Numéro de module (valeur absolue d'un nombre), définitions, exemples, propriétés. La valeur absolue d'un nombre. Explication non scientifique de pourquoi il est nécessaire Propriétés de base du module d'un nombre réel

Tout d'abord, nous déterminons le signe de l'expression sous le signe du module, puis nous développons le module:

• si la valeur de l'expression est supérieure à zéro, alors nous la déplaçons simplement sous le signe du module,
• si l'expression est inférieure à zéro, alors on la retire sous le signe du module, en changeant de signe, comme on l'a fait plus haut dans les exemples.

Eh bien, allons-nous essayer? Estimons :

(J'ai oublié, je répète.)

Si, alors quel signe a-t-il ? Oui bien sur, !

Et, par conséquent, nous développons le signe du module, en changeant le signe de l'expression :

Compris? Ensuite, essayez-le vous-même :

Réponses:

Quelles sont les autres propriétés du module ?

Si nous devons multiplier les nombres à l'intérieur du signe du module, nous pouvons facilement multiplier les modules de ces nombres !!!

En termes mathématiques, le module du produit des nombres est égal au produit des modules de ces nombres.

Par exemple:

Et si nous devions séparer deux nombres (expressions) sous le signe du module ?

Oui, la même chose qu'avec la multiplication ! Séparons-nous en deux nombres distincts (expressions) sous le signe du module :

à condition que (puisque vous ne pouvez pas diviser par zéro).

Il convient de rappeler une autre propriété du module :

Le module de la somme des nombres est toujours inférieur ou égal à la somme des modules de ces nombres :

Pourquoi donc? Tout est très simple !

On s'en souvient, le module est toujours positif. Mais le signe du module peut contenir n'importe quel nombre : à la fois positif et négatif. Supposons que les nombres et soient tous les deux positifs. Alors l'expression de gauche sera égale à l'expression de droite.

Prenons un exemple :

Si, sous le signe du module, un nombre est négatif et l'autre est positif, l'expression de gauche sera toujours inférieure à celle de droite :

Il semble que tout soit clair avec cette propriété, considérons quelques propriétés plus utiles du module.

Et si on avait cette expression :

Que peut-on faire avec cette expression ? Nous ne connaissons pas la valeur de x, mais nous savons déjà quoi, ce qui signifie.

Le nombre est supérieur à zéro, ce qui signifie que vous pouvez simplement écrire :

Nous sommes donc arrivés à une autre propriété, qui en général peut être représentée comme suit :

Et quelle est cette expression égale à :

Nous devons donc définir le signe sous le module. Est-il nécessaire de définir un signe ici ?

Bien sûr que non, si vous vous souvenez que tout nombre dans un carré est toujours supérieur à zéro ! Si vous ne vous en souvenez pas, consultez le sujet. Et que se passe-t-il ? Voici quoi :

Super, hein ? Assez pratique. Et maintenant un exemple concret à corriger :

Eh bien, pourquoi des doutes? Nous agissons avec audace !

L'avez-vous compris? Alors allez-y et entraînez-vous avec des exemples !

1. Trouvez la valeur de l'expression if.

2. À quels nombres le module est-il égal ?

3. Trouvez le sens des expressions :

Si tout n'est pas encore clair et qu'il y a des difficultés dans les solutions, alors découvrons-le :

Solution 1 :

Alors, substituons les valeurs dans l'expression

Solution 2 :

Comme nous nous en souvenons, les nombres opposés sont égaux en valeur absolue. Cela signifie que la valeur du module est égale à deux nombres : et.

Solution 3 :

une)
b)
v)
G)

As-tu tout attrapé ? Alors il est temps de passer au plus difficile !

Essayons de simplifier l'expression

Solution:

Ainsi, nous nous souvenons que la valeur du module ne peut pas être inférieure à zéro. Si le signe du module est positif, alors on peut simplement écarter le signe : le module du nombre sera égal à ce nombre.

Mais si le signe du module est négatif, alors la valeur du module est égale au nombre opposé (c'est-à-dire le nombre pris avec le signe "-").

Afin de trouver le module d'une expression, vous devez d'abord savoir si elle prend une valeur positive ou négative.

