Déterminer le bon tétraèdre. Tétraèdre régulier (pyramide). Les tétraèdres dans le micromonde

Toutes ses faces sont des triangles égaux. Un dépliement d'un tétraèdre isoédrique est un triangle divisé par trois lignes médianes en quatre triangles égaux. Dans un tétraèdre équilatéral, les bases des hauteurs, les milieux des hauteurs et les points d'intersection des hauteurs des faces se trouvent à la surface d'une sphère (sphère de 12 points) (Analogue du cercle d'Euler pour un triangle).

Propriétés d'un tétraèdre isoédrique :

• Toutes ses faces sont égales (congruentes).
• Les bords croisés sont égaux par paires.
• Les angles triangulaires sont égaux.
• Les angles dièdres opposés sont égaux.
• Deux coins plans reposant sur un bord sont égaux.
• La somme des angles plats à chaque sommet est de 180°.
• Dépliez le tétraèdre - triangle ou parallélogramme.
• Le parallélépipède décrit est rectangulaire.
• Le tétraèdre a trois axes de symétrie.
• Les perpendiculaires communes des côtes croisées sont perpendiculaires par paires.
• Les lignes médianes sont perpendiculaires par paires.
• Les périmètres des faces sont égaux.
• Les aires des visages sont égales.
• Les hauteurs du tétraèdre sont égales.
• Les segments de droite reliant les sommets aux centres de gravité des faces opposées sont égaux.
• Les rayons des cercles décrits autour des bords sont égaux.
• Le centre de gravité du tétraèdre coïncide avec le centre de la sphère décrite.
• Le centre de gravité coïncide avec le centre de la sphère inscrite.
• Le centre de la sphère décrite coïncide avec le centre de la sphère inscrite.
• La sphère inscrite touche les faces aux centres des cercles circonscrits à ces faces.
• La somme des normales unitaires externes (vecteurs unitaires perpendiculaires aux faces) est nulle.
• La somme de tous les angles dièdres est nulle.

Tétraèdre orthocentrique

Toutes les hauteurs descendues des sommets aux faces opposées se coupent en un point.

Propriétés du tétraèdre orthocentrique :

• Les hauteurs du tétraèdre se coupent en un point.
• Les bases des hauteurs du tétraèdre sont les orthocentres des faces.
• Toutes les deux arêtes opposées d'un tétraèdre sont perpendiculaires.
• Les sommes des carrés des arêtes opposées du tétraèdre sont égales.
• Les segments reliant les milieux des bords opposés du tétraèdre sont égaux.
• Les produits des cosinus des angles dièdres opposés sont égaux.
• La somme des carrés des aires des faces est quatre fois inférieure à la somme des carrés des produits d'arêtes opposées.
• Ont tétraèdre orthocentrique un cercle de 9 points (cercle d'Euler) de chaque face appartient à une sphère (une sphère de 24 points).
• Ont tétraèdre orthocentrique les centres de gravité et les points d'intersection des hauteurs des faces, ainsi que les points divisant les segments de chaque hauteur du tétraèdre du sommet au point d'intersection des hauteurs dans un rapport de 2: 1, se trouvent sur la même sphère (sphère de 12 points).

Tétraèdre rectangulaire

Toutes les arêtes adjacentes à l'un des sommets sont perpendiculaires les unes aux autres. Un tétraèdre rectangle est obtenu en coupant un tétraèdre par un plan d'un parallélépipède rectangle.

Tétraèdre squelette

C'est un tétraèdre qui remplit l'une des conditions suivantes :

• il y a une sphère touchant tous les bords,
• les sommes des longueurs des arêtes qui se croisent sont égales,
• les sommes des angles dièdres aux bords opposés sont égales,
• les cercles inscrits dans les visages se touchent par paires,
• tous les quadrilatères obtenus sur le tétraèdre sont décrits,
• perpendiculaires élevées aux faces à partir des centres des cercles qui y sont inscrits se coupent en un point.

Tétraèdre proportionné

Les propriétés d'un tétraèdre proportionné :

• Les hauteurs sont égales. Les biphets tétraèdres sont les perpendiculaires communes à deux arêtes se croisant d'un tétraèdre (arêtes qui n'ont pas de sommets communs).
• La projection d'un tétraèdre sur un plan perpendiculaire à n'importe quel bimédianes, il y a un losange. bimédianes un tétraèdre est appelé les segments reliant les milieux de ses arêtes de croisement (qui n'ont pas de sommets communs).
• Les faces du parallélépipède décrit sont de même dimension.
• Les ratios suivants sont remplis : $4a\; ^\; 2\; (a\_1)\; ^\; 2-\; (b\; ^\; 2\; +\; (b\_1)\; ^\; 2-c\; ^\; 2-\; (c\_1)\; ^\; 2)\; ^\; 2\; =\; 4b\; ^\; 2\; (b\_1)\; ^\; 2-\; (c\; ^\; 2\; +\; (c\_1)\; ^\; 2-a\; ^\; 2-\; (a\_1)\; ^\; 2)\; ^\; 2\; =\; 4c\; ^\; 2\; (c\_1)\; ^\; 2-\; (a\; ^\; 2\; +\; (a\_1)\; ^\; 2-b\; ^\; 2-\; (b\_1)\; ^\; 2)\; ^\; 2$, où $une$ et $a\_1$, $b$ et $b\_1$, $c$ et $c\_1$- la longueur des côtes opposées.
• Pour chaque paire d'arêtes opposées du tétraèdre, les plans tracés par l'une d'elles et le milieu du second sont perpendiculaires.
• Une sphère peut être inscrite dans le parallélépipède décrit d'un tétraèdre proportionné.

Tétraèdre incentrique

Dans ce type, les segments reliant les sommets du tétraèdre aux centres des cercles inscrits dans les faces opposées se coupent en un point. Propriétés du tétraèdre incentrique :

• Les segments reliant les centres de gravité des faces du tétraèdre aux sommets opposés (médianes du tétraèdre) se coupent toujours en un point. Ce point est le centre de gravité du tétraèdre.
• Commenter... Si dans la dernière condition on remplace les centres de gravité des faces par les orthocentres des faces, alors cela se transformera en une nouvelle définition tétraèdre orthocentrique... Si on les remplace par les centres des cercles inscrits dans les faces, parfois appelés incentres, on obtient la définition d'une nouvelle classe de tétraèdres - incentrique.
• Les segments reliant les sommets du tétraèdre aux centres des cercles inscrits dans les faces opposées se coupent en un point.
• Les bissectrices des angles de deux faces, tracées au bord commun de ces faces, ont une base commune.
• Les produits des longueurs des arêtes opposées sont égaux.
• Un triangle formé par les deuxièmes points d'intersection de trois arêtes partant d'un sommet avec une sphère passant par trois extrémités de ces arêtes est équilatéral.

Tétraèdre régulier

C'est un tétraèdre isoédrique, toutes ses faces sont des triangles réguliers. C'est l'un des cinq corps de Platon.

