C 8 metódy riešenia sústav rovníc. Riešenie sústavy rovníc sčítacou metódou. Riešenie zložitých sústav rovníc

Týmto videom začínam sériu lekcií o sústavách rovníc. Dnes si povieme niečo o riešení sústav lineárnych rovníc metóda pridávania- je to jeden z najjednoduchších spôsobov, no zároveň jeden z najefektívnejších.

Metóda pridávania pozostáva z troch jednoduchých krokov:

1. Pozrite sa na systém a vyberte premennú, ktorá má v každej rovnici rovnaké (alebo opačné) koeficienty;
2. Vykonajte algebraické odčítanie (pre opačné čísla - sčítanie) rovníc od seba navzájom a potom uveďte podobné pojmy;
3. Vyriešte novú rovnicu z druhého kroku.

Ak je všetko vykonané správne, potom na výstupe dostaneme jedinú rovnicu s jednou premennou- nebude ťažké to vyriešiť. Potom už zostáva len nahradiť nájdený koreň do pôvodného systému a získať konečnú odpoveď.

V praxi však veci nie sú také jednoduché. Existuje na to niekoľko dôvodov:

• Riešenie rovníc metódou sčítania znamená, že všetky riadky musia obsahovať premenné s rovnakými / opačnými koeficientmi. Ale čo ak táto požiadavka nie je splnená?
• Nie vždy, po sčítaní / odčítaní rovníc týmto spôsobom dostaneme krásnu konštrukciu, ktorá sa dá ľahko vyriešiť. Je možné nejako zjednodušiť výpočty a urýchliť výpočty?

Ak chcete získať odpoveď na tieto otázky a zároveň sa vysporiadať s niekoľkými ďalšími jemnosťami, ktoré mnohí študenti „prepadnú“, pozrite si moju video lekciu:

Touto lekciou začíname sériu prednášok o sústavách rovníc. A začneme od najjednoduchších z nich, a to od tých, ktoré obsahujú dve rovnice a dve premenné. Každý z nich bude lineárny.

Systémy je materiál pre 7. ročník, ale táto lekcia bude užitočná aj pre stredoškolákov, ktorí si chcú oprášiť svoje vedomosti o danej téme.

Vo všeobecnosti existujú dva spôsoby riešenia takýchto systémov:

1. Metóda pridávania;
2. Metóda vyjadrenia jednej premennej prostredníctvom druhej.

Dnes sa budeme zaoberať prvou metódou – použijeme metódu odčítania a sčítania. Na to však musíte pochopiť nasledujúcu skutočnosť: akonáhle máte dve alebo viac rovníc, máte právo zobrať ľubovoľné dve z nich a pridať ich k sebe. Pridávajú sa termín po termíne, t.j. "X" sa pridávajú s "X" a uvádzajú sa podobné;

Výsledkom takýchto machinácií bude nová rovnica, ktorá, ak má korene, bude nevyhnutne medzi koreňmi pôvodnej rovnice. Preto je našou úlohou urobiť odčítanie alebo sčítanie tak, aby zmizlo buď $ x $ alebo $ y $.

Ako to dosiahnuť a aký nástroj na to použiť - o tom teraz budeme hovoriť.

Riešenie svetelných problémov metódou sčítania

Učíme sa teda aplikovať metódu sčítania na príklade dvoch najjednoduchších výrazov.

Problém číslo 1

\ [\ vľavo \ (\ začiatok (zarovnanie) & 5x-4y = 22 \\ & 7x + 4y = 2 \\\ koniec (zarovnanie) \ vpravo. \]

Všimnite si, že $ y $ má koeficient v prvej rovnici $ -4 $ a v druhej - $ + 4 $. Sú navzájom protikladné, takže je logické predpokladať, že ak ich spočítame, tak vo výslednom súčte sa „hry“ vzájomne zničia. Pridáme a dostaneme:

Riešime najjednoduchší dizajn:

Skvelé, našli sme X. Čo s ním teraz robiť? Máme právo ho nahradiť v ktorejkoľvek z rovníc. Nahradime v prvom:

\ [- 4r = 12 \ vľavo | : \ vľavo (-4 \ vpravo) \ vpravo. \]

Odpoveď: $ \ vľavo (2; -3 \ vpravo) $.

Problém číslo 2

\ [\ vľavo \ (\ začiatok (zarovnanie) & -6x + y = 21 \\ & 6x-11y = -51 \\\ koniec (zarovnanie) \ vpravo. \]

Tu je situácia úplne podobná, len s X-kami. Sčítajme ich:

Dostali sme najjednoduchšiu lineárnu rovnicu, poďme ju vyriešiť:

Teraz nájdime $ x $:

Odpoveď: $ \ vľavo (-3; 3 \ vpravo) $.

Dôležité body

Takže sme práve vyriešili dva najjednoduchšie systémy lineárnych rovníc metódou sčítania. Ešte raz kľúčové body:

1. Ak existujú opačné koeficienty pre jednu z premenných, potom je potrebné pridať všetky premenné v rovnici. V tomto prípade bude jeden z nich zničený.
2. Nájdenú premennú dosadíme do ktorejkoľvek z rovníc systému, aby sme našli druhú.
3. Konečný záznam odpovede môže byť prezentovaný rôznymi spôsobmi. Napríklad tak - $ x = ..., y = ... $, alebo vo forme súradníc bodov - $ \ vľavo (...; ... \ vpravo) $. Uprednostňuje sa druhá možnosť. Hlavná vec na zapamätanie je, že prvá súradnica je $ x $ a druhá je $ y $.
4. Nie vždy platí pravidlo písania odpovede vo forme súradníc bodov. Napríklad ho nemožno použiť, keď premenné nie sú $ x $ a $ y $, ale napríklad $ a $ a $ b $.

V nasledujúcich úlohách sa pozrieme na techniku ​​odčítania, keď koeficienty nie sú opačné.

Riešenie jednoduchých úloh metódou odčítania

Problém číslo 1

\ [\ vľavo \ (\ začiatok (zarovnanie) & 10x-3y = 5 \\ & -6x-3y = -27 \\\ koniec (zarovnanie) \ vpravo. \]

Všimnite si, že tu neexistujú žiadne opačné koeficienty, ale existujú rovnaké. Preto odčítame druhú od prvej rovnice:

Teraz dosadíme hodnotu $ x $ do ktorejkoľvek z rovníc systému. Poďme prvý:

Odpoveď: $ \ vľavo (2; 5 \ vpravo) $.

Problém číslo 2

\ [\ vľavo \ (\ začiatok (zarovnanie) & 5x + 4y = -22 \\ & 5x-2y = -4 \\\ koniec (zarovnanie) \ vpravo. \]

Opäť vidíme rovnaký koeficient 5 $ až $ x $ v prvej a druhej rovnici. Preto je logické predpokladať, že musíte odpočítať druhú od prvej rovnice:

Vypočítali sme jednu premennú. Teraz nájdime druhý, napríklad dosadením hodnoty $ y $ do druhého konštruktu:

Odpoveď: $ \ vľavo (-3; -2 \ vpravo) $.

Nuansy riešenia

Čo teda vidíme? V podstate sa schéma nelíši od riešenia predchádzajúcich systémov. Rozdiel je len v tom, že rovnice nesčítavame, ale odčítavame. Robíme algebraické odčítanie.

Inými slovami, akonáhle uvidíte systém dvoch rovníc s dvoma neznámymi, prvá vec, na ktorú sa musíte pozrieť, sú koeficienty. Ak sú kdekoľvek rovnaké, rovnice sa odčítajú a ak sú opačné, použije sa metóda sčítania. Vždy sa to robí tak, že jedna z nich zmizne a vo výslednej rovnici by zostala len jedna premenná, ktorá zostala po odčítaní.

