Príklady aritmetického postupu s riešením 9. Záznamy označené "Aritmetický postup 9. stupňa". III. Učenie sa nového materiálu

Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si účet Google (účet) a prihláste sa doň: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Náhľad:

Téma

Aritmetický postup

ÚČEL:

• naučiť sa rozpoznávať aritmetický postup pomocou jeho definície a znamienka;
• naučiť riešiť problémy pomocou definície, vlastnosti, vzorca všeobecného termínu postupu.

CIELE LEKCIE:

uviesť definíciu aritmetickej progresie, dokázať znamienko aritmetickej progresie a naučiť ich používať pri riešení problémov.

VYUČOVACIE METÓDY:

aktualizácia vedomostí žiakov, samostatná práca, samostatná práca, vytváranie problémovej situácie.

MODERNÉ TECHNOLÓGIE:

IKT, problémové učenie, diferencované učenie, technológie šetriace zdravie.

PLÁN LEKCIE

	Etapy lekcie.	Čas realizácie.
	Organizácia času.	2 minúty
	Opakovanie minulosti	5 minút
	Učenie sa nového materiálu	15 minút
	Telesná výchova	3 minúty
	Plnenie úloh na danú tému	15 minút
	Domáca úloha	2 minúty
	Zhrnutie	3 minúty

POČAS TRIED:

1. V minulej lekcii sme sa zoznámili s pojmom „Sekvencia“.

Dnes budeme pokračovať v štúdiu číselných postupností, niektorým z nich dáme definíciu, zoznámime sa s ich vlastnosťami a vlastnosťami.

1. Odpovedzte na otázky: Čo je to postupnosť?

Aké sekvencie existujú?

Akými spôsobmi môžete nastaviť poradie?

Čo je to číselná postupnosť?

Aké metódy určenia číselnej postupnosti poznáte? Aký vzorec sa nazýva rekurentný?

1. Uvádzajú sa číselné postupnosti:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

Nájdite vzor v každej sekvencii a pomenujte ďalšie tri výrazy v každom z nich.

1. a n = a n-1 +1
2. a n = a n-1 + 3
3. a n = a n -1 + (-2)
4. a n = a n-1 + 0,5

Pomenujte opakujúci sa vzorec pre každú sekvenciu.

Snímka 1

Číselná postupnosť, ktorej každý člen počnúc druhým sa rovná predchádzajúcemu členu pripočítanému k rovnakému číslu, sa nazýva aritmetická postupnosť.

Číslo d sa nazýva rozdiel aritmetickej progresie.

Aritmetická progresia je číselná postupnosť, preto môže byť vzostupná, klesajúca, konštantná. Uveďte príklady takýchto sekvencií, pomenujte rozdiel každého postupu, urobte záver.

Odvoďme vzorec pre všeobecný člen aritmetickej postupnosti.

Na tabuli: nech a 1 je prvý člen progresie, d je potom jeho rozdiel

a2 = a1 + d

a3 = (a1 + d) + d = a1 + 2d

a4 = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d

a5 = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d

a n = a 1 + d (n-1) je vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti.

Vyriešte problém: V aritmetickej postupnosti je prvý člen 5 a rozdiel je 4.

Nájdite 22 členov tohto postupu.

Žiak rozhoduje na tabuli: a n = a 1 + d (n-1)

A22 = a 1 + 21 d = 5 + 21 * 4 = 89

Telesná výchova.

Vstali sme.

Ruky na opasku. Naklonenie doľava, doprava (2 krát);

Naklonenie dopredu, dozadu (2 krát);

Zdvihnite ruky, zhlboka sa nadýchnite, položte ruky dole, vydýchnite. (2 krát)

Potriasli si rukami. Ďakujem.

Posadili sa. Pokračujeme v lekcii.

Riešime úlohy pri aplikácii vzorca pre všeobecný člen aritmetickej postupnosti.

Študentom sa ponúkajú tieto úlohy:

1. V aritmetickej progresii je prvý člen -2, d = 3, a n = 118.

Nájsť n.

1. V aritmetickej postupnosti je prvý člen 7, pätnásty člen je -35. Nájdite rozdiel.
2. Je známe, že v aritmetickej progresii d = -2, a39 = 83. Nájdite prvý termín postupu.

Študenti sú rozdelení do skupín. Úloha je zadaná na 5 minút. Potom prví 3 žiaci, ktorí vyriešili úlohy, ich riešia na tabuli. Riešenie je duplikované na sklíčkach.

Zvážte charakteristické vlastnosti aritmetického postupu.

V aritmetickom postupe

a n -d = a (n-1)

a n + d = a (n + 1)

Sčítaním týchto dvoch rovností po členoch dostaneme: 2а n = a (n + 1) + a (n-1)

An = (a (n + 1) + a (n-1)) / 2

To znamená, že každý člen aritmetického postupu, okrem prvého a posledného, ​​sa rovná aritmetickému priemeru predchádzajúceho a nasledujúceho člena.

