Témou je absolútny a relatívny omyl. Meranie fyzikálnych veličín

Nechaj nejakú náhodnú premennú a merané n krát za rovnakých podmienok. Výsledky merania dali súbor n rôzne čísla

Absolútna chyba- rozmerová hodnota. Medzi n Hodnoty absolútnej chyby sú nevyhnutne kladné aj záporné.

Za najpravdepodobnejšiu hodnotu množstva A zvyčajne braný priemer hodnota výsledkov merania

.

Ako väčšie číslo merania, tým bližšie je priemerná hodnota k skutočnej hodnote.

Absolútna chybai

.

Relatívna chybai-té meranie sa nazýva množstvo

Relatívna chyba je bezrozmerná veličina. Zvyčajne relatívna chyba vyjadrené v percentách e i vynásobiť 100 %. Veľkosť relatívnej chyby charakterizuje presnosť merania.

Priemerná absolútna chyba je definovaná takto:

.

Zdôrazňujeme potrebu sčítať absolútne hodnoty (moduly) veličín D a ja. V opačnom prípade bude výsledok rovnako nulový.

Priemerná relatívna chyba sa nazýva množstvo

.

O veľké číslo merania

Relatívnu chybu možno považovať za hodnotu chyby na jednotku nameranej hodnoty.

Presnosť meraní sa posudzuje porovnaním chýb výsledkov meraní. Chyby merania sú preto vyjadrené v takej forme, že na posúdenie presnosti stačí porovnať iba chyby výsledkov bez toho, aby sme porovnávali veľkosti meraných objektov alebo tieto veľkosti veľmi približne poznali. Z praxe je známe, že absolútna chyba pri meraní uhla nezávisí od hodnoty uhla a absolútna chyba pri meraní dĺžky závisí od hodnoty dĺžky. Ako väčšiu hodnotu dĺžka, najmä s túto metódu a podmienkach merania bude absolútna chyba väčšia. V dôsledku toho možno na posúdenie presnosti merania uhla použiť absolútnu chybu výsledku, ale nemožno posúdiť presnosť merania dĺžky. Vyjadrenie chyby v relatívnej forme umožňuje porovnať presnosť uhlových a lineárnych meraní v známych prípadoch.

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Náhodná chyba.

Náhodná chyba nazývaná zložka chyby merania, ktorá sa náhodne mení pri opakovaných meraniach tej istej veličiny.

Pri opakovaných meraniach tej istej konštantnej, nemennej veličiny s rovnakou starostlivosťou a za rovnakých podmienok získame výsledky meraní - niektoré sa navzájom líšia a niektoré sa zhodujú. Takéto nezrovnalosti vo výsledkoch meraní naznačujú prítomnosť náhodných chybových komponentov v nich.

Náhodná chyba vzniká súčasným vplyvom mnohých zdrojov, z ktorých každý má sám o sebe nepostrehnuteľný vplyv na výsledok merania, ale celkový vplyv všetkých zdrojov môže byť dosť silný.

Náhodné chyby sú nevyhnutným dôsledkom akýchkoľvek meraní a sú spôsobené:

a) nepresnosť údajov na stupnici prístrojov a prístrojov;

b) neidentifikácia podmienok pre opakované merania;

c) náhodné zmeny vonkajších podmienok (teplota, tlak, silové pole a pod.), ktoré nemožno kontrolovať;

d) všetky ostatné vplyvy na merania, ktorých príčiny nám nie sú známe. Veľkosť náhodnej chyby je možné minimalizovať mnohonásobným opakovaním experimentu a zodpovedajúcim matematickým spracovaním získaných výsledkov.

Náhodná chyba sa môže prejaviť inak absolútna hodnota hodnoty, ktoré nie je možné predpovedať pre daný akt merania. Táto chyba môže byť rovnako pozitívna alebo negatívna. V experimente sú vždy prítomné náhodné chyby. Pri absencii systematických chýb spôsobujú rozptyl opakovaných meraní vzhľadom na skutočnú hodnotu.

Predpokladajme, že perióda kmitania kyvadla sa meria pomocou stopiek a meranie sa mnohokrát opakuje. Chyby pri spúšťaní a zastavovaní stopiek, chyba odčítanej hodnoty, mierna nerovnomernosť pohybu kyvadla – to všetko spôsobuje rozptyl výsledkov opakovaných meraní a preto je možné ich klasifikovať ako náhodné chyby.

Ak neexistujú žiadne iné chyby, niektoré výsledky budú trochu nadhodnotené, zatiaľ čo iné budú trochu podhodnotené. Ak však okrem toho zaostávajú aj hodiny, všetky výsledky budú podhodnotené. Toto je už systematická chyba.

Niektoré faktory môžu spôsobiť systematické aj náhodné chyby súčasne. Takže zapínaním a vypínaním stopiek môžeme vytvoriť malý nepravidelný rozptyl v časoch spustenia a zastavenia hodín vzhľadom na pohyb kyvadla a tým zaviesť náhodnú chybu. Ak sa však so zapínaním stopiek zakaždým ponáhľame a meškáme s ich vypnutím, povedie to k systematickej chybe.

Náhodné chyby sú spôsobené chybou paralaxy pri počítaní dielikov prístrojovej stupnice, otrasom základov budovy, vplyvom mierneho pohybu vzduchu atď.

Hoci nie je možné eliminovať náhodné chyby v jednotlivých meraniach, matematická teória náhodných javov nám umožňuje znížiť vplyv týchto chýb na konečný výsledok merania. Nižšie sa ukáže, že na to je potrebné vykonať nie jedno, ale niekoľko meraní a čím menšiu hodnotu chyby chceme získať, tým viac meraní je potrebné vykonať.

Vzhľadom na skutočnosť, že výskyt náhodných chýb je nevyhnutný a nevyhnutný, hlavnou úlohou každého procesu merania je znížiť chyby na minimum.

Teória chýb je založená na dvoch hlavných predpokladoch, potvrdených skúsenosťami:

1. Pri veľkom počte meraní sú náhodné chyby rovnakej veľkosti, ale iné znamenie, čiže chyby v smere zvyšovania a znižovania výsledku sa vyskytujú pomerne často.

2. Chyby, ktoré sú veľké v absolútnej hodnote, sú menej časté ako malé, takže pravdepodobnosť výskytu chyby klesá so zvyšujúcou sa jej veľkosťou.

Správanie náhodných premenných je popísané štatistickými vzormi, ktoré sú predmetom teórie pravdepodobnosti. Štatistická definícia pravdepodobnosti w i diania i je postoj

Kde n- celkový počet pokusov, n i- počet pokusov, pri ktorých sa udalosť i Stalo. V tomto prípade by celkový počet experimentov mal byť veľmi veľký ( n®¥). Pri veľkom počte meraní sa náhodné chyby riadia normálnym rozdelením (Gaussovo rozdelenie), ktorého hlavné črty sú tieto:

1. Čo väčšia odchýlka hodnota meranej veličiny od skutočnej, the menej pravdepodobné takýto výsledok.

2. Odchýlky v oboch smeroch od skutočnej hodnoty sú rovnako pravdepodobné.

Z vyššie uvedených predpokladov vyplýva, že na zníženie vplyvu náhodných chýb je potrebné túto hodnotu zmerať niekoľkokrát. Predpokladajme, že meriame nejaké množstvo x. Nech sa vyrába n miery: x 1 , x 2 , ... x n- použitím rovnakej metódy as rovnakou starostlivosťou. Dá sa očakávať, že počet dn získané výsledky, ktoré ležia v nejakom dosť úzkom intervale od X predtým x + dx, musí byť proporcionálne:

Veľkosť prijatého intervalu dx;

Celkový počet meraní n.

