: (2; 1) i (-2; -1). Rešimo drugi sistem jednačina:

Koristimo ponovo metodu zamjene: zamijenimo izraz 2x za y u drugoj jednačini sistema. Dobijamo

Ova jednačina nema korijen, što znači da ni sistem jednačina nema rješenja. Dakle, u odgovor treba uključiti samo rješenja prvog sistema.

Odgovor: (2; 1); (-2; -1).

Metoda uvođenja novih varijabli pri rješavanju sistema od dvije jednačine sa dvije varijable koristi se u dvije verzije. Prva opcija: jedna nova varijabla se uvodi i koristi u samo jednoj jednačini sistema. Upravo je to slučaj u primjeru 3. Druga opcija: dvije nove varijable se uvode i koriste istovremeno u obje jednačine sistema. To će biti slučaj u primjeru 4.

Primjer 4. Riješiti sistem jednačina

Hajde da predstavimo dve nove varijable:

Uzmite u obzir to onda

Ovo će omogućiti prepisivanje datog sistema u mnogo jednostavnijem obliku, ali s obzirom na nove varijable a i b:

Pošto je a = 1, onda iz jednačine a + 6 = 2 nalazimo: 1 + 6 = 2; 6 = 1. Tako smo za varijable a i b dobili jedno rješenje:

Vraćajući se na varijable x i y, dobijamo sistem jednačina

Primijenimo metodu algebarskog sabiranja da riješimo ovaj sistem:

Od tada iz jednačine 2x + y = 3 nalazimo:
Tako smo za varijable x i y dobili jedno rješenje:

Ovaj dio ćemo zaključiti kratkom, ali prilično ozbiljnom teorijskom raspravom. Već ste stekli određeno iskustvo u rješavanju raznih jednačina: linearnih, kvadratnih, racionalnih, iracionalnih. Znate da je glavna ideja rješavanja jednadžbe postupni prijelaz iz jedne jednadžbe u drugu, jednostavniju, ali ekvivalentnu datoj. U prethodnom dijelu uveli smo koncept ekvivalencije za jednačine u dvije varijable. Ovaj koncept se takođe koristi za sisteme jednačina.

Definicija.

Dva sistema jednačina sa varijablama x i y nazivaju se ekvivalentnim ako imaju ista rješenja ili ako oba sistema nemaju rješenja.

Sve tri metode (zamjena, algebarsko sabiranje i uvođenje novih varijabli) o kojima smo govorili u ovom dijelu su apsolutno ispravne sa stanovišta ekvivalencije. Drugim riječima, koristeći ove metode, zamjenjujemo jedan sistem jednačina drugim, jednostavnijim, ali ekvivalentnim originalnom sistemu.

Grafička metoda za rješavanje sistema jednačina

Već smo naučili kako rješavati sisteme jednačina uobičajenim i pouzdanim metodama kao što su metoda zamjene, algebarsko sabiranje i uvođenje novih varijabli. Sada se s vama prisjetimo metode koju ste već učili u prethodnoj lekciji. Odnosno, hajde da ponovimo ono što znate o metodi grafičkog rješenja.

Metoda za grafički način rješavanja sistema jednačina je konstrukcija grafa za svaku od specifičnih jednačina koje su uključene u ovaj sistem i koje se nalaze u istoj koordinatnoj ravni, a takođe i gdje je potrebno pronaći presjeke tačke ovih grafova. Za rješavanje ovog sistema jednačina su koordinate ove tačke (x; y).

Treba imati na umu da je uobičajeno da grafički sistem jednačina ima ili jedno ispravno rješenje, ili beskonačan skup rješenja, ili uopće nema rješenja.

A sada se zadržimo na svakom od ovih rješenja detaljnije. Dakle, sistem jednačina može imati jedinstveno rješenje ako se prave linije, koje su grafici jednačina sistema, seku. Ako su ove prave paralelne, onda takav sistem jednačina nema apsolutno nikakva rješenja. U slučaju podudarnosti direktnih grafova jednadžbi sistema, tada vam takav sistem omogućava da pronađete skup rješenja.

Pa, sada pogledajmo algoritam za rješavanje sistema od dvije jednadžbe sa 2 nepoznate grafičke metode:

Prvo, na početku gradimo graf 1. jednačine;
Drugi korak je crtanje grafikona koji se odnosi na drugu jednačinu;
Treće, moramo pronaći tačke preseka grafikona.
I kao rezultat, dobijamo koordinate svake tačke preseka, što će biti rešenje sistema jednačina.

