Ako vyriešiť sústavu rovníc o jednej neznámej. Príklady sústav lineárnych rovníc: metóda riešenia. Sústava dvoch lineárnych rovníc v dvoch premenných

Systémy rovníc sú široko používané v hospodárskom priemysle pri matematickom modelovaní rôznych procesov. Napríklad pri riešení problémov riadenia a plánovania výroby, logistických trás (problém dopravy) alebo umiestnenia zariadení.

Sústavy rovníc sa využívajú nielen v oblasti matematiky, ale aj fyziky, chémie a biológie, pri riešení úloh zisťovania veľkosti populácie.

Systém lineárnych rovníc sa nazýva dve alebo viac rovníc s viacerými premennými, pre ktoré je potrebné nájsť všeobecné riešenie. Taká postupnosť čísel, pri ktorej sa všetky rovnice stávajú skutočnými rovnosťami alebo dokazujú, že postupnosť neexistuje.

Lineárna rovnica

Rovnice v tvare ax + by = c sa nazývajú lineárne. Zápis x, y je neznáma, ktorej hodnotu treba nájsť, b, a sú koeficienty premenných, c je voľný člen rovnice.
Riešenie rovnice vynesením jej grafu bude mať tvar priamky, ktorej všetky body sú riešením polynómu.

Typy sústav lineárnych rovníc

Za najjednoduchšie príklady sa považujú sústavy lineárnych rovníc s dvoma premennými X a Y.

F1 (x, y) = 0 a F2 (x, y) = 0, kde F1,2 sú funkcie a (x, y) sú funkčné premenné.

Riešiť sústavu rovníc - znamená to nájsť také hodnoty (x, y), pri ktorých sa systém zmení na skutočnú rovnosť, alebo zistiť, že neexistujú žiadne vhodné hodnoty pre x a y.

Dvojica hodnôt (x, y), zapísaná ako súradnice bodu, sa nazýva riešenie systému lineárnych rovníc.

Ak systémy majú jedno spoločné riešenie alebo riešenie neexistuje, nazývajú sa ekvivalentné.

Homogénne sústavy lineárnych rovníc sú sústavy, ktorých pravá strana sa rovná nule. Ak má pravá časť za znakom „rovná sa“ hodnotu alebo je vyjadrená funkciou, takýto systém je heterogénny.

Počet premenných môže byť oveľa viac ako dve, potom by sme mali hovoriť o príklade systému lineárnych rovníc s tromi alebo viacerými premennými.

Keď sú školáci konfrontovaní so systémami, predpokladajú, že počet rovníc sa musí nevyhnutne zhodovať s počtom neznámych, ale nie je to tak. Počet rovníc v systéme nezávisí od premenných, môže ich byť toľko, koľko chcete.

Jednoduché a zložité metódy riešenia sústav rovníc

Neexistuje žiadny všeobecný analytický spôsob riešenia takýchto systémov, všetky metódy sú založené na numerických riešeniach. V kurze školskej matematiky sú podrobne opísané metódy ako permutácia, algebraické sčítanie, substitúcia, ako aj grafická a maticová metóda, riešenie Gaussovou metódou.

Hlavnou úlohou pri výučbe metód riešenia je naučiť sa správne analyzovať systém a nájsť optimálny algoritmus riešenia pre každý príklad. Hlavnou vecou nie je zapamätať si systém pravidiel a akcií pre každú metódu, ale pochopiť princípy aplikácie konkrétnej metódy.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc pre 7. ročník učiva všeobecnej školy je celkom jednoduché a veľmi podrobne vysvetlené. V každej učebnici matematiky sa tejto časti venuje dostatočná pozornosť. Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc Gaussovou a Cramerovou metódou sa podrobnejšie študuje v prvých ročníkoch vysokých škôl.

Riešenie systémov substitučnou metódou

Akcie substitučnej metódy sú zamerané na vyjadrenie hodnoty jednej premennej prostredníctvom druhej. Výraz sa dosadí do zostávajúcej rovnice, potom sa zredukuje do tvaru s jednou premennou. Akcia sa opakuje v závislosti od počtu neznámych v systéme

Uveďme riešenie príkladu sústavy lineárnych rovníc 7. triedy substitučnou metódou:

Ako vidíte z príkladu, premenná x bola vyjadrená pomocou F (X) = 7 + Y. Výsledný výraz, dosadený do 2. rovnice systému namiesto X, pomohol získať jednu premennú Y v 2. rovnici . Riešenie tohto príkladu nespôsobuje žiadne ťažkosti a umožňuje získať hodnotu Y. Posledným krokom je kontrola získaných hodnôt.

Nie vždy je možné vyriešiť príklad sústavy lineárnych rovníc substitúciou. Rovnice môžu byť komplikované a vyjadrenie premennej v zmysle druhej neznámej bude príliš ťažkopádne na ďalšie výpočty. Keď je v systéme viac ako 3 neznámych, riešenie substitúciou je tiež nepraktické.

Riešenie príkladu sústavy lineárnych nehomogénnych rovníc:

Algebraické sčítacie riešenie

Pri hľadaní riešenia systémov sčítacou metódou sa vykonáva sčítanie po členoch a násobenie rovníc rôznymi číslami. Konečným cieľom matematických operácií je rovnica v jednej premennej.

Táto metóda vyžaduje prax a pozorovanie. Nie je jednoduché vyriešiť sústavu lineárnych rovníc sčítacou metódou s 3 a viacerými premennými. Je vhodné použiť algebraické sčítanie, keď sú v rovniciach prítomné zlomky a desatinné čísla.

Algoritmus akcie riešenia:

1. Vynásobte obe strany rovnice nejakým číslom. V dôsledku aritmetickej operácie sa jeden z koeficientov premennej musí rovnať 1.
2. Pridajte výsledný výraz výraz po výraze a nájdite jednu z neznámych.
3. Dosaďte získanú hodnotu do 2. rovnice systému, aby ste našli zostávajúcu premennú.

Riešenie zavedením novej premennej

Novú premennú je možné zaviesť, ak systém potrebuje nájsť riešenie pre nie viac ako dve rovnice, počet neznámych by tiež nemal byť väčší ako dve.

Metóda sa používa na zjednodušenie jednej z rovníc zavedením novej premennej. Nová rovnica sa rieši vzhľadom na zadanú neznámu a výsledná hodnota sa použije na určenie pôvodnej premennej.

Príklad ukazuje, že zavedením novej premennej t bolo možné zredukovať 1. rovnicu sústavy na štandardný kvadratický trinom. Polynóm môžete vyriešiť nájdením diskriminantu.

Hodnotu diskriminantu je potrebné nájsť podľa známeho vzorca: D = b2 - 4 * a * c, kde D je požadovaný diskriminant, b, a, c sú faktory polynómu. V uvedenom príklade a = 1, b = 16, c = 39, teda D = 100. Ak je diskriminant väčší ako nula, potom existujú dve riešenia: t = -b ± √D / 2 * a, ak je diskriminant menší ako nula, potom existuje jedno riešenie: x = -b / 2 * a.

