Exemples de progression arithmétique avec la solution 9. Enregistrements étiquetés « Progression arithmétique de 9e année ». III. Apprendre du nouveau matériel

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Légendes des diapositives :

Aperçu:

Sujet

Progression arithmétique

BUT :

• apprendre à reconnaître une progression arithmétique à l'aide de sa définition et de son signe ;
• apprendre à résoudre des problèmes en utilisant la définition, la caractéristique, la formule du terme général de la progression.

OBJECTIFS DE LA LEÇON:

donner une définition d'une progression arithmétique, prouver le signe d'une progression arithmétique et apprendre à les utiliser pour résoudre des problèmes.

MÉTHODES D'ENSEIGNEMENT:

mise à jour des connaissances des élèves, travail autonome, travail individuel, création d'une situation problématique.

TECHNOLOGIES MODERNES :

TIC, apprentissage par problèmes, apprentissage différencié, technologies qui préservent la santé.

PLAN DE COURS

	Étapes de la leçon.	Temps de mise en œuvre.
	Organisation du temps.	2 minutes
	Répétition du passé	5 minutes
	Apprendre du nouveau matériel	15 minutes
	L'éducation physique	3 minutes
	Remplir des devoirs sur le sujet	15 minutes
	Devoirs	2 minutes
	Résumer	3 minutes

PENDANT LES COURS :

1. Dans la dernière leçon, nous nous sommes familiarisés avec le concept de "Séquence".

Aujourd'hui, nous allons continuer à étudier les séquences numériques, donner une définition à certaines d'entre elles, nous familiariser avec leurs propriétés et leurs caractéristiques.

1. Répondez aux questions : Qu'est-ce qu'une séquence ?

Quelles séquences existe-t-il ?

De quelles manières pouvez-vous définir la séquence ?

Qu'est-ce qu'une séquence de nombres ?

Quelles méthodes de spécification d'une séquence de nombres connaissez-vous ? Quelle formule est dite récurrente ?

1. Les séquences numériques sont données :

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

Trouvez la régularité dans chaque séquence et nommez les trois termes suivants dans chacun d'eux.

1. un n = un n -1 +1
2. un n = un n -1 + 3
3. un n = un n -1 + (-2)
4. un n = un n -1 + 0,5

Nommez la formule récurrente pour chaque séquence.

Diapositive 1

Une suite numérique dont chaque terme, à partir du second, est égal au terme précédent ajouté au même nombre, est appelée progression arithmétique.

Le nombre d est appelé la différence de la progression arithmétique.

Une progression arithmétique est une suite numérique, elle peut donc être croissante, décroissante, constante. Donnez des exemples de telles séquences, nommez la différence de chaque progression, tirez une conclusion.

Dérivons la formule du terme général de la progression arithmétique.

Au tableau : laissez un 1 est le premier terme de la progression, d est sa différence, alors

un 2 = un 1 + d

a 3 = (a 1 + d) + d = a 1 + 2d

a 4 = (a 1 + 2d) + d = a 1 + 3d

un 5 = (un 1 + 3d) + d = un 1 + 4d

un n = un 1 + d (n-1) est la formule du nième terme de la progression arithmétique.

Résoudre le problème : Dans une progression arithmétique, le premier terme est 5 et la différence est 4.

Trouvez 22 membres de cette progression.

L'élève décide au tableau : un n = a 1 + d (n-1)

Un 22 = un 1 + 21d = 5 + 21 * 4 = 89

L'éducation physique.

Nous nous sommes levés.

Les mains sur la ceinture. S'incline vers la gauche, la droite, (2 fois) ;

S'incline vers l'avant, vers l'arrière (2 fois) ;

Levez les mains, respirez profondément, baissez les mains, expirez. (2 fois)

Ils se sont serré la main. Merci.

Ils se sont assis. On continue la leçon.

Nous résolvons des problèmes sur l'application de la formule pour le terme général d'une progression arithmétique.

Les étudiants se voient proposer les tâches suivantes :

1. Dans une progression arithmétique, le premier terme est -2, d = 3, a n = 118.

Trouver n.

1. Dans une progression arithmétique, le premier terme est 7, le quinzième terme est -35. Trouver la différence.
2. On sait que dans la progression arithmétique d = -2, a39 = 83. Trouvez le premier terme de la progression.

Les élèves sont répartis en groupes. La tâche est donnée pendant 5 minutes. Ensuite, les 3 premiers élèves qui ont résolu les problèmes les résolvent au tableau. La solution est dupliquée sur les diapositives.

Considérez les propriétés caractéristiques d'une progression arithmétique.