TEOREM:

Číselná postupnosť je aritmetickou postupnosťou vtedy a len vtedy, ak sa každý z jej členov, okrem prvého (a posledného v prípade konečnej postupnosti), rovná aritmetickému priemeru predchádzajúceho a nasledujúceho člena (charakteristická vlastnosť aritmetický postup).

Pochopenie mnohých tém z matematiky a fyziky je spojené so znalosťou vlastností číselných radov. Žiaci 9. ročníka pri štúdiu predmetu "Algebra" zvažujú jednu z dôležitých postupností čísel - aritmetický postup. Tu sú základné vzorce aritmetického postupu (stupeň 9), ako aj príklady ich použitia pri riešení problémov.

Algebraický alebo aritmetický postup

Číselný rad, o ktorom sa bude diskutovať v tomto článku, sa nazýva dvoma rôznymi spôsobmi, ktoré sú uvedené v názve tohto odseku. Takže v matematike sa aritmetická postupnosť chápe ako číselný rad, v ktorom sa ľubovoľné dve čísla stojace vedľa seba líšia o rovnakú hodnotu, ktorá sa nazýva rozdiel. Čísla v takomto riadku sa zvyčajne označujú písmenami s indexom s nižším celým číslom, napríklad 1, 2, 3 atď., pričom index označuje číslo prvku riadka.

Ak vezmeme do úvahy vyššie uvedenú definíciu aritmetickej progresie, môžeme napísať nasledujúcu rovnosť: a 2 -a 1 = ... = an -a n-1 = d, tu d je rozdiel algebraickej progresie a n je ľubovoľné celé číslo. Ak d> 0, potom môžeme očakávať, že každý nasledujúci člen radu bude väčší ako predchádzajúci, v tomto prípade hovoria o rastúcej progresii. Ak d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

Vzorce aritmetického postupu (škola 9. ročníka)

Uvažovaný rad čísel, keďže je usporiadaný a riadi sa určitým matematickým zákonom, má dve vlastnosti, ktoré sú dôležité pre jeho použitie:

1. Po prvé, ak poznáte iba dve čísla a 1 a d, môžete nájsť ľubovoľný člen postupnosti. To sa robí pomocou nasledujúceho vzorca: a n = a 1 + (n-1) * d.
2. Po druhé, na výpočet súčtu n členov prvého nie je potrebné ich sčítať v poradí, pretože môžete použiť nasledujúci vzorec: S n = n * (a n + a 1) / 2.

Prvý vzorec je ľahko pochopiteľný, pretože je priamym dôsledkom skutočnosti, že každý člen uvažovaného radu sa líši od svojho suseda rovnakým rozdielom.

Druhý vzorec aritmetickej postupnosti môžeme získať, ak si všimneme, že súčet a 1 + an sa ukáže ako ekvivalentný súčtom a 2 + a n-1, a 3 + a n-2 atď. na. Pretože a 2 = d + a 1, a n-2 = -2 * d + an, a 3 = 2 * d + a 1 a a n-1 = -d + an, potom dosadením týchto výrazov do zodpovedajúce sumy, dostaneme, že budú rovnaké. Faktor n / 2 v 2. vzorci (pre S n) sa objavuje v dôsledku skutočnosti, že súčty typu a i + 1 + a ni sú presne n / 2, tu i je celé číslo v rozsahu od 0 do n / 2 - jeden.

Podľa zachovaných historických dôkazov vzorec pre súčet Sn prvýkrát získal Karl Gauss (slávny nemecký matematik), keď ho učiteľ školy požiadal, aby sčítal prvých 100 čísel.

Príklad úlohy č. 1: nájdite rozdiel

Problémy, v ktorých je otázka položená nasledovne: poznať aritmetický postupový vzorec, ako nájsť d (d), sú najjednoduchšie, čo môže byť pre túto tému.

Uveďme príklad: pri danej číselnej postupnosti -5, -2, 1, 4, ... je potrebné určiť jej rozdiel, teda d.

Je to také jednoduché ako lúskanie hrušiek: musíte vziať dva prvky a odpočítať menší od väčšieho. V tomto prípade máme: d = -2 - (-5) = 3.

Pre istotu prijatej odpovede sa odporúča skontrolovať zostávajúce rozdiely, pretože prezentovaná postupnosť nemusí spĺňať podmienku algebraickej progresie. Máme: 1 - (- 2) = 3 a 4 - 1 = 3. Tieto údaje naznačujú, že sme dostali správny výsledok (d = 3) a dokázali, že séria čísel v probléme je skutočne algebraická postupnosť.

Príklad úlohy číslo 2: nájdite rozdiel, keď poznáte dva termíny postupu

Pozrime sa na ďalší zaujímavý problém, ktorý predstavuje otázka, ako nájsť rozdiel. V tomto prípade sa pre n-tý člen musí použiť aritmetický postupový vzorec. Takže problém: vzhľadom na prvé a piate číslo radu, ktorý zodpovedá všetkým vlastnostiam algebraickej postupnosti, sú to napríklad čísla a 1 = 8 a a 5 = -10. Ako nájsť rozdiel d?

