Sčítanie a odčítanie zlomkov s celými časťami. Zlomky. Odčítanie zlomkov

Poznámka! Pred napísaním konečnej odpovede skontrolujte, či môžete skrátiť zlomok, ktorý ste dostali.

Odčítanie zlomkov od rovnakých menovateľov,príklady:

,

,

Odčítanie správneho zlomku od jednotky.

Ak je potrebné odpočítať zlomok od jednotky, ktorá je vlastná, jednotka sa prevedie do tvaru nevlastného zlomku, jej menovateľ sa rovná menovateľovi odčítaného zlomku.

Príklad odčítania správneho zlomku od jednotky:

Menovateľ zlomku, ktorý sa má odpočítať = 7 , t.j. jedničku predstavíme ako nevlastný zlomok 7/7 a odčítame ju podľa pravidla na odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.

Odčítanie správneho zlomku od celého čísla.

Pravidlá pre odčítanie zlomkov - správne z celého čísla (prirodzené číslo):

• Dané zlomky, ktoré obsahujú celočíselnú časť, prevedieme na nesprávne. Dostávame normálne podmienky (nezáleží na tom, či sú s rôznych menovateľov), ktoré vypočítame podľa vyššie uvedených pravidiel;
• Ďalej vypočítame rozdiel medzi zlomkami, ktoré sme dostali. V dôsledku toho takmer nájdeme odpoveď;
• Vykonáme spätnú transformáciu, to znamená, že sa zbavíme nesprávneho zlomku - vyberieme celú časť v zlomku.

Odčítajte správny zlomok od celého čísla: reprezentujte prirodzené číslo ako zmiešané číslo. Tie. Zoberieme jednotku v prirodzenom čísle a prevedieme ju do tvaru nesprávneho zlomku, pričom menovateľ je rovnaký ako menovateľ odčítaného zlomku.

Príklad odčítania zlomkov:

V príklade sme jednotku nahradili nesprávnym zlomkom 7/7 a namiesto 3 sme zapísali zmiešané číslo a zlomok od zlomkovej časti odčítali.

Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Alebo inak povedané, odčítanie rôznych zlomkov.

Pravidlo na odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi. Na odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi je potrebné najskôr tieto zlomky zredukovať na najnižší spoločný menovateľ (LCD) a až potom vykonať odčítanie ako pri zlomkoch s rovnakými menovateľmi.

Spoločným menovateľom viacerých zlomkov je LCM (najmenší spoločný násobok) prirodzené čísla, ktoré sú menovateľmi týchto zlomkov.

Pozor! Ak v konečnom zlomku majú čitateľ a menovateľ spoločné faktory, zlomok sa musí zmenšiť. Nevlastný zlomok je najlepšie reprezentovaný ako zmiešaný zlomok. Ponechanie výsledku odčítania bez zmenšenia zlomku tam, kde je to možné, je neúplné riešenie príkladu!

Postup pri odčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi.

• nájsť LCM pre všetkých menovateľov;
• vložte ďalšie faktory pre všetky zlomky;
• vynásobte všetky čitateľa dodatočným faktorom;
• Výsledné produkty zapíšeme do čitateľa, pričom pod všetky zlomky podpíšeme spoločného menovateľa;
• odčítajte čitateľov zlomkov, pričom pod rozdiel podpíšte spoločného menovateľa.

Rovnakým spôsobom sa sčítanie a odčítanie zlomkov vykonáva, ak sú v čitateli písmená.

Odčítanie zlomkov, príklady:

Odčítanie zmiešaných zlomkov.

O odčítanie zmiešaných zlomkov (čísel) oddelene sa celočíselná časť odčíta od celočíselnej časti a zlomková časť sa odčíta od zlomkovej časti.

Prvá možnosť odčítania zmiešaných zlomkov.

Ak zlomkové časti rovnaký menovatele a čitateľa zlomkovej časti podbodu (odčítame ho od neho) ≥ čitateľ zlomkovej časti podbodu (odčítame ho).

Napríklad:

Druhá možnosť odčítania zmiešaných zlomkov.

Keď zlomkové časti rôzne menovateľov. Na začiatok prinášame spoločný menovateľ zlomkové časti a potom odčítame celú časť od celého čísla a zlomok od zlomku.

Napríklad:

Tretia možnosť odčítania zmiešaných zlomkov.

Zlomková časť minuendu je menšia ako zlomková časť subtrahendu.

Príklad:

Pretože Zlomkové časti majú rôznych menovateľov, čo znamená, ako pri druhej možnosti, najprv privedieme obyčajné zlomky k spoločnému menovateľovi.

Čitateľ zlomkovej časti minuendu je menší ako čitateľ zlomkovej časti čiastkového bodu.3 < 14. To znamená, že vezmeme jednotku z celej časti a zredukujeme túto jednotku do tvaru nesprávneho zlomku s rovnakým menovateľom a čitateľom. = 18.

Do čitateľa na pravej strane napíšeme súčet čitateľov, potom otvoríme zátvorky v čitateli na pravej strane, to znamená, že všetko vynásobíme a dáme podobné. Zátvorky v menovateli neotvárame. Je zvykom ponechať produkt v menovateľoch. Dostaneme:

Číslo zapísané v zlomkovom formáte obsahuje informáciu o tom, na koľko častí má byť celok rozdelený (menovateľ) a koľko z týchto častí (čitateľ) tvorí reprezentovanú časť. zlomok význam. Celé číslo môže byť tiež transformované do zlomkového formátu, aby sa zjednodušili matematické operácie zahŕňajúce celočíselné a zlomkové hodnoty, napríklad operáciu odčítania.

