प्रमेय आवश्यक और पर्याप्त स्थिति incricrangle intricnle। अंकित और वृत्त के चतुर्भुज के पास वर्णित

उत्तल क्वाड्रिकल ए बी सी डी (\\ Displaystyle \\ DisplaysStyle ABCD) यह तब लिखा जाता है और केवल तभी जब राशि में विपरीत कोणों को 180 डिग्री दिया जाता है, तो वह है।

ए + सी \u003d बी + डी \u003d π \u003d 180 ∘। (\\ displaystyle a + c \u003d b + d \u003d \\ pi \u003d 180 ^ (\\ सर्क)।)

प्रमेय था 22 की पेशकश करें। पुस्तक 3 यूक्लाइड में शुरू । समतुल्य, उत्तल क्वाड्रिल को अंकित किया गया है यदि केवल तभी जब आसन्न कोण विपरीत आंतरिक कोने के बराबर है।

पी क्यू \u003d एक सी + बी डी। (\\ Displaystyle \\ displaystyle pq \u003d एसी + बीडी।)

यदि दो सीधे, जिनमें से एक में एक सेगमेंट होता है एसी, और दूसरा - कट बीडी।बिंदु पर छेड़छाड़ पीफिर चार अंक ए।, बी, सी।, डी सर्कल पर तब और केवल कब

एक पी ⋅ पी सी \u003d बी पी ⋅ पी डी। (\\ Displaystyle एपी \\ cdot पीसी \u003d बीपी \\ सीडीओटी पीडी)

चौराहे की जगह पी यह अंदर और बाहर दोनों को लेट सकता है। पहले मामले में, यह क्वाड्रिकल अंकित किया जाएगा ऐ बी सी डी।, और दूसरे में अंकित क्वाड्रिल Abdc।। यदि चौराहे अंदर स्थित है, समानता का मतलब है कि खंडों का उत्पाद जिसके लिए बिंदु पी एक विकर्ण को विभाजित करता है, एक और विकर्ण के सेगमेंट के उत्पाद के बराबर। इस कथन के रूप में जाना जाता है intersecting chords पर प्रमेय चूंकि विकर्ण वर्णित चार-लाता है जो वर्णित सर्कल के तार होते हैं।

उत्तल क्वाड्रिकल ऐ बी सी डी। तब और केवल जब

टैन \u2061 ए 2 टैन \u2061 सी 2 \u003d टैन \u2061 बी 2 टैन \u2061 डी 2 \u003d 1. (\\ डिस्प्लेस्टाइल \\ tan (\\ frac (a) (2)) \\ tan (\\ frac (c) (2)) \u003d \\ tan (\\ Frac (b) (2)) \\ tan (\\ frac (d) (2)) \u003d 1.)

क्षेत्र

एस \u003d (पी - ए) (पी - बी) (पी - सी) (पी - डी) (\\ डिस्प्लेस्टाइल एस \u003d (\\ एसक्यूआरटी (पी-ए) (पी-बी) (पी-सी) (पी-डी))))

अंकित चतुर्भुज के पास सभी क्वाड्रिप्लरों के बीच अधिकतम क्षेत्र है जिसमें पक्षों की लंबाई के समान अनुक्रम होते हैं। यह ब्रेटेनेर के अनुपात का एक अलग परिणाम है। बयान गणितीय विश्लेषण की मदद से साबित किया जा सकता है।

चार असमान लंबाई, जिनमें से प्रत्येक अन्य तीन की मात्रा से कम है, तीन गैर-कोंगरूट-इन्सुलेटेड क्वाड्रल्स के पक्ष हैं, और ब्रह्मगुप्त फॉर्मूला पर इन सभी त्रिकोणों के पास एक ही क्षेत्र है। विशेष रूप से, पार्टियों के लिए ए।, बी, सी। तथा डी पक्ष ए। शायद किसी भी पक्ष के विपरीत बी, सी। या डी। इन तीनों अंकित क्वाड्रिपर्स में से किसी एक के पास एक ही लंबाई का विकर्ण होता है।

लगातार पार्टियों के साथ अंकित चार-शोरबा का क्षेत्र ए।, बी, सी।, डी और कोण बी पार्टियों के बीच ए। तथा बी आप सूत्र व्यक्त कर सकते हैं

एस \u003d 1 2 (ए बी + सी डी) पाप \u2061 बी (\\ डिस्प्लेस्टाइल एस \u003d (\\ टीएफआरएसी (1) (2)) (एबी + सीडी) \\ Sin (बी)) S \u003d 1 2 (a c + b d) sin \u2061 θ (\\ displaystyle s \u003d (\\ tfrac (1) (2)) (एसी + बीडी) \\ Sin (\\ theta))

कहा पे θ - विकर्णों के बीच कोई भी कोण। अगर कोने ए। प्रत्यक्ष नहीं है, क्षेत्र को सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है

एस \u003d 1 4 (ए 2 - बी 2 - सी 2 + डी 2) टैन \u2061 ए। (\\ Displaystyle s \u003d (\\ tfrac (1) (4)) (a ^ (2) -b ^ (2) -c ^ (2) + d ^ (2)) \\ tan (a)।) एस \u003d 2 आर 2 पाप \u2061 एक पाप \u2061 बी पाप \u2061 θ (\\ displaysstyle s \u003d 2r ^ (2) \\ sin (a) \\ sin (b) \\ sin (\\ eta)) S ≤ 2 r 2 (\\ displaysstyle s \\ leq 2r ^ (2)),

और असमानता उसमें समानता में बदल जाती है और केवल तभी एक चौकोर है।

विकर्ण

शिखर के साथ ए।, बी, सी।, डी (निर्दिष्ट अनुक्रम में) और पार्टियां ए। = अब, बी = बीसी।, सी। = सीडी तथा डी = दा विकर्ण लंबाई पी = एसी तथा प्र = बीडी। पार्टियों के माध्यम से व्यक्त कर सकते हैं

पी \u003d (ए सी + बी डी) (ए डी + बी सी) ए बी + सी डी (\\ डिस्प्ले पी \u003d (\\ SQRT (\\ FRAC ((एसी + बीडी) (एडी + बीसी)) (एबी + सीडी)))) क्यू \u003d (ए सी + बी डी) (ए बी + सी डी) ए डी + बी सी (\\ डिस्प्लेस्टाइल क्यू \u003d (\\ SQRT (\\ FRAC ((एसी + बीडी) (एबी + सीडी)) (एडी + बीसी)))) पी क्यू \u003d एक सी + बी डी। (\\ Displaystyle pq \u003d एसी + बीडी।)

के अनुसार दूसरा PTOLEMY प्रमेय ,

पी क्यू \u003d ए डी + बी सी ए बी + सी डी (\\ डिस्प्लेस्टाइल (\\ frac (p) (q)) \u003d (\\ frac (विज्ञापन + बीसी) (एबी + सीडी)))

पहले की तरह एक ही प्रतीक के साथ।

विकर्णों की मात्रा के लिए हमारे पास असमानता है

पी + क्यू ≥ 2 ए सी + बी डी। (\\ Displaystyle p + q \\ geq 2 (\\ sqrt (एसी + बीडी)))।)

असमानता उसमें बराबर हो जाती है और केवल अगर विकर्ण की लंबाई होती है, जिसे औसत अंकगणित और मध्यम ज्यामितीय के बीच असमानता का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।

(पी + क्यू) 2 ≤ (ए + सी) 2 + (बी + डी) 2। (\\ displaystyle (p + q) ^ (2) \\ leq (a + c) ^ (2) + (b + d) ^ (2)।)

किसी भी उत्तल चार-शोरबा में, दो विकर्ण चार-भाई-त्रिभुज साझा करते हैं। लाने वाले चतुर्भुज में, इन चार त्रिकोणों के विपरीत जोड़े समान हैं।

यदि एक म। तथा एन विकर्णों की मध्यम डायल हैं एसी तथा बीडी।टी

एम एन ई एफ \u003d 1 2 | एक सी बी डी - बी डी एक सी | (\\ displaystyle (\\ frac (mn) (ef)) \u003d (\\ frac (1) (2)) \\ Left | (\\ frac (एसी) (बीडी)) - (\\ FRAC (BD) (एसी)) \\ अधिकार |)

कहा पे इ। तथा एफ - विपरीत पक्षों के चौराहे का बिंदु।

यदि एक ऐ बी सी डी। - अंकित क्वाड्रल और एसी चौराहा बीडी। बिंदु पर पीटी

एक पी सी पी \u003d ए बी सी बी ⋅ ए डी सी डी। (\\ Displaystyle (\\ frac (एपी) (सीपी) (सीपी)) \u003d (\\ frac (ab) (cb)) \\ \u200b\u200bcdot (\\ frac (विज्ञापन) (सीडी))।)

कोने सूत्र

ए।, बी, सी।, डी, अधकचरा माप एस और कोण ए। पार्टियों के बीच ए। तथा डी कोने के त्रिकोणमितीय कार्यों ए। बराबरी का

cos \u2061 ए \u003d ए 2 + डी 2 - बी 2 - सी 2 2 (एडी + बीसी), (\\ Displaystyle \\ cos a \u003d (\\ frac (a ^ (2) + d ^ (2) -b ^ (2) -c ^ (2)) (2 (एडी + बीसी))),) पाप \u2061 ए \u003d 2 (एस - ए) (एस - बी) (एस - सी) (एस - डी) (एडी + बीसी), (\\ Displaystyle \\ sin a \u003d (\\ frac (2 (\\ sqrt (sa) (एसबी) (एससी) (एसडी)))) ((एडी + बीसी))),) टैन \u2061 ए 2 \u003d (एस - ए) (एस - डी) (एस - बी) (एस - सी)। (\\ Displaystyle \\ tan (\\ frac (a) (2)) \u003d (\\ sqrt (\\ frac (s-a) (s - d)) ((s-b) (s-c)))))

