Aké je najväčšie číslo na Zemi. Veľké čísla majú veľké mená

Pri odpovedi na takú zložitú otázku, čo je to najväčšie číslo na svete, je potrebné najprv poznamenať, že dnes existujú 2 akceptované spôsoby pomenovania čísel - anglický a americký. Podľa anglický systém, ku každému veľkému číslu sa postupne pridávajú prípony – miliarda alebo – milión, výsledkom čoho sú čísla milión, miliarda, bilión, bilión atď. Ak vychádzame z amerického systému, tak podľa neho treba ku každému veľkému číslu pridať koncovku -milión, čím vznikajú čísla bilión, kvadrilión a veľké. Tu treba tiež poznamenať, že anglický číselný systém je bežnejší v modernom svete, a čísla v ňom sú úplne postačujúce pre normálne fungovanie všetkých systémov nášho sveta.

Samozrejme, odpoveď na otázku o najväčšom čísle z logického hľadiska nemôže byť jednoznačná, pretože ak ku každej nasledujúcej číslici pripočítate jedno, dostanete nové väčšie číslo, takže tento proces nemá žiadne obmedzenia. Napodiv je ich však stále najväčší počet na svete a je zapísaný v Guinessovej knihe rekordov.

Grahamovo číslo je najväčšie číslo na svete

Práve toto číslo je vo svete uznávané ako najväčšie v Knihe rekordov, ale je veľmi ťažké vysvetliť, čo to je a aké veľké je. Vo všeobecnom zmysle ide o trojice vynásobené dohromady, výsledkom čoho je číslo, ktoré je o 64 rádov vyššie ako bod pochopenia každého človeka. Výsledkom je, že môžeme dať iba posledných 50 číslic Grahamovho čísla – 0322234872396701848518 64390591045756272 62464195387.

Googleol číslo

História tohto čísla nie je taká zložitá ako tá, ktorá je spomenutá vyššie. Americký matematik Edward Kasner, ktorý hovoril so svojimi synovcami o veľkých číslach, teda nedokázal odpovedať na otázku, ako pomenovať čísla, ktoré majú 100 núl alebo viac. Vynaliezavý synovec navrhol pre takéto čísla svoje vlastné meno - googol. Treba poznamenať, že toto číslo nemá veľký praktický význam, napriek tomu sa niekedy používa v matematike na vyjadrenie nekonečna.

Googleplex

Toto číslo vymyslel aj matematik Edward Kasner a jeho synovec Milton Sirotta. Vo všeobecnom zmysle predstavuje číslo s desiatou mocninou googolu. Pri odpovedi na otázku mnohých zvedavcov, koľko núl je v Googleplexe, stojí za zmienku, že v klasickej verzii neexistuje žiadny spôsob, ako toto číslo znázorniť, aj keď zakryjete všetok papier na planéte klasickými nulami.

Skewes číslo

Ďalším kandidátom na titul najväčšieho čísla je číslo Skewes, ktoré dokázal John Littwood v roku 1914. Podľa poskytnutých dôkazov je toto číslo približne 8 185 10370.

Moserovo číslo

Táto metóda pomenovania je veľmi veľké čísla vynašiel Hugo Steinhaus, ktorý ich navrhol označovať polygónmi. V dôsledku troch vykonaných matematických operácií sa číslo 2 zrodí v megagóne (mnohouholník s mega stranami).

Ako ste si už mohli všimnúť, veľké množstvo matematici vynaložili úsilie na jeho nájdenie - najväčší počet na svete. Do akej miery boli tieto pokusy úspešné, nám, samozrejme, neprináleží posudzovať, treba však poznamenať, že skutočná použiteľnosť takýchto čísel je otázna, pretože nie sú prístupné ani ľudskému chápaniu. Okrem toho bude vždy existovať číslo, ktoré bude väčšie, ak vykonáte veľmi jednoduchú matematickú operáciu +1.

Existujú čísla, ktoré sú tak neuveriteľne, neuveriteľne veľké, že ich zapísanie by trvalo celému vesmíru. Ale tu je to, čo je naozaj šialené... niektoré z týchto neuveriteľne veľkých čísel sú kľúčové pre pochopenie sveta.

Keď hovorím „najväčšie číslo vo vesmíre“, myslím tým skutočne najväčšie významnýčíslo, maximálny možný počet, ktorý je nejakým spôsobom užitočný. O tento titul sa uchádza veľa, ale hneď vás varujem: naozaj existuje riziko, že snaha pochopiť to všetko vám vyrazí z hlavy. A okrem toho, s príliš veľkým množstvom matematiky si veľa zábavy neužijete.

Googol a googolplex

Edward Kasner

Mohli by sme začať s pravdepodobne dvoma najväčšími číslami, o ktorých ste kedy počuli, a toto sú skutočne dve najväčšie čísla, ktoré majú všeobecne akceptované definície v anglický jazyk. (Existuje pomerne presná nomenklatúra používaná na označenie čísel tak veľkých, ako by ste chceli, ale tieto dve čísla už dnes v slovníkoch nenájdete.) Googol, keďže sa stal svetoznámym (aj keď s chybami, pozn. v skutočnosti je googol ) vo forme Google, ktorý sa narodil v roku 1920 ako spôsob, ako vzbudiť u detí záujem o veľké čísla.

Za týmto účelom vzal Edward Kasner (na obrázku) svojich dvoch synovcov, Miltona a Edwina Sirottových, na prechádzku po palisádach v New Jersey. Vyzval ich, aby prišli s akýmikoľvek nápadmi, a potom deväťročný Milton navrhol „googol“. Odkiaľ má toto slovo, nie je známe, no rozhodol sa tak Kasner alebo číslo, v ktorom za jednotkou nasleduje sto núl, sa odteraz bude nazývať googol.

Mladý Milton sa tam však nezastavil, navrhol ešte väčší počet, googolplex. Toto je číslo podľa Miltona, v ktorom je prvé miesto 1 a potom toľko núl, koľko by ste stihli napísať, kým by ste sa neunavili. Hoci je táto myšlienka fascinujúca, Kasner sa rozhodol, že je potrebná formálnejšia definícia. Ako vysvetlil vo svojej knihe Mathematics and the Imagination z roku 1940, Miltonova definícia necháva otvorenú riskantnú možnosť, že náhodný bifľoš by sa mohol stať matematikom lepším ako Albert Einstein jednoducho preto, že má väčšiu výdrž.

Kasner sa teda rozhodol, že googolplex bude , alebo 1, a potom googol núl. V opačnom prípade a v notácii podobnej tej, ktorou sa budeme zaoberať pri iných číslach, povieme, že googolplex je . Aby ukázal, aké je to fascinujúce, Carl Sagan raz poznamenal, že je fyzicky nemožné zapísať všetky nuly googolplexu, pretože vo vesmíre jednoducho nie je dostatok miesta. Ak zaplníme celý objem pozorovateľného vesmíru malými prachovými časticami s veľkosťou približne 1,5 mikrónu, potom sa počet rôznymi spôsobmi umiestnenie týchto častíc sa bude približne rovnať jednému googolplexu.