Riešenie tohto problému by sa malo začať napísaním všeobecného tvaru vzorca pre n-tý prvok: a n = a 1 + d * (- 1 + n). Teraz môžete ísť dvoma spôsobmi: buď nahradiť čísla naraz a pracovať s nimi, alebo vyjadriť d a potom prejsť na konkrétne 1 a 5. Použijeme posledný spôsob, dostaneme: a 5 = a 1 + d * (- 1 + 5) alebo a 5 = 4 * d + a 1, z čoho vyplýva, že d = (a 5 -a 1) / 4. Teraz môžete bezpečne nahradiť známe údaje z podmienky a získať konečnú odpoveď: d = (-10-8) / 4 = -4,5.

Všimnite si, že v tomto prípade sa rozdiel v progresii ukázal ako negatívny, to znamená, že existuje klesajúca postupnosť čísel. Na túto skutočnosť je potrebné dbať pri riešení úloh, aby nedošlo k zámene znamienka „+“ a „-“. Všetky vyššie uvedené vzorce sú univerzálne, takže by ste ich mali vždy dodržiavať bez ohľadu na znamienko čísel, s ktorými sa operácie vykonávajú.

Príklad riešenia úlohy č.3: nájdite a1 s poznaním rozdielu a prvku

Zmeňme trochu stav problému. Nech sú dve čísla: rozdiel d = 6 a 9. prvok postupnosti a 9 = 10. Ako nájsť a1? Aritmetické vzorce ostávajú nezmenené, budeme ich používať. Pre číslo a 9 máme nasledujúci výraz: a 1 + d * (9-1) = a 9. Odkiaľ ľahko získame prvý prvok série: a 1 = a 9 -8 * d = 10 - 8 * 6 = -38.

Príklad riešenia úlohy číslo 4: nájdite a1, poznajúc dva prvky

Tento variant problému je komplikovanou verziou predchádzajúceho. Podstata je rovnaká, je potrebné vypočítať a 1, ale teraz nie je známy rozdiel d a namiesto toho je uvedený ďalší prvok progresie.

Príkladom tohto typu úlohy je nasledujúci: nájdite prvé číslo postupnosti, o ktorej je známe, že ide o aritmetickú postupnosť a že jej 15. a 23. prvok sú 7 a 12.

Tento problém je potrebné vyriešiť tak, že pre každý prvok známy z podmienky napíšeme výraz pre n-tý člen, máme: a 15 = d * (15-1) + a 1 a a 23 = d * (23-1) + 1. Ako vidíte, dostali sme dve lineárne rovnice, ktoré je potrebné vyriešiť pre 1 a d. Urobme to: odčítajte prvú z druhej rovnice, potom dostaneme nasledujúci výraz: a 23 -a 15 = 22 * ​​​​d - 14 * d = 8 * d. Pri odvodzovaní poslednej rovnice boli hodnoty 1 vynechané, pretože sa pri odčítaní rušia. Dosadením známych údajov zistíme rozdiel: d = (a 23 -a 15) / 8 = (12-7) / 8 = 0,625.

Hodnota d musí byť dosadená do ľubovoľného vzorca pre známy prvok, aby sa získal prvý člen postupnosti: a 15 = 14 * d + a 1, odkiaľ: a 1 = a 15 -14 * d = 7-14 * 0,625 = -1,75.

Skontrolujeme výsledok, na to nájdeme 1 cez druhý výraz: a 23 = d * 22 + a 1 alebo a 1 = a 23 -d * 22 = 12 - 0,625 * 22 = -1,75.

Príklad riešenia úlohy č.5: nájdite súčet n prvkov

Ako vidíte, až do tohto bodu sa na riešenie používal iba jeden aritmetický progresívny vzorec (stupeň 9). Teraz dáme úlohu, na riešenie ktorej potrebujete poznať druhý vzorec, teda pre súčet S n.

Existuje nasledujúci usporiadaný rad čísel -1,1, -2,1, -3,1, ..., musíte vypočítať súčet jeho prvých 11 prvkov.

Z tohto radu je vidieť, že klesá a a 1 = -1,1. Jeho rozdiel je: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Teraz definujme 11. člen: a 11 = 10 * d + a 1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Po dokončení prípravných výpočtov môžete na súčet použiť vyššie uvedený vzorec, máme: S 11 = 11 * (- 1,1 + (- 11,1)) / 2 = -67,1. Pretože všetky členy boli záporné čísla, ich súčet má zodpovedajúce znamienko.

Príklad riešenia úlohy číslo 6: nájdite súčet prvkov od n do m

Možno je tento typ problémov pre väčšinu študentov najťažší. Uveďme typický príklad: ak je daný rad čísel 2, 4, 6, 8 ..., musíte nájsť súčet od 7. do 13. slov.