Inštrukcie

1. Preveďte celé číslo – „redukovateľné“ – na nesprávny formát zlomku. Ak to chcete urobiť, vložte samotné číslo do čitateľa a ako menovateľ použite jednotku. Potom priveďte výsledný pomer k rovnakému menovateľovi, ktorý sa používa v inom zlomku - v „subtrahende“. Vykonajte to vynásobením menovateľom množstva, ktoré sa odpočítava na oboch stranách zlomkovej čiary množstva, ktoré sa znižuje. Povedzme, že ak potrebujete odpočítať 4/5 od 15, potom 15 treba previesť takto: 15 = 15/1 = (15*5)/(1*5) = 75/5.

2. Odčítajte čitateľa zlomku, ktorý sa má odčítať, od čitateľa nesprávneho spoločného zlomku získaného ako výsledok prvého kroku. Výsledná hodnota bude stáť nad zlomkovou čiarou výsledného pomeru a menovateľ odčítaného zlomku umiestni pod čiaru. Povedzme, že pre príklad uvedený v predchádzajúcom kroku možno celú operáciu zapísať takto: 15 – 4/5 = 75/5 – 4/5 = (75-4)/5 = 71/5.

3. Ak je čitateľ vypočítanej hodnoty väčší ako menovateľ (nesprávny zlomok), je lepšie ho reprezentovať ako zmiešaný zlomok. Ak to chcete urobiť, rozdeľte sa väčšie číslo za menej - výsledná hodnota bez zvyšku bude celá časť. Umiestnite zvyšok delenia do čitateľa zlomkovej časti a menovateľ ponechajte nezmenený. Po takejto reforme by mal mať výsledok vyššie opísaného príkladu nasledujúcu formu: 15 – 4/5 = 71/5 = 14 1/5.

4. Vyššie uvedený algoritmus vytvára výsledok vo formáte zlomku, ale často je potrebné získať desatinný zlomok ako výsledok. Môžete vykonať operácie opísané v prvých 2 krokoch a potom vydeliť čitateľa výsledného zlomku jeho menovateľom - výsledná hodnota bude desatinný zlomok. Povedzme: 15 – 4/5 = 71/5 = 14,2.

5. Alternatívna metóda– prvým krokom je prevod zlomku, ktorý sa má odčítať, do desiatkového formátu, to znamená rozdelenie jeho čitateľa menovateľom. Potom zostáva odpočítať odčítané od skráteného ľubovoľným pohodlný spôsob(v stĺpci, na kalkulačke, v hlave). Potom vyššie popísaný príklad možno zapísať takto: 15 – 4/5 = 15 – 0,8 = 14,2.

Zlomok je špeciálna forma zápisu primeraného počtu. Môže byť prezentovaný v desiatkovej aj v bežnej forme. Deti z piatej triedy sa zaoberajú reformovaním zlomkov, táto operácia má obrovský použitá hodnota, ktorá im bude vyhovovať ako v matematike, tak aj v iných oblastiach zručností.

Budete potrebovať

• Učebnica matematiky pre 5. ročník

Inštrukcie

1. Jedným zo spôsobov, ako reformovať zlomky, je previesť ich zo zmiešaných na nesprávne. Pripomeňme, že zmiešaný zlomok pozostáva z celého čísla a vlastného zlomku. Ukazuje sa, že na vykonanie tejto reformy je potrebné: ​​1) Vynásobiť menovateľ zlomku celou časťou. 2) K výslednému číslu pridať čitateľa. 3) Potom zostane menovateľ neotrasiteľný a v do čitateľa zapíšte číslo získané v kroku 2. Príklad: 2(3 /7)= (14+3)/7= 17/7

2. Takéto pretvorenie možno vykonať aj inou metódou: 1) prezentovať zmiešaný zlomok ako súčet jeho celých a zlomkových častí 2) prezentovať celočíselnú časť ako nevlastný zlomok s menovateľom zodpovedajúcim menovateľovi zlomkovej časti zmiešaná frakcia 3) Pridajte správne a nesprávne frakcie. Výsledkom bude požadovaný nesprávny zlomok. Príklad: 2(3/7)=2+3/7=14/7+3/7=(14+3)/7=17/7

3. Ak potrebujete previesť zlomok na desatinné číslo, vydeľte čitateľa zlomku jeho menovateľom. Príklad: 4/9 = 0,44444 = 0, (4) 1/4 = 0,25 Tu je vhodné dodať, že pri delení môže byť výsledok buď konečný (príklad 2) alebo neobmedzený (príklad 1) Pripomeňme si, že desatinný zlomok A je zlomok, ktorého menovateľ obsahuje celú mocninu desiatky. Forma zápisu tohto typu zlomku sa líši od bežného zápisu. V ňom si najprv zapíšte číslo, ktoré má byť v čitateli, a potom posuňte čiarku doľava o určitý počet miest. Toto číslo zodpovedá číslici menovateľa. Príklad:678/10=67,8678/100=6,78678/1000=0,678678/10000=0,0678

4. Na prechod z desatinného zlomku na riadny je potrebné: 1) Posunúť celú časť za znamienko zlomku 2) Zapísať čísla za desatinnou čiarkou do čitateľa a desiatku do menovateľa do zodpovedajúce miesto. Príklad: 1) 23,65 = 23(65/10^2)=23(65/100)=23(13/20)2) 40,1=40(1/10)

5. Aby ste z obyčajného čísla vytvorili zlomok, predstavte si toto číslo ako podiel 2 čísel. Dividenda bude v tomto prípade čitateľ a deliteľ bude menovateľ. Príklad: 8 = 16/2 = 8/1 = 24/3

Poznámka!
Sledujte počet miest za desatinnou čiarkou.