En progression arithmétique

un n -d = un (n-1)

un n + d = un (n + 1)

On additionne ces deux égalités terme à terme, on obtient : 2а n = un (n + 1) + un (n-1)

Un n = (un (n + 1) + un (n-1)) / 2

Cela signifie que chaque membre de la progression arithmétique, à l'exception du premier et du dernier, est égal à la moyenne arithmétique des membres précédents et suivants.

THÉORÈME:

Une suite numérique est une progression arithmétique si et seulement si chacun de ses membres, à l'exception du premier (et du dernier, dans le cas d'une suite finie), est égal à la moyenne arithmétique des membres précédents et suivants (propriété caractéristique d'une progression arithmétique).

La compréhension de nombreux sujets en mathématiques et en physique est associée à la connaissance des propriétés des séries de nombres. Les élèves de 9e année, lorsqu'ils étudient la matière "Algèbre", considèrent l'une des séquences de nombres importantes - la progression arithmétique. Voici les formules de base de la progression arithmétique (9e année), ainsi que des exemples de leur utilisation pour résoudre des problèmes.

Progression algébrique ou arithmétique

La série de nombres, qui sera discutée dans cet article, est appelée de deux manières différentes, présentées dans le titre de ce paragraphe. Ainsi, en mathématiques, une progression arithmétique est comprise comme une série numérique dans laquelle deux nombres quelconques situés l'un à côté de l'autre diffèrent du même montant, ce qu'on appelle la différence. Les nombres dans une telle ligne sont généralement indiqués par des lettres avec un indice entier inférieur, par exemple, un 1, un 2, un 3, etc., où l'indice indique le numéro de l'élément de ligne.

Compte tenu de la définition ci-dessus d'une progression arithmétique, nous pouvons écrire l'égalité suivante : a 2 -a 1 = ... = an -a n-1 = d, ici d est la différence d'une progression algébrique et n est quelconque entier. Si d> 0, alors nous pouvons nous attendre à ce que chaque membre suivant de la série soit plus grand que le précédent, dans ce cas ils parlent d'une progression croissante. Si d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

Formules de progression arithmétique (école de 9e année)

La série de nombres considérée, puisqu'elle est ordonnée et obéit à une certaine loi mathématique, possède deux propriétés importantes pour son utilisation :

1. Premièrement, ne connaissant que deux nombres a 1 et d, vous pouvez trouver n'importe quel membre de la séquence. Cela se fait en utilisant la formule suivante : a n = a 1 + (n-1) * d.
2. Deuxièmement, pour calculer la somme des n termes du premier, il n'est pas nécessaire de les additionner dans l'ordre, puisque vous pouvez utiliser la formule suivante : S n = n * (a n + a 1) / 2.

La première formule est facile à comprendre, puisqu'elle est une conséquence directe du fait que chaque membre de la série considérée diffère de son voisin par la même différence.

La deuxième formule de la progression arithmétique peut être obtenue si l'on fait attention au fait que la somme a 1 + an s'avère équivalente aux sommes a 2 + a n-1, a 3 + a n-2, et ainsi au. En effet, puisque a 2 = d + a 1, a n-2 = -2 * d + an, a 3 = 2 * d + a 1, et a n-1 = -d + an, alors en substituant ces expressions dans le sommes correspondantes, on obtient qu'elles seront les mêmes. Le facteur n/2 dans la 2ème formule (pour S n) apparaît du fait que les sommes de type a i + 1 + a ni sont exactement n/2, ici i est un entier allant de 0 à n/2 - un.

Selon les preuves historiques qui nous sont parvenues, la formule de la somme S n a été obtenue pour la première fois par Karl Gauss (le célèbre mathématicien allemand), lorsqu'un professeur lui a demandé d'additionner les 100 premiers nombres.

Exemple problème n°1 : trouver la différence

Les problèmes dans lesquels la question se pose comme suit : connaître les formules de progression arithmétique, comment trouver d(d), sont les plus simples qui ne peuvent l'être que pour ce sujet.

Donnons un exemple : étant donné une séquence numérique -5, -2, 1, 4, ..., il faut déterminer sa différence, c'est-à-dire d.

Pour ce faire, c'est aussi simple que de décortiquer des poires : vous devez prendre deux éléments et soustraire le plus petit du plus gros. Dans ce cas, on a : d = -2 - (-5) = 3.

Pour être sûr de la réponse reçue, il est recommandé de vérifier les différences restantes, car la séquence présentée peut ne pas satisfaire la condition d'une progression algébrique. On a : 1 - (- 2) = 3 et 4 - 1 = 3. Ces données indiquent que nous avons obtenu le résultat correct (d = 3) et prouvé qu'une série de nombres dans l'énoncé du problème est bien une progression algébrique.