Pravdepodobnosť dw(X), ktorá má nejakú hodnotu X leží v rozmedzí od X predtým x + dx, je definovaný nasledovne :

(s počtom meraní n ®¥).

Funkcia f(X) sa nazýva distribučná funkcia alebo hustota pravdepodobnosti.

Ako postulát teórie chýb sa uznáva, že výsledky priamych meraní a ich náhodné chyby, ak ich je veľký počet, sa riadia zákonom normálneho rozdelenia.

Distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej nájdená Gaussom X Má ďalší pohľad:

, kde mis - distribučných parametrov .

Parameter m normálneho rozdelenia sa rovná strednej hodnote b Xñ náhodná premenná, ktorá je pre ľubovoľnú známu distribučnú funkciu určená integrálom

.

teda hodnota m je najpravdepodobnejšia hodnota meranej veličiny x, t.j. jej najlepší odhad.

Parameter s 2 normálneho rozdelenia sa rovná rozptylu D náhodnej premennej, ktorá je vo všeobecnom prípade určená nasledujúcim integrálom

.

Odmocnina od rozptylu sa nazýva štandardná odchýlka náhodnej premennej.

Priemerná odchýlka (chyba) náhodnej premennej ásñ sa určí pomocou distribučnej funkcie nasledovne

Priemerná chyba merania asñ vypočítaná z funkcie Gaussovho rozdelenia súvisí s hodnotou štandardnej odchýlky s takto:

< s > = 0,8 s.

Parametre s a m spolu súvisia takto:

.

Tento výraz vám umožňuje nájsť smerodajnú odchýlku s, ak existuje krivka normálneho rozdelenia.

Graf Gaussovej funkcie je znázornený na obrázkoch. Funkcia f(X) je symetrický podľa ordináty nakreslenej v bode x = m; prechádza cez maximum v bode x = m a má inflexiu v bodoch m ±s. Rozptyl teda charakterizuje šírku distribučnej funkcie alebo ukazuje, do akej miery sú hodnoty náhodnej premennej rozptýlené vzhľadom na jej skutočnú hodnotu. Čím presnejšie merania, tým bližšie k skutočnej hodnote sú výsledky jednotlivých meraní, t.j. hodnota s je menšia. Obrázok A znázorňuje funkciu f(X) pre tri hodnoty s .

Oblasť postavy ohraničená krivkou f(X) a zvislé čiary nakreslené z bodov X 1 a X 2 (obr. B) , číselne sa rovná pravdepodobnosti, že výsledok merania spadne do intervalu D x = x 1 - X 2, ktorá sa nazýva pravdepodobnosť spoľahlivosti. Oblasť pod celou krivkou f(X) sa rovná pravdepodobnosti náhodnej premennej spadajúcej do intervalu od 0 do ¥, t.j.

,

keďže pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej.

Pomocou normálneho rozdelenia teória chýb predstavuje a rieši dva hlavné problémy. Prvým je posúdenie presnosti vykonaných meraní. Druhým je posúdenie presnosti priemeru aritmetická hodnota výsledky merania.5. Interval spoľahlivosti. Študentský koeficient.

Teória pravdepodobnosti nám umožňuje určiť veľkosť intervalu, v ktorom so známou pravdepodobnosťou w zisťujú sa výsledky jednotlivých meraní. Táto pravdepodobnosť sa nazýva pravdepodobnosť dôvery a zodpovedajúci interval (<X>±D X)w volal interval spoľahlivosti. Pravdepodobnosť spoľahlivosti sa tiež rovná relatívnemu podielu výsledkov, ktoré spadajú do intervalu spoľahlivosti.

Ak počet meraní n je dostatočne veľká, potom pravdepodobnosť spoľahlivosti vyjadruje podiel celkový početn tie merania, pri ktorých bola nameraná hodnota v rámci intervalu spoľahlivosti. Pravdepodobnosť každej spoľahlivosti w zodpovedá jeho intervalu spoľahlivosti w 2 80 %. Čím širší je interval spoľahlivosti, tým väčšia je pravdepodobnosť dosiahnutia výsledku v rámci tohto intervalu. V teórii pravdepodobnosti sa stanovuje kvantitatívny vzťah medzi hodnotou intervalu spoľahlivosti, pravdepodobnosťou spoľahlivosti a počtom meraní.

Ak ako interval spoľahlivosti zvolíme interval zodpovedajúci priemernej chybe, teda D a =áD Añ, potom pre dostatočne veľký počet meraní zodpovedá pravdepodobnosti spoľahlivosti w 60 %. Keď sa počet meraní znižuje, pravdepodobnosť spoľahlivosti zodpovedajúca takémuto intervalu spoľahlivosti (a Añ ± áD Añ), klesá.

Na odhadnutie intervalu spoľahlivosti náhodnej premennej je teda možné použiť hodnotu priemernej chyby áD Añ .

Na charakterizáciu veľkosti náhodnej chyby je potrebné špecifikovať dve čísla, a to hodnotu intervalu spoľahlivosti a hodnotu pravdepodobnosti spoľahlivosti. . Uvádzať iba veľkosť chyby bez zodpovedajúcej pravdepodobnosti spoľahlivosti je do značnej miery nezmyselné.

Ak je známa priemerná chyba merania asñ, interval spoľahlivosti zapísaný ako (<X> ± ásñ) w, určené s pravdepodobnosťou spoľahlivosti w= 0,57.

Ak je známa smerodajná odchýlka s rozdelenie výsledkov meraní, zadaný interval má tvar (<X>± t w s) w, Kde t w- koeficient v závislosti od hodnoty pravdepodobnosti spoľahlivosti a vypočítaný pomocou Gaussovho rozdelenia.

Najčastejšie používané množstvá D X sú uvedené v tabuľke 1.

V živote sa často musíme zaoberať rôznymi približnými veličinami. Približné výpočty sú vždy výpočty s určitou chybou.

Koncept absolútnej chyby

Absolútna chyba približnej hodnoty je veľkosť rozdielu medzi presnou hodnotou a približnou hodnotou.
To znamená, že musíte odpočítať približnú hodnotu od presnej hodnoty a vziať výsledné číslo modulo. Absolútna chyba je teda vždy kladná.

Ako vypočítať absolútnu chybu

Poďme si ukázať, ako to môže vyzerať v praxi. Napríklad máme graf určitej hodnoty, nech je to parabola: y=x^2.

Z grafu vieme v niektorých bodoch určiť približnú hodnotu. Napríklad pri x=1,5 je hodnota y približne rovná 2,2 (y≈2,2).

Pomocou vzorca y=x^2 nájdeme presnú hodnotu v bode x=1,5 y= 2,25.

Teraz vypočítajme absolútnu chybu našich meraní. |2,25-2,2|=|0,05| = 0,05.

Absolútna chyba je 0,05. V takýchto prípadoch tiež hovoria, že hodnota je vypočítaná s presnosťou 0,05.

Často sa stáva, že nie je vždy možné nájsť presnú hodnotu, a preto nie je vždy možné nájsť absolútnu chybu.

Ak napríklad pomocou pravítka vypočítame vzdialenosť medzi dvoma bodmi, alebo pomocou uhlomeru hodnotu uhla medzi dvoma priamkami, potom dostaneme približné hodnoty. Presnú hodnotu však nie je možné vypočítať. IN v tomto prípade, môžeme určiť číslo také, že hodnota absolútnej chyby nemôže byť väčšia.