Užitočné rady
Pamätajte na pravidlá zaokrúhľovania.

Zlomok je jedným z prvkov vzorcov na zadávanie do textového editora Word existuje nástroj Microsoft Equation. S jeho podporou môžete zadávať najrôznejšie zložité matematické alebo fyzikálne vzorce, rovnice a ďalšie prvky, ktoré obsahujú špeciálne symboly.

Inštrukcie

1. Ak chcete spustiť nástroj Microsoft Equation, musíte prejsť na adresu: „Vložiť“ -> „Objekt“, v dialógovom okne, ktoré sa otvorí, na prvej karte zo zoznamu musíte vybrať položku Microsoft Equation a kliknúť na „Ok“ alebo dvakrát - kliknite na vybranú položku. Po spustení editora vzorcov sa pred vami otvorí panel nástrojov a v texte sa zobrazí pole na zadanie vzorca: obdĺžnik v bodkovanom ráme. Panel s nástrojmi je rozdelený na segmenty, z ktorých všetky obsahujú súbor akčných znakov alebo výrazov. Keď kliknete na jeden zo segmentov, rozbalí sa zoznam nástrojov, ktoré sa v ňom nachádzajú. Zo zoznamu, ktorý sa otvorí, musíte vybrať požadovaný symbol a kliknúť naň. Neskoršia voľba, zadaný znak sa zobrazí vo vybratom obdĺžniku v dokumente.

2. Segment, v ktorom sa nachádzajú prvky na zápis zlomkov, sa nachádza v 2. riadku panela nástrojov. Keď naň umiestnite kurzor myši, zobrazí sa popis „Vzory zlomkov a radikálov“. Kliknite raz na sekciu a rozbaľte zoznam. Rozbaľovacia ponuka obsahuje príklady zlomkov s vodorovnými čiarami a lomkami. Medzi možnosťami, ktoré sa objavia, môžete uprednostniť tú, ktorá vyhovuje vašej úlohe. Kliknite na požadovanú možnosť. Po kliknutí sa vo vstupnom poli, ktoré sa otvorí v dokumente, objaví symbol zlomku a miesta pre zadanie čitateľa a menovateľa orámované bodkovanou čiarou. Predvolený kurzor je mechanicky umiestnený vo vstupnom poli čitateľa. Zadajte čitateľa. Okrem čísel môžete zadávať aj matematické symboly, písmená alebo akčné znaky. Možno ich zadávať z klávesnice aj z príslušných segmentov panela nástrojov Microsoft Equation. Neskôr v čitateli stlačením klávesu TAB prejdite na menovateľa. Môžete pokračovať kliknutím myšou do poľa pre zadanie menovateľa. Po napísaní vzorca kliknite ukazovateľom myši kdekoľvek v dokumente, panel nástrojov sa zatvorí a zadávanie zlomku sa dokončí. Ak chcete zlomok upraviť, dvakrát naň kliknite ľavým tlačidlom myši.

3. Ak po otvorení ponuky „Vložiť“ -> „Objekt“ nenájdete v zozname nástroj Microsoft Equation, musíte ho nainštalovať. Spustite inštalačný disk, obraz disku alebo distribučný súbor programu Word. V zobrazenom okne inštalátora vyberte možnosť „Pridať alebo odstrániť súčasti. Pridanie alebo odstránenie jednotlivé zložky“ a kliknite na „Ďalej“. V ďalšom okne vyberte položku „Rozšírené nastavenia aplikácie“. Kliknite na tlačidlo Ďalej. V ďalšom okne nájdite položku zoznamu „Nástroje Office“ a kliknite na znamienko plus vľavo. V rozšírenom zozname sa zaoberáme položkou „Editor vzorcov“. Kliknite na ikonu vedľa „Editor rovníc“ a v ponuke, ktorá sa otvorí, kliknite na „Spustiť z môjho počítača“. Potom kliknite na „Aktualizovať“ a počkajte, kým sa nainštaluje požadovaný komponent.

Rôzne formy zápisu zlomkov môžu byť mätúce. Po prvé, nie je vždy pohodlné pracovať s desatinnými tvarmi a po druhé, často odrážajú menej presné hodnoty. A v tomto prípade môžete takýto zlomok previesť do typického tvaru.

Inštrukcie

1. Vezmite prosím na vedomie, že hovoríme o a to o pretvorení desatinného zlomku do typického tvaru. Obrátená akcia nemusí vždy prebehnúť, čo je spojené s potrebou zaokrúhľovania, ktorá v niektorých prípadoch vzniká: ak sa od vás v podmienkach daného problému vyžaduje, aby ste pracovali len s presnými hodnotami, budete musieť pracovať len s bežnou formou zlomok.

2. Spomeňte si na jednu vlastnosť zlomku, na ktorú spadajú všetky prípustné reformy uskutočnené touto formou zápisu čísla. Uvádza, že vynásobením alebo delením čitateľa a menovateľa rovnakým číslom sa zlomok nezmení. Navyše nezáleží na tom, v akej forme číslo napíšete: v zrejmom tvare, buď ako sínus uhla, alebo jeho úplným označením ako premenná x alebo y.