Propriétés d'un tétraèdre régulier :

• toutes les arêtes du tétraèdre sont égales les unes aux autres,
• toutes les faces du tétraèdre sont égales,
• les périmètres et les aires de toutes les faces sont égaux les uns aux autres.
• Un tétraèdre régulier est en même temps orthocentrique, cadre, équidistant, incentrique et proportionnel.
• Un tétraèdre est correct s'il appartient à l'un des deux types de tétraèdres suivants : orthocentrique, cadre, incentrique, proportionnel, égal.
• Un tétraèdre est correct s'il est égal et appartient à l'un des types de tétraèdres suivants : orthocentrique, cadre, incentrique, proportionnel.
• Un octaèdre peut être inscrit dans un tétraèdre régulier, de plus, quatre (sur huit) faces de l'octaèdre seront alignées avec les quatre faces du tétraèdre, les six sommets de l'octaèdre seront alignés avec les centres des six arêtes de le tétraèdre.
• Un tétraèdre régulier se compose d'un octaèdre inscrit (au centre) et de quatre tétraèdres (le long des sommets), et les arêtes de ces tétraèdres et octaèdres ont la moitié de la taille des arêtes d'un tétraèdre régulier.
• Un tétraèdre régulier peut être inscrit dans un cube de deux manières, de plus, les quatre sommets du tétraèdre seront alignés avec les quatre sommets du cube.
• Un tétraèdre régulier peut être inscrit dans un icosaèdre, de plus, les quatre sommets du tétraèdre seront alignés avec les quatre sommets de l'icosaèdre.
• Les arêtes croisées d'un tétraèdre régulier sont mutuellement perpendiculaires.

Volume du tétraèdre

• Le volume du tétraèdre (compte tenu du signe) dont les sommets sont situés aux points $\backslash \; mathbf\; (r)\; \_1\; (x\_1,\; y\_1,\; z\_1),$ $\backslash \; mathbf\; (r)\; \_2\; (x\_2,\; y\_2,\; z\_2),$ $\backslash \; mathbf\; (r)\; \_3\; (x\_3,\; y\_3,\; z\_3),$ $\backslash \; mathbf\; (r)\; \_4\; (x\_4,\; y\_4,\; z\_4),$ est égal à

$V\; =\; \backslash \; frac16$

\ begin (vmatrix) 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \ end (vmatrix) = \ frac16 \ begin ( vmatrix) x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1 & z_4 - z_1 \ end (vmatrix), ou

$V\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (3)\; \backslash \; S\; H,$

où $S$ Est la zone de n'importe quel visage, et $H$- la hauteur descendue jusqu'à ce bord.

• Le volume du tétraèdre en termes de longueurs d'arêtes est exprimé à l'aide du déterminant de Cayley-Menger :

$288\; \backslash \; cdot\; V\; ^\; 2\; =$

0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & d_ (12) ^ 2 & d_ (13) ^ 2 & d_ (14) ^ 2 \\ 1 & d_ (12) ^ 2 & 0 & d_ ( 23) ^ 2 & d_ (24) ^ 2 \\ 1 & d_ (13) ^ 2 & d_ (23) ^ 2 & 0 & d_ (34) ^ 2 \\ 1 & d_ (14) ^ 2 & d_ ( 24) ^ 2 & d_ (34) ^ 2 & 0

\ fin (vmatrice).

• Cette formule a un analogue plat pour l'aire d'un triangle sous la forme d'une variante de la formule de Heron via un déterminant similaire.
• Volume d'un tétraèdre par les longueurs de deux arêtes opposées une et b comme traverser des lignes qui sont éloignées h l'un de l'autre et forment un angle l'un avec l'autre $\backslash \; phi$, se trouve par la formule :

$V\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (6)\; ab\; h\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi.$

$V\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (3)\; \backslash \; abc\; \backslash \; sqrt\; (D),$

où $$D\; =\; \backslash \; début\; (vmatrice)$$

1 & \ cos \ gamma & \ cos \ beta \\ \ cos \ gamma & 1 & \ cos \ alpha \\ \ cos \ beta & \ cos \ alpha & 1 \ end (vmatrix).

• Un analogue pour le plan de la dernière formule est la formule de l'aire d'un triangle en fonction de la longueur de ses deux côtés une et bémergeant d'un sommet et formant un angle l'un avec l'autre $\backslash \; gamma$:

$S\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (2)\; \backslash \; ab\; \backslash \; sqrt\; (D),$

où $D\; =\; \backslash \; début\; (vmatrice)$

1 & \ cos \ gamma \\ \ cos \ gamma & 1 \\ \ end (vmatrix).

Les tétraèdres dans le micromonde

• Le tétraèdre régulier est formé lors de l'hybridation sp 3 des orbitales atomiques (leurs axes sont dirigés vers les sommets du tétraèdre régulier et le noyau de l'atome central est situé au centre de la sphère décrite du tétraèdre régulier), donc, de nombreuses molécules dans lesquelles une telle hybridation de l'atome central a lieu ont la forme de ce polyèdre
• Molécule de méthane CH 4
• Ion sulfate SO 4 2-, ion phosphate PO 4 3-, ion perchlorate ClO 4 - et de nombreux autres ions
• Le diamant C est un tétraèdre d'arête égale à 2,5220 angströms
• Fluorite CaF 2, tétraèdre avec une arête égale à 3, 8626 angströms
• Sphalérite, ZnS, tétraèdre d'arête égale à 3,823 angströms
• Ions complexes -, 2-, 2-, 2+
• Les silicates dont la structure est basée sur le tétraèdre silicium-oxygène 4-

Les tétraèdres dans la nature

Certains fruits, au nombre de quatre d'une part, sont situés aux sommets d'un tétraèdre, qui est proche du bon. Cette conception est due au fait que les centres de quatre boules identiques se touchant sont aux sommets d'un tétraèdre régulier. Par conséquent, les fruits en forme de boule forment un arrangement mutuel similaire. Par exemple, les noix peuvent être positionnées de cette manière.

Les tétraèdres en technologie

voir également

• Simplex - tétraèdre à n dimensions

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Remarques (modifier)

Littérature

• Matizen V.E., Dubrovsky. De la géométrie du tétraèdre "Kvant", n° 9, 1988 P.66.
• Zaslavsky A.A. // Éducation mathématique, ser. 3 (2004), n° 8, p. 78-92.

Correct Correct non convexe Convexe Formules, théorèmes, théorie Autre

Extrait du Tétraèdre

Le quatrième jour, des incendies ont commencé sur Zubovsky Val.
Pierre et treize autres ont été emmenés à Krymsky Brod, dans la remise d'une maison de marchand. En passant dans les rues, Pierre étouffait à cause de la fumée qui semblait planer sur toute la ville. Les incendies pouvaient être vus de différentes directions. Pierre ne comprenait pas encore la signification de Moscou incendiée à cette époque et regardait avec horreur ces incendies.
Pierre resta encore quatre jours dans le hangar à voitures d'une maison près du Brod de Crimée, et pendant ces jours, par la conversation des soldats français, il apprit que tout le monde contenu ici attendait chaque jour la décision du maréchal. Quel genre de maréchal, Pierre n'a pas pu le découvrir auprès des soldats. Pour le soldat, évidemment, le maréchal semblait être le maillon le plus élevé et quelque peu mystérieux du pouvoir.
Ces premiers jours, jusqu'au 8 septembre, jour où les prisonniers sont emmenés pour un deuxième interrogatoire, sont les plus difficiles pour Pierre.

