C 8 méthodes de résolution de systèmes d'équations. Résoudre un système d'équations par la méthode de l'addition. Résoudre des systèmes d'équations complexes

Avec cette vidéo, je commence une série de leçons sur les systèmes d'équations. Aujourd'hui, nous allons parler de la résolution de systèmes d'équations linéaires méthode d'addition- c'est l'un des moyens les plus simples, mais en même temps l'un des plus efficaces.

La méthode d'addition se compose de trois étapes simples :

1. Regardez le système et choisissez une variable qui a les mêmes (ou opposés) coefficients dans chaque équation ;
2. Effectuez des soustractions algébriques (pour les nombres opposés - addition) les unes des autres, puis apportez des termes similaires ;
3. Résolvez la nouvelle équation de la deuxième étape.

Si tout est fait correctement, alors à la sortie nous obtiendrons une seule équation avec une variable- il ne sera pas difficile de le résoudre. Ensuite, tout ce qui reste est de substituer la racine trouvée dans le système d'origine et d'obtenir la réponse finale.

Cependant, dans la pratique, les choses ne sont pas si simples. Il y a plusieurs raisons à cela:

• La résolution des équations par la méthode de l'addition implique que toutes les lignes doivent contenir des variables avec des coefficients identiques / opposés. Mais que faire si cette exigence n'est pas remplie ?
• En aucun cas toujours, après avoir ajouté / soustrait des équations de cette manière, nous obtenons une belle construction qui peut être facilement résolue. Est-il possible de simplifier les calculs et d'accélérer les calculs?

Pour avoir une réponse à ces questions, et en même temps pour faire face à quelques subtilités supplémentaires que beaucoup d'étudiants « tombent », regardez ma leçon vidéo :

Avec cette leçon, nous commençons une série de cours sur les systèmes d'équations. Et nous partirons du plus simple d'entre eux, à savoir de ceux qui contiennent deux équations et deux variables. Chacun d'eux sera linéaire.

Les systèmes sont du matériel de 7e année, mais cette leçon sera également utile pour les élèves du secondaire qui souhaitent parfaire leurs connaissances sur le sujet.

En général, il existe deux méthodes pour résoudre de tels systèmes :

1. Méthode d'addition ;
2. Méthode d'expression d'une variable par une autre.

Aujourd'hui, nous traiterons de la première méthode - nous appliquerons la méthode de soustraction et d'addition. Mais pour cela, vous devez comprendre le fait suivant : dès que vous avez deux ou plusieurs équations, vous avez le droit d'en prendre deux et de les additionner. Ils sont additionnés terme par terme, c'est-à-dire "Xs" sont ajoutés avec "Xs" et des similaires sont donnés ;

Le résultat de telles machinations sera une nouvelle équation, qui, si elle a des racines, elles seront nécessairement parmi les racines de l'équation originale. Par conséquent, notre tâche consiste à effectuer la soustraction ou l'addition de manière à ce que $ x $ ou $ y $ disparaisse.

Comment y parvenir et quel outil utiliser pour cela - nous en parlerons maintenant.

Résoudre les problèmes de lumière à l'aide de la méthode de l'addition

Ainsi, nous apprenons à appliquer la méthode d'addition en utilisant l'exemple de deux expressions les plus simples.

Problème numéro 1

\ [\ left \ (\ begin (align) & 5x-4y = 22 \\ & 7x + 4y = 2 \\\ end (align) \ right. \]

Notez que $ y $ a un coefficient dans la première équation $ -4 $ et dans la seconde - $ + 4 $. Ils sont mutuellement opposés, il est donc logique de supposer que si nous les additionnons, alors dans la somme résultante, les "jeux" seront mutuellement détruits. On ajoute et on obtient :

Nous résolvons la conception la plus simple :

Super, nous avons trouvé le X. Que faire de lui maintenant ? Nous avons le droit de le substituer dans n'importe laquelle des équations. Remplaçons dans le premier :

\ [- 4y = 12 \ gauche | : \ gauche (-4 \ droite) \ droite. \]

Réponse : $ \ gauche (2; -3 \ droite) $.

Problème numéro 2

\ [\ left \ (\ begin (align) & -6x + y = 21 \\ & 6x-11y = -51 \\\ end (align) \ right. \]

Ici, la situation est tout à fait similaire, uniquement avec les X. Additionnons-les :

Nous avons l'équation linéaire la plus simple, résolvons-la :

Trouvons maintenant $ x $ :

Réponse : $ \ gauche (-3; 3 \ droite) $.

Les points importants

Nous venons donc de résoudre les deux systèmes d'équations linéaires les plus simples par la méthode de l'addition. Encore une fois les points clés :

1. S'il y a des coefficients opposés pour l'une des variables, alors il est nécessaire d'ajouter toutes les variables dans l'équation. Dans ce cas, l'un d'eux sera détruit.
2. Nous substituons la variable trouvée dans l'une des équations du système pour trouver la seconde.
3. L'enregistrement final de la réponse peut être présenté de différentes manières. Par exemple, donc - $ x = ..., y = ... $, ou sous la forme de coordonnées de points - $ \ left (...; ... \ right) $. La deuxième option est préférable. La principale chose à retenir est que la première coordonnée est $ x $ et la seconde est $ y $.
4. La règle d'écrire la réponse sous forme de coordonnées de points ne s'applique pas toujours. Par exemple, il ne peut pas être utilisé lorsque les variables ne sont pas $ x $ et $ y $, mais, par exemple, $ a $ et $ b $.

Dans les problèmes suivants, nous examinerons la technique de soustraction lorsque les coefficients ne sont pas opposés.

Résoudre des problèmes simples à l'aide de la méthode de soustraction

Problème numéro 1

\ [\ gauche \ (\ begin (align) & 10x-3y = 5 \\ & -6x-3y = -27 \\\ end (align) \ right. \]

Notez qu'il n'y a pas de coefficients opposés ici, mais il y en a des identiques. Par conséquent, nous soustrayons la seconde de la première équation :

Maintenant, nous substituons la valeur de $ x $ dans l'une des équations du système. Commençons par :

Réponse : $ \ gauche (2 ; 5 \ droite) $.

Problème numéro 2

\ [\ gauche \ (\ begin (align) & 5x + 4y = -22 \\ & 5x-2y = -4 \\\ end (align) \ right. \]

Encore une fois, nous voyons le même coefficient de 5 $ à $ x $ dans les première et deuxième équations. Par conséquent, il est logique de supposer que vous devez soustraire la seconde de la première équation :

Nous avons calculé une variable. Trouvons maintenant le deuxième, par exemple, en substituant la valeur de $ y $ dans la deuxième construction :

Réponse : $ \ gauche (-3; -2 \ droite) $.

Nuances de solution

Alors que voyons-nous? En substance, le schéma n'est pas différent de la solution des systèmes précédents. La seule différence est que nous n'ajoutons pas les équations, mais les soustrayons. Nous faisons des soustractions algébriques.

En d'autres termes, dès que vous voyez un système de deux équations à deux inconnues, la première chose que vous devez regarder, ce sont les coefficients. Si elles sont identiques n'importe où, les équations sont soustraites, et si elles sont opposées, la méthode de l'addition est appliquée. Ceci est toujours fait pour que l'une d'entre elles disparaisse et qu'il ne reste qu'une variable dans l'équation finale, qui reste après soustraction.