Riešenie pre výsledné systémy sa nachádza adičnou metódou.

Vizuálna metóda riešenia systémov

Vhodné pre systémy s 3 rovnicami. Metóda spočíva vo vynesení grafov každej rovnice zahrnutej v systéme na súradnicovú os. Súradnice priesečníkov kriviek budú všeobecným riešením systému.

Grafická metóda má množstvo nuancií. Uvažujme o niekoľkých príkladoch riešenia sústav lineárnych rovníc vizuálnym spôsobom.

Ako vidíte z príkladu, pre každú priamku boli postavené dva body, hodnoty premennej x boli zvolené ľubovoľne: 0 a 3. Na základe hodnôt x boli nájdené hodnoty pre y : 3 a 0. Na grafe boli vyznačené body so súradnicami (0, 3) a (3, 0) a spojené čiarou.

Kroky sa musia opakovať pre druhú rovnicu. Priesečník čiar je riešením sústavy.

V nasledujúcom príklade musíte nájsť grafické riešenie systému lineárnych rovníc: 0,5x-y + 2 = 0 a 0,5x-y-1 = 0.

Ako vidíte na príklade, systém nemá riešenie, pretože grafy sú rovnobežné a nepretínajú sa po celej dĺžke.

Systémy z príkladov 2 a 3 sú podobné, ale pri zostavovaní je zrejmé, že ich riešenia sú odlišné. Malo by sa pamätať na to, že nie vždy je možné povedať, či má systém riešenie alebo nie, vždy je potrebné zostaviť graf.

Matrica a jej odrody

Matice sa používajú na výstižný zápis sústavy lineárnych rovníc. Matica je tabuľka špeciálneho druhu naplnená číslami. n * m má n - riadkov a m - stĺpcov.

Matica je štvorcová, keď je počet stĺpcov a riadkov rovnaký. Vektorová matica je jednostĺpcová matica s nekonečným počtom riadkov. Matica s jednotkami pozdĺž jednej z uhlopriečok a inými nulovými prvkami sa nazýva matica identity.

Inverzná matica je taká matica, ktorou sa po vynásobení pôvodná zmení na maticu identity, takáto matica existuje len pre pôvodnú štvorcovú.

Pravidlá pre transformáciu sústavy rovníc na maticu

Pri aplikovaní na sústavy rovníc sa koeficienty a voľné členy rovníc zapisujú ako čísla matice, jedna rovnica je jeden riadok matice.

Riadok matice sa nazýva nenulový, ak je aspoň jeden prvok v riadku nenulový. Ak sa teda v niektorej z rovníc počet premenných líši, potom je potrebné namiesto chýbajúcej neznámej zapísať nulu.

Stĺpce matice sa musia presne zhodovať s premennými. To znamená, že koeficienty premennej x je možné zapísať len do jedného stĺpca, napríklad prvý, koeficient neznámej y - iba do druhého.

Pri násobení matice sa všetky prvky matice postupne násobia číslom.

Varianty nájdenia inverznej matice

Vzorec na nájdenie inverznej matice je pomerne jednoduchý: K -1 = 1 / | K |, kde K -1 je inverzná matica a | K | je determinantom matice. | K | by nemala byť nula, potom má systém riešenie.

Determinant sa ľahko vypočíta pre maticu dva krát dva, stačí vynásobiť prvky na diagonále navzájom. Pre možnosť "tri x tri" existuje vzorec | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1. Môžete použiť vzorec alebo si môžete zapamätať, že z každého riadku a každého stĺpca musíte vziať jeden prvok, aby sa počty stĺpcov a riadkov prvkov v produkte neopakovali.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc maticovou metódou

Maticová metóda hľadania riešenia umožňuje zredukovať ťažkopádne záznamy pri riešení systémov s veľkým počtom premenných a rovníc.

V príklade sú a nm koeficienty rovníc, matica je vektor, x n sú premenné a b n sú voľné členy.

Gaussovo riešenie systémov

Vo vyššej matematike sa študuje Gaussova metóda spolu s Cramerovou metódou a proces hľadania riešenia systémov sa nazýva Gauss - Cramerova metóda. Tieto metódy sa používajú na nájdenie premenných systémov s veľkým počtom lineárnych rovníc.

Gaussova metóda je veľmi podobná substitučným a algebraickým riešeniam sčítania, ale je systematickejšia. V školskom kurze sa Gaussovo riešenie používa pre sústavy 3 a 4 rovníc. Cieľom metódy je, aby systém vyzeral ako obrátený lichobežník. Algebraickými transformáciami a substitúciami sa hodnota jednej premennej nachádza v jednej z rovníc systému. Druhá rovnica je výraz s 2 neznámymi, ale 3 a 4 - respektíve s 3 a 4 premennými.

Po uvedení systému do opísanej formy sa ďalšie riešenie redukuje na postupné dosadzovanie známych premenných do rovníc systému.

V školských učebniciach pre 7. ročník je príklad riešenia Gaussovou metódou opísaný takto:

Ako môžete vidieť z príkladu, v kroku (3) boli získané dve rovnice: 3x 3 -2x 4 = 11 a 3x 3 + 2x 4 = 7. Riešenie ktorejkoľvek z rovníc vám umožní zistiť jednu z premenných x n.

Veta 5, ktorá sa v texte spomína, hovorí, že ak sa jedna z rovníc sústavy nahradí ekvivalentnou, tak aj výsledná sústava bude ekvivalentná tej pôvodnej.

Gaussova metóda je pre stredoškolákov ťažko pochopiteľná, no je to jeden z najzaujímavejších spôsobov, ako rozvíjať inteligenciu detí na pokročilých hodinách matematiky a fyziky.

Pre uľahčenie zaznamenávania výpočtov je obvyklé robiť nasledovné:

Koeficienty rovníc a voľné členy sú zapísané vo forme matice, kde každý riadok matice súvisí s jednou z rovníc systému. oddeľuje ľavú stranu rovnice od pravej strany. Rímske číslice označujú počet rovníc v systéme.

Najprv si zapíšu maticu, s ktorou majú pracovať, potom všetky akcie vykonané s jedným z riadkov. Výsledná matica sa zapíše za znak šípky a potrebné algebraické akcie pokračujú, kým sa nedosiahne výsledok.

V dôsledku toho by sa mala získať matica, v ktorej je jedna z uhlopriečok 1 a všetky ostatné koeficienty sa rovnajú nule, to znamená, že matica sa prenesie do jednej formy. Nezabudnite vykonať výpočty s číslami na oboch stranách rovnice.

Tento spôsob záznamu je menej ťažkopádny a umožňuje, aby ste sa nenechali rozptyľovať vymenovaním množstva neznámych.

Bezplatná aplikácia akéhokoľvek riešenia si bude vyžadovať starostlivosť a určité skúsenosti. Nie všetky metódy majú aplikovaný charakter. Niektoré spôsoby hľadania riešení sú vhodnejšie v tejto inej oblasti ľudskej činnosti, zatiaľ čo iné existujú na vzdelávacie účely.