X
Le 8 septembre, un officier très important entra dans la grange aux prisonniers, à en juger par la déférence avec laquelle les gardiens le traitaient. Cet officier, probablement un officier d'état-major, une liste à la main, interpelle tous les Russes en appelant Pierre : celui qui n'avoue pas son nom. Et, indifféremment et paresseusement en regardant tous les prisonniers, il ordonna au garde que l'officier les vêtît convenablement et les rangeât avant de les conduire au maréchal. Une heure plus tard, une compagnie de soldats arriva, et Pierre et les treize autres furent conduits à Maiden's Field. Le jour était clair , ensoleillé après la pluie, et l'air était exceptionnellement clair. ce jour-là où Pierre a été sorti du poste de garde du puits Zubovsky; la fumée s'est élevée en colonnes dans l'air pur. Les incendies n'étaient pas visibles, mais des colonnes de fumée s'élevaient de toutes les directions, et tout Moscou, tout ce que Pierre pouvait voir, c'était une conflagration. de tous côtés on pouvait voir des friches avec des poêles et des cheminées et parfois des murs de maisons en pierre brûlées. Pierre regarda attentivement les incendies et ne reconnut pas les quartiers familiers de la ville. Dans certains endroits, on pouvait voir des églises. Le Kremlin, intact, brillait de loin avec ses tours et Ivan Ve visage. A proximité, le dôme du monastère de Novo Devichy brillait joyeusement, et les cloches et les sifflets ont été entendus particulièrement fort à partir de là. Ce message rappela à Pierre que c'était dimanche et fête de la Nativité de la Vierge. Mais il semblait qu'il n'y avait personne pour célébrer cette fête: partout il y avait la dévastation de l'incendie, et du peuple russe il n'y avait qu'occasionnellement des gens en haillons et effrayés qui se cachaient à la vue des Français.
De toute évidence, le nid russe a été ravagé et détruit ; mais derrière la destruction de cet ordre de vie russe, Pierre sentit inconsciemment que sur ce nid ruiné s'était établi le sien tout autre, mais ferme ordre français. Il le sentit à la vue de ceux, gaiement et gaiement, en rangées régulières de soldats en marche qui l'escortaient avec d'autres criminels ; il pouvait le sentir à la vue d'un important fonctionnaire français dans une voiture à vapeur conduite par un soldat, qui se dirigeait vers lui. Il l'a senti par les sons joyeux de la musique régimentaire venant du côté gauche du terrain, et il l'a surtout senti et compris d'après la liste que l'officier français qui était arrivé ce matin, ayant appelé les prisonniers, l'a lue ce matin. Pierre a été emmené par des militaires, emmené à un endroit, à un autre endroit avec des dizaines d'autres personnes ; il semblait qu'ils pouvaient l'oublier, le mélanger avec les autres. Mais non : ses réponses, données lors de l'interrogatoire, lui revenaient sous la forme de son nom : celui qui n'avoue pas son nom. sur leurs visages, que tous les autres prisonniers et lui étaient ceux qu'il fallait, et qu'ils étaient emmenés au bon endroit. .
Pierre et d'autres criminels ont été conduits du côté droit du Champ de la Vierge, non loin du monastère, dans une grande maison blanche avec un immense jardin. C'était la maison du prince Shcherbatov, dans laquelle Pierre rendait souvent visite au propriétaire et dans laquelle maintenant, comme il l'a appris de la conversation des soldats, il y avait un maréchal, duc d'Eckmühl.
Ils ont été emmenés sous le porche et conduits un par un dans la maison. Pierre est arrivé sixième. Par une galerie vitrée, un vestibule familier à Pierre, il fut conduit dans un long bureau bas, à la porte duquel se tenait un adjudant.
Davout était assis au fond de la pièce au-dessus d'une table, des lunettes sur le nez. Pierre s'approcha de lui. Davout, sans lever les yeux, se débrouillait apparemment avec une sorte de papier qui se trouvait devant lui. Sans lever les yeux, il demanda doucement :
- Qui etes vous ? [Qui es-tu?]
Pierre garda le silence car il ne parvenait pas à prononcer les mots. Davout pour Pierre n'était pas seulement un général français ; car Pierre Davout était un homme connu pour sa cruauté. En regardant le visage froid de Davout, qui, tel un professeur sévère, acceptait de patienter un moment et d'attendre une réponse, Pierre sentit que chaque seconde de retard pouvait lui coûter la vie ; mais il ne savait pas quoi dire. Il n'a pas osé dire ce qu'il a dit lors du premier interrogatoire ; révéler son rang et sa position était à la fois dangereux et honteux. Pierre se tut. Mais avant que Pierre n'ait eu le temps de décider quoi que ce soit, Davout leva la tête, porta ses lunettes à son front, plissa les yeux et regarda fixement Pierre.
— Je connais cet homme, dit-il d'une voix mesurée et froide, manifestement faite pour effrayer Pierre. Le froid qui avait déjà parcouru le dos de Pierre lui saisit la tête comme dans un étau.
- Mon general, vous ne pouvez pas me connaitre, je ne vous ai jamais vu ... [Vous ne pouviez pas me connaître, Général, je ne vous ai jamais vu.]
- C'est un espion russe, [C'est un espion russe,]" Davout l'interrompit en s'adressant à un autre général qui était dans la pièce et que Pierre n'avait pas remarqué. Et Davout se détourna. Avec un coup inattendu dans la voix, Pierre a soudainement parlé rapidement.
— Non, Monseigneur, dit-il en se rappelant tout à coup que Davout était duc. - Non, Monseigneur, vous n "avez pas pu me connaitre. Je suis un officier militaire et je n" ai pas quitter Moscou. [Non, Votre Altesse... Non, Votre Altesse, vous ne pouviez pas me connaître. Je suis policier et je n'ai pas quitté Moscou.]
- Votre nom ? [Votre nom ?] répéta Davout.
- Besouhof. [Bezoukhov.]
- Qu "est ce qui me prouvea que vous ne mentez pas ? [Qui me prouvera que vous ne mentez pas ?]
- Monseigneur ! [Votre Altesse!] - Pierre a crié d'une voix implorante, non offensée.
Davout leva les yeux et regarda fixement Pierre. Pendant quelques secondes, ils se regardèrent, et ce regard sauva Pierre. Dans cette optique, en plus de toutes les conditions de guerre et de jugement, des relations humaines s'établirent entre ces deux peuples. Tous les deux à cette minute-là, ressentirent vaguement un nombre incalculable de choses et se rendirent compte qu'ils étaient tous les deux enfants de l'humanité, qu'ils étaient frères.
Au premier coup d'œil pour Davout, qui ne relevait que la tête de sa liste, où les affaires humaines et la vie s'appelaient des nombres, Pierre n'était qu'une circonstance ; et, ne prenant pas la mauvaise action sur sa conscience, Davout l'aurait fusillé ; mais maintenant il voyait en lui un homme. Il réfléchit un instant.
- Commentez-moi pour me prouver la vérité de ce que vous me dites? [Comment me prouverez-vous la véracité de vos propos ?] - Davout dit froidement.
Pierre se souvint de Rambal et nomma son régiment, son nom de famille et la rue dans laquelle se trouvait la maison.
- Vous n'êtes pas ce que vous dites, [Vous n'êtes pas ce que vous dites.] - Répéta Davout.
Pierre, d'une voix tremblante et brisée, commença à prouver la validité de son témoignage.
Mais à ce moment-là, l'adjudant entra et rapporta quelque chose à Davout.
Davout rayonna soudain de la nouvelle rapportée par l'adjudant, et se mit à se boutonner. Il a apparemment complètement oublié Pierre.
Lorsque l'adjudant lui rappela le prisonnier, il fit un signe de tête à Pierre en fronçant les sourcils et lui dit de se laisser conduire. Mais où ils devaient l'emmener, Pierre ne le savait pas : retour à la baraque ou au lieu d'exécution préparé, que, passant par le Champ de la Vierge, ses camarades lui montrèrent.
Il tourna la tête et vit que l'adjudant demandait encore quelque chose.
-Oui, sans doute ! [Oui, bien sûr !] - dit Davout, mais ce "oui", Pierre ne le savait pas.
Pierre ne se souvenait plus comment, combien de temps il avait marché et où. Lui, dans un état d'absurdité complète et de stupidité, ne voyant rien autour de lui, a déplacé ses jambes avec les autres jusqu'à ce que tout le monde s'arrête et qu'il s'arrête. Une pensée pendant tout ce temps était dans la tête de Pierre. C'était la pensée de qui, qui, finalement, l'avait condamné à mort. Ce ne sont pas ceux-là qui l'ont interrogé dans la commission : aucun d'eux ne le voulait et, évidemment, ne pouvait le faire. Ce n'était pas Davout qui le regardait si humainement. Encore une minute, et Davout aurait compris ce qu'ils faisaient mal, mais cette minute fut interrompue par l'adjudant qui entra. Et cet adjudant, visiblement, ne voulait rien de mal, mais il n'aurait pas pu entrer. Qui a finalement exécuté, tué, pris sa vie - Pierre avec tous ses souvenirs, ses aspirations, ses espoirs, ses pensées ? Qui l'a fait? Et Pierre sentit que ce n'était personne.
C'était l'ordre, un concours de circonstances.
Un ordre l'a tué - Pierre, l'a privé de sa vie, tout, l'a détruit.

