एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखिए। दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। लेख में" " मैंने आपको दिए गए फ़ंक्शन ग्राफ़ और इस ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के साथ, व्युत्पन्न खोजने के लिए प्रस्तुत समस्याओं को हल करने के दूसरे तरीके का विश्लेषण करने का वादा किया था। हम इस विधि का पता लगाएंगे , खोना मत! क्योंअगला?

तथ्य यह है कि एक सीधी रेखा के समीकरण के सूत्र का उपयोग वहां किया जाएगा। बेशक, कोई बस इस सूत्र को दिखा सकता है और आपको इसे सीखने की सलाह दे सकता है। लेकिन यह समझाना बेहतर है कि यह कहां से आता है (यह कैसे प्राप्त होता है)। यह जरुरी है! यदि आप इसे भूल जाते हैं, तो इसे जल्दी से पुनर्स्थापित करेंमुश्किल नहीं होगा। सब कुछ नीचे विस्तृत है। अतः, निर्देशांक तल पर हमारे पास दो बिंदु A हैं(x 1; y 1) और B (x 2; y 2), इंगित बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जाती है:

यहाँ प्रत्यक्ष सूत्र है:

*अर्थात, बिंदुओं के विशिष्ट निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें y=kx+b के रूप का एक समीकरण प्राप्त होता है।

** यदि यह सूत्र केवल "याद" है, तो सूचकांकों के साथ भ्रमित होने की उच्च संभावना है जब एक्स. इसके अलावा, अनुक्रमित को विभिन्न तरीकों से दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

इसलिए इसका अर्थ समझना जरूरी है।

अब इस सूत्र की व्युत्पत्ति। सब कुछ बहुत आसान है!

त्रिभुज ABE और ACF समान हैं तेज़ कोने(समकोण त्रिभुजों की समानता का पहला चिन्ह)। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि संगत तत्वों के अनुपात समान होते हैं, अर्थात्:

अब हम इन खंडों को केवल बिंदुओं के निर्देशांक में अंतर के रूप में व्यक्त करते हैं:

बेशक, यदि आप तत्वों के संबंधों को एक अलग क्रम में लिखते हैं तो कोई त्रुटि नहीं होगी (मुख्य बात पत्राचार रखना है):

परिणाम एक सीधी रेखा का समान समीकरण है। बस इतना ही!

अर्थात्, बिंदु स्वयं (और उनके निर्देशांक) कैसे भी निर्दिष्ट हैं, इस सूत्र को समझने पर, आप हमेशा एक सीधी रेखा के समीकरण पाएंगे।

वैक्टर के गुणों का उपयोग करके सूत्र का अनुमान लगाया जा सकता है, लेकिन व्युत्पत्ति का सिद्धांत समान होगा, क्योंकि हम उनके निर्देशांक की आनुपातिकता के बारे में बात करेंगे। इस मामले में, समकोण त्रिभुजों की समान समानता काम करती है। मेरी राय में, ऊपर वर्णित निष्कर्ष अधिक समझ में आता है))।

वेक्टर निर्देशांक के माध्यम से आउटपुट देखें >>>

मान लीजिए कि दो . से गुजरने वाले निर्देशांक तल पर एक सीधी रेखा का निर्माण होता है दिए गए अंकए (एक्स 1; वाई 1) और बी (एक्स 2; वाई 2)। आइए हम निर्देशांक के साथ रेखा पर एक मनमाना बिंदु C चिह्नित करें ( एक्स; आप) हम दो वैक्टरों को भी निरूपित करते हैं:

यह ज्ञात है कि समानांतर रेखाओं (या एक रेखा पर) पर स्थित सदिशों के लिए, उनके संगत निर्देशांक समानुपाती होते हैं, अर्थात्:

- हम संबंधित निर्देशांक के अनुपात की समानता लिखते हैं:

एक उदाहरण पर विचार करें:

निर्देशांक (2;5) और (7:3) के साथ दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

आप खुद लाइन भी नहीं बना सकते। हम सूत्र लागू करते हैं:

यह महत्वपूर्ण है कि आप अनुपात बनाते समय पत्राचार को पकड़ लें। यदि आप लिखते हैं तो आप गलत नहीं हो सकते:

उत्तर: y=-2/5x+29/5 गो y=-0.4x+5.8

यह सुनिश्चित करने के लिए कि परिणामी समीकरण सही पाया गया है, इसे जांचना सुनिश्चित करें - बिंदुओं की स्थिति में डेटा निर्देशांक को इसमें बदलें। आपको सही समानताएं मिलनी चाहिए।

बस इतना ही। मुझे आशा है कि सामग्री आपके लिए उपयोगी थी।

निष्ठा से, सिकंदर।

पुनश्च: यदि आप सोशल नेटवर्क में साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

बिंदु K(x 0; y 0) से होकर जाने वाली रेखा और रेखा y = kx + a के समानांतर सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है:

वाई - वाई 0 \u003d के (एक्स - एक्स 0) (1)

जहाँ k सीधी रेखा का ढाल है।

वैकल्पिक सूत्र:
बिंदु M 1 (x 1 ; y 1) से गुजरने वाली रेखा और रेखा के समानांतर Ax+By+C=0 को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 । (2)

बिंदु K से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए। ;) रेखा y = . के समानांतर एक्स + .