Spoľahlivejšia ako grafická metóda diskutovaná v predchádzajúcom odseku.

Substitučná metóda

Túto metódu sme používali v 7. ročníku pri riešení sústav lineárnych rovníc. Algoritmus, ktorý bol vyvinutý v 7. ročníku je celkom vhodný na riešenie sústav dvoch ľubovoľných rovníc (nie nutne lineárnych) s dvoma premennými x a y (samozrejme, premenné sa dajú označovať aj inými písmenami, na čom nezáleží). V skutočnosti sme tento algoritmus použili v predchádzajúcom odseku, keď problém dvojciferného čísla viedol k matematickému modelu, ktorý je sústavou rovníc. Túto sústavu rovníc sme riešili substitučnou metódou vyššie (pozri príklad 1 z § 4).

Algoritmus na použitie substitučnej metódy pri riešení sústavy dvoch rovníc s dvoma premennými x, y.

1. Vyjadrite y až x z jednej rovnice sústavy.
2. Dosaďte získaný výraz namiesto y do inej rovnice sústavy.
3. Vyriešte výslednú rovnicu pre x.
4. Do výrazu pre y až x získaného v prvom kroku postupne nahraďte každý z koreňov rovnice nájdenej v treťom kroku namiesto x.
5. Zapíšte odpoveď vo forme párov hodnôt (x; y), ktoré boli nájdené v treťom a štvrtom kroku.

4) Dosaďte postupne každú z nájdených hodnôt y do vzorca x = 5 - 3y. Ak potom
5) Dvojice (2; 1) a riešenia danej sústavy rovníc.

Odpoveď: (2; 1);

Algebraická metóda sčítania

Túto metódu, podobne ako substitučnú metódu, poznáte z kurzu algebry 7. ročníka, kde sa s ňou riešili sústavy lineárnych rovníc. Pripomeňme si podstatu metódy na nasledujúcom príklade.

Príklad 2 Riešiť sústavu rovníc

Všetky členy prvej rovnice systému vynásobíme 3 a druhú rovnicu necháme nezmenenú:
Odčítajte druhú rovnicu systému od jeho prvej rovnice:

V dôsledku algebraického sčítania dvoch rovníc pôvodného systému sa získa rovnica, ktorá je jednoduchšia ako prvá a druhá rovnica daného systému. Touto jednoduchšou rovnicou máme právo nahradiť akúkoľvek rovnicu daného systému, napríklad druhú. Potom bude daný systém rovníc nahradený jednoduchším systémom:

Tento systém je možné riešiť substitučnou metódou. Z druhej rovnice zistíme Nahradením tohto výrazu namiesto y v prvej rovnici systému získame

Zostáva nahradiť nájdené hodnoty x do vzorca

Ak x = 2, potom

Našli sme teda dve riešenia systému:

Metóda zavádzania nových premenných

O metóde zavedenia novej premennej pri riešení racionálnych rovníc v jednej premennej ste sa učili na kurze algebra 8. ročníka. Podstata tejto metódy pri riešení sústav rovníc je rovnaká, ale z technického hľadiska má niektoré vlastnosti, ktoré si rozoberieme v nasledujúcich príkladoch.

Príklad 3 Riešiť sústavu rovníc

Zavedieme novú premennú Potom môžeme prvú rovnicu systému prepísať do jednoduchšej formy: Vyriešme túto rovnicu pre premennú t:

Obe tieto hodnoty spĺňajú podmienku, a preto sú koreňmi racionálnej rovnice s premennou t. To ale znamená, že buď odkiaľ zistíme, že x = 2y, resp
Metódou zavedenia novej premennej sa nám teda podarilo prvú rovnicu systému, ktorá je na pohľad pomerne komplikovaná, „rozdeliť“ na dve jednoduchšie rovnice:

x = 2 y; y - 2x.

Čo bude ďalej? A potom treba každú z dvoch získaných jednoduchých rovníc postupne zvážiť v sústave s rovnicou x 2 - y 2 = 3, ktorú sme si ešte nezapamätali. Inými slovami, problém sa redukuje na riešenie dvoch systémov rovníc:

Je potrebné nájsť riešenia prvého systému, druhého systému a zahrnúť všetky získané dvojice hodnôt do odpovede. Poďme vyriešiť prvú sústavu rovníc:

Použijeme substitučnú metódu, najmä preto, že tu je na to všetko pripravené: do druhej rovnice sústavy dosadíme namiesto x výraz 2y. Dostaneme

Pretože x = 2y, zistíme, že x 1 = 2, x 2 = 2. Takto získame dve riešenia danej sústavy: (2; 1) a (-2; -1). Poďme vyriešiť druhú sústavu rovníc:

Opäť použijeme substitučnú metódu: dosadíme výraz 2x za y v druhej rovnici sústavy. Dostaneme

Táto rovnica nemá korene, čo znamená, že systém rovníc tiež nemá riešenia. Do odpovede by teda mali byť zahrnuté len riešenia prvého systému.

Odpoveď: (2; 1); (-2; -1).

Metóda zavádzania nových premenných pri riešení sústav dvoch rovníc s dvoma premennými sa používa v dvoch verziách. Prvá možnosť: zavedie sa jedna nová premenná a použije sa len v jednej rovnici systému. To je presne prípad príkladu 3. Druhá možnosť: zavedú sa dve nové premenné a použijú sa súčasne v oboch rovniciach systému. Bude to tak v príklade 4.

Príklad 4 Riešiť sústavu rovníc

Predstavme si dve nové premenné:

Zvážte to teda

To umožní prepísať daný systém v oveľa jednoduchšej forme, ale s ohľadom na nové premenné a a b:

Pretože a = 1, potom z rovnice a + 6 = 2 zistíme: 1 + 6 = 2; 6 = 1. Pre premenné a a b teda máme jedno riešenie:

Ak sa vrátime k premenným x a y, dostaneme sústavu rovníc

Použime metódu algebraického sčítania na vyriešenie tohto systému:

Odvtedy z rovnice 2x + y = 3 zistíme:
Pre premenné x a y teda máme jedno riešenie:

Túto časť uzavrieme krátkou, ale dosť vážnou teoretickou diskusiou. Už ste získali nejaké skúsenosti s riešením rôznych rovníc: lineárnych, štvorcových, racionálnych, iracionálnych. Viete, že hlavnou myšlienkou riešenia rovnice je postupný prechod z jednej rovnice na druhú, jednoduchšiu, ale ekvivalentnú danej rovnici. V predchádzajúcej časti sme zaviedli koncept ekvivalencie pre rovnice v dvoch premenných. Tento koncept sa používa aj pre sústavy rovníc.

Definícia.

Dve sústavy rovníc s premennými x a y sa nazývajú ekvivalentné, ak majú rovnaké riešenia alebo ak obe sústavy nemajú žiadne riešenia.

Všetky tri metódy (substitúcia, algebraické sčítanie a zavedenie nových premenných), o ktorých sme hovorili v tejto časti, sú z hľadiska ekvivalencie absolútne správne. Inými slovami, pomocou týchto metód nahrádzame jednu sústavu rovníc inou, jednoduchšou, ale ekvivalentnou pôvodnej sústave.