Bien sûr, ce n'est pas tout. Nous allons maintenant considérer des systèmes dans lesquels les équations sont généralement inconsistantes. Celles. il n'y a pas de variables en eux qui seraient identiques ou opposées. Dans ce cas, une technique supplémentaire est utilisée pour résoudre de tels systèmes, à savoir la multiplication de chacune des équations par un coefficient spécial. Comment le trouver et comment résoudre de tels systèmes en général, nous allons maintenant en parler.

Résolution de problèmes en multipliant par coefficient

Exemple n°1

\ [\ left \ (\ begin (align) & 5x-9y = 38 \\ & 3x + 2y = 8 \\\ end (align) \ right. \]

On voit que ni pour $ x $ ni pour $ y $ les coefficients non seulement ne sont pas opposés entre eux, mais généralement ne sont en aucune façon corrélés avec une autre équation. Ces coefficients ne disparaîtront en aucun cas, même si nous ajoutons ou soustrayons les équations les unes aux autres. Par conséquent, il est nécessaire d'appliquer la multiplication. Essayons de nous débarrasser de la variable $ y $. Pour ce faire, nous multiplions la première équation par le coefficient à $ y $ de la deuxième équation, et la deuxième équation - à $ y $ de la première équation, sans changer le signe. Nous multiplions et obtenons un nouveau système :

\ [\ gauche \ (\ begin (align) & 10x-18y = 76 \\ & 27x + 18y = 72 \\\ end (align) \ right. \]

On le regarde : pour $ y $, coefficients opposés. Dans une telle situation, il est nécessaire d'appliquer la méthode de l'addition. Ajoutons :

Maintenant, nous devons trouver $ y $. Pour ce faire, remplacez $ x $ dans la première expression :

\ [- 9y = 18 \ gauche | : \ gauche (-9 \ droite) \ droite. \]

Réponse : $ \ gauche (4; -2 \ droite) $.

Exemple n°2

\ [\ gauche \ (\ begin (align) & 11x + 4y = -18 \\ & 13x-6y = -32 \\\ end (align) \ right. \]

Encore une fois, les coefficients de chacune des variables ne sont pas cohérents. Multiplions par les coefficients à $ y $ :

\ [\ gauche \ (\ début (aligner) & 11x + 4y = -18 \ gauche | 6 \ droite. \\ & 13x-6y = -32 \ gauche | 4 \ droite. \\\ fin (aligner) \ droite . \]

\ [\ gauche \ (\ begin (align) & 66x + 24y = -108 \\ & 52x-24y = -128 \\\ end (align) \ right. \]

Notre nouveau système est équivalent au précédent, mais les coefficients de $ y $ sont mutuellement opposés, et il est donc facile d'appliquer la méthode d'addition ici :

Maintenant, nous trouvons $ y $ en substituant $ x $ dans la première équation :

Réponse : $ \ gauche (-2 ; 1 \ droite) $.

Nuances de solution

La règle clé ici est la suivante : nous multiplions toujours uniquement par des nombres positifs - cela vous évitera des erreurs stupides et offensantes associées au changement de signes. En général, le schéma de solution est assez simple :

1. Nous regardons le système et analysons chaque équation.
2. Si nous voyons que ni pour $ y $, ni pour $ x $ les coefficients ne sont pas cohérents, c'est-à-dire elles ne sont ni égales ni opposées, alors on fait la chose suivante : choisir la variable dont on veut se débarrasser, puis regarder les coefficients de ces équations. Si nous multiplions la première équation par le coefficient de la seconde, et la seconde, respectivement, nous multiplions par le coefficient de la première, alors à la fin nous obtenons un système qui est complètement équivalent au précédent, et les coefficients pour $ y $ sera cohérent. Toutes nos actions ou transformations ne visent qu'à obtenir une variable dans une équation.
3. Nous trouvons une variable.
4. Nous substituons la variable trouvée dans l'une des deux équations du système et trouvons la seconde.
5. On écrit la réponse sous forme de coordonnées de points, si on a des variables $ x $ et $ y $.

Mais même un algorithme aussi simple a ses propres subtilités, par exemple, les coefficients de $ x $ ou $ y $ peuvent être des fractions et d'autres nombres "moches". Nous allons maintenant considérer ces cas séparément, car on peut y agir un peu différemment que selon l'algorithme standard.

Résoudre des problèmes avec des nombres fractionnaires

Exemple n°1

\ [\ gauche \ (\ begin (align) & 4m-3n = 32 \\ & 0.8m + 2.5n = -6 \\\ end (align) \ right. \]

Tout d'abord, notez qu'il y a des fractions dans la deuxième équation. Mais notez que vous pouvez diviser 4$ par 0,8$. On obtient 5$. Multiplions la deuxième équation par 5$ :

\ [\ gauche \ (\ début (aligner) & 4m-3n = 32 \\ & 4m + 12,5m = -30 \\\ fin (aligner) \ droite. \]

Soustraire les équations les unes des autres :

Nous avons trouvé $ n $, calculons maintenant $ m $ :

Réponse : $ n = -4 ; m = 5 $

Exemple n°2

\ [\ gauche \ (\ début (aligner) & 2.5p + 1.5k = -13 \ gauche | 4 \ droite. \\ & 2p-5k = 2 \ gauche | 5 \ droite. \\\ fin (aligner ) \ à droite. \]

Ici, comme dans le système précédent, il existe des coefficients fractionnaires, cependant, pour aucune des variables, les coefficients ne s'emboîtent les uns dans les autres un nombre entier de fois. Par conséquent, nous utilisons l'algorithme standard. Débarrassez-vous de $ p $ :

\ [\ gauche \ (\ begin (align) & 5p + 3k = -26 \\ & 5p-12,5k = 5 \\\ end (align) \ right. \]

Nous appliquons la méthode de soustraction :

Trouvons $ p $ en branchant $ k $ dans la deuxième construction :

Réponse : $ p = -4 ; k = -2 $.

Nuances de solution

C'est toute l'optimisation. Dans la première équation, nous n'avons multiplié par rien du tout, et la deuxième équation a été multipliée par 5 $. En conséquence, nous avons obtenu une équation cohérente et même la même pour la première variable. Dans le second système, nous avons suivi l'algorithme standard.

Mais comment trouves-tu les nombres par lesquels tu dois multiplier les équations ? Après tout, si nous multiplions par des nombres fractionnaires, nous obtenons de nouvelles fractions. Par conséquent, les fractions doivent être multipliées par un nombre qui donnerait un nouvel entier, et seulement après cela, les variables doivent être multipliées par des coefficients, en suivant l'algorithme standard.

En conclusion, je voudrais attirer votre attention sur le format de l'enregistrement des réponses. Comme je l'ai déjà dit, puisqu'ici nous n'avons pas $ x $ et $ y $ ici, mais d'autres valeurs, nous utilisons une notation non standard de la forme :

Résoudre des systèmes d'équations complexes

En guise d'accord final au didacticiel vidéo d'aujourd'hui, jetons un coup d'œil à quelques systèmes très complexes. Leur complexité consistera dans le fait qu'ils contiendront des variables à gauche et à droite. Par conséquent, pour les résoudre, nous devrons appliquer un pré-traitement.