V príklade s pravítkom to bude 0,1 cm, pretože hodnota delenia na pravítku je 1 milimeter. V príklade pre uhlomer 1 stupeň, pretože stupnica uhlomeru je odstupňovaná pri každom stupni. Hodnoty absolútnej chyby v prvom prípade sú teda 0,1 a v druhom prípade 1.

Fyzikálne veličiny sú charakterizované pojmom „presnosť chýb“. Hovorí sa, že meraním môžete prísť k poznaniu. Môžete tak zistiť výšku domu alebo dĺžku ulice, ako mnohé iné.

Úvod

Pochopme význam pojmu „meranie množstva“. Proces merania spočíva v porovnaní s homogénnymi veličinami, ktoré sa berú ako jednotka.

Litre sa používajú na určenie objemu, gramy sa používajú na výpočet hmotnosti. Aby boli výpočty pohodlnejšie, bol zavedený systém SI medzinárodná klasifikácia Jednotky.

Na meranie dĺžky palice - metrov, hmotnosti - kilogramov, objemu - kubických litrov, čas - sekundy, rýchlosť - metre za sekundu.

Pri výpočte fyzikálnych veličín nemusíte ho vždy používať tradičným spôsobom, stačí použiť výpočet pomocou vzorca. Napríklad na výpočet ukazovateľov ako napr priemerná rýchlosť, musíte prejdenú vzdialenosť vydeliť časom stráveným na ceste. Takto sa vypočíta priemerná rýchlosť.

Pri použití jednotiek merania, ktoré sú desať, sto, tisíckrát vyššie ako akceptované jednotky merania, sa nazývajú násobky.

Názov každej predpony zodpovedá číslu násobiteľa:

1. Deca.
2. Hekto.
3. Kilo.
4. Mega.
5. Giga.
6. Tera.

Vo fyzike sa na zápis takýchto faktorov používajú mocniny 10. Napríklad milión sa píše ako 10 6 .

V jednoduchom pravítku má dĺžka mernú jednotku - centimetre. Je to 100-krát menej ako meter. 15 cm pravítko má dĺžku 0,15 m.

Pravítko je najjednoduchší typ meracieho prístroja na meranie dĺžok. Zložitejšie prístroje predstavuje teplomer - až vlhkomer - na určenie vlhkosti, ampérmeter - na meranie úrovne sily, ktorou sa šíri elektrický prúd.

Aké presné budú merania?

Vezmite si pravítko a jednoduchú ceruzku. Našou úlohou je zmerať dĺžku tohto písania.

Najprv musíte určiť, aká je cena divízie uvedená na stupnici meracieho zariadenia. Na dvoch dielikoch, ktoré sú najbližšími ťahmi stupnice, sú napísané čísla, napríklad „1“ a „2“.

Je potrebné spočítať, koľko dielikov je medzi týmito číslami. Ak sa počíta správne, bude to "10". Odčítajme od čísla, ktoré je väčšie, číslo, ktoré bude menšie a vydelíme číslom, ktoré je delením medzi číslicami:

(2-1)/10 = 0,1 (cm)

Takže určíme, že cena, ktorá určuje delenie písacích potrieb je číslo 0,1 cm alebo 1 mm. Je jasne znázornené, ako sa určuje cenový ukazovateľ pre rozdelenie pomocou akéhokoľvek meracieho prístroja.

Pri meraní ceruzky s dĺžkou o niečo menšou ako 10 cm využijeme získané poznatky. Ak by na pravítku neboli jemné delenia, dospelo by sa k záveru, že predmet má dĺžku 10 cm.Táto približná hodnota sa nazýva chyba merania. Označuje mieru nepresnosti, ktorú možno tolerovať pri vykonávaní meraní.

Určenie dĺžkových parametrov ceruzky s viacerými vysoký stupeň presnosť, za vyššiu cenu delením sa dosiahne väčšia presnosť merania, čím sa zabezpečí menšia chyba.

V tomto prípade nie je možné vykonať absolútne presné merania. A ukazovatele by nemali prekročiť veľkosť ceny divízie.

Zistilo sa, že chyba merania je ½ ceny, ktorá je uvedená na stupnici prístroja použitého na určenie rozmerov.

Po meraní ceruzky 9,7 cm určíme jej chybové ukazovatele. Ide o interval 9,65 – 9,85 cm.

Vzorec, ktorý meria túto chybu, je výpočet:

A = a ± D (a)

A - vo forme množstva na meranie procesov;

a je hodnota výsledku merania;

D - označenie absolútnej chyby.

Pri odčítaní alebo pridávaní hodnôt s chybou bude výsledok rovná súčtu indikátory chyby, ktorú tvorí každá jednotlivá hodnota.

Úvod do konceptu

Ak vezmeme do úvahy v závislosti od spôsobu jeho vyjadrenia, môžeme rozlíšiť tieto odrody:

• Absolútna.
• Relatívna.
• Dané.

Absolútna chyba merania je označená veľkým písmenom „Delta“. Tento pojem je definovaný ako rozdiel medzi nameranými a skutočnými hodnotami fyzikálnej veličiny, ktorá sa meria.

Vyjadrením absolútnej chyby merania sú jednotky veličiny, ktorú je potrebné merať.

Pri meraní hmotnosti bude vyjadrená napríklad v kilogramoch. Toto nie je štandard presnosti merania.

Ako vypočítať chybu priamych meraní?

Existujú spôsoby, ako zobraziť chyby merania a vypočítať ich. K tomu je dôležité vedieť určiť fyzikálnu veličinu s požadovanou presnosťou, vedieť, aká je absolútna chyba merania, že ju nikto nikdy nenájde. Dá sa vypočítať iba jeho hraničná hodnota.

Aj keď sa tento výraz používa konvenčne, označuje presne hraničné údaje. Absolútne a relatívne chyby merania sú označené rovnakými písmenami, rozdiel je v ich pravopise.

Pri meraní dĺžky bude absolútna chyba meraná v jednotkách, v ktorých je dĺžka vypočítaná. A relatívna chyba sa vypočíta bez rozmerov, pretože je to pomer absolútnej chyby k výsledku merania. Táto hodnota sa často vyjadruje ako percento alebo zlomok.

Absolútne a relatívne chyby merania majú niekoľko rôzne cesty výpočty v závislosti od toho, aké fyzikálne veličiny.

Koncepcia priameho merania

Absolútne a relatívne chyby priamych meraní závisia od triedy presnosti prístroja a schopnosti určiť chybu váženia.

Predtým, ako si povieme, ako sa počíta chyba, je potrebné objasniť definície. Priame meranie je meranie, pri ktorom sa výsledok priamo odčíta zo stupnice prístroja.

Keď používame teplomer, pravítko, voltmeter alebo ampérmeter, vždy vykonávame priame merania, keďže priamo používame prístroj so stupnicou.

Existujú dva faktory, ktoré ovplyvňujú účinnosť odčítania:

• Chyba prístroja.
• Chyba referenčného systému.

Limit absolútnej chyby pre priame merania sa bude rovnať súčtu chýb, ktoré zariadenie ukazuje, a chyby, ktorá sa vyskytne počas procesu počítania.

D = D (ploché) + D (nula)

Príklad s lekárskym teplomerom

Indikátory chýb sú uvedené na samotnom zariadení. Lekársky teplomer má chybu 0,1 stupňa Celzia. Chyba počítania je polovica hodnoty delenia.