Grafická metóda riešenia sústav rovníc

Už sme sa naučili riešiť sústavy rovníc takými bežnými a spoľahlivými metódami, ako je metóda substitúcie, algebraické sčítanie a zavedenie nových premenných. Teraz si spomeňme na metódu, ktorú ste už študovali v predchádzajúcej lekcii. To znamená, zopakujme si, čo viete o metóde grafického riešenia.

Metódou riešenia sústav rovníc graficky je zostrojenie grafu pre každú z konkrétnych rovníc, ktoré sú v tomto systéme zahrnuté a nachádzajú sa v rovnakej súradnicovej rovine, a tiež tam, kde je potrebné nájsť priesečníky body týchto grafov. Na vyriešenie tohto systému rovníc sú súradnice tohto bodu (x; y).

Malo by sa pamätať na to, že je bežné, že grafický systém rovníc má buď jediné správne riešenie, alebo nekonečnú množinu riešení, prípadne nemá žiadne riešenia.

A teraz sa pozrime na každé z týchto riešení podrobnejšie. A tak systém rovníc môže mať jedinečné riešenie, ak sa priame čiary, ktoré sú grafmi rovníc systému, pretínajú. Ak sú tieto priamky rovnobežné, potom takýto systém rovníc nemá absolútne žiadne riešenia. V prípade zhody priamych grafov rovníc systému potom takýto systém umožňuje nájsť súbor riešení.

Teraz sa pozrime na algoritmus na riešenie systému dvoch rovníc s 2 neznámymi grafickými metódami:

Najprv si na začiatku zostavíme graf 1. rovnice;
Druhým krokom je vykreslenie grafu, ktorý sa vzťahuje na druhú rovnicu;
Po tretie, musíme nájsť priesečníky máp.
A ako výsledok dostaneme súradnice každého priesečníka, ktorý bude riešením systému rovníc.

Pozrime sa bližšie na túto metódu s príkladom. Dostali sme systém rovníc, ktoré je potrebné vyriešiť:

Riešenie rovníc

1. Najprv nakreslíme túto rovnicu: x2 + y2 = 9.

Treba však poznamenať, že tento graf rovníc bude kruh so stredom v počiatku a jeho polomer bude rovný trom.

2. Naším ďalším krokom je zostrojiť rovnicu, ako napríklad: y = x - 3.

V tomto prípade musíme postaviť priamku a nájsť body (0; −3) a (3; 0).

3. Pozrime sa, čo máme. Vidíme, že priamka pretína kružnicu v jej dvoch bodoch A a B.

Teraz hľadáme súradnice týchto bodov. Vidíme, že súradnice (3; 0) zodpovedajú bodu A a súradnice (0; −3) zodpovedajú bodu B.

A čo nakoniec dostaneme?

Čísla (3; 0) a (0; −3) získané na priesečníku priamky s kružnicou sú presne riešeniami oboch rovníc sústavy. A z toho vyplýva, že tieto čísla sú tiež riešeniami tejto sústavy rovníc.

To znamená, že odpoveďou na toto riešenie sú čísla: (3; 0) a (0; −3).

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď na stránke zanecháte žiadosť, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a nahlasovať jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na odosielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu týchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• Ak je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym príkazom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je nevyhnutné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo z iných spoločensky dôležitých dôvodov.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, odovzdať príslušnej tretej strane – právnemu nástupcovi.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, pozmenením a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme sa uistili, že vaše osobné údaje sú v bezpečí, prinášame našim zamestnancom pravidlá dôvernosti a bezpečnosti a prísne monitorujeme ich dodržiavanie.

Zvyčajne sú rovnice systému napísané v stĺpci pod sebou a kombinované so zloženou zátvorkou

Sústava rovníc tohto tvaru, kde a, b, c- čísla a x, y- premenné tzv sústava lineárnych rovníc.

Pri riešení sústavy rovníc sa využívajú vlastnosti platné pre riešenie rovníc.

Riešenie sústavy lineárnych rovníc substitučnou metódou

Uvažujme o príklade

1) Vyjadrite premennú v jednej z rovníc. Napríklad vyjadrujeme r v prvej rovnici dostaneme systém:

2) Dosaďte v druhej rovnici sústavy namiesto r výraz 3x-7:

3) Vyriešime výslednú druhú rovnicu:

4) Získané riešenie dosadíme do prvej rovnice sústavy:

Systém rovníc má jedinečné riešenie: dvojicu čísel x = 1, y = -4... odpoveď: (1; -4) , napísané v zátvorkách, na prvej pozícii hodnotu X, Na druhom - r.

Riešenie sústavy lineárnych rovníc sčítacou metódou

Poďme vyriešiť sústavu rovníc z predchádzajúceho príkladu adičnou metódou.

1) Transformujte systém tak, aby koeficienty pre jednu z premenných boli opačné. Vynásobme prvú rovnicu sústavy „3“.

2) Pridajte rovnice sústavy člen po člene. Druhá rovnica systému (akákoľvek) sa prepíše bez zmien.

3) Získané riešenie dosadíme do prvej rovnice sústavy:

Grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc

Grafické riešenie sústavy rovníc s dvoma premennými je redukované na hľadanie súradníc spoločných bodov grafov rovníc.

Graf lineárnej funkcie je priamka. Dve priame čiary v rovine sa môžu pretínať v jednom bode, byť rovnobežné alebo sa zhodovať. V súlade s tým môže sústava rovníc: a) mať jedinečné riešenie; b) nemajú riešenia; c) majú nekonečné množstvo riešení.

2) Riešením sústavy rovníc je bod (ak sú rovnice lineárne) priesečník grafov.

Grafické riešenie systému

Metóda zavádzania nových premenných

Zmena premenných môže viesť k riešeniu jednoduchšieho systému rovníc, než bol ten pôvodný.

Zvážte riešenie systému

Potom predstavíme náhradu

Prejdeme k pôvodným premenným

Špeciálne prípady

Bez riešenia systému lineárnych rovníc je možné určiť počet jeho riešení pomocou koeficientov pre príslušné premenné.

Obsah lekcie

Lineárne rovnice v dvoch premenných

Študent má 200 rubľov na obed v škole. Koláč stojí 25 rubľov a šálka kávy 10 rubľov. Koľko koláčov a šálok kávy si môžete kúpiť za 200 rubľov?

Označme počet koláčikov cez X a počet šálok kávy potom r... Potom budú náklady na koláče označené výrazom 25 X a náklady na šálky kávy po 10 r .

25X - cena X pečivo
10y - cena ršálky kávy

Celková suma by sa mala rovnať 200 rubľov. Potom dostaneme rovnicu s dvoma premennými X a r

25X+ 10r= 200

Koľko koreňov má táto rovnica?

Všetko závisí od chuti študenta. Ak si kúpi 6 koláčov a 5 šálok kávy, korene rovnice budú 6 a 5.

