Dessin de tétraèdre rectangulaire. Tétraèdre régulier (pyramide). Calculer le volume d'un tétraèdre si les coordonnées de ses sommets sont connues

TEXTE CODE DE LA LEÇON :

Bonne journée! Nous poursuivons l'étude du thème : "Parallélisme des lignes et des plans".

Je pense qu'il est déjà clair qu'aujourd'hui nous parlerons de polyèdres - surfaces de corps géométriques constituées de polygones.

A savoir sur le tétraèdre.

Nous allons réaliser l'étude des polyèdres selon le plan :

1.définition d'un tétraèdre

2.éléments du tétraèdre

3.le déroulement du tétraèdre

4.image dans un avion

1.construire un triangle ABC

2.point D ne se trouvant pas dans le plan de ce triangle

3. Reliez le point D avec des segments aux sommets du triangle ABC. On obtient les triangles DAB, DBC et DCA.

Définition : Une surface composée de quatre triangles ABC, DAB, DBC et DCA est appelée un tétraèdre.

Désignation : DABC.

Éléments tétraèdres

Les triangles qui composent un tétraèdre sont appelés faces, leurs côtés sont des arêtes et leurs sommets sont les sommets du tétraèdre.

Combien de faces, d'arêtes et de sommets possède un tétraèdre ?

Un tétraèdre a quatre faces, six arêtes et quatre sommets

Deux arêtes d'un tétraèdre qui n'ont pas de sommets communs sont dites opposées.

Sur la figure, les arêtes AD et BC, BD et AC, CD et AB sont opposées.

Parfois, l'une des faces du tétraèdre est distinguée et appelée sa base, et les trois autres sont appelées faces latérales.

Dépliez le tétraèdre.

Pour faire un tétraèdre en papier, vous avez besoin du balayage suivant,

il doit être transféré sur du papier épais, coupé, plié le long des pointillés et collé.

Sur le plan, le tétraèdre est représenté

Quadrangle convexe ou non convexe avec des diagonales. Dans ce cas, les lignes pointillées représentent des bords invisibles.

Dans la première figure, AC est une arête invisible,

sur le second - EK, LK et KF.

Résolvons plusieurs problèmes typiques sur un tétraèdre :

Trouvez l'aire dépliée d'un tétraèdre régulier avec une arête de 5 cm.

Solution. Dessinons un filet d'un tétraèdre

(un balayage en tétraèdre apparaît à l'écran)

Ce tétraèdre se compose de quatre triangles équilatéraux, par conséquent, l'aire dépliée d'un tétraèdre régulier est égale à la surface totale du tétraèdre ou à l'aire de quatre triangles réguliers.

On cherche l'aire d'un triangle régulier par la formule :

On obtient alors que l'aire du tétraèdre est :

On substitue dans la formule la longueur du bord a = 5 cm,

il s'avère

Réponse : L'aire dépliée d'un tétraèdre régulier

Construire une section du tétraèdre avec un plan passant par les points M, N et K.

a) En effet, on relie les points M et N (appartiennent à la face ADC), les points M et K (appartiennent à la face ADB), les points N et K (la face DBC). La section du tétraèdre est le triangle MKN.

b) Reliez les points M et K (appartiennent à la face ADB), les points K et N (appartiennent à la face DCB), puis continuez les lignes MK et AB jusqu'à l'intersection et placez le point P. La ligne PN et le point T se trouvent dans le même plan ABC et maintenant vous pouvez construire l'intersection d'une ligne droite MK avec chaque face. Le résultat est un quadrilatère MKNT, qui est la section désirée.

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tétraèdre, formule du tétraèdre
Tétraèdre(vieux grec τετρά-εδρον - tétraèdre, du grec ancien. τέσσᾰρες, τέσσερες, , τέττορες, τέτορες - "quatre" + ancien grec. ἕδρα - "siège, base") est le polyèdre le plus simple, dont les faces sont quatre triangles. Le tétraèdre a 4 faces, 4 sommets et 6 arêtes. Un tétraèdre dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux est dit régulier. Un tétraèdre régulier est l'un des cinq polyèdres réguliers.

