C 8 metode za rješavanje sistema jednačina. Rješavanje sistema jednačina metodom sabiranja. Rješavanje složenih sistema jednačina

Ovim videom započinjem seriju lekcija o sistemima jednačina. Danas ćemo govoriti o rješavanju sistema linearnih jednačina metoda dodavanja- ovo je jedan od najlakših načina, ali u isto vrijeme i jedan od najefikasnijih.

Metoda dodavanja sastoji se od tri jednostavna koraka:

1. Pogledajte sistem i izaberite varijablu koja ima iste (ili suprotne) koeficijente u svakoj jednačini;
2. Izvršiti algebarsko oduzimanje (za suprotne brojeve - sabiranje) jednadžbe jedna od druge, a zatim donijeti slične članove;
3. Riješite novu jednačinu iz drugog koraka.

Ako je sve urađeno ispravno, tada ćemo na izlazu dobiti jednu jednadžbu sa jednom promenljivom- to neće biti teško riješiti. Zatim ostaje samo da se pronađeni korijen zamijeni u originalni sistem i dobije konačan odgovor.

Međutim, u praksi stvari nisu tako jednostavne. Postoji nekoliko razloga za to:

• Rješavanje jednadžbi metodom sabiranja podrazumijeva da svi redovi moraju sadržavati varijable sa istim/suprotnim koeficijentima. Ali šta ako ovaj zahtjev nije ispunjen?
• Nikako uvijek, nakon sabiranja/oduzimanja jednačina na ovaj način, dobijemo prekrasnu konstrukciju koja se lako može riješiti. Da li je moguće nekako pojednostaviti proračune i ubrzati proračune?

Da dobijete odgovor na ova pitanja, a da se ujedno pozabavite s nekoliko dodatnih suptilnosti na koje mnogi učenici "padaju", pogledajte moju video lekciju:

Ovom lekcijom započinjemo seriju predavanja o sistemima jednačina. A počećemo od najjednostavnijih, odnosno od onih koji sadrže dvije jednadžbe i dvije varijable. Svaki od njih će biti linearan.

Sistemi su gradivo za 7. razred, ali će ova lekcija biti korisna i za srednjoškolce koji žele da pojačaju svoje znanje o ovoj temi.

Generalno, postoje dvije metode za rješavanje takvih sistema:

1. Metoda sabiranja;
2. Metoda izražavanja jedne varijable kroz drugu.

Danas ćemo se pozabaviti prvom metodom - primijenit ćemo metodu oduzimanja i sabiranja. Ali za ovo morate razumjeti sljedeću činjenicu: čim imate dvije ili više jednadžbi, imate pravo da uzmete bilo koje dvije od njih i dodate ih jedna drugoj. Dodaju se pojam po pojam, tj. “Xs” se dodaju sa “Xs” i daju se slične, “igre” sa “igre” - opet se daju slične, a ono što je desno od znaka jednakosti se takođe sabira jedno s drugim, a slične su takođe dato tamo.

Rezultat takvih mahinacija bit će nova jednadžba, koja će, ako ima korijene, nužno biti među korijenima izvorne jednadžbe. Stoga je naš zadatak da izvršimo oduzimanje ili sabiranje na takav način da ili $ x $ ili $ y $ nestane.

Kako to postići i koji alat koristiti za to - o tome ćemo sada razgovarati.

Rješavanje svjetlosnih problema metodom sabiranja

Dakle, učimo primijeniti metodu sabiranja na primjeru dva najjednostavnija izraza.

Problem broj 1

\ [\ lijevo \ (\ početak (poravnati) & 5x-4y = 22 \\ & 7x + 4y = 2 \\\ kraj (poravnati) \ desno. \]

Imajte na umu da $ y $ ima koeficijent u prvoj jednačini $ -4 $, au drugoj - $ + 4 $. One su međusobno suprotne, pa je logično pretpostaviti da ako ih saberemo, onda će u rezultirajućem zbroju "igre" biti međusobno uništene. Dodamo i dobijemo:

Mi rješavamo najjednostavniji dizajn:

Odlično, našli smo X. Šta sad s njim? Imamo pravo da ga zamenimo u bilo kojoj od jednačina. Zamijenimo u prvom:

\ [- 4y = 12 \ lijevo | : \ lijevo (-4 \ desno) \ desno. \]

Odgovor: $ \ lijevo (2; -3 \ desno) $.

Problem broj 2

\ [\ lijevo \ (\ početak (poravnati) & -6x + y = 21 \\ & 6x-11y = -51 \\\ kraj (poravnati) \ desno. \]

Ovdje je situacija potpuno slična, samo sa X-ovima. Hajde da ih zbrojimo:

Dobili smo najjednostavniju linearnu jednačinu, hajde da je riješimo:

Sada pronađimo $ x $:

Odgovor: $ \ lijevo (-3; 3 \ desno) $.

Važne tačke

Dakle, upravo smo riješili dva najjednostavnija sistema linearnih jednadžbi metodom sabiranja. Još jednom ključne tačke:

1. Ako postoje suprotni koeficijenti za jednu od varijabli, tada je potrebno sabrati sve varijable u jednadžbi. U ovom slučaju, jedan od njih će biti uništen.
2. Pronađenu varijablu zamjenjujemo u bilo koju od jednačina sistema da bismo pronašli drugu.
3. Konačni zapis odgovora može se predstaviti na različite načine. Na primjer, tako - $ x = ..., y = ... $, ili u obliku koordinata tačaka - $ \ lijevo (...; ... \ desno) $. Druga opcija je poželjnija. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da je prva koordinata $ x $, a druga $ y $.
4. Pravilo pisanja odgovora u obliku koordinata tačaka ne vrijedi uvijek. Na primjer, ne može se koristiti kada varijable nisu $ x $ i $ y $, već, na primjer, $ a $ i $ b $.

U sljedećim zadacima ćemo se osvrnuti na tehniku ​​oduzimanja kada koeficijenti nisu suprotni.

Rješavanje lakih zadataka metodom oduzimanja

Problem broj 1

\ [\ lijevo \ (\ početak (poravnati) & 10x-3y = 5 \\ & -6x-3y = -27 \\\ kraj (poravnati) \ desno. \]

Imajte na umu da ovdje nema suprotnih koeficijenata, ali postoje identični. Stoga od prve jednačine oduzimamo drugu:

Sada zamjenjujemo vrijednost $ x $ u bilo koju od jednačina sistema. idemo prvi:

Odgovor: $ \ lijevo (2; 5 \ desno) $.

Problem broj 2

\ [\ lijevo \ (\ početak (poravnati) & 5x + 4y = -22 \\ & 5x-2y = -4 \\\ kraj (poravnati) \ desno. \]

Opet, vidimo isti koeficijent od $ 5 $ do $ x $ u prvoj i drugoj jednačini. Stoga je logično pretpostaviti da trebate oduzeti drugu od prve jednačine:

Izračunali smo jednu varijablu. Sada pronađimo drugu, na primjer, zamjenjujući vrijednost $ y $ u drugu konstrukciju:

Odgovor: $ \ lijevo (-3; -2 \ desno) $.

Nijanse rješenja

Dakle, šta vidimo? U suštini, shema se ne razlikuje od rješenja prethodnih sistema. Jedina razlika je u tome što ne sabiramo jednačine, već ih oduzimamo. Radimo algebarsko oduzimanje.