D ots. = C/2

Ak je hodnota delenia 0,1 stupňa, potom pre lekársky teplomer môžete vykonať nasledujúce výpočty:

D = 0,1 °C + 0,1 °C/2 = 0,15 °C

Na zadnej strane stupnice iného teplomera je špecifikácia a je tam uvedené, že pre správne meranie je potrebné ponoriť celú zadnú časť teplomera. nešpecifikované. Zostáva len chyba v počítaní.

Ak je hodnota dielika stupnice tohto teplomera 2 o C, potom je možné merať teplotu s presnosťou 1 o C. Toto sú hranice dovolenej absolútnej chyby merania a výpočtu absolútnej chyby merania.

V elektrických meracích prístrojoch sa používa špeciálny systém na výpočet presnosti.

Presnosť elektrických meracích prístrojov

Na určenie presnosti takýchto zariadení sa používa hodnota nazývaná trieda presnosti. Na jeho označenie sa používa písmeno „Gamma“. Na presné určenie absolútnej a relatívnej chyby merania potrebujete poznať triedu presnosti zariadenia, ktorá je uvedená na stupnici.

Vezmime si napríklad ampérmeter. Jeho stupnica označuje triedu presnosti, ktorá ukazuje číslo 0,5. Je vhodný na meranie na jednosmerný a striedavý prúd a patrí medzi zariadenia elektromagnetického systému.

Ide o pomerne presné zariadenie. Ak ho porovnáte so školským voltmetrom, môžete vidieť, že má triedu presnosti 4. Túto hodnotu musíte poznať pre ďalšie výpočty.

Aplikácia vedomostí

Teda Dc = c (max) X y /100

Tento vzorec použijeme na konkrétne príklady. Použime voltmeter a nájdime chybu v meraní napätia, ktoré poskytuje batéria.

Pripojme batériu priamo k voltmetru, najprv skontrolujte, či je ručička na nule. Pri pripájaní prístroja sa ihla odchýlila o 4,2 dielika. Tento stav možno charakterizovať nasledovne:

1. Je vidieť, že maximálna hodnota U pre túto položku je 6.
2. Trieda presnosti -(γ) = 4.
3. U(o) = 4,2 V.
4. C = 0,2 V

Pomocou týchto údajov vzorca sa absolútna a relatívna chyba merania vypočíta takto:

DU = DU (napr.) + C/2

DU (napr.) = U (max) X y /100

D U (ex.) = 6 V X 4/100 = 0,24 V

Toto je chyba zariadenia.

Výpočet absolútnej chyby merania sa v tomto prípade vykoná takto:

D U = 0,24 V + 0,1 V = 0,34 V

Pomocou vyššie uvedeného vzorca môžete ľahko zistiť, ako vypočítať absolútnu chybu merania.

Existuje pravidlo pre chyby zaokrúhľovania. Umožňuje vám nájsť priemer medzi absolútnou a relatívnou chybou.

Naučte sa určiť chybu váženia

Toto je jeden príklad priamych meraní. Váženie má osobitné miesto. Pákové váhy totiž nemajú stupnicu. Poďme sa naučiť, ako určiť chybu takéhoto procesu. Presnosť merania hmotnosti je ovplyvnená presnosťou závaží a dokonalosťou samotných váh.

Používame pákové váhy so sadou závaží, ktoré je potrebné umiestniť na pravú misku váhy. Na váženie si vezmite pravítko.

Pred začatím experimentu musíte vyvážiť váhy. Položte pravítko na ľavú misku.

Hmotnosť sa bude rovnať súčtu inštalovaných závaží. Určme chybu pri meraní tejto veličiny.

D m = D m (váhy) + D m (váhy)

Chyba merania hmotnosti pozostáva z dvoch pojmov spojených s váhami a závažiami. Na zistenie každej z týchto hodnôt poskytujú továrne vyrábajúce váhy a závažia produkty so špeciálnymi dokumentmi, ktoré umožňujú vypočítať presnosť.

Pomocou tabuliek

Použime štandardnú tabuľku. Chyba váhy závisí od toho, aká hmota je na váhu umiestnená. Čím väčšia je, tým väčšia je chyba.

Aj keď dáte veľmi ľahké telo, dôjde k chybe. Je to spôsobené procesom trenia, ktorý sa vyskytuje v osiach.

Druhá tabuľka je pre sadu závaží. Znamená to, že každý z nich má svoju vlastnú hromadnú chybu. 10 gramov má chybu 1 mg, rovnako ako 20 gramov. Vypočítajme súčet chýb každej z týchto váh prevzatých z tabuľky.

Hmotnosť a hmotnostnú chybu je vhodné zapísať do dvoch riadkov, ktoré sú umiestnené pod sebou. Čím menšie sú závažia, tým je meranie presnejšie.

Výsledky

V priebehu skúmaného materiálu sa zistilo, že nie je možné určiť absolútnu chybu. Môžete nastaviť iba jeho hraničné ukazovatele. Na tento účel použite vyššie opísané vzorce vo výpočtoch. Tento materiál je navrhnutý na štúdium v ​​škole pre žiakov 8. – 9. ročníka. Na základe získaných vedomostí môžete riešiť problémy na určenie absolútnych a relatívnych chýb.

Absolútna chyba výpočtov sa zistí podľa vzorca:

Znamienko modulu ukazuje, že je nám jedno, ktorá hodnota je väčšia a ktorá menšia. dôležité, ako ďaleko približný výsledok sa v jednom alebo druhom smere odchýlil od presnej hodnoty.

Relatívna chyba výpočtov sa zistí podľa vzorca:
, alebo to isté:

Ukazuje sa relatívna chyba o aké percento približný výsledok sa líšil od presnej hodnoty. Existuje verzia vzorca bez násobenia 100%, ale v praxi takmer vždy vidím vyššie uvedenú verziu s percentami.

Po krátkom odkaze sa vráťme k nášmu problému, v ktorom sme vypočítali približnú hodnotu funkcie pomocou diferenciálu.

Vypočítajme presnú hodnotu funkcie pomocou mikrokalkulačky:
, prísne vzaté, hodnota je stále približná, ale budeme ju považovať za presnú. Takéto problémy sa vyskytujú.

Vypočítajme absolútnu chybu:

Vypočítajme relatívnu chybu:
, boli získané tisíciny percenta, takže diferenciál poskytol len vynikajúcu aproximáciu.

Odpoveď: , absolútna chyba výpočtu, relatívna chyba výpočtu

Nasledujúci príklad nezávislého riešenia:

Príklad 4

v bode . Vypočítajte presnejšiu hodnotu funkcie v danom bode, odhadnite absolútnu a relatívnu chybu výpočtov.

Približná ukážka konečného návrhu a odpoveď na konci hodiny.

Mnoho ľudí si všimlo, že korene sa objavujú vo všetkých uvažovaných príkladoch. Nie je to náhodné; vo väčšine prípadov uvažovaný problém skutočne ponúka funkcie s koreňmi.

Ale pre trpiacich čitateľov som vykopal malý príklad s arcsínom:

Príklad 5

Vypočítajte približne hodnotu funkcie pomocou diferenciálu v bode

Tento krátky, ale informatívny príklad je určený aj na to, aby ste si ho vyriešili sami. A trochu som si oddýchol, aby som s novou silou mohol zvážiť špeciálnu úlohu:

Príklad 6

Vypočítajte približne pomocou diferenciálu, výsledok zaokrúhlite na dve desatinné miesta.