Il s'avère que la valeur de la première expression sous le module.

Par conséquent, l'expression sous le signe du module est négative. La deuxième expression sous le signe du module est toujours positive, puisque nous ajoutons deux nombres positifs.

Ainsi, la valeur de la première expression sous le signe du module est négative, la seconde est positive :

Cela signifie qu'en développant le signe du module de la première expression, nous devons prendre cette expression avec le signe "-". Comme ça:

Dans le second cas, on écarte simplement le signe du module :

Simplifions toute l'expression :

Module d'un nombre et ses propriétés (définitions et preuves rigoureuses)

Définition:

Le module (valeur absolue) d'un nombre est le nombre lui-même, si, et le nombre, si :

Par exemple:

Exemple:

Simplifiez l'expression.

Solution:

Propriétés de base du module

Pour tous:

Exemple:

Prouvez la propriété n°5.

Preuve:

Supposons qu'il y ait tel que

Égalisons les côtés gauche et droit de l'inégalité (cela peut être fait, puisque les deux côtés de l'inégalité sont toujours non négatifs) :

et ceci est contraire à la définition d'un module.

Par conséquent, celles-ci n'existent pas, et donc, pour tous, l'inégalité

Exemples de solution indépendante :

1) Démontrer la propriété 6.

2) Simplifier l'expression.

Réponses:

1) Utilisons la propriété n°3 : et puisque, alors

Pour garder les choses simples, vous devez étendre les modules. Et pour développer des modules, vous devez savoir si les expressions sous le module sont positives ou négatives ?

une. Comparons les nombres et et :

b. Comparons maintenant et :

Additionnez les valeurs des modules :

La valeur absolue d'un nombre. En bref sur l'essentiel.

Le module (valeur absolue) d'un nombre est le nombre lui-même, si, et le nombre, si :

Propriétés du module :

1. Le module d'un nombre est un nombre non négatif :;
2. Les modules de nombres opposés sont égaux :;
3. Le module du produit de deux (ou plus) nombres est égal au produit de leurs modules :;
4. Le module du quotient de deux nombres est égal au quotient de leurs modules :;
5. Le module de la somme des nombres est toujours inférieur ou égal à la somme des modules de ces nombres :;
6. Un facteur positif constant peut être pris en dehors du signe du module : at ;

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Légendes des diapositives :

Buts et objectifs de la leçon Introduire la définition du module d'un nombre réel, considérer les propriétés et expliquer la signification géométrique du module ; Introduisez la fonction y = | x | , montrer les règles de construction de son graphe ; Enseigner de différentes manières à résoudre des équations contenant un module ; Développer un intérêt pour les mathématiques, l'indépendance, la pensée logique, le discours mathématique, inculquer la précision et la diligence.

Définition. Par exemple : | 8 | = 8 ; | -8 | = - (- 8) = 8;

Propriétés du module

La signification géométrique du module de nombres linéaires est un bon exemple d'un ensemble de nombres réels. Marquons deux points a et b sur la droite numérique et essayons de trouver la distance (a; b) entre ces points. Évidemment, cette distance est égale à b-a, si b> a Si vous échangez, c'est-à-dire a> b, la distance sera égale à a - b. Si a = b alors la distance est nulle, puisqu'un point est obtenu. Nous pouvons décrire les trois cas de manière uniforme :

Exemple. Résoudre l'équation : a) | x-3 | = 6 b) | x + 5 | = 3 c) | x | = 2,8 d) Solution. a) Nous devons trouver des points sur la ligne de coordonnées qui sont éloignés du point 3 à une distance égale à 6. Ces points sont 9 et -3. (Ils ont ajouté et soustrait les six des trois.) Réponse : x = 9 et x = -3 b) | x +5 | = 3, nous réécrivons l'équation comme | x - (- 5) | = 3. Trouvons la distance du point -5 distant par 3. Cette distance, il s'avère, de deux points : x = 2 et x = -8 Réponse : x = 2 et x = -8. c) | x | = 2,8, peut être représenté par | x-0 | = 2,8 ou évidemment, x = -2,8 ou x = 2,8 Réponse : x = -2,8 et x = 2,8. d) équivalent Évidemment,