Drugim riječima, čim vidite sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznanice, prva stvar koju trebate pogledati su koeficijenti. Ako su bilo gdje iste, jednačine se oduzimaju, a ako su suprotne, primjenjuje se metoda sabiranja. To se uvijek radi tako da jedan od njih nestane, a da u konačnoj jednačini ostane samo jedna varijabla koja ostaje nakon oduzimanja.

Naravno, ovo nije sve. Sada ćemo razmotriti sisteme u kojima su jednačine općenito nekonzistentne. One. u njima nema varijabli koje bi bile ili iste ili suprotne. U ovom slučaju se koristi dodatna tehnika za rješavanje takvih sistema, odnosno množenje svake od jednadžbi posebnim koeficijentom. Kako to pronaći i kako uopće riješiti takve sisteme, sada ćemo razgovarati o tome.

Rješavanje problema množenjem sa koeficijentom

Primjer br. 1

\ [\ lijevo \ (\ početak (poravnati) & 5x-9y = 38 \\ & 3x + 2y = 8 \\\ kraj (poravnati) \ desno. \]

Vidimo da ni za $ x $ ni za $ y $ koeficijenti ne samo da nisu međusobno suprotni, već generalno ni na koji način ne koreliraju sa drugom jednačinom. Ovi koeficijenti neće nestati ni na koji način, čak i ako jedna od druge dodamo ili oduzmemo jednačine. Stoga je potrebno primijeniti množenje. Pokušajmo se riješiti varijable $ y $. Da bismo to učinili, pomnožimo prvu jednačinu sa koeficijentom na $ y $ iz druge jednačine, a drugu jednačinu - na $ y $ iz prve jednačine, bez promjene predznaka. Množimo i dobijamo novi sistem:

\ [\ lijevo \ (\ početak (poravnati) & 10x-18y = 76 \\ & 27x + 18y = 72 \\\ kraj (poravnati) \ desno. \]

Gledamo to: suprotni koeficijenti za $ y $. U takvoj situaciji potrebno je primijeniti metodu dodavanja. dodajmo:

Sada moramo pronaći $ y $. Da biste to učinili, zamijenite $ x $ u prvom izrazu:

\ [- 9y = 18 \ lijevo | : \ lijevo (-9 \ desno) \ desno. \]

Odgovor: $ \ lijevo (4; -2 \ desno) $.

Primjer br. 2

\ [\ lijevo \ (\ početak (poravnati) & 11x + 4y = -18 \\ & 13x-6y = -32 \\\ kraj (poravnati) \ desno. \]

Opet, koeficijenti za bilo koju od varijabli nisu konzistentni. Pomnožimo sa koeficijentima na $ y $:

\ [\ lijevo \ (\ početak (poravnati) & 11x + 4y = -18 \ lijevo | 6 \ desno. \\ & 13x-6y = -32 \ lijevo | 4 \ desno. \\\ kraj (poravnati) \ desno \]

\ [\ lijevo \ (\ početak (poravnati) & 66x + 24y = -108 \\ & 52x-24y = -128 \\\ kraj (poravnati) \ desno. \]

Naš novi sistem je ekvivalentan prethodnom, ali koeficijenti od $ y $ su međusobno suprotni i stoga je ovdje lako primijeniti metodu sabiranja:

Sada nalazimo $ y $ zamjenom $ x $ u prvoj jednačini:

Odgovor: $ \ lijevo (-2; 1 \ desno) $.

Nijanse rješenja

Ključno pravilo ovdje je sljedeće: uvijek množimo samo pozitivnim brojevima - to će vas spasiti od glupih i uvredljivih grešaka povezanih s promjenom znakova. Općenito, shema rješenja je prilično jednostavna:

1. Gledamo sistem i analiziramo svaku jednačinu.
2. Ako vidimo da ni za $ y $, ni za $ x $ koeficijenti nisu konzistentni, tj. nisu ni jednaki ni suprotni, onda radimo sljedeće: biramo varijablu koje ćemo se riješiti, a zatim gledamo koeficijente ovih jednačina. Ako prvu jednačinu pomnožimo sa koeficijentom iz druge, a drugu, respektivno, pomnožimo sa koeficijentom iz prve, onda na kraju dobijemo sistem koji je potpuno ekvivalentan prethodnom, a koeficijenti za $ y $ će biti dosljedan. Sve naše akcije ili transformacije imaju za cilj samo dobijanje jedne varijable u jednoj jednačini.
3. Pronalazimo jednu varijablu.
4. Pronađenu varijablu zamjenjujemo u jednu od dvije jednačine sistema i nalazimo drugu.
5. Odgovor zapisujemo u obliku koordinata tačaka, ako imamo varijable $ x $ i $ y $.

Ali čak i tako jednostavan algoritam ima svoje suptilnosti, na primjer, koeficijenti od $ x $ ili $ y $ mogu biti razlomci i drugi "ružni" brojevi. Sada ćemo ove slučajeve razmotriti odvojeno, jer se u njima može djelovati nešto drugačije nego prema standardnom algoritmu.

Rješavanje zadataka s razlomcima

Primjer br. 1

\ [\ lijevo \ (\ početak (poravnati) & 4m-3n = 32 \\ & 0,8m + 2,5n = -6 \\\ kraj (poravnati) \ desno. \]

Prvo, imajte na umu da u drugoj jednačini postoje razlomci. Ali imajte na umu da možete podijeliti 4 dolara sa 0,8 dolara. Dobijamo 5 $. Pomnožimo drugu jednačinu sa 5 dolara:

\ [\ lijevo \ (\ početak (poravnati) & 4m-3n = 32 \\ & 4m + 12,5m = -30 \\\ kraj (poravnati) \ desno. \]

Oduzmite jednadžbe jedna od druge:

Pronašli smo $ n $, sada izračunajmo $ m $:

Odgovor: $ n = -4; m = 5 $

Primjer br. 2

\ [\ lijevo \ (\ početak (poravnati) & 2.5p + 1.5k = -13 \ lijevo | 4 \ desno. \\ & 2p-5k = 2 \ lijevo | 5 \ desno. \\\ kraj (poravnati) \ tačno. \]

Ovdje, kao iu prethodnom sistemu, postoje razlomci koeficijenti, međutim, ni za jednu od varijabli, koeficijenti se ne uklapaju jedan u drugi cijeli broj puta. Stoga koristimo standardni algoritam. Riješite se $ p $:

\ [\ lijevo \ (\ početak (poravnati) & 5p + 3k = -26 \\ & 5p-12,5k = 5 \\\ kraj (poravnati) \ desno. \]

Primjenjujemo metodu oduzimanja:

Pronađimo $ p $ uključivanjem $ k $ u drugu konstrukciju:

Odgovor: $ p = -4, k = -2 $.

Nijanse rješenja

To je cijela optimizacija. U prvoj jednačini nismo množili ni sa čim, a druga jednačina je pomnožena sa 5 $. Kao rezultat, dobili smo konzistentnu i čak istu jednačinu za prvu varijablu. U drugom sistemu pratili smo standardni algoritam.

Ali kako pronaći brojeve kojima trebate pomnožiti jednačine? Uostalom, ako pomnožimo razlomcima, dobićemo nove razlomke. Dakle, razlomci se moraju pomnožiti brojem koji bi dao novi cijeli broj, a tek nakon toga varijable se pomnože koeficijentima, po standardnom algoritmu.