Exemple problème numéro 2 : trouver la différence, connaissant deux termes de la progression

Considérons un autre problème intéressant, qui est posé par la question de savoir comment trouver la différence. Dans ce cas, la formule de progression arithmétique doit être utilisée pour le nième terme. Donc, le problème : étant donné les premier et cinquième nombres d'une série qui correspond à toutes les propriétés d'une progression algébrique, par exemple, ce sont les nombres a 1 = 8 et a 5 = -10. Comment trouver la différence d?

La solution de ce problème doit être commencée en écrivant la forme générale de la formule pour le nième élément : a n = a 1 + d * (- 1 + n). Maintenant, vous pouvez procéder de deux manières : soit substituer les nombres à la fois et travailler avec eux, soit exprimer d, puis passer à un 1 et un 5 spécifiques. On utilise la dernière méthode, on obtient : a 5 = a 1 + d * (- 1 + 5) ou a 5 = 4 * d + a 1, d'où il suit que d = (a 5 -a 1) / 4. Vous pouvez maintenant substituer en toute sécurité les données connues de la condition et obtenir la réponse finale : d = (-10-8) / 4 = -4,5.

Notez que dans ce cas, la différence de progression s'est avérée négative, c'est-à-dire qu'il existe une séquence décroissante de nombres. Il faut faire attention à ce fait lors de la résolution de problèmes afin de ne pas confondre les signes "+" et "-". Toutes les formules données ci-dessus sont universelles, vous devez donc toujours les suivre quel que soit le signe des nombres avec lesquels les opérations sont effectuées.

Un exemple de résolution du problème n°3 : trouver a1, connaissant la différence et l'élément

Changeons un peu l'état du problème. Soit deux nombres : la différence d = 6 et le 9e élément de la progression a 9 = 10. Comment trouver a1 ? Les formules de progression arithmétique restent inchangées, nous les utiliserons. Pour le nombre a 9, nous avons l'expression suivante : a 1 + d * (9-1) = a 9. D'où l'on obtient facilement le premier élément de la série : a 1 = a 9 -8 * d = 10 - 8 * 6 = -38.

Un exemple de résolution du problème numéro 4 : trouver a1, connaissant deux éléments

Cette variante du problème est une version compliquée de la précédente. L'essence est la même, il est nécessaire de calculer a 1, mais maintenant la différence d n'est pas connue, et à la place un élément supplémentaire de la progression est donné.

Un exemple de ce type de problème est le suivant : trouver le premier nombre d'une séquence pour laquelle on sait qu'il s'agit d'une progression arithmétique, et que ses 15e et 23e éléments sont 7 et 12, respectivement.

Il faut résoudre ce problème en écrivant l'expression du nième terme pour chaque élément connu de la condition, on a : a 15 = d * (15-1) + a 1 et a 23 = d * (23-1) + un 1. Comme vous pouvez le voir, nous avons deux équations linéaires qui doivent être résolues pour a 1 et d. Faisons ceci : soustrayez la première de la deuxième équation, puis nous obtenons l'expression suivante : a 23 -a 15 = 22 * ​​​​d - 14 * d = 8 * d. Lors de la dérivation de la dernière équation, les valeurs de a 1 ont été omises car elles s'annulent lorsqu'elles sont soustraites. En substituant les données connues, nous trouvons la différence : d = (a 23 -a 15) / 8 = (12-7) / 8 = 0,625.

La valeur d doit être substituée dans n'importe quelle formule pour un élément connu pour obtenir le premier terme de la séquence : a 15 = 14 * d + a 1, d'où : a 1 = a 15 -14 * d = 7-14 * 0,625 = -1,75.

Vérifions le résultat, pour cela nous trouvons un 1 à travers la deuxième expression : a 23 = d * 22 + a 1 ou a 1 = a 23 -d * 22 = 12 - 0,625 * 22 = -1,75.

Un exemple de résolution du problème n°5 : trouver la somme de n éléments

Comme vous pouvez le voir, jusqu'à présent, une seule formule de progression arithmétique (grade 9) a été utilisée pour la solution. Nous donnons maintenant un problème pour lequel vous devez connaître la deuxième formule, c'est-à-dire pour la somme S n.

Il y a la rangée ordonnée suivante de nombres -1,1, -2,1, -3,1, ..., vous devez calculer la somme de ses 11 premiers éléments.

On voit d'après cette série qu'elle est décroissante, et a 1 = -1,1. Sa différence est : d = -2,1 - (-1,1) = -1. Définissons maintenant le 11ème terme : a 11 = 10 * d + a 1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Après avoir terminé les calculs préparatoires, vous pouvez utiliser la formule ci-dessus pour la somme, nous avons : S 11 = 11 * (- 1.1 + (- 11.1)) / 2 = -67.1. Puisque tous les termes étaient des nombres négatifs, leur somme a le signe correspondant.