Fonction y = |x |

Résoudre l'équation | x-1 | = 4 1 voie (analytique) Tâche 2

Méthode 2 (graphique)

Module des nombres réels. Identité Considérons l'expression, si a> 0, alors nous savons quoi. Mais que faire si un 0. 2. Résumons : Par la définition du module : C'est

Module des nombres réels. Exemple. Simplifier l'expression si : a) a-2≥0 b) a -2

Module des nombres réels. Exemple. Calculer la solution. On sait que : Il reste à étendre les modules Considérons la première expression :

Considérons la deuxième expression : En utilisant la définition, nous révélons les signes des modules : En conséquence, nous avons : Réponse : 1.

Sécurisation du nouveau matériel. n° 16.2, n° 16.3, n° 16.4, n° 16.12, n° 16.16 (a, d), n° 16.19

Tâches pour une solution indépendante. 1. Résoudre l'équation : a) | x -10 | = 3 b) | x +2 | = 1 c) | x | = 2,8 d) 2. Résoudre l'équation : a) | 3 x -9 | = 33 b) | 8-4 x | = 16 c) | x +7 | = -3 3. Simplifier l'expression si a) a-3≥0 b) a -3

Liste de la littérature utilisée : Zvavich L.I. Algèbre. Étude avancée. 8e année : cahier de problèmes / L.I. Zvavich, A.R. Riazanovsky. - 4e éd., Rév. - M. : Mnémosina, 2006.-- 284 p. Mordkovitch A.G. Algèbre. 8e année. À 14 heures Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement / A.G. Mordkovitch. - 12e éd., Effacé. - M. : Mnemosina, 2014 .-- 215 p. Mordkovich A.G. et al.Algebra. 8e année. En 2 heures, Partie 2. Cahier de problèmes pour les étudiants des établissements d'enseignement / éd. A.G. Mordkovitch. - 12e éd., Rév. et ajouter. - M. : Mnémosina, 2014 .-- 271 p.

§ 1 Module d'un nombre réel

Dans cette leçon, nous explorerons le concept de « module » pour tout nombre réel.

Écrivons les propriétés du module d'un nombre réel :

§ 2 Résolution d'équations

En utilisant la signification géométrique du module d'un nombre réel, nous résolvons plusieurs équations.

L'équation a donc 2 racines : -1 et 3.

Ainsi, l'équation a 2 racines : -3 et 3.

En pratique, diverses propriétés des modules sont utilisées.

Considérez ceci dans l'exemple 2 :

Ainsi, dans cette leçon, vous avez étudié le concept de "module d'un nombre réel", ses propriétés de base et sa signification géométrique. Nous avons également résolu plusieurs problèmes typiques sur l'application des propriétés et la représentation géométrique du module des nombres réels.

Liste de la littérature utilisée :

1. Mordkovitch A.G. "Algèbre" niveau 8. A 14h, 1ère partie. Manuel pour les établissements d'enseignement / A.G. Mordkovitch. - 9e éd., Rév. - M. : Mnemosina, 2007 .-- 215p. : Ill.
2. Mordkovitch A.G. "Algèbre" niveau 8. A 14h, partie 2. Cahier de problèmes pour les établissements d'enseignement / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina, E.E. Tulchinskaya.. - 8e éd., - M. : Mnemosina, 2006. - 239p.
3. Algèbre. 8e année. Documents de test pour les étudiants des établissements d'enseignement L.A. Alexandrov, éd. A.G. Mordkovich 2e éd., Effacé. - M. : Mnemosina, 2009 .-- 40s.
4. Algèbre. 8e année. Travail indépendant pour les étudiants des établissements d'enseignement: au manuel de A.G. Mordkovich, L.A. Alexandrov, éd. A.G. Mordkovich, 9e éd., Effacé. - M. : Mnemosina, 2013 .-- 112s.

Dans cet article, nous analyserons en détail la valeur absolue d'un nombre... Nous donnerons diverses définitions du module d'un nombre, introduirons la notation et fournirons des illustrations graphiques. Dans ce cas, nous allons considérer divers exemples de recherche du module d'un nombre par définition. Après cela, nous listerons et justifierons les principales propriétés du module. À la fin de l'article, parlons de la façon dont le module d'un nombre complexe est déterminé et trouvé.