कोने के लिए θ विकर्णों के बीच किया जाता है

टैन \u2061 θ 2 \u003d (एस - बी) (एस - डी) (एस - ए) (एस - सी)। (\\ Displaystyle \\ tan (\\ frac (\\ tha) (2)) \u003d (\\ sqrt (\\ frac (s-b) (s-d)) ((s-a) (s-c))))))

यदि विपरीत पक्षों को जारी रखते हैं ए। तथा सी। एक कोण पर क्रॉस φ (\\ Displaystyle \\ Phi) टी

कोस \u2061 φ 2 \u003d (एस - बी) (एस - डी) (बी + डी) 2 (एबी + सीडी) (एडी + बीसी) (\\ डिस्प्लेस्टाइल \\ cos (\\ frac (\\ phi) (2)) \u003d (\\ एसक्यूआरटी (\\ frac ((एसबी) (एसडी) (बी + डी) ^ (2)) ((एबी + सीडी) (एडी + बीसी))))))

परामेश्वर फॉर्मूला

पार्टियों के साथ चार-ट्रिगर के लिए ए।, बी, सी।, डी (निर्दिष्ट अनुक्रम में) और आधा संस्करण एस वर्णित सर्कल का त्रिज्या) सूत्र द्वारा निर्धारित किया गया है

आर \u003d 1 4 (ए बी + सी डी) (ए सी + बी डी) (ए डी + बी सी) (एस - ए) (एस - बी) (एस - सी) (एस - डी)। (\\ displaystyle r \u003d (\\ frac (1) (4)) (\\ sqrt (\\ frac ((एबी + सीडी) (एसी + बीडी) (एडी + बीसी)) ((एसए) (एसबी) (एसबी) (एसडी) ))))।)

सूत्र का नेतृत्व एक भारतीय गणितज्ञ था वैटासरी परमेश्वर 15 वीं शताब्दी में।

यदि विकर्ण बिंदु पर चतुर्भुज में लिखा गया है पी, और विकर्ण के बीच - वी तथा डब्ल्यू, फिर चतुर्भुज का एंटीकेंटर एक त्रिभुज का एक ऑर्थो-सेंटर है Vwp।और वर्टेक्स सेंट्रॉइड विकर्ण के बीच से जुड़ने वाले सेगमेंट के बीच में है।

Fetched चतुर्भुज "Centroid वर्ग" में जी ए, "सेंट्रॉइड Verkhin" जी वी। और चौराहा पी विकर्ण एक सीधी रेखा पर झूठ बोलते हैं। इन बिंदुओं के बीच की दूरी के लिए, समानता की जाती है

पी जी ए \u003d 4 3 पी जी वी। (\\ Displaystyle pg_ (a) \u003d (\\ tfrac (4) (3)) pg_ (v)।)

अन्य गुण

• लचीला क्वाड्रल में ऐ बी सी डी। वर्णित सर्कल के केंद्र के साथ ओ रहने दो पी - विकर्ण चौराहे बिंदु एसी तथा बीडी।। फिर कोने एपीबी। मध्यम आकार के अंकगणितीय कोण हैं एओबी तथा कॉड।। यह अंकित कोयले के बारे में प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है और त्रिभुज के बाहरी कोने पर प्रमेय.

• यदि अंकित चतुर्भुज के पास पार्टियों की लंबाई होती है, तो अंकगणितीय प्रगति का निर्माण होता है, फिर चतुर्भुज भी होता है बाहरी रूप से वर्णित.

Fragmagons Brahmagupta

क्वाड्रिकन ब्रह्मगुप्त - यह पक्षों की पूर्णांक लंबाई, विकर्ण की पूर्णांक लंबाई और एक पूर्णांक क्षेत्र के साथ एक अंकित चतुर्भुज है। पार्टियों के साथ सभी चार-ट्रिगर्स ब्रह्मगुप्त ऐ बी सी डी, विकर्ण ई, एफ।, एस, और वर्णित सर्कल के त्रिज्या आर निम्नलिखित अभिव्यक्तियों में denominator से छुटकारा पाने के द्वारा प्राप्त किया जा सकता है (तर्कसंगत मानकों के साथ टी, यू तथा वी):

ए \u003d [टी (यू + वी) + (1 - यू वी)] [यू + वी - टी (1 - यू वी)] (\\ डिस्प्लेस्टाइल ए \u003d) बी \u003d (1 + यू 2) (वी - टी) (1 + टी वी) (\\ डिस्प्लेस्टाइल बी \u003d (1 + यू ^ (2)) (वी-टी) (1 + टीवी)) सी \u003d टी (1 + यू 2) (1 + वी 2) (\\ डिस्प्लेस्टाइल सी \u003d टी (1 + यू ^ (2)) (1 + वी ^ (2))) डी \u003d (1 + वी 2) (यू - टी) (1 + टी यू) (\\ डिस्प्लेस्टाइल डी \u003d (1 + वी ^ (2)) (यू-टी) (1 + टीयू)) ई \u003d यू (1 + टी 2) (1 + वी 2) (\\ डिस्प्लेस्टाइल ई \u003d यू (1 + टी ^ (2)) (1 + वी ^ (2))) एफ \u003d वी (1 + टी 2) (1 + यू 2) (\\ डिस्प्लेस्टाइल एफ \u003d वी (1 + टी ^ (2)) (1 + यू ^ (2))) एस \u003d यूवी [2 टी (1 - यूवी) - (यू + वी) (1 - टी 2)] [2 (यू + वी) टी + (1 - यूवी) (1 - टी 2)] (\\ डिस्प्लेस्टाइल एस \u003d यूवी) 4 आर \u003d (1 + यू 2) (1 + वी 2) (1 + टी 2)। (\\ Displaystyle 4r \u003d (1 + u ^ (2)) (1 + v ^ (2)) (1 + t ^ (2))।)

Orthodyagonal की संपत्ति quadriclers लाया

वर्णित सर्कल का क्षेत्र और त्रिज्या

अंकित चार-कोरोनल एजेंट के लिए, जो कि ऑर्थोडागोनल (यानी लंबवत विकर्ण होने के बाद) भी है, विकर्णों का क्रॉसिंग सेगमेंट की लंबाई पर एक विकर्ण विभाजित करता है पी 1 I पी 2, और एक और सेगमेंट की लंबाई पर विभाजित होता है प्र 1 I प्र 2। तब (पहली समानता है प्रस्ताव 11। पुस्तक में "लेम्मा" आर्किमिडीज)

डी 2 \u003d पी 1 2 + पी 2 2 + क्यू 1 2 + क्यू 2 2 \u003d ए 2 + सी 2 \u003d बी 2 + डी 2 (\\ डिस्प्लेस्टाइल डी ^ (2) \u003d पी_ (1) ^ (2) + पी_ ( 2) ^ (2) + Q_ (1) ^ (2) + q_ (2) ^ (2) \u003d a ^ (2) + c ^ (2) \u003d b ^ (2) + d ^ (2)),

कहा पे डी -

या, क्वाड्रिक के किनारों के माध्यम से

आर \u003d 1 2 ए 2 + सी 2 \u003d 1 2 बी 2 + डी 2। (\\ displaystyle r \u003d (\\ tfrac (1) (2)) (\\ sqrt (a ^ (2) + c ^ (2))) \u003d (\\ tfrac (1) (2)) (\\ Sqrt (b ^ ( 2) + डी ^ (2)))।)

यहां से यह भी इस प्रकार है

एक 2 + बी 2 + सी 2 + डी 2 \u003d 8 आर 2। (\\ Displaystyle a ^ (2) + b ^ (2) + c ^ (2) + d ^ (2) \u003d 8r ^ (2)।)

इस प्रकार, यूलर फॉर्मूला के अनुसार, त्रिज्या को विकर्ण के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है पी तथा प्र और दूरी एक्स। विकर्ण के बीच के बीच

आर \u003d पी 2 + क्यू 2 + 4 x 2 8। (\\ Displaystyle r \u003d (\\ sqrt (\\ frac (p ^ (2) + q ^ (2) + 4x ^ (2)) (8)))।)

वर्ग के लिए सूत्र क। अंकित ऑर्थोडायगोनल चार-शोरबा को पार्टियों के माध्यम से सीधे प्राप्त किया जा सकता है, अगर वे टॉल्मी प्रमेय (ऊपर देखें) और ऑर्थोडायोगोनल चार-भूरे रंग के क्षेत्र के सूत्र को जोड़ते हैं। नतीजतन, हमें मिलता है

साहित्य

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चतुर्भुज एक सर्कल में अंकित किया गया है यदि इसके सभी कोने इस सर्कल पर स्थित हैं। इस तरह के एक सर्कल को चतुर्भुज के पास वर्णित किया गया है।

चूंकि प्रत्येक चतुर्भुज को सर्कल के पास वर्णित नहीं किया जा सकता है, हर कोई एक सर्कल में प्रवेश नहीं कर सकता है।

