आयताकार टेट्राहेड्रोन ड्राइंग। नियमित टेट्राहेड्रोन (पिरामिड)। एक चतुष्फलक के आयतन की गणना करना यदि उसके शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात हों
पाठ की व्याख्या:
अच्छा दिन! हम इस विषय का अध्ययन करना जारी रखते हैं: "रेखाओं और विमानों की समानता।"
मुझे लगता है कि यह पहले से ही स्पष्ट है कि आज हम पॉलीहेड्रा के बारे में बात करेंगे - बहुभुज से बने ज्यामितीय निकायों की सतह।
अर्थात्, टेट्राहेड्रोन।
हम योजना के अनुसार पॉलीहेड्रा का अध्ययन करेंगे:
1. एक चतुष्फलक की परिभाषा
2. चतुष्फलक के तत्व
3. चतुष्फलक का विकास
4. विमान पर छवि
1. त्रिभुज ABC का निर्माण करें
2. बिंदु D इस त्रिभुज के तल में नहीं है
3. बिंदु D को खण्डों द्वारा त्रिभुज ABC के शीर्षों से जोड़िए। हमें त्रिभुज DAB, DBC और DCA मिलते हैं।
परिभाषा: चार त्रिभुजों ABC, DAB, DBC और DCA से बनी सतह को चतुष्फलक कहते हैं।
पद : डीएबीसी।
एक चतुष्फलक के तत्व
टेट्राहेड्रोन बनाने वाले त्रिभुजों को फलक कहा जाता है, उनकी भुजाएँ किनारे होती हैं, और उनके शीर्ष चतुर्भुज के शीर्ष होते हैं।
एक चतुष्फलक के कितने फलक, किनारे और शीर्ष होते हैं?
एक चतुष्फलक के चार फलक, छह किनारे और चार शीर्ष होते हैं।
एक चतुष्फलक के दो किनारे जिनमें उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते हैं, विपरीत कहलाते हैं।
आकृति में, किनारों AD और BC, BD और AC, CD और AB विपरीत हैं।
कभी-कभी टेट्राहेड्रोन के चेहरों में से एक को अलग किया जाता है और इसका आधार कहा जाता है, और अन्य तीन को पार्श्व फलक कहा जाता है।
टेट्राहेड्रोन खुला।
कागज से टेट्राहेड्रोन बनाने के लिए, आपको निम्नलिखित स्कैन की आवश्यकता होगी,
इसे मोटे कागज में स्थानांतरित किया जाना चाहिए, काट दिया जाना चाहिए, बिंदीदार रेखाओं के साथ मुड़ा हुआ और सरेस से जोड़ा हुआ होना चाहिए।
चतुष्फलक को समतल पर दर्शाया गया है
विकर्णों के साथ उत्तल या गैर-उत्तल चतुर्भुज के रूप में। धराशायी रेखाएं अदृश्य किनारों का प्रतिनिधित्व करती हैं।
पहली आकृति में, AC एक अदृश्य किनारा है,
दूसरे पर - ईके, एलके और केएफ।
आइए टेट्राहेड्रोन पर कई विशिष्ट समस्याओं को हल करें:
5 सेमी के किनारे के साथ एक नियमित टेट्राहेड्रोन का विकास क्षेत्र खोजें।
समाधान। चलो एक चतुष्फलक का जाल बनाते हैं
(स्क्रीन पर एक टेट्राहेड्रोन स्वीप दिखाई देता है)
इस टेट्राहेड्रोन में चार समबाहु त्रिभुज होते हैं, इसलिए एक नियमित टेट्राहेड्रोन का विकास क्षेत्र टेट्राहेड्रोन के कुल सतह क्षेत्र या चार नियमित त्रिभुजों के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
हम सूत्र का उपयोग करके एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर रहे हैं:
तब हमें टेट्राहेड्रोन का क्षेत्रफल बराबर मिलता है:
सूत्र में किनारे की लंबाई a \u003d 5 सेमी,
यह पता चला है
उत्तर: एक नियमित चतुष्फलक का क्षेत्रफल
बिंदु M, N और K से गुजरने वाले समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड की रचना कीजिए।
ए) वास्तव में, आइए हम बिंदुओं एम और एन (वे चेहरे एडीसी से संबंधित हैं), बिंदु एम और के (वे चेहरे एडीबी से संबंधित हैं), अंक एन और के (फेस डीबीसी) को जोड़ते हैं। चतुष्फलक का खंड त्रिभुज MKN है।
बी) बिंदु एम और के (फेस एडीबी से संबंधित), बिंदु के और एन (फेस डीसीबी से संबंधित) को कनेक्ट करें, फिर एमके और एबी को चौराहे पर जारी रखें और बिंदु पी रखें। लाइन पीएन और बिंदु T एक ही समतल ABC में स्थित है और अब हम प्रत्येक फलक के साथ सीधी रेखा MK का प्रतिच्छेदन बना सकते हैं। परिणाम एक चतुर्भुज MKNT है, जो आवश्यक खंड है।
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चतुष्फलक, चतुष्फलकीय सूत्र