  • 1 Propriétés du tétraèdre
  • 2 types de tétraèdres
  • 3 Volume d'un tétraèdre
  • 4 tétraèdres dans le micromonde
  • 5 tétraèdres dans la nature
  • 6 tétraèdres en technique
  • 7 remarques
  • 8 Voir aussi

Propriétés du tétraèdre

  • Des plans parallèles passant par des paires d'arêtes croisées d'un tétraèdre définissent un parallélépipède décrit autour du tétraèdre.
  • Le plan passant par les milieux de deux arêtes sécantes du tétraèdre le divise en deux parties de volume égal.: 216-217

Types de tétraèdres

En plus du tétraèdre régulier, les types spéciaux de tétraèdres suivants sont distingués.

  • Un tétraèdre équilatéral dont toutes les faces sont des triangles égaux.
  • Un tétraèdre orthocentrique dans lequel toutes les hauteurs tombant des sommets aux faces opposées se coupent en un point.
  • Un tétraèdre rectangulaire dans lequel toutes les arêtes adjacentes à l'un des sommets sont perpendiculaires les unes aux autres.
  • Un tétraèdre squelette est un tétraèdre qui remplit l'une des conditions suivantes :
    • il y a une sphère touchant tous les bords,
    • les sommes des longueurs des arêtes qui se croisent sont égales,
    • les sommes des angles dièdres aux bords opposés sont égales,
    • les cercles inscrits dans les visages se touchent par paires,
    • tous les quadrangles obtenus sur le développement d'un tétraèdre sont décrits,
    • perpendiculaires élevées aux faces à partir des centres des cercles qui y sont inscrits se coupent en un point.
  • Un tétraèdre proportionné avec des hauteurs égales.
  • Un tétraèdre incentrique, dans lequel les segments reliant les sommets du tétraèdre aux centres des cercles inscrits dans des faces opposées se coupent en un point.

Volume du tétraèdre

Le volume du tétraèdre (compte tenu du signe), dont les sommets sont situés aux points, est égal à :

Ou, où est l'aire de n'importe quel visage, et est la hauteur tombée sur ce visage.

A travers les longueurs des arêtes, le volume du tétraèdre est exprimé à l'aide du déterminant de Cayley-Menger :

Les tétraèdres dans le micromonde

  • Le tétraèdre régulier est formé lors de l'hybridation sp3 des orbitales atomiques (leurs axes sont dirigés vers les sommets du tétraèdre régulier et le noyau de l'atome central est situé au centre de la sphère décrite du tétraèdre régulier), par conséquent, de nombreuses molécules dans laquelle une telle hybridation de l'atome central a lieu ont la forme de ce polyèdre
  • Molécule de méthane CH4
  • Ion ammonium NH4 +
  • Ion sulfate SO42-, Ion phosphate PO43-, Ion perchlorate ClO4- et de nombreux autres ions
  • Le diamant C est un tétraèdre d'arête égale à 2,5220 angströms
  • Fluorite CaF2, tétraèdre avec une arête égale à 3, 8626 angströms
  • Sphalérite, ZnS, tétraèdre d'arête égale à 3,823 angströms
  • Ions complexes -, 2-, 2-, 2+
  • Les silicates dont la structure est basée sur le tétraèdre silicium-oxygène 4-

Les tétraèdres dans la nature

Tétraèdre en noyer

Certains fruits, au nombre de quatre d'une part, sont situés aux sommets d'un tétraèdre, qui est proche du bon. Cette conception est due au fait que les centres de quatre boules identiques se touchant sont aux sommets d'un tétraèdre régulier. Par conséquent, les fruits en forme de boule forment un arrangement mutuel similaire. Par exemple, les noix peuvent être positionnées de cette manière.