उत्तल चतुर्भुज, सर्कल में अंकित, एक संपत्ति है: राशि में इसके विपरीत कोण 180 डिग्री हैं। इसलिए, अगर एबीसीडी चतुर्भुज दिया जाता है, जिसमें कोण ए कोने सी के विपरीत होता है, और कोण बी कोण डी के विपरीत होता है, तो ∠A + ∠C \u003d 180 ° और ∠B + ∠D \u003d 180 डिग्री ।

आम तौर पर, यदि राशि में चतुर्भुज के विपरीत कोणों की एक जोड़ी 180 डिग्री है, तो राशि में दूसरी जोड़ी समान होगी। यह इस तथ्य से आता है कि उत्तल चतुर्भुज में कोणों का योग हमेशा 360 डिग्री के बराबर होता है। बदले में, यह तथ्य इस तथ्य से आता है कि उत्तल बहुभुज में कोणों का योग सूत्र 180 डिग्री * (एन - 2) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहां एन कोणों की संख्या (या पक्ष) होती है।

निम्नानुसार शामिल चतुर्भुज की संपत्ति को साबित करना संभव है। एबीसीडी चतुर्भुज को सर्कल में दर्ज करने दें। यह साबित करने के लिए आवश्यक है कि ∠B + ∠D \u003d 180 °।

कोण बी को एक सर्कल में अंकित किया गया है। जैसा कि आप जानते हैं, इस तरह का कोण आधे चाप के बराबर है, जो निर्भर करता है। इस मामले में, कोण बी एडीसी चाप पर निर्भर करता है, इसका मतलब है कि ∠ बी \u003d ½◡ADC। (चूंकि चाप इसे बनाने वाले त्रिज्या के बीच कोण के बराबर है, तो इसे लिखा जा सकता है कि ∠ बी \u003d ½∠ooc, जिसमें आंतरिक क्षेत्र जिसमें बिंदु डी होता है डी।)

दूसरी तरफ, चतुर्भुज की कोण डी एबीसी चाप पर आधारित है, यानी, ∠D \u003d ½◡abc।

चूंकि कोणों के पक्ष बी और डी एक ही अंक (ए और सी) में सर्कल को पार करते हैं, इसलिए वे केवल दो एआरसी - ◡ADC और ◡ABC के लिए सर्कल साझा करते हैं। चूंकि राशि में पूर्ण सर्कल 360 डिग्री है, फिर ◡ADC + ◡ABC \u003d 360 डिग्री।

इस प्रकार, निम्नलिखित समानताएं प्राप्त की गई:

∠B \u003d ½◡ADC।
∠d \u003d ½◡abc।
◡ADC + ◡ABC \u003d 360 °

कोनों का योग व्यक्त करें:

∠ बी + ∠D \u003d ½◡ADC + ½◡ABC

मैं एक ब्रैकेट के लिए ½ लाऊंगा:

∠B + ∠D \u003d ½ (◡ADC + ◡ABC)

हम अपने संख्यात्मक अर्थ के आर्क योग को प्रतिस्थापित करेंगे:

∠B + ∠D \u003d ½ * 360 ° \u003d 180 °

हमें मिला कि अंकित चतुर्भुज के विपरीत कोणों का योग 180 डिग्री है। यह साबित करने की आवश्यकता थी।

तथ्य यह है कि अंकित क्वाड्रल में ऐसी संपत्ति है (विपरीत कोणों का योग 180 डिग्री है), इसका मतलब यह नहीं है कि किसी भी चतुर्भुज, जिसमें विपरीत कोणों का योग 180 डिग्री सर्कल में दर्ज किया जा सकता है। हालांकि वास्तव में यह है। इस तथ्य को बुलाया जाता है अंकित चतुर्भुज का संकेत और इसके रूप में तैयार किया गया है: यदि उत्तल चतुर्भुज के विपरीत कोणों का योग 180 डिग्री है, तो इसके पास सर्कल में वर्णित किया जा सकता है (या इसे एक सर्कल में दर्ज करें)।

एक अंकित चतुर्भुज का संकेत साबित करने के लिए प्रतिद्वंद्वी का उपयोग कर सकते हैं। एबीसीडी चतुर्भुज को दिए जाने दें, जिसमें विपरीत कोण बी और डी कुल राशि 180 डिग्री तक हैं। इस मामले में, कोण डी सर्कल पर झूठ नहीं बोलता है। फिर सीडी सेगमेंट युक्त सीडी सेगमेंट पर जाएं, ऐसा एक बिंदु ई ताकि यह सर्कल पर रख सके। यह अंकित चतुर्भुज एबीसीई को बदल देता है। इस चतुर्भुज के विपरीत कोण बी और ई हैं, और इसका मतलब है कि वे 180 डिग्री की राशि में हैं। यह एक अंकित चतुर्भुज की संपत्ति से आता है।

यह पता चला है कि ∠B + ∠D \u003d 180 ° और ∠B + ∠E \u003d 180 °। हालांकि, एईडी त्रिभुज के संबंध में एबीसीडी चतुर्भुज का कोण डी एक बाहरी है, और इसलिए इस त्रिभुज के कोण ई। इस प्रकार, हम विरोधाभास के लिए आए। इसका मतलब है कि यदि चतुर्भुज के विपरीत कोनों की राशि 180 डिग्री है, तो इसे हमेशा एक सर्कल में दर्ज किया जा सकता है।

सर्कल को चतुर्भुज में अंकित कहा जाता है, अगर चतुर्भुज के सभी पक्ष परिधि के लिए टेंगेंट होते हैं।

इस सर्कल का केंद्र चतुर्भुज के कोणों के द्विभाजक का चौराहे बिंदु है। इस मामले में, स्पर्श बिंदु में आयोजित त्रिज्या चतुर्भुज के किनारों पर लंबवत है

सर्कल को चतुर्भुज के पास वर्णित कहा जाता है, अगर यह अपने सभी कोने के माध्यम से गुजरता है।

इस सर्कल का केंद्र चतुर्भुज के किनारों के लिए मध्य लंबवत का चौराहा बिंदु है

प्रत्येक चतुर्भुज में नहीं आप सर्कल में प्रवेश कर सकते हैं और किसी भी चतुर्भुज के पास नहीं किया जा सकता है

अंकित और वर्णित क्वाड्रैंगल्स

विपरीत कोणों के योग के एक उत्तल अंकित चतुर्भुज में प्रमेय एक दूसरे के बराबर है और 180 डिग्री के बराबर है।

प्रमेय वापस: यदि विपरीत कोणों के योग की मात्रा बराबर है, तो चतुर्भुज के पास वर्णित किया जा सकता है। उसका केंद्र पार्टियों को मध्य लंबवत के चौराहे का बिंदु है।

Theorem यदि एक सर्कल चतुर्भुज में अंकित किया गया है, तो विपरीत पार्टियों की रकम बराबर है।

प्रमेय वापस: यदि चतुर्भुज में विपरीत पक्षों का योग बराबर है, तो सर्कल इसे दर्ज कर सकता है। इसका केंद्र द्विभाजक का चौराहे बिंदु है।

कोरोलरी: केवल आयताकार (विशेष रूप से एक वर्ग के बारे में) के पास सभी समांतरोग्रामों से, आप सर्कल का वर्णन कर सकते हैं।

केवल समांतरोग्राम केवल रम्बस (विशेष रूप से वर्ग में) में, आप सर्कल (केंद्र - विकर्णों के चौराहे का बिंदु, त्रिज्या ऊंचाई के बराबर है) में प्रवेश कर सकते हैं।

यदि आप ट्रेपेज़ियन के पास सर्कल का वर्णन कर सकते हैं, तो यह एक अलग है। किसी भी अनौपचारिक trapeionion के पास एक परिधि का वर्णन किया जा सकता है।

यदि एक सर्कल को ट्रेपेज़ियन में अंकित किया गया है, तो इसका त्रिज्या आधा ऊंचाई के बराबर है।

समाधान के साथ कार्य

1. सर्कल में शामिल आयताकार का विकर्ण, जिसकी त्रिज्या 5 है।

आयत के पास वर्णित सर्कल का केंद्र इसके विकर्णों के चौराहे का बिंदु है। नतीजतन, विकर्ण एसी 2 के बराबर। आर। अर्थात एसी=10
उत्तर: 10।

2. ट्रेपेज़ियम के पास, जिसका आधार 6 सेमी और 8 सेमी है, और ऊंचाई 7 सेमी है, इस सर्कल के क्षेत्र को खोजने के लिए सर्कल का वर्णन करता है।

रहने दो डीसी=6, अब\u003d 8। चूंकि सर्कल को ट्रेपेज़ियन के पास वर्णित किया गया है, यह एक अलग है।

हम दो हाइट्स खर्च करेंगे डीएम और सीएन।तो एक ट्रैपेज़ियम मुक्त है, तो Am \u003d nb।=

फिर एक।=6+1=7

त्रिभुज से उत्तर: पायथागोर का प्रमेय हम पाते हैं एसी.

त्रिभुज से सीवीएन पायथागोर का प्रमेय हम पाते हैं रवि।.