Pogledajmo pobliže ovu metodu na primjeru. Dat nam je sistem jednačina koje treba riješiti:

Rješavanje jednačina

1. Prvo ćemo nacrtati ovu jednačinu: x2 + y2 = 9.

Ali treba napomenuti da će ovaj graf jednadžbi biti kružnica sa centrom u početku, a njegov radijus će biti jednak tri.

2. Naš sljedeći korak je da nacrtamo jednačinu kao što je: y = x - 3.

U ovom slučaju, moramo izgraditi pravu i pronaći tačke (0; −3) i (3; 0).

3. Hajde da vidimo šta imamo. Vidimo da prava seče kružnicu u njene dve tačke A i B.

Sada tražimo koordinate ovih tačaka. Vidimo da koordinate (3; 0) odgovaraju tački A, a koordinate (0; −3) tački B.

I šta na kraju dobijemo?

Brojevi (3; 0) i (0; −3) dobijeni na preseku prave sa kružnicom su upravo rešenja obe jednačine sistema. A iz ovoga proizilazi da su i ovi brojevi rješenja ovog sistema jednačina.

Odnosno, odgovor na ovo rješenje su brojevi: (3; 0) i (0; −3).

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada ostavite zahtjev na web stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo nam omogućavaju da vas kontaktiramo i prijavimo jedinstvene ponude, promocije i druge događaje i nadolazeće događaje.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavještenja i poruka.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom promotivnom događaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje tim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, nalogom suda, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno zbog sigurnosnih, provođenja zakona ili drugih društveno važnih razloga.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo odgovarajućoj trećoj strani – pravnom sljedbeniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštovanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo bili sigurni da su Vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima donosimo pravila o povjerljivosti i sigurnosti, te striktno pratimo provođenje mjera povjerljivosti.

Obično se jednačine sistema pišu u koloni jedna ispod druge i kombinuju sa vitičastom zagradom

Sistem jednačina ovog oblika, gdje a, b, c- brojevi, i x, y- pozvane varijable sistem linearnih jednačina.

Prilikom rješavanja sistema jednačina koriste se svojstva koja vrijede za rješavanje jednačina.

Rješenje sistema linearnih jednadžbi metodom supstitucije

Razmotrimo primjer

1) Izrazite varijablu u jednoj od jednačina. Na primjer, izražavamo y u prvoj jednačini dobijamo sistem:

2) Zamjena u drugoj jednačini sistema umjesto y izraz 3x-7:

3) Rješavamo rezultirajuću drugu jednačinu:

4) Dobijeno rješenje zamjenjujemo u prvu jednačinu sistema:

Sistem jednačina ima jedinstveno rješenje: par brojeva x = 1, y = -4... odgovor: (1; -4) , napisano u zagradama, na prvoj poziciji vrijednost x, na drugom - y.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi metodom sabiranja

Rešimo sistem jednačina iz prethodnog primera metodom sabiranja.

1) Transformirajte sistem tako da koeficijenti za jednu od varijabli postanu suprotni. Pomnožimo prvu jednačinu sistema sa "3".

2) Dodajte jednačine sistema član po član. Druga jednačina sistema (bilo koja) se prepisuje bez promjena.

3) Dobijeno rješenje zamjenjujemo u prvu jednačinu sistema:

Grafičko rješavanje sistema linearnih jednačina

Grafičko rješenje sistema jednačina sa dvije varijable svodi se na pronalaženje koordinata zajedničkih tačaka grafova jednačina.

Grafikon linearne funkcije je prava linija. Dvije prave na ravni mogu se sijeći u jednoj tački, biti paralelne ili poklapati. Prema tome, sistem jednačina može: a) imati jedinstveno rješenje; b) nemaju rješenja; c) imaju beskonačan broj rješenja.

2) Rešenje sistema jednačina je tačka (ako su jednačine linearne) preseka grafova.

Grafičko rješenje sistema

Metoda za uvođenje novih varijabli

Promjena varijabli može dovesti do rješavanja jednostavnijeg sistema jednačina od prvobitnog.

Razmotrite rješenje sistema

Onda uvodimo zamjenu

Prelazimo na originalne varijable

Posebni slučajevi

Bez rješavanja sistema linearnih jednačina može se odrediti broj njegovih rješenja koeficijentima za odgovarajuće varijable.

Sadržaj lekcije

Linearne jednadžbe u dvije varijable

Učenik ima 200 rubalja za ručak u školi. Kolač košta 25 rubalja, a šolja kafe 10 rubalja. Koliko kolača i šoljica kafe možete kupiti za 200 rubalja?

Označimo broj kolača x, i broj šoljica kafe nakon toga y... Tada će se cijena kolača označiti izrazom 25 x, te cijenu šoljica kafe nakon 10 y .