Dvojica hodnôt 6 a 5 sa považuje za korene rovnice 25 X+ 10r= 200. Zapisuje sa ako (6; 5), pričom prvé číslo je hodnota premennej X a druhá je hodnota premennej r .

6 a 5 nie sú jediné korene, ktoré obracajú rovnicu 25 X+ 10r= 200 na identitu. V prípade potreby si študent môže kúpiť 4 koláče a 10 šálok kávy za rovnakých 200 rubľov:

V tomto prípade korene rovnice 25 X+ 10r= 200 je pár hodnôt (4; 10).

Okrem toho si študent nemôže kúpiť kávu, ale kúpiť koláče za všetkých 200 rubľov. Potom korene rovnice 25 X+ 10r= 200 budú hodnoty 8 a 0

Alebo naopak, nekupujte koláče, ale kúpte kávu za všetkých 200 rubľov. Potom korene rovnice 25 X+ 10r= 200 budú hodnoty 0 a 20

Skúsme uviesť všetky možné korene rovnice 25 X+ 10r= 200. Zhodnime sa, že hodnoty X a r patria do množiny celých čísel. A nech sú tieto hodnoty väčšie alebo rovné nule:

X∈Z, r∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Takže to bude výhodné pre samotného študenta. Je výhodnejšie kupovať torty celé ako napríklad niekoľko celých tort a pol torty. Je tiež pohodlnejšie brať kávu v celých šálkach ako napríklad niekoľko celých šálok a pol šálky.

Všimnite si, že za nepárny X je nemožné dosiahnuť rovnosť za žiadnych r... Potom hodnoty X budú nasledujúce čísla 0, 2, 4, 6, 8. A vedieť X môžete ľahko určiť r

Takto sme dostali nasledujúce páry hodnôt (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Tieto dvojice sú riešeniami alebo koreňmi rovnice 25 X+ 10r= 200. Robia z tejto rovnice identitu.

Rovnica formulára ax + by = c sa volajú lineárna rovnica v dvoch premenných... Riešenie alebo korene tejto rovnice sa nazývajú pár hodnôt ( X; r), čo z neho robí identitu.

Všimnite si tiež, že ak je lineárna rovnica v dvoch premenných zapísaná vo forme ax + b y = c, potom hovoria, že je to napísané v kanonický(normálna) forma.

Niektoré lineárne rovnice v dvoch premenných možno redukovať na kanonickú formu.

Napríklad rovnica 2(16X+ 3y - 4) = 2(12 + 8X − r) možno zredukovať na formu ax + by = c... Rozšírením zátvoriek na oboch stranách tejto rovnice dostaneme 32X + 6r − 8 = 24 + 16X − 2r ... Členy obsahujúce neznáme zoskupíme na ľavej strane rovnice a členy bez neznámych - napravo. Potom dostaneme 32X - 16X+ 6r+ 2r = 24 + 8 ... Pri podobných členoch v oboch častiach dostaneme rovnicu 16 X+ 8r= 32. Táto rovnica je zredukovaná do tvaru ax + by = c a je kanonický.

Predtým uvažovaná rovnica 25 X+ 10r= 200 je tiež lineárna dvojpremenná rovnica v kanonickom tvare. V tejto rovnici parametre a , b a c sa rovnajú hodnotám 25, 10 a 200.

Vlastne rovnica ax + by = c má nespočetné množstvo riešení. Riešenie rovnice 25X+ 10r= 200, jeho korene sme hľadali len na množine celých čísel. V dôsledku toho sa získalo niekoľko párov hodnôt, ktoré z tejto rovnice urobili identitu. Ale na množine racionálnych čísel rovnica 25 X+ 10r= 200 bude mať nespočetné množstvo riešení.

Ak chcete získať nové páry hodnôt, musíte použiť ľubovoľnú hodnotu X potom vyjadrite r... Vezmime si napríklad premennú X hodnota 7. Potom dostaneme rovnicu s jednou premennou 25 × 7 + 10r= 200 v ktorom sa môžete vyjadriť r

Nechaj X= 15. Potom rovnica 25X+ 10r= 200 bude mať tvar 25 × 15 + 10r= 200. Z toho zistíme, že r = −17,5

Nechaj X= -3. Potom rovnica 25X+ 10r= 200 bude mať tvar 25 × (-3) + 10r= 200. Z toho zistíme, že r = −27,5

Sústava dvoch lineárnych rovníc v dvoch premenných

Pre rovnicu ax + by = c môžete použiť ľubovoľné hodnoty X a nájsť hodnoty pre r... Ak sa to vezme samostatne, takáto rovnica bude mať nespočetné množstvo riešení.

Ale tiež sa stáva, že premenné X a r súvisia nie jednou, ale dvoma rovnicami. V tomto prípade tvoria tzv sústava lineárnych rovníc v dvoch premenných... Takýto systém rovníc môže mať jeden pár hodnôt (alebo inými slovami: „jedno riešenie“).

Môže sa tiež stať, že systém nemá žiadne riešenia. Systém lineárnych rovníc môže mať v ojedinelých a výnimočných prípadoch nespočetné množstvo riešení.

Dve lineárne rovnice tvoria systém, keď hodnoty X a r sú zahrnuté v každej z týchto rovníc.

Vráťme sa k úplne prvej rovnici 25 X+ 10r= 200. Jedným z párov hodnôt pre túto rovnicu bol pár (6; 5). Toto je prípad, keď ste si mohli kúpiť 6 koláčov a 5 šálok kávy za 200 rubľov.

Sformulujme úlohu tak, aby sa dvojica (6; 5) stala jediným riešením rovnice 25 X+ 10r= 200. Aby sme to urobili, zostavíme ďalšiu rovnicu, ktorá by sa týkala toho istého X koláče a ršálky kávy.

Nastavme text problému takto:

„Školák kúpil niekoľko koláčov a niekoľko šálok kávy za 200 rubľov. Koláč stojí 25 rubľov a šálka kávy 10 rubľov. Koľko koláčov a šálok kávy si študent kúpil, ak je známe, že počet koláčov je o jednu väčší ako počet šálok kávy?

Prvú rovnicu už máme. Táto rovnica je 25 X+ 10r= 200. Teraz urobme rovnicu pre podmienku "Počet koláčov je o jeden vyšší ako počet šálok kávy" .

Počet koláčikov je X, a počet šálok kávy je r... Túto frázu môžete napísať pomocou rovnice x - y= 1. Táto rovnica by znamenala, že rozdiel medzi koláčmi a kávou je 1.

x = y+ 1. Táto rovnica znamená, že počet koláčikov je o jeden väčší ako počet šálok kávy. Preto, aby sa dosiahla rovnosť, k počtu šálok kávy sa pridá jedna. To sa dá ľahko pochopiť, ak použijeme model váh, ktorý sme zvážili pri štúdiu najjednoduchších problémov:

Máme dve rovnice: 25 X+ 10r= 200 a x = y+ 1. Keďže hodnoty X a r, konkrétne 6 a 5 sú zahrnuté v každej z týchto rovníc, potom spolu tvoria systém. Napíšme si tento systém. Ak rovnice tvoria systém, potom sú orámované znakom systému. Systémovým znakom je zložená zátvorka:

Poďme vyriešiť tento systém. To nám umožní vidieť, ako sa dostávame k hodnotám 6 a 5. Existuje mnoho metód na riešenie takýchto systémov. Zoberme si tie najpopulárnejšie.