ट्रेपेज़ियम के पास वर्णित सर्कल त्रिभुज के पास वर्णित चक्र दोनों है क्यूए

सूत्रों द्वारा दो तरीकों से इस त्रिकोण के क्षेत्र का पता लगाएं

एचपीई एच- ऊंचाई I. - त्रिभुज का आधार

जहां वर्णित सर्कल के आर-त्रिज्या।

इन अभिव्यक्तियों में से, हम समीकरण प्राप्त करते हैं। से

सर्कल का क्षेत्र बराबर होगा

3. कोनों, और चतुर्भुज के रूप में संबंधित हैं। यदि आप इस चतुर्भुज के पास सर्कल का वर्णन कर सकते हैं तो कोण ढूंढें। उत्तर में

यह इस शर्त से आता है। इस तरह के एक चतुर्भुज में, आप सर्कल का वर्णन कर सकते हैं, फिर

हमें समीकरण मिलता है । फिर। चतुर्भुज के सभी कोणों का योग 360º है। फिर

। हमें वह कहाँ मिलता है

4. सर्कल के पास वर्णित ट्रैपेज़ॉइड के पथ 3 और 5 के बराबर हैं। ट्रेपेज़ियम की औसत रेखा का पता लगाएं।

फिर मध्य रेखा बराबर है

5. सर्कल के पास वर्णित आयताकार ट्रेपेज़ियन का परिधि 22 है, इसकी बड़ी साइड साइड 7 है। सर्कल के त्रिज्या का पता लगाएं।

ट्रेपेज़ियम में, अंकित सर्कल का त्रिज्या ऊंचाई के बराबर है। हम एससी की ऊंचाई खर्च करेंगे।

फिर .

चूंकि सर्कल को ट्रेपेज़ियन में अंकित किया गया है, इसलिए विपरीत पक्षों की लंबाई की मात्रा बराबर होती है। फिर

फिर परिधि

हमें समीकरण मिलता है

6. एक समान ट्रेपेज़ियम के आधार 8 और 6. वर्णित सर्कल का त्रिज्या है 5. ट्रैपेज़ियम की ऊंचाई पाएं।

सर्कल के सर्किट के पास केंद्रित केंद्र को दें। फिर।

हम के बारे में के माध्यम से केएन की ऊंचाई बिताएंगे

फिर जहां को और वह ऊंचाई है और एक ही समय में आईएससीईडी त्रिभुज डॉक्टर और एओएस के मध्यस्थ हैं। फिर

पायथागोर के प्रमेय के अनुसार।

"वर्णित सर्कल" हमने देखा है कि किसी भी त्रिकोण के आसपास वर्णित किया जा सकता है। यही है, हर त्रिभुज के लिए ऐसा एक सर्कल है कि त्रिभुज के तीनों कोने "बैठे" पर। ऐशे ही:

प्रश्न: क्या चतुर्भुज के बारे में यह कहना संभव है? क्या यह सच है कि हमेशा एक सर्कल होगा जिस पर चतुर्भुज के सभी चार शिखर "बैठेंगे"?

यह पता चला है कि यह सच नहीं है! हमेशा एक चतुर्भुज को एक सर्कल में दर्ज किया जा सकता है।। एक बहुत ही महत्वपूर्ण स्थिति है:

हमारे ड्राइंग में:

.

देखो, कोनों और एक दूसरे के विपरीत झूठ बोलते हैं, इसका मतलब है कि वे विपरीत हैं। और फिर कोनों के साथ और क्या? वे भी विपरीत प्रतीत होते हैं? क्या कोणों के बजाय कोनों को लेना संभव है और?

यकीन है कि आप कर सकते हैं! मुख्य बात यह है कि चतुर्भुज में कुछ दो विपरीत कोनों हो सकते हैं, जिसका योग होगा। शेष दो कोण फिर खुद को कुल मिलाकर देंगे। भरोसा मत करो? चलो सुनिश्चित करते हैं। देखो:

रहने दो। क्या आपको याद है कि किसी भी चतुर्भुज के सभी चार कोनों का योग क्या है? ज़रूर, । वह है - हमेशा! । लेकिन, →।

जादू सीधे!

तो दृढ़ता से ठीक याद रखें:

यदि चतुर्भुज को एक सर्कल में दर्ज किया जाता है, तो किसी भी दो विपरीत कोनों का योग बराबर होता है

और इसके विपरीत:

यदि एक चतुर्भुज के दो विपरीत कोण होते हैं, जिसका योग बराबर होता है, तो इस तरह के एक चतुर्भुज अंकित किया जाता है।

हम यहां यह सब साबित नहीं करेंगे (यदि आप रुचि रखते हैं, तो सिद्धांत के निम्नलिखित स्तरों को देखें)। लेकिन आइए देखें कि यह अद्भुत तथ्य क्या है कि अंकित चतुर्भुज अंकित चतुर्भुज के बराबर है।

उदाहरण के लिए, यह दिमागी सवाल आता है, और क्या समानांतर चक्र के चारों ओर सर्कल का वर्णन करना संभव है? आइए पहले "वर्तमान विधि" का प्रयास करें।

इस तरह यह काम नहीं करता है।

अब ज्ञान लागू करें:

मान लीजिए कि हम किसी भी तरह समांतरोग्राम पर एक सर्कल लगाने में कामयाब रहे। फिर यह निश्चित रूप से होना चाहिए: वह है।

और अब समानांतरोग्राम के गुणों को याद रखें:

किसी भी समांतरोग्राम में, विपरीत कोण बराबर होते हैं।

हमने कर दिया

क्या कोण और? खैर, वही वही है।

→ → के अलावा

पोलोग्राम → →

शानदार, सही?

यह पता चला कि यदि समांतरोग्राम को सर्कल में दर्ज किया गया था, तो उसके सभी कोनों के बराबर होते हैं, यानी, यह एक आयताकार है!

और फिर भी - सर्कल का केंद्र इस आयत के विकर्णकरण के चौराहे के बिंदु के साथ मेल खाता है। यह, बोलने के लिए, एक बोनस संलग्न है।

खैर, इसका मतलब है, उन्होंने पाया कि समानांतर, सर्कल में अंकित - आयत.

अब ट्रेपेज़ॉइड के बारे में बात करते हैं। अगर एक सर्कल में प्रवेश करने के लिए trappionion तो क्या होगा? और यह पता चला, होगा बराबर ट्रैपेज़ियम। क्यों?

तो ट्रेपेज़ को सर्कल में लिखने दें। फिर फिर, लेकिन प्रत्यक्ष के समानांतरता के कारण और।

तो, हमारे पास है: → → ट्रेपेज़ियम समान रूप से है।

एक आयताकार के साथ भी आसान है, है ना? लेकिन आपको याद रखने की आवश्यकता है - उपयोगी:

आइए सबसे ज्यादा सूचीबद्ध करें मुख्य विवरणएक सर्कल में अंकित क्वाड्रैंगल के बारे में:

1. चतुर्भुज ने सर्कल में प्रवेश किया और केवल तभी दो विपरीत कोनों की राशि के बराबर है
2. समांतरोग्राम, एक सर्कल में अंकित - निश्चित रूप से आयत और सर्कल का केंद्र विकर्ण के चौराहे के बिंदु के साथ मेल खाता है
3. सर्कल में अंकित ट्रैपेज़ियम बराबर है।

अंकित चतुर्भुज। औसत स्तर

यह ज्ञात है कि किसी भी त्रिकोण के लिए एक सर्कल वर्णित है (हम "डिज़ाइन सर्कल" विषय में साबित हुए थे)। एक क्वाड्रल के बारे में क्या कहा जा सकता है? यहाँ यह पता चला है कि हर चतुर्भुज एक सर्कल में प्रवेश नहीं कर सकते, और इस तरह के प्रमेय हैं:

क्वाड्रिल को एक सर्कल में डाला जाता है यदि केवल तभी यदि इसके विपरीत कोनों का योग बराबर होता है.

हमारे ड्राइंग में -

आइए समझने की कोशिश करें कि ऐसा क्यों? दूसरे शब्दों में, अब हम इस प्रमेय को साबित करते हैं। लेकिन साबित करने से पहले, यह समझना आवश्यक है कि अनुमोदन की व्यवस्था कैसे की जाती है। क्या आपने "तब और केवल तब ही" शब्द की मंजूरी में नोटिस किया था? ऐसे शब्दों का मतलब है कि हानिकारक गणित ने एक में दो बयानों को हिलाकर रख दिया।

डिक्रिप्ट:

1. "फिर" का अर्थ है: यदि चतुर्भुज को एक सर्कल में दर्ज किया जाता है, तो किसी भी दो विपरीत कोनों की राशि बराबर होती है।
2. "केवल तभी" का अर्थ है: यदि एक क्वाड्रल के दो विपरीत कोण होते हैं, जिसका योग बराबर होता है, तो इस तरह के एक चतुर्भुज को एक सर्कल में दर्ज किया जा सकता है।

ऐलिस की तरह: "मुझे लगता है कि मैं कह रहा हूं" और "मैं कहता हूं कि मुझे लगता है।"

और अब हम समझते हैं, यह सच क्यों है और 1, और 2?

पहले 1।

चतुर्भुज को सर्कल में प्रवेश करने दें। हम अपने केंद्र को ध्यान में रखते हैं और त्रिज्या करते हैं और। क्या होगा? क्या आपको याद है कि अंकित कोने से दो गुना केंद्रीय है? यदि आपको याद है - अब लागू हो, और यदि वास्तव में नहीं - विषय में देखो "वृत्त। अंकित कोण.

खुदा

खुदा

लेकिन देखें :.