उदाहरण 1। बिंदु M 0 (-2.1) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें और उसी समय:
ए) सीधी रेखा के समानांतर 2x+3y -7 = 0;
ख) रेखा 2x+3y -7 = 0 पर लंबवत।
समाधान . के साथ एक समीकरण की कल्पना करें ढलान कारक y = kx + a के रूप में। ऐसा करने के लिए, हम y को छोड़कर सभी मानों को स्थानांतरित करते हैं दाईं ओर: 3y = -2x + 7। फिर हम दाईं ओर को गुणांक 3 से विभाजित करते हैं। हम पाते हैं: y = -2/3x + 7/3
सीधी रेखा y = -2 / 3 x + 7/3 के समानांतर बिंदु K(-2;1) से गुजरने वाला समीकरण NK ज्ञात कीजिए।
x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 को प्रतिस्थापित करने पर हमें मिलता है:
वाई-1 = -2 / 3 (एक्स-(-2))
या
y = -2 / 3 x - 1 / 3 या 3y + 2x +1 = 0

उदाहरण # 2। सीधी रेखा 2x + 5y = 0 के समानांतर एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए और निर्देशांक अक्षों को मिलाकर एक ऐसा त्रिभुज बनाइए जिसका क्षेत्रफल 5 हो।
समाधान . चूँकि रेखाएँ समानांतर हैं, वांछित रेखा का समीकरण 2x + 5y + C = 0 है। एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल, जहाँ a और b उसके पैर हैं। निर्देशांक अक्षों के साथ वांछित रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए:
;
.
तो, ए(-सी/2,0), बी(0,-सी/5)। क्षेत्र के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करें: . हमें दो हल मिलते हैं: 2x + 5y + 10 = 0 और 2x + 5y - 10 = 0।

उदाहरण #3। बिंदु (-2; 5) और समांतर रेखा 5x-7y-4=0 से गुजरने वाली रेखा का समीकरण लिखिए।
समाधान। इस सीधी रेखा को समीकरण y = 5/7 x - 4/7 (यहाँ a = 5/7) द्वारा दर्शाया जा सकता है। वांछित रेखा का समीकरण y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)) है, अर्थात। 7(y-5)=5(x+2) या 5x-7y+45=0 ।

उदाहरण # 4। उदाहरण 3 को हल करना (A=5, B=-7) सूत्र (2) का उपयोग करके, हम पाते हैं 5(x+2)-7(y-5)=0.

उदाहरण संख्या 5. बिंदु (-2;5) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा और एक समानांतर सीधी रेखा 7x+10=0 का समीकरण लिखिए।
समाधान। यहां ए = 7, बी = 0। सूत्र (2) 7(x+2)=0 देता है, अर्थात। एक्स+2=0. फॉर्मूला (1) लागू नहीं है, क्योंकि इस समीकरण को y के संबंध में हल नहीं किया जा सकता है (यह सीधी रेखा y-अक्ष के समानांतर है)।

यह लेख एक समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण के विषय को जारी रखता है: इस तरह के समीकरण को एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के रूप में मानें। आइए एक प्रमेय को परिभाषित करें और उसका प्रमाण दें; आइए जानें कि एक सीधी रेखा का अधूरा सामान्य समीकरण क्या है और एक सामान्य समीकरण से एक सीधी रेखा के अन्य प्रकार के समीकरणों में संक्रमण कैसे करें। हम पूरे सिद्धांत को दृष्टांतों और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के साथ समेकित करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

मान लीजिए कि समतल पर एक आयताकार निर्देशांक तंत्र O x y दिया गया है।

प्रमेय 1

पहली डिग्री का कोई भी समीकरण, जिसका रूप A x + B y + C \u003d 0 है, जहाँ A, B, C कुछ हैं वास्तविक संख्या(ए और बी एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं) एक समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है। बदले में, विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में कोई भी रेखा एक समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है जिसमें ए, बी, सी के एक निश्चित सेट के लिए ए एक्स + बी वाई + सी = 0 होता है।

प्रमाण

इस प्रमेय में दो बिंदु हैं, हम उनमें से प्रत्येक को सिद्ध करेंगे।

1. आइए हम सिद्ध करें कि समीकरण A x + B y + C = 0 तल पर एक रेखा को परिभाषित करता है।

मान लीजिए कोई बिंदु M 0 (x 0 , y 0) है जिसके निर्देशांक समीकरण A x + B y + C = 0 के संगत हैं। अत: A x 0 + B y 0 + C = 0। समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों से घटाएँ A x + B y + C \u003d 0 समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, हमें एक नया समीकरण मिलता है जो A जैसा दिखता है (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0। यह A x + B y + C = 0 के बराबर है।