De la maison du prince Shcherbatov, les prisonniers ont été conduits tout droit le long du pôle Devichye, à gauche du monastère de Devichy, et conduits au jardin sur lequel se trouvait le pilier. Une grande fosse avec de la terre fraîchement creusée a été creusée derrière le pilier, et une grande foule de gens se tenait en demi-cercle près de la fosse et du pilier. La foule se composait d'un petit nombre de Russes et d'un grand nombre de troupes napoléoniennes hors de propos : Allemands, Italiens et Français en uniformes dissemblables. A droite et à gauche du pilier se trouvaient les fronts des troupes françaises en uniforme bleu avec épaulettes rouges, en bottes et shakos.
Les criminels ont été rangés dans un ordre connu, qui figurait sur la liste (Pierre était sixième), et amenés au poste. Plusieurs tambours frappèrent soudain des deux côtés, et Pierre sentit qu'avec ce son une partie de son âme s'était arrachée. Il a perdu la capacité de penser et de raisonner. Il ne pouvait que voir et entendre. Et il n'avait qu'un seul désir - le désir que quelque chose de terrible se produise qui devait être fait le plus tôt possible. Pierre se retourna vers ses camarades et les examina.
Deux personnes au bord étaient rasées et prudentes. L'un est grand, mince ; l'autre est noir, poilu, musclé, avec un nez aplati. Le troisième était une cour, environ quarante-cinq ans, avec des cheveux grisonnants et un corps plein et bien nourri. Le quatrième était un homme, très beau, avec une épaisse barbe blonde et des yeux noirs. Le cinquième était un ouvrier d'usine, jaune, maigre, âgé d'environ dix-huit ans, en robe de chambre.
Pierre a entendu que les Français discutaient comment tirer - un à la fois ou deux ? "Deux à la fois," répondit froidement et calmement l'officier supérieur. Il y avait un mouvement dans les rangs des soldats, et on remarquait que tout le monde était pressé - et ils étaient pressés, pas aussi pressés qu'ils sont pressés, de faire quelque chose de compréhensible pour tout le monde, mais en la même hâte qu'ils s'empressent d'accomplir une tâche nécessaire, mais désagréable et incompréhensible.
Un fonctionnaire français en écharpe s'est dirigé vers le côté droit de la file de criminels et a lu la phrase en russe et en français.
Puis deux couples de Français se sont approchés des malfaiteurs et ont emmené, sous la direction de l'officier, deux gardiens de prison debout sur le bord. Les gardes, montant au poste, s'arrêtèrent et, tandis que les sacs étaient apportés, regardèrent silencieusement autour d'eux, comme un animal assommé regarde un chasseur convenable. L'un n'arrêtait pas de se signer, l'autre se grattait le dos et faisait un mouvement des lèvres comme un sourire. Les soldats, pressés de leurs mains, ont commencé à leur bander les yeux, à mettre des sacs et à les attacher à un poteau.
Douze hommes de fusiliers armés de fusils sortirent de derrière les rangs et s'arrêtèrent à huit pas du poste. Pierre se détourna pour ne pas voir ce qui allait se passer. Soudain, il y eut un fracas et un fracas, qui parurent à Pierre plus forts que les plus terribles coups de tonnerre, et il regarda autour de lui. Il y avait de la fumée, et les Français au visage pâle et aux mains tremblantes faisaient quelque chose près de la fosse. Les deux autres étaient dirigés. De la même manière, avec les mêmes yeux, ces deux-là regardaient tout le monde, en vain, avec les mêmes yeux, silencieusement, demandant protection et, apparemment, ne comprenant pas et ne croyant pas ce qui allait se passer. Ils ne pouvaient pas croire, parce qu'eux seuls savaient ce qu'était leur vie pour eux, et donc ne comprenaient pas et ne croyaient pas pour qu'elle puisse être enlevée.
Pierre ne voulut pas regarder et se détourna de nouveau ; mais encore, comme si une terrible explosion lui frappait les oreilles, et avec ces bruits il vit de la fumée, le sang de quelqu'un et les visages pâles et effrayés des Français, qui faisaient encore quelque chose par la poste, se bousculant avec des mains tremblantes. Pierre, respirant fortement, regarda autour de lui, comme s'il lui demandait : qu'est-ce que c'est ? La même question était dans tous les regards qui croisaient celui de Pierre.

Dans cette leçon, nous examinerons le tétraèdre et ses éléments (arête du tétraèdre, surface, faces, sommets). Et nous allons résoudre plusieurs problèmes de construction de sections dans un tétraèdre, en utilisant la méthode générale de construction de sections.

Sujet : Parallélisme des lignes et des plans

Leçon : Tétraèdre. Problèmes de section de tétraèdre

Comment construire un tétraèdre ? Prenons un triangle arbitraire abc... Point arbitraire ré ne se trouvant pas dans le plan de ce triangle. On obtient 4 triangles. La surface formée par ces 4 triangles s'appelle un tétraèdre (Fig. 1.). Les points intérieurs délimités par cette surface font également partie du tétraèdre.

Riz. 1. Tétraèdre ABCD

Éléments tétraèdres
UNE,B, C, ré - sommets du tétraèdre.
UN B, CA, UN D, avant JC, BD, CD - arêtes d'un tétraèdre.
abc, ABD, BDC, CAN - faces d'un tétraèdre.