हमें लगता है कि अगर - अंकित किया गया है, तो

खैर, यह स्पष्ट है कि राशि में भी है। (आपको इसे भी विचार करने की आवश्यकता है।

अब और "इसके विपरीत,", 2।

इसे इंगित करें कि चतुर्भुज कुछ विपरीत कोनों में से कुछ है। चलो कहते हैं, चलो

हम अभी तक नहीं जानते कि सर्कल इसके आसपास वर्णन कर सकता है या नहीं। लेकिन हम निश्चित रूप से जानते हैं कि त्रिभुज के आसपास हम सर्कल का वर्णन करने की गारंटी देते हैं। तो इसे करो।

यदि बिंदु सर्कल में "बैठ गया" नहीं है, तो यह अनिवार्य रूप से या बाहर या अंदर हो गया।

दोनों मामलों पर विचार करें।

बिंदु को पहले - बाहर जाने दें। तब सेगमेंट किसी बिंदु पर सर्कल को पार करता है। कनेक्ट और। यह अंकित (!) चतुर्भुज निकला।

हम पहले से ही इसके बारे में जानते हैं कि इसके विपरीत कोनों का योग बराबर है, जो कि हमारे हालत से है।

यह पता चला है कि यह ऐसा होना चाहिए।

लेकिन यह इसलिए नहीं हो सकता - एक बाहरी कोण के लिए और इसका मतलब है।

और अंदर? हम समान कार्य करते हैं। अंदर बिंदु दें।

फिर सेगमेंट की निरंतरता इस बिंदु पर सर्कल को पार करती है। फिर - अंकित चतुर्भुज, और स्थिति के तहत इसे किया जाना चाहिए, लेकिन बाहरी कोण के लिए और इसका मतलब है, यानी, फिर भी ऐसा नहीं हो सकता है।

यही है, बिंदु या तो बाहर नहीं हो सकता है, न ही सर्कल के अंदर इसका मतलब है कि यह सर्कल पर है!

सभी पूरे प्रमेय साबित हुए!

अब देखते हैं कि क्या अच्छी जांच इस प्रमेय को देती है।

कोरोलरी 1।

समानांतर, सर्कल में अंकित, केवल एक आयताकार हो सकता है।

चलो समझते हैं कि ऐसा क्यों है। समानांतर चक्र को एक सर्कल में दर्ज किया जाना चाहिए। फिर यह किया जाना चाहिए।

लेकिन समांतरोग्राम के गुणों से, हम जानते हैं कि।

और स्वाभाविक रूप से, कोनों के बारे में और।

तो यह एक आयताकार निकला - सॉफ्टवेयर के सभी कोनों।

लेकिन, इसके अलावा, एक अतिरिक्त सुखद तथ्य है: आयताकार के पास वर्णित सर्कल का केंद्र विकर्णों के चौराहे के बिंदु के साथ मेल खाता है।

चलो समझते हैं क्यों। मुझे आशा है कि आप पूरी तरह से याद करेंगे कि व्यास के आधार पर कोण सीधे है।

व्यास,

व्यास

तो, केंद्र। बस इतना ही।

कोरोलरी 2।

सर्कल में अंकित ट्रैपेज़ियम एक संतुलन है।

ट्रेपेज़ को सर्कल में लिखने दें। फिर।

और भी।

क्या हमने सभी पर चर्चा की? ज़रूरी नहीं। वास्तव में, एक और, "गुप्त" तरीका है, अंकित चतुर्भुज को कैसे पहचानें। हम इस विधि को बहुत सख्ती से (लेकिन स्पष्ट) नहीं करेंगे, लेकिन हम केवल सिद्धांत के अंतिम स्तर में साबित होंगे।

यदि एक चतुर्भुज में आप यहां एक तस्वीर का निरीक्षण कर सकते हैं (ऐसे कोण हैं, "अंक के पक्ष में" देख रहे हैं और बराबर हैं), तो इस तरह के एक चतुर्भुज अंकित किया गया है।

यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण ड्राइंग है - कार्यों में कोनों की मात्रा की तुलना में बराबर कोण ढूंढना अक्सर आसान होता है।

हमारे फॉर्मूलेशन में सख्ती की सही कमी के बावजूद, यह सच है, और इसके अलावा, यह हमेशा परीक्षा की जांच करके स्वीकार किया जाता है। आपको इस तरह कुछ लिखना होगा:

"- अंकित" - और सबकुछ ठीक हो जाएगा!

इस महत्वपूर्ण विशेषता को न भूलें - तस्वीर याद रखें, और शायद, जब कार्य हल हो जाए तो इसे आपकी आंखों में लाया जाएगा।

अंकित चतुर्भुज। संक्षिप्त विवरण और मूल सूत्र

यदि चतुर्भुज को एक सर्कल में दर्ज किया जाता है, तो किसी भी दो विपरीत कोनों का योग बराबर होता है

और इसके विपरीत:

यदि एक चतुर्भुज के दो विपरीत कोण होते हैं, जिसका योग बराबर होता है, तो इस तरह के एक चतुर्भुज अंकित किया जाता है।

चतुर्भुज ने सर्कल में तब प्रवेश किया और केवल तभी दो विपरीत कोनों का योग बराबर है।

समानांतर चक्र में शामिल है - निश्चित रूप से एक आयताकार, और चक्र का केंद्र विकर्ण के चौराहे के बिंदु के साथ मेल खाता है।

सर्कल में अंकित ट्रैपेज़ियम बराबर है।

वर्णित क्वाड्रिक्सर के उदाहरण डेल्टो की सेवा कर सकते हैं, जिसमें हीरे शामिल हैं, जो बदले में वर्ग शामिल हैं। डेल्टाडा बिल्कुल उन वर्णित क्वाड्रिपर्स है, जो कि ऑर्थोडागोनल भी हैं। यदि चतुर्भुज का वर्णन किया गया है और एक क्वाड्रल द्वारा अंकित किया गया है, तो इसे कहा जाता है बेंट्रल.

गुण

चार-शोरबा में परिधि के केंद्र में चार बिसेक्टर का वर्णन किया गया। इसके विपरीत, एक उत्तल चतुर्भुज, जिसमें चार बिसेक्टर एक बिंदु पर छेड़छाड़ की जानी चाहिए, और द्विभाजित चौराहे बिंदु अंकित सर्कल का केंद्र है।

यदि एक क्वाड्रल के उत्तल में विपरीत पक्ष ऐ बी सी डी। (एक ट्रेपेज़ियम नहीं) अंक पर छेड़छाड़ इ। तथा एफफिर वे तब परिधि के लिए टेंगेंट हैं और केवल कब

बी ई + बी एफ \u003d डी ई + डी एफ (\\ डिस्प्लेस्टाइल \\ डिस्प्लेस्टाइल बी + बीएफ \u003d डी + डीएफ) एक ई - ई सी \u003d ए एफ - एफ सी। (\\ Displaystyle \\ displaysstyle एई-ईसी \u003d एएफ-एफसी)

दूसरी समानता लगभग समानता के समान है theorem Urkharta। अंतर केवल संकेतों में है - योग के उरखार्ट प्रमेय में, और यहां अंतर (दाईं ओर ड्राइंग देखें)।

एक और आवश्यक और पर्याप्त स्थिति एक उत्तल क्वाड्रिक है ऐ बी सी डी। उसमें वर्णित है और केवल त्रिकोण में अंकित होने पर एबीसी तथा एडीसी। एक दूसरे की चिंता का विषय।

विकर्ण द्वारा बनाए गए कोनों का विवरण बीडी। क्वाड्रल के किनारों के साथ ऐ बी सी डी।Iosifescu (iosifescu) से संबंधित है। 1 9 54 में, उन्होंने साबित किया कि उत्तल क्वाड्रोलन में एक अंकित सर्कल है और केवल कब

टैन \u2061 ∠ ए बी डी 2 ⋅ टैन \u2061 ∠ बी डी सी 2 \u003d तन \u2061 ∠ ए डी बी 2 ⋅ टैन \u2061 ∠ डी बी सी 2। (\\ Displaystyle \\ tan (\\ frac (\\ rogd abd) (2)) \\ cdot \\ tan (\\ frac (\\ argle bdc) (2)) \u003d \\ tan (\\ frac (\\ argle adb) (2)) \\ cdot \\ TAN (\\ FRAC (\\ CONLE DBC) (2))।) R a r c \u003d r b r d (\\ displaystyle r_ (a) r_ (c) \u003d r_ (b) r_ (d)),

कहा पे आर ए। , आर बी , आर सी। , आर डी मंडलियों के त्रिज्या, बाहरी रूप से टैंगेंट के लिए हैं ए।, बी, सी।, डी तदनुसार, प्रत्येक पक्ष पर संबंधित पक्षों की निरंतरता।

कुछ अन्य विवरण विकर्ण द्वारा गठित चार त्रिकोणों के लिए जाने जाते हैं।

विशेष खंड

आठ सेगमेंट टेंगेंट वर्णित चतुर्भुज कोणों और पक्षों के स्पर्श बिंदुओं के बीच सेगमेंट है। प्रत्येक किसके बराबर टेंगेंट सेगमेंट होते हैं।

स्पर्श अंक अंकित क्वाड्रिल द्वारा गठित होते हैं।

क्षेत्र

नॉनक्रोनोमेट्रिक फॉर्मूला

के \u003d 1 2 पी 2 क्यू 2 - (एसी - बीडी) 2 (\\ डिस्प्लेस्टाइल के \u003d (\\ टीएफआरएसी (1) (2)) (\\ एसक्यूआरटी (पी ^ (2) क्यू ^ (2) - (एसी-बीडी) ^ (2)))),

विकर्णों के संदर्भ में क्षेत्र देना पी, प्र और साइड ए।, बी, सी।, डी टेंगेंट मात्रा।

इस क्षेत्र का प्रतिनिधित्व टेंगेंट सेगमेंट (ऊपर देखें) के संदर्भ में भी किया जा सकता है। यदि वे उन्हें नामित करते हैं इ।, एफ, जी, एच, टेंगेंट क्वाड्रिल में क्षेत्र है