U zaključku, skrećem vam pažnju na format snimka odgovora. Kao što sam već rekao, pošto ovdje nemamo $ x $ i $ y $, već druge vrijednosti, koristimo nestandardnu ​​notaciju oblika:

Rješavanje složenih sistema jednačina

Kao završni akord današnjeg video tutorijala, pogledajmo nekoliko zaista složenih sistema. Njihova složenost će se sastojati u činjenici da će sadržavati varijable s lijeve i desne strane. Stoga, da bismo ih riješili, morat ćemo primijeniti prethodnu obradu.

Sistem br. 1

\ [\ lijevo \ (\ početak (poravnati) & 3 \ lijevo (2x-y \ desno) + 5 = -2 \ lijevo (x + 3y \ desno) +4 \\ & 6 \ lijevo (y + 1 \ desno) ) -1 = 5 \ lijevo (2x-1 \ desno) +8 \\\ kraj (poravnati) \ desno. \]

Svaka jednadžba nosi određenu količinu složenosti. Stoga, sa svakim izrazom, nastavimo kao sa normalnom linearnom konstrukcijom.

Ukupno ćemo dobiti konačni sistem, koji je ekvivalentan originalnom:

\ [\ lijevo \ (\ početak (poravnati) & 8x + 3y = -1 \\ & -10x + 6y = -2 \\\ kraj (poravnati) \ desno. \]

Pogledajmo koeficijente za $ y $: $ 3 $ se uklapa u $ 6 $ dvaput, tako da pomnožimo prvu jednačinu sa $ 2 $:

\ [\ lijevo \ (\ početak (poravnati) & 16x + 6y = -2 \\ & -10 + 6y = -2 \\\ kraj (poravnati) \ desno. \]

Koeficijenti na $ y $ su sada jednaki, tako da oduzimamo drugu od prve jednačine: $$

Sada pronađimo $ y $:

Odgovor: $ \ lijevo (0; - \ frac (1) (3) \ desno) $

Sistem br. 2

\ [\ lijevo \ (\ početak (poravnati) & 4 \ lijevo (a-3b \ desno) -2a = 3 \ lijevo (b + 4 \ desno) -11 \\ & -3 \ lijevo (b-2a \ desno ) -12 = 2 \ lijevo (a-5 \ desno) + b \\\ kraj (poravnati) \ desno. \]

Transformirajmo prvi izraz:

Bavimo se drugim:

\ [- 3 \ lijevo (b-2a \ desno) -12 = 2 \ lijevo (a-5 \ desno) + b \]

\ [- 3b + 6a-12 = 2a-10 + b \]

\ [- 3b + 6a-2a-b = -10 + 12 \]

Dakle, naš početni sistem će izgledati ovako:

\ [\ lijevo \ (\ početak (poravnati) & 2a-15b = 1 \\ & 4a-4b = 2 \\\ kraj (poravnati) \ desno. \]

Gledajući koeficijente za $ a $, vidimo da prvu jednačinu treba pomnožiti sa $ 2 $:

\ [\ lijevo \ (\ početak (poravnati) & 4a-30b = 2 \\ & 4a-4b = 2 \\\ kraj (poravnati) \ desno. \]

Oduzmite drugu od prve konstrukcije:

Sada pronađimo $ a $:

Odgovor: $ \ lijevo (a = \ frac (1) (2); b = 0 \ desno) $.

To je sve. Nadam se da će vam ovaj video vodič pomoći da shvatite ovu tešku temu, odnosno rješavanje sistema jednostavnih linearnih jednačina. Kasnije će biti mnogo više lekcija na ovu temu: analiziraćemo složenije primjere, gdje će biti više varijabli, a same jednačine će već biti nelinearne. Do sljedećeg puta!

Obično se jednačine sistema pišu u koloni jedna ispod druge i kombinuju sa vitičastom zagradom

Sistem jednačina ovog oblika, gdje a, b, c- brojevi, i x, y- pozvane varijable sistem linearnih jednačina.

Prilikom rješavanja sistema jednačina koriste se svojstva koja vrijede za rješavanje jednačina.

Rješenje sistema linearnih jednadžbi metodom supstitucije

Razmotrimo primjer

1) Izrazite varijablu u jednoj od jednačina. Na primjer, izražavamo y u prvoj jednačini dobijamo sistem:

2) Zamjena u drugoj jednačini sistema umjesto y izraz 3x-7:

3) Rješavamo rezultirajuću drugu jednačinu:

4) Dobijeno rješenje zamjenjujemo u prvu jednačinu sistema:

Sistem jednačina ima jedinstveno rješenje: par brojeva x = 1, y = -4... odgovor: (1; -4) , napisano u zagradama, na prvoj poziciji vrijednost x, na drugom - y.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi metodom sabiranja

Rešimo sistem jednačina iz prethodnog primera metodom sabiranja.

1) Transformirajte sistem tako da koeficijenti za jednu od varijabli postanu suprotni. Pomnožimo prvu jednačinu sistema sa "3".

2) Dodajte jednačine sistema član po član. Druga jednačina sistema (bilo koja) se prepisuje bez promjena.

3) Dobijeno rješenje zamjenjujemo u prvu jednačinu sistema:

Grafičko rješavanje sistema linearnih jednačina

Grafičko rješenje sistema jednačina sa dvije varijable svodi se na pronalaženje koordinata zajedničkih tačaka grafova jednačina.

Grafikon linearne funkcije je prava linija. Dvije prave na ravni mogu se sijeći u jednoj tački, biti paralelne ili poklapati. Prema tome, sistem jednačina može: a) imati jedinstveno rješenje; b) nemaju rješenja; c) imaju beskonačan broj rješenja.

2) Rešenje sistema jednačina je tačka (ako su jednačine linearne) preseka grafova.

Grafičko rješenje sistema

Metoda za uvođenje novih varijabli

Promjena varijabli može dovesti do rješavanja jednostavnijeg sistema jednačina od prvobitnog.

Razmotrite rješenje sistema

Onda uvodimo zamjenu

Prelazimo na originalne varijable

Posebni slučajevi

Bez rješavanja sistema linearnih jednačina može se odrediti broj njegovih rješenja koeficijentima za odgovarajuće varijable.

Rješenje sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE) je nesumnjivo najvažnija tema kursa linearne algebre. Ogroman broj zadataka iz svih grana matematike svodi se na rješavanje sistema linearnih jednačina. Ovi faktori objašnjavaju razlog za stvaranje ovog članka. Materijal članka je odabran i strukturiran tako da uz njegovu pomoć možete

• odabrati optimalnu metodu za rješavanje vašeg sistema linearnih algebarskih jednadžbi,
• proučavati teoriju odabrane metode,
• riješite svoj sistem linearnih jednačina detaljnim razmatranjem analiziranih rješenja tipičnih primjera i zadataka.

Kratak opis materijala članka.

Prvo dajemo sve potrebne definicije i koncepte i uvodimo notaciju.

Zatim ćemo razmotriti metode za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i koje imaju jedinstveno rješenje. Prvo, hajde da se zadržimo na Cramerovoj metodi, drugo, pokažimo matričnu metodu za rešavanje ovakvih sistema jednačina, i treće, analiziramo Gaussov metod (metoda sukcesivnog eliminisanja nepoznatih varijabli). Da bismo konsolidirali teoriju, svakako ćemo riješiti nekoliko SLAE na različite načine.

