Comment résoudre un système d'équations à une inconnue. Exemples de systèmes d'équations linéaires : méthode de résolution. Système de deux équations linéaires à deux variables

Les systèmes d'équations sont largement utilisés dans l'industrie économique dans la modélisation mathématique de divers processus. Par exemple, lors de la résolution de problèmes de gestion et de planification de production, d'itinéraires logistiques (problème de transport) ou de placement d'équipements.

Les systèmes d'équations sont utilisés non seulement dans le domaine des mathématiques, mais aussi en physique, chimie et biologie, pour résoudre des problèmes de détermination de la taille de la population.

Un système d'équations linéaires est appelé deux ou plusieurs équations à plusieurs variables, pour lesquelles il est nécessaire de trouver une solution générale. Une telle suite de nombres pour laquelle toutes les équations deviennent de vraies égalités ou prouvent que la suite n'existe pas.

Équation linéaire

Les équations de la forme ax + by = c sont dites linéaires. La notation x, y est l'inconnue dont il faut trouver la valeur, b, a sont les coefficients des variables, c est le terme libre de l'équation.
La solution de l'équation en traçant son graphique aura la forme d'une ligne droite, dont tous les points sont la solution du polynôme.

Types de systèmes d'équations linéaires

Les exemples les plus simples sont considérés comme des systèmes d'équations linéaires à deux variables X et Y.

F1 (x, y) = 0 et F2 (x, y) = 0, où F1,2 sont des fonctions et (x, y) sont des variables de fonction.

Résoudre un système d'équations - cela signifie trouver de telles valeurs (x, y) auxquelles le système se transforme en une véritable égalité, ou établir qu'il n'y a pas de valeurs appropriées pour x et y.

Une paire de valeurs (x, y), écrites comme les coordonnées d'un point, est appelée solution d'un système d'équations linéaires.

Si les systèmes ont une solution commune ou si la solution n'existe pas, ils sont appelés équivalents.

Les systèmes homogènes d'équations linéaires sont des systèmes dont le membre de droite est égal à zéro. Si la partie droite après le signe "égal" a une valeur ou est exprimée par une fonction, un tel système est hétérogène.

Le nombre de variables peut être bien supérieur à deux, alors nous devrions parler d'un exemple de système d'équations linéaires avec trois variables ou plus.

Face aux systèmes, les écoliers supposent que le nombre d'équations doit nécessairement coïncider avec le nombre d'inconnues, mais ce n'est pas le cas. Le nombre d'équations dans le système ne dépend pas des variables, il peut y en avoir autant que vous le souhaitez.

Méthodes simples et complexes de résolution de systèmes d'équations

Il n'existe pas de méthode analytique générale pour résoudre de tels systèmes ; toutes les méthodes sont basées sur des solutions numériques. Le cours de mathématiques scolaires décrit en détail des méthodes telles que la permutation, l'addition algébrique, la substitution, ainsi que la méthode graphique et matricielle, la solution par la méthode de Gauss.

La tâche principale dans l'enseignement des méthodes de solution est d'enseigner comment analyser correctement le système et trouver l'algorithme de solution optimal pour chaque exemple. L'essentiel n'est pas de mémoriser le système de règles et d'actions pour chaque méthode, mais de comprendre les principes d'application d'une méthode particulière

La solution d'exemples de systèmes d'équations linéaires pour la 7e année du programme scolaire général est assez simple et expliquée en détail. Dans tout manuel de mathématiques, cette section reçoit suffisamment d'attention. La résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires par la méthode de Gauss et Cramer est étudiée plus en détail dans les premières années des établissements d'enseignement supérieur.

Solution de systèmes par méthode de substitution

Les actions de la méthode de substitution visent à exprimer la valeur d'une variable par la seconde. L'expression est substituée dans l'équation restante, puis elle est réduite à une forme avec une variable. L'action est répétée en fonction du nombre d'inconnues dans le système

Donnons la solution d'un exemple de système d'équations linéaires de la 7ème classe par la méthode de substitution :

Comme vous pouvez le voir dans l'exemple, la variable x a été exprimée par F (X) = 7 + Y. L'expression résultante, substituée dans la 2e équation du système à la place de X, a permis d'obtenir une variable Y dans la 2e équation . La solution de cet exemple ne pose aucune difficulté et permet d'obtenir la valeur Y. La dernière étape consiste à vérifier les valeurs obtenues.

Il n'est pas toujours possible de résoudre un exemple de système d'équations linéaires par substitution. Les équations peuvent être compliquées et l'expression de la variable en termes de seconde inconnue sera trop lourde pour des calculs ultérieurs. Lorsqu'il y a plus de 3 inconnues dans le système, la solution par substitution est également peu pratique.

Solution d'un exemple de système d'équations inhomogènes linéaires :

Solution d'addition algébrique

Lors de la recherche d'une solution aux systèmes par la méthode d'addition, l'addition terme par terme et la multiplication des équations par divers nombres sont effectuées. Le but ultime des opérations mathématiques est une équation à une variable.

Cette méthode demande de la pratique et de l'observation. Il n'est pas facile de résoudre un système d'équations linéaires par la méthode de l'addition avec 3 variables ou plus. Il est pratique d'utiliser l'addition algébrique lorsque des fractions et des nombres décimaux sont présents dans les équations.

Algorithme d'action de solution :

1. Multipliez les deux côtés de l'équation par un certain nombre. A la suite de l'opération arithmétique, l'un des coefficients de la variable doit devenir égal à 1.
2. Ajoutez l'expression résultante terme par terme et trouvez l'une des inconnues.
3. Remplacez la valeur obtenue dans la 2e équation du système pour trouver la variable restante.

Solution en introduisant une nouvelle variable

Une nouvelle variable peut être introduite si le système a besoin de trouver une solution pour pas plus de deux équations, le nombre d'inconnues ne doit pas non plus être supérieur à deux.

La méthode est utilisée pour simplifier l'une des équations en introduisant une nouvelle variable. La nouvelle équation est résolue par rapport à l'inconnue saisie et la valeur résultante est utilisée pour déterminer la variable d'origine.

L'exemple montre qu'en introduisant une nouvelle variable t, il a été possible de réduire la 1ère équation du système à un trinôme quadratique standard. Vous pouvez résoudre le polynôme en trouvant le discriminant.

Il faut trouver la valeur du discriminant selon la formule bien connue : D = b2 - 4 * a * c, où D est le discriminant recherché, b, a, c sont les facteurs du polynôme. Dans l'exemple donné, a = 1, b = 16, c = 39, donc D = 100. Si le discriminant est supérieur à zéro, alors il y a deux solutions : t = -b ± √D / 2 * a, si le discriminant est inférieur à zéro, alors il y a une solution : x = -b / 2 * a.