3. Nezabudnite, že v prípade desatinného zlomku môžete vždy okamžite zapísať jeho menovateľa: bude to 10, 100, 1 000 atď. Počet núl je určený počtom miest za desatinnou čiarkou. Zostáva pochopiť, čo napísať do čitateľa.

4. Zapíšte si všetky číslice desatinného zlomku do čitateľa. Ak je 0,75, čitateľ bude 75, ak 1,35 - 135, resp.

5. Ak je to možné, pokračujte v ďalších reformách. To môže byť potrebné na úspešné vyriešenie problému. Ale aj keď je pre vás prevod desatinného čísla na bežnú formu celkom jednoduchý, nezastavujte sa len pri jednom kroku. Upozorňujeme, že pravidlá správneho matematického zápisu vyžadujú dodržiavanie 2 pravidiel. Po prvé, výsledná frakcia by sa nemala znižovať. Po druhé, ak je čitateľ väčší ako menovateľ, je lepšie napísať zlomok v jeho tretej forme - zmiešané číslo.

6. Na kontrolu pravdepodobnosti redukcie použite kvalitu zlomku. Čím menší menovateľ, tým menej možností budete musieť triediť. Ak je 10, skontrolujte, či je čitateľ deliteľný 2, 5, 10. Ak je 100, skontrolujte, či je čitateľ deliteľný 2, 4, 5 a ďalšími deliteľmi 100.

Video k téme

Tip 5: Ako previesť zmiešané číslo na nesprávny zlomok

číslo, ktoré sa zapisuje ako celé číslo a zlomková časť, sa v zmiešanom zápise nazýva číslo. Kvôli jednoduchšej výslovnosti sa tento dlhý názov často redukuje na formuláciu „zmiešané číslo“. Takéto číslo má rovnaké nesprávne zlomok, na ktorú sa dá jednoducho premeniť.

Budete potrebovať

• Zmiešané čísla, papier, pero, 3 jablká, nôž.

Inštrukcie

1. Ak veľmi dobre nerozumiete podstate zmiešaného čísla, nezabudnite si vziať papier a pero, aby ste sa nezmiatli a robte všetko pozitívne. Pre každú príležitosť si pripravte 3 jablká a nôž. Téma zlomkov v matematike je považovaná za jednu z najťažších. Školáci ich začínajú preberať od 3. ročníka a priebežne počas celého nasledujúceho stupňa vzdelávania sa vracajú k podobným úlohám, ktoré sú z roka na rok čoraz ťažšie.

2. Zapíšte si zmiešané číslo. Možno to vyzerá takto: 2 3/4 (to je to isté ako 2+3/4). Záznam sa číta ako „dva tri štvrtiny“. Tu je číslo 2 celá časť zmiešaného čísla a „tri štvrtiny“ je zlomková časť. Pre názornosť si to predstavte v podobe 2 celých jabĺk a ešte jedného, ​​z ktorého tri štvrtiny zostávajú a jedna štvrtina je povedzme už zjedená.

3. Ak chcete previesť zmiešané číslo na nesprávne číslo zlomok, vynásobte menovateľa jeho zlomkovej časti celou časťou. IN v tomto prípade toto je: 4x2=8. Vráťte sa k vizuálnemu príkladu jabĺk. Celé 2 celé ovocie nakrájajte na štyri rovnaké časti. Neskôr v tejto prevádzke bude aj osem jednotiek.

4. Ďalšia operácia: k výslednému produktu pridajte čitateľa zlomkovej časti zmiešaného čísla. To znamená, že pridajte 3 k 8. Ukáže sa: 8+3=11. A teraz, k existujúcim ôsmim kúskom jabĺk, pridajte tri podobné plátky z jablka, ktoré pôvodne zostalo neúplné. Z každého bude jedenásť plátkov.

5. Posledný krok: napíšte výslednú sumu na miesto čitateľa nesprávneho zlomku. V tomto prípade ponechajte menovateľa zlomkovej časti bez metamorfózy. Výstup v tomto príklade by bol: 11/4. Toto sa zle číta zlomok ako v "jedenásť štyri". A ak sa znova obrátite na jablká, uvidíte, že každý z plátkov je štvrtina celého jablka a z každého je jedenásť plátkov. To znamená, že keď ich nazbierate dokopy, získate tu jedenásť jablčných štvrtí.

Video k téme

Všetky merania sú vyjadrené číslami, povedzme dĺžkou, plochou a objemom v geometrii, vzdialenosťou a rýchlosťou vo fyzike atď. Výsledkom nie je vždy celok, takto vznikajú zlomky. Existovať rôzne akcie s nimi a metódami na ich reformovanie, najmä je možné previesť obyčajný zlomok na desatinné číslo.

Inštrukcie

1. Zlomok je zápis v tvare m/n, kde m patrí do množiny celých čísel a n patrí k prirodzeným číslam. Navyše, ak m>n, potom je zlomok nesprávny, je možné z neho oddeliť celú časť. Keď sa čitateľ m a menovateľ n vynásobia rovnakým číslom, výsledok zostane konštantný. Všetky reformné operácie sú založené na tomto pravidle. Výberom vhodného faktora je teda možné zmeniť obyčajný zlomok na desatinné číslo.