Nakon toga prelazimo na rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi opšteg oblika, u kojima se broj jednačina ne poklapa sa brojem nepoznatih varijabli ili je glavna matrica sistema degenerirana. Hajde da formulišemo Kronecker - Capelli teorem, koji nam omogućava da uspostavimo kompatibilnost SLAE. Analizirajmo rješenja sistema (u slučaju njihove kompatibilnosti) koristeći koncept osnovnog minora matrice. Također ćemo razmotriti Gaussovu metodu i detaljno opisati rješenja primjera.

Svakako ćemo se zadržati na strukturi opšteg rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih algebarskih jednačina. Hajde da damo koncept fundamentalnog sistema rešenja i pokažimo kako se opšte rešenje SLAE piše korišćenjem vektora fundamentalnog sistema rešenja. Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko primjera.

U zaključku razmatramo sisteme jednačina koji se svode na linearne, kao i različite probleme u čijem rješavanju nastaju SLAE.

Navigacija po stranici.

Definicije, koncepti, oznake.

Razmotrićemo sisteme p linearnih algebarskih jednadžbi sa n nepoznatih varijabli (p može biti jednako n) oblika

Nepoznate varijable, - koeficijenti (neki realni ili kompleksni brojevi), - slobodni termini (takođe realni ili kompleksni brojevi).

Ovaj oblik SLAE notacije se zove koordinata.

V matrični oblik notacija, ovaj sistem jednačina ima oblik,
gdje - glavna matrica sistema, - matrica-kolona nepoznatih varijabli, - matrica-kolona slobodnih članova.

Ako matrici A kao (n + 1)-ti stupac dodamo matricu-kolona slobodnih termina, onda se dobija tzv. proširena matrica sistemi linearnih jednačina. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih članova odvojen je okomitom linijom od ostalih kolona, ​​tj.

Rješavanjem sistema linearnih algebarskih jednačina je skup vrijednosti nepoznatih varijabli koji pretvara sve jednadžbe sistema u identitete. Matrična jednadžba za date vrijednosti nepoznatih varijabli također se pretvara u identitet.

Ako sistem jednačina ima barem jedno rješenje, onda se zove joint.

Ako sistem jednačina nema rješenja, onda se zove nedosledno.

Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, onda se ono zove određeni; ako postoji više od jednog rješenja, onda - nedefinisano.

Ako su slobodni članovi svih jednačina sistema jednaki nuli , tada se sistem poziva homogena, inače - heterogena.

Rješenje elementarnih sistema linearnih algebarskih jednačina.

Ako je broj jednačina sistema jednak broju nepoznatih varijabli i determinanta njegove glavne matrice nije jednaka nuli, tada će se takve SLAE zvati osnovno... Takvi sistemi jednačina imaju jedinstveno rješenje, au slučaju homogenog sistema sve nepoznate varijable jednake su nuli.

Počeli smo da proučavamo takve SLAE u srednjoj školi. Prilikom njihovog rješavanja, uzeli smo jednu jednačinu, izrazili jednu nepoznatu varijablu u terminima drugih i zamijenili je u preostale jednačine, zatim smo uzeli sljedeću jednačinu, izrazili sljedeću nepoznatu varijablu i zamijenili je u druge jednačine, itd. Ili su koristili metodu sabiranja, odnosno dodavali dvije ili više jednadžbi kako bi eliminirali neke nepoznate varijable. Nećemo se detaljnije zadržavati na ovim metodama, jer su one, u stvari, modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za rješavanje elementarnih sistema linearnih jednačina su Cramerova metoda, matrična metoda i Gaussova metoda. Hajde da ih analiziramo.

Rješavanje sistema linearnih jednačina Cramerovom metodom.

Pretpostavimo da treba da rešimo sistem linearnih algebarskih jednačina

u kojoj je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i determinanta glavne matrice sistema je različita od nule, tj.

Neka je determinanta glavne matrice sistema, i - determinante matrica, koje se iz A dobijaju zamjenom 1., 2., ..., n koloni, odnosno koloni slobodnih članova:

Uz ovu notaciju, nepoznate varijable se izračunavaju po formulama Cramerove metode kao ... Ovako se Cramerovom metodom nalazi rješenje sistema linearnih algebarskih jednačina.

Primjer.

Cramerova metoda .

Rješenje.

Glavna matrica sistema ima oblik ... Izračunajmo njegovu determinantu (ako je potrebno, pogledajte članak):

Pošto je determinanta glavne matrice sistema različita od nule, sistem ima jedinstveno rešenje koje se može naći Cramerovom metodom.

Sastavimo i izračunajmo potrebne determinante (determinanta se dobije zamjenom prvog stupca u matrici A sa stupcem slobodnih članova, determinanta - zamjenom drugog stupca sa stupcem slobodnih članova, - zamjenom treće kolone matrice A stupcem slobodnih članova ):

Pronađi nepoznate varijable po formulama :

odgovor:

Glavni nedostatak Cramerove metode (ako se to može nazvati nedostatkom) je složenost izračunavanja determinanti kada je broj jednačina u sistemu veći od tri.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).

Neka je sistem linearnih algebarskih jednadžbi dat u matričnom obliku, pri čemu matrica A ima dimenziju n sa n i njena determinanta je različita od nule.

Pošto je matrica A invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica. Ako obje strane jednakosti pomnožimo lijevom, onda ćemo dobiti formulu za pronalaženje matrice stupaca nepoznatih varijabli. Tako smo dobili rješenje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih jednačina matrična metoda.

Rješenje.

Prepišimo sistem jednačina u matričnom obliku:

Jer

tada se SLAE može riješiti matričnom metodom. Koristeći inverznu matricu, rješenje ovog sistema se može naći kao .

Konstruirajmo inverznu matricu koristeći matricu algebarskih komplemenata elemenata matrice A (ako je potrebno, pogledajte članak):

Ostaje izračunati - matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice na matricu stupaca slobodnih članova (pogledajte članak ako je potrebno):

odgovor:

ili u drugoj notaciji x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavni problem u pronalaženju rješenja za sisteme linearnih algebarskih jednadžbi matričnim metodom je složenost nalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda većeg od trećeg.

Rješenje sistema linearnih jednačina Gaussovom metodom.

Pretpostavimo da treba da nađemo rešenje za sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih varijabli
determinanta glavne matrice koja nije nula.

Suština Gaussove metode sastoji se u sukcesivnom eliminisanju nepoznatih varijabli: prvo, x 1 se isključuje iz svih jednačina sistema, počevši od druge, zatim se x 2 isključuje iz svih jednačina, počevši od treće, i tako dalje, sve dok se ne pojavi samo nepoznata varijabla xn ostaje u posljednjoj jednačini. Takav proces transformacije jednadžbi sistema za uzastopno eliminisanje nepoznatih varijabli naziva se direktnim tokom Gaussove metode... Nakon završetka napredovanja Gaussove metode, x n se nalazi iz posljednje jednačine, koristeći ovu vrijednost, x n-1 se izračunava iz pretposljednje jednačine, i tako dalje, x 1 se nalazi iz prve jednačine. Proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa posljednje jednadžbe sistema na prvu naziva se nazadna Gausova metoda.

Hajde da ukratko opišemo algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavićemo to, pošto to uvek možemo postići preuređivanjem jednačina sistema. Eliminišite nepoznatu varijablu x 1 iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da bismo to uradili, drugoj jednačini sistema dodajemo prvu, pomnoženu sa, trećoj jednačini dodajemo prvu, pomnoženu sa, i tako dalje, n-toj jednačini dodajemo prvu, pomnoženu sa. Sistem jednačina nakon takvih transformacija poprima oblik

gdje, i .