चतुर्पाश्वीय(प्राचीन यूनानी τετρά-εδρον - चतुर्पाश्वीय, अन्य ग्रीक से। , τέσσερες, τέττᾰρες, , τέτορες - "चार" + अन्य ग्रीक। ἕδρα - "सीट, बेस") - सबसे सरल पॉलीहेड्रॉन, जिसके चेहरे चार त्रिकोण हैं। एक चतुष्फलक के 4 फलक, 4 शीर्ष और 6 किनारे होते हैं। एक चतुष्फलक, जिसके सभी फलक समबाहु त्रिभुज होते हैं, नियमित कहलाते हैं। नियमित चतुष्फलक पांच नियमित बहुफलकों में से एक है।
- 1 टेट्राहेड्रोन के गुण
- 2 प्रकार के टेट्राहेड्रा
- 3 चतुष्फलक का आयतन
- 4 सूक्ष्म जगत में टेट्राहेड्रा
- प्रकृति में 5 टेट्राहेड्रा
- इंजीनियरिंग में 6 टेट्राहेड्रा
- 7 नोट्स
- 8 यह भी देखें
एक चतुष्फलक के गुण
- टेट्राहेड्रोन के क्रॉसिंग किनारों के जोड़े से गुजरने वाले समानांतर विमान टेट्राहेड्रोन के पास परिचालित समानांतर चतुर्भुज का निर्धारण करते हैं।
- एक चतुष्फलक के दो प्रतिच्छेदी किनारों के मध्य बिन्दुओं से गुजरने वाला एक तल इसे आयतन के बराबर दो भागों में विभाजित करता है: 216-217
टेट्राहेड्रा के प्रकार
नियमित टेट्राहेड्रोन के अलावा, निम्नलिखित विशेष प्रकार के टेट्राहेड्रा को प्रतिष्ठित किया जाता है।
- एक समबाहु चतुष्फलक जिसमें सभी फलक एक दूसरे के बराबर त्रिभुज होते हैं।
- एक ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोन जिसमें सभी ऊंचाई शिखर से विपरीत चेहरों तक गिरती हैं, एक बिंदु पर छेड़छाड़ करती हैं।
- एक आयताकार चतुष्फलक जिसमें एक शीर्ष से सटे सभी किनारे एक दूसरे के लंबवत होते हैं।
- कंकाल चतुष्फलक - एक चतुष्फलक जो निम्नलिखित में से किसी भी शर्त को पूरा करता है:
- एक गोला है जो सभी किनारों को छूता है,
- क्रॉसिंग किनारों की लंबाई का योग बराबर है,
- विपरीत किनारों पर विकर्ण कोणों का योग बराबर होता है,
- चेहरों में अंकित वृत्त जोड़े में स्पर्श करते हैं,
- एक चतुष्फलक के विकास से उत्पन्न होने वाले सभी चतुर्भुज परिबद्ध हैं,
- उनमें खुदे हुए वृत्तों के केंद्रों से चेहरों पर लम्बवत एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
- एक अनुरूप चतुष्फलक जिसकी उंचाई बराबर होती है।
- एक इंसेंट्रिक टेट्राहेड्रोन जिसमें टेट्राहेड्रोन के कोने को विपरीत चेहरों में अंकित वृत्तों के केंद्रों से जोड़ने वाले खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चतुष्फलक का आयतन
एक चतुष्फलक का आयतन (चिह्न को ध्यान में रखते हुए), जिसके शीर्ष बिंदु पर हैं, के बराबर है:
या, किसी भी चेहरे का क्षेत्र कहां है, और इस चेहरे की ऊंचाई कम है।
किनारे की लंबाई के संदर्भ में, केली-मेंजर निर्धारक का उपयोग करके टेट्राहेड्रोन का आयतन व्यक्त किया जाता है:
सूक्ष्म जगत में टेट्राहेड्रा
- परमाणु ऑर्बिटल्स के sp3 संकरण के दौरान एक नियमित टेट्राहेड्रोन बनता है (उनकी कुल्हाड़ियों को एक नियमित टेट्राहेड्रोन के कोने की ओर निर्देशित किया जाता है, और केंद्रीय परमाणु का नाभिक नियमित टेट्राहेड्रोन के वर्णित क्षेत्र के केंद्र में स्थित होता है), इसलिए, कई अणु जिनमें केंद्रीय परमाणु का ऐसा संकरण होता है, इस पॉलीहेड्रॉन का रूप होता है
- CH4 मीथेन अणु
- अमोनियम आयन NH4+
- सल्फेट आयन SO42-, फॉस्फेट आयन PO43-, परक्लोरेट आयन ClO4- और कई अन्य आयन
- डायमंड सी एक टेट्राहेड्रोन है जिसका किनारा 2.5220 एंगस्ट्रॉम के बराबर है
- फ्लोराइट CaF2, टेट्राहेड्रोन जिसकी धार 3 के बराबर है, 8626 angstroms
- स्फालराइट, ZnS, टेट्राहेड्रोन जिसकी धार 3.823 angstroms . के बराबर है
- जटिल आयन -, 2-, 2-, 2+
- सिलिकॉन-ऑक्सीजन टेट्राहेड्रोन पर आधारित सिलिकेट 4-
प्रकृति में टेट्राहेड्रा