Un exemple de résolution du problème numéro 6 : trouver la somme des éléments de n à m

Ce type de problème est peut-être le plus difficile pour la plupart des étudiants. Donnons un exemple type : étant donné une série de nombres 2, 4, 6, 8..., il faut trouver la somme du 7ème au 13ème termes.

Formules progression arithmétique(Niveau 9) sont utilisés exactement de la même manière que dans tous les problèmes précédents. Il est recommandé de résoudre ce problème par étapes :

1. Tout d'abord, trouvez la somme de 13 termes à l'aide de la formule standard.
2. Calculez ensuite ce montant pour les 6 premiers éléments.
3. Après cela, soustrayez le 2e du 1er montant.

Passons à la solution. Comme dans le cas précédent, nous effectuerons des calculs préparatoires : a 6 = 5 * d + a 1 = 10 + 2 = 12, a 13 = 12 * d + a 1 = 24 + 2 = 26.

Calculons deux sommes : S 13 = 13 * (2 + 26) / 2 = 182, S 6 = 6 * (2 + 12) / 2 = 42. On fait la différence et on obtient la réponse souhaitée : S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Notez que lors de l'obtention de cette valeur, c'est la somme des 6 éléments de la progression qui a été utilisée comme déduction, puisque le 7ème terme est inclus dans la somme S 7-13.

Une suite numérique dont chaque membre, à partir du second, est égal au précédent, additionné du même nombre pour une suite donnée, est appelée progression arithmétique. Le numéro qui s'ajoute à chaque fois au numéro précédent est appelé différence de progression arithmétique et désigné par la lettre ré.

Ainsi, la suite numérique a 1 ; un 2 ; un 3 ; un 4 ; un 5 ; ... et n sera une progression arithmétique si a 2 = a 1 + d ;

un 3 = un 2 + d ;

Ils disent qu'une progression arithmétique avec un terme commun est donnée une... Notez : une progression arithmétique est donnée (une).

Une progression arithmétique est considérée comme définie si son premier terme est connu. un 1 et la différence ré.

Exemples de progression arithmétique

Exemple 1. un; 3 ; 5 ; sept; 9 ; ... Ici un 1 = 1; ré = 2.

Exemple 2. huit; 5 ; 2 ; -un; -4; -sept; -10 ; ... Ici un 1 = 8; ré =-3.

Exemple 3.-seize; -12 ; -huit; -4;... Ici un 1 = -16; ré = 4.

Notez que chaque terme de la progression, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique de ses termes voisins.

En 1 échantillon deuxième mandat 3 =(1+5): 2 ; celles. un 2 = (un 1 + un 3) : 2 ; troisième mandat 5 =(3+7): 2;

c'est-à-dire un 3 = (un 2 + un 4) : 2.

La formule est donc valable :

Mais, en fait, chaque membre de la progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique non seulement de ses termes voisins, mais aussi équidistant de ses membres, c'est-à-dire

Tournons-nous exemple 2... Nombre -1 est le quatrième membre de la progression arithmétique et est également espacé des premier et septième membres (a 1 = 8 et 7 = -10).

Par formule (**) on a :

Dérivons la formule n-ème membre de la progression arithmétique.

Ainsi, nous obtenons le deuxième terme de la progression arithmétique si nous ajoutons la différence au premier ré; le troisième terme est obtenu si l'on ajoute au second la différence ré ou ajouter deux différences au premier terme ré; le quatrième terme est obtenu si l'on ajoute au troisième la différence ré ou ajouter trois différences au premier ré etc.

Vous l'avez deviné : a 2 = a 1 + d ;

un 3 = un 2 + d = un 1 + 2d ;

un 4 = un 3 + d = un 1 + 3d ;

…………………….

un n = un n-1 + d = un 1 + (n-1) d.

La formule résultante une = une 1 + (m-1) ré (***)

sont appelés formulemème membre de la progression arithmétique.

Parlons maintenant de la façon de trouver la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique. On note cette somme par S n.

A partir du réarrangement des places des termes, la valeur de la somme ne changera pas, elle peut donc s'écrire de deux manières.

S n= un 1 + un 2 + un 3 + un 4 +… + un n-3 + un n-2 + un n-1 + un n et

Sn = un n + un n-1 + un n-2 + un n-3 +… ... + un 4 + un 3 + un 2 + un 1

Ajoutons ces deux égalités terme à terme :

2S n= (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) +…

Les valeurs entre parenthèses sont égales les unes aux autres, car ce sont les sommes des membres équidistants de la série, ce qui signifie que vous pouvez écrire : 2S n = n · (a 1 + a n).

On obtient la formule la somme du premiermmembres d'une progression arithmétique.