To samozrejme nie je všetko. Teraz zvážime systémy, v ktorých sú rovnice vo všeobecnosti nekonzistentné. Tie. nie sú v nich premenné, ktoré by boli buď rovnaké alebo opačné. V tomto prípade sa na riešenie takýchto systémov používa dodatočná technika, konkrétne násobenie každej z rovníc špeciálnym koeficientom. Ako to nájsť a ako riešiť takéto systémy vo všeobecnosti, teraz o tom budeme hovoriť.

Riešenie úlohy násobením koeficientom

Príklad č.1

\ [\ vľavo \ (\ začiatok (zarovnanie) & 5x-9y = 38 \\ & 3x + 2y = 8 \\\ koniec (zarovnanie) \ vpravo. \]

Vidíme, že ani pre $ x $, ani pre $ y $ koeficienty nielenže nie sú vzájomne opačné, ale vo všeobecnosti nijako nekorelujú s inou rovnicou. Tieto koeficienty nijako nezmiznú, ani keď rovnice od seba sčítame alebo odčítame. Preto je potrebné aplikovať násobenie. Skúsme sa zbaviť premennej $ y $. Aby sme to dosiahli, vynásobíme prvú rovnicu koeficientom $ y $ z druhej rovnice a druhú rovnicu - $ y $ z prvej rovnice bez zmeny znamienka. Vynásobíme a získame nový systém:

\ [\ vľavo \ (\ začiatok (zarovnanie) & 10x-18r = 76 \\ & 27x + 18r = 72 \\\ koniec (zarovnanie) \vpravo. \]

Pozeráme sa na to: pre $ y $ opačné koeficienty. V takejto situácii je potrebné použiť metódu sčítania. Pridajme:

Teraz musíme nájsť $ y $. Ak to chcete urobiť, nahraďte $ x $ v prvom výraze:

\ [- 9r = 18 \ vľavo | : \ vľavo (-9 \ vpravo) \ vpravo. \]

Odpoveď: $ \ vľavo (4; -2 \ vpravo) $.

Príklad č.2

\ [\ vľavo \ (\ začiatok (zarovnanie) & 11x + 4y = -18 \\ & 13x-6y = -32 \\\ koniec (zarovnanie) \ vpravo. \]

Opäť platí, že koeficienty pre žiadnu z premenných nie sú konzistentné. Vynásobme koeficientmi pri $ y $:

\ [\ vľavo \ (\ začiatok (zarovnanie) & 11x + 4y = -18 \ vľavo | 6 \ vpravo. \\ & 13x-6y = -32 \ vľavo | 4 \ vpravo. \\\ koniec (zarovnanie) \ vpravo . \]

\ [\ vľavo \ (\ začiatok (zarovnanie) & 66x + 24y = -108 \\ & 52x-24y = -128 \\\ koniec (zarovnanie) \ vpravo. \]

Náš nový systém je ekvivalentný s predchádzajúcim, ale koeficienty $ y $ sú navzájom opačné, a preto je ľahké použiť metódu sčítania tu:

Teraz nájdeme $ y $ nahradením $ x $ v prvej rovnici:

Odpoveď: $ \ vľavo (-2; 1 \ vpravo) $.

Nuansy riešenia

Tu je kľúčové pravidlo nasledovné: násobíme vždy iba kladnými číslami - to vás ušetrí od hlúpych a urážlivých chýb spojených so zmenou značiek. Vo všeobecnosti je schéma riešenia pomerne jednoduchá:

1. Pozeráme sa na systém a analyzujeme každú rovnicu.
2. Ak vidíme, že ani pre $ y $, ani pre $ x $ nie sú koeficienty konzistentné, t.j. nie sú ani rovnaké, ani opačné, potom urobíme nasledovné: vyberieme premennú, ktorej sa chceme zbaviť, a potom sa pozrieme na koeficienty týchto rovníc. Ak vynásobíme prvú rovnicu koeficientom z druhej a druhú, vynásobíme koeficientom z prvej, nakoniec dostaneme systém, ktorý je úplne ekvivalentný predchádzajúcemu, a koeficienty pre $ y $ bude konzistentné. Všetky naše akcie alebo transformácie sú zamerané len na získanie jednej premennej v jednej rovnici.
3. Nájdeme jednu premennú.
4. Nájdenú premennú dosadíme do jednej z dvoch rovníc systému a nájdeme druhú.
5. Odpoveď zapíšeme v tvare súradníc bodov, ak máme premenné $ x $ a $ y $.

Ale aj taký jednoduchý algoritmus má svoje vlastné jemnosti, napríklad koeficienty $ x $ alebo $ y $ môžu byť zlomky a iné „škaredé“ čísla. Tieto prípady teraz zvážime oddelene, pretože v nich možno konať trochu inak ako podľa štandardného algoritmu.

Riešenie úloh so zlomkovými číslami

Príklad č.1

\ [\ vľavo \ (\ začiatok (zarovnanie) & 4 m-3n = 32 \\ & 0,8 m + 2,5 n = -6 \\\ koniec (zarovnanie) \ vpravo. \]

Najprv si všimnite, že v druhej rovnici sú zlomky. Upozorňujeme však, že 4 doláre môžete vydeliť 0,8 dolára. Dostávame 5 $. Vynásobme druhú rovnicu 5 $:

\ [\ vľavo \ (\ začiatok (zarovnanie) & 4 m-3n = 32 \\ & 4 m + 12,5 m = -30 \\\ koniec (zarovnanie) \ vpravo. \]

Odčítajte rovnice od seba:

Našli sme $ n $, teraz vypočítajme $ m $:

Odpoveď: $ n = -4; m = 5 $

Príklad č.2

\ [\ vľavo \ (\ začiatok (zarovnať) & 2,5p + 1,5k = -13 \ vľavo | 4 \ vpravo. \\ & 2p-5k = 2 \ vľavo | 5 \ vpravo. \\\ koniec (zarovnať) \ správny. \]

Aj tu, rovnako ako v predchádzajúcom systéme, existujú zlomkové koeficienty, avšak pre žiadnu z premenných do seba koeficienty nezapadajú niekoľkonásobne celočíselne. Preto používame štandardný algoritmus. Zbavte sa $ p $:

\ [\ vľavo \ (\ začiatok (zarovnanie) & 5p + 3k = -26 \\ & 5p-12,5k = 5 \\\ koniec (zarovnanie) \ vpravo. \]

Používame metódu odčítania:

Nájdite $ p $ zapojením $ k $ do druhej konštrukcie:

Odpoveď: $ p = -4; k = -2 $.

Nuansy riešenia

To je celá optimalizácia. V prvej rovnici sme nenásobili vôbec ničím a druhá rovnica bola vynásobená 5 $. V dôsledku toho sme dostali konzistentnú a dokonca rovnakú rovnicu pre prvú premennú. V druhom systéme sme postupovali podľa štandardného algoritmu.

Ako však nájdete čísla, ktorými musíte rovnice vynásobiť? Ak totiž vynásobíme zlomkovými číslami, dostaneme nové zlomky. Zlomky sa preto musia vynásobiť číslom, ktoré by dalo nové celé číslo, a až potom sa musia premenné vynásobiť koeficientmi podľa štandardného algoritmu.