परिणामी समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 आवश्यक है और पर्याप्त स्थितिवैक्टर n → = (ए, बी) और एम 0 एम → = (एक्स - एक्स 0, वाई - वाई 0) की लंबवतता। इस प्रकार, बिंदुओं का सेट एम (एक्स, वाई) एक आयताकार समन्वय प्रणाली में वेक्टर n → = (ए, बी) की दिशा के लंबवत एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है। हम मान सकते हैं कि ऐसा नहीं है, लेकिन तब सदिश n → = (A, B) और M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) लंबवत नहीं होंगे, और समानता A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 सत्य नहीं होगा।

इसलिए, समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में कुछ रेखा को परिभाषित करता है, और इसलिए समतुल्य समीकरण A x + B y + C \u003d 0 परिभाषित करता है एक ही पंक्ति। इस प्रकार हमने प्रमेय के पहले भाग को सिद्ध कर दिया है।

1. आइए हम सिद्ध करें कि समतल पर एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में कोई भी सीधी रेखा पहली डिग्री A x + B y + C = 0 के समीकरण द्वारा दी जा सकती है।

आइए समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा a सेट करें; बिंदु M 0 (x 0 , y 0) जिसके माध्यम से यह रेखा गुजरती है, साथ ही इस रेखा का सामान्य सदिश n → = (A , B) ।

मान लीजिए कि कुछ बिंदु M (x , y) भी मौजूद है - रेखा का एक अस्थायी बिंदु। इस स्थिति में, सदिश n → = (A , B) और M 0 M → = (x - x 0 , y - 0) एक दूसरे के लंबवत हैं, और उनका अदिश गुणन शून्य है:

एन →, एम 0 एम → = ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0

आइए समीकरण A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 को फिर से लिखें, C: C = - A x 0 - B y 0 को परिभाषित करें और अंत में समीकरण A x + B y + C = 0 प्राप्त करें।

तो, हमने प्रमेय के दूसरे भाग को सिद्ध कर दिया है, और हमने पूरे प्रमेय को समग्र रूप से सिद्ध कर दिया है।

परिभाषा 1

एक समीकरण जो दिखता हैए एक्स + बी वाई + सी = 0 - यह एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरणएक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान परओ एक्स वाई।

सिद्ध प्रमेय के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक निश्चित आयताकार निर्देशांक प्रणाली में एक समतल पर दी गई एक सीधी रेखा और उसका सामान्य समीकरण अटूट रूप से जुड़ा हुआ है। दूसरे शब्दों में, मूल रेखा अपने सामान्य समीकरण से मेल खाती है; एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण किसी दी गई सीधी रेखा से मेल खाता है।

यह प्रमेय के प्रमाण से यह भी निकलता है कि चर x और y के लिए गुणांक A और B, सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं, जो कि सीधी रेखा A x + B y + के सामान्य समीकरण द्वारा दिया जाता है। सी = 0।

विचार करना विशिष्ट उदाहरणएक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

मान लीजिए कि समीकरण 2 x + 3 y - 2 = 0 दिया गया है, जो किसी दिए गए आयताकार निर्देशांक प्रणाली में एक सीधी रेखा के संगत है। इस रेखा का सामान्य सदिश सदिश है n → = (2 , 3) ​​। चित्र में दी गई सीधी रेखा खींचिए।

निम्नलिखित पर भी तर्क दिया जा सकता है: जिस सीधी रेखा को हम चित्र में देखते हैं वह सामान्य समीकरण 2 x + 3 y - 2 = 0 द्वारा निर्धारित की जाती है, क्योंकि किसी दी गई सीधी रेखा के सभी बिंदुओं के निर्देशांक इस समीकरण के अनुरूप होते हैं।

हम सामान्य सीधी रेखा समीकरण के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करके समीकरण λ · A x + λ · B y + · C = 0 प्राप्त कर सकते हैं। परिणामी समीकरण मूल सामान्य समीकरण के बराबर है, इसलिए, यह समतल में समान रेखा का वर्णन करेगा।

परिभाषा 2

एक सीधी रेखा का पूर्ण सामान्य समीकरण- रेखा A x + B y + C \u003d 0 का ऐसा सामान्य समीकरण, जिसमें संख्याएँ A, B, C गैर-शून्य हैं। अन्यथा, समीकरण है अधूरा.