Système n°1

\ [\ left \ (\ begin (align) & 3 \ left (2x-y \ right) + 5 = -2 \ left (x + 3y \ right) +4 \\ & 6 \ left (y + 1 \ right ) -1 = 5 \ gauche (2x-1 \ droite) +8 \\\ fin (aligner) \ droite. \]

Chaque équation comporte une certaine complexité. Par conséquent, pour chaque expression, procédons comme avec une construction linéaire normale.

Au total, nous obtiendrons le système final, qui est équivalent à celui d'origine :

\ [\ left \ (\ begin (align) & 8x + 3y = -1 \\ & -10x + 6y = -2 \\\ end (align) \ right. \]

Regardons les coefficients pour $ y $ : $ 3 $ rentre deux fois dans $ 6 $, nous multiplions donc la première équation par $ 2 $ :

\ [\ left \ (\ begin (align) & 16x + 6y = -2 \\ & -10 + 6y = -2 \\\ end (align) \ right. \]

Les coefficients à $ y $ sont maintenant égaux, donc on soustrait le second de la première équation : $$

Trouvons maintenant $ y $ :

Réponse : $ \ gauche (0; - \ frac (1) (3) \ droite) $

Système n°2

\ [\ gauche \ (\ commencer (aligner) & 4 \ gauche (a-3b \ droite) -2a = 3 \ gauche (b + 4 \ droite) -11 \\ & -3 \ gauche (b-2a \ droite ) -12 = 2 \ gauche (a-5 \ droite) + b \\\ fin (aligner) \ droite. \]

Transformons la première expression :

On s'occupe de la seconde :

\ [- 3 \ gauche (b-2a \ droite) -12 = 2 \ gauche (a-5 \ droite) + b \]

\ [- 3b + 6a-12 = 2a-10 + b \]

\ [- 3b + 6a-2a-b = -10 + 12 \]

Ainsi, notre système initial ressemblera à ceci :

\ [\ gauche \ (\ début (aligner) & 2a-15b = 1 \\ & 4a-4b = 2 \\\ fin (aligner) \ droite. \]

En regardant les coefficients pour $ a $, nous voyons que la première équation doit être multipliée par $ 2 $ :

\ [\ gauche \ (\ début (aligner) & 4a-30b = 2 \\ & 4a-4b = 2 \\\ fin (aligner) \ droite. \]

Soustrayez la seconde de la première construction :

Trouvons maintenant $ a $ :

Réponse : $\gauche (a = \frac (1) (2); b = 0\droite) $.

C'est tout. J'espère que ce didacticiel vidéo vous aidera à comprendre ce sujet difficile, à savoir la résolution de systèmes d'équations linéaires simples. Il y aura beaucoup plus de leçons sur ce sujet plus tard : nous analyserons des exemples plus complexes, où il y aura plus de variables, et les équations elles-mêmes seront déjà non linéaires. Jusqu'à la prochaine fois!

Habituellement, les équations du système sont écrites dans une colonne l'une en dessous de l'autre et combinées avec une accolade

Un système d'équations de cette forme, où a, b, c- des nombres, et x, y- variables appelées système d'équations linéaires.

Lors de la résolution d'un système d'équations, des propriétés sont utilisées qui sont valables pour la résolution d'équations.

Solution d'un système d'équations linéaires par méthode de substitution

Prenons un exemple

1) Exprimez la variable dans l'une des équations. Par exemple, on exprime oui dans la première équation, on obtient le système :

2) Substituer dans la deuxième équation du système au lieu de oui expression 3x-7:

3) On résout la deuxième équation résultante :

4) On substitue la solution obtenue dans la première équation du système :

Le système d'équations a une solution unique : une paire de nombres x = 1, y = -4... Réponse: (1; -4) , écrit entre parenthèses, en première position la valeur X, Le deuxième - oui.

Résoudre un système d'équations linéaires par la méthode de l'addition

Résolvons le système d'équations de l'exemple précédent par la méthode de l'addition.

1) Transformer le système pour que les coefficients d'une des variables deviennent opposés. Multiplions la première équation du système par "3".

2) Additionner les équations du système terme à terme. La deuxième équation du système (toute) est réécrite sans modifications.

3) On substitue la solution obtenue dans la première équation du système :

Résoudre graphiquement un système d'équations linéaires

La résolution graphique d'un système d'équations à deux variables se réduit à trouver les coordonnées des points communs des graphiques des équations.

Le graphique d'une fonction linéaire est une ligne droite. Deux droites sur un plan peuvent se couper en un point, être parallèles ou coïncider. En conséquence, le système d'équations peut : a) avoir une solution unique ; b) n'ont pas de solutions ; c) avoir un nombre infini de solutions.

2) La solution du système d'équations est le point (si les équations sont linéaires) d'intersection des graphiques.

Solution graphique du système

Méthode d'introduction de nouvelles variables

La modification des variables peut conduire à la résolution d'un système d'équations plus simple que celui d'origine.

Considérez la solution du système

Nous introduisons un remplacement, puis

Passer aux variables d'origine

Cas spéciaux

Sans résoudre le système d'équations linéaires, on peut déterminer le nombre de ses solutions par les coefficients des variables correspondantes.

La résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires (SLAE) est sans aucun doute le sujet le plus important du cours d'algèbre linéaire. Un grand nombre de problèmes de toutes les branches des mathématiques est réduit à résoudre des systèmes d'équations linéaires. Ces facteurs expliquent la raison de la création de cet article. Le matériau de l'article est sélectionné et structuré de manière à ce qu'avec son aide, vous puissiez

• choisir la méthode optimale pour résoudre votre système d'équations algébriques linéaires,
• étudier la théorie de la méthode choisie,
• Résolvez votre système d'équations linéaires en considérant en détail les solutions analysées d'exemples et de problèmes typiques.

Brève description du matériel de l'article.

Tout d'abord, nous donnons toutes les définitions et concepts nécessaires et introduisons la notation.

Ensuite, nous considérerons des méthodes de résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires dans lesquelles le nombre d'équations est égal au nombre de variables inconnues et qui ont une solution unique. Attardons-nous d'abord sur la méthode de Cramer, deuxièmement, montrons une méthode matricielle pour résoudre de tels systèmes d'équations, et troisièmement, analysons la méthode de Gauss (la méthode d'élimination successive des variables inconnues). Pour consolider la théorie, nous allons certainement résoudre plusieurs SLAE de différentes manières.

Après cela, nous nous tournons vers la résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale, dans lesquels le nombre d'équations ne coïncide pas avec le nombre de variables inconnues ou la matrice principale du système est dégénérée. Formulons le théorème de Kronecker - Capelli, qui permet d'établir la compatibilité des SLAE. Analysons la solution des systèmes (dans le cas de leur compatibilité) en utilisant le concept de mineur de base d'une matrice. Nous considérerons également la méthode de Gauss et décrirons en détail les solutions des exemples.

Nous nous attarderons certainement sur la structure de la solution générale des systèmes homogènes et inhomogènes d'équations algébriques linéaires. Donnons le concept de système fondamental de solutions et montrons comment la solution générale d'un SLAE s'écrit en utilisant les vecteurs du système fondamental de solutions. Pour une meilleure compréhension, regardons quelques exemples.

En conclusion, nous considérons des systèmes d'équations qui se réduisent à des équations linéaires, ainsi que divers problèmes, dans la solution desquels surviennent des SLAE.

Navigation dans les pages.

Définitions, concepts, désignations.