2. Desatinný zlomok sa odlišuje menovateľom, ktorý je násobkom desiatich. Tento zápis je podobný ako číslice celých čísel, ktoré idú vzostupne sprava doľava. Preto na preklad obyčajného zlomku je potrebné vypočítať taký univerzálny exponent pre jeho deliteľa a deliteľa, aby konečný obsahoval iba desatinné miesta, stotiny, tisíciny atď. zlomky Príklad: previesť zlomok? v desiatkovom tvare.

3. Vyberte číslo také, aby výsledok jeho vynásobenia menovateľom bol násobkom 10. Dôvod je opačný: je možné zmeniť číslo 4 na 10? Výsledok: nie, pretože 10 nie je deliteľné 4. Potom 100? Áno, 100 sa bezo zvyšku vydelí 4, výsledok je 25. Vynásobte čitateľa a menovateľa 25 a výsledok zapíšte v desatinnom tvare:? = 25/100 = 0,25.

4. Nie vždy je možné použiť metódu výberu, existujú ešte dve metódy. Téza ich použitia je vlastne rovnaká, líši sa len nahrávka. Jedným z nich je postupné prideľovanie desatinných miest. Príklad: preveďte zlomok 1/8.

5. Dôvod ďalej: 1/8 nemá celú časť, preto sa rovná 0. Zapíšte si toto číslo a dajte zaň čiarku; Vynásobením 1/8 číslom 10 získate 10/8. Z tohto zlomku môžete vybrať časť celého čísla rovnajúcu sa 1. Zadajte ju za čiarku. Pokračujte v práci s výsledným zvyškom 2/8; 2/8 x 10 = 20/8. Celá časť je 2, zvyšok je 4/8. Priebežný výsledok – 0,12; 4/8 x 10 = 40/8. Z násobilky vyplýva, že 40 je úplne deliteľné 8. Tým sú vaše výpočty hotové, konečný výsledok je 0,125 alebo 125/1000.

6. A napokon 3. spôsob je delenie stĺpcov. Zakaždým, keď musíte vydeliť menšie číslo väčším, dajte nulu „navrch“ (pozri obrázok).

7. Ak chcete previesť nesprávny zlomok na desatinné číslo, musíte najskôr vybrať celú časť. Povedzme: 25/3 = 8 1/3. Zapíšte si celú časť 8, pridajte čiarku a preveďte zlomkovú časť 1/3 pomocou jednej z vyššie opísaných metód. Žiaľ, neexistuje žiadne číslo, ktoré by bolo násobkom 10 a bolo deliteľné 3 bez zanechania zvyšku. V podobnej situácii sa používa takzvaná bodka, keď sa v zátvorke píše nesmierne sa opakujúci údaj: 8 1/3? 8,...;1/3*10 = 10/3? 8,3..., zvyšok = 1/3; 1/3*10 = 10/3? 8,33..., zvyšok = 1/3; atď. do nekonečna.Výsledok: 8 1/3 = 8,3....3 = 8.(3).

Video k téme

Základným špecifikom ľudskej inteligencie je schopnosť abstraktného myslenia. Jednou z najvyšších foriem abstrakcie v ľudskom svete je číslo. Existuje niekoľko kategórií čísel s rôznymi vlastnosťami. Obzvlášť známe a často používané v Každodenný život sú celé čísla a reálne čísla. Ako obvykle, čísla sa píšu v desiatkovej číselnej sústave. Reálne čísla sú označené desatinnými zlomkami. Jedna z nevýhod nahrávania zlomkové čísla ako desatinné miesta je ich presnosť obmedzená. Keď je presnosť obzvlášť dôležitá, čísla sa píšu ako zlomky (dvojice čitateľ-menovateľ). V niektorých prípadoch sú zlomky mimoriadne pohodlné, ale aritmetické operácie s nimi sú ťažšie ako s desatinné čísla. Povedzme, aby sme odčítali zlomok s rôznymi menovateľov, musíte vykonať niekoľko matematických operácií.

Budete potrebovať

• Kalkulačka alebo list papiera s perom.

Inštrukcie

1. Zmenšiť zlomky na rovnaký menovateľ. Vynásobte čitateľa a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého. Vynásobte čitateľa a menovateľa 2. zlomku menovateľom prvého. Povedzme, že ak sú počiatočné zlomky 6/7 a 5/11, potom zlomky zredukované na spoločného menovateľa budú 66/77 a 35/77. V tomto prípade bol čitateľ a menovateľ prvého zlomku vynásobený číslom 11 a čitateľ a menovateľ druhého zlomku číslom 7.

2. Odčítajte zlomky. Odčítajte čitateľa 2. zlomku od čitateľa prvého zlomku. Výslednú hodnotu zapíšte ako čitateľa výsledného zlomku. Ako menovateľ súčtu dosaďte spoločného menovateľa získaného v predchádzajúcom kroku. Takže pri odčítaní hodnoty zlomku 35/77 od zlomku 66/77 je výsledok 31/77 (čitateľ 35 bol odčítaný od čitateľa 66 a menovateľ zostal ako prvý).

3. V prípade potreby zredukujte výslednú frakciu. Za čitateľa a menovateľa výsledného zlomku vyberte najväčšieho univerzálneho deliteľa, zázrak 1. Vydeľte ním čitateľa a menovateľa. Napíšte nové hodnoty ako čitateľ a menovateľ konečného zlomku. Najväčší univerzálny deliteľ, zázračný od 1, nemusí existovať. V tomto prípade ponechajte počiatočnú hodnotu ako celkovú. zlomok .