Z lingvistického hľadiska sú googol a googolplex pravdepodobne dve najväčšie významné čísla (aspoň v anglickom jazyku), ale ako teraz zistíme, existuje nekonečne veľa spôsobov, ako definovať „význam“.

Reálny svet

Ak hovoríme o najväčšom významnom čísle, existuje rozumný argument, že to skutočne znamená, že musíme nájsť najväčšie číslo s hodnotou, ktorá na svete skutočne existuje. Začať môžeme súčasnou ľudskou populáciou, ktorá je momentálne okolo 6920 miliónov. Svetový HDP v roku 2010 sa odhadoval na približne 61 960 miliárd dolárov, ale obe tieto čísla sú zanedbateľné v porovnaní s približne 100 biliónmi buniek, ktoré tvoria ľudské telo. Samozrejme, žiadne z týchto čísel sa nedá porovnať s celkovým počtom častíc vo vesmíre, ktorý sa všeobecne považuje za približne , a toto číslo je také veľké, že náš jazyk na to nemá žiadne slovo.

Môžeme sa trochu pohrať so systémom mier, čím budú čísla väčšie a väčšie. Hmotnosť Slnka v tonách bude teda menšia ako v librách. Skvelý spôsob, ako to urobiť, je použiť Planckov systém jednotiek, čo sú najmenšie možné miery, pre ktoré stále platia fyzikálne zákony. Napríklad vek vesmíru v Planckovom čase je približne . Ak sa vrátime späť k prvej Planckovej jednotke času po Veľkom tresku, uvidíme, že hustota vesmíru bola vtedy . Je nás stále viac a viac, no ešte sme nedosiahli ani googol.

Najväčšie číslo s akoukoľvek aplikáciou v reálnom svete – alebo v v tomto prípade skutočné uplatnenie vo svetoch - pravdepodobne , - jeden z najnovších odhadov počtu vesmírov v multivesmíre. Toto číslo je také veľké, že ľudský mozog doslova nebude schopný vnímať všetky tieto rôzne vesmíry, pretože mozog je schopný iba približne konfigurácií. V skutočnosti je toto číslo pravdepodobne najväčšie číslo, ktoré má praktický zmysel, pokiaľ neberiete do úvahy myšlienku multivesmíru ako celku. Stále tam však číhajú oveľa väčšie čísla. Ale aby sme ich našli, musíme ísť do oblasti čistej matematiky, a nie lepší začiatok, ako základné čísla.

Mersenne prvočísla

Časť ťažkostí prichádza s dobrá definíciačo je „významné“ číslo. Jedným zo spôsobov je uvažovať z hľadiska prvočísel a zložených čísel. Prvočíslo, ako si určite pamätáte zo školskej matematiky, je akékoľvek prirodzené číslo (pozn. nerovná sa jednotke), ktoré je deliteľné iba sebou samým. Takže a sú prvočísla a a sú zložené čísla. To znamená, že každé zložené číslo môže byť v konečnom dôsledku reprezentované jeho prvočíslami. V niektorých ohľadoch je číslo dôležitejšie ako napríklad , pretože neexistuje spôsob, ako ho vyjadriť v súčine menších čísel.

Samozrejme, môžeme ísť trochu ďalej. , napríklad, je vlastne len , čo znamená, že v hypotetickom svete, kde sú naše znalosti o číslach obmedzené na , môže matematik aj tak vyjadriť číslo . Ale ďalšie číslo je prvočíslo, čo znamená, že jediný spôsob, ako ho vyjadriť, je priamo vedieť o jeho existencii. To znamená, že hrajú najväčšie známe prvočísla dôležitá úloha, ale, povedzme, googol - čo je v konečnom dôsledku len množina čísel a vynásobené dohromady - vlastne nie. A keďže prvočísla sú v podstate náhodné, nie je známy spôsob, ako predpovedať, že neuveriteľne veľké číslo bude v skutočnosti prvočíslo. Dodnes je objavovanie nových prvočísel náročným počinom.

Matematici Staroveké Grécko mali koncept prvočísel prinajmenšom už v roku 500 pred Kristom a o 2000 rokov neskôr ľudia stále vedeli, ktoré čísla sú prvočísla, len asi do roku 750. Myslitelia v Euklidových časoch videli možnosť zjednodušenia, ale až do obdobia renesancie matematici nedokázali skutočne položiť to do praxe. Tieto čísla sú známe ako Mersennove čísla, pomenované po francúzskom vedcovi Marinovi Mersennovi zo 17. storočia. Myšlienka je celkom jednoduchá: Mersennove číslo je ľubovoľné číslo tvaru . Takže napríklad , a toto číslo je prvočíslo, to isté platí pre .

Je oveľa rýchlejšie a jednoduchšie určiť Mersennove prvočísla ako ktorýkoľvek iný druh prvočísel a počítače ich usilovne hľadajú posledných šesť desaťročí. Do roku 1952 bolo najväčším známym prvočíslom číslo – číslo s číslicami. V tom istom roku počítač vypočítal, že číslo je prvočíslo a toto číslo sa skladá z číslic, vďaka čomu je oveľa väčšie ako googol.

Počítače sú odvtedy na love a v súčasnosti je Mersennove číslo najväčším prvočíslom, aké ľudstvo pozná. Objavený v roku 2008 predstavuje číslo s takmer miliónmi číslic. Je to najväčšie známe číslo, ktoré sa nedá vyjadriť žiadnymi menšími číslami, a ak chcete pomôcť nájsť ešte väčšie Mersennove číslo, môžete sa vy (a váš počítač) vždy pripojiť k hľadaniu na http://www.mersenne.org /.

Skewes číslo

Stanley Skews

Pozrime sa ešte raz na prvočísla. Ako som povedal, správajú sa zásadne nesprávne, čo znamená, že neexistuje spôsob, ako predpovedať, aké bude ďalšie prvočíslo. Matematici boli nútení uchýliť sa k niekoľkým fantastickým meraniam, aby prišli s nejakým spôsobom, ako predpovedať budúce prvočísla, dokonca aj nejakým hmlistým spôsobom. Najúspešnejším z týchto pokusov je pravdepodobne funkcia počítania prvočísel, ktorú vynašiel koncom 18. storočia legendárny matematik Carl Friedrich Gauss.

Ušetrím vás zložitejšej matematiky – aj tak nás toho čaká oveľa viac – ale podstata funkcie je takáto: pre akékoľvek celé číslo môžete odhadnúť, koľko prvočísel je menších ako . Napríklad, ak , funkcia predpovedá, že by mali existovať prvočísla, ak by mali byť prvočísla menšie ako a ak , potom by mali byť prvočísla menšie.

Usporiadanie prvočísel je skutočne nepravidelné a je len aproximáciou skutočného počtu prvočísel. V skutočnosti vieme, že existujú prvočísla menšie ako , prvočísla menšie ako a prvočísla menšie ako . To je určite vynikajúci odhad, ale vždy je to len odhad... a konkrétnejšie, odhad zhora.