आइए हम सरल रेखा के अपूर्ण सामान्य समीकरण के सभी रूपों का विश्लेषण करें।

1. जब A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, सामान्य समीकरण B y + C \u003d 0 हो जाता है। ऐसा अधूरा सामान्य समीकरण आयताकार समन्वय प्रणाली O x y में एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है जो O x अक्ष के समानांतर है, क्योंकि x के किसी भी वास्तविक मान के लिए, चर y मान पर ले जाएगा - सी बी। दूसरे शब्दों में, रेखा A x + B y + C \u003d 0 का सामान्य समीकरण, जब A \u003d 0, B ≠ 0, बिंदुओं के स्थान को परिभाषित करता है (x, y) जिनके निर्देशांक समान संख्या के बराबर होते हैं - सी बी।
2. यदि ए \u003d 0, बी 0, सी \u003d 0, सामान्य समीकरण y \u003d 0 हो जाता है। ऐसा अधूरा समीकरण x-अक्ष O x को परिभाषित करता है।
3. जब A 0, B \u003d 0, C ≠ 0, हमें एक अधूरा सामान्य समीकरण A x + C \u003d 0 मिलता है, जो y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।
4. चलो A 0, B \u003d 0, C \u003d 0, फिर अधूरा सामान्य समीकरण x \u003d 0 का रूप लेगा, और यह समन्वय रेखा O y का समीकरण है।
5. अंत में, जब A 0, B ≠ 0, C \u003d 0, अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + B y \u003d 0 का रूप लेता है। और यह समीकरण एक सीधी रेखा का वर्णन करता है जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है। वास्तव में, संख्याओं का युग्म (0 , 0) समानता A x + B y = 0 से मेल खाता है, क्योंकि A · 0 + B · 0 = 0 है।

आइए हम एक सीधी रेखा के अधूरे सामान्य समीकरण के उपरोक्त सभी प्रकारों को आलेखीय रूप से चित्रित करें।

उदाहरण 1

यह ज्ञात है कि दी गई सीधी रेखा y-अक्ष के समानांतर है और बिंदु 2 7 , - 11 से होकर गुजरती है। किसी दी गई सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा A x + C \u003d 0 के रूप के समीकरण द्वारा दी गई है, जिसमें A 0 है। शर्त उस बिंदु के निर्देशांक भी निर्दिष्ट करती है जिसके माध्यम से रेखा गुजरती है, और इस बिंदु के निर्देशांक अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + C = 0 की शर्तों के अनुरूप होते हैं, अर्थात। समानता सही है:

ए 2 7 + सी = 0

ए को कुछ गैर-शून्य मान देकर सी को निर्धारित करना संभव है, उदाहरण के लिए, ए = 7। इस मामले में, हमें मिलता है: 7 2 7 + सी \u003d 0 सी \u003d - 2। हम गुणांक A और C दोनों को जानते हैं, उन्हें समीकरण A x + C = 0 में प्रतिस्थापित करें और रेखा का आवश्यक समीकरण प्राप्त करें: 7 x - 2 = 0

उत्तर: 7 एक्स - 2 = 0

उदाहरण 2

ड्राइंग एक सीधी रेखा दिखाती है, इसके समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

दी गई ड्राइंग हमें समस्या को हल करने के लिए प्रारंभिक डेटा आसानी से लेने की अनुमति देती है। हम चित्र में देखते हैं कि दी गई रेखा O x अक्ष के समानांतर है और बिंदु (0, 3) से होकर गुजरती है।

सीधी रेखा, जो भुज के समांतर होती है, अपूर्ण सामान्य समीकरण B y + = 0 से निर्धारित होती है। B और C के मान ज्ञात कीजिए। बिंदु (0, 3) के निर्देशांक, क्योंकि दी गई सीधी रेखा इससे होकर गुजरती है, सीधी रेखा B y + С = 0 के समीकरण को संतुष्ट करेगी, तो समानता मान्य है: В · 3 + С = 0। आइए B को शून्य के अलावा किसी अन्य मान पर सेट करें। मान लें कि B \u003d 1, इस मामले में, समानता B · 3 + C \u003d 0 से हम C: C \u003d - 3 पा सकते हैं। हम उपयोग करते हैं ज्ञात मूल्यबी और सी, हम रेखा के आवश्यक समीकरण प्राप्त करते हैं: y - 3 = 0।

उत्तर:वाई - 3 = 0।

समतल के किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण

दी गई रेखा को बिंदु M 0 (x 0, y 0) से गुजरने दें, तो इसके निर्देशांक रेखा के सामान्य समीकरण के अनुरूप होते हैं, अर्थात। समानता सत्य है: A x 0 + B y 0 + C = 0। इस समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को सीधी रेखा के सामान्य पूर्ण समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों से घटाएँ। हम प्राप्त करते हैं: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, यह समीकरण मूल सामान्य के बराबर है, बिंदु M 0 (x 0, y 0) से होकर गुजरता है और एक है सामान्य वेक्टर n → \u003d (ए, बी) ।

हमने जो परिणाम प्राप्त किया है, उससे के लिए एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण लिखना संभव हो जाता है ज्ञात निर्देशांकरेखा का सामान्य सदिश और इस रेखा पर किसी बिंदु के निर्देशांक।

उदाहरण 3

एक बिंदु एम 0 (- 3, 4) दिया गया है जिसके माध्यम से रेखा गुजरती है, और इस रेखा के सामान्य वेक्टर एन → = (1 , - 2)। दी गई सीधी रेखा के समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