Do istog rezultata bismo došli ako bismo izrazili x 1 u terminima drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednačini sistema i zamijenili rezultirajući izraz u svim ostalim jednačinama. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednačina, počevši od druge.

Zatim postupamo na sličan način, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema koji je označen na slici

Da bismo to uradili, trećoj jednačini sistema dodajemo drugu pomnoženu sa, četvrtoj jednačini dodamo drugu pomnoženu sa, i tako dalje, n-toj jednačini dodajemo drugu pomnoženu sa. Sistem jednačina nakon takvih transformacija poprima oblik

gdje, i ... Dakle, varijabla x 2 je isključena iz svih jednačina, počevši od treće.

Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, dok slično postupamo sa dijelom sistema označenim na slici

Dakle, nastavljamo direktni tok Gaussove metode sve dok sistem ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnutim tokom Gaussove metode: izračunavamo xn iz posljednje jednačine jer, koristeći dobivenu vrijednost xn, nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednačine, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prva jednačina.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih jednačina Gaussovom metodom.

Rješenje.

Eliminišite nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednačine sistema. Da biste to učinili, dodajte odgovarajuće dijelove prve jednačine, pomnožene sa i po, na obje strane druge i treće jednačine:

Sada isključujemo x 2 iz treće jednačine dodavanjem lijevoj i desnoj strani druge jednačine, pomnožene sa:

U ovom trenutku, pomak naprijed Gaussove metode je gotov, počinjemo obrnuti pokret.

Iz posljednje jednadžbe rezultujućeg sistema jednačina nalazimo x 3:

Iz druge jednačine dobijamo.

Iz prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time završavamo obrnuti tok Gaussove metode.

odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rješenje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

U opštem slučaju, broj jednačina u sistemu p ne poklapa se sa brojem nepoznatih varijabli n:

Takvi SLAE možda nemaju rješenja, imaju jedno rješenje ili imaju beskonačno mnogo rješenja. Ova izjava važi i za sisteme jednačina čija je osnovna matrica kvadratna i degenerisana.

Kronecker - Capelli teorem.

Prije pronalaženja rješenja za sistem linearnih jednačina, potrebno je utvrditi njegovu kompatibilnost. Odgovor na pitanje kada je SLAE kompatibilan, a kada nekompatibilan daje Kronecker - Capelli teorem:
da bi sistem od p jednačina sa n nepoznatih (p može biti jednako n) bio konzistentan, potrebno je i dovoljno da rang glavne matrice sistema bude jednak rangu proširene matrice, odnosno rang (A) = Rang (T).

Razmotrimo na primjeru primjenu Kronecker - Capelli teoreme za određivanje kompatibilnosti sistema linearnih jednačina.

Primjer.

Saznajte da li je sistem linearnih jednačina rješenja.

Rješenje.

... Koristimo metodu graničnih maloljetnika. Minor drugog reda nenula. Razvrstajmo maloljetnike trećeg reda koji ga graniče:

Pošto su svi granični minori trećeg reda jednaki nuli, rang glavne matrice je dva.

Zauzvrat, rang proširene matrice je jednako tri, budući da je umanjilac trećeg reda

nenula.

Na ovaj način, Rang (A), dakle, prema Kronecker - Capellijevom teoremu, možemo zaključiti da je originalni sistem linearnih jednačina nekonzistentan.

odgovor:

Sistem nema rješenja.

Dakle, naučili smo utvrditi nekonzistentnost sistema koristeći Kronecker - Capelli teorem.

Ali kako pronaći rješenje za SLAE ako je uspostavljena njegova kompatibilnost?

Da bismo to učinili, potreban nam je koncept osnovnog minora matrice i teorema o rangu matrice.

Zove se minor najvišeg reda matrice A, osim nule osnovni.

Iz definicije osnovnog minora slijedi da je njegov red jednak rangu matrice. Za nenultu matricu A može postojati nekoliko osnovnih minora; uvijek postoji jedan osnovni minor.

Na primjer, razmotrite matricu .

Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, jer su elementi trećeg reda ove matrice zbir odgovarajućih elemenata prvog i drugog reda.

Sljedeći minori drugog reda su osnovni, jer su različiti od nule

Maloljetnici nisu osnovne, jer su jednake nuli.

Teorema o rangu matrice.

Ako je rang matrice reda p po n jednak r, tada se svi elementi redova (i stupaca) matrice koji ne čine odabrani osnovni minor linearno izražavaju u terminima odgovarajućih elemenata redova ( i kolone) koji čine osnovni mol.

Šta nam daje teorema o rangu matrice?

Ako smo po Kronecker-Capellijevom teoremu utvrdili kompatibilnost sistema, tada biramo bilo koji osnovni minor osnovne matrice sistema (njen red je r), a iz sistema isključujemo sve jednačine koje ne formiraju izabrani osnovni minor. Ovako dobijena SLAE bit će ekvivalentna originalnoj, budući da su odbačene jednadžbe i dalje suvišne (prema teoremi o rangu matrice, one su linearna kombinacija preostalih jednačina).

Kao rezultat, nakon odbacivanja nepotrebnih jednačina sistema moguća su dva slučaja.

Ako je broj jednačina r u rezultirajućem sistemu jednak broju nepoznatih varijabli, onda će ona biti definitivna i jedino rješenje se može naći Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Primjer.

.

Rješenje.

Rang glavne matrice sistema je jednako dva, pošto je drugi red minor nenula. Prošireni matrični rang je takođe jednako dva, pošto je jedini minor trećeg reda jednak nuli

a prethodno razmatrani minor drugog reda je različit od nule. Na osnovu Kronecker - Capelli teoreme, možemo tvrditi kompatibilnost originalnog sistema linearnih jednačina, budući da je rang (A) = rang (T) = 2.

Uzimamo kao osnovni maloljetnik ... Formira se koeficijentima prve i druge jednačine:


Treća jednačina sistema ne učestvuje u formiranju osnovnog minora, pa je isključujemo iz sistema na osnovu teoreme o rangu matrice:


Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebarskih jednačina. Rešimo ga Cramerovom metodom:


odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ako je broj jednačina r u dobijenoj SLAE manji od broja nepoznatih varijabli n, tada u lijevoj strani jednadžbe ostavljamo članove koji čine osnovni minor, a ostali članovi se prenose u desnu - strane jednadžbe sistema sa suprotnim predznakom.

Nepoznate varijable (ima ih r) koje su ostale na lijevoj strani jednadžbe nazivaju se glavni.

Nepoznate varijable (ima n - r komada) koje se pojavljuju na desnoj strani se pozivaju besplatno.

Sada pretpostavljamo da slobodne nepoznate varijable mogu imati proizvoljne vrijednosti, a r osnovnih nepoznatih varijabli će biti izraženo u terminima slobodnih nepoznatih varijabli na jedinstven način. Njihov izraz se može naći rješavanjem dobijene SLAE Cramer metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Uzmimo primjer.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih algebarskih jednačina .

Rješenje.

Odrediti rang glavne matrice sistema metodom graničenja maloljetnika. Uzimamo 1 1 = 1 kao minor prvog reda različit od nule. Počnimo tražiti minor drugog reda različit od nule koji okružuje ovaj minor:


Ovako smo pronašli minor drugog reda različitog od nule. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula trećeg reda:


Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang proširene matrice je takođe tri, odnosno sistem je konzistentan.