अखरोट चतुष्फलककुछ फल, एक तरफ उनमें से चार होने के कारण, नियमित के करीब एक टेट्राहेड्रोन के शीर्ष पर स्थित होते हैं। यह डिजाइन इस तथ्य के कारण है कि एक दूसरे को छूने वाली चार समान गेंदों के केंद्र एक नियमित टेट्राहेड्रोन के शीर्षों पर स्थित होते हैं। इसलिए, गेंद जैसे फल एक समान पारस्परिक व्यवस्था बनाते हैं। उदाहरण के लिए, अखरोट को इस तरह व्यवस्थित किया जा सकता है।
इंजीनियरिंग में टेट्राहेड्रा
- टेट्राहेड्रोन एक कठोर, स्थिर रूप से निर्धारित संरचना बनाता है। छड़ से बने टेट्राहेड्रोन का उपयोग अक्सर बिल्डिंग स्पैन, छत, बीम, ट्रस, पुल आदि के स्थानिक लोड-असर संरचनाओं के आधार के रूप में किया जाता है। छड़ें केवल अनुदैर्ध्य भार का अनुभव करती हैं।
- आयताकार चतुष्फलक का उपयोग प्रकाशिकी में किया जाता है। यदि समकोण वाले फलकों को परावर्तक संरचना से ढक दिया जाता है या संपूर्ण चतुष्फलक मजबूत प्रकाश अपवर्तन वाली सामग्री से बना होता है ताकि पूर्ण आंतरिक परावर्तन का प्रभाव हो, तो समकोण के साथ शीर्ष के विपरीत चेहरे पर निर्देशित प्रकाश होगा जिस दिशा से यह आया है उसी दिशा में प्रतिबिंबित होना चाहिए। इस गुण का उपयोग कॉर्नर रिफ्लेक्टर, रिफ्लेक्टर बनाने के लिए किया जाता है।
- चतुर्धातुक ट्रिगर ग्राफ एक चतुष्फलक है।
टिप्पणियाँ
- ड्वोरेत्स्की का प्राचीन यूनानी-रूसी शब्दकोश "τετρά-εδρον"
- सेलिवानोव डी.एफ., ज्यामितीय निकाय // ब्रोकहॉस और एफ्रॉन का विश्वकोश शब्दकोश: 86 खंड (82 खंड और 4 अतिरिक्त)। - सेंट पीटर्सबर्ग, 1890-1907।
- गुसियातनिकोव पी.बी., रेज़्निचेंको एस.वी. उदाहरणों और समस्याओं में सदिश बीजगणित। - एम .: हायर स्कूल, 1985. - 232 पी।
- वी. ई. मैटिज़ेन इसोहेड्रल और वायरफ्रेम टेट्राहेड्रा "क्वांटम" संख्या 7, 1983
- http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#ट्रिगर देखें
यह सभी देखें
- सिंप्लेक्स - एन-आयामी टेट्राहेड्रोन
| बहुकोणीय आकृति | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| सही (प्लेटोनिक ठोस) |
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| सही गैर उत्तल |
तारकीय डोडेकाहेड्रॉन तारकीय इकोसिडोडेकाहेड्रॉन तारकीय इकोसाहेड्रोन तारकीय पॉलीहेड्रॉन तारकीय ऑक्टाहेड्रोन | ||||||||
| उत्तल |
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| सूत्र, प्रमेयों सिद्धांतों |
उत्तल पॉलीटोप्स पर अलेक्जेंड्रोव का प्रमेय पॉलीटोप्स पर कॉची का प्रमेय पॉलीटॉप पर लिंडेलोफ का प्रमेय पॉलीटॉप पर मिंकोव्स्की का प्रमेय पॉलीटोप्स पर सबितोव का प्रमेय पॉलीटोप्स पर यूलर का प्रमेय श्लाफली का सूत्र |
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| अन्य |
ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोन आइसोहेड्रल टेट्राहेड्रोन आयताकार समानांतर चतुर्भुज पॉलीहेड्रॉन समूह डोडेकाहेड्रॉन ठोस कोण इकाई घन लचीला पॉलीहेड्रॉन विकास श्लाफली प्रतीक जॉनसन पॉलीटोप |
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टेट्राहेड्रॉन सूचना के बारे में
टेट्राहेड्रोन, या त्रिकोणीय पिरामिड, पॉलीहेड्रा का सबसे सरल है, जैसे त्रिभुज विमान में बहुभुज का सबसे सरल है। शब्द "टेट्राहेड्रॉन" दो ग्रीक शब्दों से बना है: टेट्रा - "चार" और हेड्रा - "आधार", "चेहरा"। एक चतुष्फलक इसके चार शीर्षों द्वारा दिया जाता है - ऐसे बिंदु जो एक ही तल में नहीं होते हैं; एक चतुष्फलक के फलक - चार त्रिभुज; टेट्राहेड्रोन में छह किनारे होते हैं। एक मनमाना-कोणीय पिरामिड (पर) के विपरीत, इसके किसी भी फलक को चतुष्फलक के आधार के रूप में चुना जा सकता है।