Substitučná metóda

Názov tejto metódy hovorí sám za seba. Jeho podstatou je nahradiť jednu rovnicu inou, ktorá predtým vyjadrila jednu z premenných.

V našom systéme nie je potrebné nič vyjadrovať. V druhej rovnici X = r+ 1 premenná X už vyjadrené. Táto premenná sa rovná výrazu r+ 1. Potom môžete nahradiť tento výraz v prvej rovnici namiesto premennej X

Po substitúcii výrazu r+ 1 do prvej rovnice namiesto X, dostaneme rovnicu 25(r+ 1) + 10r= 200 ... Je to lineárna rovnica s jednou premennou. Vyriešenie tejto rovnice je pomerne jednoduché:

Zistili sme hodnotu premennej r... Teraz dosadíme túto hodnotu do jednej z rovníc a nájdeme hodnotu X... Na tento účel je vhodné použiť druhú rovnicu X = r+ 1. V ňom dosadíme hodnotu r

To znamená, že dvojica (6; 5) je riešením sústavy rovníc, ako sme zamýšľali. Skontrolujeme a ubezpečíme sa, že pár (6; 5) vyhovuje systému:

Príklad 2

Dosaďte prvú rovnicu X= 2 + r do druhej rovnice 3 X - 2r= 9. V prvej rovnici premenná X sa rovná 2 + r... Tento výraz dosadíme do druhej rovnice namiesto X

Teraz poďme nájsť hodnotu X... Ak to chcete urobiť, nahraďte hodnotu r do prvej rovnice X= 2 + r

Takže riešením systému je hodnota páru (5; 3)

Príklad 3... Vyriešte nasledujúcu sústavu rovníc substitučnou metódou:

Tu, na rozdiel od predchádzajúcich príkladov, jedna z premenných nie je explicitne vyjadrená.

Ak chcete nahradiť jednu rovnicu inou, musíte to najskôr urobiť.

Je žiaduce vyjadriť premennú, ktorá má koeficient jedna. Koeficient jedna má premennú X ktorý je obsiahnutý v prvej rovnici X+ 2r= 11. Túto premennú vyjadríme.

Po variabilnom výraze X, náš systém bude mať nasledujúcu formu:

Teraz dosadíme prvú rovnicu do druhej a nájdeme hodnotu r

Náhradník r X

To znamená, že riešením systému je dvojica hodnôt (3; 4)

Samozrejme, môžete vyjadriť aj premennú r... Korene sa z toho nezmenia. Ale ak sa vyjadríš y, dostanete nie príliš jednoduchú rovnicu, ktorej vyriešenie zaberie viac času. Bude to vyzerať takto:

Vidíme to na tomto príklade vyjadriť X oveľa pohodlnejšie ako vyjadrovanie r .

Príklad 4... Vyriešte nasledujúcu sústavu rovníc substitučnou metódou:

Vyjadrime sa v prvej rovnici X... Potom bude mať systém podobu:

r

Náhradník r do prvej rovnice a nájdite X... Môžete použiť pôvodnú rovnicu 7 X+ 9r= 8, alebo použite rovnicu, v ktorej je premenná vyjadrená X... Použijeme túto rovnicu, pretože je to vhodné:

Riešením systému je teda dvojica hodnôt (5; −3)

Spôsob pridávania

Metóda sčítania spočíva v sčítaní rovníc v systéme po členoch. Toto pridanie vedie k tomu, že sa vytvorí nová rovnica s jednou premennou. A vyriešiť takúto rovnicu je celkom jednoduché.

Poďme vyriešiť nasledujúcu sústavu rovníc:

Pridajte ľavú stranu prvej rovnice k ľavej strane druhej rovnice. A pravá strana prvej rovnice s pravou stranou druhej rovnice. Dostaneme nasledujúcu rovnosť:

Tu sú podobné výrazy:

V dôsledku toho sme dostali najjednoduchšiu rovnicu 3 X= 27, ktorého koreň je 9. Poznanie hodnoty X môžete nájsť význam r... Nahraďte hodnotu X do druhej rovnice x - y= 3. Dostaneme 9- r= 3. Odtiaľ r= 6 .

Takže riešením systému je dvojica hodnôt (9; 6)

Príklad 2

Pridajte ľavú stranu prvej rovnice k ľavej strane druhej rovnice. A pravá strana prvej rovnice s pravou stranou druhej rovnice. Vo výslednej rovnosti uvádzame podobné pojmy:

V dôsledku toho sme dostali najjednoduchšiu rovnicu 5 X= 20, ktorého koreň je 4. Poznanie hodnoty X môžete nájsť význam r... Nahraďte hodnotu X do prvej rovnice 2 x + y= 11. Dostaneme 8+ r= 11. Odtiaľ r= 3 .

To znamená, že riešením systému je dvojica hodnôt (4; 3)

Proces pridávania nie je podrobný. Musí sa to robiť v mysli. Okrem toho musia byť obe rovnice zredukované na kanonickú formu. To znamená ac + by = c .

Z uvažovaných príkladov je vidieť, že hlavným účelom pridávania rovníc je zbaviť sa jednej z premenných. Ale nie vždy je možné okamžite vyriešiť sústavu rovníc metódou sčítania. Najčastejšie je systém predbežne uvedený do formy, v ktorej môžete pridať rovnice zahrnuté v tomto systéme.

Napríklad systém možno okamžite vyriešiť metódou sčítania. Pri sčítaní oboch rovníc sa výrazy r a -y zmizne, pretože ich súčet je nula. V dôsledku toho sa vytvorí najjednoduchšia rovnica 11 X= 22, ktorého koreň je 2. Potom bude možné určiť r rovný 5.

A systém rovníc metódu sčítania nemožno vyriešiť okamžite, pretože to nepovedie k vymiznutiu jednej z premenných. Výsledkom sčítania bude rovnica 8 X+ r= 28, ktorý má nespočetné množstvo riešení.

Ak sa obe strany rovnice vynásobia alebo vydelia rovnakým číslom, ktoré sa nerovná nule, získa sa rovnica, ktorá je ekvivalentná danej. Toto pravidlo platí aj pre sústavu lineárnych rovníc v dvoch premenných. Jedna z rovníc (alebo obe rovnice) môže byť vynásobená ľubovoľným číslom. Výsledkom bude ekvivalentný systém, ktorého korene sa budú zhodovať s predchádzajúcim.

Vráťme sa k úplne prvému systému, ktorý popisoval, koľko koláčikov a šálok kávy si študent kúpil. Riešením tohto systému bola dvojica hodnôt (6; 5).