Les tétraèdres en technologie

  • Le tétraèdre forme une structure rigide, définissable statiquement. Un tétraèdre constitué de tiges est souvent utilisé comme base pour les structures porteuses spatiales de travées de bâtiments, de planchers, de poutres, de fermes, de ponts, etc. Les tiges ne sont soumises qu'à des charges longitudinales.
  • Le tétraèdre rectangulaire est utilisé en optique. Si les faces à angle droit sont recouvertes d'un composé réfléchissant ou que tout le tétraèdre est constitué d'un matériau à forte réfraction de la lumière de sorte que l'effet de réflexion interne totale se produise, alors la lumière dirigée vers la face opposée au sommet à angle droit se reflétera dans la même direction d'où il vient... Cette propriété est utilisée pour créer des réflecteurs d'angle, des réflecteurs.
  • Un graphe déclencheur quaternaire est un tétraèdre.

Remarques (modifier)

  1. Dictionnaire grec-russe ancien du majordome "τετρά-εδρον"
  2. Selivanov D.F.,. Corps géométrique // Dictionnaire encyclopédique Brockhaus et Efron : 86 volumes (82 volumes et 4 supplémentaires). - SPb., 1890-1907.
  3. Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Algèbre vectorielle dans des exemples et des problèmes. - M. : Lycée, 1985.-- 232 p.
  4. V. E. MATIZEN Uniforme et cadre tétraèdres "Kvant" n° 7, 1983
  5. http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#view Trigger

voir également

  • Simplex - tétraèdre à n dimensions

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Informations sur le tétraèdre

Le tétraèdre, ou pyramide triangulaire, est le plus simple des polyèdres, tout comme le triangle est le plus simple des polygones du plan. Le mot "tétraèdre" est formé de deux mots grecs : tétra - "quatre" et hedra - "base", "visage". Le tétraèdre est défini par ses quatre sommets - des points qui ne se trouvent pas dans le même plan ; faces de tétraèdre - quatre triangles; le tétraèdre a six arêtes. Contrairement à une pyramide -gonale arbitraire (at), n'importe laquelle de ses facettes peut être sélectionnée comme base du tétraèdre.

De nombreuses propriétés des tétraèdres sont similaires à celles des triangles. En particulier, 6 plans tracés par les milieux des arêtes du tétraèdre qui leur sont perpendiculaires se coupent en un point. Au même point, 4 droites se coupent, tracées par les centres des circonscrits aux faces des cercles perpendiculaires aux plans des faces, et est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre (Fig. 1). De même, les 6 demi-plans bissectrices du tétraèdre, c'est-à-dire les demi-plans divisant les angles dièdres aux bords du tétraèdre en deux, se coupent également en un point - au centre d'une sphère inscrite dans le tétraèdre - un sphère touchant les quatre faces du tétraèdre. Tout triangle a, en plus des inscrits, 3 autres ex-cercles (voir. Triangle), mais un tétraèdre peut avoir n'importe quel nombre - de 4 à 7 - ex-sphères, c'est-à-dire. sphères touchant les plans des quatre faces du tétraèdre. Il y a toujours 4 sphères inscrites dans des coins triangulaires tronqués, dont l'une est représentée sur la Fig. 2, à droite. 3 autres sphères peuvent être inscrites (pas toujours !) 2, à gauche.

Pour un tétraèdre, il existe une autre possibilité de son positionnement relatif avec une sphère - toucher une certaine sphère avec tous ses bords (Fig. 3). Une telle sphère - parfois appelée "semi-inscrite" - n'existe que lorsque les sommes des longueurs des arêtes opposées du tétraèdre sont égales : (Fig. 3).

Pour tout tétraèdre, un analogue du théorème sur l'intersection des médianes d'un triangle en un point est valable. À savoir, 6 plans tracés à travers les bords du tétraèdre et les milieux des bords opposés se coupent en un point - dans le centroïde du tétraèdre (Fig. 4). Il y a aussi 3 "lignes médianes" passant par le centre de gravité - des segments reliant les milieux de trois paires d'arêtes opposées, et ils sont divisés par un point. Enfin, 4 "médianes" du tétraèdre passent à travers - les segments reliant les sommets aux centroïdes des faces opposées, et ils sont divisés en un point dans un rapport de 3: 1, à partir des sommets.

La propriété la plus importante d'un triangle - l'égalité (ou) - n'a pas d'analogue "tétraédrique" raisonnable : la somme des 6 angles dièdres d'un tétraèdre peut prendre n'importe quelle valeur entre et. (Bien sûr, la somme des 12 angles plans du tétraèdre - 3 à chaque sommet - est indépendante du tétraèdre et est égale.)