Jednou z najvýznamnejších vied, ktorej uplatnenie môžeme vidieť v odboroch ako chémia, fyzika či dokonca biológia, je matematika. Štúdium tejto vedy vám umožňuje rozvíjať niektoré duševné vlastnosti a zlepšiť schopnosť koncentrácie. Jednou z tém, ktoré si v kurze Matematika zaslúžia osobitnú pozornosť, je sčítanie a odčítanie zlomkov. Pre mnohých študentov je štúdium ťažké. Možno vám náš článok pomôže lepšie pochopiť túto tému.

Ako odčítať zlomky, ktorých menovateľ je rovnaký

Zlomky sú rovnaké čísla, s ktorými môžete vytvoriť rôzne akcie. Ich rozdiel od celých čísel spočíva v prítomnosti menovateľa. Preto pri vykonávaní operácií so zlomkami musíte študovať niektoré z ich vlastností a pravidiel. Väčšina jednoduchý prípad je odčítanie obyčajné zlomky, ktorých menovatelia sú reprezentovaní rovnakým číslom. Vykonanie tejto akcie nebude ťažké, ak poznáte jednoduché pravidlo:

• Na odčítanie sekundy od jedného zlomku je potrebné odčítať čitateľa odčítaného zlomku od čitateľa zlomku, ktorý sa redukuje. Toto číslo zapíšeme do čitateľa rozdielu a menovateľa necháme rovnaký: k/m - b/m = (k-b)/m.

Príklady odčítania zlomkov, ktorých menovateľ je rovnaký

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od čitateľa zlomku „7“ odčítame čitateľa zlomku „3“, ktorý sa má odčítať, dostaneme „4“. Toto číslo zapíšeme do čitateľa odpovede a do menovateľa dáme rovnaké číslo, aké bolo v menovateli prvého a druhého zlomku - „19“.

Na obrázku nižšie je niekoľko ďalších podobných príkladov.

Uvažujme o zložitejšom príklade, kde sa odčítajú zlomky s podobnými menovateľmi:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Z čitateľa zlomku „29“ sa zníži postupným odčítaním čitateľov všetkých nasledujúcich zlomkov - „3“, „8“, „2“, „7“. V dôsledku toho dostaneme výsledok „9“, ktorý zapíšeme do čitateľa odpovede a do menovateľa zapíšeme číslo, ktoré je v menovateľoch všetkých týchto zlomkov - „47“.

Sčítanie zlomkov, ktoré majú rovnaký menovateľ

Sčítanie a odčítanie obyčajných zlomkov sa riadi rovnakým princípom.

• Ak chcete pridať zlomky, ktorých menovateľ je rovnaký, musíte pridať čitateľov. Výsledné číslo je čitateľom súčtu a menovateľ zostane rovnaký: k/m + b/m = (k + b)/m.

Pozrime sa, ako to vyzerá na príklade:

1/4 + 2/4 = 3/4.

K čitateľovi prvého člena zlomku - „1“ - pridajte čitateľa druhého člena zlomku - „2“. Výsledok - „3“ - sa zapíše do čitateľa súčtu a menovateľ zostane rovnaký ako v zlomkoch - „4“.

Zlomky s rôznymi menovateľmi a ich odčítanie

Už sme uvažovali o operácii so zlomkami, ktoré majú rovnaký menovateľ. Ako vidíte, s vedomím jednoduchých pravidiel je riešenie takýchto príkladov celkom jednoduché. Čo ak však potrebujete vykonať operáciu so zlomkami, ktoré majú rôznych menovateľov? Mnoho stredoškolákov je z takýchto príkladov zmätených. Ale aj tu platí, že ak poznáte princíp riešenia, príklady už pre vás nebudú ťažké. Existuje tu aj pravidlo, bez ktorého je riešenie takýchto zlomkov jednoducho nemožné.

Ak chcete odčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musia sa zredukovať na rovnaký najmenší menovateľ.



Budeme hovoriť podrobnejšie o tom, ako to urobiť.

Vlastnosť zlomku

Ak chcete priviesť niekoľko zlomkov do rovnakého menovateľa, musíte v riešení použiť hlavnú vlastnosť zlomku: po vydelení alebo vynásobení čitateľa a menovateľa rovnakým číslom dostanete zlomok rovný danému.

Napríklad zlomok 2/3 môže mať menovateľov ako „6“, „9“, „12“ atď., To znamená, že môže mať tvar ľubovoľného čísla, ktoré je násobkom „3“. Po vynásobení čitateľa a menovateľa „2“ dostaneme zlomok 4/6. Po vynásobení čitateľa a menovateľa pôvodného zlomku „3“ dostaneme 6/9 a ak podobná akcia vyrábame s číslom „4“, dostaneme 8/12. Jedna rovnosť môže byť napísaná takto:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Ako previesť viaceré zlomky na rovnaký menovateľ

Pozrime sa, ako zredukovať viaceré zlomky na rovnaký menovateľ. Zoberme si napríklad zlomky zobrazené na obrázku nižšie. Najprv musíte určiť, ktoré číslo sa môže stať menovateľom všetkých z nich. Aby sme to uľahčili, rozložme existujúcich menovateľov.