Na záver by som chcel upozorniť na formát záznamu odpovede. Ako som už povedal, keďže tu nemáme $ x $ a $ y $, ale iné hodnoty, používame neštandardný zápis tvaru:

Riešenie zložitých sústav rovníc

Na záver dnešného videonávodu sa pozrime na niekoľko skutočne zložitých systémov. Ich komplexnosť bude spočívať v tom, že budú obsahovať premenné vľavo a vpravo. Preto, aby sme ich vyriešili, budeme musieť použiť predbežné spracovanie.

Systém č.1

\ [\ vľavo \ (\ začať (zarovnať) & 3 \ vľavo (2x-y \ vpravo) + 5 = -2 \ vľavo (x + 3y \ vpravo) +4 \\ & 6 \ vľavo (y + 1 \ vpravo ) -1 = 5 \ vľavo (2x-1 \ vpravo) +8 \\\ koniec (zarovnať) \ vpravo. \]

Každá rovnica nesie určitú zložitosť. Preto pri každom výraze postupujme ako pri normálnej lineárnej konštrukcii.

Celkovo dostaneme konečný systém, ktorý je ekvivalentný pôvodnému:

\ [\ vľavo \ (\ začiatok (zarovnanie) & 8x + 3y = -1 \\ & -10x + 6r = -2 \\\ koniec (zarovnanie) \ vpravo. \]

Pozrime sa na koeficienty pre $ y $: $ 3 $ sa zmestí do $ 6 $ dvakrát, takže prvú rovnicu vynásobíme $ 2 $:

\ [\ vľavo \ (\ začiatok (zarovnanie) & 16x + 6 r = -2 \\ & -10 + 6 r = -2 \\\ koniec (zarovnanie) \ vpravo. \]

Koeficienty v $ y $ sú teraz rovnaké, takže od prvej rovnice odpočítame druhý: $$

Teraz nájdime $ y $:

Odpoveď: $ \ vľavo (0; - \ frac (1) (3) \ vpravo) $

Systém č.2

\ [\ vľavo \ (\ začať (zarovnať) & 4 \ vľavo (a-3b \ vpravo) -2a = 3 \ vľavo (b + 4 \ vpravo) -11 \\ & -3 \ vľavo (b-2a \ vpravo ) -12 = 2 \ vľavo (a-5 \ vpravo) + b \\\ koniec (zarovnať) \ vpravo. \]

Transformujme prvý výraz:

Zaoberáme sa druhým:

\ [- 3 \ vľavo (b-2a \ vpravo) -12 = 2 \ vľavo (a-5 \ vpravo) + b \]

\ [- 3b + 6a-12 = 2a-10 + b \]

\ [- 3b + 6a-2a-b = -10 + 12 \]

Náš počiatočný systém bude teda vyzerať takto:

\ [\ vľavo \ (\ začiatok (zarovnanie) & 2a-15b = 1 \\ & 4a-4b = 2 \\\ koniec (zarovnanie) \ vpravo. \]

Pri pohľade na koeficienty pre $ a $ vidíme, že prvú rovnicu je potrebné vynásobiť $ 2 $:

\ [\ vľavo \ (\ začiatok (zarovnanie) & 4a-30b = 2 \\ & 4a-4b = 2 \\\ koniec (zarovnanie) \ vpravo. \]

Odčítajte druhú od prvej konštrukcie:

Teraz poďme nájsť $ a $:

Odpoveď: $ \ vľavo (a = \ frac (1) (2); b = 0 \ vpravo) $.

To je všetko. Dúfam, že vám tento videonávod pomôže pochopiť túto náročnú tému, konkrétne riešenie systémov jednoduchých lineárnych rovníc. Neskôr bude na túto tému oveľa viac lekcií: rozoberieme zložitejšie príklady, kde bude viac premenných a samotné rovnice už budú nelineárne. Dobudúcna!

Zvyčajne sú rovnice systému napísané v stĺpci pod sebou a kombinované so zloženou zátvorkou

Sústava rovníc tohto tvaru, kde a, b, c- čísla a x, y- premenné tzv sústava lineárnych rovníc.

Pri riešení sústavy rovníc sa využívajú vlastnosti platné pre riešenie rovníc.

Riešenie sústavy lineárnych rovníc substitučnou metódou

Uvažujme o príklade

1) Vyjadrite premennú v jednej z rovníc. Napríklad vyjadrujeme r v prvej rovnici dostaneme systém:

2) Dosaďte v druhej rovnici sústavy namiesto r výraz 3x-7:

3) Vyriešime výslednú druhú rovnicu:

4) Získané riešenie dosadíme do prvej rovnice sústavy:

Systém rovníc má jedinečné riešenie: dvojicu čísel x = 1, y = -4... odpoveď: (1; -4) , napísané v zátvorkách, na prvej pozícii hodnotu X, Na druhom - r.

Riešenie sústavy lineárnych rovníc sčítacou metódou

Poďme vyriešiť sústavu rovníc z predchádzajúceho príkladu adičnou metódou.

1) Transformujte systém tak, aby koeficienty pre jednu z premenných boli opačné. Vynásobme prvú rovnicu sústavy „3“.

2) Pridajte rovnice sústavy člen po člene. Druhá rovnica systému (akákoľvek) sa prepíše bez zmien.

3) Získané riešenie dosadíme do prvej rovnice sústavy:

Grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc

Grafické riešenie sústavy rovníc s dvoma premennými je redukované na hľadanie súradníc spoločných bodov grafov rovníc.

Graf lineárnej funkcie je priamka. Dve priame čiary v rovine sa môžu pretínať v jednom bode, byť rovnobežné alebo sa zhodovať. V súlade s tým môže sústava rovníc: a) mať jedinečné riešenie; b) nemajú riešenia; c) majú nekonečné množstvo riešení.

2) Riešením sústavy rovníc je bod (ak sú rovnice lineárne) priesečník grafov.

Grafické riešenie systému

Metóda zavádzania nových premenných

Zmena premenných môže viesť k riešeniu jednoduchšieho systému rovníc, než bol ten pôvodný.

Zvážte riešenie systému

Potom predstavíme náhradu

Prejdeme k pôvodným premenným

Špeciálne prípady

Bez riešenia systému lineárnych rovníc je možné určiť počet jeho riešení pomocou koeficientov pre príslušné premenné.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc (SLAE) je nepochybne najdôležitejšou témou kurzu lineárnej algebry. Obrovské množstvo problémov zo všetkých odvetví matematiky sa redukuje na riešenie sústav lineárnych rovníc. Tieto faktory vysvetľujú dôvod vytvorenia tohto článku. Materiál článku je vybraný a štruktúrovaný tak, aby ste s jeho pomocou mohli

• zvoliť optimálnu metódu riešenia vášho systému lineárnych algebraických rovníc,
• študovať teóriu zvolenej metódy,
• vyriešte svoj systém lineárnych rovníc podrobným zvážením analyzovaných riešení typických príkladov a problémov.

Stručný popis materiálu článku.

Najprv uvedieme všetky potrebné definície a pojmy a predstavíme notáciu.

Ďalej sa budeme zaoberať metódami riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a ktoré majú jedinečné riešenie. Po prvé, zastavme sa pri Cramerovej metóde, po druhé ukážme maticovú metódu riešenia takýchto sústav rovníc a po tretie rozoberme Gaussovu metódu (metóda postupnej eliminácie neznámych premenných). Pre upevnenie teórie určite vyriešime niekoľko SLAE rôznymi spôsobmi.