प्रारंभिक शर्तें हमें समीकरण संकलित करने के लिए आवश्यक डेटा प्राप्त करने की अनुमति देती हैं: ए \u003d 1, बी \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. फिर:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0 ⇔ 1 (एक्स - (- 3)) - 2 वाई (वाई - 4) = 0 एक्स - 2 वाई + 22 = 0

समस्या को अलग तरीके से हल किया जा सकता था। एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण का रूप A x + B y + C = 0 होता है। दिया गया सामान्य वेक्टर आपको गुणांक ए और बी के मान प्राप्त करने की अनुमति देता है, फिर:

ए एक्स + बी वाई + सी = 0 1 एक्स - 2 वाई + सी = 0 ⇔ एक्स - 2 वाई + सी = 0

अब समस्या की स्थिति, जिससे होकर रेखा गुजरती है, द्वारा दिए गए बिंदु M 0 (- 3, 4) का उपयोग करके C का मान ज्ञात करते हैं। इस बिंदु के निर्देशांक समीकरण x - 2 · y + C = 0 के अनुरूप हैं, अर्थात। - 3 - 2 4 + सी \u003d 0। इसलिए सी = 11. आवश्यक सरल रेखा समीकरण का रूप लेता है: x - 2 · y + 11 = 0 ।

उत्तर:एक्स - 2 वाई + 11 = 0।

उदाहरण 4

एक रेखा 2 3 x - y - 1 2 = 0 और एक बिंदु M 0 इस रेखा पर स्थित है। इस बिंदु का केवल भुज ही ज्ञात होता है, और यह - 3 के बराबर होता है। दिए गए बिंदु की कोटि निर्धारित करना आवश्यक है।

समाधान

आइए बिंदु M 0 के निर्देशांकों के पदनाम को x 0 और y 0 के रूप में सेट करें। प्रारंभिक डेटा इंगित करता है कि x 0 \u003d - 3। चूंकि बिंदु किसी दी गई रेखा से संबंधित है, इसलिए इसके निर्देशांक इस रेखा के सामान्य समीकरण के अनुरूप होते हैं। तब निम्नलिखित समानता सत्य होगी:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2 परिभाषित करें

उत्तर: - 5 2

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण से एक सीधी रेखा के अन्य प्रकार के समीकरणों में संक्रमण और इसके विपरीत

जैसा कि हम जानते हैं, समतल में एक ही सीधी रेखा के समीकरण कई प्रकार के होते हैं। समीकरण के प्रकार का चुनाव समस्या की स्थितियों पर निर्भर करता है; इसके समाधान के लिए जो अधिक सुविधाजनक है उसे चुनना संभव है। यहीं पर एक प्रकार के समीकरण को दूसरे प्रकार के समीकरण में बदलने का कौशल बहुत काम आता है।

सबसे पहले, फॉर्म A x + B y + C = 0 के सामान्य समीकरण से विहित समीकरण x - x 1 a x = y - y 1 a y में संक्रमण पर विचार करें।

यदि A 0 है, तो हम पद B y को सामान्य समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं। बाईं ओर, हम A को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं। परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं: A x + C A = - B y।

इस समानता को अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है: x + C A - B = y A ।

यदि बी 0, हम सामान्य समीकरण के बाईं ओर केवल ए एक्स छोड़ते हैं, हम दूसरों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है: ए एक्स \u003d - बी वाई - सी। हम बाहर निकालते हैं - B कोष्ठक से बाहर, फिर: A x \u003d - B y + C B।

आइए समानता को अनुपात के रूप में फिर से लिखें: x - B = y + C B A ।

बेशक, परिणामी सूत्रों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है। सामान्य समीकरण से विहित एक में संक्रमण के दौरान क्रियाओं के एल्गोरिथ्म को जानना पर्याप्त है।

उदाहरण 5

रेखा 3 y - 4 = 0 का सामान्य समीकरण दिया गया है। इसे एक विहित समीकरण में बदलने की आवश्यकता है।

समाधान

हम मूल समीकरण को 3 y - 4 = 0 के रूप में लिखते हैं। अगला, हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं: शब्द 0 x बाईं ओर रहता है; और दाईं ओर हम निकालते हैं - कोष्ठक में से 3; हम पाते हैं: 0 x = - 3 y - 4 3।

आइए परिणामी समानता को अनुपात के रूप में लिखें: x - 3 = y - 4 3 0 । इस प्रकार, हमने विहित रूप का एक समीकरण प्राप्त किया है।

उत्तर: x - 3 = y - 4 3 0.