Pronađeni minor trećeg reda različit od nule uzimamo kao osnovni.

Radi jasnoće prikazujemo elemente koji čine osnovni mol:


Na lijevoj strani jednadžbe sistema ostavljamo članove koji učestvuju u osnovnom molu, a ostale sa suprotnim predznacima prenosimo na desnu stranu:


Dodijelimo proizvoljne vrijednosti slobodnim nepoznatim varijablama x 2 i x 5, tj. , gdje su proizvoljni brojevi. U ovom slučaju, SLAE će poprimiti oblik


Rezultirajući elementarni sistem linearnih algebarskih jednadžbi je riješen Cramerovom metodom:


Dakle, .

Ne zaboravite navesti slobodne nepoznate varijable u svom odgovoru.

odgovor:

Gdje su proizvoljni brojevi.

Sažmite.

Da bismo riješili sistem linearnih algebarskih jednadžbi opšteg oblika, prvo saznajemo njegovu kompatibilnost koristeći Kronecker - Capelli teorem. Ako rang glavne matrice nije jednak rangu proširene matrice, onda zaključujemo da je sistem nekompatibilan.

Ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada biramo osnovni minor i odbacujemo jednadžbe sistema koje ne učestvuju u formiranju odabranog osnovnog minora.

Ako je red osnovnog minora jednak broju nepoznatih varijabli, tada SLAE ima jedinstveno rješenje, koje nalazimo bilo kojom poznatom metodom.

Ako je red osnovnog minora manji od broja nepoznatih varijabli, tada na lijevoj strani jednadžbi sistema ostavljamo članove sa osnovnim nepoznatim varijablama, preostale članove prenosimo na desne strane i dati proizvoljne vrijednosti slobodnim nepoznatim varijablama. Iz rezultirajućeg sistema linearnih jednačina nalazimo glavne nepoznate varijable Cramer metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Gaussova metoda se može koristiti za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina bilo koje vrste bez prethodnog ispitivanja njihove kompatibilnosti. Proces uzastopne eliminacije nepoznatih varijabli omogućava da se zaključi i kompatibilnost i nekompatibilnost SLAE, a ako rješenje postoji, omogućava ga pronalaženje.

Sa stanovišta računskog rada, Gaussova metoda je poželjnija.

Njegov detaljan opis i analizirane primjere pogledajte u članku Gaussova metoda rješavanja sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Pisanje opšteg rešenja homogenih i nehomogenih linearnih algebarskih sistema korišćenjem vektora osnovnog sistema rešenja.

U ovom dijelu ćemo se fokusirati na kompatibilne homogene i nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednačina sa beskonačnim skupom rješenja.

Hajde da se prvo pozabavimo homogenim sistemima.

Fundamentalni sistem odlučivanja Homogeni sistem p linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih varijabli je skup (n - r) linearno nezavisnih rješenja ovog sistema, gdje je r red osnovnog minora osnovne matrice sistema.

Ako linearno nezavisna rješenja homogene SLAE označimo kao X (1), X (2),..., X (nr) (X (1), X (2),..., X (nr) su n-po-1 matrice stupaca), onda je opšte rješenje ovog homogenog sistema predstavljeno u obliku linearne kombinacije vektora osnovnog sistema rješenja sa proizvoljnim konstantnim koeficijentima S 1, S 2, ..., S (nr), tj. ,.

Šta znači pojam opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednačina (oroslau)?

Značenje je jednostavno: formula specificira sva moguća rješenja originalnog SLAE, drugim riječima, uzimajući bilo koji skup vrijednosti proizvoljnih konstanti S 1, S 2, ..., S (nr), prema formuli koju dobiti jedno od rješenja originalne homogene SLAE.

Dakle, ako pronađemo fundamentalni sistem rješenja, onda možemo postaviti sva rješenja ovog homogenog SLAE kao.

Pokažimo proces konstruisanja fundamentalnog sistema rješenja za homogenu SLAE.

Biramo osnovni minor originalnog sistema linearnih jednadžbi, isključujemo sve ostale jednačine iz sistema i prenosimo sve članove koji sadrže slobodne nepoznate varijable na desnu stranu jednačina sistema suprotnih predznaka. Dajmo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti 1,0,0, ..., 0 i izračunajmo osnovne nepoznanice rješavanjem rezultirajućeg elementarnog sistema linearnih jednadžbi na bilo koji način, na primjer, Cramerovom metodom. Ovo će dati X (1) - prvo rješenje osnovnog sistema. Ako slobodnim nepoznanicama damo vrijednosti 0,1,0,0, ..., 0 i izračunamo glavne nepoznate, dobićemo X (2). itd. Ako slobodnim nepoznatim varijablama damo vrijednosti 0,0, ..., 0,1 i izračunamo osnovne nepoznanice, dobićemo X (n-r). Tako će se konstruisati osnovni sistem rešenja homogene SLAE i njeno opšte rešenje se može zapisati u obliku.

Za nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednadžbi, opšte rešenje je predstavljeno u obliku, gde je opšte rešenje odgovarajućeg homogenog sistema, i partikularno rešenje originalnog nehomogenog SLAE, koje dobijamo davanjem slobodnim nepoznanicama vrednosti ​​0,0, ..., 0 i izračunavanje vrijednosti glavnih nepoznanica.

Pogledajmo primjere.

Primjer.

Pronađite osnovni sistem rješenja i opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi .

Rješenje.

Rang glavne matrice homogenih sistema linearnih jednačina je uvek jednak rangu proširene matrice. Nađimo rang glavne matrice metodom graničnih minora. Kao minor prvog reda različit od nule, uzimamo element a 1 1 = 9 glavne matrice sistema. Pronađite granični minor drugog reda različit od nule:

Pronađen je minor drugog reda različit od nule. Hajdemo iterirati preko minora trećeg reda koji ga graniče u potrazi za nenultom jedinicom:

Svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang glavne i proširene matrice jednak dva. Uzmite kao osnovni minor. Radi jasnoće, bilježimo elemente sistema koji ga čine:

Treća jednačina originalne SLAE ne sudjeluje u formiranju osnovnog mola, stoga se može isključiti:

Na desnoj strani jednadžbe ostavljamo članove koji sadrže glavne nepoznanice, a na desnoj strani prenosimo članove sa slobodnim nepoznanicama:

Konstruirajmo fundamentalni sistem rješenja originalnog homogenog sistema linearnih jednačina. Osnovni sistem rješenja ovog SLAE sastoji se od dva rješenja, pošto originalni SLAE sadrži četiri nepoznate varijable, a red njegovog osnovnog minora je dva. Da bismo pronašli X (1), slobodnim nepoznatim varijablama dodijelimo vrijednosti x 2 = 1, x 4 = 0, zatim pronađemo glavne nepoznanice iz sistema jednačina
.

Linearna jednačina - jednačina oblika a x = b, gdje je x varijabla, a i b su neki brojevi, a a ≠ 0.

Primjeri linearnih jednadžbi:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = - 5

Linearnim jednadžbama nazivaju se ne samo jednadžbe oblika a x = b, već i sve jednadžbe koje se transformacijama i simplifikacijama svode na ovaj oblik.

Kako riješiti jednadžbe koje se svode na oblik a x = b? Dovoljno je podijeliti lijevu i desnu stranu jednačine vrijednošću a. Kao rezultat, dobijamo odgovor: x = b a.