Vynásobme obe rovnice v tejto sústave nejakými číslami. Povedzme, že prvá rovnica je vynásobená 2 a druhá 3

V dôsledku toho sme dostali systém
Riešením tohto systému je stále dvojica hodnôt (6; 5)

To znamená, že rovnice zahrnuté v systéme možno zredukovať na formu vhodnú na aplikáciu metódy sčítania.

Späť do systému , ktoré sa nám nepodarilo vyriešiť sčítacou metódou.

Vynásobte prvú rovnicu 6 a druhú −2

Potom dostaneme nasledujúci systém:

Sčítajme rovnice zahrnuté v tomto systéme. Pridávanie komponentov 12 X a -12 X výsledkom bude 0, sčítanie 18 r a 4 r dá 22 r a sčítaním 108 a −20 dostaneme 88. Potom dostaneme rovnicu 22 r= 88, teda r = 4 .

Ak je spočiatku ťažké pridať rovnice v hlave, potom si môžete zapísať, ako sa ľavá strana prvej rovnice pridá k ľavej strane druhej rovnice a pravá strana prvej rovnice k pravej strana druhej rovnice:

Vedieť, že hodnota premennej r je 4, hodnotu nájdete X... Náhradník r do jednej z rovníc, napríklad do prvej rovnice 2 X+ 3r= 18. Potom dostaneme rovnicu s jednou premennou 2 X+ 12 = 18. Presuňte 12 na pravú stranu, zmeňte znamienko, dostaneme 2 X= 6, teda X = 3 .

Príklad 4... Vyriešte nasledujúcu sústavu rovníc metódou sčítania:

Vynásobte druhú rovnicu −1. Potom bude mať systém nasledujúcu formu:

Pridajme obe rovnice. Pridávanie komponentov X a −x výsledkom bude 0, sčítanie 5 r a 3 r dá 8 r a sčítaním 7 a 1 dostaneme 8. Výsledkom je rovnica 8 r= 8, ktorého koreň je 1. S vedomím, že hodnota r sa rovná 1, môžete nájsť hodnotu X .

Náhradník r do prvej rovnice dostaneme X+ 5 = 7, teda X= 2

Príklad 5... Vyriešte nasledujúcu sústavu rovníc metódou sčítania:

Je žiaduce, aby výrazy obsahujúce rovnaké premenné boli umiestnené pod sebou. Preto v druhej rovnici sú výrazy 5 r a -2 X vymeniť miesta. Výsledkom je, že systém bude mať podobu:

Vynásobme druhú rovnicu 3. Potom bude systém mať tvar:

Teraz pridajme obe rovnice. Výsledkom sčítania dostaneme rovnicu 8 r= 16, ktorého koreň je 2.

Náhradník r do prvej rovnice dostaneme 6 X- 14 = 40. Posuňte člen −14 doprava a zmeňte znamienko, dostaneme 6 X= 54. Odtiaľ X= 9.

Príklad 6... Vyriešte nasledujúcu sústavu rovníc metódou sčítania:

Zbavme sa zlomkov. Vynásobte prvú rovnicu 36 a druhú 12

Vo výslednom systéme prvú rovnicu možno vynásobiť -5 a druhú 8

Pridajme rovnice do výslednej sústavy. Potom dostaneme najjednoduchšiu rovnicu −13 r= -156. Odtiaľ r= 12. Náhradník r do prvej rovnice a nájdite X

Príklad 7... Vyriešte nasledujúcu sústavu rovníc metódou sčítania:

Uveďme obe rovnice do normálneho tvaru. Tu je vhodné použiť pravidlo proporcie v oboch rovniciach. Ak je v prvej rovnici pravá strana znázornená ako a pravá strana druhej rovnice ako, potom bude mať systém tvar:

Máme pomer. Vynásobme jeho extrémne a stredné pojmy. Potom bude mať systém podobu:

Prvú rovnicu vynásobíme −3 a v druhej rozšírime zátvorky:

Teraz pridajme obe rovnice. V dôsledku sčítania týchto rovníc dostaneme rovnosť, v ktorej oboch častiach bude nula:

Ukazuje sa, že systém má nespočetné množstvo riešení.

Nemôžeme však len tak brať z neba ľubovoľné hodnoty X a r... Môžeme určiť jednu z hodnôt a druhá bude určená v závislosti od hodnoty, ktorú sme zadali. Napríklad nech X= 2. Dosadíme túto hodnotu do systému:

Výsledkom riešenia jednej z rovníc je hodnota pre rčo splní obe rovnice:

Výsledná dvojica hodnôt (2; −2) uspokojí systém:

Poďme nájsť ďalší pár hodnôt. Nechaj X= 4. Nahraďte túto hodnotu do systému:

Podľa oka môžete určiť hodnotu r sa rovná nule. Potom dostaneme dvojicu hodnôt (4; 0), ktorá vyhovuje nášmu systému:

Príklad 8... Vyriešte nasledujúcu sústavu rovníc metódou sčítania:

Vynásobte prvú rovnicu 6 a druhú 12

Prepíšme, čo zostalo:

Vynásobte prvú rovnicu −1. Potom bude mať systém podobu:

Teraz pridajme obe rovnice. V dôsledku sčítania sa vytvorí rovnica 6 b= 48, ktorého koreň je 8. Nahrad b do prvej rovnice a nájdite a

Systém lineárnych rovníc v troch premenných

Lineárna rovnica s tromi premennými obsahuje tri premenné s koeficientmi, ako aj priesečník. Vo svojej kánonickej forme môže byť napísaná takto:

ax + by + cz = d

Táto rovnica má nespočetné množstvo riešení. Tým, že dvom premenným dáme rôzne významy, možno nájsť tretí význam. Riešením sú v tomto prípade tri hodnoty ( X; y; z), čo mení rovnicu na identitu.

Ak premenné x, y, z sú spojené tromi rovnicami, potom vzniká sústava troch lineárnych rovníc s tromi premennými. Na vyriešenie takéhoto systému môžete použiť rovnaké metódy, ktoré sa aplikujú na lineárne rovnice s dvoma premennými: substitučnú metódu a metódu sčítania.

Príklad 1... Vyriešte nasledujúcu sústavu rovníc substitučnou metódou:

Vyjadrime sa v tretej rovnici X... Potom bude mať systém podobu:

Teraz urobme náhradu. Variabilné X rovný výrazu 3 − 2r − 2z ... Nahraďte tento výraz v prvej a druhej rovnici:

Otvorme zátvorky v oboch rovniciach a dajme podobné pojmy:

Dospeli sme k systému lineárnych rovníc v dvoch premenných. V tomto prípade je vhodné použiť metódu pridávania. V dôsledku toho premenná r zmizne a môžeme nájsť hodnotu premennej z

Teraz poďme nájsť hodnotu r... Na tento účel je vhodné použiť rovnicu - r+ z= 4. Dosaďte do neho hodnotu z

Teraz poďme nájsť hodnotu X... Na tento účel je vhodné použiť rovnicu X= 3 − 2r − 2z ... Dosadíme v ňom hodnoty r a z

Trojica hodnôt (3; −2; 2) je teda riešením pre náš systém. Kontrolou sa ubezpečíme, že tieto hodnoty vyhovujú systému:

Príklad 2... Vyriešte systém pomocou metódy sčítania

Pridajte prvú rovnicu k druhej vynásobenej −2.