Vo všetkých známych prípadoch až do , funkcia, ktorá zistí počet prvočísel, mierne nadhodnocuje skutočný počet prvočísiel menších ako . Matematici si kedysi mysleli, že to tak bude vždy, do nekonečna, a že to určite bude platiť pre niektoré nepredstaviteľne obrovské čísla, ale v roku 1914 John Edensor Littlewood dokázal, že pre nejaké neznáme, nepredstaviteľne obrovské číslo začne táto funkcia produkovať menej prvočísel. a potom sa bude prepínať medzi horným a spodným odhadom nekonečne veľakrát.

Lov bol na miesto štartu pretekov a potom sa objavil Stanley Skewes (pozri fotografiu). V roku 1933 dokázal, že horná hranica, kedy funkcia aproximujúca počet prvočísel najprv vytvorí menšiu hodnotu, je číslo . Je ťažké skutočne pochopiť aj v tom najabstraktnejšom zmysle, čo toto číslo v skutočnosti predstavuje, az tohto hľadiska to bolo najväčšie číslo, aké sa kedy použilo pri serióznom matematickom dôkaze. Matematici odvtedy dokázali znížiť hornú hranicu na relatívne malé číslo, ale pôvodné číslo zostáva známe ako Skewesovo číslo.

Aké veľké je teda číslo, ktoré prevyšuje aj mocného googolplexa? V Tučniakovom slovníku zvedavých a zaujímavých čísel David Wells rozpráva o jednom spôsobe, akým bol matematik Hardy schopný konceptualizovať veľkosť čísla Skuse:

Hardy si myslel, že je to „najväčšie číslo, aké kedy v matematike slúžilo na nejaký konkrétny účel“ a navrhol, že ak by sa šachová partia hrala so všetkými časticami vesmíru ako figúrkami, jeden ťah by pozostával z výmeny dvoch častíc a hra by sa zastavila, keď by sa tá istá pozícia opakovala tretíkrát, potom by sa počet všetkých možných hier približne rovnal Skuseho číslu.“

Ešte posledná vec, než prejdeme ďalej: hovorili sme o menšom z dvoch Skewesových čísel. Existuje ďalšie číslo Skuse, ktoré matematik objavil v roku 1955. Prvé číslo je odvodené zo skutočnosti, že takzvaná Riemannova hypotéza je pravdivá – ide o obzvlášť ťažkú ​​hypotézu v matematike, ktorá zostáva nedokázaná, veľmi užitočná, keď hovoríme o o prvočísla. Ak je však Riemannova hypotéza nepravdivá, Skuse zistil, že počiatočný bod skokov sa zvyšuje na .

Problém veľkosti

Predtým, než sa dostaneme k číslu, vďaka ktorému aj Skewesovo číslo vyzerá maličké, musíme sa trochu porozprávať o mierke, pretože inak nevieme odhadnúť, kam pôjdeme. Najprv si zoberme číslo – je to maličké číslo, také malé, že ľudia môžu skutočne intuitívne pochopiť, čo to znamená. Existuje len veľmi málo čísel, ktoré zodpovedajú tomuto popisu, pretože čísla väčšie ako šesť prestávajú byť samostatnými číslami a stávajú sa „niekoľkými“, „veľa“ atď.

Teraz si vezmime , t.j. . Aj keď v skutočnosti nemôžeme intuitívne, ako sme to urobili pri čísle, pochopiť, čo to je, je veľmi ľahké si predstaviť, čo to je. Zatiaľ je všetko dobré. Čo sa však stane, ak sa presťahujeme? Toto sa rovná , alebo . Sme veľmi ďaleko od toho, aby sme si toto množstvo dokázali predstaviť, ako každé iné veľmi veľké - strácame schopnosť porozumieť jednotlivým častiam niekde okolo milióna. (Naozaj, je to šialené veľké množstvo Narátať do milióna čohokoľvek by chvíľu trvalo, ale faktom je, že toto číslo sme stále schopní vnímať.)

Avšak, hoci si to nevieme predstaviť, sme aspoň schopní pochopiť všeobecný prehľad, čo je 7600 miliárd, možno to prirovnať k HDP USA. Prešli sme od intuície k reprezentácii k jednoduchému chápaniu, ale aspoň stále máme určitú medzeru v chápaní toho, čo je číslo. To sa čoskoro zmení, keď sa posunieme o ďalšiu priečku po rebríku.

Aby sme to dosiahli, musíme prejsť k notácii, ktorú zaviedol Donald Knuth, známej ako šípková notácia. Tento zápis možno zapísať ako . Keď potom prejdeme na , dostaneme číslo . To sa rovná tomu, kde je súčet trojíc. Teraz sme ďaleko a skutočne prekonali všetky ostatné čísla, o ktorých sme už hovorili. Veď aj najväčší z nich mal v rade ukazovateľov len tri-štyri termíny. Napríklad aj super-Skuse číslo je „iba“ - aj keď s prihliadnutím na fakt, že základ aj exponenty sú oveľa väčšie ako , je to stále absolútne nič v porovnaní s veľkosťou číselnej veže s miliardou členov. .

Je zrejmé, že neexistuje spôsob, ako pochopiť také obrovské čísla... a napriek tomu je stále možné pochopiť proces, ktorým sú vytvorené. Nevedeli sme pochopiť skutočnú veličinu, ktorú udáva veža mocnin s miliardou trojíc, ale v podstate si takú vežu vieme predstaviť s mnohými pojmami a naozaj slušný superpočítač by dokázal takéto veže uložiť do pamäte aj keby nemohli vypočítať ich skutočné hodnoty.

Je to čoraz abstraktnejšie, ale bude to len horšie. Mohli by ste si myslieť, že veža stupňov, ktorej dĺžka exponentu je rovnaká (naozaj, v predchádzajúcej verzii tohto príspevku som urobil presne túto chybu), ale je to jednoduché. Inými slovami, predstavte si, že dokážete vypočítať presnú hodnotu trojitej veže, ktorá sa skladá z prvkov, a potom ste túto hodnotu zobrali a vytvorili novú vežu, v ktorej je toľko, koľko... to dáva .

Opakujte tento postup s každým nasledujúcim číslom ( Poznámka začínajúc sprava), kým to neurobíte krát, a potom nakoniec získate . Toto je číslo, ktoré je jednoducho neuveriteľne veľké, ale aspoň kroky na jeho získanie sa zdajú pochopiteľné, ak všetko robíte veľmi pomaly. Číslam už nerozumieme, ani si nevieme predstaviť postup, akým sa získavajú, ale aspoň základný algoritmus pochopíme, až v dostatočne dlhom čase.

Teraz pripravme myseľ na to, aby to naozaj vyfúklo.