के \u003d (ई + एफ + जी + एच) (ई एफ जी + एफ जी एच + जी एच ई + एच ई एफ)। (\\ DisplayStyle K \u003d (\\ SQRT ((E + F + G + H) (EFG + FGH + GHE + HEF)))।)

इसके अलावा, पार्टियों के संदर्भ में स्पर्शरेखा क्वाड्रिल का क्षेत्र व्यक्त किया जा सकता है। ऐ बी सी डी और टैंगेंट सेगमेंट की समान लंबाई ई, एफ, जी, एच

के \u003d ए बी सी डी - (ई जी - एफ एच) 2। (\\ DisplayStyle K \u003d (\\ SQRT (ABCD- (EG-FH) ^ (2)))।)

जहां तक \u200b\u200bकि जैसे = एफएच। उसमें और केवल मामले में जब इसे भी अंकित किया जाता है, तो हमें वह अधिकतम क्षेत्र मिलता है ए बी सी डी (\\ Displaystyle (\\ SQRT (ABCD))) इसे केवल क्वाड्रिकल्स पर ही हासिल किया जा सकता है, जिन्हें भी वर्णित किया गया है, और एक साथ अंकित किया गया है।

त्रिकोणमितीय सूत्र

के \u003d ए बी सी डी पाप \u2061 ए + सी 2 \u003d ए बी सी डी पाप \u2061 बी + डी 2। (\\ Displaystyle k \u003d (\\ sqrt (abcd)) \\ sin (\\ frac (a + c) (2)) \u003d (\\ sqrt (abcd)) \\ sin (\\ frac (b + d) (2)))।)

पार्टियों के दिए गए उत्पाद के लिए, चतुर्भुज भी अंकित होने पर क्षेत्र अधिकतम होगा। इस मामले में K \u003d a b c d (\\ Displaystyle K \u003d (\\ SQRT (ABCD)))चूंकि विपरीत कोण वैकल्पिक हैं। यह गणितीय विश्लेषण का उपयोग करके एक और तरीके से साबित किया जा सकता है।

वर्णित क्वाड्रिक के वर्ग का एक और सूत्र ऐ बी सी डी।दो विपरीत कोनों का उपयोग करना

के \u003d (ओए ⋅ ओसी + ओडी ⋅ ओडी) पाप \u2061 ए + सी 2 (\\ डिस्प्लेस्टाइल के \u003d \\ बाएं (oa \\ cdot oc + ob \\ cdot od \\ right) \\ sin (\\ frac (a + c) (2) )),

कहा पे ओ यह अंकित सर्कल का केंद्र है।

वास्तव में, क्षेत्र केवल दो आसन्न पक्षों और दो विपरीत कोनों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

के \u003d ए बी पाप \u2061 बी 2 सीएससी \u2061 डी 2 पाप \u2061 बी + डी 2। (\\ displaystyle k \u003d ab \\ sin (\\ frac (b) (2)) \\ csc (\\ frac (d) (2)) \\ sin (\\ frac (b + d) (2))।) K \u003d 1 2 | (एक सी - बी डी) टैन \u2061 θ | , (\\ Displaystyle k \u003d (\\ tfrac (1) (2)) | (एसी-बीडी) \\ tan (\\ theta) |,)

कहा पे θ विकर्णों के बीच कोण (कोई भी)। सूत्र delptoids के मामले में लागू नहीं है, क्योंकि इस मामले में θ यह 90 डिग्री है और टेंगेंट परिभाषित नहीं है।

असमानता

जैसा कि उल्लेख किया गया है, पार्टियों के साथ स्पर्शरेखा बहुभुज का क्षेत्र ए।, बी, सी।, डी असमानता को संतुष्ट करता है

K ≤ a b c d (\\ Displaystyle K \\ LEQ (\\ SQRT (ABCD))))

और समानता हासिल की जाती है यदि केवल तभी जब कड़वाहट होता है बेंट्रल.

टी। ए इवानोवा (1 9 76), आधे मीटर के अनुसार एस वर्णित क्वाड्रिकल असमानता को संतुष्ट करता है

एस ≥ 4 आर (\\ डिस्प्लेस्टाइल एस \\ जीईक्यू 4 आर),

कहा पे आर - त्रिज्या अंकित सर्कल। असमानता समानता में बदल जाती है यदि केवल तभी चतुर्भुज एक वर्ग है। इसका मतलब है कि क्षेत्र के लिए क। = रुपये।असमानता की जाती है

K ≥ 4 r 2 (\\ displaysstyle k \\ geq 4r ^ (2))

उसमें समानता के संक्रमण के साथ और केवल मामले में जब एक चौराहे एक वर्ग है।

एक क्वाड्रल के टुकड़ों के गुण

अंकित सर्कल के केंद्र और स्पर्श बिंदुओं के बीच की रेखाओं के चार खंड चार-संक्षिप्त द्वारा विभाजित हैं आयताकार डेल्टाडा.

यदि प्रत्यक्ष वर्णित चतुर्भुज को दो बहुभुजों में बराबर क्षेत्रों और समान परिधि के साथ विभाजित करता है, तो यह रेखा एक मौजूदा के माध्यम से गुजरती है।

त्रिज्या अंकित सर्कल

पार्टियों के साथ वर्णित क्वाड्रिक के अंकित सर्कल का त्रिज्या ए।, बी, सी।, डी फॉर्मूला सेट करें

आर \u003d के एस \u003d के ए + सी \u003d के बी + डी (\\ डिस्प्लेस्टाइल आर \u003d (\\ frac (k) (ओं)) \u003d (\\ frac (k) (a + c)) \u003d (\\ frac (k) (b + d ))),

कहा पे क। - क्वाड्रल का क्षेत्र, और एस - आधा मीटर। दिए गए अर्ध-माप के साथ वर्णित क्वाड्रिक्लरों के लिए, अंकित सर्कल का त्रिज्या अधिकतम होता है जब क्वाड्रिकल एक साथ अंकित होता है।

टेंगेंट त्रिज्या के खंडों के संदर्भ में उल्टा सर्कल।

आर \u003d ई एफ जी + एफ जी एच + जी एच ई + एच ई एफ ई + एफ + जी + एच। (\\ displaystyle \\ displaystyle r \u003d (\\ sqrt (\\ frac (efg + fgh + ghe + hef) (e + f + g + h)))))

Incriction परिधि की त्रिज्या भी इंसिस्ट्रेटर से दूरी के संदर्भ में व्यक्त करने के लिए फैशनेबल है ओ वर्णित क्वाड्रल के कोने के लिए ऐ बी सी डी।। यदि एक यू \u003d एओ।, v \u003d बो।, एक्स \u003d कं तथा y \u003d करते हैं।टी

आर \u003d 2 (σ - यूवीएक्स) (σ - VXY) (σ - xyu) (σ - yuv) uvxy (uv + xy) (ux + vy) (uy + vx) (uy + vx) (\\ sqrt (\\) Frac ((\\ sigma -uvx) (\\ sigma -vxy) (\\ sigma -xyu) (\\ sigma -yuv)) (uvxy (uv + xy) (ux + vy) (uy + vx))))),

कहा पे σ \u003d 1 2 (यू वी एक्स + वी एक्स वाई + एक्स वाई यू + वाई यू वी) (\\ डिस्प्लेस्टाइल \\ सिग्मा \u003d (\\ TFrac (1) (2)) (यूवीएक्स + VXY + XYU + YUV)) .

कोने सूत्र

यदि एक इ।, एफ, जी तथा एच टैनर सेगमेंट से वेगमेंट ए।, बी, सी। तथा डी क्रमशः क्वाड्रिक की परिधि को छूने के बिंदु तक ऐ बी सी डी।, क्वाड्रिल के कोनों की गणना सूत्रों द्वारा की जा सकती है

पाप \u2061 ए 2 \u003d ईएफजी + एफजीएच + जीएचई + हेफ (ई + एफ) (ई + एच) (ई + एच), (\\ डिस्प्लेस्टाइल \\ sin (\\ frac (a) (2)) \u003d (\\ sqrt (\\ frac) (ईएफजी + एफजीएच + जीएचई + एचईएफ) ((ई + एफ) (ई + जी) (ई + एच)))),) पाप \u2061 बी 2 \u003d ईएफजी + एफजीएच + जीएचई + हेफ (एफ + ई) (एफ + एच), (\\ डिस्प्लेस्टाइल \\ पाप (\\ frac (b) (2)) \u003d (\\ sqrt (\\ frac) (ईएफजी + एफजीएच + जीएचई + एचईएफ) ((एफ + ई) (एफ + जी) (एफ + एच)))),) पाप \u2061 सी 2 \u003d efg + fgh + ghe + hef (g + e) \u200b\u200b(g + f) (g + h), (\\ displaystyle \\ sin (\\ frac (c) (2)) \u003d (\\ sqrt (\\ frac) (ईएफजी + एफजीएच + जीएचई + एचईएफ) ((जी + ई) (जी + एफ) (जी + एच)))),) पाप \u2061 डी 2 \u003d ई एफ एफ जी + एफ जी एच + जी एच ई + एच ई एफ (एच + ई) (एच + एफ) (एच + जी)। (\\ displaystyle \\ sin (\\ frac (d) (2)) \u003d (\\ sqrt (\\ frac (efg + fgh + ghe + hef) ((h + e) \u200b\u200b(h + f) (h + g)))) ।)