Riešenie:Čo je nové v úlohe? Podmienka vyžaduje zaokrúhlenie výsledku na dve desatinné miesta. Ale o to nejde; myslím si, že problém so zaokrúhľovaním v škole pre teba nie je ťažký. Faktom je, že dostaneme tangens s argumentom, ktorý je vyjadrený v stupňoch. Čo by ste mali urobiť, keď vás požiadajú o riešenie goniometrickej funkcie so stupňami? Napríklad , atď.

Algoritmus riešenia je v podstate rovnaký, to znamená, že je potrebné, ako v predchádzajúcich príkladoch, použiť vzorec

Napíšme zrejmú funkciu

Hodnota musí byť uvedená vo formulári . Poskytne serióznu pomoc tabuľka hodnôt goniometrických funkcií . Mimochodom, pre tých, ktorí si to nevytlačili, odporúčam tak urobiť, pretože tam budete musieť hľadať počas celého štúdia vyššej matematiky.

Pri analýze tabuľky si všimneme „dobrú“ hodnotu dotyčnice, ktorá sa blíži k 47 stupňom:

Teda:

Po predbežnej analýze stupne musia byť prevedené na radiány. Áno, a iba takto!

V tomto príklade priamo od trigonometrická tabuľka môžeš zistiť čo. Použitie vzorca na prevod stupňov na radiány: (vzorce nájdete v tej istej tabuľke).

Nasleduje formulka:

Teda: (hodnotu používame na výpočty). Výsledok, ako to vyžaduje podmienka, sa zaokrúhli na dve desatinné miesta.

odpoveď:

Príklad 7

Vypočítajte približne pomocou diferenciálu, výsledok zaokrúhlite na tri desatinné miesta.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Ako vidíte, nie je nič zložité, prevádzame stupne na radiány a držíme sa obvyklého algoritmu riešenia.

Približné výpočty využívajúce celkový diferenciál funkcie dvoch premenných

Všetko bude veľmi, veľmi podobné, takže ak ste na túto stránku prišli špeciálne kvôli tejto úlohe, najprv odporúčam pozrieť si aspoň pár príkladov z predchádzajúceho odseku.

Ak chcete študovať odsek, musíte ho vedieť nájsť parciálne deriváty druhého rádu , kde by sme bez nich boli? Vo vyššie uvedenej lekcii som označil funkciu dvoch premenných pomocou písmena . Vo vzťahu k uvažovanej úlohe je vhodnejšie použiť ekvivalentný zápis.

Podobne ako v prípade funkcie jednej premennej môže byť podmienka problému formulovaná rôznymi spôsobmi a pokúsim sa zvážiť všetky formulácie, s ktorými sa stretnem.

Príklad 8

Riešenie: Bez ohľadu na to, ako je podmienka napísaná, v samotnom riešení na označenie funkcie, opakujem, je lepšie použiť nie písmeno „zet“, ale .

A tu je pracovný vzorec:

To, čo máme pred sebou, je vlastne staršia sestra vzorca z predchádzajúceho odseku. Premenná sa len zvýšila. Čo môžem povedať, sám seba Algoritmus riešenia bude v podstate rovnaký!

Podľa podmienky je potrebné nájsť približnú hodnotu funkcie v bode.

Predstavme si číslo 3,04 ako . Žemľa si sama pýta zjesť:
,

Predstavme si číslo 3,95 ako . Na rade je druhá polovica Koloboku:
,

A nepozerajte sa na všetky triky líšky, existuje Kolobok - musíte ho jesť.

Vypočítajme hodnotu funkcie v bode:

Diferenciál funkcie v bode nájdeme pomocou vzorca:

Zo vzorca vyplýva, že musíme nájsť parciálne deriváty prvého poriadku a vypočítajte ich hodnoty v bode .

Vypočítajme parciálne derivácie prvého rádu v bode:

Celkový rozdiel v bode:

Podľa vzorca teda približná hodnota funkcie v bode:

Vypočítajme presnú hodnotu funkcie v bode:

Táto hodnota je úplne presná.

Chyby sa počítajú pomocou štandardných vzorcov, ktoré už boli diskutované v tomto článku.

Absolútna chyba:

Relatívna chyba:

Odpoveď: , absolútna chyba: , relatívna chyba:

Príklad 9

Vypočítajte približnú hodnotu funkcie v bode pomocou totálneho diferenciálu odhadnite absolútnu a relatívnu chybu.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Kto sa podrobnejšie zaoberá týmto príkladom, všimne si, že chyby vo výpočte sa ukázali byť veľmi, veľmi nápadné. Toto sa stalo ďalší dôvod: v navrhovanom probléme sú prírastky argumentov dosť veľké: .

Všeobecný vzorec je takýto a - čím väčšie sú tieto prírastky v absolútnej hodnote, tým nižšia je presnosť výpočtov. Takže napríklad pre podobný bod prírastky budú malé: a presnosť približných výpočtov bude veľmi vysoká.

Táto vlastnosť platí aj pre prípad funkcie jednej premennej (prvá časť lekcie).

Príklad 10

Riešenie: Vypočítajme tento výraz približne pomocou celkového diferenciálu funkcie dvoch premenných:

Rozdiel od príkladov 8-9 je v tom, že najprv musíme skonštruovať funkciu dvoch premenných: . Myslím, že každý intuitívne chápe, ako sa funkcia skladá.

Hodnota 4,9973 sa blíži k „päťke“, preto: , .
Hodnota 0,9919 je blízka „jedna“, preto predpokladáme: , .

Vypočítajme hodnotu funkcie v bode:

Rozdiel nájdeme v bode pomocou vzorca:

Aby sme to dosiahli, vypočítame parciálne derivácie prvého rádu v bode.

Deriváty tu nie sú najjednoduchšie a mali by ste byť opatrní:

;

.

Celkový rozdiel v bode:

Približná hodnota tohto výrazu je teda:

Vypočítajme presnejšiu hodnotu pomocou mikrokalkulačky: 2,998899527

Poďme nájsť relatívnu chybu výpočtu:

odpoveď: ,

Len na ilustráciu vyššie uvedeného, ​​v uvažovanom probléme sú prírastky argumentov veľmi malé a chyba sa ukázala byť fantasticky malá.

Príklad 11

Pomocou úplného diferenciálu funkcie dvoch premenných vypočítajte približne hodnotu tohto výrazu. Vypočítajte rovnaký výraz pomocou mikrokalkulačky. Odhadnite relatívnu chybu výpočtu v percentách.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Približná ukážka finálneho návrhu na konci hodiny.

Ako už bolo uvedené, najsúkromnejší hosť v tento typúlohy – to sú nejaké korene. Ale z času na čas existujú aj iné funkcie. A na záver jednoduchý príklad na oddych:

Príklad 12

Pomocou celkového diferenciálu funkcie dvoch premenných vypočítajte približne hodnotu funkcie if

Riešenie je bližšie k spodnej časti stránky. Ešte raz pozor na znenie vyučovacích úloh, v rôznych príkladoch v praxi môže byť znenie odlišné, ale to zásadne nemení podstatu a algoritmus riešenia.

Úprimne povedané, bol som trochu unavený, pretože materiál bol trochu nudný. Nebolo pedagogické povedať to na začiatku článku, ale teraz je to už možné =) Problémy vo výpočtovej matematike zvyčajne nie sú príliš zložité, nie príliš zaujímavé, najdôležitejšie je snáď neurobiť chybu v bežných výpočtoch.