Grahamovo číslo (Graham)

Ronald Graham

Takto získate Grahamovo číslo, ktoré má miesto v Guinessovej knihe rekordov ako najväčšie číslo, aké sa kedy použilo v matematickom dôkaze. Je absolútne nemožné si predstaviť, aké je to veľké, a rovnako ťažké presne vysvetliť, čo to je. V podstate sa Grahamovo číslo objavuje pri práci s hyperkockou, ktoré sú teoretické geometrické tvary s viac ako tromi rozmermi. Matematik Ronald Graham (pozri foto) chcel zistiť, na čom najmenší počet merania, určité vlastnosti hyperkocky zostanú stabilné. (Prepáčte za také vágne vysvetlenie, ale som si istý, že všetci musíme získať aspoň dva tituly z matematiky, aby to bolo presnejšie.)

V každom prípade je Grahamovo číslo horným odhadom tohto minimálneho počtu rozmerov. Aká veľká je teda táto horná hranica? Vráťme sa k číslu, takému veľkému, že algoritmu na jeho získanie chápeme len nejasne. Teraz, namiesto toho, aby sme skočili o ďalšiu úroveň vyššie, spočítame číslo, ktoré má šípky medzi prvou a poslednou tromi. Teraz sme ďaleko za čo i len tým najmenším chápaním toho, čo toto číslo je, alebo čo musíme urobiť, aby sme ho vypočítali.

Teraz tento proces zopakujeme ešte raz ( Poznámka pri každom ďalšom kroku zapíšeme počet šípok rovný počtu získanému v predchádzajúcom kroku).

Toto, dámy a páni, je Grahamovo číslo, ktoré je rádovo vyššie ako bod ľudského chápania. Je to číslo, ktoré je oveľa väčšie ako akékoľvek číslo, ktoré si dokážete predstaviť – je oveľa väčšie ako akékoľvek nekonečno, ktoré si kedy dokážete predstaviť – jednoducho sa vzpiera aj tomu najabstraktnejšiemu popisu.

Ale je tu zvláštna vec. Keďže Grahamovo číslo je v podstate len trojnásobok spolu, poznáme niektoré jeho vlastnosti bez toho, aby sme ich skutočne vypočítali. Grahamovo číslo nemôžeme znázorniť pomocou žiadneho známeho zápisu, aj keby sme na jeho zapisovanie použili celý vesmír, ale posledných dvanásť číslic Grahamovho čísla vám môžem povedať práve teraz: . A to nie je všetko: poznáme aspoň posledné číslice Grahamovho čísla.

Samozrejme, stojí za to pripomenúť, že toto číslo je iba hornou hranicou pôvodného Grahamovho problému. Je možné, že skutočný počet meraní je potrebné vykonať požadovanú vlastnosť oveľa, oveľa menej. V skutočnosti sa od 80. rokov 20. storočia podľa väčšiny odborníkov v tejto oblasti verilo, že v skutočnosti existuje iba šesť dimenzií – číslo také malé, že ho dokážeme intuitívne pochopiť. Dolná hranica sa odvtedy zvýšila na , ale stále existuje veľmi dobrá šanca, že riešenie Grahamovho problému neleží ani zďaleka také veľké ako Grahamovo číslo.

Smerom k nekonečnu

Existujú teda čísla väčšie ako Grahamovo číslo? Samozrejme, na začiatok je tu Grahamovo číslo. Čo sa týka významné číslo...dobre, existuje niekoľko diabolsky zložitých oblastí matematiky (konkrétne oblasť známa ako kombinatorika) a informatiky, v ktorých sa vyskytujú čísla ešte väčšie ako Grahamovo číslo. Ale už sme takmer dosiahli hranicu toho, čo dúfam, že bude niekedy racionálne vysvetlené. Pre tých, ktorí sú dostatočne blázniví, aby zašli ešte ďalej, odporúčame ďalšie čítanie na vlastné riziko.

No, teraz úžasný citát, ktorý sa pripisuje Douglasovi Rayovi ( PoznámkaÚprimne povedané, znie to celkom vtipne:

„Vidím zhluky nejasných čísel, ktoré sú skryté tam v tme, za malým bodom svetla, ktorý dáva sviečka rozumu. Šepkajú si medzi sebou; sprisahanie ktovie o čom. Možno nás nemajú veľmi radi za to, že v mysliach zachytávame ich malých bratov. Alebo možno jednoducho vedú jednociferný život, tam vonku, mimo nášho chápania.

Nespočetné množstvo rôzne čísla nás každý deň obklopuje. Určite veľa ľudí aspoň raz premýšľalo, aké číslo sa považuje za najväčšie. Môžete jednoducho povedať dieťaťu, že toto je milión, ale dospelí veľmi dobre chápu, že po milióne nasledujú ďalšie čísla. Napríklad, všetko, čo musíte urobiť, je vždy pridať jednotku k číslu a bude sa zväčšovať a zväčšovať - ​​to sa deje donekonečna. Ale ak sa pozriete na čísla, ktoré majú mená, môžete zistiť, ako sa volá najväčšie číslo na svete.

Vzhľad názvov čísel: aké metódy sa používajú?

Dnes existujú 2 systémy, podľa ktorých sa číslam dávajú mená - americký a anglický. Prvý je celkom jednoduchý a druhý je najbežnejší na celom svete. Ten americký vám umožňuje pomenovať veľké čísla takto: najprv sa uvedie poradové číslo v latinke a potom sa pridá prípona „milión“ (výnimkou je tu milión, čo znamená tisíc). Tento systém používajú Američania, Francúzi, Kanaďania a používajú ho aj u nás.

Angličtina je široko používaná v Anglicku a Španielsku. Podľa nej sú čísla pomenované takto: číslica v latinčine je „plus“ s príponou „illion“ a ďalšie (tisíckrát väčšie) číslo je „plus“ „miliarda“. Napríklad bilión prichádza ako prvý, bilión prichádza po ňom, kvadrilión prichádza po kvadrilióne atď.

Rovnaké číslo v rôznych systémoch teda môže znamenať rôzne veci, napríklad americká miliarda v anglickom systéme sa nazýva miliarda.

Mimosystémové čísla

Okrem čísel, ktoré sa píšu podľa známych systémov (uvedených vyššie), existujú aj nesystémové. Majú svoje vlastné mená, ktoré neobsahujú latinské predpony.

Môžete ich začať zvažovať číslom nazývaným myriad. Je definovaný ako sto stoviek (10 000). Ale podľa zamýšľaného účelu sa toto slovo nepoužíva, ale používa sa ako označenie nespočetného množstva. Dokonca aj Dahlov slovník láskavo poskytne definíciu takéhoto čísla.

Ďalší po myriade je googol, označujúci 10 až 100. Tento názov prvýkrát použil v roku 1938 americký matematik E. Kasner, ktorý poznamenal, že toto meno vymyslel jeho synovec.

Google dostal svoje meno na počesť googol ( vyhľadávací systém). Potom 1 s googolom núl (1010100) predstavuje googolplex - s týmto názvom prišiel aj Kasner.