Vzorce aritmetická progresia(9. stupeň) sa používajú úplne rovnako ako vo všetkých vyššie uvedených problémoch. Tento problém sa odporúča riešiť postupne:

1. Najprv nájdite súčet 13 výrazov pomocou štandardného vzorca.
2. Potom vypočítajte túto sumu pre prvých 6 položiek.
3. Potom odpočítajte 2. od 1. sumy.

Poďme k riešeniu. Rovnako ako v predchádzajúcom prípade vykonáme prípravné výpočty: a 6 = 5 * d + a 1 = 10 + 2 = 12, a 13 = 12 * d + a 1 = 24 + 2 = 26.

Vypočítajme dva súčty: S 13 = 13 * (2 + 26) / 2 = 182, S 6 = 6 * (2 + 12) / 2 = 42. Zoberieme rozdiel a dostaneme požadovanú odpoveď: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Všimnite si, že pri získaní tejto hodnoty bol ako odpočítaný súčet 6 prvkov progresie, keďže 7. člen je zahrnutý v súčte S 7-13.

Číselná postupnosť, ktorej každý člen, počnúc druhým, je rovný predchádzajúcemu, sčítaná s rovnakým číslom pre danú postupnosť, sa nazýva aritmetická postupnosť. Zavolá sa číslo, ktoré sa pridáva vždy k predchádzajúcemu číslu rozdiel aritmetického postupu a označené písmenom d.

Takže číselná postupnosť a 1; a 2; a 3; a 4; a 5; ... a n bude aritmetická progresia, ak a 2 = a 1 + d;

a3 = a2 + d;

Hovorí sa, že je daný aritmetický postup so spoločným výrazom a n... Zapíšte si: je daný aritmetický postup (a n).

Aritmetická progresia sa považuje za definitívnu, ak je známy jej prvý člen. 1 a rozdiel d.

Príklady aritmetického postupu

Príklad 1 jeden; 3; 5; 7; 9; ... Tu 1 = 1; d = 2.

Príklad 2 osem; 5; 2; - jeden; -4; -7; -10; ... tu 1 = 8; d =-3.

Príklad 3-šestnásť; -12; -osem; -4; ... tu 1 = -16; d = 4.

Všimnite si, že každý člen v postupnosti, počnúc druhým, sa rovná aritmetickému priemeru susedných členov.

V 1 vzorke druhý termín 3 =(1+5): 2; tie. a 2 = (a 1 + a 3) : 2; tretie volebné obdobie 5 =(3+7): 2;

t.j. a 3 = (a 2 + a 4) : 2.

Platí teda vzorec:

V skutočnosti sa však každý člen aritmetickej progresie, začínajúc od druhého, rovná aritmetickému priemeru nielen susedných členov, ale aj v rovnakej vzdialenosti od svojich členov, t.j.

Poďme sa obrátiť príklad 2... číslo -1 je štvrtý člen aritmetickej postupnosti a je rovnako vzdialený od prvého a siedmeho člena (a 1 = 8 a 7 = -10).

Podľa vzorca (**) máme:

Poďme odvodiť vzorec n-člen aritmetického postupu.

Takže dostaneme druhý člen aritmetickej progresie, ak k prvému pripočítame rozdiel d; tretí člen získame, ak k druhému pripočítame rozdiel d alebo pridajte dva rozdiely k prvému termínu d; štvrtý člen dostaneme, ak k tretiemu pripočítame rozdiel d alebo pridajte tri rozdiely k prvému d atď.

Uhádli ste: a 2 = a 1 + d;

a3 = a2 + d = a1 + 2d;

a4 = a3 + d = a1 + 3d;

…………………….

a n = a n-1 + d = a1 + (n-1) d.

Výsledný vzorec a n = a 1 + (n-1) d (***)

sa volajú vzorecnčlen aritmetického postupu.

Teraz si povedzme, ako nájsť súčet prvých n členov aritmetickej progresie. Túto sumu označujeme ako S n.

Od preusporiadania miest pojmov sa hodnota súčtu nezmení, preto ho možno zapísať dvoma spôsobmi.

S n= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n a

S n = a n + a n-1 + a n-2 + a n-3 +… ... + a 4 + a 3 + a 2 + a 1

Pridajme tieto dve rovnosti po členoch:

2S n= (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) +…

Hodnoty v zátvorkách sa navzájom rovnajú, pretože ide o súčty ekvidištantných členov radu, čo znamená, že môžete napísať: 2S n = n · (a 1 + a n).

Dostaneme vzorec súčet prvéhončlenov aritmetického postupu.

Ak nahradíme a n hodnotou a 1 + (n-1) d vzorcom (***), dostaneme ďalší vzorec pre súčet prvého nčlenov aritmetického postupu.

Matematika má svoju krásu, rovnako ako maľba a poézia.