Ak sa druhá rovnica vynásobí −2, dostane tvar −6X+ 6y - 4z = −4 ... Teraz to pridajte do prvej rovnice:

Vidíme, že v dôsledku elementárnych transformácií bola určená hodnota premennej X... Rovná sa jednej.

Vráťme sa k hlavnému systému. Pridajte druhú rovnicu k tretej vynásobenej −1. Ak sa tretia rovnica vynásobí −1, dostane tvar −4X + 5r − 2z = −1 ... Teraz to pridajte do druhej rovnice:

Dostali sme rovnicu X - 2r= -1. Dosadíme v ňom hodnotu X ktoré sme našli skôr. Potom môžeme určiť hodnotu r

Teraz už poznáme hodnoty X a r... To vám umožní určiť hodnotu z... Použime jednu z rovníc zahrnutých v systéme:

Trojica hodnôt (1; 1; 1) je teda riešením nášho systému. Kontrolou sa ubezpečíme, že tieto hodnoty vyhovujú systému:

Úlohy na skladanie sústav lineárnych rovníc

Problém skladania sústav rovníc sa rieši zadaním viacerých premenných. Ďalej sa na základe podmienok úlohy zostavia rovnice. Z rovníc vytvoria sústavu a vyriešia ju. Po vyriešení systému je potrebné skontrolovať, či jeho riešenie spĺňa podmienky problému.

Problém 1... Auto Volga odišlo z mesta do kolektívnej farmy. Späť sa vrátila po inej ceste, ktorá bola o 5 km kratšia ako prvá. Celkovo auto najazdilo 35 km v oboch smeroch. Koľko kilometrov má každá cesta?

Riešenie

Nechaj X - dĺžka prvej cesty, r- dĺžka druhého. Ak auto prešlo 35 km na oba konce, tak prvú rovnicu možno napísať ako X+ r= 35. Táto rovnica popisuje súčet dĺžok oboch ciest.

Auto sa vraj vrátilo späť po ceste, ktorá bola o 5 km kratšia ako tá prvá. Potom môže byť druhá rovnica napísaná ako X− r= 5. Táto rovnica ukazuje, že rozdiel medzi dĺžkami ciest je 5 km.

Alebo druhá rovnica môže byť napísaná ako X= r+ 5. Použijeme túto rovnicu.

Keďže premenné X a r v oboch rovniciach označujú rovnaké číslo, potom z nich môžeme zostaviť systém:

Poďme vyriešiť tento systém pomocou niektorej z predtým študovaných metód. V tomto prípade je vhodné použiť substitučnú metódu, keďže v druhej rovnici premenná X už vyjadrené.

Dosaďte druhú rovnicu do prvej a nájdite r

Nahraďte zistenú hodnotu r v druhej rovnici X= r+ 5 a nájdite X

Dĺžka prvej cesty bola označená premennou X... Teraz sme našli jeho význam. Variabilné X rovná sa 20. Čiže dĺžka prvej cesty je 20 km.

A dĺžka druhej cesty bola označená r... Hodnota tejto premennej je 15. Čiže dĺžka druhej cesty je 15 km.

Skontrolujme to. Najprv sa uistite, že systém je vyriešený správne:

Teraz skontrolujme, či riešenie (20; 15) spĺňa podmienky úlohy.

Hovorilo sa, že auto prešlo 35 km v oboch smeroch. Pridajte dĺžky oboch ciest a uistite sa, že riešenie (20; 15) spĺňa túto podmienku: 20 km + 15 km = 35 km

Ďalšia podmienka: späť sa auto vracalo po inej ceste, ktorá bola o 5 km kratšia ako prvá ... Vidíme, že riešenie (20; 15) tiež spĺňa túto podmienku, pretože 15 km je kratších ako 20 km o 5 km: 20 km - 15 km = 5 km

Pri zostavovaní systému je dôležité, aby premenné označovali rovnaké čísla vo všetkých rovniciach zahrnutých v tomto systéme.

Náš systém teda obsahuje dve rovnice. Tieto rovnice zase obsahujú premenné X a r, ktoré predstavujú v oboch rovniciach rovnaké čísla, a to dĺžky ciest 20 km a 15 km.

Úloha 2... Na plošinu boli naložené dubové a borovicové podvaly, celkovo 300 kusov. Je známe, že všetky dubové podvaly vážili o 1 tonu menej ako všetky borovicové podvaly. Určte, koľko dubových a borovicových podvalov bolo oddelene, ak každý dubový podval vážil 46 kg a každý borovicový podval 28 kg.

Riešenie

Nechaj X dub a r na plošinu boli naložené borovicové podvaly. Ak by bolo celkovo 300 podvalov, tak prvú rovnicu možno napísať ako x + y = 300 .

Všetky dubové podvaly vážili 46 X kg a borovica vážila 28 r kg. Keďže dubové podvaly vážili o 1 tonu menej ako borovicové podvaly, druhú rovnicu možno zapísať ako 28y - 46X= 1000 ... Táto rovnica ukazuje, že rozdiel v hmotnosti medzi dubovými a borovicovými podvalmi je 1000 kg.

Tony boli prepočítané na kilogramy, pretože hmotnosť dubových a borovicových podvalov sa meria v kilogramoch.

V dôsledku toho získame dve rovnice, ktoré tvoria systém

Poďme vyriešiť tento systém. Vyjadrime sa v prvej rovnici X... Potom bude mať systém podobu:

Nahraďte prvú rovnicu druhou a nájdite r

Náhradník r do rovnice X= 300 − r a zistiť, čo sa rovná X

To znamená, že na plošinu bolo naložených 100 dubových a 200 borovicových podvalov.

Skontrolujme, či riešenie (100; 200) spĺňa podmienky úlohy. Najprv sa uistite, že systém je správne vyriešený:

Celkovo bolo vraj 300 spáčov. Spočítajte počet dubových a borovicových podvalov a uistite sa, že riešenie (100; 200) spĺňa túto podmienku: 100 + 200 = 300.

Ďalšia podmienka: všetky dubové podvaly vážili o 1 tonu menej ako všetky borovicové podvaly ... Vidíme, že riešenie (100; 200) tiež spĺňa túto podmienku, keďže 46 × 100 kg dubových podvalov je ľahších ako 28 × 200 kg borovicových podvalov: 5600 kg - 4600 kg = 1000 kg.

Problém 3... Boli odobraté tri kusy zliatiny medi a niklu v hmotnostných pomeroch 2: 1, 3: 1 a 5: 1. Vytavil sa z nich kus o hmotnosti 12 kg s pomerom medi a niklu 4:1. Nájdite hmotnosť každého pôvodného kusu, ak hmotnosť prvého kusu je dvojnásobkom hmotnosti druhého.