La solution pour les systèmes résultants est trouvée par la méthode d'addition.

Méthode visuelle pour résoudre des systèmes

Convient aux systèmes à 3 équations. La méthode consiste à tracer sur l'axe des coordonnées des graphes de chaque équation incluse dans le système. Les coordonnées des points d'intersection des courbes seront la solution générale du système.

La méthode graphique comporte un certain nombre de nuances. Considérons plusieurs exemples de résolution de systèmes d'équations linéaires de manière visuelle.

Comme vous pouvez le voir sur l'exemple, pour chaque ligne droite, deux points ont été construits, les valeurs de la variable x ont été choisies arbitrairement : 0 et 3. Sur la base des valeurs de x, les valeurs de y ont été trouvées : 3 et 0. Les points de coordonnées (0, 3) et (3, 0) ont été marqués sur le graphique et reliés par une ligne.

Les étapes doivent être répétées pour la deuxième équation. Le point d'intersection des droites est la solution du système.

Dans l'exemple suivant, vous devez trouver une solution graphique à un système d'équations linéaires : 0,5x-y + 2 = 0 et 0,5x-y-1 = 0.

Comme vous pouvez le voir sur l'exemple, le système n'a pas de solution, car les graphes sont parallèles et ne se coupent pas sur toute leur longueur.

Les systèmes des exemples 2 et 3 sont similaires, mais lors de leur construction, il devient évident que leurs solutions sont différentes. Il faut se rappeler qu'il n'est pas toujours possible de dire si un système a une solution ou non, il faut toujours construire un graphe.

La matrice et ses variétés

Les matrices sont utilisées pour écrire de manière concise un système d'équations linéaires. Une matrice est un tableau d'un type particulier rempli de nombres. n * m a n - lignes et m - colonnes.

Une matrice est carrée lorsque le nombre de colonnes et de lignes est égal entre eux. Une matrice vectorielle est une matrice à une colonne avec un nombre infini de lignes. Une matrice avec des uns le long de l'une des diagonales et d'autres éléments nuls est appelée la matrice d'identité.

Une matrice inverse est une telle matrice, lorsqu'elle est multipliée par laquelle l'originale se transforme en une matrice d'identité, une telle matrice n'existe que pour le carré d'origine.

Règles pour transformer un système d'équations en matrice

Comme appliqué aux systèmes d'équations, les coefficients et les termes libres des équations sont écrits comme les nombres de la matrice, une équation est une ligne de la matrice.

Une ligne de matrice est appelée non nulle si au moins un élément de la ligne est non nul. Par conséquent, si dans l'une des équations le nombre de variables diffère, alors il est nécessaire d'écrire zéro au lieu de l'inconnue manquante.

Les colonnes de la matrice doivent correspondre strictement aux variables. Cela signifie que les coefficients de la variable x ne peuvent être écrits que dans une colonne, par exemple, la première, le coefficient de l'inconnue y - uniquement dans la seconde.

Lors de la multiplication d'une matrice, tous les éléments de la matrice sont séquentiellement multipliés par un nombre.

Variantes de la recherche de la matrice inverse

La formule pour trouver la matrice inverse est assez simple : K -1 = 1 / | K |, où K -1 est la matrice inverse, et | K | est le déterminant de la matrice. |K | ne doit pas être égal à zéro, alors le système a une solution.

Le déterminant se calcule facilement pour une matrice deux par deux ; il suffit de multiplier les éléments de la diagonale les uns par les autres. Pour l'option "trois par trois", il y a la formule | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1. Vous pouvez utiliser la formule ou vous rappeler que vous devez prendre un élément de chaque ligne et de chaque colonne afin que le nombre de colonnes et de lignes d'éléments ne se répète pas dans le produit.

Solution d'exemples de systèmes d'équations linéaires par la méthode matricielle

La méthode matricielle de recherche d'une solution permet de réduire les enregistrements encombrants lors de la résolution de systèmes avec un grand nombre de variables et d'équations.

Dans l'exemple, a nm sont les coefficients des équations, la matrice est un vecteur x n sont des variables, et b n sont des termes libres.

Solution gaussienne des systèmes

Dans les mathématiques supérieures, la méthode de Gauss est étudiée avec la méthode de Cramer, et le processus de recherche d'une solution aux systèmes s'appelle la méthode de Gauss - Cramer. Ces méthodes sont utilisées pour trouver des systèmes variables avec un grand nombre d'équations linéaires.

La méthode de Gauss est très similaire aux solutions de substitution et d'addition algébrique, mais plus systématique. Au cours de l'école, la solution gaussienne est utilisée pour les systèmes de 3 et 4 équations. Le but de la méthode est de faire ressembler le système à un trapèze inversé. Par transformations et substitutions algébriques, la valeur d'une variable se retrouve dans l'une des équations du système. La deuxième équation est une expression à 2 inconnues, mais 3 et 4 - respectivement avec 3 et 4 variables.

Après avoir amené le système à la forme décrite, la solution supplémentaire est réduite à la substitution séquentielle de variables connues dans les équations du système.

Dans les manuels scolaires pour la 7e année, un exemple de solution par la méthode de Gauss est décrit comme suit :

Comme vous pouvez le voir sur l'exemple, à l'étape (3), deux équations ont été obtenues : 3x 3 -2x 4 = 11 et 3x 3 + 2x 4 = 7. La solution de l'une des équations vous permettra de trouver l'une des variables x n.

Le théorème 5, mentionné dans le texte, stipule que si l'une des équations du système est remplacée par une équivalente, alors le système résultant sera également équivalent à l'original.

La méthode Gauss est difficile à comprendre pour les lycéens, mais c'est l'un des moyens les plus intéressants de développer l'intelligence des enfants dans les cours avancés de mathématiques et de physique.

Pour faciliter l'enregistrement des calculs, il est d'usage de procéder comme suit :

Les coefficients des équations et des termes libres sont écrits sous la forme d'une matrice, où chaque ligne de la matrice est liée à l'une des équations du système. sépare le côté gauche de l'équation du côté droit. Les chiffres romains indiquent le nombre d'équations dans le système.

D'abord, ils notent la matrice avec laquelle travailler, puis toutes les actions effectuées avec l'une des lignes. La matrice résultante est écrite après le signe de la flèche et les actions algébriques nécessaires sont poursuivies jusqu'à ce que le résultat soit atteint.

En conséquence, une matrice devrait être obtenue dans laquelle l'une des diagonales est 1, et tous les autres coefficients sont égaux à zéro, c'est-à-dire que la matrice est ramenée à une forme unique. N'oubliez pas de faire des calculs avec les nombres des deux côtés de l'équation.