Ruský vedec, mechanik N.E. Žukovského

Problémy súvisiace s pojmom aritmetická progresia sú veľmi častým problémom prijímacích skúšok z matematiky. Na úspešné vyriešenie takýchto problémov je potrebné dobre poznať vlastnosti aritmetickej progresie a mať určité zručnosti v ich aplikácii.

Najprv si pripomenieme hlavné vlastnosti aritmetickej progresie a predstavíme najdôležitejšie vzorce, súvisiace s týmto konceptom.

Definícia. Poradie čísel, v ktorej sa každý nasledujúci výraz líši od predchádzajúceho rovnakým číslom, nazývaná aritmetická progresia. Navyše, číslonazývaný rozdiel v progresii.

Pre aritmetickú postupnosť platia nasledujúce vzorce

, (1)

kde . Vzorec (1) sa nazýva vzorec pre všeobecný člen aritmetickej postupnosti a vzorec (2) je hlavnou vlastnosťou aritmetickej postupnosti: každý člen postupnosti sa zhoduje s aritmetickým priemerom susedných členov a.

Všimnite si, že práve kvôli tejto vlastnosti sa uvažovaná progresia nazýva „aritmetická“.

Vyššie uvedené vzorce (1) a (2) sú zovšeobecnené takto:

(3)

Na výpočet sumy prvý členov aritmetického postupuzvyčajne sa použije vzorec

(5) kde a.

Berúc do úvahy vzorec (1), potom vzorec (5) znamená

Ak označíme, tak

kde . Pretože potom vzorce (7) a (8) sú zovšeobecnením zodpovedajúcich vzorcov (5) a (6).

najmä zo vzorca (5) vyplýva, čo

Vlastnosť aritmetickej progresie, formulovaná pomocou nasledujúcej vety, patrí väčšine študentov medzi málo známe.

Veta. Ak potom

Dôkaz. Ak potom

Veta je dokázaná.

napríklad pomocou vety, dá sa to ukázať

Prejdime k zváženiu typických príkladov riešenia problémov na tému "Aritmetický postup".

Príklad 1 Nechajte a. Nájsť .

Riešenie. Aplikovaním vzorca (6) dostaneme. Odvtedy a, potom alebo.

Príklad 2 Nech je to trikrát viac a pri delení v kvociente dostaneme 2 a zvyšok 8. Určte a.

Riešenie. Podmienka príkladu implikuje systém rovníc

Keďže,, a, potom zo sústavy rovníc (10) dostaneme

Riešením tohto systému rovníc je a.

Príklad 3 Zistite, či a.

Riešenie. Podľa vzorca (5) máme resp. Avšak pomocou vlastnosti (9) získame.

Odvtedy a potom z rovnosti nasleduje rovnica alebo .

Príklad 4 Nájdite ak.

Riešenie.Podľa vzorca (5) máme

Pomocou vety sa však dá písať

Z toho a vzorca (11) dostaneme.

Príklad 5. Vzhľadom na:. Nájsť .

Riešenie. Odvtedy. Avšak, preto.

Príklad 6. Nechajte, a. Nájsť .

Riešenie. Pomocou vzorca (9) dostaneme. Preto ak, tak alebo.

Keďže a, potom tu máme systém rovníc

Vyriešením ktorého dostaneme a.

Prirodzený koreň rovnice je .

Príklad 7. Zistite, či a.

Riešenie. Keďže podľa vzorca (3) to máme, potom zadanie problému implikuje systém rovníc

Ak nahradíte výrazdo druhej rovnice systému, potom dostaneme resp.

Korene kvadratickej rovnice sú a .

Uvažujme o dvoch prípadoch.

1. Nechajte teda. Odvtedy a potom.

V tomto prípade podľa vzorca (6) máme

2. Ak, potom a

Odpoveď: a.

Príklad 8. Je známe, že a. Nájsť .

Riešenie. Berúc do úvahy vzorec (5) a podmienku príkladu, zapíšeme a.

Preto nasleduje sústava rovníc

Ak vynásobíme prvú rovnicu sústavy 2 a potom ju pripočítame k druhej rovnici, dostaneme

Podľa vzorca (9) máme... V tejto súvislosti z (12) vyplýva alebo .

Odvtedy a potom.

Odpoveď: .

Príklad 9. Zistite, či a.

Riešenie. Vzhľadom k tomu, a podľa podmienok, potom alebo.

Zo vzorca (5) je to známe, čo . Odvtedy.

preto tu máme systém lineárnych rovníc

Preto dostávame a. Berúc do úvahy vzorec (8), píšeme.

Príklad 10. Vyriešte rovnicu.

Riešenie. Z uvedenej rovnice vyplýva, že. Predpokladajme, že,, a. V tomto prípade .

Podľa vzorca (1) môžete napísať resp.

Pretože potom rovnica (13) má jediný vhodný koreň.

Príklad 11. Nájdite maximálnu hodnotu za predpokladu, že a.