Potom prejdeme k riešeniu systémov lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru, v ktorých sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych premenných alebo je hlavná matica systému degenerovaná. Sformulujme Kroneckerovu - Capelliho vetu, ktorá nám umožňuje stanoviť kompatibilitu SLAE. Analyzujme riešenie systémov (v prípade ich kompatibility) pomocou konceptu základného minoru matice. Zvážime aj Gaussovu metódu a podrobne popíšeme riešenia príkladov.

Určite sa zastavíme pri štruktúre všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych systémov lineárnych algebraických rovníc. Uveďme koncept základného systému riešení a ukážme, ako sa všeobecné riešenie SLAE zapisuje pomocou vektorov základného systému riešení. Pre lepšie pochopenie sa pozrime na niekoľko príkladov.

Na záver uvažujeme o sústavách rovníc, ktoré sa redukujú na lineárne, ako aj o rôznych problémoch, pri riešení ktorých vznikajú SLAE.

Navigácia na stránke.

Definície, pojmy, označenia.

Budeme uvažovať sústavy p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými (p sa môže rovnať n) tvaru

Neznáme premenné, - koeficienty (niektoré reálne alebo komplexné čísla), - voľné členy (aj reálne alebo komplexné čísla).

Táto forma zápisu SLAE sa nazýva koordinovať.

V matricový formulár zápis, tento systém rovníc má tvar,
kde - hlavná matica systému, - matica-stĺpec neznámych premenných, - matica-stĺpec voľných členov.

Ak k matici A pridáme ako (n + 1) stĺpec maticu-stĺpec voľných členov, dostaneme tzv. rozšírená matrica sústavy lineárnych rovníc. Rozšírená matica je zvyčajne označená písmenom T a stĺpec voľných členov je oddelený zvislou čiarou od zvyšku stĺpcov, tj.

Riešením sústavy lineárnych algebraických rovníc je množina hodnôt neznámych premenných, ktorá premieňa všetky rovnice systému na identity. Maticová rovnica pre dané hodnoty neznámych premenných sa tiež zmení na identitu.

Ak má sústava rovníc aspoň jedno riešenie, potom sa nazýva kĺb.

Ak systém rovníc nemá riešenia, potom sa nazýva nekonzistentné.

Ak má SLAE unikátne riešenie, potom je tzv určitý; ak existuje viac ako jedno riešenie, potom - nedefinované.

Ak sa voľné členy všetkých rovníc sústavy rovnajú nule , potom sa zavolá systém homogénne, inak - heterogénne.

Riešenie elementárnych sústav lineárnych algebraických rovníc.

Ak sa počet rovníc systému rovná počtu neznámych premenných a determinant jeho hlavnej matice sa nerovná nule, potom sa takéto SLAE budú nazývať elementárne... Takéto sústavy rovníc majú jedinečné riešenie a v prípade homogénneho systému sú všetky neznáme premenné rovné nule.

Takéto SLAE sme začali študovať na strednej škole. Pri ich riešení sme zobrali jednu rovnicu, jednu neznámu premennú sme vyjadrili inými a dosadili ju do zvyšných rovníc, potom sme zobrali ďalšiu rovnicu, vyjadrili ďalšiu neznámu premennú a dosadili ju do iných rovníc atď. Alebo použili metódu sčítania, to znamená, že pridali dve alebo viac rovníc na odstránenie niektorých neznámych premenných. Nebudeme sa týmito metódami podrobne zaoberať, pretože sú v skutočnosti modifikáciami Gaussovej metódy.

Hlavnými metódami riešenia elementárnych sústav lineárnych rovníc sú Cramerova metóda, maticová metóda a Gaussova metóda. Poďme si ich analyzovať.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou.

Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť systém lineárnych algebraických rovníc

v ktorej sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a determinant hlavnej matice systému je nenulový, teda.

Nech je determinant hlavnej matice systému a - determinanty matíc, ktoré sa získajú z A nahradením 1., 2., ..., n-tý do stĺpca voľných členov:

Pri tomto zápise sa neznáme premenné vypočítajú pomocou vzorcov Cramerovej metódy as ... Takto sa nájde riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou.

Príklad.

Cramerova metóda .

Riešenie.

Hlavná matica systému má tvar ... Vypočítajme jeho determinant (ak je to potrebné, pozri článok):

Keďže determinant hlavnej matice systému je nenulový, systém má jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť Cramerovou metódou.

Zostavme a vypočítajme potrebné determinanty (determinant sa získa nahradením prvého stĺpca v matici A stĺpcom voľných členov, determinant - nahradením druhého stĺpca stĺpcom voľných členov, - nahradením tretieho stĺpca matice A stĺpcom voľných členov ):

Nájdite neznáme premenné podľa vzorcov :

odpoveď:

Hlavnou nevýhodou Cramerovej metódy (ak ju možno nazvať nevýhodou) je zložitosť výpočtu determinantov, keď je počet rovníc v systéme viac ako tri.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou (pomocou inverznej matice).

Nech je sústava lineárnych algebraických rovníc zadaná v maticovom tvare, kde matica A má rozmer n x n a jej determinant je nenulový.

Keďže matica A je invertibilná, to znamená, že existuje inverzná matica. Ak obe strany rovnosti vynásobíme ľavou, dostaneme vzorec na nájdenie stĺpcovej matice neznámych premenných. Tak sme dostali riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc maticová metóda.

Riešenie.

Prepíšme sústavu rovníc do maticového tvaru:

Pretože

potom možno SLAE vyriešiť maticovou metódou. Pomocou inverznej matice možno nájsť riešenie tohto systému ako .

Zostrojme inverznú maticu pomocou matice algebraických doplnkov prvkov matice A (ak je to potrebné, pozri článok):

Zostáva vypočítať - maticu neznámych premenných vynásobením inverznej matice do stĺpcovej matice voľných členov (v prípade potreby pozri článok):

odpoveď:

alebo v inom zápise x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hlavným problémom pri hľadaní riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou je zložitosť nájdenia inverznej matice, najmä pre štvorcové matice vyššieho ako tretieho rádu.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou.

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť riešenie systému n lineárnych rovníc s n neznámymi premennými
determinant hlavnej matice ktorého je nenulový.

Podstata Gaussovej metódy spočíva v postupnej eliminácii neznámych premenných: najprv je x 1 vylúčené zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou, potom je x 2 vylúčené zo všetkých rovníc, počnúc treťou, atď., až kým len neznáma premenná xn zostáva v poslednej rovnici. Takýto proces transformácie rovníc systému na postupnú elimináciu neznámych premenných sa nazýva priamym priebehom Gaussovej metódy... Po dokončení dopredného chodu Gaussovej metódy sa z poslednej rovnice zistí x n, pomocou tejto hodnoty sa z predposlednej rovnice vypočíta x n-1 a tak ďalej sa z prvej rovnice zistí x 1. Proces výpočtu neznámych premenných pri prechode od poslednej rovnice systému k prvej sa nazýva spätná Gaussova metóda.

Stručne popíšme algoritmus na elimináciu neznámych premenných.

Budeme predpokladať, že to môžeme vždy dosiahnuť preskupením rovníc systému. Odstráňte neznámu premennú x 1 zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou. Aby sme to urobili, k druhej rovnici systému pridáme prvú, vynásobenú, k tretej rovnici pridáme prvú, vynásobenú atď., K n-tej rovnici pridáme prvú, vynásobenú. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobúda tvar

kde, a .

K rovnakému výsledku by sme dospeli, ak by sme x 1 vyjadrili pomocou iných neznámych premenných v prvej rovnici systému a výsledný výraz dosadili do všetkých ostatných rovníc. Premenná x 1 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc druhou.