Nous considérerons des systèmes de p équations algébriques linéaires à n variables inconnues (p peut être égal à n) de la forme

Des variables inconnues, - des coefficients (certains nombres réels ou complexes), - des termes libres (également des nombres réels ou complexes).

Cette forme de notation SLAE est appelée coordonner.

V forme matricielle notation, ce système d'équations a la forme,
où - la matrice principale du système, - la matrice-colonne des variables inconnues, - la matrice-colonne des membres libres.

Si nous ajoutons à la matrice A en tant que (n + 1) ème colonne la matrice-colonne de termes libres, alors nous obtenons ce que l'on appelle matrice étendue systèmes d'équations linéaires. Habituellement, la matrice développée est désignée par la lettre T et la colonne des membres libres est séparée par une ligne verticale du reste des colonnes, c'est-à-dire

En résolvant un système d'équations algébriques linéaires est un ensemble de valeurs de variables inconnues qui convertit toutes les équations du système en identités. L'équation matricielle pour les valeurs données des variables inconnues se transforme également en une identité.

Si un système d'équations a au moins une solution, alors il est appelé découper.

Si le système d'équations n'a pas de solutions, alors il est appelé inconsistant.

Si le SLAE a une solution unique, alors il est appelé un certain; s'il y a plus d'une solution, alors - indéfini.

Si les termes libres de toutes les équations du système sont égaux à zéro , alors le système est appelé homogène, autrement - hétérogène.

Solution de systèmes élémentaires d'équations algébriques linéaires.

Si le nombre d'équations du système est égal au nombre de variables inconnues et que le déterminant de sa matrice principale n'est pas égal à zéro, alors ces SLAE seront appelées élémentaire... De tels systèmes d'équations ont une solution unique, et dans le cas d'un système homogène toutes les variables inconnues sont égales à zéro.

Nous avons commencé à étudier ces SLAE au lycée. Lors de leur résolution, nous avons pris une équation, exprimé une variable inconnue en termes d'autres et l'avons substituée dans les équations restantes, puis nous avons pris l'équation suivante, exprimé la variable inconnue suivante et l'avons substituée dans d'autres équations, et ainsi de suite. Ou ils ont utilisé la méthode de l'addition, c'est-à-dire qu'ils ont ajouté deux ou plusieurs équations pour éliminer certaines variables inconnues. Nous ne nous attarderons pas sur ces méthodes, puisqu'il s'agit en fait de modifications de la méthode de Gauss.

Les principales méthodes de résolution de systèmes élémentaires d'équations linéaires sont la méthode de Cramer, la méthode matricielle et la méthode de Gauss. Analysons-les.

Résolution de systèmes d'équations linéaires par la méthode de Cramer.

Supposons que nous ayons besoin de résoudre un système d'équations algébriques linéaires

dans laquelle le nombre d'équations est égal au nombre de variables inconnues et le déterminant de la matrice principale du système est non nul, c'est-à-dire.

Soit le déterminant de la matrice principale du système, et - les déterminants des matrices, qui sont obtenus à partir de A en remplaçant 1er, 2e, ..., nième colonne, respectivement, à la colonne des membres libres :

Avec cette notation, les variables inconnues sont calculées par les formules de la méthode de Cramer comme ... C'est ainsi que la solution d'un système d'équations algébriques linéaires est trouvée par la méthode de Cramer.

Exemple.

La méthode de Cramer .

Solution.

La matrice principale du système a la forme ... Calculons son déterminant (si nécessaire, voir l'article) :

Puisque le déterminant de la matrice principale du système est non nul, le système a une solution unique qui peut être trouvée par la méthode de Cramer.

Composons et calculons les déterminants nécessaires (le déterminant est obtenu en remplaçant la première colonne de la matrice A par une colonne de membres libres, le déterminant - en remplaçant la deuxième colonne par une colonne de membres libres, - en remplaçant la troisième colonne de la matrice A par une colonne de membres libres ):

Trouver des variables inconnues par les formules :

Réponse:

Le principal inconvénient de la méthode de Cramer (si on peut l'appeler un inconvénient) est la complexité du calcul des déterminants lorsque le nombre d'équations dans le système est supérieur à trois.

Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires par la méthode matricielle (en utilisant la matrice inverse).

Soit le système d'équations algébriques linéaires sous forme matricielle, où la matrice A a une dimension n par n et son déterminant est non nul.

Puisque la matrice A est inversible, c'est-à-dire qu'il existe une matrice inverse. Si nous multiplions les deux côtés de l'égalité par la gauche, nous obtenons une formule pour trouver la matrice de colonnes des variables inconnues. Nous avons donc obtenu la solution d'un système d'équations algébriques linéaires par la méthode matricielle.

Exemple.

Résoudre un système d'équations linéaires méthode matricielle.

Solution.

Réécrivons le système d'équations sous forme matricielle :

Parce que

alors SLAE peut être résolu par la méthode matricielle. En utilisant la matrice inverse, la solution de ce système peut être trouvée comme .

Construisons une matrice inverse à l'aide d'une matrice de compléments algébriques d'éléments de la matrice A (si nécessaire, voir l'article) :

Il reste à calculer - la matrice des variables inconnues en multipliant la matrice inverse à une matrice de colonnes de membres libres (voir l'article si besoin) :

Réponse:

ou dans une autre notation x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Le principal problème pour trouver une solution aux systèmes d'équations algébriques linéaires par la méthode matricielle est la complexité de trouver la matrice inverse, en particulier pour les matrices carrées d'ordre supérieur au tiers.

Solution de systèmes d'équations linéaires par la méthode de Gauss.

Supposons que nous ayons besoin de trouver une solution à un système de n équations linéaires avec n variables inconnues
dont le déterminant de la matrice principale est non nul.

L'essence de la méthode de Gauss consiste en l'élimination successive des variables inconnues : d'abord, x 1 est exclu de toutes les équations du système, en commençant par la seconde, puis x 2 est exclu de toutes les équations, en commençant par la troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce que seule la variable inconnue xn reste dans la dernière équation. Un tel processus de transformation des équations du système pour l'élimination successive des variables inconnues est appelé par le cours direct de la méthode de Gauss... Après avoir terminé l'exécution de la méthode de Gauss, x n est trouvé à partir de la dernière équation, en utilisant cette valeur, x n-1 est calculé à partir de l'avant-dernière équation, et ainsi de suite, x 1 est trouvé à partir de la première équation. Le processus de calcul des variables inconnues lors du passage de la dernière équation du système à la première est appelé méthode gaussienne en arrière.

Décrivons brièvement l'algorithme d'élimination des variables inconnues.

Nous supposerons cela, car nous pouvons toujours y parvenir en réarrangeant les équations du système. Éliminez la variable inconnue x 1 de toutes les équations du système, en commençant par la seconde. Pour ce faire, à la deuxième équation du système, nous ajoutons la première, multipliée par, à la troisième équation, nous ajoutons la première, multipliée par, et ainsi de suite, à la n-ième équation, nous ajoutons la première, multipliée par. Le système d'équations après de telles transformations prend la forme

où et .

Nous arriverions au même résultat si nous exprimions x 1 en termes d'autres variables inconnues dans la première équation du système et substituions l'expression résultante dans toutes les autres équations. Ainsi, la variable x 1 est exclue de toutes les équations, en commençant par la seconde.