Riešenie. Keďže uvažovaná aritmetická progresia klesá. V tomto ohľade výraz nadobúda maximálnu hodnotu, keď je číslom minimálneho kladného člena progresie.

Používame vzorec (1) a skutočnosť, as. Potom dostaneme, že resp.

Odvtedy buď ... Avšak v tejto nerovnostinajväčšie prirodzené číslo, Preto .

Ak sú hodnoty a sú nahradené vo vzorci (6), potom dostaneme.

Odpoveď: .

Príklad 12. Určte súčet všetkých dvojciferných prirodzených čísel, ktoré po delení 6 dávajú zvyšok 5.

Riešenie. Označme množinou všetkých dvojciferných prirodzených čísel, t.j. ... Ďalej zostrojíme podmnožinu pozostávajúcu z tých prvkov (čísel) množiny, ktoré po delení 6 dávajú zvyšok 5.

Nie je ťažké založiť, čo . samozrejme , že prvky zostavytvoria aritmetický postup, v ktorom a.

Na stanovenie mohutnosti (počet prvkov) množiny predpokladáme, že. Keďže a, potom zo vzorca (1) vyplýva alebo. Ak vezmeme do úvahy vzorec (5), dostaneme.

Vyššie uvedené príklady riešenia problémov si v žiadnom prípade nemôžu tvrdiť, že sú vyčerpávajúce. Tento článok je napísaný na základe analýzy moderných metód riešenia typických problémov na danú tému. Pre hlbšie štúdium metód riešenia problémov spojených s aritmetickou progresiou je vhodné nahliadnuť do zoznamu odporúčanej literatúry.

1. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov na technické vysoké školy / Ed. M.I. Skanavi. - M .: Mier a vzdelanie, 2013 .-- 608 s.

2. Suprun V.P. Matematika pre stredoškolákov: doplnkové časti školského vzdelávacieho programu. - M .: Lenand / URSS, 2014 .-- 216 s.

3. Medýnsky M.M. Kompletný kurz elementárnej matematiky v úlohách a cvičeniach. Kniha 2: Číselné postupnosti a postupnosti. - M .: Edithus, 2015 .-- 208 s.

Stále máte otázky?

Ak chcete získať pomoc od tútora - zaregistrujte sa.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

téma: Aritmetické a geometrické postupnosti

Trieda: 9

Systém prípravy: materiál na prípravu štúdia témy v algebre a prípravná fáza na zloženie skúšky

Cieľ: formovanie pojmov aritmetického a geometrického postupu

Úlohy: naučiť rozlišovať medzi typmi progresie, učiť správne, používať vzorce

Aritmetický postup nazývaná postupnosť čísel (členy progresie)

v ktorej sa každý nasledujúci člen líši od predchádzajúceho novým členom, ktorý sa nazýva aj krokový alebo progresívny rozdiel.

Ak teda nastavíte krok postupu a jeho prvý termín, môžete podľa vzorca nájsť ktorýkoľvek z jeho prvkov

1) Každý člen aritmetickej postupnosti, začínajúc od druhého čísla, je aritmetickým priemerom predchádzajúceho a nasledujúceho člena postupu

Opak je tiež pravdou. Ak sa aritmetický priemer susedných nepárnych (párnych) členov postupnosti rovná členu medzi nimi, potom je táto postupnosť čísel aritmetickou postupnosťou. Toto vyhlásenie veľmi uľahčuje kontrolu akejkoľvek sekvencie.

Tiež vďaka vlastnosti aritmetickej progresie možno vyššie uvedený vzorec zovšeobecniť na nasledujúce

Dá sa to ľahko overiť, ak výrazy napíšeme napravo od znamienka rovnosti

V praxi sa často používa na zjednodušenie výpočtov v problémoch.

2) Súčet prvých n členov aritmetickej progresie sa vypočíta podľa vzorca

Dobre si zapamätajte vzorec pre súčet aritmetickej progresie, je nevyhnutný pre výpočty a je celkom bežný v jednoduchých životných situáciách.

3) Ak potrebujete nájsť nie celú sumu, ale časť postupnosti od k-tého člena, potom sa vám bude hodiť nasledujúci súčtový vzorec

4) Je praktické nájsť súčet n členov aritmetickej postupnosti od k-tého čísla. Ak to chcete urobiť, použite vzorec

Nájdite štyridsiaty člen aritmetického postupu 4; 7; ...

Riešenie:

Podľa stavu máme

Určite krok postupu

Pomocou známeho vzorca nájdeme štyridsiaty člen progresie

Aritmetický postup je daný jeho tretím a siedmym členom. Nájdite prvý člen postupu a súčet desiatich.

Riešenie:

Vypíšme dané prvky postupu pomocou vzorcov

Aritmetický postup je daný menovateľom a jedným z jeho členov. Nájdite prvého člena postupu, súčet jeho 50 členov počnúc 50 a súčet prvých 100.