Ďalej postupujeme podobným spôsobom, ale len s časťou výsledného systému, ktorý je vyznačený na obrázku

Aby sme to urobili, do tretej rovnice sústavy pridáme druhú vynásobenú, do štvrtej rovnice pridáme druhú vynásobenú atď., k n-tej rovnici pridáme druhú vynásobenú. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobúda tvar

kde, a ... Premenná x 2 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc treťou.

Ďalej pristúpime k eliminácii neznámej x 3, pričom podobne postupujeme aj s časťou sústavy označenou na obr.

Pokračujeme teda v priamom kurze Gaussovej metódy, kým systém nezíska formu

Od tohto momentu začíname opačný priebeh Gaussovej metódy: z poslednej rovnice vypočítame xn, keďže pomocou získanej hodnoty xn zistíme x n-1 z predposlednej rovnice atď., Zistíme x 1 z prvá rovnica.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Gaussovou metódou.

Riešenie.

Odstráňte neznámu premennú x 1 z druhej a tretej rovnice systému. Ak to chcete urobiť, pridajte zodpovedajúce časti prvej rovnice, vynásobené a čím, k obom stranám druhej a tretej rovnice:

Teraz vylúčime x 2 z tretej rovnice tak, že k jej ľavej a pravej strane pridáme ľavú a pravú stranu druhej rovnice, vynásobíme:

V tomto bode je pohyb vpred Gaussovou metódou ukončený, začíname spätný pohyb.

Z poslednej rovnice výslednej sústavy rovníc zistíme x 3:

Z druhej rovnice dostaneme.

Z prvej rovnice nájdeme zvyšnú neznámu premennú a tým sa dokončí opačný priebeh Gaussovej metódy.

odpoveď:

X1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Vo všeobecnom prípade sa počet rovníc v systéme p nezhoduje s počtom neznámych premenných n:

Takéto SLAE nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať jediné riešenie alebo mať nekonečne veľa riešení. Toto tvrdenie platí aj pre sústavy rovníc, ktorých základná matica je štvorcová a degenerovaná.

Kroneckerova - Capelliho veta.

Pred nájdením riešenia systému lineárnych rovníc je potrebné zistiť jeho kompatibilitu. Odpoveď na otázku, kedy je SLAE kompatibilný a kedy nekompatibilný, dáva Kroneckerova - Capelliho veta:
aby bol systém p rovníc s n neznámymi (p sa môže rovnať n) konzistentný, je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť hlavnej matice systému rovnala hodnosti rozšírenej matice, teda hodnosti (A) = poradie (T).

Uvažujme napríklad o použití Kroneckerovej - Capelliho vety na určenie kompatibility systému lineárnych rovníc.

Príklad.

Zistite, či systém lineárnych rovníc riešenia.

Riešenie.

... Použime metódu ohraničenia maloletých. Minor druhého rádu nenulové. Poďme vyriešiť maloletých tretieho rádu, ktorí s tým hraničia:

Keďže všetky hraničiace neplnoleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, poradie hlavnej matice je dve.

Na druhej strane, hodnosť rozšírenej matice sa rovná trom, keďže tretieho rádu maloletý

nenulové.

Touto cestou, Rang (A) preto môžeme podľa Kroneckerovej - Capelliho vety usúdiť, že pôvodný systém lineárnych rovníc je nekonzistentný.

odpoveď:

Systém nemá žiadne riešenia.

Takže sme sa naučili určiť nekonzistentnosť systému pomocou Kroneckerovej - Capelliho vety.

Ako však nájsť riešenie pre SLAE, ak bola preukázaná jeho kompatibilita?

Na to potrebujeme koncept základnej moll matice a vetu o hodnosti matice.

Volá sa vedľajší najvyšší rád matice A okrem nuly základné.

Z definície základnej maloletej vyplýva, že jej poradie sa rovná hodnosti matice. Pre nenulovú maticu A môže byť niekoľko základných vedľajších, vždy je jeden základný vedľajší.

Zoberme si napríklad maticu .

Všetky minority tretieho rádu tejto matice sú rovné nule, pretože prvky tretieho riadku tejto matice sú súčtom zodpovedajúcich prvkov prvého a druhého riadku.

Nasledujúce maloletí druhého poriadku sú základné, pretože sú nenulové

maloletí nie sú základné, pretože sa rovnajú nule.

Veta o poradí matice.

Ak sa poradie matice rádu p x n rovná r, potom všetky prvky riadkov (a stĺpcov) matice, ktoré netvoria vybranú základnú minoritu, sú lineárne vyjadrené pomocou zodpovedajúcich prvkov riadkov ( a stĺpce), ktoré tvoria základnú moll.

Čo nám dáva veta o poradí matice?

Ak sme Kroneckerovou - Capelliho vetou stanovili kompatibilitu systému, potom zvolíme ľubovoľnú základnú menšiu zo základnej matice systému (jej poradie je r) a vylúčime zo systému všetky rovnice, ktoré netvoria zvolená základná moll. Takto získaný SLAE bude ekvivalentný pôvodnému, keďže vyradené rovnice sú stále nadbytočné (podľa vety o poradí matice sú lineárnou kombináciou zostávajúcich rovníc).

Výsledkom je, že po vyradení nepotrebných rovníc systému sú možné dva prípady.

Ak sa počet rovníc r vo výslednom systéme rovná počtu neznámych premenných, potom bude určitý a jediné riešenie možno nájsť Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Príklad.

.

Riešenie.

Hodnosť hlavnej matice systému sa rovná dvom, keďže druhý rád je menší nenulové. Rozšírený Matrix Rank sa tiež rovná dvom, pretože jediný druh z tretieho rádu sa rovná nule

a vedľajší druh druhého poriadku uvažovaný vyššie je nenulový. Na základe Kroneckerovej - Capelliho vety môžeme tvrdiť kompatibilitu pôvodného systému lineárnych rovníc, keďže poradie (A) = poradie (T) = 2.

Berieme ako základnú maloletú ... Tvoria ju koeficienty prvej a druhej rovnice:


Tretia rovnica systému sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju vylúčime zo systému na základe vety o hodnosti matice:


Takto sme dostali elementárny systém lineárnych algebraických rovníc. Poďme to vyriešiť Cramerovou metódou:


odpoveď:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ak je počet rovníc r v získanom SLAE menší ako počet neznámych premenných n, potom v ľavých stranách rovníc ponecháme členy tvoriace základnú moll, ostatné členy sa prenesú do pravo- ručné strany rovníc sústavy s opačným znamienkom.

Volajú sa neznáme premenné (je ich r), ktoré zostávajú na ľavej strane rovníc hlavný.

Neznáme premenné (existuje n - r kusov), ktoré sa objavujú na pravej strane, sa nazývajú zadarmo.

Teraz predpokladáme, že voľné neznáme premenné môžu nadobudnúť ľubovoľné hodnoty a r základných neznámych premenných bude vyjadrené ako voľné neznáme premenné jedinečným spôsobom. Ich vyjadrenie možno nájsť riešením získaných SLAE Cramerovou metódou, maticovou metódou, alebo Gaussovou metódou.

Vezmime si príklad.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych algebraických rovníc .

Riešenie.

Nájdite poradie hlavnej matice systému metódou ohraničenia maloletých. Berieme 1 1 = 1 ako nenulovú vedľajšiu hodnotu prvého poriadku. Začnime hľadať nenulovú moll druhého rádu, ktorá obklopuje tento moll:


Takto sme našli nenulovú minoru druhého rádu. Začnime hľadať nenulovú hraničnú maličkosť tretieho rádu:


Hodnosť hlavnej matice je teda tri. Hodnosť rozšírenej matice je tiež tri, to znamená, že systém je konzistentný.