Ensuite, nous agissons de manière similaire, mais seulement avec une partie du système résultant, qui est marqué sur la figure

Pour ce faire, à la troisième équation du système on ajoute la seconde multipliée par, à la quatrième équation on ajoute la seconde multipliée par, et ainsi de suite, à la n-ième équation on ajoute la seconde multipliée par. Le système d'équations après de telles transformations prend la forme

où et ... Ainsi, la variable x 2 est exclue de toutes les équations, en commençant par la troisième.

Ensuite, nous procédons à l'élimination de l'inconnu x 3, tandis que nous agissons de même avec la partie du système marquée sur la figure

On continue donc le cours direct de la méthode de Gauss jusqu'à ce que le système prenne la forme

A partir de ce moment, on commence le cours inverse de la méthode de Gauss : on calcule xn à partir de la dernière équation car, en utilisant la valeur obtenue de xn, on trouve x n-1 à partir de l'avant-dernière équation, et ainsi de suite, on trouve x 1 à partir de la première équation.

Exemple.

Résoudre un système d'équations linéaires par la méthode de Gauss.

Solution.

Éliminez la variable inconnue x 1 des deuxième et troisième équations du système. Pour ce faire, ajoutez les parties correspondantes de la première équation, multipliées par et par, aux deux côtés des deuxième et troisième équations :

Maintenant, nous excluons x 2 de la troisième équation en ajoutant à ses côtés gauche et droit les côtés gauche et droit de la deuxième équation, multipliés par :

À ce stade, le mouvement vers l'avant de la méthode de Gauss est terminé, nous commençons le mouvement inverse.

A partir de la dernière équation du système d'équations résultant, on trouve x 3:

De la deuxième équation, nous obtenons.

A partir de la première équation, on retrouve la variable inconnue restante et cela achève le parcours inverse de la méthode de Gauss.

Réponse:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Solution de systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

Dans le cas général, le nombre d'équations du système p ne coïncide pas avec le nombre d'inconnues n :

De tels SLAE peuvent n'avoir aucune solution, avoir une solution unique ou avoir une infinité de solutions. Cette affirmation s'applique également aux systèmes d'équations dont la matrice de base est carrée et dégénérée.

Le théorème de Kronecker-Capelli.

Avant de trouver une solution à un système d'équations linéaires, il est nécessaire d'établir sa compatibilité. La réponse à la question quand le SLAE est compatible et quand il est incompatible est donnée par le théorème de Kronecker - Capelli:
pour qu'un système de p équations à n inconnues (p peut être égal à n) soit cohérent, il faut et il suffit que le rang de la matrice principale du système soit égal au rang de la matrice étendue, c'est-à-dire Rang (A) = Rang (T).

Considérons par exemple l'application du théorème de Kronecker - Capelli pour déterminer la compatibilité d'un système d'équations linéaires.

Exemple.

Découvrez si le système d'équations linéaires solutions.

Solution.

... Utilisons la méthode des mineurs riverains. Mineur du second ordre non nul. Trions les mineurs de troisième ordre qui la bordent :

Puisque tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, le rang de la matrice principale est de deux.

À son tour, le rang de la matrice étendue est égal à trois, puisque le mineur de troisième ordre

non nul.

De cette façon, Rang (A), donc, par le théorème de Kronecker - Capelli, nous pouvons conclure que le système original d'équations linéaires est incohérent.

Réponse:

Le système n'a pas de solutions.

Ainsi, nous avons appris à établir l'incohérence du système en utilisant le théorème de Kronecker - Capelli.

Mais comment trouver une solution à un SLAE si sa compatibilité a été établie ?

Pour ce faire, nous avons besoin du concept de mineur de base d'une matrice et d'un théorème sur le rang d'une matrice.

Le mineur d'ordre le plus élevé de la matrice A, autre que zéro, est appelé de base.

Il résulte de la définition d'un mineur de base que son ordre est égal au rang de la matrice. Pour une matrice A non nulle, il peut y avoir plusieurs mineurs de base, il y a toujours un mineur de base.

Par exemple, considérons la matrice .

Tous les mineurs de troisième ordre de cette matrice sont égaux à zéro, puisque les éléments de la troisième rangée de cette matrice sont la somme des éléments correspondants des première et deuxième rangées.

Les mineurs de second ordre suivants sont basiques, car ils ne sont pas nuls

Mineurs ne sont pas basiques, puisqu'ils sont égaux à zéro.

Théorème des rangs matriciels.

Si le rang d'une matrice d'ordre p par n est égal à r, alors tous les éléments des lignes (et colonnes) de la matrice qui ne forment pas le mineur de base sélectionné sont exprimés linéairement en fonction des éléments correspondants des lignes ( et colonnes) qui forment la mineure de base.

Que nous donne le théorème des rangs matriciels ?

Si, par le théorème de Kronecker - Capelli, nous avons établi la compatibilité du système, alors nous choisissons n'importe quel mineur de base de la matrice de base du système (son ordre est r), et nous excluons du système toutes les équations qui ne forment pas la mineure de base choisie. Le SLAE obtenu de cette manière sera équivalent à celui d'origine, car les équations écartées sont toujours redondantes (selon le théorème des rangs matriciels, elles sont une combinaison linéaire des équations restantes).

En conséquence, après avoir écarté les équations inutiles du système, deux cas sont possibles.

Si le nombre d'équations r dans le système résultant est égal au nombre de variables inconnues, alors il sera défini et la seule solution pourra être trouvée par la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Exemple.

.

Solution.

Le rang de la matrice principale du système est égal à deux, puisque le mineur du second ordre non nul. Rang de matrice étendu est également égal à deux, puisque le seul mineur du troisième ordre est égal à zéro

et le mineur de second ordre considéré ci-dessus est différent de zéro. Sur la base du théorème de Kronecker - Capelli, nous pouvons affirmer la compatibilité du système original d'équations linéaires, puisque Rang (A) = Rang (T) = 2.

Nous prenons comme mineur de base ... Il est formé par les coefficients des première et deuxième équations :


La troisième équation du système ne participe pas à la formation du mineur de base ; donc, nous l'excluons du système basé sur le théorème sur le rang de la matrice :


C'est ainsi que nous avons obtenu un système élémentaire d'équations algébriques linéaires. Résolvons-le en utilisant la méthode de Cramer :


Réponse:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Si le nombre d'équations r dans le SLAE obtenu est inférieur au nombre de variables inconnues n, alors dans les côtés gauche des équations, nous laissons les termes formant le mineur de base, le reste des termes est transféré vers la droite. côtés des équations du système de signe opposé.

Les variables inconnues (il y en a r) restant dans les membres de gauche des équations sont appelées le principal.

Les variables inconnues (il y a n - r morceaux) qui apparaissent dans les côtés droits sont appelées gratuit.

Maintenant, nous supposons que les variables inconnues libres peuvent prendre des valeurs arbitraires, et r variables inconnues de base seront exprimées en termes de variables inconnues libres d'une manière unique. Leur expression peut être trouvée en résolvant le SLAE obtenu par la méthode de Cramer, par la méthode matricielle ou par la méthode de Gauss.

Prenons un exemple.

Exemple.

Résoudre un système d'équations algébriques linéaires .

Solution.