टेट्राहेड्रा के कई गुण त्रिभुज के समान होते हैं। विशेष रूप से, उनके लंबवत टेट्राहेड्रोन के किनारों के मध्य बिंदुओं के माध्यम से खींचे गए 6 विमान एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। उसी बिंदु पर, 4 सीधी रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, जो चेहरों के तल के लंबवत चेहरों के पास परिचालित वृत्तों के केंद्रों के माध्यम से खींची जाती हैं, और चतुष्फलक के पास परिचालित गोले का केंद्र है (चित्र 1)। इसी तरह, टेट्राहेड्रोन के 6 द्विभाजक अर्ध-तल, यानी, अर्ध-विमान जो टेट्राहेड्रोन के किनारों पर डायहेड्रल कोणों को आधे में विभाजित करते हैं, एक बिंदु पर भी प्रतिच्छेद करते हैं - टेट्राहेड्रोन में खुदे हुए गोले के केंद्र में - एक गोला जो चतुष्फलक के चारों फलकों को स्पर्श करता है। किसी भी त्रिभुज में, उत्कीर्ण के अलावा, 3 और बहिर्वृत्त होते हैं (त्रिकोण देखें), लेकिन टेट्राहेड्रोन में कोई भी संख्या हो सकती है - 4 से 7 तक - वृत्त, अर्थात्। चतुष्फलक के चारों फलकों के तलों को स्पर्श करने वाले गोले। काटे गए त्रिभुज के कोणों में हमेशा 4 गोले खुदे होते हैं, जिनमें से एक को अंजीर में दिखाया गया है। 2, सही। टेट्राहेड्रोन के किनारों पर काटे गए डायहेड्रल कोणों में एक और 3 गोले अंकित किए जा सकते हैं (हमेशा नहीं!) - उनमें से एक को अंजीर में दिखाया गया है। बाईं ओर।
टेट्राहेड्रोन के लिए, एक गोले के साथ इसकी पारस्परिक व्यवस्था की एक और संभावना है - इसके सभी किनारों के साथ एक निश्चित क्षेत्र के साथ संपर्क (चित्र 3)। ऐसा गोला - जिसे कभी-कभी "अर्ध-अंकित" कहा जाता है - केवल तभी मौजूद होता है जब टेट्राहेड्रोन के विपरीत किनारों की लंबाई का योग बराबर होता है: (चित्र 3)।
किसी भी चतुष्फलक के लिए, एक बिंदु पर त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन पर प्रमेय का एक एनालॉग मान्य होता है। अर्थात्, टेट्राहेड्रोन के किनारों के माध्यम से खींचे गए 6 विमान और विपरीत किनारों के मध्य बिंदु एक बिंदु पर - टेट्राहेड्रोन के केंद्रक पर (चित्र 4) पर प्रतिच्छेद करते हैं। 3 "मध्य रेखाएं" भी केन्द्रक से होकर गुजरती हैं - विपरीत किनारों के तीन जोड़े के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड, और वे आधे में एक बिंदु से विभाजित होते हैं। अंत में, टेट्राहेड्रोन के 4 "माध्यक" भी गुजरते हैं - विपरीत चेहरों के केंद्रक के साथ कोने को जोड़ने वाले खंड, और वे एक बिंदु पर 3: 1 के अनुपात में विभाजित होते हैं, जो कोने से गिना जाता है।
त्रिभुज की सबसे महत्वपूर्ण संपत्ति - समानता (या) - का कोई उचित "टेट्राहेड्रल" एनालॉग नहीं है: टेट्राहेड्रोन के सभी 6 डायहेड्रल कोणों का योग और के बीच कोई भी मान ले सकता है। (बेशक, टेट्राहेड्रोन के सभी 12 समतल कोणों का योग - प्रत्येक शीर्ष पर 3 - टेट्राहेड्रोन से स्वतंत्र होता है और बराबर होता है।)
त्रिभुजों को आमतौर पर उनकी समरूपता की डिग्री के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है: नियमित या समबाहु त्रिभुज में समरूपता के तीन अक्ष होते हैं, समद्विबाहु - एक। समरूपता की डिग्री के अनुसार टेट्राहेड्रा का वर्गीकरण अधिक समृद्ध है। सबसे सममित चतुर्भुज नियमित है, जो चार नियमित त्रिभुजों से घिरा है। इसमें समरूपता के 6 तल हैं - वे विपरीत किनारे के लंबवत प्रत्येक किनारे से गुजरते हैं - और समरूपता के 3 अक्ष विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं से गुजरते हैं (चित्र 5)। कम सममित नियमित त्रिकोणीय पिरामिड (समरूपता के 3 विमान, चित्र 6) और आइसोहेड्रल टेट्राहेड्रा (अर्थात, समान चेहरों के साथ टेट्राहेड्रा - समरूपता के 3 अक्ष, चित्र 7) हैं।
चतुष्फलक सबसे सरल बहुभुज आकृति है। इसमें चार फलक होते हैं, जिनमें से प्रत्येक एक समबाहु त्रिभुज होता है, जिसकी प्रत्येक भुजा दूसरे से केवल एक फलक से जुड़ी होती है। इस त्रि-आयामी ज्यामितीय आकृति के गुणों का अध्ययन करते समय, स्पष्टता के लिए, कागज से टेट्राहेड्रोन का एक मॉडल बनाना सबसे अच्छा है।
पेपर टेट्राहेड्रोन को कैसे गोंद करें?