Ako základný berieme nájdený nenulový vedľajší tretí rád.

Pre názornosť uvádzame prvky, ktoré tvoria základnú moll:


Ponecháme na ľavej strane rovníc systému pojmy, ktoré sa podieľajú na základnej moll, zvyšok prenesieme opačnými znamienkami na pravú stranu:


Voľným neznámym premenným x 2 a x 5 priraďme ľubovoľné hodnoty, teda berieme , kde sú ľubovoľné čísla. V tomto prípade bude mať SLAE formu


Výsledný elementárny systém lineárnych algebraických rovníc je riešený Cramerovou metódou:


Preto, .

Vo svojej odpovedi nezabudnite uviesť voľné neznáme premenné.

odpoveď:

Kde sú ľubovoľné čísla.

Zhrnúť.

Na riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru najprv zistíme jej kompatibilitu pomocou Kroneckerovej - Capelliho vety. Ak sa pozícia hlavnej matice nerovná hodnote rozšírenej matice, potom dospejeme k záveru, že systém je nekompatibilný.

Ak sa hodnosť hlavnej matice rovná hodnosti rozšírenej matice, vyberieme základnú vedľajšiu a zahodíme rovnice systému, ktoré sa nezúčastňujú na tvorbe vybranej základnej vedľajšej.

Ak sa poradie základnej moll rovná počtu neznámych premenných, potom má SLAE jedinečné riešenie, ktoré nájdeme akoukoľvek známou metódou.

Ak je poradie základnej menšej ako počet neznámych premenných, potom na ľavej strane rovníc systému ponecháme členy so základnými neznámymi premennými, zvyšné členy prenesieme na pravú stranu a dať ľubovoľné hodnoty voľným neznámym premenným. Z výslednej sústavy lineárnych rovníc nájdeme hlavné neznáme premenné Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Gaussova metóda na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Gaussovu metódu možno použiť na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc akéhokoľvek druhu bez toho, aby sa najprv skúmala ich kompatibilita. Proces postupnej eliminácie neznámych premenných umožňuje dospieť k záveru o kompatibilite aj nekompatibilite SLAE a ak existuje riešenie, umožňuje ho nájsť.

Z hľadiska výpočtovej práce je výhodnejšia Gaussova metóda.

Jeho podrobný popis a analyzované príklady nájdete v článku Gaussova metóda riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Zápis všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych lineárnych algebraických systémov pomocou vektorov základnej sústavy riešení.

V tejto časti sa zameriame na kompatibilné homogénne a nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc s nekonečnou množinou riešení.

Poďme sa najprv zaoberať homogénnymi systémami.

Základný rozhodovací systém Homogénna sústava p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými je množina (n - r) lineárne nezávislých riešení tejto sústavy, kde r je rád základnej moll základnej matice sústavy.

Ak označíme lineárne nezávislé riešenia homogénneho SLAE ako X (1), X (2),…, X (nr) (X (1), X (2),…, X (nr) je n-x-1 stĺpcové matice), potom je všeobecné riešenie tohto homogénneho systému reprezentované vo forme lineárnej kombinácie vektorov základného systému riešení s ľubovoľnými konštantnými koeficientmi С 1, С 2, ..., С (nr), tj. ,.

Čo znamená všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych algebraických rovníc (oroslau)?

Význam je jednoduchý: vzorec špecifikuje všetky možné riešenia pôvodného SLAE, inými slovami, berie ľubovoľnú množinu hodnôt ľubovoľných konštánt С 1, С 2, ..., С (nr), podľa vzorca, ktorý sme získať jedno z riešení pôvodného homogénneho SLAE.

Ak teda nájdeme fundamentálny systém riešení, môžeme nastaviť všetky riešenia tohto homogénneho SLAE as.

Ukážme si proces konštrukcie základného systému riešení homogénneho SLAE.

Z pôvodného systému lineárnych rovníc zvolíme základnú moll, vylúčime zo systému všetky ostatné rovnice a všetky členy obsahujúce voľné neznáme premenné prenesieme na pravú stranu rovníc systému s opačnými znamienkami. Voľným neznámym premenným dajme hodnoty 1,0,0, ..., 0 a základné neznáme vypočítame riešením výslednej elementárnej sústavy lineárnych rovníc akýmkoľvek spôsobom, napríklad Cramerovou metódou. To dá X (1) - prvé riešenie základného systému. Ak dáme voľným neznámym hodnoty 0,1,0,0, ..., 0 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (2). Atď. Ak voľným neznámym premenným dáme hodnoty 0,0, ..., 0,1 a vypočítame základné neznáme, dostaneme X (n-r). Takto bude skonštruovaný základný systém riešení homogénneho SLAE a jeho všeobecné riešenie môže byť zapísané vo forme.

Pre nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc je všeobecné riešenie reprezentované v tvare, kde je všeobecné riešenie zodpovedajúceho homogénneho systému a je partikulárnym riešením pôvodného nehomogénneho SLAE, ktoré získame tak, že voľným neznámym dáme hodnoty ​​0,0, ..., 0 a výpočet hodnôt hlavných neznámych.

Poďme sa pozrieť na príklady.

Príklad.

Nájdite základnú sústavu riešení a všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych algebraických rovníc .

Riešenie.

Hodnosť hlavnej matice homogénnych sústav lineárnych rovníc sa vždy rovná hodnosti rozšírenej matice. Nájdime poradie hlavnej matice metódou ohraničenia maloletých. Ako nenulový minor prvého rádu berieme prvok a 1 1 = 9 hlavnej matice systému. Nájdite hraničnú nenulovú vedľajšiu skupinu druhého poriadku:

Bola nájdená nenulová neplnoletá osoba druhého poriadku. Prejdime si cez neplnoletých tretieho rádu, ktorí s ním hraničia, a hľadajme nenulové číslo:

Všetky hraničné minority tretieho rádu sú rovné nule, preto je poradie hlavnej a rozšírenej matice rovné dvom. Berte ako základné vedľajšie. Kvôli prehľadnosti si všimneme prvky systému, ktoré ho tvoria:

Tretia rovnica pôvodného SLAE sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju možno vylúčiť:

Ponecháme na pravej strane rovníc členy obsahujúce hlavné neznáme a na pravej strane prenesieme členy s voľnými neznámymi:

Zostavme základnú sústavu riešení pôvodnej homogénnej sústavy lineárnych rovníc. Základný systém riešení tohto SLAE pozostáva z dvoch riešení, keďže pôvodný SLAE obsahuje štyri neznáme premenné a poradie jeho základnej minor sú dve. Na nájdenie X (1) priradíme voľným neznámym premenným hodnoty x 2 = 1, x 4 = 0, potom nájdeme hlavné neznáme zo sústavy rovníc
.

Lineárna rovnica - rovnica v tvare a x = b, kde x je premenná, a a b sú nejaké čísla a a ≠ 0.

Príklady lineárnych rovníc:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = - 5

Lineárne rovnice sa nazývajú nielen rovnice tvaru a x = b, ale aj akékoľvek rovnice, ktoré sa pomocou transformácií a zjednodušení zredukujú na tento tvar.

Ako riešiť rovnice, ktoré sú redukované do tvaru a x = b? Ľavú a pravú stranu rovnice stačí vydeliť hodnotou a. V dôsledku toho dostaneme odpoveď: x = b a.