Kako odrediti da li je proizvoljna jednadžba linearna ili ne? Potrebno je obratiti pažnju na varijablu koja je prisutna u njemu. Ako je najveći stepen u kojem varijabla stoji jednak jedan, onda je takva jednačina linearna jednačina.

Da bi se riješila linearna jednačina , potrebno je otvoriti zagrade (ako ih ima), prenijeti "x" lijevo, brojeve udesno i donijeti slične pojmove. Dobijate jednačinu oblika a x = b. Rješenje ove linearne jednačine: x = b a.

Primjeri rješavanja linearnih jednadžbi:

1. 2 x + 1 = 2 (x - 3) + 8

Ovo je linearna jednačina jer je varijabla u prvom stepenu.

Pokušajmo to pretvoriti u oblik a x = b:

Prvo, proširimo zagrade:

2 x + 1 = 4 x - 6 + 8

Svi pojmovi sa x se prenose na levu stranu, brojevi na desnu:

2 x - 4 x = 2 - 1

Sada podijelimo lijevu i desnu stranu brojem (-2):

- 2 x - 2 = 1 - 2 = - 1 2 = - 0,5

Odgovor: x = - 0,5

1. x 2 - 1 = 0

Ova jednačina nije linearna, jer je najveća snaga u kojoj se nalazi varijabla x dva.

1. x (x + 3) - 8 = x - 1

Ova jednadžba na prvi pogled izgleda linearno, ali nakon proširenja zagrada, najviši stepen postaje jednak dva:

x 2 + 3 x - 8 = x - 1

Ova jednačina nije linearna jednačina.

Posebni slučajevi(u zadatku 4 OGE se nisu sreli, ali ih je korisno poznavati)

primjeri:

1. 2 x - 4 = 2 (x - 2)

2 x - 4 = 2 x - 4

2 x - 2 x = - 4 + 4

I kako tražiti x ovdje ako ga nema? Nakon izvršenih transformacija, dobili smo tačnu jednakost (identitet), koja ne zavisi od vrijednosti varijable x. Koju god vrijednost x zamijenimo u originalnu jednadžbu, rezultat je uvijek tačna jednakost (identitet). Dakle, x može biti bilo koji broj. Zapišimo odgovor na ovu linearnu jednačinu.

Odgovor: x ∈ (- ∞; + ∞)

1. 2 x - 4 = 2 (x - 8)

Ovo je linearna jednadžba. Hajde da otvorimo zagrade, pomerimo X ulevo, brojeve udesno:

2 x - 4 = 2 x - 16

2 x - 2 x = - 16 + 4

Kao rezultat transformacija, x je smanjen, ali smo na kraju dobili netačnu jednakost, budući da. Koju god vrijednost x zamijenimo u originalnu jednadžbu, rezultat će uvijek biti netočna jednakost. To znači da ne postoje takve vrijednosti x za koje bi jednakost postala istinita. Zapišimo odgovor na ovu linearnu jednačinu.

Odgovor: x ∈ ∅

Kvadratne jednadžbe

Kvadratna jednadžba - jednačina oblika a x 2 + b x + c = 0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a a ≠ 0.

Algoritam za rješavanje kvadratne jednadžbe:

1. Proširite zagrade, pomaknite sve članove na lijevu stranu tako da jednačina izgleda ovako: a x 2 + b x + c = 0
2. Napiši čemu su koeficijenti jednaki u brojevima: a =… b =… c =…
3. Izračunajte diskriminanta po formuli: D = b 2 - 4 a c
4. Ako je D> 0, postojaće dva različita korena, koji se nalaze po formuli: x 1,2 = - b ± D 2 a
5. Ako je D = 0, postojaće jedan koren koji se nalazi po formuli: x = - b 2 a
6. Ako je D< 0, решений нет: x ∈ ∅

Primjeri rješavanja kvadratne jednadžbe:

1. - x 2 + 6 x + 7 = 0

a = - 1, b = 6, c = 7

D = b 2 - 4 a c = 6 2 - 4 ⋅ (- 1) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D> 0 - postojaće dva različita korena:

x 1,2 = - b ± D 2 a = - 6 ± 64 2 ⋅ (- 1) = - 6 ± 8 - 2 = [- 6 + 8 - 2 = 2 - 2 = - 1 - 6 - 8 - 2 = - 14 - 2 = 7

Odgovor: x 1 = - 1, x 2 = 7

1. - x 2 + 4 x - 4 = 0

a = - 1, b = 4, c = - 4

D = b 2 - 4 a c = 4 2 - 4 ⋅ (- 1) ⋅ (- 4) = 16 - 16 = 0

D = 0 - postojat će jedan korijen:

x = - b 2 a = - 4 2 ⋅ (- 1) = - 4 - 2 = 2

Odgovor: x = 2

1. 2 x 2 - 7 x + 10 = 0

a = 2, b = - 7, c = 10

D = b 2 - 4 a c = (- 7) 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 - 80 = - 31

D< 0 – решений нет.

Odgovor: x ∈ ∅

Postoje također nepotpune kvadratne jednadžbe (ovo su kvadratne jednadžbe za koje je ili b = 0, ili c = 0, ili b = c = 0). Pogledajte video kako riješiti takve kvadratne jednadžbe!

Faktoriranje kvadratnog trinoma

Kvadratni trinom se može faktorizirati na sljedeći način:

A x 2 + b x + c = a ⋅ (x - x 1) ⋅ (x - x 2)

gdje je a broj, koeficijent prije najvećeg koeficijenta,

x je varijabla (tj. slovo),

x 1 i x 2 su brojevi, korijeni kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, koji se nalaze preko diskriminanta.

Ako kvadratna jednadžba ima samo jedan korijen, onda proširenje izgleda ovako:

a x 2 + b x + c = a ⋅ (x - x 0) 2

Primjeri faktoringa kvadratnog trinoma:

1. - x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = - 1, x 2 = 7

- x 2 + 6 x + 7 = (- 1) ⋅ (x - (- 1)) (x - 7) = - (x + 1) (x - 7) = (x + 1) (7 - x)

1. - x 2 + 4 x - 4 = 0; ⇒ x 0 = 2

- x 2 + 4 x - 4 = (- 1) ⋅ (x - 2) 2 = - (x - 2) 2

Ako je kvadratni trinom nepotpun, ((b = 0 ili c = 0) onda se može faktorizirati na sljedeće načine:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)

• b = 0 ⇒ primijeniti za razliku kvadrata.

Frakcionalne racionalne jednadžbe

Neka su f (x) i g (x) neke funkcije koje zavise od varijable x.

Razlomka racionalne jednadžbe Je jednačina oblika f (x) g (x) = 0.

Da bi se riješila frakciono racionalna jednačina, mora se zapamtiti šta je ODD i kada nastaje.

ODZ- raspon dozvoljenih vrijednosti varijable.

U izrazu oblika f (x) g (x) = 0

ODZ: g (x) ≠ 0 (imenilac razlomka ne može biti nula).

Algoritam za rješavanje razlomke racionalne jednadžbe:

1. Napišite ODZ: g (x) ≠ 0.
2. Postavite brojilac razlomka na nulu f (x) = 0 i pronađite korijene.

Primjer rješavanja razlomke racionalne jednadžbe:

Riješite frakcionu racionalnu jednačinu x 2 - 4 2 - x = 1.

Rješenje:

Ponašaćemo se u skladu sa algoritmom.