Cette méthode d'enregistrement est moins lourde et permet de ne pas se laisser distraire par l'énumération de nombreuses inconnues.

L'application gratuite de toute solution demandera du soin et une certaine expérience. Toutes les méthodes ne sont pas de nature appliquée. Certains moyens de trouver des solutions sont plus préférables dans cet autre domaine de l'activité humaine, tandis que d'autres existent à des fins pédagogiques.

Plus fiable que la méthode graphique évoquée dans le paragraphe précédent.

Méthode de substitution

Nous avons utilisé cette méthode en 7e année pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. L'algorithme qui a été développé en 7e année est tout à fait approprié pour résoudre des systèmes de deux équations quelconques (pas nécessairement linéaires) avec deux variables x et y (bien sûr, les variables peuvent être désignées par d'autres lettres, ce qui n'a pas d'importance). En fait, nous avons utilisé cet algorithme dans le paragraphe précédent, lorsque le problème d'un nombre à deux chiffres a conduit à un modèle mathématique, qui est un système d'équations. Nous avons résolu ce système d'équations par la méthode de substitution ci-dessus (voir exemple 1 du § 4).

Algorithme d'utilisation de la méthode de substitution lors de la résolution d'un système de deux équations à deux variables x, y.

1. Exprimez y à x à partir d'une équation du système.
2. Substituer l'expression obtenue au lieu de y dans une autre équation du système.
3. Résoudre l'équation résultante pour x.
4. Remplacez tour à tour chacune des racines de l'équation trouvée à la troisième étape au lieu de x dans l'expression de y à x obtenue à la première étape.
5. Écrivez la réponse sous forme de paires de valeurs (x; y) qui ont été trouvées, respectivement, aux troisième et quatrième étapes.

4) Remplacez tour à tour chacune des valeurs trouvées de y dans la formule x = 5 - 3y. Si donc
5) Paires (2; 1) et solutions d'un système d'équations donné.

Réponse : (2 ; 1) ;

Méthode d'addition algébrique

Cette méthode, comme la méthode de substitution, vous est familière depuis le cours d'algèbre de 7e année, où elle était utilisée pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. Rappelons l'essence de la méthode à l'aide de l'exemple suivant.

Exemple 2. Résoudre un système d'équations

Nous multiplions tous les termes de la première équation du système par 3, et laissons la deuxième équation inchangée :
Soustraire la deuxième équation du système de sa première équation :

Grâce à l'addition algébrique des deux équations du système d'origine, on obtient une équation plus simple que les première et deuxième équations du système donné. Avec cette équation plus simple, on a le droit de remplacer n'importe quelle équation d'un système donné, par exemple, la seconde. Ensuite, le système d'équations donné sera remplacé par un système plus simple :

Ce système peut être résolu par la méthode de substitution. A partir de la deuxième équation, nous trouvons En substituant cette expression au lieu de y dans la première équation du système, nous obtenons

Il reste à substituer les valeurs trouvées de x dans la formule

Si x = 2, alors

Ainsi, nous avons trouvé deux solutions au système :

Méthode d'introduction de nouvelles variables

Vous avez appris la méthode d'introduction d'une nouvelle variable dans la résolution d'équations rationnelles à une variable dans le cours d'algèbre de 8e année. L'essence de cette méthode lors de la résolution de systèmes d'équations est la même, mais d'un point de vue technique, il existe certaines caractéristiques que nous aborderons dans les exemples suivants.

Exemple 3. Résoudre un système d'équations

Introduisons une nouvelle variable Ensuite, la première équation du système peut être réécrite sous une forme plus simple : Résolvons cette équation pour la variable t :

Ces deux valeurs satisfont à la condition et sont donc les racines d'une équation rationnelle avec la variable t. Mais cela signifie que soit d'où nous trouvons que x = 2y, soit
Ainsi, en utilisant la méthode de l'introduction d'une nouvelle variable, nous sommes parvenus en quelque sorte à « scinder » la première équation du système, d'apparence assez compliquée, en deux équations plus simples :

x = 2 y ; y - 2x.

Et après? Et puis chacune des deux équations simples obtenues doit être considérée à son tour dans le système avec l'équation x 2 - y 2 = 3, dont nous ne nous sommes pas encore souvenus. En d'autres termes, le problème se réduit à résoudre deux systèmes d'équations :

Il faut trouver des solutions du premier système, du deuxième système et inclure toutes les paires de valeurs obtenues dans la réponse. Résolvons le premier système d'équations :

Nous utiliserons la méthode de substitution, d'autant plus que tout est prêt ici : nous substituons l'expression 2y au lieu de x dans la deuxième équation du système. On a

Puisque x = 2y, on trouve respectivement x 1 = 2, x 2 = 2. On obtient ainsi deux solutions du système donné : (2 ; 1) et (-2 ; -1). Résolvons le deuxième système d'équations :

Utilisons à nouveau la méthode de substitution : substituons l'expression 2x à y dans la deuxième équation du système. On a

Cette équation n'a pas de racines, ce qui signifie que le système d'équations n'a pas non plus de solutions. Ainsi, seules les solutions du premier système doivent être incluses dans la réponse.

Réponse : (2 ; 1) ; (-2; -1).

La méthode d'introduction de nouvelles variables lors de la résolution de systèmes de deux équations à deux variables est utilisée dans deux versions. Première option : une nouvelle variable est introduite et utilisée dans une seule équation du système. C'est exactement le cas dans l'exemple 3. Deuxième option : deux nouvelles variables sont introduites et utilisées simultanément dans les deux équations du système. Ce sera le cas dans l'exemple 4.

Exemple 4. Résoudre un système d'équations

Introduisons deux nouvelles variables :

Considérez qu'alors

Cela permettra de réécrire le système donné sous une forme beaucoup plus simple, mais par rapport aux nouvelles variables a et b :

Puisque a = 1, alors à partir de l'équation a + 6 = 2, nous trouvons : 1 + 6 = 2 ; 6 = 1. Ainsi, pour les variables a et b, nous avons une solution :

En revenant aux variables x et y, on obtient le système d'équations

Appliquons la méthode d'addition algébrique pour résoudre ce système :

Depuis lors, à partir de l'équation 2x + y = 3, nous trouvons :
Ainsi, pour les variables x et y, nous avons une solution :

Nous terminerons cette section par une discussion théorique courte mais assez sérieuse. Vous avez déjà acquis une certaine expérience dans la résolution de diverses équations : linéaire, carrée, rationnelle, irrationnelle. Vous savez que l'idée principale de la résolution d'une équation est une transition progressive d'une équation à une autre, plus simple, mais équivalente à celle donnée. Dans la section précédente, nous avons introduit le concept d'équivalence pour les équations à deux variables. Ce concept est également utilisé pour les systèmes d'équations.