एक साधारण पेपर टेट्राहेड्रोन बनाने के लिए, हमें चाहिए:
- कागज ही (मोटी, आप कार्डबोर्ड का उपयोग कर सकते हैं);
- चांदा;
- शासक;
- कैंची;
- गोंद;
- पेपर टेट्राहेड्रोन, योजना।
प्रगति
- यदि कागज बहुत मोटा है, तो एक कठोर वस्तु, उदाहरण के लिए, एक शासक के किनारे को सिलवटों के ऊपर खींचा जाना चाहिए;
- बहुरंगी चतुष्फलक प्राप्त करने के लिए, आप चेहरों को रंग सकते हैं या रंगीन कागज की शीटों पर स्कैन कर सकते हैं।
बिना ग्लूइंग के कागज से टेट्राहेड्रोन कैसे बनाया जाए?
हम आपके ध्यान में एक मास्टर क्लास लाते हैं जो बताती है कि ओरिगेमी तकनीक का उपयोग करके 6 पेपर टेट्राहेड्रा को एक मॉड्यूल में कैसे इकट्ठा किया जाए।
हमें ज़रूरत होगी:
- विभिन्न रंगों में कागज की चौकोर शीट के 5 जोड़े;
- कैंची।
प्रगति
- हम कागज की प्रत्येक शीट को तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं, इसे काटते हैं और पट्टियां प्राप्त करते हैं, जिसका पहलू अनुपात 1 से 3 होता है। नतीजतन, हमें 30 स्ट्रिप्स मिलते हैं, जिससे हम मॉड्यूल जोड़ देंगे।
- हम पट्टी को अपने सामने रखते हैं, इसे क्षैतिज रूप से खींचते हैं। आधे में मोड़ो, प्रकट करो और किनारे के बीच में मोड़ो।
- दूर दाहिने किनारे पर, एक तीर बनाने के लिए कोने को मोड़ें, इसे किनारे से 2-3 सेमी की दूरी पर ले जाएं।
- इसी तरह, हम बाएं कोने को मोड़ते हैं (फोटो पेपर से टेट्राहेड्रोन 3 कैसे बनाएं)।
- हम छोटे त्रिकोण के ऊपरी दाएं कोने को मोड़ते हैं, जो पिछले ऑपरेशन का परिणाम था। इस प्रकार, मुड़े हुए किनारे की भुजाएँ एक ही कोण पर होंगी।
- परिणामी गुना का विस्तार करें।
- हम बाएं कोने को खोलते हैं और, मौजूदा फोल्ड लाइनों के साथ, कोने को अंदर की ओर लपेटते हैं जैसा कि फोटो में दिखाया गया है।
- दाहिने कोने में, ऊपरी किनारे को नीचे की ओर मोड़ें ताकि यह ऑपरेशन #3 के दौरान बने क्रीज के साथ प्रतिच्छेद करे।
- ऑपरेशन नंबर 3 के परिणामस्वरूप बने फोल्ड का उपयोग करके बाहरी किनारे को फिर से दाईं ओर लपेटा जाता है।
- हम पिछले ऑपरेशन को पट्टी के दूसरे छोर से दोहराते हैं, लेकिन ताकि छोटे तह पट्टी के समानांतर सिरों पर हों।
- हम परिणामी पट्टी को लंबाई के साथ आधा मोड़ते हैं और इसे चुपचाप अनायास खुलने देते हैं। मॉडल की अंतिम असेंबली के दौरान, सटीक उद्घाटन कोण बाद में स्पष्ट हो जाएगा। तत्व तैयार है, अब हम इसी तरह एक और 29 करते हैं।
- हम लिंक को चालू करते हैं ताकि असेंबली के दौरान इसका बाहरी भाग दिखाई दे। हम छोटे भीतरी कोने से बनी जेब में जीभ डालकर दोनों कड़ियों को जोड़ते हैं।
- जुड़े लिंक को 60 का कोण बनाना चाहिए, जिसके तहत अन्य लिंक जुड़ेंगे (फोटो पेपर से टेट्राहेड्रोन 13 कैसे बनाएं)।
- हम तीसरे लिंक को दूसरे से जोड़ते हैं, और दूसरे को पहले से जोड़ते हैं। यह आकृति के अंत का पता लगाता है, जिसके शीर्ष पर इसके तीनों लिंक जुड़े हुए हैं।
- इसी तरह तीन और लिंक जोड़ें। पहला टेट्राहेड्रोन तैयार है।
- तैयार आकृति के कोने बिल्कुल समान नहीं हो सकते हैं, इसलिए अधिक सटीक फिट के लिए, आपको बाद के सभी टेट्राहेड्रा के खुले व्यक्तिगत कोनों को छोड़ना चाहिए।