Trouver le rang de la matrice principale du système par la méthode des mineurs limitrophes. Nous prenons un 1 1 = 1 comme mineur de premier ordre non nul. Commençons par chercher un mineur de second ordre non nul qui entoure ce mineur :


C'est ainsi que nous avons trouvé un mineur de second ordre non nul. Commençons à chercher un mineur limitrophe de troisième ordre non nul :


Ainsi, le rang de la matrice principale est de trois. Le rang de la matrice étendue est également de trois, c'est-à-dire que le système est cohérent.

Nous prenons le mineur de troisième ordre non nul trouvé comme le mineur de base.

Pour plus de clarté, nous montrons les éléments qui forment la mineure de base :


Nous laissons sur le côté gauche des équations du système les termes participant au mineur de base, transférons le reste avec des signes opposés vers les côtés droits :


Attribuons des valeurs arbitraires aux variables inconnues libres x 2 et x 5, c'est-à-dire que nous prenons , où sont des nombres arbitraires. Dans ce cas, le SLAE prendra la forme


Le système élémentaire résultant d'équations algébriques linéaires est résolu par la méthode de Cramer :


D'où, .

N'oubliez pas d'indiquer les variables inconnues libres dans votre réponse.

Réponse:

Où sont les nombres arbitraires.

Résumer.

Pour résoudre un système d'équations algébriques linéaires de forme générale, nous cherchons d'abord sa compatibilité en utilisant le théorème de Kronecker - Capelli. Si le rang de la matrice principale n'est pas égal au rang de la matrice étendue, alors nous concluons que le système est incompatible.

Si le rang de la matrice principale est égal au rang de la matrice étendue, alors nous choisissons la mineure de base et écartons les équations du système qui ne participent pas à la formation de la mineure de base sélectionnée.

Si l'ordre du mineur de base est égal au nombre de variables inconnues, alors le SLAE a une solution unique, que nous trouvons par n'importe quelle méthode connue.

Si l'ordre du mineur de base est inférieur au nombre de variables inconnues, alors sur le côté gauche des équations du système, nous laissons les termes avec les variables inconnues de base, transférons les termes restants aux côtés droits et donner des valeurs arbitraires aux variables inconnues libres. A partir du système d'équations linéaires résultant, on retrouve les principales variables inconnues par la méthode de Cramer, la méthode matricielle, ou la méthode de Gauss.

Méthode de Gauss pour la résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

La méthode de Gauss peut être utilisée pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires de toute sorte sans d'abord les examiner pour la compatibilité. Le processus d'élimination successive des variables inconnues permet de conclure à la fois à la compatibilité et à l'incompatibilité du SLAE, et si une solution existe, il permet de la trouver.

Du point de vue du travail de calcul, la méthode gaussienne est préférable.

Voir sa description détaillée et les exemples analysés dans l'article Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

Écriture de la solution générale de systèmes algébriques linéaires homogènes et inhomogènes en utilisant les vecteurs du système fondamental de solutions.

Dans cette section, nous nous concentrerons sur les systèmes homogènes et inhomogènes compatibles d'équations algébriques linéaires avec un ensemble infini de solutions.

Intéressons-nous d'abord aux systèmes homogènes.

Système de décision fondamental Un système homogène de p équations algébriques linéaires avec n variables inconnues est l'ensemble (n - r) des solutions linéairement indépendantes de ce système, où r est l'ordre du mineur de base de la matrice de base du système.

Si nous désignons les solutions linéairement indépendantes d'un SLAE homogène par X (1), X (2),…, X (nr) (X (1), X (2),…, X (nr) sont n-par-1 matrices colonnes) , alors la solution générale de ce système homogène est représentée sous la forme d'une combinaison linéaire de vecteurs du système fondamental de solutions à coefficients constants arbitraires С 1, С 2, ..., (nr), c'est-à-dire ,.

Que signifie le terme solution générale d'un système homogène d'équations algébriques linéaires (oroslau) ?

Le sens est simple : la formule spécifie toutes les solutions possibles au SLAE d'origine, en d'autres termes, en prenant n'importe quel ensemble de valeurs de constantes arbitraires С 1, С 2, ..., С (nr), selon la formule que nous obtenir l'une des solutions du SLAE homogène d'origine.

Ainsi, si nous trouvons un système fondamental de solutions, alors nous pouvons définir toutes les solutions de cette SLAE homogène comme.

Montrons le processus de construction d'un système fondamental de solutions à un SLAE homogène.

Nous choisissons le mineur de base du système d'équations linéaires d'origine, excluons toutes les autres équations du système et transférons tous les termes contenant des variables inconnues libres aux membres de droite des équations du système de signes opposés. Donnons aux variables inconnues libres les valeurs 1,0,0, ..., 0 et calculons les inconnues de base en résolvant le système élémentaire d'équations linéaires résultant de quelque manière que ce soit, par exemple, par la méthode de Cramer. Cela donnera X (1) - la première solution du système fondamental. Si on donne aux inconnues libres les valeurs 0,1,0,0, ..., 0 et calcule les inconnues principales, on obtient X (2). Etc. Si nous donnons les valeurs 0,0, ..., 0,1 aux variables inconnues libres et calculons les inconnues de base, nous obtenons X (n-r). C'est ainsi que sera construit le système fondamental de solutions d'un SLAE homogène et que sa solution générale pourra s'écrire sous la forme .

Pour les systèmes inhomogènes d'équations algébriques linéaires, la solution générale est représentée sous la forme, où est la solution générale du système homogène correspondant, et est la solution particulière du SLAE inhomogène d'origine, que nous obtenons en donnant aux inconnues libres les valeurs ​​0,0, ..., 0 et calcul des valeurs des principales inconnues.

Jetons un coup d'oeil à des exemples.

Exemple.

Trouver le système fondamental de solutions et la solution générale du système homogène d'équations algébriques linéaires .

Solution.

Le rang de la matrice principale des systèmes homogènes d'équations linéaires est toujours égal au rang de la matrice étendue. Retrouvons le rang de la matrice principale par la méthode des mineurs limitrophes. Comme mineur du premier ordre non nul, on prend l'élément a 1 1 = 9 de la matrice principale du système. Trouvez un mineur de second ordre non nul limitrophe :

Un mineur de second ordre non nul a été trouvé. Parcourons les mineurs de troisième ordre qui le bordent à la recherche d'un non nul :

Tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, par conséquent, le rang des matrices principale et étendue est égal à deux. Prenez comme un mineur de base. Pour plus de clarté, on note les éléments du système qui le composent :

La troisième équation du SLAE d'origine ne participe pas à la formation de la mineure de base, elle peut donc être exclue :

On laisse à droite des équations les termes contenant les principales inconnues, et à droite on reporte les termes à inconnues libres :

Construisons un système fondamental de solutions au système homogène original d'équations linéaires. Le système fondamental de solutions de ce SLAE se compose de deux solutions, puisque le SLAE d'origine contient quatre variables inconnues et que l'ordre de sa mineure de base est de deux. Pour trouver X (1), on affecte aux variables inconnues libres les valeurs x 2 = 1, x 4 = 0, puis on retrouve les principales inconnues du système d'équations
.

Équation linéaire - une équation de la forme a x = b, où x est une variable, a et b sont des nombres, et a ≠ 0.

Exemples d'équations linéaires :

1. 3x = 2

1. 2 7 x = - 5

Les équations linéaires sont appelées non seulement des équations de la forme a x = b, mais aussi toutes les équations qui, à l'aide de transformations et de simplifications, sont réduites à cette forme.