Commenter: tu peux prendre un avion abc par base tétraèdre, puis le point ré est un sommet d'un tétraèdre... Chaque arête d'un tétraèdre est l'intersection de deux plans. Par exemple, côte UN B est l'intersection des plans UN Bré et abc... Chaque sommet d'un tétraèdre est l'intersection de trois plans. Sommet UNE se trouve dans les avions abc, UN Bré, UNEréAVEC... Point UNE- c'est l'intersection des trois plans désignés. Ce fait s'écrit ainsi : UNE= abc ∩ UN Bré ∩ COMMEré.

Définition du tétraèdre

Alors, tétraèdre est une surface formée de quatre triangles.

Bord d'un tétraèdre- la ligne d'intersection de deux plans du tétraèdre.

Faites 4 triangles égaux à partir de 6 allumettes. Le problème ne peut pas être résolu en avion. Et dans l'espace, c'est facile à faire. Prenons un tétraèdre. 6 allumettes sont ses arêtes, quatre faces d'un tétraèdre et seront quatre triangles égaux. Le problème a été résolu.

Dan tétraèdre abcré. Point M appartient au bord du tétraèdre UN B, point N appartient au bord du tétraèdre Vré et pointe R appartient au bord réAVEC(Fig. 2.). Construire une section d'un tétraèdre avec un plan MNP.

Riz. 2. Dessin à la tâche 2 - Construire une section d'un tétraèdre par un plan

Solution:
Considérez la face du tétraèdre résoleil... A ce bord de la pointe N et P les bords appartiennent résoleil, et donc le tétraèdre. Mais par la condition du point N, P appartiennent au plan de coupe. Veux dire, NP est la ligne d'intersection de deux plans : plan de face résoleil et un plan sécant. Supposons que les lignes droites NP et soleil pas parallèle. Ils se trouvent dans le même plan. réSoleil. Trouver le point d'intersection des lignes NP et soleil... Nous le désignons E(Fig. 3.).

Riz. 3. Dessin pour la tâche 2. Trouver le point E

Point E appartient au plan de coupe MNP car il se trouve sur une ligne droite NP et droit NP se trouve entièrement dans le plan de coupe MNP.

Pointez aussi E se trouve dans l'avion abc car il se trouve sur une ligne droite soleil hors de l'avion abc.

Nous obtenons cela MANGER- ligne d'intersection des plans abc et MNP, puisque les points E et M se situer simultanément dans deux plans - abc et MNP. Relier les points M et E, et continuer tout droit MANGER avant de franchir une ligne droite COMME... Point d'intersection des lignes MANGER et COMME dénoter Q.

Alors dans ce cas NPQM est la section requise.

Riz. 4. Dessin de la tâche 2. Solution de la tâche 2

Considérons maintenant le cas où NP parallèle avant JC... Si droit NP parallèle à une ligne droite, par exemple, une ligne droite soleil hors de l'avion abc puis tout droit NP parallèle à tout le plan abc.

Le plan de coupe souhaité passe par une droite NP parallèle au plan abc, et coupe le plan en ligne droite Q... Donc la ligne d'intersection Q parallèle à la droite NP... On a NPQM est la section requise.

Point M se trouve sur le bord latéral UNEréV tétraèdre abcré... Construire une section d'un tétraèdre avec un plan passant par un point M parallèle à la base abc.

Riz. 5. Dessin de la tâche 3 Construire une section d'un tétraèdre par un plan

Solution:
Plan de coupe φ parallèle au plan abc par condition, cela signifie que cet avion φ parallèle aux droites UN B, COMME, soleil.
En avion UN Bréà travers le point M dessinons une ligne droite QP parallèle UN B(fig. 5). Droit QP se trouve dans l'avion UN Bré... De même dans l'avion COMMEréà travers le point R dessinons une ligne droite RP parallèle COMME... J'ai compris R... Deux lignes qui se croisent QP et RP avion PQR respectivement parallèle à deux droites sécantes UN B et COMME avion abc, donc les avions abc et PQR sont parallèles. PQR est la section requise. Le problème a été résolu.

Dan tétraèdre abcré... Point M- point interne, point de face du tétraèdre UN Bré. N- point intérieur du segment réAVEC(Fig. 6.). Tracer l'intersection de la ligne NM et avion abc.

Riz. 6. Dessin pour la tâche 4

Solution:
Pour résoudre, construisez un plan auxiliaire réN... Que ce soit droit réM coupe la droite AB au point À(Fig. 7.). Puis, SCré est une section de l'avion réN et un tétraèdre. En avion réN mensonges et droit NM, et la droite résultante SC... Donc si NM pas parallèle SC, alors ils se croiseront à un moment donné R... Point R et il y aura le point d'intersection souhaité de la ligne droite NM et avion abc.

Riz. 7. Dessin de la tâche 4. Solution de la tâche 4

Dan tétraèdre abcré. M- point intérieur du visage UN Bré. R- point intérieur du visage abc. N- pointe intérieure de la côte réAVEC(Fig. 8.). Construire une section d'un tétraèdre avec un plan passant par les points M, N et R.

Riz. 8. Dessin de la tâche 5 Construire une section d'un tétraèdre par un plan

Solution:
Considérons le premier cas où la ligne droite MN pas parallèle au plan abc... Dans le dernier problème, nous avons trouvé le point d'intersection de la ligne MN et avion abc... C'est le point À, il est obtenu en utilisant le plan auxiliaire réN, c'est à dire. Nous faisons réM et nous obtenons un point F... nous effectuons FC et à l'intersection MN obtenir le point À.

Riz. 9. Dessin pour la tâche 5. Trouver le point K

Traçons une ligne droite KR... Droit KR se trouve à la fois dans le plan de coupe et dans le plan abc... Nous obtenons des points R1 et R2... Nous connectons R1 et M et sur la suite nous obtenons le point M1... Connectez le point R2 et N... En conséquence, nous obtenons la section requise Р 1 Р 2 NМ 1... Le problème dans le premier cas a été résolu.
Considérons le deuxième cas, lorsque la ligne droite MN parallèle au plan abc... Avion MNP passe par une ligne droite N parallèle au plan abc et traverse l'avion abc le long d'une ligne droite R 1 R 2 puis tout droit R 1 R 2 parallèle à cette ligne MN(Fig. 10.).

Riz. 10. Dessin du problème 5. La section requise

Maintenant, dessinons une ligne droite P 1 M et marquer un point M1.Р 1 Р 2 NМ 1 est la section requise.

Ainsi, nous avons examiné le tétraèdre, résolu quelques problèmes typiques pour le tétraèdre. Dans la prochaine leçon, nous examinerons une boîte.

1. I.M. Smirnova, V.A. Smirnov. - 5e édition, revue et complétée - M. : Mnemosina, 2008. - 288 p. : malade. Géométrie. Grades 10-11: manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement (niveaux de base et profil)

2. Sharygin I.F. - M. : Outarde, 1999. - 208 p. : ill. Géométrie. Grades 10-11: Manuel pour les établissements d'enseignement général

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6e édition, cliché. - M. : Outarde, 008 .-- 233 p. : malade. Géométrie. 10e année : manuel pour les établissements d'enseignement avec une étude approfondie et spécialisée des mathématiques

Ressources Web supplémentaires

2. Comment construire une section d'un tétraèdre. Mathématiques ().

3. Festival d'idées pédagogiques ().

Faites des tâches à domicile sur le thème "Tétraèdre", comment trouver l'arête d'un tétraèdre, les faces d'un tétraèdre, les sommets et la surface d'un tétraèdre

1. Géométrie. Grades 10-11: un manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement (niveaux de base et de profil) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5e édition, revue et complétée - M. : Mnemozina, 2008. - 288 p. : ill. Tâches 18, 19, 20 p.50

2. Pointer E nervure centrale MA tétraèdre MAVS... Construire une section du tétraèdre avec un plan passant par les points AVANT JC et E.