Ešte väčšie ako googolplex je Skuseho číslo (e na mocninu e na mocninu e79), ktoré navrhol Skuse vo svojom dôkaze Rimmannovej domnienky o prvočíslach (1933). Existuje ďalšie číslo Skuse, ale používa sa, keď Rimmannova hypotéza nie je pravdivá. Ktorý z nich je väčší, je dosť ťažké povedať, najmä pokiaľ ide o to vysokých stupňov. Toto číslo však napriek svojej „obrovskosti“ nemožno považovať za úplne najlepšie zo všetkých tých, ktoré majú svoje vlastné mená.

A lídrom medzi najväčšími číslami na svete je Grahamovo číslo (G64). Prvýkrát bol použitý na vykonanie dôkazov v oblasti matematických vied (1977).

Keď ide o takéto číslo, musíte vedieť, že sa nezaobídete bez špeciálneho 64-úrovňového systému vytvoreného Knuthom - dôvodom je spojenie čísla G s bichromatickými hyperkockami. Knuth vynašiel superstupeň a aby bolo pohodlné ho zaznamenávať, navrhol použitie šípok nahor. Tak sme zistili, ako sa volá najväčšie číslo na svete. Stojí za zmienku, že toto číslo G bolo zahrnuté na stránkach slávnej knihy rekordov.

Niekedy sa ľudia, ktorí nie sú zapojení do matematiky, čudujú: aké je najväčšie číslo? Na jednej strane je odpoveď zrejmá – nekonečno. Bores dokonca objasní, že „plus nekonečno“ alebo „+∞“ používajú matematici. Táto odpoveď však nepresvedčí tých najkorozívnejších, najmä preto, že nejde o prirodzené číslo, ale o matematickú abstrakciu. Ale keď dobre pochopia problematiku, môžu objaviť veľmi zaujímavý problém.

V tomto prípade skutočne neexistuje žiadne obmedzenie veľkosti, ale existuje obmedzenie ľudskej fantázie. Každé číslo má názov: desať, sto, miliarda, sextilión atď. Kde však končí ľudská fantázia?

Nezamieňať s ochrannou známkou spoločnosti Google Corporation, hoci majú spoločný pôvod. Toto číslo je zapísané ako 10100, to znamená jedna, za ktorou nasleduje sto núl. Je ťažké si to predstaviť, ale aktívne sa používal v matematike.

Je vtipné, že ho vymyslelo dieťa – synovec matematika Edwarda Kasnera. V roku 1938 môj strýko zabával svojich mladších príbuzných diskusiami o veľmi veľkom počte. Na rozhorčenie dieťaťa sa ukázalo, že také úžasné číslo nemá meno a dal svoju vlastnú verziu. Neskôr to strýko vložil do jednej zo svojich kníh a výraz sa uchytil.

Teoreticky je googol prirodzené číslo, pretože sa dá použiť na počítanie. Ale je nepravdepodobné, že niekto bude mať trpezlivosť počítať až do konca. Preto len teoreticky.

Čo sa týka názvu spoločnosti Google, tu sa vkradla častá chyba. Prvý investor a jeden zo spoluzakladateľov sa ponáhľal, keď vypísal šek a chýbalo mu písmeno „O“, ale aby ho mohol preplatiť, spoločnosť musela byť zaregistrovaná práve s týmto pravopisom.

Googolplex

Toto číslo je derivátom googolu, ale je podstatne väčšie ako on. Predpona „plex“ znamená zvýšenie desiatky na mocninu rovnajúcu sa základnému číslu, takže guloplex je 10 na mocninu 10 na mocninu 100 alebo 101 000.

Výsledný počet prevyšuje počet častíc v pozorovateľnom vesmíre, ktorý sa odhaduje na približne 1080 stupňov. To však vedcom nezabránilo vo zvyšovaní počtu jednoduchým pridaním predpony „plex“ k nemu: googolplex, googolplexplex a tak ďalej. A pre obzvlášť zvrátených matematikov vymysleli variant zväčšenia bez nekonečného opakovania predpony „plex“ – jednoducho pred ňu dali grécke čísla: tetra (štyri), penta (päť) atď., až do deka ( desať). Posledná možnosť znie ako googoldecaplex a znamená desaťnásobné kumulatívne opakovanie postupu zvyšovania čísla 10 na silu jeho základu. Hlavná vec je nepredstavovať si výsledok. Stále si to nebudete môcť uvedomiť, ale je ľahké sa psychicky zraniť.

48. Mersenovo číslo

Hlavné postavy: Cooper, jeho počítač a nové prvočíslo

Pomerne nedávno, asi pred rokom, sa nám podarilo objaviť ďalšie, 48. Mersenovo číslo. V súčasnosti je to najväčšie prvočíslo na svete. Pripomeňme si, že prvočísla sú tie, ktoré sú bezo zvyšku deliteľné iba jedným a sebou samými. Najjednoduchšie príklady sú 3, 5, 7, 11, 13, 17 atď. Problém je, že čím ďalej do divočiny, tým sú takéto čísla menej bežné. O to cennejšie je však objavenie každého ďalšieho. Napríklad nové prvočíslo pozostáva zo 17 425 170 číslic, ak je reprezentované vo forme nám známej sústavy desiatkových čísel. Ten predchádzajúci mal okolo 12 miliónov postáv.

Objavil ho americký matematik Curtis Cooper, ktorý podobným rekordom potešil matematickú obec už po tretíkrát. Trvalo 39 dní prevádzky jeho osobného počítača, len aby skontroloval svoj výsledok a dokázal, že toto číslo je skutočne prvočíslo.

Takto vyzerá Grahamovo číslo v Knuthovej šípkovej notácii. Je ťažké povedať, ako to rozlúštiť bez úplného vyššie vzdelanie v teoretickej matematike. Je tiež nemožné zapísať to v našej obvyklej desatinnej forme: pozorovateľný vesmír to jednoducho nedokáže pojať. Stavať po jednom stupni, ako je to pri googolplexoch, tiež nie je riešením.

Dobrý vzorec, len nejasný

Prečo teda potrebujeme toto zdanlivo zbytočné číslo? Po prvé, pre zvedavých, bol umiestnený v Guinessovej knihe rekordov, a to je už veľa. Po druhé, bol použitý na vyriešenie problému zahrnutého v Ramseyho probléme, ktorý je tiež nejasný, ale znie vážne. Po tretie, toto číslo sa považuje za najväčšie, aké sa kedy použilo v matematike, a nie v dôkazoch komiksov alebo intelektuálnych hrách, ale na vyriešenie veľmi špecifického matematického problému.

Pozor! Nasledujúce informácie sú pre vás nebezpečné mentálne zdravie! Jeho prečítaním prijímate zodpovednosť za všetky následky!

Pre tých, ktorí si chcú otestovať svoju myseľ a meditovať nad Grahamovým číslom, môžeme to skúsiť vysvetliť (ale len skúšať).

Predstavte si 33. Je to celkom jednoduché – vyjde to 3*3*3=27. Čo ak teraz zvýšime tri na toto číslo? Výsledkom je 3 3 na 3. mocninu alebo 3 27. V desiatkovom zápise sa to rovná 7 625 597 484 987. Veľa, ale zatiaľ sa to dá realizovať.