- टेट्राहेड्रा को एक दूसरे से जोड़ा जाना चाहिए ताकि एक का कोना दूसरे में छेद से होकर गुजरे।
- तीन परस्पर जुड़े टेट्राहेड्रा।
- चार परस्पर जुड़े टेट्राहेड्रा।
- पांच टेट्राहेड्रा का मॉड्यूल तैयार है।
यदि आपने टेट्राहेड्रोन का मुकाबला किया है, तो आप जारी रख सकते हैं और बना सकते हैं
अनुभाग: गणित
पाठ की तैयारी और संचालन की योजना:
I. प्रारंभिक चरण:
- त्रिकोणीय पिरामिड के ज्ञात गुणों की पुनरावृत्ति।
- टेट्राहेड्रोन की विशेषताओं के बारे में पहले से नहीं मानी जाने वाली परिकल्पनाओं को सामने रखना।
- इन परिकल्पनाओं पर शोध करने के लिए समूहों का गठन।
- प्रत्येक समूह के लिए कार्यों का वितरण (इच्छा को ध्यान में रखते हुए)।
- कार्य के लिए जिम्मेदारियों का वितरण।
द्वितीय. मुख्य मंच:
- परिकल्पना समाधान।
- एक शिक्षक के साथ परामर्श।
- कार्य रूप।
III. अंतिम चरण:
- परिकल्पना की प्रस्तुति और बचाव।
पाठ मकसद:
- छात्रों के ज्ञान और कौशल को सामान्य और व्यवस्थित करना; निर्दिष्ट विषय पर अतिरिक्त सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन करें; गैर-मानक समस्याओं को हल करने में ज्ञान को लागू करने का तरीका सिखाने के लिए, उनमें सरल घटकों को देखने के लिए;
- अतिरिक्त साहित्य के साथ काम करने वाले छात्रों के कौशल का निर्माण करने के लिए, विश्लेषण करने की क्षमता में सुधार करने के लिए, सामान्यीकरण करने के लिए, जो वे पढ़ते हैं उसमें मुख्य चीज ढूंढते हैं, नई चीजें साबित करते हैं; छात्रों के संचार कौशल विकसित करना;
- एक ग्राफिक संस्कृति की खेती करें।
प्रारंभिक चरण (1 पाठ):
- छात्र का संदेश "महान पिरामिड के रहस्य"।
- पिरामिड के प्रकारों की विविधता के बारे में शिक्षक का परिचयात्मक भाषण।
- चर्चागत प्रश्न:
- अनियमित त्रिकोणीय पिरामिडों को किस आधार पर जोड़ा जा सकता है
- त्रिभुज के लंबकेन्द्र से हमारा क्या तात्पर्य है, और चतुष्फलक का लंबकेन्द्र क्या कहा जा सकता है
- क्या एक आयताकार चतुष्फलक का एक लम्बकेन्द्र होता है?
- कौन सा टेट्राहेड्रोन आइसोहेड्रल कहलाता है इसके क्या गुण हो सकते हैं
- विभिन्न टेट्राहेड्रा पर विचार करने, उनके गुणों पर चर्चा करने के परिणामस्वरूप, अवधारणाओं को स्पष्ट किया जाता है और एक निश्चित संरचना प्रकट होती है:
- एक नियमित चतुष्फलक के गुणों पर विचार कीजिए।
गुण 1-4 मौखिक रूप से स्लाइड 1 का उपयोग करके सिद्ध होते हैं।
गुण 1: सभी किनारे बराबर हैं।
गुण 2: सभी तलीय कोण 60° के होते हैं।
गुण 3: एक चतुष्फलक के किन्हीं तीन शीर्षों पर समतल कोणों का योग 180° होता है।
गुण 4: यदि चतुष्फलक नियमित है, तो इसके किसी भी शीर्ष को विपरीत फलक के लम्बकेन्द्र में प्रक्षेपित किया जाता है।
दिया गया:
ABCD एक नियमित चतुष्फलक है
एएच - ऊंचाई
साबित करें:
एच - ऑर्थोसेंटर
सबूत:
1) बिंदु H किसी भी बिंदु A, B, C के साथ संपाती हो सकता है। माना H ?B, H ?C
2) एएच + (एबीसी) => एएच + बीएच, एएच + सीएच, एएच + डीएच,
3) एबीएच, बीसीएच, एडीएच पर विचार करें
एडी - सामान्य => एबीएच, बीसीएच, एडीएच => बीएच = सीएच = डीएच
AB \u003d AC \u003d AD t. H - ABC . का ऑर्थोसेंटर है
क्यू.ई.डी.