3. Dans le tétraèdre MAVS, le point M appartient à la face AMB, le point P - à la face BMC, le point K - à l'arête AC. Construire une section du tétraèdre avec un plan passant par les points M, R, K.

4. Quelles figures peut-on obtenir à la suite de l'intersection du plan du tétraèdre ?

Noter... C'est une partie de la leçon avec des problèmes de géométrie (section stéréométrie, problèmes de pyramide). Si vous avez besoin de résoudre un problème de géométrie qui n'est pas ici, écrivez-le dans le forum. Dans les tâches, au lieu du symbole "racine carrée", la fonction sqrt () est utilisée, dans laquelle sqrt est le symbole de la racine carrée, et l'expression radicale est indiquée entre parenthèses.Pour les expressions radicales simples, le signe "√" peut être utilisé. Tétraèdre régulier est une pyramide triangulaire régulière dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux.

Pour un tétraèdre régulier, tous les angles dièdres aux bords et tous les angles trièdres aux sommets sont égaux

Le tétraèdre a 4 faces, 4 sommets et 6 arêtes.

Les formules de base pour un tétraèdre régulier sont données dans le tableau.

Où:
S - Surface d'un tétraèdre régulier
V - volume
h - hauteur abaissée à la base
r - rayon d'un cercle inscrit dans un tétraèdre
R - le rayon du cercle circonscrit
a - longueur des côtes

Exemples pratiques

Tâche.
Trouvez la surface d'une pyramide triangulaire dont chaque arête est égale à 3

Solution.
Comme toutes les arêtes d'une pyramide triangulaire sont égales, elle est régulière. La surface d'une pyramide triangulaire régulière est S = a 2 3.
Puis
S = 3√3

Réponse: 3√3

Tâche.
Toutes les arêtes d'une pyramide triangulaire régulière mesurent 4 cm Trouvez le volume de la pyramide

Solution.
Puisque dans une pyramide triangulaire régulière la hauteur de la pyramide est projetée dans le centre de la base, qui est aussi le centre du cercle circonscrit, alors

AO = R = 3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Donc la hauteur de la pyramide OM peut être trouvée à partir du triangle rectangle AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
MO 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
MO = (32/3)
MO = 4√2 / √3

Le volume de la pyramide est trouvé par la formule V = 1/3 Sh
Dans ce cas, l'aire de la base est trouvée par la formule S = √3 / 4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2 / 3

Réponse: 16√2 / 3 cm

Sections: Mathématiques

Plan de préparation et de déroulement de la leçon :

I. Phase préparatoire :

1. Répétition des propriétés connues de la pyramide triangulaire.
2. Mettre en avant des hypothèses sur les caractéristiques possibles, non considérées auparavant, du tétraèdre.
3. Formation de groupes pour mener des recherches sur ces hypothèses.
4. Répartition des tâches pour chaque groupe (en tenant compte du désir).
5. Répartition des responsabilités pour la mission.

II. La scène principale :

1. Résolution de l'hypothèse.
2. Consultation avec un professeur.
3. Enregistrement des travaux.

III. La dernière étape :

1. Présentation et défense de l'hypothèse.

Objectifs de la leçon:

• généraliser et systématiser les connaissances et les compétences des étudiants ; étudier du matériel théorique supplémentaire sur le sujet spécifié; apprendre à appliquer des connaissances à la résolution de problèmes non standard, à y voir des composants simples ;
• former les compétences des étudiants à travailler avec de la littérature supplémentaire, améliorer la capacité d'analyser, de généraliser, de trouver l'essentiel dans ce que vous lisez, de prouver de nouvelles choses; développer les compétences de communication des étudiants;
• favoriser une culture graphique.

Phase préparatoire (1 cours) :

1. Message étudiant « Les secrets des grandes pyramides ».
2. Discours introductif de l'enseignant sur la variété des types de pyramides.
3. Discussion des problèmes :

• Quels sont les critères pour combiner des pyramides triangulaires irrégulières
• Qu'entend-on par orthocentre d'un triangle, et ce qu'on peut appeler l'orthocentre d'un tétraèdre
• Un tétraèdre rectangulaire a-t-il un orthocentre ?
• Quel tétraèdre est dit isoédrique Quelles propriétés peut-il avoir ?

1. À la suite de l'examen de divers tétraèdres, de la discussion de leurs propriétés, les concepts sont clarifiés et une certaine structure apparaît :

1. Considérons les propriétés d'un tétraèdre régulier (Annexe)

Les propriétés 1-4 sont prouvées oralement à l'aide de Slide1.

Propriété 1 : Toutes les arêtes sont égales.

Propriété 2 : Tous les angles plans sont de 60°.

Propriété 3 : Les sommes des angles plans à trois sommets quelconques du tétraèdre sont de 180 °.

Propriété 4 : Si le tétraèdre est régulier, alors n'importe lequel de ses sommets est projeté dans l'orthocentre de la face opposée.

Donné:

ABCD est un tétraèdre régulier

AH - hauteur

Prouver:

H - orthocentre

Preuve:

1) le point H peut coïncider avec n'importe lequel des points A, B, C. Soit H? B, H? C

2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) Considérez ABH, BCH, ADH

AD - total => ABH, BCH, ADH => BH = CH = DH

AB = AC = AD т. H - est l'orthocentre ABC

C.Q.D.

1. Dans la leçon 1, les propriétés 5 à 9 sont formulées sous forme d'hypothèses qui nécessitent une preuve.

Chaque groupe reçoit ses propres devoirs :

Démontrez l'une des propriétés.

Préparez une justification avec une présentation.

II. Scène principale (dans une semaine) :

1. Résolution de l'hypothèse.
2. Consultation avec un professeur.
3. Enregistrement des travaux.

III. Étape finale (1-2 leçons):

Présentation et défense de l'hypothèse à l'aide d'exposés.

Lors de la préparation du matériel pour la leçon finale, les étudiants arrivent à la conclusion sur la particularité du point d'intersection des hauteurs, nous sommes d'accord pour l'appeler un point « étonnant ».

Propriété 5 : Les centres des sphères circonscrites et inscrites coïncident.

Donné:

DABC - tétraèdre régulier

1 - le centre de la sphère décrite

- le centre de la sphère inscrite

N - le point de tangence de la sphère inscrite avec la face ABC

Démontrer : 1 = О

Preuve:

Soit OA = OB = OD = OC les rayons du cercle circonscrit

Oublions ОN + (ABC)

AON = CON - rectangulaire, le long de la jambe et de l'hypoténuse => AN = CN

Omettre OM + (BCD)

COM DOM - rectangulaire, le long de la jambe et de l'hypoténuse => CM = DM

A partir du point 1 CON COM => ON = OM

ОN + (ABC) => ON, OM sont les rayons du cercle inscrit.

Le théorème est démontré.

Pour un tétraèdre régulier, il existe une possibilité de sa position relative avec une sphère - touchant une certaine sphère avec tous ses bords. Cette sphère est parfois qualifiée de « semi-inscrite ».