Chordami के बीच कोण किमी। तथा Ln। सूत्र द्वारा निर्दिष्ट (चित्र देखें)

पाप \u2061 φ \u003d (ई + एफ + जी + एच) (ई एफ जी + एफ जी एच + जी एच ई + एच ई एफ) (ई + एफ) (एफ + जी) (जी + एच) (एच + ई)। (\\ Displaystyle \\ sin (\\ varphi) \u003d (\\ sqrt (\\ frac ((e + f + g + h) (efg + fgh + ghe + hef) ((e + f) (f + g) (g + एच) (एच + ई))))।)

विकर्ण

यदि एक इ।, एफ, जी तथा एच सेगमेंट सेगमेंट हैं ए।, बी, सी। तथा डी एक क्वाड्रिकल द्वारा अंकित सर्कल के टचपॉइंट्स के लिए ऐ बी सी डी।, फिर विकर्ण की लंबाई पी \u003d एसी। तथा क्यू \u003d बीडी। बराबरी का

पी \u003d ई + जीएफ + एच ((ई + जी) (एफ + एच) + 4 एफएच), (\\ डिस्प्लेस्टाइल \\ डिस्प्लेस्टाइल पी \u003d (\\ sqrt ((\\ frac (e + g) (f + h)) (\\ बड़ा () (ई + जी) (एफ + एच) + 4 एफएच (\\ big)))),) क्यू \u003d एफ + एच ई + जी ((ई + जी) (एफ + एच) + 4 ई जी)। (\\ Displaystyle \\ displaystyle q \u003d (\\ sqrt ((\\ frac (f + h) (e + g)) (\\ big () (e + g) (f + h) + 4eg (\\ big))))

टचपॉइंट कॉर्ड

यदि एक इ।, एफ, जी तथा एच कोणों से टचपॉइंट्स तक सेगमेंट होते हैं, फिर विपरीत टचपॉइंट्स के विपरीत तार की लंबाई बराबर होती है

के \u003d 2 (ईएफजी + एफजीएच + जीएचई + एचईएफ) (ई + एफ) (जी + एच) (एफ + एच), (\\ Displaystyle \\ displaystyle k \u003d (\\ frac (2 (2 (efg + fgh +) घी + हेफ)) (\\ Sqrt ((e + f) (g + h) (e + g) (f + h)))))))) L \u003d 2 (efg + fgh + ghe + hef) (e + h) (f + g) (e + g) (f + h), (\\ displaystyle \\ displaystyle l \u003d (\\ frac (2 (2 (efg + fgh +) घी + हेफ)) (\\ Sqrt ((e + h) (f + g) (e + g) (f + h)))))))

जहां चोरदा क। लंबाई के साथ पार्टियों को जोड़ता है ए। = इ। + एफ तथा सी। = जी + एच, और Chorda एल पार्टियों की लंबाई को जोड़ता है बी = एफ + जी तथा डी = एच + इ।। स्क्वायर रिलेशनशिप हॉर्डे अनुपात को संतुष्ट करता है

के 2 एल 2 \u003d बी डी ए सी। (\\ Displaystyle (\\ frac (k ^ (2)) (l ^ (2))) \u003d (\\ frac (bd) (एसी))।)

दो chords

पार्टियों के बीच का तार अब तथा सीडी खदान में वर्णित ऐ बी सी डी। पार्टियों के बीच के तार से अधिक बीसी। तथा दा तब और केवल जब पार्टियों के बीच की मध्यम रेखा अब तथा सीडी पार्टियों के बीच मध्य रेखा से छोटा बीसी। तथा दा .

यदि वर्णित क्वाड्रिगन का वर्णन किया गया है ऐ बी सी डी। टच पॉइंट दबाए रखें म। पर अब तथा एन पर सीडी और चोरदा एमएन। क्रॉसिंग विकर्ण बीडी। बिंदु पर पी, फिर टैंगेंट के खंडों का संबंध B m d n (\\ displaystyle (\\ TFRAC (BM) (DN))) दृष्टिकोण के बराबर बी पी डी पी (\\ Displaystyle (\\ Tfrac (बीपी) (डीपी))) विकर्ण के खंड बीडी।.

कॉललाइनर अंक

यदि एक एम 1। तथा एम 2। विकर्ण के बीच में हैं एसी तथा बीडी। तदनुसार वर्णित क्वाड्रल में ऐ बी सी डी। ओऔर विपरीत पक्षों के जोड़े अंक पर छेड़छाड़ करते हैं इ। तथा एफ तथा एम 3। - मध्य कट ईएफ।, फिर अंक एम 3।, एम 1।, ओ, मैं। एम 2। इन बिंदुओं को जोड़ने, एक सीधी रेखा पर झूठ बोलना, डायरेक्ट न्यूटन को क्वाड्रल कहा जाता है।

इ। तथा एफ, और क्वाड्रल के विपरीत पक्षों की निरंतरता, स्पर्श बिंदुओं द्वारा गठित, अंक पर छेड़छाड़ टी तथा एसफिर चार अंक इ।, एफ, टी तथा एस एक सीधे पर लेट जाओ

अब, बीसी।, सीडी, दा अंक पर म।, क।, एन तथा एल तदनुसार, और यदि टी एम।, टी के।, टी एन।, टी एल। इन बिंदुओं के आइसोटोमिक रूप से संयुग्मित बिंदु हैं (अर्थात है एम। = बीएम। आदि।) हीटर का बिंदु प्रत्यक्ष के चौराहे के रूप में परिभाषित किया गया टी एन टी एम तथा टी के टी एल। ये दोनों प्रत्यक्ष क्वाड्रल के परिधि को दो बराबर भागों में विभाजित करते हैं। हालांकि, यह अधिक महत्वपूर्ण है कि बिंदु ब्रेज़ेन है प्र, "सेंट्रॉइड स्क्वायर" जी और केंद्र अंकित सर्कल ओ एक सीधी रेखा पर और एक ही समय पर झूठ क्यूजी। = 2जाओ।। इस प्रत्यक्ष को बुलाया जाता है प्रत्यक्ष ब्रांड वर्णित क्वाड्रल।

खदान में वर्णित ऐ बी सी डी। अंकित सर्कल के केंद्र के साथ ओ पी, रहने दो एच एम।, एच के।, एच एन।, एच एल। त्रिकोण के ऑर्थो केंद्र हैं एओबी, बोक।, कॉड। तथा दोआ। क्रमशः। फिर अंक पी, एच एम।, एच के।, एच एन। तथा एच एल। एक सीधी रेखा पर झूठ बोलना।

प्रतिस्पर्धी और लंबवत सीधी रेखाएं

चतुर्भुज के दो विकर्ण और विपरीत स्पर्श बिंदुओं (अंकित चतुर्भुज के विपरीत शिखर) को जोड़ने वाले दो chords, प्रतिस्पर्धी (यानी एक बिंदु पर छेड़छाड़)। इसे दिखाने के लिए, आप ब्रांगन प्रमेय के विशेष मामले का उपयोग कर सकते हैं, जो दावा करता है कि हेक्सागोन, सभी पक्ष जो शंकुधारी अनुभाग की चिंता करते हैं, में एक बिंदु पर तीन विकर्ण होते हैं। वर्णित क्वाड्रोलन से, स्पर्श बिंदुओं के दो नए शिखर सम्मिलित करके 180 डिग्री के दो कोणों के साथ एक हेक्सागोन प्राप्त करना आसान है। प्राप्त षट्भुज के सभी छह पक्ष अंकित सर्कल का एक स्पर्शरेखा हैं, ताकि इसके विकर्ण एक बिंदु पर छेड़छाड़ की जा सके। लेकिन हेक्सागोन के दो विकर्ण चतुर्भुज के विकर्ण के साथ मेल खाते हैं, और तीसरा विकर्ण स्पर्श बिंदुओं के विरोध में गुजरता है। दो अन्य बिंदुओं के लिए एक ही तर्क को दोहराते हुए, हम आवश्यक परिणाम प्राप्त करते हैं।

यदि अंकित सर्कल पार्टियों से संबंधित है अब, बीसी।, सीडी तथा दा अंक पर म।, क।, एन, एल तदनुसार, फिर प्रत्यक्ष एमके।, Ln। तथा एसी प्रतिस्पर्धी।

यदि वर्णित क्वाड्रिक के विपरीत पक्षों की निरंतरता अंक पर छेड़छाड़ करती है इ। तथा एफऔर विकर्ण बिंदु पर छेड़छाड़ की पी, फिर सीधे ईएफ। निरंतरता के लिए लंबवत ओपी।कहां है ओ - केंद्र अंकित सर्कल।

गुण परिधि को चिह्नित किया गया

वर्णित क्वाड्रल के दो विपरीत पक्षों के संबंधों को अंकित सर्कल के केंद्र से दूरी में व्यक्त किया जा सकता है ओ संबंधित पार्टियों के लिए

ए बी सी डी \u003d ओ ए ⋅ ओ बी ओ सी ⋅ ओ डी, बी सी डी ए \u003d ओ बी ⋅ ओ सी ओ डी ⋅ ओ ए। (\\ Displaystyle (\\ frac (ab) (cd)) \u003d (\\ frac (oa \\ cdot ob) (oc \\ cdot od)), \\ quad \\ quad (\\ frac (bc) (da)) \u003d (\\ frac ( ओबी \\ सीडीओटी ओसी) (ओडी \\ सीडीओटी ओए))।)

वर्णित क्वाड्रल के दो आसन्न पक्षों का उत्पाद ऐ बी सी डी। अंकित सर्कल के केंद्र के साथ ओ अनुपात को संतुष्ट करता है