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Module numérique - définition, notation et exemples

Nous présentons d'abord notation du module des nombres... Le module du nombre a s'écrira ainsi, c'est-à-dire qu'à gauche et à droite du nombre nous mettrons des tirets verticaux formant le signe du module. Voici quelques exemples. Par exemple, modulo -7 peut être écrit comme ; le module 4.125 est écrit en tant que, et le module est écrit en tant que.

La définition suivante d'un module fait référence à, et donc, à, et aux nombres entiers, et aux nombres rationnels et irrationnels, en tant que parties constitutives de l'ensemble des nombres réels. Nous parlerons du module des nombres complexes dans.

Définition.

Module de nombre a Est soit le nombre a lui-même, si a est un nombre positif, soit le nombre −a, opposé au nombre a, si a est un nombre négatif, ou 0 si a = 0.

La définition sonore du module d'un nombre s'écrit souvent sous la forme suivante , cette notation signifie que si a> 0, si a = 0, et si a<0 .

Le dossier peut être présenté sous une forme plus compacte ... Cette notation signifie que si (a est supérieur ou égal à 0) et si a<0 .

Il y a aussi un record ... Ici, le cas où a = 0 doit être clarifié séparément. Dans ce cas, nous avons, mais −0 = 0, puisque zéro est considéré comme un nombre opposé à lui-même.

Donnons Exemples de recherche du module d'un nombre en utilisant la définition articulée. Par exemple, trouvons les modules des nombres 15 et. Commençons par trouver. Le nombre 15 étant positif, son module, par définition, est égal à ce nombre lui-même, c'est-à-dire. Et quelle est la valeur absolue d'un nombre ? Puisque est un nombre négatif, son module est égal au nombre opposé, c'est-à-dire le nombre ... De cette façon, .

En conclusion de ce paragraphe, nous présentons une conclusion, qui est très pratique à appliquer en pratique pour trouver le module d'un nombre. Il résulte de la définition du module d'un nombre que le module d'un nombre est égal au nombre sous le signe du module sans tenir compte de son signe, et d'après les exemples considérés ci-dessus, cela est très clairement visible. L'énoncé indiqué explique pourquoi le module d'un nombre est également appelé valeur absolue du nombre... Ainsi, le module d'un nombre et la valeur absolue d'un nombre sont identiques.

Module du nombre comme distance

Géométriquement, le module d'un nombre peut être interprété comme distance... Donnons détermination du module d'un nombre en termes de distance.

Définition.

Module de nombre a Est la distance de l'origine sur la ligne de coordonnées au point correspondant au nombre a.

Cette définition est cohérente avec la définition du module du nombre donnée au premier alinéa. Précisons ce point. La distance de l'origine au point correspondant à un nombre positif est égale à ce nombre. Le zéro correspond à l'origine, donc la distance de l'origine au point de coordonnée 0 est égale à zéro (vous n'avez pas besoin de reporter un seul segment unitaire et pas un seul segment qui constitue une fraction d'un segment unitaire pour aller du point O à un point de coordonnée 0). La distance de l'origine à un point de coordonnée négative est égale au nombre opposé à la coordonnée de ce point, puisqu'elle est égale à la distance de l'origine au point dont la coordonnée est le nombre opposé.

Par exemple, la valeur absolue de 9 est 9, puisque la distance entre l'origine et le point de coordonnée 9 est de neuf. Donnons un autre exemple. Le point avec la coordonnée -3,25 est à une distance de 3,25 du point O, donc .

La définition sonore du module d'un nombre est un cas particulier de détermination du module de la différence de deux nombres.

Définition.

Module de différence de deux nombres a et b est égal à la distance entre les points de la ligne de coordonnées de coordonnées a et b.

C'est-à-dire que si les points sont donnés sur la ligne de coordonnées A (a) et B (b), alors la distance du point A au point B est égale au module de la différence entre les nombres a et b. Si nous prenons le point O (origine) comme point B, alors nous obtenons la définition du module d'un nombre donné au début de ce paragraphe.