Propriété 6 : Les segments de droite reliant les milieux des arêtes opposées et perpendiculaires à ces arêtes sont les rayons de la sphère semi-inscrite.

Donné:

ABCD est un tétraèdre régulier ;

AL = BL, AK = CK, AS = DS,

BP = CP, BM = DM, CN = DN.

Prouver:

LO = OK = OS = OM = ON = OP

Preuve.

Tétraèdre ABCD - correct => AO = BO = CO = DO

Considérons les triangles AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD.

AO = BO =>?AOB - isocèle =>
OL - médiane, hauteur, bissectrice
AO = CO => ?AOC– isocèle =>
ОK - médiane, hauteur, bissectrice
CO = DO => ?DCO– isocèle =>
ON– médiane, hauteur, bissectrice AOB => AOC = COD =
BO = DO => ? DBO– isocèle => DBO = BOC = AOD
OM - médiane, hauteur, bissectrice
AO = DO => ? AOD– isocèle =>
OS - médiane, hauteur, bissectrice
BO = CO => ?BOC– isocèle =>
OP– médiane, hauteur, bissectrice
AO = BO = CO = DO
AB = AC = AD = BC = BD = CD

3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - hauteurs égales aux rayons OL, OK, ON, OM, OS, OP

triangles isocèles de la sphère

Corollaire:

Une sphère semi-inscrite peut être dessinée dans un tétraèdre régulier.

Propriété 7 : si le tétraèdre est régulier, alors toutes les deux arêtes opposées du tétraèdre sont mutuellement perpendiculaires.

Donné:

DABC - tétraèdre régulier;

H - orthocentre

Prouver:

Preuve:

DABC - tétraèdre régulier =>?ADB - équilatéral

(ADB) (EDC) = ED

ED - hauteur ADB => ED + AB,

AB + CE, => AB + (EDC) => AB + CD.

La perpendicularité des autres arêtes est prouvée de la même manière.

Propriété 8 : Six plans de symétrie se coupent en un point. Au point O, quatre droites se coupent, tracées par les centres des circonscrits autour des bords des cercles perpendiculaires aux plans des faces, et le point O est le centre de la sphère circonscrite.

Donné:

ABCD est un tétraèdre régulier

Prouver:

O - le centre de la sphère décrite;

6 plans de symétrie se coupent au point O ;

Preuve.

CG + BD car BCD - équilatéral => GO + BD (par le théorème des trois perpendiculaires GO + BD)

BG = GD, car AG - médiane ABD

ABD (ABD) => ? DBO - isocèle => BO = DO

ED + AB, car ABD - unilatéral => OE + AD (par le théorème des trois perpendiculaires)

BE = AE car DE est la médiane ?

ABD (ABD) =>?AOB - isocèle => BO = AO

(AOB) (ABD) = AB

ON + (ABC) OF + AC (par le théorème environ trois

BF + AC, car ABC - perpendiculaires équilatérales)

AF = FC, car BF - médiane ?ABC

ABC (ABC) => AOC - isocèle => AO = CO

(AOC) ? (ABC) = AC

BO = AO => AO = BO = CO = DO - rayons de sphère,

AO = CO circonscrit à un tétraèdre ABCD

(ABR) (ACG) = AO

(BCT) (ABR) = BO

(ACG) (BCT) = CO

(ADH) (CED) = DO

AB + (ABR) (ABR) (BCT) (ACG) (ADH) (CED) (BDF)

D'où:

Le point O est le centre de la sphère décrite,

6 plans de symétrie se coupent au point O.

Propriété 9: L'angle obtus entre les perpendiculaires passant par les sommets du tétraèdre aux orthocentres est de 109°28"

Donné:

ABCD est un tétraèdre régulier ;

O est le centre de la sphère décrite ;

Prouver:

Preuve:

1) AS - hauteur

ASB = 90 o OSB rectangulaire

2) (par la propriété d'un tétraèdre régulier)

3) AO = BO - les rayons de la sphère circonscrite

4) 70 ° 32 "

6) AO = BO = CO = DO =>? AOD =? AOC =? AOD =? COD =? DBO =? BOC

est le point d'intersection des hauteurs du tétraèdre régulier

est le centre de la sphère inscrite

est le centre de la sphère semi-inscrite

est le centre de la sphère décrite

est le centre de gravité du tétraèdre

est le sommet de quatre pyramides triangulaires régulières égales avec des bases - des faces tétraédriques.

Conclusion.

(L'enseignant et les élèves résument la leçon. L'un des élèves parle avec un court message sur les tétraèdres en tant qu'unité structurelle d'éléments chimiques.)

Les propriétés d'un tétraèdre régulier et de sa pointe « étonnante » sont étudiées.

Il a été constaté que seul la forme d'un tel tétraèdre, qui possède toutes les propriétés ci-dessus, ainsi qu'un point «idéal», peut avoir des molécules de silicates et d'hydrocarbures. Alternativement, les molécules peuvent être composées de plusieurs tétraèdres réguliers. Actuellement, le tétraèdre est connu non seulement comme un représentant de la civilisation ancienne, les mathématiques, mais aussi comme la base de la structure des substances.

Les silicates sont des substances de type sel contenant des composés silicium-oxygène. Leur nom vient du mot latin « sylex » - « silex ». La base des molécules de silicate est constituée de radicaux atomiques sous forme de tétraèdres.

Les silicates sont le sable, l'argile, la brique, le verre, le ciment, l'émail, le talc, l'amiante, l'émeraude et la topaze.

Les silicates constituent plus de 75 % de la croûte terrestre (et avec le quartz environ 87 %) et plus de 95 % des roches ignées.

Une caractéristique importante des silicates est la capacité de combinaison mutuelle (polymérisation) de deux ou plusieurs tétraèdres silicium-oxygène à travers un atome d'oxygène commun.

Les hydrocarbures saturés ont la même forme de molécules, mais ils sont constitués, contrairement aux silicates, de carbone et d'hydrogène. Formule générale des molécules

Les hydrocarbures comprennent le gaz naturel.

Il est nécessaire de considérer les propriétés des tétraèdres rectangulaires et équilatéraux.

Littérature.

• Potapov V.M., Tatarinchik S.N. "Chimie organique", Moscou 1976
• V.P. Babarin "Secrets des Grandes Pyramides", Saint-Pétersbourg, 2000.
• Sharygin I. F. « Problèmes de géométrie », Moscou, 1984.
• Grand dictionnaire encyclopédique.
• "Livre de référence scolaire", Moscou, 2001.

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tétraèdre, formule du tétraèdre
Tétraèdre(vieux grec τετρά-εδρον - tétraèdre, du grec ancien. τέσσᾰρες, τέσσερες, , τέττορες, τέτορες - "quatre" + ancien grec. ἕδρα - "siège, base") est le polyèdre le plus simple, dont les faces sont quatre triangles. Le tétraèdre a 4 faces, 4 sommets et 6 arêtes. Un tétraèdre dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux est dit régulier. Un tétraèdre régulier est l'un des cinq polyèdres réguliers.