Si nous remplaçons a n par la valeur de a 1 + (n-1) d par la formule (***), alors nous obtenons une autre formule pour la somme du premier m membres d'une progression arithmétique.

Les mathématiques ont leur propre beauté, tout comme la peinture et la poésie.

Scientifique russe, mécanicien N.E. Joukovski

Les problèmes liés au concept de progression arithmétique sont des problèmes très courants dans les examens d'entrée en mathématiques. Pour résoudre avec succès de tels problèmes, il est nécessaire de bien connaître les propriétés de la progression arithmétique et d'avoir certaines compétences dans leur application.

Nous rappelons d'abord les principales propriétés de la progression arithmétique et présentons les formules les plus importantes, liés à cette notion.

Définition. Séquence de nombres, dans lequel chaque terme suivant diffère du précédent par le même nombre, appelée progression arithmétique. De plus, le nombreappelé la différence de progression.

Pour une progression arithmétique, les formules suivantes sont valables

, (1)

où . La formule (1) est appelée la formule du terme général d'une progression arithmétique, et la formule (2) est la propriété principale d'une progression arithmétique : chaque terme de la progression coïncide avec la moyenne arithmétique de ses termes voisins et.

Notons que c'est précisément à cause de cette propriété que la progression considérée est dite « arithmétique ».

Les formules (1) et (2) ci-dessus se généralisent comme suit :

(3)

Pour calculer le montant la première membres de la progression arithmétiquegénéralement la formule est appliquée

(5) où et.

En tenant compte de la formule (1), alors la formule (5) implique

Si on note, alors

où . Puisque, alors les formules (7) et (8) sont une généralisation des formules correspondantes (5) et (6).

En particulier , de la formule (5) il résulte, Quel

La propriété de la progression arithmétique, formulée au moyen du théorème suivant, est parmi les moins connues de la plupart des étudiants.

Théorème. Si donc

Preuve. Si donc

Le théorème est prouvé.

Par exemple , en utilisant le théorème, on peut montrer que

Passons à l'examen d'exemples typiques de résolution de problèmes sur le thème "Progression arithmétique".

Exemple 1. Laissez et. Trouver .

Solution. En appliquant la formule (6), on obtient. Depuis et, puis ou.

Exemple 2. Soit trois fois plus, et en divisant par le quotient, nous obtenons 2 et le reste 8. Déterminez et.

Solution. La condition de l'exemple implique le système d'équations

Puisque,, et, alors à partir du système d'équations (10) nous obtenons

La solution de ce système d'équations est et.

Exemple 3. Trouvez si et.

Solution. D'après la formule (5), on a ou. Cependant, en utilisant la propriété (9), nous obtenons.

Depuis et, alors de l'égalité l'équation suit ou .

Exemple 4. Trouvez si.

Solution.Par la formule (5), on a

Cependant, en utilisant le théorème, on peut écrire

De cela et de la formule (11) nous obtenons.

Exemple 5. Donné:. Trouver .

Solution. Depuis. Toutefois donc.

Exemple 6. Laissez, et. Trouver .

Solution. En utilisant la formule (9), nous obtenons. Par conséquent, si, alors ou.

Depuis et, alors nous avons ici le système d'équations

En résolvant lequel, nous obtenons et.

La racine naturelle de l'équation est un .

Exemple 7. Trouvez si et.

Solution. Puisque par la formule (3) nous avons cela, alors l'énoncé du problème implique le système d'équations

Si vous remplacez l'expressiondans la deuxième équation du système, alors nous obtenons ou.

Les racines de l'équation quadratique sont et .

Considérons deux cas.

1. Laissez, alors. Depuis et, alors.

Dans ce cas, d'après la formule (6), on a

2. Si, alors, et

Réponse : et.

Exemple 8. On le sait et. Trouver .

Solution. En tenant compte de la formule (5) et de la condition de l'exemple, nous écrivons et.

D'où le système d'équations

Si nous multiplions la première équation du système par 2, puis l'ajoutons à la deuxième équation, nous obtenons

D'après la formule (9), on a... A cet égard, de (12) il résulte ou .

Depuis et, alors.

Réponse: .

Exemple 9. Trouvez si et.

Solution. Depuis, et par condition, alors ou.

D'après la formule (5), on sait, Quel . Depuis.

D'où , on a ici un système d'équations linéaires

Par conséquent, nous obtenons et. En tenant compte de la formule (8), nous écrivons.

Exemple 10. Résous l'équation.

Solution. Il résulte de l'équation donnée que. Supposons que,, et. Dans ce cas .

Selon la formule (1), vous pouvez écrire ou.

Puisque, alors l'équation (13) a une seule racine appropriée.

Exemple 11. Trouvez la valeur maximale à condition que et.