Comment résoudre des équations qui se réduisent à la forme a x = b ? Il suffit de diviser les côtés gauche et droit de l'équation par la valeur a. En conséquence, nous obtenons la réponse : x = b a.

Comment savoir si une équation arbitraire est linéaire ou non ? Il faut faire attention à la variable qui y est présente. Si le degré le plus élevé auquel se trouve la variable est égal à un, alors une telle équation est une équation linéaire.

Pour résoudre l'équation linéaire , il est nécessaire d'ouvrir les parenthèses (le cas échéant), de reporter le "x" à gauche, les nombres à droite, et d'apporter des termes similaires. Vous obtenez une équation de la forme a x = b. La solution de cette équation linéaire : x = b a.

Exemples de résolution d'équations linéaires :

1. 2 x + 1 = 2 (x - 3) + 8

Il s'agit d'une équation linéaire puisque la variable est à la puissance première.

Essayons de le convertir sous la forme a x = b :

Tout d'abord, développons les crochets :

2 x + 1 = 4 x - 6 + 8

Tous les termes avec x sont transférés à gauche, les nombres à droite :

2 x - 4 x = 2 - 1

Divisons maintenant les côtés gauche et droit par le nombre (-2) :

- 2 x - 2 = 1 - 2 = - 1 2 = - 0,5

Réponse : x = - 0,5

1. x 2 - 1 = 0

Cette équation n'est pas une équation linéaire, puisque la puissance la plus élevée dans laquelle se trouve la variable x est deux.

1. x (x + 3) - 8 = x - 1

Cette équation semble linéaire à première vue, mais après avoir développé les parenthèses, le degré le plus élevé devient égal à deux :

x 2 + 3 x - 8 = x - 1

Cette équation n'est pas une équation linéaire.

Cas spéciaux(dans la tâche 4 de l'OGE ils ne se sont pas rencontrés, mais il est utile de les connaître)

Exemples:

1. 2 x - 4 = 2 (x - 2)

2 x - 4 = 2 x - 4

2 x - 2 x = - 4 + 4

Et comment cherchez-vous x ici s'il n'y est pas ? Après avoir effectué les transformations, nous avons obtenu la bonne égalité (identité), qui ne dépend pas de la valeur de la variable x. Quelle que soit la valeur de x que nous substituons dans l'équation d'origine, le résultat est toujours l'égalité correcte (identité). Par conséquent, x peut être n'importe quel nombre. Écrivons la réponse à cette équation linéaire.

Réponse : x ∈ (- ∞; + ∞)

1. 2 x - 4 = 2 (x - 8)

C'est une équation linéaire. Ouvrons les parenthèses, déplaçons les X vers la gauche, les nombres vers la droite :

2 x - 4 = 2 x - 16

2 x - 2 x = - 16 + 4

À la suite des transformations, x a été réduit, mais nous avons finalement obtenu une égalité incorrecte, car. Quelle que soit la valeur de x que nous substituons dans l'équation d'origine, le résultat sera toujours une égalité incorrecte. Cela signifie qu'il n'y a pas de telles valeurs de x pour lesquelles l'égalité deviendrait vraie. Écrivons la réponse à cette équation linéaire.

Réponse : x ∈ ∅

Équations du second degré

Équation quadratique - une équation de la forme a x 2 + b x + c = 0, où x est une variable, a, b et c sont des nombres, et a ≠ 0.

Algorithme pour résoudre une équation quadratique :

1. Développez les crochets, déplacez tous les termes vers la gauche pour que l'équation ressemble à : a x 2 + b x + c = 0
2. Écrivez à quoi les coefficients sont égaux en nombre : a =… b =… c =…
3. Calculer le discriminant par la formule : D = b 2 - 4 a c
4. Si D> 0, il y aura deux racines différentes, qui se trouvent par la formule : x 1,2 = - b ± D 2 a
5. Si D = 0, il y aura une racine, qui se trouve par la formule : x = - b 2 a
6. Si D< 0, решений нет: x ∈ ∅

Exemples de résolution d'une équation quadratique :

1. - x 2 + 6 x + 7 = 0

a = - 1, b = 6, c = 7

D = b 2 - 4 a c = 6 2 - 4 (- 1) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D> 0 - il y aura deux racines différentes :

x 1,2 = - b ± D 2 a = - 6 ± 64 2 (- 1) = - 6 ± 8 - 2 = [- 6 + 8 - 2 = 2 - 2 = - 1 - 6 - 8 - 2 = - 14 - 2 = 7

Réponse : x 1 = - 1, x 2 = 7

1. - x 2 + 4 x - 4 = 0

a = - 1, b = 4, c = - 4

D = b 2 - 4 a c = 4 2 - 4 (- 1) ⋅ (- 4) = 16 - 16 = 0

D = 0 - il y aura une racine :

x = - b 2 a = - 4 2 (- 1) = - 4 - 2 = 2

Réponse : x = 2

1. 2 x 2 - 7 x + 10 = 0

a = 2, b = - 7, c = 10

D = b 2 - 4 a c = (- 7) 2 - 4 2 ⋅ 10 = 49 - 80 = - 31

ré< 0 – решений нет.

Réponse : x ∈ ∅

Il y a aussi équations quadratiques incomplètes (ce sont des équations quadratiques pour lesquelles soit b = 0, soit c = 0, soit b = c = 0). Regardez la vidéo sur la façon de résoudre de telles équations quadratiques !

Factorisation d'un trinôme carré

Le trinôme carré peut être factorisé comme suit :

A x 2 + b x + c = a (x - x 1) ⋅ (x - x 2)

où a est un nombre, un coefficient avant le coefficient le plus élevé,

x est une variable (c'est-à-dire une lettre),

x 1 et x 2 sont des nombres, les racines de l'équation quadratique a x 2 + b x + c = 0, qui se trouvent à travers le discriminant.

Si l'équation quadratique n'a qu'une seule racine, alors le développement ressemble à ceci :

a x 2 + b x + c = a (x - x 0) 2

Exemples de factorisation d'un trinôme carré :

1. - x 2 + 6 x + 7 = 0 x 1 = - 1, x 2 = 7

- x 2 + 6 x + 7 = (- 1) (x - (- 1)) (x - 7) = - (x + 1) (x - 7) = (x + 1) (7 - x)

1. - x 2 + 4 x - 4 = 0 ; x 0 = 2

- x 2 + 4 x - 4 = (- 1) (x - 2) 2 = - (x - 2) 2

Si le trinôme carré est incomplet ((b = 0 ou c = 0) alors il peut être factorisé des manières suivantes :

• c = 0 a x 2 + b x = x (a x + b)

• b = 0 s'applique à la différence des carrés.

Équations rationnelles fractionnaires

Soit f (x) et g (x) des fonctions dépendant de la variable x.

Équation rationnelle fractionnaire Est une équation de la forme f (x) g (x) = 0.

Afin de résoudre une équation fractionnellement rationnelle, il faut se rappeler ce qu'est un ODD et quand il survient.

ODZ- la plage des valeurs admissibles de la variable.

Dans une expression de la forme f (x) g (x) = 0

ODZ : g (x) 0 (le dénominateur de la fraction ne peut pas être nul).

Algorithme de résolution d'une équation rationnelle fractionnaire :

1. Écrivez ODZ : g (x) 0.
2. Réglez le numérateur de la fraction à zéro f (x) = 0 et trouvez les racines.