Riešenie:

Napíšme vzorec pre stý prvok postupu

a nájsť prvé

Na základe prvého nájdeme 50-členný termín progresie

Nájdite súčet časti postupu

a súčet prvých 100

Súčet progresie je 250. Nájdite počet členov aritmetickej progresie, ak:

a3-al = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.

Riešenie:

Rovnice napíšeme z hľadiska prvého člena a kroku postupu a definujeme ich

Získané hodnoty dosadíme do súčtového vzorca, aby sme určili počet členov v súčte

Vykonávanie zjednodušení

a vyriešiť kvadratickú rovnicu

Z dvoch hodnôt nájdených pre problémový stav je vhodné iba číslo 8. Súčet prvých ôsmich členov postupu je teda 111.

Vyriešte rovnicu

1 + 3 + 5 + ... + x = 307.

Riešenie:

Táto rovnica je súčtom aritmetickej progresie. Napíšme si jeho prvý termín a nájdime rozdiel v postupe

Nájdené hodnoty dosadíme do vzorca pre súčet progresie, aby sme našli počet výrazov

Rovnako ako v predchádzajúcej úlohe si zjednodušíme a vyriešime kvadratickú rovnicu

Z týchto dvoch hodnôt volíme logickejšiu. Máme, že súčet 18 členov progresie s danými hodnotami a1 = 1, d = 2 sa rovná Sn = 307.

Príklady riešenia problémov: Aritmetický postup

Úloha1

Študentský tím sa zmluvne zaviazal položiť keramickú dlažbu na podlahu v hale mládežníckeho klubu o rozlohe 288 m2.Zber skúseností, študenti každý ďalší deň od druhého vyskladali o 2 m2 viac ako predchádzajúci. a mali dostatok zásob dlaždíc presne na 11 dní práce. Majster, ktorý plánoval zvýšiť produktivitu rovnakým spôsobom, určil, že dokončenie úlohy bude trvať ďalších 5 dní. Koľko škatúľ dlaždíc si má objednať, ak 1 škatuľa vystačí na 1,2 m2 podlahy a na výmenu nekvalitných dlaždíc sú potrebné 3 škatule?

Riešenie

Podľa stavu problému je zrejmé, že hovoríme o aritmetickej progresii, v ktorej let

a1 = x, Sn = 288, n = 16

Potom použijeme vzorec: Sn = (2а1 + d (n-1)) * n / 0,86 = 200 mm Hg. čl.

288 = (2x + 2 * 15) * 16/2

Vypočítajme, koľko m2 študenti rozložia za 11 dní: S11 = (2 * 3 + 2 * 10) * 11,2 = 143m 2

288-143 = 145m2 zostalo po 11 dňoch práce, t.j. na 5 dní

145 / 1,2 = 121 (približne) boxov je potrebné objednať na 5 dní.

121 + 3 = 124 krabíc je potrebné objednať vrátane defektu

Odpoveď: 124 boxov

Úloha2

Po každom pohybe piestu vákuovej pumpy sa z nádoby odstráni 20 % vzduchu v nej. Určme tlak vzduchu vo vnútri nádoby po šiestich pohyboch piestu, ak bol počiatočný tlak 760 mm Hg. čl.

Riešenie

Keďže po každom pohybe piestu sa z nádoby odstráni 20 % dostupného vzduchu, zostáva 80 % vzduchu. Ak chcete zistiť tlak vzduchu v nádobe po následnom pohybe piesta, musíte znížiť tlak predchádzajúceho pohybu piesta o 0,8.

Máme geometrickú postupnosť, ktorej prvý člen je 760 a menovateľ je 0,8. Číslo vyjadrujúce tlak vzduchu v nádobe (v mm Hg) po šiestich pohyboch piesta je siedmym členom v tomto postupe. Rovná sa 760 * 0,86 = 200 mm Hg. čl.

Odpoveď: 200 mm Hg.

Je uvedená aritmetická postupnosť, kde piaty a desiaty člen sú 38 a 23. Nájdite pätnásty člen postupnosti a súčet jej prvých desiatich členov.

Riešenie:

Nájdite číslo aritmetickej progresie člena 5,14,23, ..., ak je jeho tý člen 239.

Riešenie:

Nájsť počet členov aritmetického postupu 9,12,15, ..., ak je jeho súčet 306.

Riešenie:

Nájdite x, pre ktoré čísla x-1, 2x-1, x2-5 tvoria aritmetickú postupnosť

Riešenie:

Poďme nájsť rozdiel medzi 1 a 2 členmi progresie:

d = (2x-1) - (x-1) = x

Poďme nájsť rozdiel medzi 2 a 3 členmi progresie:

d = (x2-5) - (2x-1) = x2-2x-4

Pretože rozdiel je rovnaký, potom môžu byť členovia progresie rovnakí:

Pri kontrole v oboch prípadoch sa získa aritmetická progresia

Odpoveď: pre x = -1 a x = 4

Aritmetická postupnosť je daná jej tretím a siedmym členom a3 = 5; a7 = 13. Nájdite prvý člen postupu a súčet desiatich.