Solution. Depuis, la progression arithmétique considérée est décroissante. A cet égard, l'expression prend la valeur maximale lorsqu'elle est le numéro du terme positif minimum de la progression.

On utilise la formule (1) et le fait, comme. Ensuite, nous obtenons cela ou.

Depuis, soit ... Cependant, dans cette inégalitéplus grand nombre naturel, Voilà pourquoi .

Si les valeurs et sont substituées dans la formule (6), alors nous obtenons.

Réponse: .

Exemple 12. Déterminez la somme de tous les nombres naturels à deux chiffres qui, une fois divisés par 6, donnent un reste de 5.

Solution. Désignons par l'ensemble de tous les nombres naturels à deux chiffres, c'est-à-dire ... Ensuite, nous construisons un sous-ensemble composé de ces éléments (nombres) de l'ensemble qui, lorsqu'ils sont divisés par 6, donnent le reste 5.

Il n'est pas difficile d'établir, Quel . De toute évidence , que les éléments de l'ensembleformer une progression arithmétique, dans lequel et.

Pour établir la cardinalité (nombre d'éléments) d'un ensemble, nous supposons que. Depuis et, alors de la formule (1) il suit ou. En tenant compte de la formule (5), on obtient.

Les exemples de résolution de problèmes ci-dessus ne peuvent en aucun cas prétendre à l'exhaustivité. Cet article est écrit sur la base d'une analyse des méthodes modernes pour résoudre des problèmes typiques sur un sujet donné. Pour une étude plus approfondie des méthodes de résolution des problèmes liés à la progression arithmétique, il est conseillé de se référer à la liste de la littérature recommandée.

1. Recueil de problèmes de mathématiques pour les candidats aux collèges techniques / Ed. MI. Skanavi. - M. : Paix et Education, 2013 .-- 608 p.

2. Suprun V.P. Mathématiques pour les élèves du secondaire : sections supplémentaires du programme scolaire. - M. : Lenand / URSS, 2014 .-- 216 p.

3. Medynsky M.M. Cours complet de mathématiques élémentaires en problèmes et exercices. Livre 2 : Suite de nombres et progressions. - M. : Edithus, 2015 .-- 208 p.

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Sujet: Progressions arithmétiques et géométriques

Classer: 9

Système de préparation: matériel pour préparer l'étude du sujet en algèbre et l'étape préparatoire pour passer l'examen

Cibler: la formation de concepts de progression arithmétique et géométrique

Tâches: apprendre à distinguer les types de progression, enseigner correctement, utiliser des formules

Progression arithmétique appelé une séquence de nombres (membres d'une progression)

dans lequel chaque terme suivant diffère du précédent par un nouveau terme, également appelé échelon ou différence de progression.

Ainsi, en définissant le pas de la progression et son premier terme, vous pouvez trouver n'importe lequel de ses éléments par la formule

1) Chaque membre de la progression arithmétique, à partir du deuxième nombre, est la moyenne arithmétique du membre précédent et suivant de la progression

L'inverse est également vrai. Si la moyenne arithmétique des membres impairs (pairs) adjacents de la progression est égale au terme qui les sépare, alors cette séquence de nombres est une progression arithmétique. Cette instruction permet de vérifier très facilement n'importe quelle séquence.

De plus, par la propriété de progression arithmétique, la formule ci-dessus peut être généralisée à la suivante

Ceci est facile à vérifier si nous écrivons les termes à droite du signe égal

Il est souvent utilisé en pratique pour simplifier les calculs dans les problèmes.

2) La somme des n premiers termes de la progression arithmétique est calculée par la formule

Retenez bien la formule de la somme d'une progression arithmétique, elle est indispensable pour les calculs et est assez courante dans des situations de vie simples.

3) Si vous avez besoin de trouver non pas le montant total, mais une partie de la séquence à partir du k-ème membre, la formule de somme suivante vous sera utile

4) Il est d'un intérêt pratique de trouver la somme de n termes d'une progression arithmétique à partir du kième nombre. Pour ce faire, utilisez la formule

Trouver le quarantième terme de la progression arithmétique 4; 7; ...

Solution:

Selon la condition, nous avons

Déterminer le pas de progression

En utilisant la formule bien connue, on trouve le quarantième terme de la progression

La progression arithmétique est donnée par ses troisième et septième termes. Trouvez le premier terme de la progression et la somme de dix.

Solution:

Écrivons les éléments donnés de la progression en utilisant les formules

Une progression arithmétique est donnée par le dénominateur et l'un de ses membres. Trouvez le premier membre de la progression, la somme de ses 50 membres commençant par 50 et la somme des 100 premiers.

Solution:

Écrivons la formule du centième élément de la progression

et trouver le premier

Sur la base du premier, on retrouve le terme 50 de la progression

Trouver la somme de la partie de la progression

et la somme des 100 premiers

La somme de la progression est 250. Trouvez le nombre de membres de la progression arithmétique si :

a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.