V Knuthovej šípkovej notácii sa toto číslo dá zobraziť o niečo jednoduchšie - 33. Ak však pridáte iba jednu šípku, bude to komplikovanejšie: 33, čo znamená 33 na mocninu 33 alebo v mocninnom zápise. Ak rozšírime na desiatkový zápis, dostaneme 7,625,597,484,987 7,625,597,484,987. Ste stále schopní sledovať svoje myšlienky?

Ďalšia fáza: 33= 33 33 . To znamená, že musíte vypočítať toto divoké číslo z predchádzajúcej akcie a zvýšiť ho na rovnakú silu.

A 33 je len prvý zo 64 výrazov Grahamovho čísla. Ak chcete získať druhý, musíte vypočítať výsledok tohto ohromujúceho vzorca a nahradiť zodpovedajúci počet šípok do diagramu 3(...)3. A tak ďalej, ďalších 63-krát.

Zaujímalo by ma, či sa niekto iný ako on a tucet ďalších supermatematikov dokáže dostať aspoň do stredu sekvencie bez toho, aby sa zbláznil?

Rozumeli ste niečomu? Nie sme. Ale aké vzrušenie!

Prečo potrebujeme najväčšie čísla? Pre bežného človeka je to ťažké pochopiť a pochopiť. Ale s ich pomocou je niekoľko špecialistov schopných predstaviť bežným ľuďom nové technologické hračky: telefóny, počítače, tablety. Bežní ľudia tiež nedokážu pochopiť, ako fungujú, no radi ich využívajú na svoju zábavu. A všetci sú spokojní: bežní ľudia dostanú svoje hračky, „supernerdi“ majú možnosť pokračovať v hraní hier mysle.

Na túto otázku nie je možné správne odpovedať, pretože číselný rad nemá hornú hranicu. Takže k akémukoľvek číslu stačí pridať jedno, aby ste získali ešte väčšie číslo. Hoci samotné čísla sú nekonečné, nemajú veľa vlastných mien, pretože väčšina z nich sa uspokojí s menami zloženými z menších čísel. Napríklad čísla majú svoje vlastné názvy „jedna“ a „sto“ a názov čísla je už zložený („sto a jedna“). Je jasné, že v konečnej množine čísel, ktoré ľudstvo udelilo vlastné meno, musí existovať nejaké najväčšie číslo. Ako sa však volá a čomu sa rovná? Skúsme na to prísť a zároveň zistiť, na aké veľké čísla matematici prišli.

"Krátke" a "dlhé" stupnice

Príbeh moderný systém Názvy veľkých čísel sa datujú do polovice 15. storočia, keď sa v Taliansku začali používať slová „milión“ (doslova – veľký tisíc) pre tisíc na druhú, „bimilión“ pre milión štvorcových a „trimilión“ pre milión kociek. O tomto systéme vieme vďaka francúzskemu matematikovi Nicolasovi Chuquetovi (asi 1450 - asi 1500): vo svojom pojednaní “Náuka o číslach” (Triparty en la science des nombres, 1484) rozvinul túto myšlienku a navrhol jej ďalšie využitie latinské kardinálne čísla (pozri tabuľku) a ich pridanie ku koncovke „-milión“. Takže „bimilión“ pre Schuke sa zmenil na miliardu, „trimilión“ sa stal biliónom a milión ku štvrtej mocnine sa stal „kvadriliónom“.

V systéme Chuquet nemalo číslo medzi miliónom a miliardou svoje vlastné meno a nazývalo sa jednoducho „tisíc miliónov“, podobne ako „tisíc miliárd“, „tisíc biliónov“ atď. Nebolo to príliš vhodné a v roku 1549 francúzsky spisovateľ a vedec Jacques Peletier du Mans (1517 – 1582) navrhol pomenovať takéto „stredné“ čísla pomocou rovnakých latinských predpôn, ale s koncovkou „-miliarda“. Začalo sa to nazývať „miliarda“, - „biliard“, - „bilión“ atď.

Systém Chuquet-Peletier sa postupne stal populárnym a používal sa v celej Európe. V 17. storočí však nastal nečakaný problém. Ukázalo sa, že z nejakého dôvodu začali byť niektorí vedci zmätení a nazývali číslo nie „miliarda“ alebo „tisíc miliónov“, ale „miliarda“. Čoskoro sa táto chyba rýchlo rozšírila a nastala paradoxná situácia - „miliarda“ sa stala súčasne synonymom pre „miliardu“ () a „milión miliónov“ ().

Tento zmätok pokračoval pomerne dlho a viedol k tomu, že Spojené štáty americké vytvorili vlastný systém na pomenovanie veľkých čísel. Podľa amerického systému sú názvy čísel konštruované rovnakým spôsobom ako v systéme Schuquet - latinská predpona a koncovka „milión“. Veľkosti týchto čísel sú však rôzne. Ak v Schuquetovom systéme mená s koncovkou „milión“ dostali čísla, ktoré boli mocniny milióna, potom v americkom systéme koncovka „-milión“ dostala mocniny tisíc. To znamená, že tisíc miliónov () sa začalo nazývať „miliarda“, () - „bilión“, () - „kvadrilión“ atď.

Starý systém pomenovávania veľkých čísel sa naďalej používal v konzervatívnej Veľkej Británii a začal sa nazývať „Britský“ na celom svete, napriek tomu, že ho vymysleli Francúzi Chuquet a Peletier. V 70-tych rokoch však Spojené kráľovstvo oficiálne prešlo na „americký systém“, čo viedlo k tomu, že bolo akosi zvláštne nazývať jeden systém americký a druhý britský. Výsledkom je, že americký systém je teraz bežne označovaný ako "short scale" a britský alebo Chuquet-Peletier systém ako "long scale".

Aby sme sa vyhli nejasnostiam, zhrňme:

Názov čísla	Hodnota krátkej stupnice	Dlhá hodnota
miliónov
miliardy
miliardy
Biliard	-
bilióna
bilióna	-
Kvadrilión
Kvadrilión	-
Quintillion
Quintilliard	-
Sextilion
Sextilion	-
Septillion
Septilliard	-
Octillion
Octilliard	-
Quintillion
Nonilliard	-
Decilión
Deciliard	-
Vigintillion
Wigintilliard	-
Centilión
Centilliard	-
miliónov
miliardy	-

Krátka stupnica pomenovania sa v súčasnosti používa v USA, Spojenom kráľovstve, Kanade, Írsku, Austrálii, Brazílii a Portoriku. Rusko, Dánsko, Turecko a Bulharsko tiež používajú krátku škálu, s výnimkou toho, že číslo sa nazýva „miliarda“ a nie „miliarda“. Dlhá stupnica sa naďalej používa vo väčšine ostatných krajín.