• 1 Propriétés du tétraèdre
• 2 types de tétraèdres
• 3 Volume d'un tétraèdre
• 4 tétraèdres dans le micromonde
• 5 tétraèdres dans la nature
• 6 tétraèdres en technique
• 7 remarques
• 8 Voir aussi

Propriétés du tétraèdre

• Des plans parallèles passant par des paires d'arêtes croisées d'un tétraèdre définissent un parallélépipède décrit autour du tétraèdre.
• Le plan passant par les milieux de deux arêtes sécantes du tétraèdre le divise en deux parties de volume égal.: 216-217

Types de tétraèdres

En plus du tétraèdre régulier, les types spéciaux de tétraèdres suivants sont distingués.

• Un tétraèdre équilatéral dont toutes les faces sont des triangles égaux.
• Un tétraèdre orthocentrique dans lequel toutes les hauteurs tombant des sommets aux faces opposées se coupent en un point.
• Un tétraèdre rectangulaire dans lequel toutes les arêtes adjacentes à l'un des sommets sont perpendiculaires les unes aux autres.
• Un tétraèdre squelette est un tétraèdre qui remplit l'une des conditions suivantes :
  • il y a une sphère touchant tous les bords,
  • les sommes des longueurs des arêtes qui se croisent sont égales,
  • les sommes des angles dièdres aux bords opposés sont égales,
  • les cercles inscrits dans les visages se touchent par paires,
  • tous les quadrangles obtenus sur le développement d'un tétraèdre sont décrits,
  • perpendiculaires élevées aux faces à partir des centres des cercles qui y sont inscrits se coupent en un point.
• Un tétraèdre proportionné avec des hauteurs égales.
• Un tétraèdre incentrique, dans lequel les segments reliant les sommets du tétraèdre aux centres des cercles inscrits dans des faces opposées se coupent en un point.

Volume du tétraèdre

Le volume du tétraèdre (compte tenu du signe), dont les sommets sont situés aux points, est égal à :

Ou, où est l'aire de n'importe quel visage, et est la hauteur tombée sur ce visage.

A travers les longueurs des arêtes, le volume du tétraèdre est exprimé à l'aide du déterminant de Cayley-Menger :

Les tétraèdres dans le micromonde

• Le tétraèdre régulier est formé lors de l'hybridation sp3 des orbitales atomiques (leurs axes sont dirigés vers les sommets du tétraèdre régulier et le noyau de l'atome central est situé au centre de la sphère décrite du tétraèdre régulier), par conséquent, de nombreuses molécules dans laquelle une telle hybridation de l'atome central a lieu ont la forme de ce polyèdre
• Molécule de méthane CH4
• Ion ammonium NH4 +
• Ion sulfate SO42-, Ion phosphate PO43-, Ion perchlorate ClO4- et de nombreux autres ions
• Le diamant C est un tétraèdre d'arête égale à 2,5220 angströms
• Fluorite CaF2, tétraèdre avec une arête égale à 3, 8626 angströms
• Sphalérite, ZnS, tétraèdre d'arête égale à 3,823 angströms
• Ions complexes -, 2-, 2-, 2+
• Les silicates dont la structure est basée sur le tétraèdre silicium-oxygène 4-

Les tétraèdres dans la nature

Tétraèdre en noyer

Certains fruits, au nombre de quatre d'une part, sont situés aux sommets d'un tétraèdre, qui est proche du bon. Cette conception est due au fait que les centres de quatre boules identiques se touchant sont aux sommets d'un tétraèdre régulier. Par conséquent, les fruits en forme de boule forment un arrangement mutuel similaire. Par exemple, les noix peuvent être positionnées de cette manière.

Les tétraèdres en technologie

• Le tétraèdre forme une structure rigide, définissable statiquement. Un tétraèdre constitué de tiges est souvent utilisé comme base pour les structures porteuses spatiales de travées de bâtiments, de planchers, de poutres, de fermes, de ponts, etc. Les tiges ne sont soumises qu'à des charges longitudinales.
• Le tétraèdre rectangulaire est utilisé en optique. Si les faces à angle droit sont recouvertes d'un composé réfléchissant ou que tout le tétraèdre est constitué d'un matériau à forte réfraction de la lumière de sorte que l'effet de réflexion interne totale se produise, alors la lumière dirigée vers la face opposée au sommet à angle droit se reflétera dans la même direction d'où il vient... Cette propriété est utilisée pour créer des réflecteurs d'angle, des réflecteurs.
• Un graphe déclencheur quaternaire est un tétraèdre.

Remarques (modifier)

1. Dictionnaire grec-russe ancien du majordome "τετρά-εδρον"
2. Selivanov D.F.,. Corps géométrique // Dictionnaire encyclopédique Brockhaus et Efron : 86 volumes (82 volumes et 4 supplémentaires). - SPb., 1890-1907.
3. Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Algèbre vectorielle dans des exemples et des problèmes. - M. : Lycée, 1985.-- 232 p.
4. V. E. MATIZEN Uniforme et cadre tétraèdres "Kvant" n° 7, 1983
5. http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#view Trigger

voir également

• Simplex - tétraèdre à n dimensions

Polyèdres
Correct (solides platoniques)
Correct non convexe	Dodécaèdre étoilé Icosidodécaèdre étoilé Icosaèdre étoilé Polyèdre étoilé Octaèdre étoilé
Convexe	Corps d'Archimède Cuboctaèdre Icosidodécaèdre Tétraèdre tronqué Octaèdre tronqué Icosaèdre anti-tronqué Cube tronqué Dodécaèdre tronqué Rhombocuboctaèdre Rhomboicosododécaèdre Rhombo-tronqué cuboctaèdre Rhombo-tronqué cuboctaèdre cuboctaèdre tronqué dodécaèdre tronqué Organismes catalans Rhombododécaèdre Rhombotriacontaèdre Triakistétraèdre Tétrakishexaèdre Pentakisdodécaèdre Triakisoktaèdre Triakisycosaèdre Icositetraèdre deltoïde Hexcontaèdre deltoïde Icostétraèdre pentagonal sans plein spatial symétrie Pyramide Prisme Bipyramide Antiprisme Zonoèdre Parallélépipède Rhomboèdre Prismatoïde Pyramide tronquée Pentagondodécaèdre paralléloèdre
Formules, théorèmes, théorie	Théorème d'Alexandre sur les polytopes convexes Théorème de Bleecker Théorème de Cauchy sur les polytopes Théorème de Lindelöf sur les polytopes Théorème de Minkowski sur les polytopes Théorème de Sabitov Théorème d'Euler sur les polytopes Formule de Schläfli
Autre	Tétraèdre orthocentrique Tétraèdre égal Parallélépipède rectangulaire Groupe de polyèdres Dodécaèdres Angle solide Cube unitaire Polyèdre pliable Déplier Symbole de Schläfli Polyèdre de Johnson Multidimensionnel (tétraèdre à N dimensions Tesseract Penteprateract Hexerateract Hexerarack)

tétraèdre, tétraèdre, vue latérale du tétraèdre, vue latérale du tétraèdre, vue latérale du tétraèdre, tétraèdre gezh yu ve, tétraèdre gezh yu ve, tétraèdre gezh yu ve, tétraèdre, dүrs, tétraèdre papier tétraèdre images, images tétraèdre, images de tétraèdre définition de tétraèdre, définition de tétraèdre, définition de tétraèdre, formules de tétraèdre, formules de tétraèdre, formules de tétraèdre, motif de tétraèdre, dessin de tétraèdre, dessin de tétraèdre, tétraèdre

Informations sur le tétraèdre