Menovateľ zlomku 1/2 a zlomku 2/3 nemožno rozdeliť na faktor. Menovateľ 7/9 má dva faktory 7/9 = 7/(3 x 3), menovateľ zlomku 5/6 = 5/(2 x 3). Teraz musíme určiť, ktoré faktory budú najmenšie pre všetky tieto štyri zlomky. Keďže prvý zlomok má v menovateli číslo „2“, znamená to, že musí byť prítomný vo všetkých menovateľoch, vo zlomku 7/9 sú dve trojice, to znamená, že obe musia byť prítomné aj v menovateli. Berúc do úvahy vyššie uvedené, určíme, že menovateľ pozostáva z troch faktorov: 3, 2, 3 a rovná sa 3 x 2 x 3 = 18.



Zoberme si prvý zlomok - 1/2. V menovateli je „2“, ale nie je tam ani jedna číslica „3“, ale mali by byť dve. Aby sme to dosiahli, vynásobíme menovateľa dvoma trojitami, ale podľa vlastnosti zlomku musíme vynásobiť čitateľa dvoma trojitami:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Rovnaké operácie vykonávame so zvyšnými frakciami.

• 2/3 - v menovateli chýba jedna trojka a jedna dvojka:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 alebo 7/(3 x 3) - v menovateli chýba dvojka:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 alebo 5/(2 x 3) - v menovateli chýba trojka:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Všetko spolu to vyzerá takto:



Ako odčítať a sčítať zlomky, ktoré majú rôznych menovateľov

Ako už bolo spomenuté vyššie, na sčítanie alebo odčítanie zlomkov, ktoré majú rôznych menovateľov, je potrebné ich zredukovať na rovnakého menovateľa a potom použiť pravidlá na odčítanie zlomkov, ktoré majú rovnakého menovateľa, o ktorých už bola reč.

Pozrime sa na to ako príklad: 4/18 – 3/15.

Nájdenie násobku čísel 18 a 15:

• Číslo 18 sa skladá z 3 x 2 x 3.
• Číslo 15 sa skladá z 5 x 3.
• Spoločným násobkom budú tieto faktory: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Po nájdení menovateľa je potrebné vypočítať faktor, ktorý bude pre každý zlomok iný, teda číslo, ktorým bude potrebné vynásobiť nielen menovateľa, ale aj čitateľa. Za týmto účelom vydeľte číslo, ktoré sme našli (spoločný násobok) menovateľom zlomku, pre ktorý je potrebné určiť ďalšie faktory.

• 90 delené 15. Výsledné číslo „6“ bude násobiteľom 3/15.
• 90 delené 18. Výsledné číslo „5“ bude násobiteľom 4/18.

Ďalšou fázou nášho riešenia je zredukovať každý zlomok na menovateľ „90“.

Už sme hovorili o tom, ako sa to robí. Pozrime sa, ako je to napísané na príklade:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Ak majú zlomky malé čísla, môžete určiť spoločného menovateľa, ako v príklade na obrázku nižšie.



To isté platí pre tie s rôznymi menovateľmi.

Odčítanie a celočíselné časti

Odčítanie zlomkov a ich sčítanie sme už podrobne rozobrali. Ale ako odčítať, ak má zlomok celočíselnú časť? Opäť použijeme niekoľko pravidiel:

• Preveďte všetky zlomky, ktoré majú celočíselnú časť, na nesprávne. Rozprávanie jednoduchými slovami, odstráňte celú časť. Za týmto účelom vynásobte číslo celočíselnej časti menovateľom zlomku a výsledný produkt pridajte do čitateľa. Číslo, ktoré po týchto akciách vyjde, je čitateľom nesprávneho zlomku. Menovateľ zostáva nezmenený.
• Ak majú zlomky rôznych menovateľov, mali by sa zredukovať na rovnakého menovateľa.
• Vykonajte sčítanie alebo odčítanie s rovnakými menovateľmi.
• Pri prijímaní nesprávnej frakcie vyberte celú časť.



Existuje ďalší spôsob, ako môžete sčítať a odčítať zlomky s celými časťami. Na tento účel sa akcie vykonávajú oddelene s celými časťami a akcie so zlomkami oddelene a výsledky sa zaznamenávajú spoločne.



Uvedený príklad pozostáva zo zlomkov, ktoré majú rovnaký menovateľ. V prípade, že menovatele sú odlišné, musia byť uvedené na rovnakú hodnotu a potom vykonať akcie, ako je uvedené v príklade.

Odčítanie zlomkov od celých čísel

Ďalším typom operácie so zlomkami je prípad, keď treba zlomok odčítať. Na prvý pohľad sa takýto príklad zdá ťažko riešiteľný. Tu je však všetko celkom jednoduché. Aby ste to vyriešili, musíte previesť celé číslo na zlomok a s rovnakým menovateľom, aký je v odčítanom zlomku. Ďalej vykonáme odčítanie podobné odčítaniu s rovnakými menovateľmi. V príklade to vyzerá takto:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Odčítanie zlomkov (6. ročník) uvedené v tomto článku je základom pre riešenie zložitejších príkladov, ktoré sú zahrnuté v nasledujúcich ročníkoch. Znalosť tejto témy sa následne využíva pri riešení funkcií, derivácií a pod. Preto je veľmi dôležité pochopiť a pochopiť operácie so zlomkami, o ktorých sme hovorili vyššie.

Zlomky sú obyčajné čísla a možno ich aj sčítať a odčítať. Ale keďže majú menovateľa, vyžadujú si zložitejšie pravidlá ako pre celé čísla.

Uvažujme o najjednoduchšom prípade, keď existujú dva zlomky s rovnakými menovateľmi. potom:

Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený.