Définition.

Deux systèmes d'équations avec des variables x et y sont dits équivalents s'ils ont les mêmes solutions ou si les deux systèmes n'ont pas de solutions.

Les trois méthodes (substitution, addition algébrique et introduction de nouvelles variables) que nous avons discutées dans cette section sont absolument correctes du point de vue de l'équivalence. En d'autres termes, en utilisant ces méthodes, nous remplaçons un système d'équations par un autre, plus simple, mais équivalent au système d'origine.

Méthode graphique pour résoudre des systèmes d'équations

Nous avons déjà appris à résoudre des systèmes d'équations par des méthodes aussi courantes et fiables que la méthode de substitution, l'addition algébrique et l'introduction de nouvelles variables. Rappelons maintenant avec vous, la méthode que vous avez déjà étudiée dans la leçon précédente. C'est-à-dire, répétons ce que vous savez sur la méthode de résolution graphique.

La méthode pour résoudre les systèmes d'équations de manière graphique est la construction d'un graphique pour chacune des équations spécifiques qui sont incluses dans ce système et sont situées dans le même plan de coordonnées, et également où il est nécessaire de trouver les intersections des points de ces graphiques. Pour résoudre ce système d'équations sont les coordonnées de ce point (x; y).

Il ne faut pas oublier qu'il est courant pour un système graphique d'équations d'avoir soit une seule solution correcte, soit un ensemble infini de solutions, soit aucune solution du tout.

Et maintenant, attardons-nous sur chacune de ces solutions plus en détail. Ainsi, le système d'équations peut avoir une solution unique si les droites, qui sont les graphiques des équations du système, se coupent. Si ces droites sont parallèles, alors un tel système d'équations n'a absolument aucune solution. En cas de coïncidence des graphes directs des équations du système, alors un tel système permet de trouver un ensemble de solutions.

Eh bien, regardons maintenant l'algorithme pour résoudre un système de deux équations avec 2 méthodes graphiques inconnues :

Tout d'abord, au début, nous construisons un graphique de la 1ère équation ;
La deuxième étape consiste à tracer le graphique qui fait référence à la deuxième équation ;
Troisièmement, nous devons trouver les points d'intersection des graphiques.
Et en conséquence, nous obtenons les coordonnées de chaque point d'intersection, qui seront la solution du système d'équations.

Regardons de plus près cette méthode avec un exemple. On nous donne un système d'équations à résoudre :

Résolution d'équations

1. Tout d'abord, nous allons tracer cette équation : x2 + y2 = 9.

Mais il faut noter que ce graphe d'équations sera un cercle avec un centre à l'origine, et son rayon sera égal à trois.

2. Notre prochaine étape consiste à tracer une équation telle que : y = x - 3.

Dans ce cas, il faut construire une droite et trouver les points (0 ; −3) et (3 ; 0).

3. Voyons ce que nous avons. On voit que la droite coupe le cercle en ses deux points A et B.

Maintenant, nous cherchons les coordonnées de ces points. On voit que les coordonnées (3 ; 0) correspondent au point A, et les coordonnées (0 ; -3) correspondent au point B.

Et qu'obtenons-nous au final ?

Les nombres (3 ; 0) et (0 ; −3) obtenus à l'intersection d'une droite avec un cercle sont exactement les solutions des deux équations du système. Et de là il s'ensuit que ces nombres sont aussi des solutions de ce système d'équations.

C'est-à-dire que la réponse à cette solution est les nombres : (3 ; 0) et (0 ; -3).

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Habituellement, les équations du système sont écrites dans une colonne l'une en dessous de l'autre et combinées avec une accolade

Un système d'équations de cette forme, où a, b, c- des nombres, et x, y- variables appelées système d'équations linéaires.

Lors de la résolution d'un système d'équations, des propriétés sont utilisées qui sont valables pour la résolution d'équations.

Solution d'un système d'équations linéaires par méthode de substitution

Prenons un exemple

1) Exprimez la variable dans l'une des équations. Par exemple, on exprime oui dans la première équation, on obtient le système :

2) Substituer dans la deuxième équation du système au lieu de oui expression 3x-7:

3) On résout la deuxième équation résultante :

4) On substitue la solution obtenue dans la première équation du système :

Le système d'équations a une solution unique : une paire de nombres x = 1, y = -4... Réponse: (1; -4) , écrit entre parenthèses, en première position la valeur X, Le deuxième - oui.

Résoudre un système d'équations linéaires par la méthode de l'addition

Résolvons le système d'équations de l'exemple précédent par la méthode de l'addition.

1) Transformer le système pour que les coefficients d'une des variables deviennent opposés. Multiplions la première équation du système par "3".

2) Additionner les équations du système terme à terme. La deuxième équation du système (toute) est réécrite sans modifications.

3) On substitue la solution obtenue dans la première équation du système :

Résoudre graphiquement un système d'équations linéaires

La résolution graphique d'un système d'équations à deux variables se réduit à trouver les coordonnées des points communs des graphiques des équations.

Le graphique d'une fonction linéaire est une ligne droite. Deux droites sur un plan peuvent se couper en un point, être parallèles ou coïncider. En conséquence, le système d'équations peut : a) avoir une solution unique ; b) n'ont pas de solutions ; c) avoir un nombre infini de solutions.

2) La solution du système d'équations est le point (si les équations sont linéaires) d'intersection des graphiques.

Solution graphique du système

Méthode d'introduction de nouvelles variables

La modification des variables peut conduire à la résolution d'un système d'équations plus simple que celui d'origine.

Considérez la solution du système

Nous introduisons un remplacement, puis

Passer aux variables d'origine

Cas spéciaux

Sans résoudre le système d'équations linéaires, on peut déterminer le nombre de ses solutions par les coefficients des variables correspondantes.

Contenu de la leçon

Équations linéaires à deux variables

Un étudiant a 200 roubles pour déjeuner à l'école. Un gâteau coûte 25 roubles et une tasse de café 10 roubles. Combien de gâteaux et de tasses de café pouvez-vous acheter pour 200 roubles ?

Notons le nombre de gâteaux à travers X, et le nombre de tasses de café après oui... Ensuite, le coût des gâteaux sera noté par l'expression 25 X, et le coût des tasses de café après 10 oui .

25X - le prix X des pâtisseries
10oui - le prix oui tasses de café

Le montant total doit être égal à 200 roubles. On obtient alors une équation à deux variables X et oui

25X+ 10oui= 200

Combien de racines cette équation a-t-elle ?