25x - Cijena x peciva
10y - Cijena yšoljice kafe

Ukupan iznos bi trebao biti jednak 200 rubalja. Tada dobijamo jednačinu sa dvije varijable x i y

25x+ 10y= 200

Koliko korijena ima ova jednadžba?

Sve zavisi od studentovog apetita. Ako kupi 6 kolača i 5 šoljica kafe, tada će korijeni jednadžbe biti 6 i 5.

Za par vrijednosti 6 i 5 se kaže da su korijeni jednadžbe 25 x+ 10y= 200. Zapisuje se kao (6; 5), pri čemu je prvi broj vrijednost varijable x, a drugi je vrijednost varijable y .

6 i 5 nisu jedini korijeni koji obrću jednačinu 25 x+ 10y= 200 po identitetu. Po želji student može kupiti 4 kolača i 10 šoljica kafe za istih 200 rubalja:

U ovom slučaju, korijeni jednačine 25 x+ 10y= 200 je par vrijednosti (4; 10).

Štaviše, student možda uopće ne kupuje kafu, ali kupuje kolače za svih 200 rubalja. Tada su korijeni jednadžbe 25 x+ 10y= 200 biće vrijednosti 8 i 0

Ili obrnuto, ne kupujte kolače, već kupujte kafu za svih 200 rubalja. Tada su korijeni jednadžbe 25 x+ 10y= 200 biće vrijednosti 0 i 20

Pokušajmo nabrojati sve moguće korijene jednačine 25 x+ 10y= 200. Složimo se da vrijednosti x i y pripadaju skupu cijelih brojeva. I neka ove vrijednosti budu veće ili jednake nuli:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Tako će biti zgodno i za samog učenika. Pogodnije je kupiti cijele torte nego, na primjer, nekoliko cijelih kolača i pola torte. Takođe je zgodnije piti kafu u celim šoljicama nego, na primer, nekoliko celih šoljica i pola šoljice.

Imajte na umu da za neparne x nemoguće je postići jednakost ni pod kojim y... Zatim vrijednosti x postojaće sledeći brojevi 0, 2, 4, 6, 8. I znajući x možete lako odrediti y

Tako smo dobili sljedeće parove vrijednosti (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Ovi parovi su rješenja ili korijeni jednadžbe 25 x+ 10y= 200. Oni čine ovu jednačinu identitetom.

Jednačina oblika ax + by = c su pozvani linearna jednačina u dvije varijable... Rješenje ili korijeni ove jednadžbe naziva se par vrijednosti ( x; y), što ga čini identitetom.

Imajte na umu da ako je linearna jednačina u dvije varijable napisana u obliku ax + b y = c, onda kažu da je upisano kanonski(normalni) oblik.

Neke linearne jednadžbe u dvije varijable mogu se svesti na kanonski oblik.

Na primjer, jednadžba 2(16x+ 3y - 4) = 2(12 + 8x − y) može se svesti na formu ax + by = c... Proširujući zagrade na obje strane ove jednačine, dobijamo 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y ... U lijevu stranu jednačine grupišemo pojmove koji sadrže nepoznanice, a na desnoj strani pojmove bez nepoznanica. Onda dobijamo 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 ... S obzirom na slične članove u oba dijela, dobijamo jednačinu 16 x+ 8y= 32. Ova jednačina se svodi na oblik ax + by = c i kanonski je.

Ranije razmatrana jednačina 25 x+ 10y= 200 je također linearna jednadžba sa dvije varijable u kanonskom obliku. U ovoj jednačini, parametri a , b i c jednake su vrijednostima od 25, 10 i 200, redom.

Zapravo jednadžba ax + by = c ima bezbroj rješenja. Rješavanje jednačine 25x+ 10y= 200, tražili smo njegove korijene samo na skupu cijelih brojeva. Kao rezultat, dobiveno je nekoliko parova vrijednosti koje su ovu jednačinu učinile identičnom. Ali na skupu racionalnih brojeva jednačina 25 x+ 10y= 200 će imati bezbroj rješenja.

Da biste dobili nove parove vrijednosti, trebate uzeti proizvoljnu vrijednost za x zatim ekspresno y... Na primjer, uzmimo za varijablu x vrijednost 7. Tada dobijamo jednačinu sa jednom promjenljivom 25 × 7 + 10y= 200 u kojoj se možete izraziti y

Neka x= 15. Zatim jednačina 25x+ 10y= 200 će imati oblik 25 × 15 + 10y= 200. Iz ovoga nalazimo da y = −17,5

Neka x= −3. Zatim jednačina 25x+ 10y= 200 će poprimiti oblik 25 × (−3) + 10y= 200. Iz ovoga nalazimo da y = −27,5

Sistem dvije linearne jednadžbe u dvije varijable

Za jednačinu ax + by = c možete uzeti proizvoljne vrijednosti za x i pronađite vrijednosti za y... Uzeto odvojeno, takva jednačina će imati bezbroj rješenja.