ए बी ⋅ बी सी \u003d ओ बी 2 + ओ ए ⋅ ओ बी ⋅ ओ सी ओ डी। (\\ Displaystyle ab \\ cdot bc \u003d ob ^ (2) + (\\ frac (oa \\ cdot ob \\ cdot oc) (od))।)

यदि एक ओ - क्वाड्रिक के अंकित सर्कल का केंद्र ऐ बी सी डी।टी

ओ ए ⋅ ओ सी + ओ बी ⋅ ओ डी \u003d ए बी ⋅ बी सी ⋅ सी डी डी ⋅ डी ए। (\\ Displaystyle oa \\ cdot oc + ob \\ cdot od \u003d (\\ sqrt (ab \\ cdot bc \\ cdot cd \\ cdot da))))

केंद्र अंकित सर्कल ओ उसमें क्वाड्रल के "शिखर के केंद्रबिंदु" के साथ मेल खाता है और केवल मामले में जब

ओ ए ⋅ ओ सी \u003d ओ बी ⋅ ओ डी। (\\ Displaystyle oa \\ cdot oc \u003d ob \\ cdot od।)

यदि एक एम 1। तथा एम 2। विकर्ण के बीच में हैं एसी तथा बीडी। तदनुसार, वह

ओम 1 ओम 2 \u003d ओए ⋅ ओकोब ⋅ ओडी \u003d ई + जीएफ + एच, (\\ Displaystyle (\\ frac (om_ (1)) (om_ (2))) \u003d (\\ frac (oa \\ cdot oc) (ob \\ cdot ओडी)) \u003d (\\ FRAC (E + G) (F + H)),)

कहा पे इ।, एफ, जी तथा एच - शिखर में तारों को काटता है ए।, बी, सी। तथा डी क्रमशः। उत्तरार्द्ध के साथ पहली समानता का संयोजन, हम यह प्राप्त करते हैं कि वर्णित क्वाड्रिकॉन के "शिखरों का केंद्र" अंकित सर्कल के मूल्य के साथ मेल खाता है और केवल तभी जब अंकित सर्कल का केंद्र औसत डोनैटिक बिंदुओं के बीच मध्य में रहता है।

1 आर 1 + 1 आर 3 \u003d 1 आर 2 + 1 आर 4। (\\ Displaystyle (\\ frac (1) (r_ (1))) + (\\ frac (1) (r_ (3))) \u003d (\\ frac (1) (r_ (2))) + (\\ frac (1) ) (R_ (4)))।)

यह संपत्ति पांच साल पहले वेनस्टीन द्वारा साबित हुई थी। अपने कार्य को हल करने में, वसीलीव और सैंडर को एक समान संपत्ति दी गई थी। अगर एच म, एच क, एच एन मैं एच L एक ही त्रिकोण की ऊंचाई को दर्शाता है (विकर्णों के चौराहे से कम) पी), तो चतुर्भुज का वर्णन किया गया है यदि केवल तभी जब

1 एच एम + 1 एच एन \u003d 1 एच के + 1 एच एल। (\\ Displaystyle (\\ frac (1) (h_ (m))) + (\\ frac (1) (h_ (n) (h_ (n))) \u003d (\\ frac (1) (h_ (k)) + (\\ frac (1) ) (H_ (l)))।)

एक और समान संपत्ति अमान्य मंडलियों की त्रिज्या से संबंधित है। आर म। , आर क। , आर एन तथा आर एल एक ही चार त्रिकोण के लिए (चार वार्षिक मंडल चतुर्भुज और विकर्णों की निरंतरता के प्रत्येक पक्ष की चिंता करते हैं)। उसमें वर्णित किया गया है और केवल कब

1 आर एम + 1 आर एन \u003d 1 आर के + 1 आर एल। (\\ Displaystyle (\\ frac (1) (r_ (m))) + (\\ frac (1) (r_ (n)) \u003d (\\ frac (1) (r_ (k) (r_ (k))) + (\\ frac (1) ) (R_ (L)))।)

यदि एक आर म, आर क, आर एन मैं आर एल - त्रिकोणों की वर्णित मंडलियों की त्रिज्या एपीबी।, बीपीसी।, सीपीडी। तथा डीपीए तदनुसार, त्रिकोण ऐ बी सी डी। तब तब वर्णित किया गया है और केवल कब

R m + r n \u003d r k + r l. (\\ displaystyle r_ (m) + r_ (n) \u003d r_ (k) + r_ (l)।)

1 99 6 में, ऐसा लगता है कि विंटेन, जैसा कि वर्णित क्वाड्रिक्लेस की एक और अद्भुत संपत्ति साबित करने वाला पहला व्यक्ति था, जो बाद में कई पत्रिकाओं और साइटों में दिखाई दिया। संपत्ति का दावा है कि यदि उत्तल चार ट्रिगर्स को अपने विकर्णों के साथ चार गैर-अलग त्रिकोणों में बांटा गया है, तो इन त्रिभुजों की घुमावदार केंद्र उसी सर्कल पर झूठ बोलते हैं यदि केवल तभी जब क्वाड्रल का वर्णन किया गया हो। वास्तव में, केंद्रों ने घोलों को एक रूढ़िवादी खिलाया चार कठोर खिलाया। यहां, अंकित परिधि को पुलों के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है (पार्टियों से संबंधित और चतुर्भुज के विकर्णकरण की निरंतरता)। फिर उत्तल क्वाट्रिक का वर्णन किया गया है और केवल तभी जब वार्षिक सर्कल के केंद्र अंकित क्वाड्रिल के शिखर हैं।

उत्तल क्वाड्रिकल ऐ बी सी डी।जिसमें विकर्ण बिंदु पर छेड़छाड़ की जाती है पीयदि त्रिकोण के वार्षिक त्रिभुजों का चार केंद्र है तो केवल तभी वर्णित किया गया है एपीबी।, बीपीसी।, सीपीडी। तथा डीपीए वे एक सर्कल पर झूठ बोलते हैं (यहां वार्षिक परिधि चतुर्भुज की पार्टियों को पार करती है, ऊपर एक ही दावे के विपरीत, जहां वार्षिक मंडल चतुर्भुज के बाहर होते हैं)। यदि एक आर एम।, आर एन, आर के। तथा आर एल। - ऊंचा सर्कल की त्रिज्या एपीबी।, बीपीसी।, सीपीडी। तथा डीपीए क्रमशः, विपरीत शीर्ष बी तथा डी, फिर एक और आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है कि क्वाड्रल का वर्णन किया गया है, होगा

1 आर एम + 1 आर एन \u003d 1 आर के + 1 आर एल। (\\ Displaystyle (\\ frac (1) (r_ (m))) + (\\ frac (1) (r_ (n)) \u003d (\\ frac (1) (r_ (k) (r_ (k))) + (\\ frac (1) ) (R_ (L)))।) एम △ (एपीबी) + एन △ (सीपीडी) \u003d के △ (बीपीसी) + एल △ (डीपीए) (\\ Driversstyle (\\ frac (m) (\\ त्रिकोण (एपीबी)) + (\\ frac (n) (\\ त्रिकोण ( Cpd))) \u003d (\\ frac (k) (\\ त्रिकोण (बीपीसी))) + (\\ frac (l) (\\ त्रिकोण (डीपीए)))))

यहां एम, के, एन, एल - पार्टियों एबी, बीसी, सीडी और दा, और δ की लंबाई ( एपीबी।) - एक त्रिकोण का क्षेत्र एपीबी।.

उन खंडों को दर्शाता है जिस पर बिंदु पी डोलिट विकर्ण एसी जैसा एपी। = पी एक I. पीसी। = पी सी। उसी तरह पी विकर्ण बीडी। सेगमेंट पर बीपी। = पी बी मैं पीडी। = पी डी फिर क्वाड्रिल का वर्णन किया गया है यदि केवल एक समानता में से एक किया जाता है:

(एम + पीए - पीबी) (एन + पीसी - पीडी) (एम - पीए + पीडी) (एन - पीसी + पीडी) \u003d (के + पीसी - पीडी) (एल + पीए - पीडी) (के - पीसी + पीबी) (एल - पीए + पीडी)। (\\ Displaystyle (\\ frac ((m + p_ (a) -p_ (b)) (n + p_ (c) -p_ (d))) ((m - p_ (a) + p_ (b)) (n -p_ (c) + p_ (d)))) \u003d (\\ frac ((k + p_ (c) -p_ (b)) (l + p_ (a) -p_ (d))) ((k-p_ (c) + p_ (b)) (l-p_ (a) + p_ (d)))))।)

वर्णित क्वाड्रल के लिए एक और प्रकार का क्वाड्रल होने के लिए शर्तें.

वर्णित क्वाड्रिकल द्वि-केंद्र (यानी एक ही समय में वर्णित और अंकित) है, यदि केवल तभी यदि शामिल सर्कल का त्रिज्या सभी वर्णित क्वाड्रिप्लरों के बीच सबसे बड़ा है, तो उसमें पार्टियों की लंबाई का एक ही अनुक्रम है। जब निम्न में से कोई भी स्थितियां की जाती हैं:

• वर्ग विकर्ण के काम के आधे के बराबर है
• विकर्ण लंबवत
• विपरीत स्पर्श बिंदुओं को जोड़ने वाले दो खंडों में समान लंबाई होती है।
• शीर्ष से स्पर्श बिंदु तक विपरीत खंडों की एक जोड़ी समान लंबाई है।
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