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को पैरामीट्रिक में बदलने के लिए, पहले विहित रूप में संक्रमण किया जाता है, और फिर सीधी रेखा के विहित समीकरण से पैरामीट्रिक समीकरणों में संक्रमण किया जाता है।

उदाहरण 6

सीधी रेखा समीकरण 2 x - 5 y - 1 = 0 द्वारा दी गई है। इस रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखिए।

समाधान

आइए सामान्य समीकरण से विहित समीकरण में परिवर्तन करें:

2 x - 5 y - 1 = 0 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

अब आइए परिणामी विहित समीकरण के दोनों भागों को के बराबर लें, फिर:

x 5 = y + 1 5 2 = x = 5 y = - 1 5 + 2 , आर

उत्तर:एक्स = 5 λ वाई = - 1 5 + 2 , आर

सामान्य समीकरण को ढलान y = k x + b के साथ एक सीधी रेखा समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है, लेकिन केवल तभी जब B 0 हो। बाईं ओर संक्रमण के लिए, हम शब्द B y छोड़ देते हैं, बाकी को दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है। हम पाते हैं: बी वाई = - ए एक्स - सी। आइए परिणामी समानता के दोनों भागों को B से विभाजित करें, जो शून्य से भिन्न है: y = - A B x - C B।

उदाहरण 7

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है: 2 x + 7 y = 0। आपको उस समीकरण को एक ढलान समीकरण में बदलने की जरूरत है।

समाधान

आइए एल्गोरिथम के अनुसार आवश्यक क्रियाएं करें:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x y = - 2 7 x

उत्तर:वाई = - 2 7 एक्स।

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण से, यह केवल x a + y b \u003d 1 के रूप के खंडों में एक समीकरण प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है। ऐसा संक्रमण करने के लिए, हम संख्या C को समानता के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, परिणामी समानता के दोनों भागों को - से विभाजित करते हैं और अंत में, चर x और y के गुणांक को हर में स्थानांतरित करते हैं:

ए एक्स + बी वाई + सी = 0 ए एक्स + बी वाई = - सी ⇔ ए - सी एक्स + बी - सी वाई = 1 ⇔ एक्स - सी ए + वाई - सी बी = 1

उदाहरण 8

सरल रेखा x - 7 y + 1 2 = 0 के सामान्य समीकरण को खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण में बदलना आवश्यक है।

समाधान

आइए 1 2 को दाईं ओर ले जाएं: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2।

समीकरण के दोनों पक्षों को -1/2 से विभाजित करें: x - 7 y = - 1 2 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1।

उत्तर:एक्स - 1 2 + वाई 1 14 = 1।

सामान्य तौर पर, रिवर्स ट्रांज़िशन भी आसान होता है: अन्य प्रकार के समीकरणों से सामान्य तक।

खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण और ढलान वाले समीकरण को समीकरण के बाईं ओर सभी शब्दों को एकत्रित करके आसानी से सामान्य में परिवर्तित किया जा सकता है:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

निम्नलिखित योजना के अनुसार विहित समीकरण को सामान्य में बदल दिया जाता है:

x - x 1 ax = y - y 1 ay ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ayx - axy - ayx 1 + axy 1 = 0 A x + B y + C = 0

पैरामीट्रिक से गुजरने के लिए, पहले विहित में संक्रमण किया जाता है, और फिर सामान्य में:

x = x 1 + a x y = y 1 + a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

उदाहरण 9

सरल रेखा x = - 1 + 2 · y = 4 के पैरामीट्रिक समीकरण दिए गए हैं। इस रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

आइए पैरामीट्रिक समीकरणों से विहित में संक्रमण करें:

x = - 1 + 2 y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 y = 4 + 0 = x + 1 2 = y - 4 0 x + 1 2 = y - 4 0

आइए विहित से सामान्य की ओर बढ़ते हैं:

x + 1 2 = y - 4 0 0 (x + 1) = 2 (y - 4) y - 4 = 0

उत्तर:वाई - 4 = 0

उदाहरण 10

खंड x 3 + y 1 2 = 1 में एक सीधी रेखा का समीकरण दिया गया है। में संक्रमण करना आवश्यक है सामान्य रूप से देखेंसमीकरण

समाधान:

आइए समीकरण को आवश्यक रूप में फिर से लिखें:

x 3 + y 1 2 = 1 1 3 x + 2 y - 1 = 0

उत्तर: 1 3 x + 2 y - 1 = 0।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण बनाना

ऊपर, हमने कहा कि सामान्य समीकरण को सामान्य वेक्टर के ज्ञात निर्देशांक और उस बिंदु के निर्देशांक के साथ लिखा जा सकता है जहां से रेखा गुजरती है। ऐसी सीधी रेखा को समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 द्वारा परिभाषित किया जाता है। उसी स्थान पर हमने इसी उदाहरण का विश्लेषण किया।

अब आइए अधिक जटिल उदाहरणों को देखें, जिसमें सबसे पहले, सामान्य वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

उदाहरण 11

रेखा 2 x - 3 y + 3 3 = 0 के समानांतर एक रेखा दी गई है। वह बिंदु M0 (4, 1) भी ज्ञात है जिससे होकर दी गई रेखा गुजरती है। दी गई सीधी रेखा के समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