Les triangles sont généralement classés selon le degré de leur symétrie : les triangles réguliers ou équilatéraux ont trois axes de symétrie, les isocèles - un. La classification des tétraèdres selon le degré de symétrie est plus riche. Le tétraèdre le plus symétrique est régulier, délimité par quatre triangles réguliers. Il a 6 plans de symétrie - ils passent par chaque côte perpendiculairement à la côte opposée - et 3 axes de symétrie qui passent par les milieux des côtes opposées (Fig. 5). Les pyramides triangulaires régulières (3 plans de symétrie, Fig. 6) et les tétraèdres isoédriques (c'est-à-dire les tétraèdres à faces égales - 3 axes de symétrie, Fig. 7) sont moins symétriques.

Le tétraèdre est la forme polygonale la plus simple. Il se compose de quatre faces, chacune étant un triangle équilatéral, tandis que chaque côté est relié à l'autre avec une seule face. Lors de l'étude des propriétés de cette figure géométrique en trois dimensions, pour plus de clarté, il est préférable de faire un modèle de tétraèdre en papier.

Comment coller un tétraèdre en papier ?

Pour construire un simple tétraèdre en papier, il nous faut :

  • le papier lui-même (épais, vous pouvez utiliser du carton);
  • rapporteur;
  • règle;
  • les ciseaux;
  • la colle;
  • tétraèdre en papier, diagramme.

Le progrès

  • si le papier est très épais, les plis doivent être dessinés avec un objet dur, par exemple le bord d'une règle;
  • afin d'obtenir un tétraèdre multicolore, vous pouvez peindre les bords ou effectuer un scan sur des feuilles de papier de couleur.

Comment faire un tétraèdre en papier sans coller ?

Nous attirons votre attention sur une master class qui explique comment assembler 6 tétraèdres en papier en un seul module en utilisant la technique de l'origami.

Nous avons besoin:

  • 5 paires de feuilles de papier carrées de différentes couleurs ;
  • les ciseaux.

Le progrès

  1. Nous divisons chaque feuille de papier en trois parties égales, coupons et obtenons des bandes dont le rapport hauteur/largeur est de 1 à 3. En conséquence, nous obtenons 30 bandes, à partir desquelles nous ajouterons le module.
  2. Nous mettons la bande devant nous face vers le bas, en l'étirant horizontalement. Plier en deux, déplier et plier jusqu'au milieu du bord.
  3. Sur le bord le plus à droite, nous plions le coin de manière à former une flèche, en l'amenant à 2-3 cm du bord.
  4. De la même manière, nous plions le coin gauche (photo comment faire un tétraèdre 3 en papier).
  5. Nous plions le coin supérieur droit du petit triangle, résultant de l'opération précédente. Cela gardera les côtés du bord plié au même angle.
  6. Développez le pli résultant.
  7. Nous déplions le coin gauche et, le long des lignes de pliage existantes, enroulons le coin vers l'intérieur comme indiqué sur la photo.
  8. Dans le coin droit, pliez le bord supérieur vers le bas pour qu'il coupe le pli réalisé lors de l'opération n°3.
  9. Enroulez à nouveau le bord extérieur vers la droite en utilisant le pli réalisé à la suite de l'opération n°3.
  10. On répète les opérations précédentes à partir de l'autre extrémité de la bande, mais de manière à ce que les petits plis soient aux extrémités parallèles de la bande.
  11. Nous plions la bande résultante en deux sur la longueur et la laissons s'ouvrir silencieusement et spontanément. L'angle d'ouverture exact deviendra clair plus tard, lors de l'assemblage final du modèle. L'élément est prêt, maintenant nous en faisons 29 de plus de la même manière.
  12. Nous tournons le maillon de manière à ce que son côté extérieur soit visible lors du montage. On relie les deux maillons en insérant la languette dans la poche formée par le petit coin intérieur.
  13. Les liens connectés doivent former un angle de 60 , auquel d'autres liens se joindront également (photo comment faire un tétraèdre 13 en papier).
  14. Ajoutez le troisième lien au deuxième et connectez le deuxième au premier. Il s'avère que la fin de la figure, au sommet de laquelle ses trois liens sont connectés.
  15. Ajoutez trois autres liens de la même manière. Le premier tétraèdre est prêt.
  16. Les angles de la forme finie peuvent ne pas être exactement les mêmes, donc pour un ajustement plus précis, vous devez laisser les coins individuels de tous les tétraèdres suivants ouverts.
  17. Les tétraèdres doivent être connectés les uns aux autres de sorte que l'angle de l'un passe par un trou dans l'autre.
  18. Trois tétraèdres interconnectés.
  19. Quatre tétraèdres reliés entre eux.
  20. Le module de cinq tétraèdres est prêt.