Ali takođe se dešava da varijable x i y nisu povezane jednom, već dvije jednačine. U ovom slučaju formiraju tzv sistem linearnih jednačina u dvije varijable... Takav sistem jednadžbi može imati jedan par vrijednosti (ili drugim riječima: "jedno rješenje").

Može se desiti i da sistem uopšte nema rešenja. Sistem linearnih jednačina može imati bezbroj rješenja u rijetkim i izuzetnim slučajevima.

Dvije linearne jednadžbe čine sistem kada vrijednosti x i y uključeni su u svaku od ovih jednačina.

Vratimo se na prvu jednačinu 25 x+ 10y= 200. Jedan od parova vrijednosti za ovu jednačinu bio je par (6; 5). Ovo je slučaj kada ste mogli kupiti 6 kolača i 5 šoljica kafe za 200 rubalja.

Formulirajmo problem tako da par (6; 5) postane jedino rješenje za jednačinu 25 x+ 10y= 200. Da bismo to učinili, sastavit ćemo još jednu jednačinu koja bi se odnosila na isto x torte i yšoljice kafe.

Postavimo tekst problema na sljedeći način:

„Školac je kupio nekoliko kolača i nekoliko šoljica kafe za 200 rubalja. Kolač košta 25 rubalja, a šolja kafe 10 rubalja. Koliko je kolača i šoljica kafe kupio školarac ako se zna da je broj kolača za jedan veći od broja šoljica kafe?"

Već imamo prvu jednačinu. Ova jednačina je 25 x+ 10y= 200. Sada napravimo jednačinu za uslov "Broj kolača je jedan više od broja šoljica kafe" .

Broj torti je x, a broj šoljica kafe je y... Ovu frazu možete napisati pomoću jednačine x - y= 1. Ova jednačina bi značila da je razlika između kolača i kafe 1.

x = y+ 1. Ova jednačina znači da je broj kolača jedan veći od broja šoljica kafe. Stoga, da bi se postigla jednakost, broju šoljica kafe dodaje se jedna. To se može lako razumjeti ako koristimo model utega, koji smo razmatrali prilikom proučavanja najjednostavnijih problema:

Imamo dvije jednačine: 25 x+ 10y= 200 i x = y+ 1. Budući da su vrijednosti x i y, naime 6 i 5 su uključeni u svaku od ovih jednačina, a zatim zajedno čine sistem. Hajde da zapišemo ovaj sistem. Ako jednačine čine sistem, onda su uokvirene predznakom sistema. Sistemski znak je vitičasta zagrada:

Hajde da rešimo ovaj sistem. Ovo će nam omogućiti da vidimo kako dolazimo do vrijednosti 6 i 5. Postoji mnogo metoda za rješavanje takvih sistema. Razmotrimo najpopularnije.

Metoda zamjene

Naziv ove metode govori sam za sebe. Njegova suština je zamjena jedne jednačine u drugu, nakon što je prethodno izražena jedna od varijabli.

Nema potrebe da se bilo šta izražava u našem sistemu. U drugoj jednačini x = y+ 1 varijabla x već izraženo. Ova varijabla je jednaka izrazu y+ 1. Zatim možete zamijeniti ovaj izraz u prvoj jednačini umjesto varijable x

Nakon zamjene izraza y+ 1 u prvu jednačinu umjesto x, dobijamo jednačinu 25(y+ 1) + 10y= 200 ... To je linearna jednačina sa jednom varijablom. Ova jednačina je prilično jednostavna za rješavanje:

Pronašli smo vrijednost varijable y... Sada ovu vrijednost zamjenjujemo u jednu od jednačina i nalazimo vrijednost x... Za to je zgodno koristiti drugu jednačinu x = y+ 1. U njemu zamjenjujemo vrijednost y

To znači da je par (6; 5) rješenje sistema jednačina, kako smo i namjeravali. Provjeravamo i uvjeravamo se da par (6; 5) zadovoljava sistem:

Primjer 2

Zamijenite prvu jednačinu x= 2 + y u drugu jednačinu 3 x - 2y= 9. U prvoj jednačini, varijabla x je jednako 2 + y... Ovaj izraz zamjenjujemo u drugoj jednačini umjesto sa x

Sada pronađimo vrijednost x... Da biste to učinili, zamijenite vrijednost y u prvu jednačinu x= 2 + y

Dakle, rješenje sistema je vrijednost para (5; 3)

Primjer 3... Metodom zamjene riješite sljedeći sistem jednačina:

Ovdje, za razliku od prethodnih primjera, jedna od varijabli nije eksplicitno izražena.