Ako zistiť, či je ľubovoľná rovnica lineárna alebo nie? Je potrebné venovať pozornosť premennej, ktorá je v ňom prítomná. Ak je najvyšší stupeň, v ktorom premenná stojí, rovný jednej, potom je takáto rovnica lineárnou rovnicou.

Aby sme vyriešili lineárnu rovnicu , je potrebné otvoriť zátvorky (ak existujú), preniesť "x" doľava, čísla doprava a uviesť podobné výrazy. Dostanete rovnicu v tvare a x = b. Riešenie tejto lineárnej rovnice: x = b a.

Príklady riešenia lineárnych rovníc:

1. 2 x + 1 = 2 (x - 3) + 8

Toto je lineárna rovnica, pretože premenná je v prvej mocnine.

Skúsme to previesť do tvaru a x = b:

Najprv rozbalíme zátvorky:

2 x + 1 = 4 x - 6 + 8

Všetky pojmy s x sa prenesú na ľavú stranu, čísla na pravú:

2 x - 4 x = 2 - 1

Teraz vydeľme ľavú a pravú stranu číslom (-2):

- 2 x - 2 = 1 - 2 = - 1 2 = - 0,5

Odpoveď: x = - 0,5

1. x 2 - 1 = 0

Táto rovnica nie je lineárna, pretože najvyššia mocnina, v ktorej premenná x stojí, je dvojka.

1. x (x + 3) - 8 = x - 1

Táto rovnica vyzerá na prvý pohľad lineárne, ale po rozšírení zátvoriek sa najvyšší stupeň rovná dvom:

x 2 + 3 x - 8 = x - 1

Táto rovnica nie je lineárna.

Špeciálne prípady(v úlohe 4 OGE sa nestretli, ale je užitočné ich poznať)

Príklady:

1. 2 x - 4 = 2 (x - 2)

2 x - 4 = 2 x - 4

2 x - 2 x = - 4 + 4

A ako tu hľadáš x, ak tam nie je? Po vykonaní transformácií sme dostali správnu rovnosť (identitu), ktorá nezávisí od hodnoty premennej x. Bez ohľadu na to, akú hodnotu x dosadíme do pôvodnej rovnice, výsledkom je vždy správna rovnosť (identita). Preto x môže byť ľubovoľné číslo. Zapíšme si odpoveď na túto lineárnu rovnicu.

Odpoveď: x ∈ (- ∞; + ∞)

1. 2 x - 4 = 2 (x - 8)

Toto je lineárna rovnica. Otvorme zátvorky, posuňte X doľava, čísla doprava:

2 x - 4 = 2 x - 16

2 x - 2 x = - 16 + 4

V dôsledku transformácií sa x znížilo, ale nakoniec sme dostali nesprávnu rovnosť, pretože. Bez ohľadu na to, akú hodnotu x dosadíme do pôvodnej rovnice, výsledkom bude vždy nesprávna rovnosť. To znamená, že neexistujú žiadne také hodnoty x, pre ktoré by sa rovnosť stala pravdou. Zapíšme si odpoveď na túto lineárnu rovnicu.

Odpoveď: x ∈ ∅

Kvadratické rovnice

Kvadratická rovnica - rovnica v tvare a x 2 + b x + c = 0, kde x je premenná, a, b a c sú nejaké čísla a a ≠ 0.

Algoritmus na riešenie kvadratickej rovnice:

1. Rozbaľte zátvorky, presuňte všetky pojmy doľava tak, aby rovnica vyzerala takto: a x 2 + b x + c = 0
2. Napíšte, čomu sa koeficienty rovnajú číslami: a =… b =… c =…
3. Vypočítajte diskriminant podľa vzorca: D = b 2 - 4 a c
4. Ak D> 0, budú existovať dva rôzne korene, ktoré nájdeme podľa vzorca: x 1,2 = - b ± D 2 a
5. Ak D = 0, bude existovať jeden koreň, ktorý sa zistí podľa vzorca: x = - b 2 a
6. Ak D< 0, решений нет: x ∈ ∅

Príklady riešenia kvadratickej rovnice:

1. - x 2 + 6 x + 7 = 0

a = -1, b = 6, c = 7

D = b 2 - 4 a c = 6 2 - 4 ⋅ (- 1) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D> 0 - budú existovať dva rôzne korene:

x 1,2 = - b ± D 2 a = - 6 ± 64 2 ⋅ (- 1) = - 6 ± 8 - 2 = [- 6 + 8 - 2 = 2 - 2 = - 1 - 6 - 8 - 2 = - 14 - 2 = 7

Odpoveď: x 1 = - 1, x 2 = 7

1. - x 2 + 4 x - 4 = 0

a = -1, b = 4, c = -4

D = b 2 - 4 a c = 4 2 - 4 ⋅ (- 1) ⋅ (- 4) = 16 - 16 = 0

D = 0 - bude existovať jeden koreň:

x = - b 2 a = - 4 2 ⋅ (- 1) = - 4 - 2 = 2

Odpoveď: x = 2

1. 2 x 2 - 7 x + 10 = 0

a = 2, b = -7, c = 10

D = b 2 - 4 a c = (- 7) 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 - 80 = - 31

D< 0 – решений нет.

Odpoveď: x ∈ ∅

Existujú tiež neúplné kvadratické rovnice (sú to kvadratické rovnice, pre ktoré je buď b = 0, alebo c = 0, alebo b = c = 0). Pozrite si video, ako riešiť takéto kvadratické rovnice!

Faktorizácia štvorcového trojčlenu

Štvorcový trojčlen sa dá rozdeliť takto:

A x 2 + b x + c = a ⋅ (x - x 1) ⋅ (x - x 2)

kde a je číslo, koeficient pred najvyšším koeficientom,

x je premenná (t. j. písmeno),

x 1 a x 2 sú čísla, korene kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c = 0, ktoré nájdeme cez diskriminant.

Ak má kvadratická rovnica iba jeden koreň, potom rozšírenie vyzerá takto:

a x 2 + b x + c = a ⋅ (x - x 0) 2

Príklady faktorizácie štvorcového trojčlenu:

1. - x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = - 1, x 2 = 7

- x 2 + 6 x + 7 = (- 1) ⋅ (x - (- 1)) (x - 7) = - (x + 1) (x - 7) = (x + 1) (7 - x)

1. - x 2 + 4 x - 4 = 0; ⇒ x 0 = 2

- x 2 + 4 x - 4 = (- 1) ⋅ (x - 2) 2 = - (x - 2) 2

Ak je štvorcová trojčlenka neúplná ((b = 0 alebo c = 0), potom ju možno faktorizovať nasledujúcimi spôsobmi:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)

• b = 0 ⇒ platí pre rozdiel druhých mocnín.

Zlomkové racionálne rovnice

Nech f (x) ag (x) sú niektoré funkcie závislé od premennej x.

Zlomková racionálna rovnica Je rovnica v tvare f (x) g (x) = 0.

Aby sme mohli vyriešiť zlomkovo racionálnu rovnicu, musíme si pamätať, čo je ODD a kedy vzniká.

ODZ- rozsah prípustných hodnôt premennej.

Vo vyjadrení v tvare f (x) g (x) = 0

ODZ: g (x) ≠ 0 (menovateľ zlomku nemôže byť nula).

Algoritmus na riešenie zlomkovej racionálnej rovnice:

1. Napíšte ODZ: g (x) ≠ 0.
2. Čitateľ zlomku nastavte na nulu f (x) = 0 a nájdite korene.

Príklad riešenia zlomkovej racionálnej rovnice:

Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu x 2 - 4 2 - x = 1.

Riešenie:

Budeme konať v súlade s algoritmom.