Si vous maîtrisez le tétraèdre, vous pouvez continuer et faire

Sections: Mathématiques

Plan de préparation et de déroulement de la leçon :

I. Phase préparatoire :

  1. Répétition des propriétés connues de la pyramide triangulaire.
  2. Mettre en avant des hypothèses sur les caractéristiques possibles, non considérées auparavant, du tétraèdre.
  3. Formation de groupes pour mener des recherches sur ces hypothèses.
  4. Répartition des tâches pour chaque groupe (en tenant compte du désir).
  5. Répartition des responsabilités pour la mission.

II. La scène principale :

  1. Résolution de l'hypothèse.
  2. Consultation avec un professeur.
  3. Enregistrement des travaux.

III. La dernière étape :

  1. Présentation et défense de l'hypothèse.

Objectifs de la leçon:

  • généraliser et systématiser les connaissances et les compétences des étudiants ; étudier du matériel théorique supplémentaire sur le sujet spécifié; apprendre à appliquer des connaissances à la résolution de problèmes non standard, à y voir des composants simples ;
  • former les compétences des étudiants à travailler avec de la littérature supplémentaire, améliorer la capacité d'analyser, de généraliser, de trouver l'essentiel dans ce que vous lisez, de prouver de nouvelles choses; développer les compétences de communication des étudiants;
  • favoriser une culture graphique.

Phase préparatoire (1 cours) :

  1. Message étudiant « Les secrets des grandes pyramides ».
  2. Discours introductif de l'enseignant sur la variété des types de pyramides.
  3. Discussion des problèmes :
  • Quels sont les critères pour combiner des pyramides triangulaires irrégulières
  • Qu'entend-on par orthocentre d'un triangle, et ce qu'on peut appeler l'orthocentre d'un tétraèdre
  • Un tétraèdre rectangulaire a-t-il un orthocentre ?
  • Quel tétraèdre est dit isoédrique Quelles propriétés peut-il avoir ?
  1. À la suite de l'examen de divers tétraèdres, de la discussion de leurs propriétés, les concepts sont clarifiés et une certaine structure apparaît :

  1. Considérons les propriétés d'un tétraèdre régulier (Annexe)

Les propriétés 1-4 sont prouvées oralement à l'aide de Slide1.

Propriété 1 : Toutes les arêtes sont égales.

Propriété 2 : Tous les angles plans sont de 60°.

Propriété 3 : Les sommes des angles plans à trois sommets quelconques du tétraèdre sont de 180 °.

Propriété 4 : Si le tétraèdre est régulier, alors n'importe lequel de ses sommets est projeté dans l'orthocentre de la face opposée.

Donné:

ABCD est un tétraèdre régulier

AH - hauteur

Prouver:

H - orthocentre

Preuve:

1) le point H peut coïncider avec n'importe lequel des points A, B, C. Soit H? B, H? C

2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) Considérez ABH, BCH, ADH

AD - total => ABH, BCH, ADH => BH = CH = DH

AB = AC = AD т. H - est l'orthocentre ABC

C.Q.D.

  1. Dans la leçon 1, les propriétés 5 à 9 sont formulées sous forme d'hypothèses qui nécessitent une preuve.

Chaque groupe reçoit ses propres devoirs :

Démontrez l'une des propriétés.

Préparez une justification avec une présentation.