Da biste jednu jednačinu zamijenili drugom, prvo morate.

Poželjno je izraziti varijablu koja ima koeficijent jedan. Koeficijent jedan ima varijablu x koji je sadržan u prvoj jednačini x+ 2y= 11. Ovu varijablu ćemo izraziti.

Nakon varijabilnog izraza x, naš sistem će imati sljedeći oblik:

Sada zamjenjujemo prvu jednačinu drugom i nalazimo vrijednost y

Zamena y x

To znači da je rješenje sistema par vrijednosti (3; 4)

Naravno, možete izraziti i varijablu y... Korijeni se od ovoga neće promijeniti. Ali ako izrazite y, dobijete ne tako jednostavnu jednačinu, za čije će rješavanje trebati više vremena. To će izgledati ovako:

Vidimo da se to u ovom primjeru izražava x mnogo zgodnije od izražavanja y .

Primjer 4... Metodom zamjene riješite sljedeći sistem jednačina:

Izrazimo u prvoj jednačini x... Tada će sistem poprimiti oblik:

y

Zamena y u prvu jednačinu i pronađite x... Možete koristiti originalnu jednačinu 7 x+ 9y= 8, ili koristite jednačinu u kojoj je varijabla izražena x... Koristićemo ovu jednačinu kako je zgodno:

Dakle, rješenje sistema je par vrijednosti (5; −3)

Metoda sabiranja

Metoda sabiranja se sastoji u sabiranju jednačina u sistemu pojam po član. Ovaj dodatak dovodi do toga da se formira nova jednačina sa jednom promenljivom. A riješiti takvu jednačinu je prilično jednostavno.

Hajde da rešimo sledeći sistem jednačina:

Dodajte lijevu stranu prve jednačine lijevoj strani druge jednačine. I desna strana prve jednačine sa desnom stranom druge jednačine. Dobijamo sljedeću jednakost:

Evo sličnih pojmova:

Kao rezultat, dobili smo najjednostavniju jednačinu 3 x= 27 čiji je korijen 9. Znajući vrijednost x možete pronaći značenje y... Zamijenite vrijednost x u drugu jednačinu x - y= 3. Dobijamo 9 - y= 3. Odavde y= 6 .

Dakle, rješenje sistema je par vrijednosti (9; 6)

Primjer 2

Dodajte lijevu stranu prve jednačine lijevoj strani druge jednačine. I desna strana prve jednačine sa desnom stranom druge jednačine. U rezultirajućoj jednakosti predstavljamo slične pojmove:

Kao rezultat, dobili smo najjednostavniju jednačinu 5 x= 20, čiji je korijen 4. Znajući vrijednost x možete pronaći značenje y... Zamijenite vrijednost x u prvu jednačinu 2 x + y= 11. Dobijamo 8+ y= 11. Odavde y= 3 .

To znači da je rješenje sistema par vrijednosti (4; 3)

Proces dodavanja nije detaljan. To se mora uraditi u umu. Osim toga, obje jednačine se moraju svesti na kanonski oblik. To će reći ac + by = c .

Iz razmatranih primjera može se vidjeti da je glavna svrha sabiranja jednačina da se riješi jedne od varijabli. Ali nije uvijek moguće odmah riješiti sistem jednačina metodom sabiranja. Najčešće se sistem preliminarno dovodi u formu u kojoj možete dodati jednačine uključene u ovaj sistem.

Na primjer, sistem može se odmah riješiti metodom sabiranja. Prilikom sabiranja obje jednačine, članovi y i −y nestaju jer je njihov zbir jednak nuli. Kao rezultat, formira se najjednostavnija jednadžba 11 x= 22, čiji je korijen 2. Tada će biti moguće odrediti y jednako 5.

I sistem jednačina metoda sabiranja ne može se odmah riješiti, jer to neće dovesti do nestanka jedne od varijabli. Sabiranje će rezultirati jednačinom 8 x+ y= 28, koji ima bezbroj rješenja.

Ako se obje strane jednačine pomnože ili podijele sa istim brojem, koji nije jednak nuli, onda se dobija jednačina koja je ekvivalentna datoj. Ovo pravilo važi i za sistem linearnih jednačina u dve varijable. Jedna od jednadžbi (ili obje jednačine) može se pomnožiti bilo kojim brojem. Rezultat će biti ekvivalentan sistem čiji će se korijeni poklapati s prethodnim.

Vratimo se na prvi sistem koji opisuje koliko je kolača i šoljica kafe jedan student kupio. Rješenje za ovaj sistem bio je par vrijednosti (6; 5).