Ak chcete odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte odpočítať čitateľa druhého od čitateľa prvého zlomku a opäť ponechať menovateľa nezmenený.

V rámci každého výrazu sú menovatele zlomkov rovnaké. Definíciou sčítania a odčítania zlomkov dostaneme:

Ako vidíte, nie je to nič zložité: stačí pridať alebo odčítať čitateľa a je to.

Ale aj pri takýchto jednoduchých činoch sa ľuďom darí robiť chyby. Najčastejšie sa zabúda na to, že menovateľ sa nemení. Napríklad pri ich sčítaní sa začnú aj sčítavať, a to je zásadne nesprávne.

Zbaviť sa zlozvyk Pridávanie menovateľov je celkom jednoduché. Skúste to isté pri odčítaní. V dôsledku toho bude menovateľ nula a zlomok (náhle!) stratí svoj význam.

Preto si pamätajte raz a navždy: pri sčítaní a odčítaní sa menovateľ nemení!

Mnoho ľudí robí chyby aj pri sčítaní niekoľkých záporných zlomkov. Nastáva zmätok so znamienkami: kde dať mínus a kde plus.

Tento problém je tiež veľmi ľahko riešiteľný. Stačí si zapamätať, že mínus pred znamienkom zlomku možno vždy preniesť do čitateľa - a naopak. A samozrejme, nezabudnite na dve jednoduché pravidlá:

1. Plus mínus dáva mínus;
2. Dva zápory potvrdzujú.

Pozrime sa na to všetko na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Nájdite význam výrazu:

V prvom prípade je všetko jednoduché, ale v druhom uvádzame mínusy do čitateľov zlomkov:

Čo robiť, ak sa menovatelia líšia

Zlomky s rôznymi menovateľmi nemôžete pridávať priamo. Aspoň mne je táto metóda neznáma. Pôvodné zlomky sa však vždy dajú prepísať tak, aby sa menovatelia stali rovnakými.

Existuje mnoho spôsobov, ako previesť zlomky. Tri z nich sú diskutované v lekcii “ Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa“, takže sa im tu nebudeme venovať. Pozrime sa na niekoľko príkladov:

Úloha. Nájdite význam výrazu:

V prvom prípade zlomky zredukujeme na spoločného menovateľa pomocou metódy „krížom“. V druhom budeme hľadať NOC. Všimnite si, že 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Posledné faktory v týchto rozšíreniach sú rovnaké a prvé sú relatívne prvočísla. Preto LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Čo robiť, ak má zlomok celočíselnú časť

Môžem vás potešiť: mať rôznych menovateľov v zlomkoch nie je práve najviac veľké zlo. Oveľa viac chýb sa vyskytuje, keď je v sčítacích zlomkoch zvýraznená celá časť.

Samozrejme, že existujú vlastné algoritmy sčítania a odčítania pre takéto zlomky, ale sú dosť zložité a vyžadujú si dlhé štúdium. Je lepšie použiť jednoduchú schému nižšie:

1. Preveďte všetky zlomky obsahujúce celočíselné časti na nesprávne. Získame normálne členy (aj s rôznymi menovateľmi), ktoré sa vypočítajú podľa vyššie uvedených pravidiel;
2. V skutočnosti vypočítajte súčet alebo rozdiel výsledných zlomkov. V dôsledku toho prakticky nájdeme odpoveď;
3. Ak je to všetko, čo bolo v úlohe požadované, vykonáme inverznú transformáciu, t.j. Nevlastného zlomku sa zbavíme zvýraznením celej časti.

Pravidlá prechodu na nesprávne zlomky a zvýraznenie celej časti sú podrobne popísané v lekcii “ Čo je zlomok čísla" Ak si to nepamätáte, určite si to zopakujte. Príklady:

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Všetko je tu jednoduché. Menovatelia vo vnútri každého výrazu sú si rovní, takže zostáva len previesť všetky zlomky na nesprávne a počítať. Máme:

Pre zjednodušenie výpočtov som v posledných príkladoch preskočil niektoré zrejmé kroky.

Malá poznámka k posledným dvom príkladom, kde sa odčítavajú zlomky so zvýraznenou celočíselnou časťou. Mínus pred druhým zlomkom znamená, že sa odpočíta celý zlomok, nielen jeho časť.

Znova si prečítajte túto vetu, pozrite sa na príklady - a premýšľajte o tom. Toto priznávajú začiatočníci veľké množstvo chyby. Radi dávajú takéto úlohy testy. Viackrát sa s nimi stretnete aj v testoch k tejto lekcii, ktoré budú čoskoro zverejnené.

Zhrnutie: všeobecná schéma výpočtu

Na záver uvediem všeobecný algoritmus, ktorý vám pomôže nájsť súčet alebo rozdiel dvoch alebo viacerých zlomkov:

1. Ak má jeden alebo viacero zlomkov celočíselnú časť, preveďte tieto zlomky na nesprávne;
2. Priveďte všetky zlomky k spoločnému menovateľovi akýmkoľvek spôsobom, ktorý vám vyhovuje (pokiaľ to, samozrejme, neurobili autori úloh);
3. Výsledné čísla sčítajte alebo odčítajte podľa pravidiel na sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi;
4. Ak je to možné, výsledok skráťte. Ak je zlomok nesprávny, vyberte celú časť.

Pamätajte, že je lepšie zvýrazniť celú časť na samom konci úlohy, bezprostredne pred zapísaním odpovede.