Détermination du module d'un nombre par la racine carrée arithmétique

Se produit occasionnellement définition du module en termes de racine carrée arithmétique.

Par exemple, calculons les valeurs absolues des nombres -30 et basées sur cette définition. On a. De même, on calcule le module des deux tiers : .

La définition du module d'un nombre par la racine carrée arithmétique est également cohérente avec la définition donnée au premier paragraphe de cet article. Montrons-le. Soit a un nombre positif, tandis que le nombre −a est négatif. Puis et , si a = 0, alors .

Propriétés du module

Le module a un certain nombre de résultats caractéristiques - propriétés des modules... Nous allons maintenant donner les principaux et les plus fréquemment utilisés. Pour justifier ces propriétés, on s'appuiera sur la définition du module d'un nombre en termes de distance.

Commençons par la propriété la plus évidente d'un module - le module d'un nombre ne peut pas être négatif... Sous forme littérale, cette propriété a un enregistrement de la forme pour tout nombre a. Cette propriété est très simple à justifier : le module d'un nombre est la distance, et la distance ne peut pas être exprimée sous la forme d'un nombre négatif.

Passons à la propriété suivante du module. La valeur absolue d'un nombre est zéro si et seulement si ce nombre est zéro... Le module de zéro est nul par définition. Le zéro correspond à l'origine, aucun autre point sur la ligne de coordonnées ne correspond à zéro, puisque chaque nombre réel est associé à un seul point sur la ligne de coordonnées. Pour la même raison, tout nombre autre que zéro correspond à un point autre que l'origine. Et la distance de l'origine à tout autre point que le point O n'est pas nulle, puisque la distance entre deux points est nulle si et seulement si ces points coïncident. Le raisonnement ci-dessus prouve que seul le module de zéro est égal à zéro.

Vas-y. Les nombres opposés ont des modules égaux, c'est-à-dire pour tout nombre a. En effet, deux points sur la ligne de coordonnées, dont les coordonnées sont des nombres opposés, sont à la même distance de l'origine, ce qui signifie que les valeurs absolues des nombres opposés sont égales.

La propriété suivante du module est la suivante : le module du produit de deux nombres est égal au produit des modules de ces nombres, C'est, . Par définition, le module du produit des nombres a et b est égal à a b, si, ou - (a b), si. Il résulte des règles de multiplication des nombres réels que le produit des valeurs absolues des nombres a et b est égal soit à a b, soit à - (a b), si, ce qui prouve la propriété considérée.

Le module du quotient de division de a par b est égal au quotient de division du module du nombre a par le module du nombre b, C'est, . Justifions cette propriété du module. Puisque le quotient est égal au produit, alors. En vertu de la propriété précédente, on a ... Il ne reste plus qu'à utiliser l'égalité, qui est valable en vertu de la définition du module d'un nombre.

La propriété suivante d'un module s'écrit sous la forme d'une inégalité : , a, b et c sont des nombres réels arbitraires. L'inégalité écrite n'est rien de plus que inégalité triangulaire... Pour clarifier cela, prenez les points A (a), B (b), C (c) sur la ligne de coordonnées et considérez le triangle dégénéré ABC, dont les sommets se trouvent sur une ligne droite. Par définition, le module de la différence est égal à la longueur du segment AB, est la longueur du segment AC, et est la longueur du segment CB. Puisque la longueur d'un côté d'un triangle ne dépasse pas la somme des longueurs des deux autres côtés, l'inégalité donc l'inégalité est également vraie.

L'inégalité qui vient d'être prouvée est beaucoup plus courante sous la forme ... L'inégalité écrite est généralement considérée comme une propriété distincte du module avec la formulation : " La valeur absolue de la somme de deux nombres ne dépasse pas la somme des valeurs absolues de ces nombres". Mais l'inégalité découle directement de l'inégalité si nous mettons −b au lieu de b et prenons c = 0.

Module de nombres complexes

Donne moi détermination du module d'un nombre complexe... Qu'il nous soit donné nombre complexe, écrit sous forme algébrique, où x et y sont des nombres réels qui représentent, respectivement, les parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe donné z, et est une unité imaginaire.