Pomnožimo obje jednačine u ovom sistemu nekim brojevima. Recimo da je prva jednačina pomnožena sa 2, a druga sa 3

Kao rezultat, dobili smo sistem
Rješenje ovog sistema je još uvijek par vrijednosti (6; 5)

To znači da se jednačine uključene u sistem mogu svesti na oblik pogodan za primjenu metode sabiranja.

Nazad na sistem , što nismo mogli riješiti metodom sabiranja.

Pomnožite prvu jednačinu sa 6, a drugu sa −2

Tada dobijamo sledeći sistem:

Hajde da saberemo jednačine uključene u ovaj sistem. Dodavanje komponenti 12 x i −12 x rezultirat će 0, dodavanjem 18 y i 4 y dati 22 y, a zbrajanjem 108 i −20 dobije se 88. Tada dobijamo jednačinu 22 y= 88, dakle y = 4 .

Ako vam je isprva teško sabirati jednadžbe u glavi, onda možete zapisati kako se lijeva strana prve jednadžbe dodaje lijevoj strani druge jednačine, a desna strana prve jednačine dodaje desnoj strana druge jednadžbe:

Znajući da je vrijednost varijable y je 4, možete pronaći vrijednost x... Zamena y u jednu od jednadžbi, na primjer, u prvu jednačinu 2 x+ 3y= 18. Tada dobijamo jednačinu sa jednom promenljivom 2 x+ 12 = 18. Pomerimo 12 na desnu stranu, promenimo znak, dobijamo 2 x= 6, dakle x = 3 .

Primjer 4... Metodom sabiranja riješite sljedeći sistem jednačina:

Pomnožite drugu jednačinu sa −1. Tada će sistem poprimiti sljedeći oblik:

Dodajmo obje jednačine. Dodavanje komponenti x i −x rezultirat će 0, sabiranjem 5 y i 3 y dati 8 y, a zbrajanjem 7 i 1 dobije se 8. Rezultat je jednačina 8 y= 8, čiji je korijen 1. Znajući da je vrijednost y je jednako 1, možete pronaći vrijednost x .

Zamena y u prvu jednačinu, dobijamo x+ 5 = 7, dakle x= 2

Primjer 5... Metodom sabiranja riješite sljedeći sistem jednačina:

Poželjno je da se termini koji sadrže iste varijable nalaze jedan ispod drugog. Dakle, u drugoj jednačini, članovi 5 y i −2 x zamijeniti mjesta. Kao rezultat, sistem će poprimiti oblik:

Pomnožimo drugu jednačinu sa 3. Tada će sistem poprimiti oblik:

Sada saberimo obje jednačine. Kao rezultat sabiranja dobijamo jednačinu 8 y= 16, čiji je korijen 2.

Zamena y u prvu jednačinu dobijamo 6 x- 14 = 40. Pomjerimo pojam −14 udesno, mijenjajući predznak, dobijamo 6 x= 54. Odavde x= 9.

Primjer 6... Metodom sabiranja riješite sljedeći sistem jednačina:

Oslobodimo se razlomaka. Pomnožite prvu jednačinu sa 36, ​​a drugu sa 12

U rezultirajućem sistemu prva jednačina se može pomnožiti sa −5, a druga sa 8

Dodajmo jednačine u rezultirajući sistem. Tada dobijamo najjednostavniju jednačinu −13 y= −156. Odavde y= 12. Zamena y u prvu jednačinu i pronađite x

Primjer 7... Metodom sabiranja riješite sljedeći sistem jednačina:

Dovedemo obje jednačine u normalan oblik. Ovdje je prikladno primijeniti pravilo proporcije u obje jednačine. Ako je u prvoj jednačini desna strana predstavljena kao, a desna strana druge jednačine kao, tada će sistem poprimiti oblik:

Imamo proporciju. Pomnožimo njegove ekstremne i srednje pojmove. Tada će sistem poprimiti oblik:

Prvu jednačinu množimo sa −3, a u drugoj proširujemo zagrade:

Sada saberimo obje jednačine. Kao rezultat zbrajanja ovih jednadžbi, dobijamo jednakost u kojoj će u oba dijela biti nula:

Ispostavilo se da sistem ima bezbroj rješenja.