Je zvláštne, že definitívny prechod na krátky rozsah u nás nastal až v druhej polovici 20. storočia. Napríklad Jakov Isidorovič Perelman (1882–1942) vo svojej „Zábavnej aritmetike“ spomína paralelnú existenciu dvoch mierok v ZSSR. Krátka stupnica sa podľa Perelmana používala v každodennom živote a finančných výpočtoch a dlhá stupnica sa používala vo vedeckých knihách o astronómii a fyzike. Teraz je však nesprávne používať v Rusku dlhú stupnicu, hoci čísla sú tam veľké.

Vráťme sa však k hľadaniu najväčšieho čísla. Po decilióne sa názvy čísel získavajú spojením predpôn. Takto vznikajú čísla ako undecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion, novemdecillion atď. Tieto mená však už nie sú pre nás zaujímavé, keďže sme sa dohodli, že najväčší počet nájdeme s vlastným nezloženým názvom.

Ak sa obrátime na latinskú gramatiku, zistíme, že Rimania mali len tri nezložené mená pre čísla väčšie ako desať: viginti – „dvadsať“, centum – „sto“ a mille – „tisíc“. Rimania nemali svoje vlastné mená pre čísla väčšie ako tisíc. Napríklad milión () Rimania to nazývali „decies centena milia“, teda „desaťkrát stotisíc“. Podľa Chuquetovho pravidla nám tieto tri zostávajúce latinské číslice dávajú také mená pre čísla ako "vigintillion", "centillion" a "million".

Zistili sme teda, že na „krátkej škále“ je maximálne číslo, ktoré má svoj vlastný názov a nie je zložené z menších čísel, „milión“ (). Ak by Rusko prijalo „dlhú škálu“ na pomenovanie čísel, potom by najväčšie číslo s vlastným menom bolo „miliarda“ ().

Existujú však názvy pre ešte väčšie čísla.

Čísla mimo systému

Niektoré čísla majú svoj vlastný názov, bez akéhokoľvek spojenia so systémom pomenovania pomocou latinských predpôn. A takýchto čísel je veľa. Môžete si napríklad vybaviť číslo e, číslo „pi“, tucet, číslo šelmy atď. Keďže nás však teraz zaujímajú veľké čísla, budeme brať do úvahy iba tie čísla s vlastnými nezloženými číslami. mená, ktoré sú väčšie ako milión.

V Rusku sa používal až do 17. storočia vlastný systém mená čísel. Desaťtisíce sa nazývali „temnota“, státisíce sa nazývali „légie“, milióny „leoder“, desiatky miliónov „havrany“ a stovky miliónov „paluby“. Tento počet do stoviek miliónov sa nazýval „malý počet“ a v niektorých rukopisoch autori uvažovali aj o „veľkom počte“, v ktorom sa pre veľké čísla používali rovnaké názvy, ale s iným významom. Takže „tma“ už neznamenala desaťtisíc, ale tisíctisíc () , „légia“ - temnota tých () ; "leodr" - légia légií () , "havran" - leodr leodrov (). Z nejakého dôvodu sa „paluba“ vo veľkom slovanskom počítaní nenazývala „havranom havranov“ () , ale len desať „havranov“, teda (pozri tabuľku).

Názov čísla	Význam v "malom počte"	Význam vo výraze "veľký počet"	Označenie
Tmavý
légie
Leodre
Raven (Corvid)
Paluba
Temnota tém

Číslo má aj svoj názov a vymyslel ho deväťročný chlapec. A bolo to takto. V roku 1938 sa americký matematik Edward Kasner (1878–1955) prechádzal v parku so svojimi dvoma synovcami a diskutoval s nimi o veľkých číslach. Počas rozhovoru sme sa rozprávali o čísle so sto nulami, ktoré nemalo vlastný názov. Jeden zo synovcov, deväťročný Milton Sirott, navrhol nazvať toto číslo „googol“. V roku 1940 Edward Kasner spolu s Jamesom Newmanom napísal populárnu vedeckú knihu „Mathematics and the Imagination“, kde milovníkom matematiky povedal o googolovom čísle. Googleol sa stal ešte viac známym koncom 90. rokov minulého storočia vďaka vyhľadávaciemu nástroju Google, ktorý je po ňom pomenovaný.

Názov pre ešte väčšie číslo ako googol vznikol v roku 1950 vďaka otcovi informatiky Claudeovi Elwoodovi Shannonovi (1916–2001). Vo svojom článku „Programovanie počítača na hranie šachu“ sa pokúsil počet odhadnúť možné možnostišachová hra. Podľa nej každá hra trvá v priemere ťahov a pri každom ťahu si hráč vyberie v priemere z možností, čo zodpovedá (približne sa rovná) herným možnostiam. Toto dielo sa stalo všeobecne známym a dané číslo sa stalo známym ako Shannonovo číslo.

V slávnom budhistickom pojednaní Jaina Sutra z roku 100 pred Kristom sa číslo „asankheya“ rovná . Predpokladá sa, že toto číslo sa rovná počtu kozmických cyklov potrebných na dosiahnutie nirvány.

Deväťročný Milton Sirotta sa zapísal do dejín matematiky nielen preto, že prišiel s číslom googol, ale aj preto, že zároveň navrhol ďalšie číslo – „googolplex“, ktorý sa rovná sile „ googol“, teda jeden s googolom núl.

Dve ďalšie čísla väčšie ako googolplex navrhol juhoafrický matematik Stanley Skewes (1899 – 1988) vo svojom dôkaze Riemannovej hypotézy. Prvé číslo, ktoré sa neskôr stalo známym ako „číslo Skuse“, sa rovná mocnine k mocnine k mocnine , teda . „Druhé Skewesovo číslo“ je však ešte väčšie a predstavuje .

Je zrejmé, že čím viac právomocí je v právomociach, tým ťažšie je zapísať čísla a pochopiť ich význam pri čítaní. Navyše je možné prísť s takýmito číslami (a mimochodom už boli vynájdené), keď sa stupne stupňov jednoducho nezmestia na stránku. Áno, je to na stránke! Nezmestia sa ani do knihy veľkosti celého Vesmíru! V tomto prípade vzniká otázka, ako takéto čísla zapísať. Problém je, našťastie, riešiteľný a matematici vyvinuli niekoľko princípov zápisu takýchto čísel. Je pravda, že každý matematik, ktorý sa zamýšľal nad týmto problémom, prišiel na svoj vlastný spôsob písania, čo viedlo k existencii niekoľkých navzájom nesúvisiacich metód na písanie veľkých čísel - sú to zápisy Knutha, Conwaya, Steinhausa atď. s niektorými z nich.

Iné zápisy

V roku 1938, v tom istom roku, keď deväťročný Milton Sirotta vynašiel čísla googol a googolplex, vyšla v Poľsku kniha o zábavnej matematike A Mathematical Kaleidoscope, ktorú napísal Hugo Dionizy Steinhaus (1887–1972). Táto kniha sa stala veľmi populárnou, prešla mnohými vydaniami a bola preložená do mnohých jazykov vrátane angličtiny a ruštiny. V ňom Steinhaus, ktorý diskutuje o veľkých číslach, ponúka jednoduchý spôsob, ako ich zapísať pomocou troch geometrické obrazce- trojuholník, štvorec a kruh:

„v trojuholníku“ znamená „“,
"štvorcový" znamená "v trojuholníkoch"
„v kruhu“ znamená „v štvorcoch“.