Tout dépend de l'appétit de l'élève. S'il achète 6 gâteaux et 5 tasses de café, alors les racines de l'équation seront 6 et 5.

Le couple de valeurs 6 et 5 est dit être les racines de l'équation 25 X+ 10oui= 200. Il s'écrit (6; 5), le premier nombre étant la valeur de la variable X, et la seconde est la valeur de la variable oui .

6 et 5 ne sont pas les seules racines qui inversent l'équation 25 X+ 10oui= 200 par identité. Si vous le souhaitez, un étudiant peut acheter 4 gâteaux et 10 tasses de café pour les mêmes 200 roubles :

Dans ce cas, les racines de l'équation 25 X+ 10oui= 200 est une paire de valeurs (4; 10).

De plus, un étudiant peut ne pas acheter de café du tout, mais acheter des gâteaux pour les 200 roubles. Alors les racines de l'équation 25 X+ 10oui= 200 il y aura les valeurs 8 et 0

Ou vice versa, n'achetez pas de gâteaux, mais achetez du café pour les 200 roubles. Alors les racines de l'équation 25 X+ 10oui= 200 il y aura des valeurs 0 et 20

Essayons de lister toutes les racines possibles de l'équation 25 X+ 10oui= 200. Admettons que les valeurs X et oui appartiennent à un ensemble d'entiers. Et que ces valeurs soient supérieures ou égales à zéro :

X∈Z, y∈ Z ;
x 0, y 0

Ce sera donc pratique pour l'étudiant lui-même. Il est plus pratique d'acheter des gâteaux entiers que, par exemple, plusieurs gâteaux entiers et un demi-gâteau. Il est également plus pratique de prendre du café dans des tasses entières que, par exemple, plusieurs tasses entières et une demi-tasse.

Notez que pour impair X il est impossible d'atteindre l'égalité sous quelque oui... puis les valeurs X il y aura les nombres suivants 0, 2, 4, 6, 8. Et sachant X vous pouvez facilement déterminer oui

Ainsi, nous avons les paires de valeurs suivantes (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Ces paires sont des solutions ou des racines de l'équation 25 X+ 10oui= 200. Ils font de cette équation une identité.

Équation de la forme hache + par = c sont appelés équation linéaire à deux variables... La solution ou les racines de cette équation est appelée une paire de valeurs ( X; oui), ce qui en fait une identité.

Notez également que si une équation linéaire à deux variables est écrite sous la forme ax + b y = c, alors ils disent qu'il est écrit dans canonique forme (normale).

Certaines équations linéaires à deux variables peuvent être réduites à une forme canonique.

Par exemple, l'équation 2(16X+ 3oui - 4) = 2(12 + 8X − oui) peut être réduit à la forme hache + par = c... En développant les parenthèses des deux côtés de cette équation, on obtient 32X + 6oui − 8 = 24 + 16X − 2oui ... Nous regroupons les termes contenant des inconnues sur le côté gauche de l'équation, et les termes sans inconnues - sur la droite. Ensuite, nous obtenons 32X - 16X+ 6oui+ 2oui = 24 + 8 ... Étant donné des termes similaires dans les deux parties, nous obtenons l'équation 16 X+ 8oui= 32. Cette équation se réduit à la forme hache + par = c et est canonique.

L'équation précédemment considérée 25 X+ 10oui= 200 est également une équation linéaire à deux variables sous forme canonique. Dans cette équation, les paramètres une , b et c sont égaux aux valeurs de 25, 10 et 200, respectivement.

En fait l'équation hache + par = c a d'innombrables solutions. Résoudre l'équation 25X+ 10oui= 200, nous n'avons cherché ses racines que sur l'ensemble des entiers. En conséquence, plusieurs paires de valeurs ont été obtenues qui ont fait de cette équation une identité. Mais sur l'ensemble des nombres rationnels équation 25 X+ 10oui= 200 aura d'innombrables solutions.

Pour obtenir de nouvelles paires de valeurs, vous devez prendre une valeur arbitraire pour X alors exprimer oui... Par exemple, prenons pour une variable X valeur 7. Ensuite, nous obtenons l'équation avec une variable 25 × 7 + 10oui= 200 dans lequel vous pouvez exprimer oui

Laisser X= 15. alors l'équation 25X+ 10oui= 200 prendra la forme 25 × 15 + 10oui= 200. De là, nous trouvons que oui = −17,5

Laisser X= -3. alors l'équation 25X+ 10oui= 200 prendra la forme 25 × (−3) + 10oui= 200. De là, nous trouvons que oui = −27,5

Système de deux équations linéaires à deux variables

Pour l'équation hache + par = c vous pouvez prendre des valeurs arbitraires pour X et trouver des valeurs pour oui... Prise séparément, une telle équation aura d'innombrables solutions.

Mais il arrive aussi que les variables X et oui ne sont pas liés par une, mais par deux équations. Dans ce cas, ils forment ce qu'on appelle système d'équations linéaires à deux variables... Un tel système d'équations peut avoir une paire de valeurs (ou en d'autres termes : "une solution").

Il peut également arriver que le système n'ait aucune solution. Un système d'équations linéaires peut avoir d'innombrables solutions dans des cas rares et exceptionnels.

Deux équations linéaires forment un système lorsque les valeurs X et oui sont inclus dans chacune de ces équations.

Revenons à la toute première équation 25 X+ 10oui= 200. L'une des paires de valeurs pour cette équation était la paire (6; 5). C'est un cas où vous pouvez acheter 6 gâteaux et 5 tasses de café pour 200 roubles.

Formulons le problème pour que le couple (6; 5) devienne la seule solution de l'équation 25 X+ 10oui= 200. Pour ce faire, nous allons composer une autre équation qui mettrait en relation le même X gâteaux et oui tasses de café.

Fixons le texte du problème comme suit :

« L'écolier a acheté plusieurs gâteaux et plusieurs tasses de café pour 200 roubles. Un gâteau coûte 25 roubles et une tasse de café 10 roubles. Combien de gâteaux et de tasses de café un élève a-t-il acheté si l'on sait que le nombre de gâteaux est supérieur d'un au nombre de tasses de café ? »

Nous avons déjà la première équation. Cette équation est 25 X+ 10oui= 200. Faisons maintenant une équation pour la condition "Le nombre de gâteaux est un de plus que le nombre de tasses de café" .