Ali ne možemo samo uzeti s neba proizvoljne vrijednosti za x i y... Možemo odrediti jednu od vrijednosti, a druga će biti određena ovisno o vrijednosti koju smo naveli. Na primjer, neka x= 2. Zamijenimo ovu vrijednost u sistem:

Kao rezultat rješavanja jedne od jednadžbi, vrijednost za y koji će zadovoljiti obje jednačine:

Rezultirajući par vrijednosti (2; −2) će zadovoljiti sistem:

Nađimo drugi par vrijednosti. Neka x= 4. Zamijenite ovu vrijednost u sistem:

Na oko možete odrediti tu vrijednost y jednaka je nuli. Tada dobijamo par vrijednosti (4; 0), koji zadovoljava naš sistem:

Primjer 8... Metodom sabiranja riješite sljedeći sistem jednačina:

Pomnožite prvu jednačinu sa 6, a drugu sa 12

Hajde da prepišemo šta je ostalo:

Pomnožite prvu jednačinu sa −1. Tada će sistem poprimiti oblik:

Sada saberimo obje jednačine. Kao rezultat sabiranja, formira se jednačina 6 b= 48, čiji je korijen 8. Zamjena b u prvu jednačinu i pronađite a

Sistem linearnih jednadžbi u tri varijable

Linearna jednačina sa tri varijable uključuje tri varijable sa koeficijentima, kao i presek. U svom kanonskom obliku, može se napisati na sljedeći način:

ax + by + cz = d

Ova jednačina ima bezbroj rješenja. Dajući dvije varijable različita značenja, može se pronaći treće značenje. Rješenje u ovom slučaju su tri vrijednosti ( x; y; z) što jednačinu pretvara u identitet.

Ako su varijable x, y, z su povezane sa tri jednačine, onda se formira sistem od tri linearne jednačine sa tri varijable. Da biste riješili takav sistem, možete primijeniti iste metode koje se primjenjuju na linearne jednadžbe s dvije varijable: metodom zamjene i metodom sabiranja.

Primjer 1... Metodom zamjene riješite sljedeći sistem jednačina:

Izrazimo u trećoj jednačini x... Tada će sistem poprimiti oblik:

Sada izvršimo zamjenu. Varijabilna x jednak izrazu 3 − 2y − 2z ... Zamijenite ovaj izraz u prvoj i drugoj jednadžbi:

Otvorimo zagrade u obje jednačine i damo slične pojmove:

Došli smo do sistema linearnih jednačina u dvije varijable. U ovom slučaju, zgodno je koristiti metodu dodavanja. Kao rezultat, varijabla yće nestati i možemo pronaći vrijednost varijable z

Sada pronađimo vrijednost y... Za to je zgodno koristiti jednačinu - y+ z= 4. Zamijenite u njega vrijednost z

Sada pronađimo vrijednost x... Za to je zgodno koristiti jednačinu x= 3 − 2y − 2z ... Zamenimo u njemu vrednosti y i z

Dakle, trojka vrijednosti (3; −2; 2) je rješenje za naš sistem. Provjerom uvjeravamo se da ove vrijednosti zadovoljavaju sistem:

Primjer 2... Rešite sistem metodom sabiranja

Dodajte prvu jednačinu drugoj pomnoženoj sa −2.

Ako se druga jednadžba pomnoži sa −2, onda ona poprima oblik −6x+ 6y - 4z = −4 ... Sada to dodajte prvoj jednačini:

Vidimo da je kao rezultat elementarnih transformacija određena vrijednost varijable x... To je jednako jednom.

Vratimo se na glavni sistem. Dodajte drugu jednačinu trećoj pomnoženoj sa −1. Ako se treća jednačina pomnoži sa −1, onda ona poprima oblik −4x + 5y − 2z = −1 ... Sada to dodajte drugoj jednačini:

Dobili smo jednačinu x - 2y= −1. Zamenimo u njemu vrednost x koje smo ranije pronašli. Tada možemo odrediti vrijednost y

Sada znamo vrijednosti x i y... Ovo vam omogućava da odredite vrijednost z... Koristimo jednu od jednačina uključenih u sistem:

Dakle, trojka vrijednosti (1; 1; 1) je rješenje našeg sistema. Provjerom uvjeravamo se da ove vrijednosti zadovoljavaju sistem:

Zadaci za sastavljanje sistema linearnih jednačina

Problem sastavljanja sistema jednačina rješava se unosom nekoliko varijabli. Zatim se sastavljaju jednačine na osnovu uslova problema. Oni formiraju sistem iz jednačina i rješavaju ga. Nakon što je sistem riješen, potrebno je provjeriti da li njegovo rješenje zadovoljava uslove problema.

Problem 1... Automobil Volga otišao je iz grada na koledž. Vratila se nazad drugim putem, koji je bio 5 km kraći od prvog. Ukupno je automobil prešao 35 km u oba smjera. Koliko kilometara je svaki put?

Rješenje

Neka x - dužina prvog puta, y- dužina sekunde. Ako je automobil prešao 35 km na oba kraja, tada se prva jednačina može napisati kao x+ y= 35. Ova jednačina opisuje zbir dužina oba puta.