प्रारंभिक स्थितियाँ हमें बताती हैं कि रेखाएँ समानांतर हैं, जबकि, उस रेखा के सामान्य वेक्टर के रूप में जिसका समीकरण लिखने की आवश्यकता होती है, हम रेखा n → \u003d (2, - 3): 2 x - 3 का निर्देशन सदिश लेते हैं। वाई + 3 3 \u003d 0। अब हम एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की रचना के लिए सभी आवश्यक डेटा जानते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0 ⇔ 2 (एक्स - 4) - 3 (वाई -1) = 0 ⇔ 2 एक्स - 3 वाई - 5 = 0

उत्तर: 2 एक्स - 3 वाई - 5 = 0।

उदाहरण 12

दी गई रेखा x - 2 3 = y + 4 5 के लंबवत मूल बिन्दु से होकर गुजरती है। किसी दी गई सीधी रेखा का सामान्य समीकरण लिखना आवश्यक है।

समाधान

दी गई रेखा का प्रसामान्य सदिश रेखा x - 2 3 = y + 4 5 का दिशा देने वाला सदिश होगा।

तब n → = (3 , 5) । सीधी रेखा मूल बिन्दु से होकर गुजरती है, अर्थात्। बिंदु 0 (0, 0) के माध्यम से। आइए किसी दी गई सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की रचना करें:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0 ⇔ 3 (एक्स - 0) + 5 (वाई - 0) = 0 ⇔ 3 एक्स + 5 वाई = 0

उत्तर: 3 एक्स + 5 वाई = 0।

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किसी दिए गए बिंदु से किसी दिशा में गुजरने वाली रेखा का समीकरण। दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। दो रेखाओं के बीच का कोण। दो रेखाओं के समांतरता और लंबवतता की स्थिति। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण

1. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ए(एक्स 1 , आप 1) ढलान द्वारा निर्धारित किसी दिशा में क,

आप - आप 1 = क(एक्स - एक्स 1). (1)

यह समीकरण एक बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की एक पेंसिल को परिभाषित करता है ए(एक्स 1 , आप 1), जिसे बीम का केंद्र कहा जाता है।

2. दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण: ए(एक्स 1 , आप 1) और बी(एक्स 2 , आप 2) इस तरह लिखा गया है:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3. सीधी रेखाओं के बीच का कोण एऔर बीवह कोण है जिससे पहली सीधी रेखा को घुमाया जाना चाहिए एइन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के चारों ओर वामावर्त जब तक यह दूसरी पंक्ति के साथ मेल नहीं खाता बी. यदि ढलान समीकरणों द्वारा दो रेखाएँ दी जाती हैं

आप = क 1 एक्स + बी 1 ,

"ज्यामितीय एल्गोरिदम" श्रृंखला से पाठ

नमस्कार प्रिय पाठक!

आज हम ज्यामिति से संबंधित एल्गोरिदम सीखना शुरू करेंगे। तथ्य यह है कि कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से संबंधित कंप्यूटर विज्ञान में ओलंपियाड की बहुत सारी समस्याएं हैं, और ऐसी समस्याओं का समाधान अक्सर कठिनाइयों का कारण बनता है।

कुछ पाठों में, हम कई प्राथमिक उपसमस्याओं पर विचार करेंगे जिन पर कम्प्यूटेशनल ज्यामिति की अधिकांश समस्याओं का समाधान आधारित है।

इस पाठ में, हम इसके लिए एक कार्यक्रम लिखेंगे एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करनादिए गए के माध्यम से गुजर रहा है दो बिंदु. ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए, हमें कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के कुछ ज्ञान की आवश्यकता होती है। हम उन्हें जानने के लिए पाठ का एक हिस्सा समर्पित करेंगे।

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से जानकारी

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति कंप्यूटर विज्ञान की एक शाखा है जो ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम का अध्ययन करती है।

इस तरह की समस्याओं के लिए प्रारंभिक डेटा विमान पर बिंदुओं का एक सेट, खंडों का एक सेट, एक बहुभुज (दिया गया है, उदाहरण के लिए, दक्षिणावर्त क्रम में इसके शीर्षों की सूची द्वारा) आदि हो सकता है।

परिणाम या तो किसी प्रश्न का उत्तर हो सकता है (जैसे कि एक बिंदु एक खंड से संबंधित है, दो खंड प्रतिच्छेद करते हैं, ...), या कुछ ज्यामितीय वस्तु (उदाहरण के लिए, दिए गए बिंदुओं को जोड़ने वाला सबसे छोटा उत्तल बहुभुज, का क्षेत्रफल एक बहुभुज, आदि)।

हम केवल समतल पर और केवल कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में कम्प्यूटेशनल ज्यामिति की समस्याओं पर विचार करेंगे।

वेक्टर और निर्देशांक

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के तरीकों को लागू करने के लिए, ज्यामितीय छवियों को संख्याओं की भाषा में अनुवाद करना आवश्यक है। हम मानते हैं कि समतल पर एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली दी गई है, जिसमें घूर्णन की दिशा वामावर्त धनात्मक कहलाती है।