Un exemple de résolution d'une équation rationnelle fractionnaire :

Résoudre l'équation rationnelle fractionnaire x 2 - 4 2 - x = 1.

Solution:

Nous agirons conformément à l'algorithme.

1. Réduisez l'expression sous la forme f (x) g (x) = 0.

Nous transférons un sur le côté gauche, y écrivons un facteur supplémentaire afin de ramener les deux termes à un dénominateur commun :

x 2 - 4 2 - x - 1 \ 2 - x = 0

x 2 - 4 2 - x - 2 - x 2 - x = 0

x 2 - 4 - (2 - x) 2 - x = 0

x 2 - 4 - 2 + x 2 - x = 0

x 2 + x - 6 2 - x = 0

La première étape de l'algorithme a été effectuée avec succès.

1. Écrivez ODZ :

Nous décrivons l'ODZ, ne l'oubliez pas : x ≠ 2

1. Égalisez le numérateur de la fraction à zéro f (x) = 0 et trouvez les racines :

x 2 + x - 6 = 0 - Équation quadratique. Nous décidons par le discriminant.

a = 1, b = 1, c = - 6

D = b 2 - 4 a c = 1 2 - 4 1 ⋅ (- 6) = 1 + 24 = 25

D> 0 - il y aura deux racines différentes.

x 1,2 = - b ± D 2 a = - 1 ± 25 2 ⋅ 1 = - 1 ± 5 2 = [- 1 + 5 2 = 4 2 = 2 - 1 - 5 2 = - 6 2 = - 3

[x 1 = 2 x 2 = - 3

1. Indiquez dans la réponse les racines du numérateur, à l'exclusion des racines qui sont tombées dans l'ODZ.

Racines obtenues à l'étape précédente :

[x 1 = 2 x 2 = - 3

Cela signifie qu'il n'y a qu'une seule racine dans la réponse, x = - 3.

Réponse : x = - 3.

Systèmes d'équations

Le système d'équations appelez deux équations à deux inconnues (en règle générale, les inconnues sont désignées par x et y), qui sont combinées en un système commun par une accolade.

Un exemple de système d'équations

(x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

Résoudre un système d'équations - trouver une paire de nombres x et y qui, une fois substitués dans le système d'équations, forment l'égalité correcte dans les deux équations du système.

Il existe deux méthodes pour résoudre des systèmes d'équations linéaires :

1. Méthode de substitution.
2. Méthode d'addition.

Algorithme de résolution d'un système d'équations par la méthode de substitution :

1. Trouvez l'inconnu restant.

Exemple:

Résoudre un système d'équations par la méthode de substitution

(x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

Solution:

1. Exprimez une variable de n'importe quelle équation par une autre.

(x = 8 - 2 y 3 x - y = - 4

1. Substituez la valeur obtenue dans une autre équation au lieu de la variable exprimée.

(x = 8 - 2 y 3 x - y = - 4

(x = 8 - 2 ans 3 (8 - 2 ans) - y = - 4

1. Résoudre une équation à une inconnue.

3 (8 - 2 ans) - y = - 4

24 - 6 ans - y = - 4

- 7 ans = - 4 - 24

- 7 ans = - 28

y = - 28 - 7 = 28 7 = 4

1. Trouvez l'inconnu restant.

x = 8 - 2 y = 8 - 2 ⋅ 4 = 8 - 8 = 0

La réponse peut être écrite de l'une des trois manières suivantes :

1. x = 0, y = 4
2. (x = 0 y = 4
3. (0 ;   4)

Résoudre un système d'équations par la méthode de l'addition.

La méthode d'addition est basée sur la propriété suivante :

(a + c) = (b + d)

L'idée derrière la méthode d'addition est de se débarrasser d'une des variables en ajoutant les équations.

Exemple:

Résoudre un système d'équations par la méthode de l'addition

(x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

Débarrassons-nous de la variable x dans cet exemple. L'essence de la méthode est que dans les première et deuxième équations, des coefficients opposés se trouvent devant la variable x. Dans la deuxième équation, x est précédé d'un facteur 3. Pour que la méthode d'addition fonctionne, le coefficient (- 3) doit être devant la variable x. Pour ce faire, multipliez les côtés gauche et droit de la première équation par (- 3).

Résoudre un système d'équations- cela signifie trouver des solutions générales pour toutes les équations du système ou s'assurer qu'il n'y a pas de solution.

Pour résoudre un système d'équations, vous devez exclure une inconnue, c'est-à-dire, à partir de deux équations à deux inconnues, faire une équation à une inconnue. Il existe trois manières d'éliminer l'une des inconnues : la substitution, la comparaison, l'addition ou la soustraction.

Méthode de substitution

Pour résoudre un système d'équations par la méthode de substitution, vous devez exprimer une inconnue par l'autre dans l'une des équations et substituer le résultat dans une autre équation, qui ne contiendra alors qu'une seule inconnue. Ensuite, nous trouvons la valeur de cette inconnue et la substituons dans la première équation, après quoi nous trouvons la valeur de la seconde inconnue.

Considérons la solution du système d'équations :

Nous résolvons l'équation résultante pour trouver ce qui est égal à oui... Comment résoudre des équations avec une inconnue, vous pouvez le voir dans la rubrique connexe.

3(2 + 4oui) - 2oui = 16

6 + 12oui - 2oui = 16

6 + 10oui = 16

10oui = 16 - 6

10oui = 10

oui = 10: 10

oui = 1

Nous avons déterminé que oui= 1. Maintenant, pour trouver la valeur numérique X, remplacez la valeur oui dans la première équation transformée, où nous avons précédemment trouvé quelle expression est X:

X = 2 + 4oui= 2 + 4 1 = 2 + 4 = 6

Réponse: X = 6, oui = 1.

Méthode de comparaison

La comparaison est un cas particulier de substitution. Pour résoudre un système d'équations par une méthode de comparaison, vous devez trouver dans les deux équations quelle expression sera égale à la même inconnue et assimiler les expressions résultantes les unes aux autres. L'équation résultante vous permet de découvrir la signification d'une inconnue. Cette valeur est ensuite utilisée pour calculer la valeur de la seconde inconnue.

Par exemple, pour une solution système :

On compose l'équation à partir des expressions obtenues :

2 - X = 32 - 6X 2 - X + 6X = 32 - 2 5X = 30 X = 30: 5 X = 6

Maintenant, nous substituons la valeur X dans la première ou la deuxième équation du système et trouver la valeur oui:

Réponse: X = 6, oui = 1.

Méthode d'addition ou de soustraction

Pour résoudre un système d'équations par la méthode de l'addition, vous devez créer l'une des deux équations en ajoutant les côtés gauche et droit, tandis que l'une des inconnues doit être exclue de l'équation résultante. L'inconnu peut être éliminé en égalisant les coefficients dans les deux équations.

Considérez le système :

Maintenant, nous ajoutons les deux équations par parties pour obtenir une équation avec une inconnue :

Soustrayons maintenant la deuxième équation de la première par partie pour obtenir une équation avec une inconnue :

Réponse: X = 6, oui = 1.

Pour résoudre le système d'équations considéré ci-dessus, la méthode de l'addition a été utilisée, qui repose sur la propriété suivante :

Toute équation du système peut être remplacée par une équation obtenue en ajoutant (ou en soustrayant) les équations incluses dans le système. Dans ce cas, un système d'équations est obtenu qui a les mêmes solutions que celui d'origine.