Navodi se da se auto vratio putem koji je bio 5 km kraći od prvog. Tada se druga jednačina može napisati kao x− y= 5. Ova jednadžba pokazuje da je razlika između dužina puteva 5 km.

Ili se druga jednačina može napisati kao x= y+ 5. Koristićemo ovu jednačinu.

Pošto su varijable x i y u obje jednačine označavamo isti broj, onda od njih možemo formirati sistem:

Rešimo ovaj sistem koristeći neke od prethodno proučavanih metoda. U ovom slučaju, zgodno je koristiti metodu zamjene, budući da je u drugoj jednačini varijabla x već izraženo.

Zamijenite drugu jednačinu u prvu i pronađite y

Zamijenite pronađenu vrijednost y u drugoj jednačini x= y+ 5 i nađi x

Dužina prvog puta je označena varijablom x... Sada smo pronašli njegovo značenje. Varijabilna x jednako 20. Dakle, dužina prvog puta je 20 km.

A dužina drugog puta je označena sa y... Vrijednost ove varijable je 15. Dakle, dužina drugog puta je 15 km.

Hajde da proverimo. Prvo, uvjerimo se da je sistem ispravno riješen:

Provjerimo sada da li rješenje (20; 15) zadovoljava uslove zadatka.

Rečeno je da je automobil prešao 35 km u oba smjera. Dodajte dužine oba puta i uvjerite se da rješenje (20; 15) zadovoljava ovaj uvjet: 20 km + 15 km = 35 km

Sledeći uslov: nazad auto se vraćao drugim putem, koji je bio 5 km kraći od prvog ... Vidimo da rješenje (20; 15) također zadovoljava ovaj uslov, jer je 15 km kraće od 20 km za 5 km: 20 km - 15 km = 5 km

Prilikom kompajliranja sistema važno je da varijable označavaju iste brojeve u svim jednačinama uključenim u ovaj sistem.

Dakle, naš sistem sadrži dvije jednačine. Ove jednačine, zauzvrat, sadrže varijable x i y, koji predstavljaju iste brojeve u obje jednačine, odnosno dužine puteva jednake 20 km i 15 km.

Zadatak 2... Na platformu su utovareni pragovi od hrastovine i bora, ukupno 300 komada. Poznato je da su svi hrastovi pragovi težili 1 tonu manje od svih borovih pragova. Odredi koliko je hrastovih i borovih pragova bilo odvojeno, ako je svaki hrastov prag bio težak 46 kg, a svaki borov prag 28 kg.

Rješenje

Neka x hrast i y borovi pragovi su utovareni na platformu. Ako je bilo ukupno 300 pragova, onda se prva jednačina može napisati kao x + y = 300 .

Svi hrastovi pragovi su bili teški 46 x kg, a bor je bio težak 28 y kg. Kako su hrastovi pragovi težili 1 tonu manje od borovih pragova, druga jednačina se može napisati kao 28y - 46x= 1000 ... Ova jednadžba pokazuje da je razlika u masi između hrastovih i borovih pragova 1000 kg.

Tone su pretvorene u kilograme jer se težina hrastovih i borovih pragova mjeri u kilogramima.

Kao rezultat, dobijamo dve jednačine koje formiraju sistem

Hajde da rešimo ovaj sistem. Izrazimo u prvoj jednačini x... Tada će sistem poprimiti oblik:

Zamijenite prvu jednačinu drugom i pronađite y

Zamena y u jednačinu x= 300 − y i saznati šta je jednako x

To znači da je na platformu utovareno 100 hrastovih i 200 borovih pragova.

Provjerimo da li rješenje (100; 200) zadovoljava uslove zadatka. Prvo, uvjerimo se da je sistem ispravno riješen:

Rečeno je da je bilo ukupno 300 spavača. Zbrojite broj hrastovih i borovih pragova i uvjerite se da rješenje (100; 200) zadovoljava ovaj uvjet: 100 + 200 = 300.

Sledeći uslov: svi hrastovi pragovi su težili 1 tonu manje od svih borovih pragova ... Vidimo da rješenje (100; 200) također zadovoljava ovaj uvjet, budući da je 46 × 100 kg hrastovih pragova lakše od 28 × 200 kg borovih pragova: 5600 kg - 4600 kg = 1000 kg.

Problem 3... Uzeta su tri komada legure bakra i nikla u težinskim omjerima 2:1, 3:1 i 5:1. Iz njih je stapljen komad težine 12 kg s omjerom bakra i nikla 4:1. Pronađite masu svakog originalnog komada ako je masa prvog dvostruko veća od mase drugog.