II. Scène principale (dans une semaine) :

  1. Résolution de l'hypothèse.
  2. Consultation avec un professeur.
  3. Enregistrement des travaux.

III. Étape finale (1-2 leçons):

Présentation et défense de l'hypothèse à l'aide d'exposés.

Lors de la préparation du matériel pour la leçon finale, les étudiants arrivent à la conclusion sur la particularité du point d'intersection des hauteurs, nous sommes d'accord pour l'appeler un point « étonnant ».

Propriété 5 : Les centres des sphères circonscrites et inscrites coïncident.

Donné:

DABC - tétraèdre régulier

1 - le centre de la sphère décrite

- le centre de la sphère inscrite

N - le point de tangence de la sphère inscrite avec la face ABC

Démontrer : 1 = О

Preuve:

Soit OA = OB = OD = OC les rayons du cercle circonscrit

Oublions ОN + (ABC)

AON = CON - rectangulaire, le long de la jambe et de l'hypoténuse => AN = CN

Omettre OM + (BCD)

COM DOM - rectangulaire, le long de la jambe et de l'hypoténuse => CM = DM

A partir du point 1 CON COM => ON = OM

ОN + (ABC) => ON, OM sont les rayons du cercle inscrit.

Le théorème est prouvé.

Pour un tétraèdre régulier, il existe une possibilité de sa position relative avec une sphère - touchant une certaine sphère avec tous ses bords. Cette sphère est parfois qualifiée de « semi-inscrite ».

Propriété 6 : Les segments de droite reliant les milieux des arêtes opposées et perpendiculaires à ces arêtes sont les rayons de la sphère semi-inscrite.

Donné:

ABCD est un tétraèdre régulier ;

AL = BL, AK = CK, AS = DS,

BP = CP, BM = DM, CN = DN.

Prouver:

LO = OK = OS = OM = ON = OP

Preuve.

Tétraèdre ABCD - correct => AO = BO = CO = DO

Considérons les triangles AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD.

AO = BO =>?AOB - isocèle =>
OL - médiane, hauteur, bissectrice
AO = CO => ?AOC– isocèle =>
ОK - médiane, hauteur, bissectrice
CO = DO => ?DCO– isocèle =>
ON– médiane, hauteur, bissectrice AOB => AOC = COD =
BO = DO => ? DBO– isocèle => DBO = BOC = AOD
OM - médiane, hauteur, bissectrice
AO = DO => ? AOD– isocèle =>
OS - médiane, hauteur, bissectrice
BO = CO => ?BOC– isocèle =>
OP– médiane, hauteur, bissectrice
AO = BO = CO = DO
AB = AC = AD = BC = BD = CD

3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - hauteurs égales aux rayons OL, OK, ON, OM, OS, OP

triangles isocèles de la sphère

Corollaire:

Une sphère semi-inscrite peut être dessinée dans un tétraèdre régulier.

Propriété 7 : si le tétraèdre est régulier, alors toutes les deux arêtes opposées du tétraèdre sont mutuellement perpendiculaires.

Donné:

DABC - tétraèdre régulier;

H - orthocentre

Prouver:

Preuve:

DABC - tétraèdre régulier =>?ADB - équilatéral

(ADB) (EDC) = ED

ED - hauteur ADB => ED + AB,

AB + CE, => AB + (EDC) => AB + CD.

La perpendicularité des autres arêtes est prouvée de la même manière.

Propriété 8 : Six plans de symétrie se coupent en un point. Au point O, quatre droites se coupent, tracées par les centres des circonscrits autour des bords des cercles perpendiculaires aux plans des faces, et le point O est le centre de la sphère circonscrite.

Donné:

ABCD est un tétraèdre régulier

Prouver:

O - le centre de la sphère décrite;

6 plans de symétrie se coupent au point O ;

Preuve.

CG + BD car BCD - équilatéral => GO + BD (par le théorème des trois perpendiculaires GO + BD)

BG = GD, car AG - médiane ABD

ABD (ABD) => ? DBO - isocèle => BO = DO

ED + AB, car ABD - unilatéral => OE + AD (par le théorème des trois perpendiculaires)

BE = AE car DE est la médiane ?