- पहले पाठ में गुण 5-9 को उन परिकल्पनाओं के रूप में तैयार किया गया है जिनके लिए प्रमाण की आवश्यकता होती है।
प्रत्येक समूह को अपना गृहकार्य मिलता है:
किसी एक गुण को सिद्ध कीजिए।
एक प्रस्तुति के साथ एक तर्क तैयार करें।
द्वितीय. मुख्य चरण (एक सप्ताह के भीतर):
- परिकल्पना समाधान।
- एक शिक्षक के साथ परामर्श।
- कार्य रूप।
III. अंतिम चरण (1-2 पाठ):
प्रस्तुतियों का उपयोग करते हुए परिकल्पना का प्रतिनिधित्व और बचाव।
अंतिम पाठ के लिए सामग्री तैयार करते समय, छात्र ऊंचाई के चौराहे के बिंदु की विशेषताओं के बारे में निष्कर्ष पर आते हैं, हम इसे "अद्भुत" बिंदु कहने के लिए सहमत हैं।
गुण 5: परिबद्ध और उत्कीर्ण गोले के केंद्र मेल खाते हैं।
दिया गया:
DABC एक नियमित चतुष्फलक है
लगभग 1 - वर्णित गोले का केंद्र
ओ - खुदे हुए गोले का केंद्र
N, अंकित गोले का, जिसका फलक ABC . है, संपर्क बिंदु है
साबित करें: ओ 1 = ओ
सबूत:
माना OA = OB =OD = OC परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है
ड्रॉप ऑन + (एबीसी)
AON = CON - आयताकार, टांग के साथ और कर्ण => AN = CN
ओम + (बीसीडी) को छोड़ दें
COM DOM - आयताकार, पैर और कर्ण के साथ => CM = DM
पैराग्राफ 1 से CON COM => ON = OM
N + (ABC) => ON,OM - उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्याएँ।
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
एक नियमित टेट्राहेड्रोन के लिए, एक गोले के साथ इसकी पारस्परिक व्यवस्था की संभावना है - इसके सभी किनारों के साथ एक निश्चित क्षेत्र के साथ संपर्क। इस तरह के गोले को कभी-कभी "अर्ध-अंकित" क्षेत्र कहा जाता है।
गुण 6: विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं और इन किनारों के लंबवत को जोड़ने वाले खंड अर्ध-अंकित गोले की त्रिज्या हैं।
दिया गया:
ABCD एक नियमित चतुष्फलक है;
एएल = बीएल, एके = सीके, एएस = डीएस,
बीपी = सीपी, बीएम = डीएम, सीएन = डीएन।
साबित करें:
एलओ = ठीक = ओएस = ओम = चालू = ओपी
सबूत।
चतुष्फलक ABCD - नियमित => AO= BO = CO = DO
त्रिभुजों AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD पर विचार करें।
AO=BO=>?AOB – समद्विबाहु =>
OL - माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक
AO=CO=>?AOC– समद्विबाहु =>
ठीक - माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक
CO=DO=>?COD– समद्विबाहु =>
ON– माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक AOB=> AOC= COD=
BO=DO=>?BOD–isosceles => BOD=BOC=AOD
OM- माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक
AO=DO=>?AOD– समद्विबाहु =>
OS - माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक
BO=CO=>?BOC– समद्विबाहु =>
OP– माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक
एओ = बीओ = सीओ = डीओ
एबी=एसी=एडी=बीसी=बीडी=सीडी
3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - बराबर OL, OK, ON, OM,OS, OP त्रिज्या में ऊँचाई
गोले के समद्विबाहु त्रिभुज
परिणाम:
एक नियमित टेट्राहेड्रोन में एक अर्ध-अंकित गोला होता है।
संपत्ति 7:यदि चतुष्फलक नियमित है, तो चतुष्फलक के प्रत्येक दो विपरीत किनारे परस्पर लंबवत हैं।
दिया गया:
DABC एक नियमित चतुष्फलक है;
एच - ऑर्थोसेंटर
साबित करें:
सबूत:
DABC - नियमित चतुष्फलक =>? ADB - समबाहु
(एडीबी) (ईडीसी) = ईडी
ईडी - एडीबी ऊंचाई => ईडी + एबी,
एबी + सीई, => एबी + (ईडीसी) => एबी + सीडी।
अन्य किनारों की लंबवतता इसी तरह सिद्ध होती है।
गुण 8: सममिति के छह तल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। चार सीधी रेखाएँ बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो चेहरों के तल के लंबवत चेहरों के पास परिचालित वृत्तों के केंद्रों के माध्यम से खींची जाती हैं, और बिंदु O परिबद्ध गोले का केंद्र है।