अब ज्यामितीय वस्तुओं को एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है। तो, एक बिंदु निर्धारित करने के लिए, इसके निर्देशांक निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है: संख्याओं की एक जोड़ी (x; y)। एक खंड को इसके सिरों के निर्देशांक निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया जा सकता है, इसके बिंदुओं की एक जोड़ी के निर्देशांक निर्दिष्ट करके एक सीधी रेखा निर्दिष्ट की जा सकती है।

लेकिन समस्याओं को हल करने का मुख्य साधन वैक्टर होंगे। इसलिए मैं आपको उनके बारे में कुछ जानकारी याद दिला दूं।

अनुभाग अब, जिसमें एक बिंदु है लेकिनशुरुआत (आवेदन का बिंदु), और बिंदु माना जाता है में- अंत को सदिश कहा जाता है अबऔर या तो , या एक बोल्ड लोअरकेस अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है, उदाहरण के लिए लेकिन .

एक वेक्टर की लंबाई (अर्थात, संबंधित खंड की लंबाई) को दर्शाने के लिए, हम मॉड्यूल प्रतीक (उदाहरण के लिए, ) का उपयोग करेंगे।

एक मनमाना वेक्टर के अंत और शुरुआत के संबंधित निर्देशांक के बीच अंतर के बराबर निर्देशांक होंगे:

,

यहाँ बिंदु एऔर बी निर्देशांक हैं क्रमश।

गणना के लिए, हम अवधारणा का उपयोग करेंगे उन्मुख कोण, यानी एक कोण जो वैक्टर की सापेक्ष स्थिति को ध्यान में रखता है।

सदिशों के बीच उन्मुख कोण ए और बी सकारात्मक अगर रोटेशन वेक्टर से दूर है ए वेक्टर के लिए बी सकारात्मक दिशा (वामावर्त) में किया जाता है और दूसरे मामले में नकारात्मक। अंजीर देखें। 1 ए, अंजीर। 1 बी। यह भी कहा जाता है कि वैक्टर की एक जोड़ी ए और बी सकारात्मक (नकारात्मक) उन्मुख।

इस प्रकार, उन्मुख कोण का मान वैक्टर की गणना के क्रम पर निर्भर करता है और अंतराल में मान ले सकता है।

कई कम्प्यूटेशनल ज्यामिति समस्याएं वैक्टर के वेक्टर (तिरछा या स्यूडोस्केलर) उत्पादों की अवधारणा का उपयोग करती हैं।

सदिश a और b का सदिश गुणनफल इन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की ज्या का गुणनफल होता है:

.

निर्देशांक में सदिशों का सदिश गुणनफल:

दाईं ओर का व्यंजक दूसरे क्रम का निर्धारक है:

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में दी गई परिभाषा के विपरीत, यह एक अदिश राशि है।

क्रॉस उत्पाद का चिन्ह एक दूसरे के सापेक्ष वैक्टर की स्थिति निर्धारित करता है:

ए और बी सकारात्मक रूप से उन्मुख।

यदि मान है , तो सदिशों का युग्म ए और बी नकारात्मक उन्मुख।

गैर-शून्य वैक्टर का क्रॉस उत्पाद शून्य है यदि और केवल अगर वे संरेख हैं ( ) इसका मतलब है कि वे एक ही रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर स्थित हैं।

आइए अधिक जटिल कार्यों को हल करने के लिए आवश्यक कुछ सरल कार्यों पर विचार करें।

आइए दो बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण को परिभाषित करें।

दो अलग-अलग बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण उनके निर्देशांकों द्वारा दिया जाता है।

मान लीजिए कि रेखा पर दो गैर-संपाती बिंदु दिए गए हैं: निर्देशांक के साथ (x1;y1) और निर्देशांक (x2; y2) के साथ। तदनुसार, बिंदु पर शुरुआत और बिंदु पर अंत वाले वेक्टर में निर्देशांक (x2-x1, y2-y1) होते हैं। यदि P(x, y) हमारी रेखा पर एक मनमाना बिंदु है, तो सदिश के निर्देशांक (x-x1, y - y1) हैं।

क्रॉस उत्पाद की मदद से, वैक्टर की समरूपता की स्थिति को निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

वे। (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

हम अंतिम समीकरण को निम्नानुसार फिर से लिखते हैं:

कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0, (1)

सी = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

तो, सरल रेखा को फॉर्म (1) के समीकरण द्वारा दिया जा सकता है।

कार्य 1. दो बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं। इसका निरूपण ax + by + c = 0 के रूप में करें।

इस पाठ में, हम कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से कुछ जानकारी से परिचित हुए। हमने दो बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा रेखा के समीकरण को खोजने की समस्या को हल किया।

अगले पाठ में, हम अपने समीकरणों द्वारा दी गई दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए एक प्रोग्राम लिखेंगे।