1. Zredukujte výraz na tvar f (x) g (x) = 0.

Jeden prenesieme na ľavú stranu, zapíšeme k nemu ďalší faktor, aby sme oba výrazy dostali do jedného spoločného menovateľa:

x 2 - 4 2 - x - 1 \ 2 - x = 0

x 2 - 4 2 - x - 2 - x 2 - x = 0

x 2 - 4 - (2 - x) 2 - x = 0

x 2 - 4 - 2 + x 2 - x = 0

x 2 + x - 6 2 - x = 0

Prvý krok algoritmu bol úspešne dokončený.

1. Vypíšte ODZ:

Načrtneme ODZ, nezabudnite na to: x ≠ 2

1. Prirovnajte čitateľa zlomku k nule f (x) = 0 a nájdite korene:

x 2 + x - 6 = 0 - Kvadratická rovnica. Rozhodujeme sa cez diskriminantov.

a = 1, b = 1, c = - 6

D = b 2 - 4 a c = 1 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (- 6) = 1 + 24 = 25

D> 0 - budú existovať dva rôzne korene.

x 1,2 = - b ± D 2 a = - 1 ± 25 2 ⋅ 1 = - 1 ± 5 2 = [- 1 + 5 2 = 4 2 = 2 - 1 - 5 2 = - 6 2 = - 3

[x 1 = 2 x 2 = - 3

1. V odpovedi uveďte korene z čitateľa, okrem koreňov, ktoré spadli do ODZ.

Korene získané v predchádzajúcom kroku:

[x 1 = 2 x 2 = - 3

To znamená, že v odpovedi je iba jeden koreň, x = - 3.

Odpoveď: x = - 3.

Sústavy rovníc

Systém rovníc nazvime dve rovnice s dvoma neznámymi (neznáme sa spravidla označujú x a y), ktoré sú spojené do spoločnej sústavy zloženou zátvorkou.

Príklad sústavy rovníc

(x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

Riešiť sústavu rovníc - nájdite dvojicu čísel x a y, ktoré po dosadení do sústavy rovníc tvoria správnu rovnosť v oboch rovniciach sústavy.

Existujú dva spôsoby riešenia sústav lineárnych rovníc:

1. Substitučná metóda.
2. Spôsob pridávania.

Algoritmus na riešenie sústavy rovníc substitučnou metódou:

1. Nájdite zvyšné neznáme.

Príklad:

Riešiť sústavu rovníc substitučnou metódou

(x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

Riešenie:

1. Vyjadrite jednu premennú z ľubovoľnej rovnice cez druhú.

(x = 8 - 2 y 3 x - y = - 4

1. Získanú hodnotu dosaďte do inej rovnice namiesto vyjadrenej premennej.

(x = 8 - 2 y 3 x - y = - 4

(x = 8 - 2 y3 (8 - 2 y) - y = - 4

1. Vyriešte rovnicu o jednej neznámej.

3 (8 - 2 roky) - y = - 4

24 - 6 rokov - rokov = - 4

- 7 r = - 4 - 24

-7 rokov = -28

y = - 28 - 7 = 28 7 = 4

1. Nájdite zvyšné neznáme.

x = 8 - 2 y = 8 - 2 ⋅ 4 = 8 - 8 = 0

Odpoveď možno napísať jedným z troch spôsobov:

1. x = 0, y = 4
2. (x = 0 y = 4
3. (0 ;   4)

Riešenie sústavy rovníc sčítacou metódou.

Metóda pridávania je založená na nasledujúcej vlastnosti:

(a + c) = (b + d)

Myšlienkou metódy sčítania je zbaviť sa jednej z premenných pridaním rovníc.

Príklad:

Riešte sústavu rovníc sčítacou metódou

(x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

V tomto príklade sa zbavme premennej x. Podstatou metódy je, že v prvej a druhej rovnici stoja pred premennou x opačné koeficienty. V druhej rovnici predchádza x faktor 3. Aby metóda sčítania fungovala, koeficient (- 3) musí byť pred premennou x. Ak to chcete urobiť, vynásobte ľavú a pravú stranu prvej rovnice číslom (- 3).

Riešiť sústavu rovníc- to znamená nájsť všeobecné riešenia pre všetky rovnice sústavy alebo sa uistiť, že riešenie neexistuje.

Na vyriešenie sústavy rovníc je potrebné vylúčiť jednu neznámu, teda z dvoch rovníc s dvoma neznámymi vytvoriť jednu rovnicu s jednou neznámou. Existujú tri spôsoby, ako odstrániť jednu z neznámych: substitúcia, porovnanie, sčítanie alebo odčítanie.

Substitučná metóda

Na vyriešenie sústavy rovníc substitučnou metódou je potrebné v jednej z rovníc vyjadriť jednu neznámu cez druhú a výsledok dosadiť do inej rovnice, ktorá potom bude obsahovať iba jednu neznámu. Potom nájdeme hodnotu tejto neznámej a dosadíme ju do prvej rovnice, po ktorej nájdeme hodnotu druhej neznámej.

Zvážte riešenie sústavy rovníc:

Vyriešime výslednú rovnicu, aby sme zistili, čomu sa rovná r... Ako riešiť rovnice s jednou neznámou si môžete pozrieť v súvisiacej téme.

3(2 + 4r) - 2r = 16

6 + 12r - 2r = 16

6 + 10r = 16

10r = 16 - 6

10r = 10

r = 10: 10

r = 1

My sme to určili r= 1. Teraz nájdite číselnú hodnotu X, nahraďte hodnotu r do transformovanej prvej rovnice, kde sme predtým zistili, ktorý výraz je X:

X = 2 + 4r= 2 + 4 1 = 2 + 4 = 6

odpoveď: X = 6, r = 1.

Metóda porovnávania

Porovnanie je špeciálny prípad substitúcie. Na vyriešenie sústavy rovníc porovnávacou metódou je potrebné v oboch rovniciach nájsť, ktorý výraz sa bude rovnať rovnakej neznámej a výsledné výrazy navzájom zrovnoprávniť. Výsledná rovnica umožňuje zistiť význam jednej neznámej. Táto hodnota sa potom použije na výpočet hodnoty druhej neznámej.

Napríklad pre systémové riešenie:

Zo získaných výrazov zostavíme rovnicu:

2 - X = 32 - 6X 2 - X + 6X = 32 - 2 5X = 30 X = 30: 5 X = 6

Teraz dosadíme hodnotu X do prvej alebo druhej rovnice systému a nájdite hodnotu r:

odpoveď: X = 6, r = 1.

Metóda sčítania alebo odčítania

Na vyriešenie sústavy rovníc metódou sčítania je potrebné vytvoriť jednu z dvoch rovníc sčítaním ľavej a pravej strany, pričom jednu z neznámych treba z výslednej rovnice vylúčiť. Neznámu možno eliminovať vyrovnaním koeficientov v oboch rovniciach.

Zvážte systém:

Teraz pridáme obe rovnice po častiach, aby sme dostali rovnicu s jednou neznámou:

Teraz odčítajme druhú rovnicu od prvej po častiach, aby sme dostali rovnicu s jednou neznámou:

odpoveď: X = 6, r = 1.

Na vyriešenie vyššie uvedeného systému rovníc sa použila metóda sčítania, ktorá je založená na nasledujúcej vlastnosti:

Akákoľvek rovnica v systéme môže byť nahradená rovnicou získanou pridaním (alebo odčítaním) rovníc zahrnutých v systéme. V tomto prípade sa získa systém rovníc, ktorý má rovnaké riešenia ako pôvodný.