Solution:

Nous écrivons les équations en fonction du premier terme et du pas de la progression et les définissons

Nous substituons les valeurs obtenues dans la formule de somme pour déterminer le nombre de membres dans la somme

Effectuer des simplifications

et résoudre l'équation quadratique

Sur les deux valeurs trouvées pour la condition problématique, seul le nombre 8 convient. Ainsi, la somme des huit premiers membres de la progression est de 111.

Résous l'équation

1 + 3 + 5 + ... + x = 307.

Solution:

Cette équation est la somme d'une progression arithmétique. Écrivons son premier terme et trouvons la différence de progression

On substitue les valeurs trouvées dans la formule à la somme de la progression pour trouver le nombre de termes

Comme dans la tâche précédente, nous allons simplifier et résoudre l'équation quadratique

Nous choisissons la plus logique des deux valeurs. Nous avons que la somme des 18 membres de la progression avec des valeurs données a1 = 1, d = 2 est égale à Sn = 307.

Exemples de résolution de problèmes : Progression arithmétique

Tache 1

L'équipe d'étudiants s'est engagée à poser des carreaux de céramique au sol dans le hall du club des jeunes d'une superficie de 288 m2.Acquérant de l'expérience, les étudiants chaque jour suivant, à partir du deuxième, ont disposé 2 m2 de plus que le précédent , et ils disposaient d'un stock de carreaux suffisant pour exactement 11 jours de travail. Prévoyant une augmentation de la productivité de la même manière, le contremaître a déterminé qu'il faudrait encore 5 jours pour terminer le travail. Combien de cartons de carreaux doit-il commander si 1 carton suffit pour 1,2 m2 de sol et 3 cartons sont nécessaires pour remplacer des carreaux de mauvaise qualité ?

Solution

Selon la condition du problème, il est clair que nous parlons d'une progression arithmétique dans laquelle soit

a1 = x, Sn = 288, n = 16

Ensuite, nous utilisons la formule : Sn = (2а1 + d (n-1)) * n / 0.86 = 200mm Hg. Art.

288 = (2x + 2 * 15) * 16/2

Calculons combien de m2 d'élèves disposeront en 11 jours : S11 = (2 * 3 + 2 * 10) * 11,2 = 143m 2

288-143 = 145m2 restant après 11 jours de travaux, soit pendant 5 jours

145 / 1,2 = 121 boîtes (approximatives) doivent être commandées pendant 5 jours.

121 + 3 = 124 boîtes doivent être commandées, y compris le défaut

Réponse : 124 cases

Tâche2

Après chaque mouvement du piston de la pompe à vide, 20 % de l'air qu'il contient est évacué du récipient. Déterminons la pression d'air à l'intérieur du récipient après six mouvements de piston, si la pression initiale était de 760 mm Hg. Art.

Solution

Puisqu'après chaque mouvement du piston, 20% de l'air disponible est retiré du récipient, 80% de l'air reste. Pour connaître la pression d'air dans le récipient après le mouvement de piston successif, vous devez réduire la pression du mouvement de piston précédent de 0,8.

Nous avons une progression géométrique dont le premier terme est 760, et le dénominateur est 0,8. Le nombre exprimant la pression d'air dans la cuve (en mm Hg) après six mouvements de piston est le septième terme de cette progression. Il est égal à 760 * 0,86 = 200 mm Hg. Art.

Réponse : 200 mmHg.

Une progression arithmétique est donnée, où les cinquième et dixième termes sont respectivement 38 et 23. Trouvez le quinzième terme de la progression et la somme de ses dix premiers termes.

Solution:

Trouvez le numéro du terme progression arithmétique 5,14,23, ..., si son ième terme est 239.

Solution:

Trouver le nombre de membres de la progression arithmétique 9,12,15, ..., si sa somme est de 306.

Solution:

Trouver x pour lequel les nombres x-1, 2x-1, x2-5 constituent une progression arithmétique

Solution:

Trouvons la différence entre 1 et 2 termes de la progression :

d = (2x-1) - (x-1) = x

Trouvons la différence entre 2 et 3 termes de la progression :

d = (x2-5) - (2x-1) = x2-2x-4

Parce que la différence est la même, alors les membres de la progression peuvent être assimilés :

Lors de la vérification dans les deux cas, une progression arithmétique est obtenue

Réponse : pour x = -1 et x = 4

La progression arithmétique est donnée par ses troisième et septième termes a3 = 5 ; a7 = 13. Trouvez le premier terme de la progression et la somme de dix.