Nech sa kľúče vašej kalkulačky nevymažú!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2:

Riešenie: Používame vzorec:
V tomto prípade: , ,

Takto:

odpoveď:

Príklad 4:

Riešenie: Používame vzorec:
V tomto prípade: , ,

Takto:

Vypočítajme presnejšiu hodnotu funkcie pomocou mikrokalkulačky:

Absolútna chyba:

Relatívna chyba:

odpoveď: , absolútna chyba výpočtu, relatívna chyba výpočtu

Príklad 5:

Riešenie: Používame vzorec:

V tomto prípade: , ,

Teda:

odpoveď:

Príklad 7:

Riešenie: Používame vzorec:
V tomto prípade: , ,

Exaktné prírodné vedy sú založené na meraniach. Pri meraní sú hodnoty veličín vyjadrené vo forme čísel, ktoré udávajú, koľkokrát je meraná veličina väčšia alebo menšia ako iná veličina, ktorej hodnota sa berie ako jednotka. Číselné hodnoty rôznych veličín získaných ako výsledok meraní môžu na sebe závisieť. Vzťah medzi takýmito veličinami je vyjadrený vo forme vzorcov, ktoré ukazujú, ako možno číselné hodnoty niektorých veličín nájsť od číselných hodnôt iných.

Počas meraní sa nevyhnutne vyskytujú chyby. Je potrebné ovládať metódy používané pri spracovaní výsledkov získaných z meraní. To vám umožní naučiť sa, ako zo súboru meraní získať výsledky, ktoré sú najbližšie k pravde, včas si všimnúť nezrovnalosti a chyby, inteligentne organizovať samotné merania a správne posúdiť presnosť získaných hodnôt.

Ak meranie pozostáva z porovnávania danej veličiny s inou, homogénnou veličinou branou ako jednotka, potom sa meranie v tomto prípade nazýva priame.

Priame (priame) merania- ide o merania, pri ktorých číselnú hodnotu meranej veličiny získame buď priamym porovnaním s mierou (etalónom), alebo pomocou prístrojov ciachovaných na jednotky meranej veličiny.

Nie vždy sa však takéto porovnanie robí priamo. Vo väčšine prípadov sa nemeria veličina, ktorá nás zaujíma, ale iné veličiny s ňou spojené určitými vzťahmi a vzormi. V tomto prípade je na meranie požadovanej veličiny potrebné najskôr zmerať niekoľko ďalších veličín, ktorých hodnota výpočtom určuje hodnotu požadovanej veličiny. Toto meranie sa nazýva nepriame.

Nepriame merania pozostávajú z priamych meraní jednej alebo viacerých veličín spojených s veličinou, ktorá sa určuje kvantitatívnou závislosťou, a výpočtov veličiny, ktorá sa určuje z týchto údajov.

Merania vždy zahŕňajú meracie prístroje, ktoré dávajú jednu hodnotu do súladu s inou, s ňou spojenou, dostupnou kvantitatívnemu hodnoteniu pomocou našich zmyslov. Napríklad sile prúdu zodpovedá uhol vychýlenia šípky na stupnici. V tomto prípade musia byť splnené dve hlavné podmienky procesu merania: jednoznačnosť a reprodukovateľnosť výsledku. tieto dve podmienky sú vždy splnené len približne. Preto Proces merania obsahuje spolu s nájdením požadovanej hodnoty aj posúdenie nepresnosti merania.

Moderný inžinier musí vedieť vyhodnotiť chybu výsledkov merania s prihliadnutím na požadovanú spoľahlivosť. Preto veľká pozornosť sa venuje spracovaniu výsledkov meraní. Oboznámenie sa so základnými metódami výpočtu chýb je jednou z hlavných úloh laboratórnej dielne.

Prečo sa vyskytujú chyby?

Existuje mnoho dôvodov pre chyby merania. Uveďme si niektoré z nich.

· procesy prebiehajúce počas interakcie zariadenia s meraným objektom nevyhnutne menia nameranú hodnotu. Napríklad meranie rozmerov dielu pomocou posuvného meradla vedie k stlačeniu dielu, to znamená k zmene jeho rozmerov. Niekedy môže byť vplyv zariadenia na nameranú hodnotu relatívne malý, ale niekedy je porovnateľný alebo dokonca presahuje samotnú nameranú hodnotu.

· Každé zariadenie má obmedzené možnosti pre jednoznačné určenie nameranej hodnoty z dôvodu jeho konštrukčných nedokonalostí. Napríklad trenie medzi rôzne časti v bloku ukazovateľa ampérmetra vedie k tomu, že zmena prúdu o určitú malú, ale konečnú hodnotu nespôsobí zmenu uhla vychýlenia ukazovateľa.

· Vždy sa zúčastňuje všetkých procesov interakcie medzi zariadením a meraným objektom. vonkajšie prostredie, ktorého parametre sa môžu meniť a často nepredvídateľným spôsobom. To obmedzuje reprodukovateľnosť podmienok merania a tým aj výsledku merania.

· Pri vizuálnom snímaní údajov z prístroja môže dôjsť k nejednoznačnosti pri čítaní údajov prístroja postihnutí naše oko.

· Väčšina veličín sa určuje nepriamo na základe našich vedomostí o vzťahu požadovanej veličiny s inými veličinami priamo meranými prístrojmi. Je zrejmé, že chyba nepriameho merania závisí od chýb všetkých priamych meraní. Okrem toho k chybám nepriameho merania prispievajú aj obmedzenia našich vedomostí o meranom objekte, zjednodušenie matematického popisu vzťahov medzi veličinami a ignorovanie vplyvu tých veličín, ktorých vplyv sa počas procesu merania považuje za nevýznamný.

Klasifikácia chýb

Chybová hodnota merania určitej veličiny sa zvyčajne vyznačujú:

1. Absolútna chyba - rozdiel medzi experimentálne zistenou (nameranou) a skutočnou hodnotou určitej veličiny

. (1)

Absolútna chyba ukazuje, ako veľmi sa mýlime pri meraní určitej hodnoty X.

2. Relatívna chyba rovná pomeru absolútnej chyby k skutočnej hodnote nameranej hodnoty X

Relatívna chyba ukazuje, o aký zlomok skutočnej hodnoty X sa mýlime.

Kvalita výsledky meraní nejakej veličiny sú charakterizované relatívnou chybou. Hodnota môže byť vyjadrená v percentách.

Zo vzorcov (1) a (2) vyplýva, že na nájdenie absolútnej a relatívnej chyby merania potrebujeme poznať nielen nameranú, ale aj skutočnú hodnotu veličiny, ktorá nás zaujíma. Ak je však známa skutočná hodnota, nie je potrebné vykonávať merania. Účelom meraní je vždy zistiť neznámu hodnotu určitej veličiny a nájsť ak nie jej skutočnú hodnotu, tak aspoň hodnotu, ktorá sa od nej dosť mierne líši. Preto vzorce (1) a (2), ktoré určujú veľkosť chýb, nie sú v praxi vhodné. Pri praktických meraniach sa chyby nepočítajú, ale skôr odhadujú. Hodnotenia berú do úvahy experimentálne podmienky, presnosť metodiky, kvalitu prístrojov a množstvo ďalších faktorov. Naša úloha: naučiť sa konštruovať experimentálnu metodiku a správne využívať získané údaje zo skúseností s cieľom nájsť hodnoty nameraných veličín, ktoré sa dostatočne približujú skutočným hodnotám, a primerane vyhodnotiť chyby merania.