Pri vysvetľovaní tejto metódy zápisu Steinhaus prichádza s číslom „mega“, ktoré sa rovná v kruhu a ukazuje, že je rovnaké v „štvorci“ alebo v trojuholníkoch. Ak ho chcete vypočítať, musíte ho zvýšiť na mocninu , zvýšiť výsledné číslo na mocninu , potom zvýšiť výsledné číslo na mocninu výsledného čísla atď., umocniť ho na krát. Napríklad kalkulačka v MS Windows nevie počítať kvôli preplneniu ani v dvoch trojuholníkoch. Toto obrovské číslo je približne .

Po určení „mega“ čísla pozýva Steinhaus čitateľov, aby nezávisle odhadli ďalšie číslo - „medzon“, rovnaké v kruhu. V inom vydaní knihy Steinhaus namiesto medzone navrhuje odhadnúť ešte väčšie číslo - „megiston“, ktorý sa rovná v kruhu. V nadväznosti na Steinhausa tiež odporúčam čitateľom, aby sa na chvíľu odpútali od tohto textu a pokúsili sa tieto čísla napísať sami pomocou obyčajných síl, aby pocítili ich gigantickú veľkosť.

Existujú však názvy pre veľké čísla. Kanadský matematik Leo Moser (Leo Moser, 1921–1970) teda upravil Steinhausovu notáciu, ktorá bola obmedzená tým, že ak by bolo potrebné písať čísla oveľa väčšie ako megiston, nastali by ťažkosti a nepríjemnosti, pretože potrebné nakresliť veľa kruhov jeden do druhého. Moser navrhol, aby sa po štvorcoch nenakreslili kruhy, ale päťuholníky, potom šesťuholníky atď. Navrhol tiež formálny zápis týchto mnohouholníkov, aby bolo možné písať čísla bez kreslenia zložitých obrázkov. Moserova notácia vyzerá takto:

"trojuholník" = = ;
"štvorec" = = "trojuholníky" = ;
"v päťuholníku" = = "v štvorcoch" = ;
"in -gon" = = "in -gon" = .

Podľa Moserovej notácie sa teda Steinhausovo „mega“ píše ako , „medzone“ ako a „megiston“ ako . Okrem toho Leo Moser navrhol nazvať polygón s počtom strán rovným mega - „megagon“. A navrhol číslo « v megagóne“, tj. Toto číslo sa stalo známym ako Moserovo číslo alebo jednoducho „Moser“.

Ale ani „Moser“ nie je najväčšie číslo. Takže najväčšie číslo, aké sa kedy použilo v matematickom dôkaze, je „Grahamovo číslo“. Toto číslo prvýkrát použil americký matematik Ronald Graham v roku 1977 pri dokazovaní jedného odhadu v Ramseyho teórii, a to pri výpočte rozmeru určitého -rozmerný bichromatické hyperkocky. Grahamovo číslo sa stalo známym až potom, čo bolo opísané v knihe Martina Gardnera z roku 1989 Od Penrose Mosaics to Reliable Ciphers.

Aby sme vysvetlili, aké veľké je Grahamovo číslo, musíme vysvetliť ďalší spôsob písania veľkých čísel, ktorý zaviedol Donald Knuth v roku 1976. Americký profesor Donald Knuth prišiel s konceptom superveľmoci, ktorý navrhol písať šípkami smerujúcimi nahor.

Bežné aritmetické operácie – sčítanie, násobenie a umocňovanie – možno prirodzene rozšíriť do postupnosti hyperoperátorov nasledovne.

Násobenie prirodzených čísel možno definovať opakovanou operáciou sčítania („sčítanie kópií čísla“):

Napríklad,

Zvýšenie čísla na mocninu možno definovať ako opakovanú operáciu násobenia („násobenie kópií čísla“) a v Knuthovom zápise vyzerá tento zápis ako jedna šípka smerujúca nahor:

Napríklad,

Táto jediná šípka nahor bola použitá ako ikona stupňa v programovacom jazyku Algol.

Napríklad,

Tu a nižšie sa výraz vždy vyhodnocuje sprava doľava a Knuthove šípkové operátory (rovnako ako operácia umocňovania) majú podľa definície pravú asociatívnosť (poradie sprava doľava). Podľa tejto definície

To už vedie k pomerne veľkým číslam, no tým sa systém zápisov nekončí. Operátor trojitej šípky sa používa na písanie opakovaného umocňovania operátora dvojitej šípky (známeho aj ako pentácia):

Potom operátor „quad arrow“:

Atď. Všeobecné pravidlo operátor "-jašípka", v súlade s pravou asociatívnosťou, pokračuje doprava v sekvenčnej sérii operátorov « šíp." Symbolicky to možno napísať takto:

Napríklad:

Forma zápisu sa zvyčajne používa na zápis pomocou šípok.

Niektoré čísla sú také veľké, že aj písanie Knuthovými šípkami sa stáva príliš ťažkopádnym; v tomto prípade sa uprednostňuje použitie operátora -šípka (a tiež pre popisy s premenlivým počtom šípok), alebo je ekvivalentné s hyperoperátormi. Ale niektoré čísla sú také obrovské, že aj takýto zápis je nepostačujúci. Napríklad Grahamovo číslo.

Pomocou Knuthovej šípkovej notácie možno Grahamovo číslo zapísať ako

Kde počet šípok v každej vrstve, počínajúc zhora, je určený číslom v nasledujúcej vrstve, teda kde , kde horný index šípky označuje celkový počet šípok. Inými slovami, počíta sa v krokoch: v prvom kroku počítame so štyrmi šípkami medzi trojkami, v druhom - so šípkami medzi trojkami, v treťom - so šípkami medzi trojkami atď.; na konci počítame so šípkami medzi trojčatami.

Dá sa to zapísať ako , kde , kde horný index y označuje iterácie funkcie.

Ak je možné k zodpovedajúcemu počtu objektov priradiť iné čísla s „názvami“ (napríklad počet hviezd vo viditeľnej časti vesmíru sa odhaduje na sextilióny - a počet atómov, ktoré tvoria Zem má rád dodekaliónov), potom je googol už „virtuálny“, nehovoriac o Grahamovom čísle. Rozsah prvého pojmu je taký veľký, že je takmer nemožné ho pochopiť, hoci vyššie uvedený zápis je pomerne ľahko pochopiteľný. Aj keď je to len počet veží v tomto vzorci pre , toto číslo je už veľa väčšie množstvo Planckove objemy (najmenší možný fyzický objem) obsiahnuté v pozorovateľnom vesmíre (približne ). Po prvom členovi očakávame ďalšieho člena rýchlo rastúcej postupnosti.