Solution:

Nous soustrayons la première de la deuxième équation, en conséquence, nous trouvons le pas de la progression

a1 + 6d- (a1 + 2d) = 4d = 13-5 = 8, donc d = 2

Nous substituons la valeur trouvée dans l'une des équations pour trouver le premier terme de la progression arithmétique

On calcule la somme des dix premiers membres de la progression

S10 = (2 * 1 + (10-1) * 2) * 10/2 = 100

Réponse : a1 = 1 ; S10 = 100

Dans une progression arithmétique où le premier terme est de -3,4 et la différence est de 3, trouvez les cinquième et onzième termes.

Ainsi, nous savons que a1 = -3,4 ; d = 3. Trouvez : a5, a11-.

Solution. Pour trouver le n-ième terme de la progression arithmétique, nous utilisons la formule : an = a1 + (n - 1) d. On a:

a5 = a1 + (5 - 1) d = -3,4 + 43 = 8,6 ;

a11 = a1 + (11 - 1) d = -3,4 + 10 * 3 = 26,6.

Comme vous pouvez le voir, dans ce cas, la solution n'est pas difficile.

Le douzième terme de la progression arithmétique est 74, et la différence est -4. Trouvez le trente-quatrième terme dans cette progression.

On nous dit que a12 = 74 ; d = -4, mais vous devez trouver a34-.

Dans ce problème, il n'est pas possible d'appliquer immédiatement la formule an = a1 + (n - 1) d, puisque le premier terme a1 n'est pas connu. Cette tâche peut être résolue en plusieurs étapes.

1.En utilisant le terme a12 et la formule du nième terme, on trouve a1 :

a12 = a1 + (12 - 1) d, maintenant nous simplifions et substituons d : a12 = a1 + 11 (-4). A partir de cette équation on trouve a1 : a1 = a12 - (-44) ;

Nous connaissons le douzième terme de l'énoncé du problème, nous pouvons donc facilement calculer a1

a1 = 74 + 44 = 118. Passez à la deuxième étape - calcul de a34.

2. Encore une fois, en utilisant la formule an = a1 + (n - 1) d, puisque a1 est déjà connu, nous définirons a34-,

a34 = a1 + (34 - 1) d = 118 + 33 (-4) = 118 - 132 = -14.

Réponse : le trente-quatrième terme de la progression arithmétique est -14.

Comme vous pouvez le voir, la solution du deuxième exemple est plus compliquée. La même formule est utilisée deux fois pour obtenir la réponse. Mais tout est si compliqué. La solution peut être raccourcie en utilisant des formules supplémentaires.

Comme déjà noté, si a1 est connu dans le problème, alors la formule pour déterminer le n-ième terme d'une progression arithmétique est très pratique à utiliser. Mais, si la condition ne spécifie pas le premier terme, alors une formule peut venir à la rescousse qui relie le n-ième terme dont nous avons besoin et le terme ak spécifié dans le problème.

an = ak + (n - k) d.

Résolvons le deuxième exemple, mais en utilisant une nouvelle formule.

Soit : a12 = 74 ; d = -4. Trouver : a34-.

Nous utilisons la formule an = ak + (n - k) d. Dans notre cas, ce sera :

a34 = a12 + (34 - 12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74 - 88 = -14.

La réponse au problème a été reçue beaucoup plus rapidement, car il n'était pas nécessaire d'effectuer des actions supplémentaires et de rechercher le premier terme de la progression.

En utilisant les formules ci-dessus, vous pouvez résoudre des problèmes de calcul de la différence d'une progression arithmétique. Ainsi, en utilisant la formule an = a1 + (n - 1) d, vous pouvez exprimer d :

d = (an - a1) / (n - 1). Cependant, les problèmes avec un premier terme donné ne sont pas si courants, et ils peuvent être résolus en utilisant notre formule an = ak + (n - k) d, à partir de laquelle on voit que d = (an - ak) / (n - k ). Considérons une telle tâche.

Trouvez la différence de la progression arithmétique si l'on sait que a3 = 36 ; a8 = 106.

En utilisant la formule que nous avons obtenue, la solution du problème peut être écrite en une ligne :

d = (a8 - a3) / (8 - 3) = (106 - 36) / 5 = 14.

Sans cette formule dans l'arsenal, la solution du problème aurait pris beaucoup plus de temps, puisque aurait à résoudre un système de deux équations.

Progressions géométriques

1. Formule du ième membre (membre commun de la progression).
2. La formule pour la somme des premiers membres de la progression :. Quand il est d'usage de parler d'une progression géométrique convergente ; dans ce cas, vous pouvez calculer la somme de la progression entière à l'aide de la formule.
3. La formule de la « moyenne géométrique » : si,, sont trois termes consécutifs d'une progression géométrique, alors en vertu de la définition nous avons le rapport : ou ou .