Le nombre de gâteaux est X, et le nombre de tasses de café est oui... Vous pouvez écrire cette phrase en utilisant l'équation x - y= 1. Cette équation signifierait que la différence entre les gâteaux et le café est de 1.

x = y+ 1. Cette équation signifie que le nombre de gâteaux est un de plus que le nombre de tasses de café. Par conséquent, pour obtenir l'égalité, un est ajouté au nombre de tasses de café. Ceci peut être facilement compris si nous utilisons le modèle des poids, que nous avons considéré lors de l'étude des problèmes les plus simples :

On a deux équations : 25 X+ 10oui= 200 et x = y+ 1. Puisque les valeurs X et oui, à savoir 6 et 5 sont inclus dans chacune de ces équations, puis ensemble ils forment un système. Écrivons ce système. Si les équations forment un système, elles sont alors encadrées par le signe du système. Le signe du système est une accolade :

Résolvons ce système. Cela nous permettra de voir comment nous arrivons aux valeurs 6 et 5. Il existe de nombreuses méthodes pour résoudre de tels systèmes. Considérons les plus populaires.

Méthode de substitution

Le nom de cette méthode parle de lui-même. Son essence est de substituer une équation à une autre, après avoir préalablement exprimé l'une des variables.

Il n'y a aucun besoin d'exprimer quoi que ce soit dans notre système. Dans la deuxième équation X = oui+ 1 variable X déjà exprimé. Cette variable est égale à l'expression oui+ 1. Ensuite, vous pouvez substituer cette expression dans la première équation au lieu de la variable X

Après substitution d'expression oui+ 1 dans la première équation au lieu de X, on obtient l'équation 25(oui+ 1) + 10oui= 200 ... C'est une équation linéaire à une variable. Cette équation est assez simple à résoudre :

Nous avons trouvé la valeur de la variable oui... Maintenant, nous substituons cette valeur dans l'une des équations et trouvons la valeur X... Pour cela, il est commode d'utiliser la deuxième équation X = oui+ 1. Dans celui-ci, nous substituons la valeur oui

Cela signifie que la paire (6; 5) est une solution du système d'équations, comme nous l'avions prévu. On vérifie et on s'assure que le couple (6 ; 5) satisfait le système :

Exemple 2

Remplacez la première équation X= 2 + oui dans la deuxième équation 3 X - 2oui= 9. Dans la première équation, la variable X est égal à 2 + oui... Nous substituons cette expression dans la deuxième équation au lieu de X

Trouvons maintenant la valeur X... Pour ce faire, remplacez la valeur oui dans la première équation X= 2 + oui

Donc la solution du système est la valeur de la paire (5; 3)

Exemple 3... Résoudre le système d'équations suivant par la méthode de substitution :

Ici, contrairement aux exemples précédents, l'une des variables n'est pas explicitement exprimée.

Pour remplacer une équation par une autre, vous devez d'abord le faire.

Il est souhaitable d'exprimer la variable qui a un coefficient de un. Le coefficient un a une variable X qui est contenu dans la première équation X+ 2oui= 11. Nous allons exprimer cette variable.

Après expression variable X, notre système prendra la forme suivante :

Maintenant, nous substituons la première équation dans la seconde et trouvons la valeur oui

Remplacer oui X

Cela signifie que la solution du système est une paire de valeurs (3; 4)

Bien sûr, vous pouvez également exprimer la variable oui... Les racines ne changeront pas de cela. Mais si vous exprimez oui, vous obtenez une équation pas si simple, qui prendra plus de temps à résoudre. Il ressemblera à ceci:

On voit que dans cet exemple pour exprimer X beaucoup plus pratique que d'exprimer oui .

Exemple 4... Résoudre le système d'équations suivant par la méthode de substitution :

Exprimons dans la première équation X... Le système prendra alors la forme :

oui

Remplacer oui dans la première équation et trouver X... Vous pouvez utiliser l'équation originale 7 X+ 9oui= 8, ou utilisez l'équation dans laquelle la variable est exprimée X... Nous utiliserons cette équation comme il convient :

Par conséquent, la solution du système est une paire de valeurs (5 ; −3)

Méthode d'addition

La méthode d'addition consiste à additionner les équations du système terme par terme. Cet ajout conduit au fait qu'une nouvelle équation à une variable est formée. Et résoudre une telle équation est assez simple.

Résolvons le système d'équations suivant :

Ajoutez le côté gauche de la première équation au côté gauche de la deuxième équation. Et le côté droit de la première équation avec le côté droit de la deuxième équation. On obtient l'égalité suivante :

Voici des termes similaires :

En conséquence, nous avons obtenu l'équation la plus simple 3 X= 27 dont la racine est 9. Connaissant la valeur X tu peux trouver le sens oui... Remplacer la valeur X dans la deuxième équation x - y= 3. Nous obtenons 9 - oui= 3. D'ici oui= 6 .

Donc la solution du système est une paire de valeurs (9; 6)

Exemple 2

Ajoutez le côté gauche de la première équation au côté gauche de la deuxième équation. Et le côté droit de la première équation avec le côté droit de la deuxième équation. Dans l'égalité résultante, nous présentons des termes similaires :

En conséquence, nous avons obtenu l'équation la plus simple 5 X= 20, dont la racine est 4. Connaissant la valeur X tu peux trouver le sens oui... Remplacer la valeur X dans la première équation 2 x + y= 11. On obtient 8 + oui= 11. D'ici oui= 3 .

Cela signifie que la solution du système est une paire de valeurs (4; 3)

Le processus d'ajout n'est pas détaillé. Cela doit être fait dans l'esprit. De plus, les deux équations doivent être réduites à la forme canonique. C'est-à-dire ac + par = c .

A partir des exemples considérés, on peut voir que le but principal de l'addition d'équations est de se débarrasser d'une des variables. Mais il n'est pas toujours possible de résoudre immédiatement le système d'équations par la méthode de l'addition. Le plus souvent, le système est préalablement amené à une forme dans laquelle vous pouvez ajouter les équations incluses dans ce système.

Par exemple, le système peut être résolu immédiatement par la méthode de l'addition. En additionnant les deux équations, les termes oui et −y disparaissent car leur somme est nulle. En conséquence, l'équation la plus simple est formée 11 X= 22, dont la racine est 2. On pourra alors déterminer ouiégal à 5.

Et le système d'équations la méthode d'addition ne peut pas être résolue immédiatement, car cela n'entraînera pas la disparition d'une des variables. L'addition donnera l'équation 8 X+ oui= 28, qui a d'innombrables solutions.

Si les deux côtés de l'équation sont multipliés ou divisés par le même nombre, qui n'est pas égal à zéro, alors une équation est obtenue qui est équivalente à celle donnée. Cette règle est également vraie pour un système d'équations linéaires à deux variables. L'une des équations (ou les deux équations) peut être multipliée par n'importe quel nombre. Le résultat sera un système équivalent dont les racines coïncideront avec le précédent.

Revenons au tout premier système, qui décrivait le nombre de gâteaux et de tasses de café achetés par un étudiant. La solution à ce système était une paire de valeurs (6; 5).