Riešenie:

Odpočítame prvú od druhej rovnice, v dôsledku toho nájdeme krok progresie

a1 + 6d- (a1 + 2d) = 4d = 13-5 = 8, teda d = 2

Nájdenú hodnotu dosadíme do ktorejkoľvek z rovníc, aby sme našli prvý člen aritmetickej progresie

Vypočítame súčet prvých desiatich členov progresie

S10 = (2 * 1 + (10-1) * 2) * 10/2 = 100

Odpoveď: a1 = 1; S10 = 100

V aritmetickej postupnosti, kde je prvý člen -3,4 a rozdiel je 3, nájdite piaty a jedenásty člen.

Takže vieme, že a1 = -3,4; d = 3. Nájdite: a5, a11-.

Riešenie. Na nájdenie n-tého člena aritmetickej postupnosti použijeme vzorec: an = a1 + (n - 1) d. Máme:

a5 = a1 + (5 - 1) d = -3,4 + 43 = 8,6;

a11 = a1 + (11 - 1) d = -3,4 + 10*3 = 26,6.

Ako vidíte, v tomto prípade nie je riešenie ťažké.

Dvanásty člen aritmetickej progresie je 74 a rozdiel je -4. Nájdite tridsiaty štvrtý termín v tomto postupe.

Hovorí sa, že a12 = 74; d = -4, ale musíte nájsť a34-.

V tomto probléme nie je možné okamžite použiť vzorec an = a1 + (n - 1) d, pretože prvý člen a1 nie je známy. Túto úlohu je možné vyriešiť v niekoľkých krokoch.

1. Použitím termínu a12 a vzorca pre n-tý člen nájdeme a1:

a12 = a1 + (12 - 1) d, teraz zjednodušíme a dosadíme d: a12 = a1 + 11 (-4). Z tejto rovnice zistíme a1: a1 = a12 - (-44);

Dvanásty člen poznáme z úlohy, takže a1 vieme ľahko vypočítať

a1 = 74 + 44 = 118. Prejdite na druhý krok - výpočet a34.

2. Opäť pomocou vzorca an = a1 + (n - 1) d, keďže a1 je už známe, zadefinujeme a34-,

a34 = a1 + (34 - 1) d = 118 + 33 (-4) = 118 - 132 = -14.

Odpoveď: Tridsiaty štvrtý člen aritmetickej progresie je -14.

Ako vidíte, riešenie druhého príkladu je zložitejšie. Na získanie odpovede sa dvakrát použije rovnaký vzorec. Ale všetko je také komplikované. Riešenie je možné skrátiť použitím ďalších vzorcov.

Ako už bolo uvedené, ak je v úlohe známe a1, potom je veľmi vhodné použiť vzorec na určenie n-tého člena aritmetickej progresie. Ale ak podmienka nešpecifikuje prvý člen, potom môže prísť na pomoc vzorec, ktorý spája n-tý člen, ktorý potrebujeme, a člen ak špecifikovaný v úlohe.

an = ak + (n - k) d.

Vyriešme druhý príklad, ale pomocou nového vzorca.

Dané: a12 = 74; d = -4. Nájdite: a34-.

Používame vzorec an = ak + (n - k) d. V našom prípade to bude:

a34 = a12 + (34 - 12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74 - 88 = -14.

Odpoveď na problém bola prijatá oveľa rýchlejšie, pretože nebolo potrebné vykonávať ďalšie akcie a hľadať prvý termín progresie.

Pomocou vyššie uvedených vzorcov môžete vyriešiť problémy s výpočtom rozdielu aritmetickej progresie. Takže pomocou vzorca an = a1 + (n - 1) d môžete vyjadriť d:

d = (an - a1) / (n - 1). Problémy s daným prvým členom však nie sú také bežné a možno ich vyriešiť pomocou nášho vzorca an = ak + (n - k) d, z ktorého je zrejmé, že d = (an - ak) / (n - k ). Uvažujme o takejto úlohe.

Nájdite rozdiel aritmetickej progresie, ak je známe, že a3 = 36; a8 = 106.

Pomocou vzorca, ktorý sme získali, je možné zapísať riešenie problému do jedného riadku:

d = (a8 - a3) / (8 - 3) = (106 - 36) / 5 = 14.

Bez tohto vzorca v arzenáli by riešenie problému trvalo oveľa dlhšie bude musieť vyriešiť sústavu dvoch rovníc.

Geometrické priebehy

1. Vzorec tého člena (spoločný člen postupnosti).
2. Vzorec pre súčet prvých členov postupnosti:. Keď je zvykom hovoriť o konvergujúcej geometrickej progresii; v tomto prípade môžete vypočítať súčet celej progresie pomocou vzorca.
3. Vzorec "geometrického priemeru": ak,, sú tri po sebe idúce členy geometrickej postupnosti, potom na základe definície máme pomer: alebo alebo .