दिया गया:
ABCD एक नियमित चतुष्फलक है
साबित करें:
ओ वर्णित क्षेत्र का केंद्र है;
सममिति के 6 तल बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं;
सबूत।
तटरक्षक + बीडी BCD - समबाहु => GO + BD (तीन GO + BD लंबों के प्रमेय द्वारा)
बीजी = जीडी, क्योंकि एजी - एबीडी माध्यिका
एबीडी (एबीडी) => ? BOD - समद्विबाहु => BO=DO
ईडी + एबी, as ABD - समबाहु => OE + AD (तीन लंबवत प्रमेय द्वारा)
बीई = एई, क्योंकि DE - माध्यिका?ABD
ABD (ABD) =>?AOB - समद्विबाहु =>BO=AO
(एओबी) (एबीडी) = एबी
ON + (ABC) OF + AC (तीनों से
बीएफ + एसी, क्योंकि ABC - समबाहु लंब)
एएफ = एफसी, क्योंकि BF - माध्यिका? ABC
ABC (ABC) => AOC - समद्विबाहु => AO = CO
(एओसी) ?(एबीसी) = एसी
BO = AO =>AO = BO = CO = DO गोले की त्रिज्याएँ हैं,
AO = CO चतुष्फलक ABCD के परितः परिबद्ध है
(एबीआर) (एसीजी) = एओ
(बीसीटी) (एबीआर) = बीओ
(एसीजी) (बीसीटी) = सीओ
(एडीएच) (सीईडी) = डीओ
एबी + (एबीआर) (एबीआर) (बीसीटी) (एसीजी) (एडीएच) (सीईडी) (बीडीएफ)
इसलिये:
बिंदु O परिबद्ध गोले का केंद्र है,
सममिति के 6 तल बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
संपत्ति 9: चतुष्फलक के शीर्षों से लंबकेंद्रों तक जाने वाले लंबों के बीच का अधिक कोण 109°28 है"
दिया गया:
ABCD एक नियमित चतुष्फलक है;
ओ वर्णित क्षेत्र का केंद्र है;
साबित करें:
सबूत:
1)एएस - ऊंचाई
एएसबी = 90 ओ ओएसबी आयताकार
2) (नियमित चतुष्फलक के गुण के अनुसार)
3)AO=BO - परिबद्ध गोले की त्रिज्या
4) 
70°32"
6) AO=BO=CO=DO =>?AOD=?AOC=?AOD=?COD=?BOD=?BOC
निष्कर्ष।
(शिक्षक और छात्र पाठ को सारांशित करते हैं। छात्रों में से एक रासायनिक तत्वों की संरचनात्मक इकाई के रूप में टेट्राहेड्रा पर एक संक्षिप्त रिपोर्ट के साथ बोलता है।)
एक नियमित टेट्राहेड्रोन के गुणों और इसके "आश्चर्यजनक" बिंदु का अध्ययन किया जाता है।
यह पाया गया कि केवल ऐसे टेट्राहेड्रोन का आकार, जिसमें उपरोक्त सभी गुण हैं, साथ ही एक "आदर्श" बिंदु, सिलिकेट्स और हाइड्रोकार्बन के अणुओं द्वारा कब्जा कर लिया जा सकता है। या अणुओं में कई नियमित टेट्राहेड्रा शामिल हो सकते हैं। वर्तमान में, टेट्राहेड्रोन को न केवल प्राचीन सभ्यता, गणित के प्रतिनिधि के रूप में जाना जाता है, बल्कि पदार्थों की संरचना के आधार के रूप में भी जाना जाता है।
सिलिकेट नमक जैसे पदार्थ होते हैं जिनमें ऑक्सीजन के साथ सिलिकॉन यौगिक होते हैं। उनका नाम लैटिन शब्द "सिलेक्स" - "फ्लिंट" से आया है। टेट्राहेड्रा के रूप में सिलिकेट अणुओं का आधार परमाणु कट्टरपंथी हैं।
सिलिकेट रेत, और मिट्टी, और ईंट, और कांच, और सीमेंट, और तामचीनी, और तालक, और अभ्रक, और पन्ना, और पुखराज हैं।
सिलिकेट पृथ्वी की पपड़ी का 75% से अधिक (और लगभग 87%) क्वार्ट्ज के साथ और 95% से अधिक आग्नेय चट्टानों का निर्माण करते हैं।
सिलिकेट्स की एक महत्वपूर्ण विशेषता एक सामान्य ऑक्सीजन परमाणु के माध्यम से दो या दो से अधिक सिलिकॉन-ऑक्सीजन टेट्राहेड्रा के परस्पर संयोजन (पोलीमराइजेशन) की क्षमता है।
अणुओं के एक ही रूप में संतृप्त हाइड्रोकार्बन होते हैं, लेकिन वे कार्बन और हाइड्रोजन के सिलिकेट्स के विपरीत होते हैं। अणुओं का सामान्य सूत्र
हाइड्रोकार्बन में प्राकृतिक गैस शामिल है।
आयताकार और समद्विबाहु चतुष्फलक के गुणों पर विचार करना आवश्यक है।
साहित्य।
- पोतापोव वी.एम., तातारिनचिक एस.एन. "ऑर्गेनिक केमिस्ट्री", मॉस्को 1976।
- बाबरीन वी.पी. "महान पिरामिड का रहस्य", सेंट पीटर्सबर्ग, 2000
- Sharygin I. F. "ज्यामिति में समस्याएं", मास्को, 1984
- बड़ा विश्वकोश शब्दकोश।
- "स्कूल निर्देशिका", मास्को, 2001।
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