ABD (ABD) =>?AOB - isocèle => BO = AO

(AOB) (ABD) = AB

ON + (ABC) OF + AC (par le théorème environ trois

BF + AC, car ABC - perpendiculaires équilatérales)

AF = FC, car BF - médiane ?ABC

ABC (ABC) => AOC - isocèle => AO = CO

(AOC) ? (ABC) = AC

BO = AO => AO = BO = CO = DO - rayons de sphère,

AO = CO circonscrit à un tétraèdre ABCD

(ABR) (ACG) = AO

(BCT) (ABR) = BO

(ACG) (BCT) = CO

(ADH) (CED) = DO

AB + (ABR) (ABR) (BCT) (ACG) (ADH) (CED) (BDF)

D'où:

Le point O est le centre de la sphère décrite,

6 plans de symétrie se coupent au point O.

Propriété 9: L'angle obtus entre les perpendiculaires passant par les sommets du tétraèdre aux orthocentres est de 109°28"

Donné:

ABCD est un tétraèdre régulier ;

O est le centre de la sphère décrite ;

Prouver:

Preuve:

1) AS - hauteur

ASB = 90 o OSB rectangulaire

2) (par la propriété d'un tétraèdre régulier)

3) AO = BO - les rayons de la sphère circonscrite

4) 70 ° 32 "

6) AO = BO = CO = DO =>? AOD =? AOC =? AOD =? COD =? DBO =? BOC

  • est le point d'intersection des hauteurs du tétraèdre régulier
  • est le centre de la sphère inscrite
  • est le centre de la sphère semi-inscrite
  • est le centre de la sphère décrite
  • est le centre de gravité du tétraèdre
  • est le sommet de quatre pyramides triangulaires régulières égales avec des bases - des faces tétraédriques.

    • Conclusion.

    (L'enseignant et les élèves résument la leçon. L'un des élèves parle avec un court message sur les tétraèdres en tant qu'unité structurelle d'éléments chimiques.)

    Les propriétés d'un tétraèdre régulier et de sa pointe « étonnante » sont étudiées.

    Il a été constaté que seul la forme d'un tel tétraèdre, qui possède toutes les propriétés ci-dessus, ainsi qu'un point «idéal», peut avoir des molécules de silicates et d'hydrocarbures. Alternativement, les molécules peuvent être composées de plusieurs tétraèdres réguliers. Actuellement, le tétraèdre est connu non seulement comme un représentant de la civilisation ancienne, les mathématiques, mais aussi comme la base de la structure des substances.

    Les silicates sont des substances de type sel contenant des composés silicium-oxygène. Leur nom vient du mot latin « sylex » - « silex ». La base des molécules de silicate est constituée de radicaux atomiques sous forme de tétraèdres.

    Les silicates sont le sable, l'argile, la brique, le verre, le ciment, l'émail, le talc, l'amiante, l'émeraude et la topaze.

    Les silicates constituent plus de 75 % de la croûte terrestre (et avec le quartz environ 87 %) et plus de 95 % des roches ignées.

    Une caractéristique importante des silicates est la capacité de combinaison mutuelle (polymérisation) de deux ou plusieurs tétraèdres silicium-oxygène à travers un atome d'oxygène commun.

    Les hydrocarbures saturés ont la même forme de molécules, mais ils sont constitués, contrairement aux silicates, de carbone et d'hydrogène. Formule générale des molécules

    Les hydrocarbures comprennent le gaz naturel.

    Il est nécessaire de considérer les propriétés des tétraèdres rectangulaires et équilatéraux.

    Littérature.

    • Potapov V.M., Tatarinchik S.N. "Chimie organique", Moscou 1976
    • V.P. Babarin "Secrets des Grandes Pyramides", Saint-Pétersbourg, 2000.
    • Sharygin I. F. « Problèmes de géométrie », Moscou, 1984.
    • Grand dictionnaire encyclopédique.
    • "Livre de référence scolaire", Moscou, 2001.
    2021 nowonline.ru
    À propos des médecins, hôpitaux, cliniques, maternités