Keď už hovoríme o chybách merania, mali by sme v prvom rade spomenúť hrubé chyby (chyby) vznikajúce v dôsledku nedbanlivosti experimentátora alebo poruchy zariadenia. Treba sa vyvarovať vážnych chýb. Ak sa zistí, že k nim došlo, príslušné merania sa musia vyradiť.

Experimentálne chyby, ktoré nie sú spojené s hrubými chybami, sa delia na náhodné a systematické.

snáhodné chyby. Opakovaním rovnakých meraní si mnohokrát môžete všimnúť, že ich výsledky nie sú často úplne rovnaké, ale „tancujú“ okolo nejakého priemeru (obr. 1). Chyby, ktoré menia veľkosť a znamienko od experimentu k experimentu, sa nazývajú náhodné. Náhodné chyby sú nedobrovoľne zavedené experimentátorom v dôsledku nedokonalosti zmyslových orgánov, náhodné vonkajšie faktory atď. Ak je chyba každého jednotlivého merania zásadne nepredvídateľná, potom náhodne zmenia hodnotu meranej veličiny. Tieto chyby je možné posúdiť iba pomocou štatistického spracovania viacerých meraní požadovanej veličiny.

Systematický chyby môže súvisieť s chybami prístroja (nesprávna stupnica, nerovnomerne natiahnutá pružina, nerovnomerné stúpanie mikrometrových skrutiek, nerovnaké vyvažovacie ramená atď.) a so samotným experimentom. Počas experimentu si zachovávajú svoju veľkosť (a znamienko!). V dôsledku systematických chýb experimentálne výsledky rozptýlené v dôsledku náhodných chýb nekolísajú okolo skutočnej hodnoty, ale okolo určitej skreslenej hodnoty (obr. 2). chybu každého merania požadovanej veličiny je možné predvídať vopred pri znalosti charakteristík zariadenia.

Výpočet chýb priamych meraní

Systematické chyby. Systematické chyby prirodzene menia hodnoty meranej veličiny. Chyby vnesené do meraní prístrojmi sa dajú najľahšie posúdiť, ak sú spojené s konštrukčnými vlastnosťami samotných prístrojov. Tieto chyby sú uvedené v pasoch pre zariadenia. Chyby niektorých zariadení možno posúdiť bez odkazu na údajový list. U mnohých elektrických meracích prístrojov je ich trieda presnosti uvedená priamo na stupnici.

Trieda presnosti prístroja- ide o pomer absolútnej chyby prístroja k maximálnej hodnote meranej veličiny, ktorú je možné pomocou tohto prístroja určiť (ide o systematickú relatívnu chybu tohto prístroja, vyjadrenú v percentách z hodnotenia stupnice).

.

Potom je absolútna chyba takéhoto zariadenia určená vzťahom:

.

Pre elektrické meracie prístroje bolo zavedených 8 tried presnosti: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.

Čím je nameraná hodnota bližšie k nominálnej hodnote, tým presnejší bude výsledok merania. Maximálna presnosť (t.j. najmenšia relatívna chyba), ktorú môže dané zariadenie poskytnúť, sa rovná triede presnosti. Túto okolnosť je potrebné vziať do úvahy pri použití viacstupňových nástrojov. Stupnica musí byť zvolená tak, aby sa nameraná hodnota pri zotrvaní na stupnici čo najviac približovala nominálnej hodnote.

Ak nie je určená trieda presnosti pre zariadenie, potom je potrebné postupovať nasledujúce pravidlá:

· Absolútna chyba prístrojov s nóniom sa rovná presnosti nónia.

· Absolútna chyba prístrojov s pevným rozstupom šípok sa rovná hodnote delenia.

· Absolútna chyba digitálnych zariadení sa rovná jednej minimálnej číslici.

· Pre všetky ostatné nástroje sa predpokladá, že absolútna chyba sa rovná polovici hodnoty delenia.

Náhodné chyby. Tieto chyby majú štatistický charakter a sú opísané teóriou pravdepodobnosti. Zistilo sa, že pri veľmi veľké množstvá merania, pravdepodobnosť získania jedného alebo druhého výsledku v každom jednotlivom meraní možno určiť pomocou Gaussovho normálneho rozdelenia. Pri malom počte meraní sa matematický popis pravdepodobnosti získania jedného alebo druhého výsledku merania nazýva Studentovo rozdelenie (viac sa o tom dočítate v príručke „Chyby merania fyzikálnych veličín“).

Ako vyhodnotiť skutočnú hodnotu meranej veličiny?

Predpokladajme, že pri meraní určitej hodnoty sme dostali N výsledkov: . Aritmetický priemer série meraní je bližšie k skutočnej hodnote meranej veličiny ako väčšina individuálnych meraní. Na získanie výsledku merania určitej hodnoty sa používa nasledujúci algoritmus.

1). Vypočítané priemer séria N priamych meraní:

2). Vypočítané absolútna náhodná chyba každého merania je rozdiel medzi aritmetickým priemerom série N priamych meraní a týmto meraním:

.

3). Vypočítané stredná štvorcová absolútna chyba:

.

4). Vypočítané absolútna náhodná chyba. Pri malom počte meraní možno absolútnu náhodnú chybu vypočítať pomocou strednej štvorcovej chyby a určitého koeficientu nazývaného Studentov koeficient:

,

Študentov koeficient závisí od počtu meraní N a koeficientu spoľahlivosti (Tabuľka 1 ukazuje závislosť Studentovho koeficientu od počtu meraní pri pevnej hodnote koeficientu spoľahlivosti).

Faktor spoľahlivosti je pravdepodobnosť, s ktorou skutočná hodnota nameranej hodnoty spadá do intervalu spoľahlivosti.

Interval spoľahlivosti je číselný interval, do ktorého s určitou pravdepodobnosťou spadá skutočná hodnota meranej veličiny.

Študentov koeficient je teda číslo, ktorým treba vynásobiť strednú štvorcovú chybu, aby sa zabezpečila špecifikovaná spoľahlivosť výsledku pre daný počet meraní.

Čím väčšia je potrebná spoľahlivosť dané číslo merania, tým väčší je Studentov koeficient. Na druhej strane, čím väčší počet meraní, tým nižší je Studentov koeficient pre danú spoľahlivosť. V laboratórnej práci našej dielne budeme predpokladať, že spoľahlivosť je daná a rovná sa 0,9. Číselné hodnotyŠtudentove koeficienty pre túto spoľahlivosť pre rôzne počty meraní sú uvedené v tabuľke 1.

stôl 1

Počet meraní N

Študentský koeficient

5). Vypočítané úplná absolútna chyba. V každom meraní sa vyskytujú náhodné aj systematické chyby. Výpočet celkovej (celkovej) absolútnej chyby merania nie je jednoduchá úloha, keďže tieto chyby sú rôzneho charakteru.

Pre technické merania má zmysel zhrnúť systematické a náhodné absolútne chyby

.

Pre jednoduchosť výpočtov je zvykom odhadovať celkovú absolútnu chybu ako súčet absolútnych náhodných a absolútnych systematických (inštrumentálnych) chýb, ak sú chyby rovnakého rádu, a jednu z chýb zanedbať, ak je viac ako rádovo (10-krát) menej ako druhý.

6). Chyba a výsledok sú zaokrúhlené. Keďže výsledok merania je prezentovaný ako interval hodnôt, ktorých hodnota je určená celkovou absolútnou chybou, je dôležité správne zaokrúhlenie výsledku a chyby.