1. Svesti izraz na oblik f (x) g (x) = 0.

Jedan prenosimo na lijevu stranu, zapisujemo mu dodatni faktor kako bismo oba člana doveli u jedan zajednički nazivnik:

x 2 - 4 2 - x - 1 \ 2 - x = 0

x 2 - 4 2 - x - 2 - x 2 - x = 0

x 2 - 4 - (2 - x) 2 - x = 0

x 2 - 4 - 2 + x 2 - x = 0

x 2 + x - 6 2 - x = 0

Prvi korak algoritma je uspješno završen.

1. Napiši ODZ:

Navodimo ODZ, ne zaboravite na to: x ≠ 2

1. Izjednačite brojilac razlomka sa nulom f (x) = 0 i pronađite korijene:

x 2 + x - 6 = 0 - Kvadratna jednadžba. Odlučujemo preko diskriminatora.

a = 1, b = 1, c = - 6

D = b 2 - 4 a c = 1 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (- 6) = 1 + 24 = 25

D> 0 - postojaće dva različita korena.

x 1,2 = - b ± D 2 a = - 1 ± 25 2 ⋅ 1 = - 1 ± 5 2 = [- 1 + 5 2 = 4 2 = 2 - 1 - 5 2 = - 6 2 = - 3

[x 1 = 2 x 2 = - 3

1. U odgovoru navedite korijene iz brojnika, isključujući one korijene koji su upali u ODZ.

Korijeni dobijeni u prethodnom koraku:

[x 1 = 2 x 2 = - 3

To znači da u odgovoru postoji samo jedan korijen, x = - 3.

Odgovor: x = - 3.

Sistemi jednačina

Sistem jednačina nazovite dvije jednačine sa dvije nepoznate (nepoznate se po pravilu označavaju sa x i y), koje su kombinovane u zajednički sistem vitičastom zagradom.

Primjer sistema jednadžbi

(x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

Riješiti sistem jednačina - pronaći par brojeva x i y, koji, kada se ubace u sistem jednačina, čine tačnu jednakost u obje jednačine sistema.

Postoje dvije metode za rješavanje sistema linearnih jednačina:

1. Metoda zamjene.
2. Metoda sabiranja.

Algoritam za rješavanje sistema jednačina metodom zamjene:

1. Pronađite preostalu nepoznatu.

primjer:

Rešiti sistem jednačina metodom supstitucije

(x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

Rješenje:

1. Izrazite jednu varijablu iz bilo koje jednačine kroz drugu.

(x = 8 - 2 y 3 x - y = - 4

1. Zamijenite dobijenu vrijednost u drugu jednačinu umjesto izražene varijable.

(x = 8 - 2 y 3 x - y = - 4

(x = 8 - 2 y 3 (8 - 2 y) - y = - 4

1. Riješi jednačinu u jednoj nepoznatoj.

3 (8 - 2 g) - y = - 4

24 - 6 y - y = - 4

- 7 y = - 4 - 24

- 7 y = - 28

y = - 28 - 7 = 28 7 = 4

1. Pronađite preostalu nepoznatu.

x = 8 - 2 y = 8 - 2 ⋅ 4 = 8 - 8 = 0

Odgovor se može napisati na jedan od tri načina:

1. x = 0, y = 4
2. (x = 0 y = 4
3. (0 ;   4)

Rješavanje sistema jednačina metodom sabiranja.

Metoda sabiranja zasniva se na sljedećem svojstvu:

(a + c) = (b + d)

Ideja koja stoji iza metode sabiranja je da se jedna od varijabli riješi dodavanjem jednačina.

primjer:

Rešiti sistem jednačina metodom sabiranja

(x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

Riješimo se varijable x u ovom primjeru. Suština metode je da u prvoj i drugoj jednačini suprotni koeficijenti stoje ispred varijable x. U drugoj jednačini, x prethodi faktor 3. Da bi metoda sabiranja radila, koeficijent (- 3) mora biti ispred varijable x. Da biste to učinili, pomnožite lijevu i desnu stranu prve jednačine sa (- 3).

Riješiti sistem jednačina- to znači pronaći opšta rješenja za sve jednačine sistema ili osigurati da rješenje ne postoji.

Da biste riješili sistem jednačina, potrebno je isključiti jednu nepoznatu, odnosno od dvije jednačine sa dvije nepoznate napraviti jednu jednačinu sa jednom nepoznatom. Postoje tri načina da se eliminiše jedna od nepoznanica: zamjena, poređenje, sabiranje ili oduzimanje.

Metoda zamjene

Da biste riješili sistem jednačina metodom zamjene, potrebno je jednu nepoznanicu izraziti kroz drugu u jednoj od jednačina i rezultat zamijeniti drugom jednačinom, koja će tada sadržavati samo jednu nepoznatu. Zatim nalazimo vrijednost ove nepoznanice i zamjenjujemo je u prvu jednačinu, nakon čega nalazimo vrijednost druge nepoznate.

Razmotrimo rješenje sistema jednačina:

Rezultujuću jednačinu rešavamo da nađemo čemu je jednako y... Kako se rješavaju jednačine sa jednom nepoznatom, možete vidjeti u povezanoj temi.

3(2 + 4y) - 2y = 16

6 + 12y - 2y = 16

6 + 10y = 16

10y = 16 - 6

10y = 10

y = 10: 10

y = 1

Mi smo to utvrdili y= 1. Sada, da pronađemo brojčanu vrijednost x, zamijenite vrijednost y u transformiranu prvu jednačinu, gdje smo prethodno našli koji je izraz x:

x = 2 + 4y= 2 + 4 1 = 2 + 4 = 6

odgovor: x = 6, y = 1.

Metoda poređenja

Poređenje je poseban slučaj zamjene. Da biste riješili sistem jednačina metodom poređenja, potrebno je u obje jednačine pronaći koji će izraz biti jednak istoj nepoznanici i izjednačiti rezultirajuće izraze jedan s drugim. Rezultirajuća jednadžba vam omogućava da saznate značenje jedne nepoznate. Ova vrijednost se zatim koristi za izračunavanje vrijednosti druge nepoznate.

Na primjer, za sistemsko rješenje:

Od dobijenih izraza sastavljamo jednačinu:

2 - x = 32 - 6x 2 - x + 6x = 32 - 2 5x = 30 x = 30: 5 x = 6

Sada zamjenjujemo vrijednost x u prvu ili drugu jednačinu sistema i pronađite vrijednost y:

odgovor: x = 6, y = 1.

Metoda sabiranja ili oduzimanja

Da biste riješili sistem jednačina metodom sabiranja, potrebno je napraviti jednu od dvije jednačine sabiranjem lijeve i desne strane, dok se jedna od nepoznanica mora isključiti iz rezultirajuće jednačine. Nepoznata se može eliminisati izjednačavanjem koeficijenata u obje jednačine.

Razmotrite sistem:

Sada sabiramo obje jednačine po dijelovima da dobijemo jednačinu s jednom nepoznatom:

Sada oduzmimo drugu jednačinu od prve po dio da dobijemo jednačinu s jednom nepoznatom:

odgovor: x = 6, y = 1.

Za rješavanje sistema jednačina koji je gore razmatran, korištena je metoda sabiranja koja se zasniva na sljedećem svojstvu:

Bilo koja jednačina u sistemu može se zamijeniti jednačinom koja se dobije dodavanjem (ili oduzimanjem) jednačina uključenih u sistem. U ovom slučaju se dobija sistem jednačina koji ima ista rešenja kao i originalni.