Multiplions les deux équations de ce système par quelques nombres. Disons que la première équation est multipliée par 2 et la seconde par 3

En conséquence, nous avons obtenu le système
La solution à ce système est encore un couple de valeurs (6 ; 5)

Cela signifie que les équations incluses dans le système peuvent être réduites à une forme appropriée pour appliquer la méthode d'addition.

Retour au système , que nous n'avons pas pu résoudre avec la méthode d'addition.

Multipliez la première équation par 6 et la seconde par -2

On obtient alors le système suivant :

Additionnons les équations incluses dans ce système. Ajouter des composants 12 X et -12 X se traduira par 0, plus 18 oui et 4 oui donnera 22 oui, et additionner 108 et −20 donne 88. On obtient alors l'équation 22 oui= 88, d'où oui = 4 .

Si au début il est difficile d'ajouter des équations dans votre esprit, alors vous pouvez écrire comment le côté gauche de la première équation est ajouté au côté gauche de la deuxième équation, et le côté droit de la première équation est ajouté à droite côté de la deuxième équation :

Sachant que la valeur d'une variable oui est 4, vous pouvez trouver la valeur X... Remplacer oui dans l'une des équations, par exemple, dans la première équation 2 X+ 3oui= 18. On obtient alors une équation avec une variable 2 X+ 12 = 18. Déplacez 12 vers la droite, changez le signe, nous obtenons 2 X= 6, d'où X = 3 .

Exemple 4... Résoudre le système d'équations suivant par la méthode de l'addition :

Multipliez la deuxième équation par -1. Le système prendra alors la forme suivante :

Ajoutons les deux équations. Ajout de composants X et -x donnera 0, addition 5 oui et 3 oui donnera 8 oui, et additionner 7 et 1 donne 8. Le résultat est l'équation 8 oui= 8, dont la racine est 1. Sachant que la valeur oui est égal à 1, vous pouvez trouver la valeur X .

Remplacer oui dans la première équation, on obtient X+ 5 = 7, donc X= 2

Exemple 5... Résoudre le système d'équations suivant par la méthode de l'addition :

Il est souhaitable que les termes contenant les mêmes variables soient situés les uns sous les autres. Par conséquent, dans la deuxième équation, les termes 5 oui et -2 Xéchanger des places. En conséquence, le système prendra la forme :

Multiplions la deuxième équation par 3. Ensuite, le système prendra la forme :

Ajoutons maintenant les deux équations. Par addition, on obtient l'équation 8 oui= 16, dont la racine est 2.

Remplacer oui dans la première équation, on obtient 6 X- 14 = 40. Déplacer le terme −14 vers la droite en changeant de signe, on obtient 6 X= 54. D'ici X= 9.

Exemple 6... Résoudre le système d'équations suivant par la méthode de l'addition :

Débarrassons-nous des fractions. Multipliez la première équation par 36 et la seconde par 12

Dans le système résultant la première équation peut être multipliée par -5, et la seconde par 8

Ajoutons les équations dans le système résultant. On obtient alors l'équation la plus simple −13 oui= -156. D'ici oui= 12. Remplacer oui dans la première équation et trouver X

Exemple 7... Résoudre le système d'équations suivant par la méthode de l'addition :

Ramenons les deux équations à la forme normale. Il est commode d'appliquer ici la règle de proportion dans les deux équations. Si dans la première équation le côté droit est représenté par, et le côté droit de la deuxième équation par, alors le système prendra la forme :

Nous avons la proportion. Multiplions ses termes extrêmes et moyens. Le système prendra alors la forme :

Nous multiplions la première équation par −3, et dans la seconde, nous développons les parenthèses :

Ajoutons maintenant les deux équations. En additionnant ces équations, nous obtenons l'égalité, dans les deux parties, il y aura zéro :

Il s'avère que le système a d'innombrables solutions.

Mais nous ne pouvons pas simplement prendre du ciel des valeurs arbitraires pour X et oui... Nous pouvons spécifier l'une des valeurs, et l'autre sera déterminée en fonction de la valeur que nous avons spécifiée. Par exemple, laissez X= 2. Remplaçons cette valeur dans le système :

Suite à la résolution de l'une des équations, la valeur de oui qui satisfera les deux équations :

La paire de valeurs résultante (2 ; −2) satisfera le système :

Trouvons une autre paire de valeurs. Laisser X= 4. Remplacez cette valeur dans le système :

À l'œil, vous pouvez déterminer que la valeur oui est égal à zéro. On obtient alors un couple de valeurs (4 ; 0), qui satisfait notre système :

Exemple 8... Résoudre le système d'équations suivant par la méthode de l'addition :

Multipliez la première équation par 6 et la seconde par 12

Réécrivons ce qui reste :

Multipliez la première équation par -1. Le système prendra alors la forme :

Ajoutons maintenant les deux équations. À la suite de l'addition, l'équation est formée 6 b= 48, dont la racine est 8. Substituer b dans la première équation et trouver une

Système d'équations linéaires à trois variables

Une équation linéaire à trois variables comprend trois variables avec des coefficients, ainsi qu'une interception. Sous sa forme canonique, il peut s'écrire ainsi :

ax + par + cz = d

Cette équation a d'innombrables solutions. En donnant à deux variables des significations différentes, une troisième signification peut être trouvée. La solution dans ce cas est trois valeurs ( X; y ; z) qui transforme l'équation en identité.

Si les variables x, y, z sont reliés par trois équations, alors un système de trois équations linéaires à trois variables est formé. Pour résoudre un tel système, vous pouvez appliquer les mêmes méthodes que celles appliquées aux équations linéaires à deux variables : la méthode de substitution et la méthode d'addition.

Exemple 1... Résoudre le système d'équations suivant par la méthode de substitution :

Exprimons dans la troisième équation X... Le système prendra alors la forme :

Faisons maintenant la substitution. Variable Xégal à l'expression 3 − 2oui − 2z ... Remplacez cette expression dans les première et deuxième équations :

Ouvrons les parenthèses dans les deux équations et donnons des termes similaires :

Nous sommes arrivés à un système d'équations linéaires à deux variables. Dans ce cas, il est pratique d'utiliser la méthode de l'addition. En conséquence, la variable oui va disparaître et nous pouvons trouver la valeur de la variable z

Trouvons maintenant la valeur oui... Pour cela, il est commode d'utiliser l'équation - oui+ z= 4. Substituez-y la valeur z

Trouvons maintenant la valeur X... Pour cela, il est commode d'utiliser l'équation X= 3 − 2oui − 2z ... Substituons-y les valeurs oui et z

Ainsi, le triplet de valeurs (3 ; -2 ; 2) est une solution de notre système. En vérifiant, on s'assure que ces valeurs satisfont le système :

Exemple 2... Résoudre le système en utilisant la méthode de l'addition

Ajoutez la première équation à la seconde multipliée par -2.