Zaokrúhľovanie začína absolútnou chybou!!! Počet platných číslic, ktoré zostávajú v chybovej hodnote, vo všeobecnosti závisí od koeficientu spoľahlivosti a počtu meraní. Avšak ani pri veľmi presných meraniach (napríklad astronomických), pri ktorých je dôležitá presná hodnota chyby, nenechávajte viac ako dve platné číslice. Väčší počet čísel nedáva zmysel, keďže samotná definícia chyby má svoju chybu. Naša prax má relatívne malý koeficient spoľahlivosti a malý počet meraní. Preto sa pri zaokrúhľovaní (s prebytkom) celková absolútna chyba ponecháva na jedno platné číslo.

Číslica platnej číslice absolútnej chyby určuje číslicu prvej pochybnej číslice vo výslednej hodnote. V dôsledku toho musí byť hodnota samotného výsledku zaokrúhlená (s korekciou) na tú platnú číslicu, ktorej číslica sa zhoduje s číslicou platnej číslice chyby. Formulované pravidlo by sa malo použiť aj v prípadoch, keď sú niektoré čísla nuly.

Ak je výsledok získaný pri meraní telesnej hmotnosti , potom je potrebné na koniec čísla 0,900 napísať nuly. Záznam by znamenal, že o ďalších významných číslach nebolo nič známe, zatiaľ čo merania ukázali, že boli nulové.

7). Vypočítané relatívna chyba.

Pri zaokrúhľovaní relatívnej chyby stačí ponechať dve platné číslice.

R výsledok série meraní určitej fyzikálnej veličiny je prezentovaný vo forme intervalu hodnôt, čo naznačuje pravdepodobnosť, že skutočná hodnota spadá do tohto intervalu, to znamená, že výsledok musí byť zapísaný vo forme:

Tu je celková absolútna chyba zaokrúhlená na prvú platnú číslicu a je to priemerná hodnota nameranej hodnoty, zaokrúhlená s prihliadnutím na už zaokrúhlenú chybu. Pri zaznamenávaní výsledku merania musíte uviesť jednotku merania hodnoty.

Pozrime sa na niekoľko príkladov:

1. Predpokladajme, že pri meraní dĺžky úsečky sme dostali takýto výsledok: cm a cm Ako správne zapísať výsledok merania dĺžky úsečky? Najprv zaokrúhlime absolútnu chybu s prebytkom, pričom ponecháme jednu platnú číslicu, pozri Významná číslica chyby na stotinovom mieste. Potom s opravou zaokrúhlime priemernú hodnotu na najbližšiu stotinu, t.j. na platnú číslicu, ktorej číslica sa zhoduje s číslicou platnej číslice chyby. pozri Výpočet relatívnej chyby

.

cm; ; .

2. Predpokladajme, že pri výpočte odporu vodiča sme dostali nasledujúci výsledok: A . Najprv zaokrúhlime absolútnu chybu a ponecháme jedno významné číslo. Potom zaokrúhlime priemer na najbližšie celé číslo. Vypočítajte relatívnu chybu

.

Výsledok merania zapíšeme takto:

; ; .

3. Predpokladajme, že pri výpočte hmotnosti nákladu sme dostali nasledujúci výsledok: kg a kg. Najprv zaokrúhlime absolútnu chybu a ponecháme jedno významné číslo kg. Potom priemer zaokrúhlime na desiatky kg. Vypočítajte relatívnu chybu

.

.

Otázky a úlohy z teórie chýb

1. Čo znamená meranie fyzikálnej veličiny? Uveďte príklady.

2. Prečo dochádza k chybám merania?

3. Čo je absolútna chyba?

4. Čo je to relatívna chyba?

5. Aká chyba charakterizuje kvalitu merania? Uveďte príklady.

6. Čo je interval spoľahlivosti?

7. Definujte pojem „systematická chyba“.

8. Aké sú príčiny systematických chýb?

9. Aká je trieda presnosti meracieho zariadenia?

10. Ako sa určujú absolútne chyby rôznych fyzikálnych prístrojov?

11. Aké chyby sa nazývajú náhodné a ako vznikajú?

12. Popíšte postup výpočtu strednej štvorcovej chyby.

13. Popíšte postup výpočtu absolútnej náhodnej chyby priamych meraní.

14. Čo je to „faktor spoľahlivosti“?

15. Od akých parametrov a ako závisí Študentov koeficient?

16. Ako sa vypočíta celková absolútna chyba priamych meraní?

17. Napíšte vzorce na určenie relatívnych a absolútnych chýb nepriamych meraní.

18. Formulujte pravidlá pre zaokrúhľovanie výsledku s chybou.

19. Nájdite relatívnu chybu merania dĺžky steny pomocou zvinovacieho metra s hodnotou delenia 0,5 cm. Nameraná hodnota bola 4,66 m.

20. Pri meraní dĺžky strán A a B obdĺžnika sa urobili absolútne chyby ΔA a ΔB. Napíšte vzorec na výpočet absolútnej chyby ΔS získanej pri určovaní plochy z výsledkov týchto meraní.

21. Meranie dĺžky hrany kocky L malo chybu ΔL. Napíšte vzorec na určenie relatívnej chyby objemu kocky na základe výsledkov týchto meraní.

22. Teleso sa pohybovalo rovnomerne zrýchlene zo stavu pokoja. Na výpočet zrýchlenia sme zmerali dráhu S, ktorú teleso prešlo a čas jeho pohybu t. Absolútne chyby týchto priamych meraní boli ΔS a Δt. Z týchto údajov odvodzujte vzorec na výpočet relatívnej chyby zrýchlenia.

23. Pri výpočte výkonu vykurovacieho zariadenia podľa nameraných údajov boli získané hodnoty Pav = 2361,7893735 W a ΔР = 35,4822 W. Zaznamenajte výsledok ako interval spoľahlivosti, podľa potreby zaokrúhlite.

24. Pri výpočte hodnoty odporu na základe nameraných údajov boli získané nasledujúce hodnoty: Rav = 123,7893735 Ohm, AR = 0,348 Ohm. Zaznamenajte výsledok ako interval spoľahlivosti, podľa potreby zaokrúhlite.

25. Pri výpočte koeficientu trenia na základe nameraných údajov boli získané hodnoty μav = 0,7823735 a Δμ = 0,03348. Zaznamenajte výsledok ako interval spoľahlivosti, podľa potreby zaokrúhlite.

26. Prúd 16,6 A bol stanovený pomocou prístroja s triedou presnosti 1,5 a stupnicou 50 A. Nájdite absolútne prístrojové a relatívne chyby tohto merania.

27. V sérii 5 meraní periódy kmitania kyvadla boli získané tieto hodnoty: 2,12 s, 2,10 s, 2,11 s, 2,14 s, 2,13 s. Nájdite absolútnu náhodnú chybu pri určovaní obdobia z týchto údajov.

28. Pokus s pádom bremena z určitej výšky sa opakoval 6-krát. V tomto prípade boli získané tieto hodnoty času pádu záťaže: 38,0 s, 37,6 s, 37,9 s, 37,4 s, 37,5 s, 37,7 s. Nájdite relatívnu chybu pri určovaní času pádu.

Hodnota delenia je nameraná hodnota, ktorá spôsobí, že sa ukazovateľ odchýli o jeden dielik. Hodnota dielika sa určí ako pomer hornej hranice merania zariadenia k počtu dielikov stupnice.