Si la deuxième équation est multipliée par -2, alors elle prend la forme −6X+ 6oui - 4z = −4 ... Ajoutez-le maintenant à la première équation :

On voit qu'à la suite de transformations élémentaires, la valeur de la variable a été déterminée X... Il est égal à un.

Revenons au système principal. Ajoutez la deuxième équation à la troisième multipliée par -1. Si la troisième équation est multipliée par -1, alors elle prend la forme −4X + 5oui − 2z = −1 ... Ajoutez-le maintenant à la deuxième équation :

Nous avons l'équation X - 2oui= -1. Substituons-y la valeur X que nous avons trouvé plus tôt. On peut alors déterminer la valeur oui

On connaît maintenant les valeurs X et oui... Cela vous permet de déterminer la valeur z... Utilisons l'une des équations incluses dans le système :

Ainsi, le triplet de valeurs (1 ; 1 ; 1) est la solution de notre système. En vérifiant, on s'assure que ces valeurs satisfont le système :

Tâches pour composer des systèmes d'équations linéaires

Le problème de la composition des systèmes d'équations est résolu en entrant plusieurs variables. Ensuite, des équations sont établies en fonction des conditions du problème. Ils forment un système à partir des équations et le résolvent. Après avoir résolu le système, il faut vérifier si sa solution satisfait aux conditions du problème.

Problème 1... Une voiture Volga a quitté la ville pour la ferme collective. Elle est revenue par une autre route, qui était 5 km plus courte que la première. Au total, la voiture a parcouru 35 km dans les deux sens. Combien de kilomètres fait chaque route ?

Solution

Laisser X - la longueur de la première route, oui- la longueur de la seconde. Si la voiture a parcouru 35 km jusqu'aux deux extrémités, la première équation peut s'écrire sous la forme X+ oui= 35. Cette équation décrit la somme des longueurs des deux routes.

On dit que la voiture est revenue par la route qui était 5 km plus courte que la première. Alors la deuxième équation peut s'écrire sous la forme X− oui= 5. Cette équation montre que la différence entre les longueurs des routes est de 5 km.

Ou la deuxième équation peut être écrite comme X= oui+ 5. Nous utiliserons cette équation.

Puisque les variables X et oui dans les deux équations désignent le même nombre, alors nous pouvons former un système à partir d'eux :

Résolvons ce système en utilisant certaines des méthodes précédemment étudiées. Dans ce cas, il est pratique d'utiliser la méthode de substitution, car dans la deuxième équation la variable X déjà exprimé.

Remplacez la deuxième équation par la première et trouvez oui

Remplacer la valeur trouvée oui dans la deuxième équation X= oui+ 5 et trouver X

La longueur de la première route a été désignée par la variable X... Maintenant, nous avons trouvé sa signification. Variable X est égal à 20. La longueur de la première route est donc de 20 km.

Et la longueur de la deuxième route était indiquée par oui... La valeur de cette variable est 15. La longueur de la deuxième route est donc de 15 km.

Allons vérifier. Tout d'abord, assurons-nous que le système est correctement résolu :

Vérifions maintenant si la solution (20 ; 15) satisfait les conditions du problème.

Il a été dit que la voiture a parcouru 35 km dans les deux sens. Additionnez les longueurs des deux routes et assurez-vous que la solution (20 ; 15) satisfait à cette condition : 20km + 15km = 35km

La condition suivante : la voiture revenait par une autre route, qui était 5 km plus courte que la première ... On voit que la solution (20 ; 15) satisfait aussi à cette condition, puisque 15 km est plus court que 20 km sur 5 km : 20 km - 15 km = 5 km

Lors de la compilation d'un système, il est important que les variables désignent les mêmes nombres dans toutes les équations incluses dans ce système.

Notre système contient donc deux équations. Ces équations contiennent à leur tour les variables X et oui, qui représentent les mêmes nombres dans les deux équations, à savoir des longueurs de route égales à 20 km et 15 km.

Tâche 2... Des traverses en chêne et en pin, 300 au total, ont été chargées sur la plate-forme. On sait que toutes les traverses en chêne pesaient 1 tonne de moins que toutes les traverses en pin. Déterminez le nombre de traverses en chêne et en pin séparément, si chaque traverse en chêne pesait 46 kg et chaque traverse en pin 28 kg.

Solution

Laisser X chêne et oui des traverses de pin ont été chargées sur la plate-forme. S'il y avait 300 dormeurs au total, alors la première équation peut être écrite comme x + y = 300 .

Toutes les traverses en chêne pesaient 46 X kg, et le pin pesait 28 oui kg. Étant donné que les traverses en chêne pesaient 1 tonne de moins que les traverses en pin, la deuxième équation peut s'écrire sous la forme 28oui - 46X= 1000 ... Cette équation montre que la différence de masse entre les traverses en chêne et en pin est de 1000 kg.

Les tonnes ont été converties en kilogrammes puisque le poids des traverses de chêne et de pin est mesuré en kilogrammes.

En conséquence, nous obtenons deux équations qui forment le système

Résolvons ce système. Exprimons dans la première équation X... Le système prendra alors la forme :

Remplacez la première équation par la seconde et trouvez oui

Remplacer oui dans l'équation X= 300 − oui et découvrez ce qui est égal X

Cela signifie que 100 traverses en chêne et 200 traverses en pin ont été chargées sur la plate-forme.

Vérifions si la solution (100 ; 200) satisfait aux conditions du problème. Tout d'abord, assurons-nous que le système est correctement résolu :

On disait qu'il y avait 300 dormeurs au total. Additionnez le nombre de traverses en chêne et en pin et assurez-vous que la solution (100 ; 200) satisfait à cette condition : 100 + 200 = 300.

La condition suivante : toutes les traverses en chêne pesaient 1 tonne de moins que toutes les traverses en pin ... On voit que la solution (100 ; 200) satisfait également à cette condition, puisque 46 × 100 kg de traverses en chêne sont plus légers que 28 × 200 kg de traverses en pin : 5600kg - 4600kg = 1000kg.

Problème 3... Trois morceaux d'alliage cuivre-nickel ont été prélevés dans des rapports de 2 : 1, 3 : 1 et 5 : 1 en poids. Une pièce pesant 12 kg avec un rapport de teneur en cuivre et nickel de 4: 1 a été fondue à partir d'eux. Trouvez la masse de chaque pièce originale si la masse de la première est le double de la masse de la seconde.