Primeri aritmetičnega napredovanja z rešitvijo 9. Zapisi z oznako »Aritmetična progresija 9. razreda«. III. Učenje nove snovi

Če želite uporabiti predogled predstavitev, si ustvarite Google Račun (račun) in se prijavite vanj: https://accounts.google.com

Napisi diapozitivov:

Predogled:

Tema

Aritmetično napredovanje

NAMEN:

• naučiti prepoznati aritmetično progresijo z uporabo njene definicije in predznaka;
• naučiti reševati probleme z uporabo definicije, značilnosti, formule splošnega izraza napredovanja.

CILJI LEKCIJE:

podati definicijo aritmetične progresije, dokazati znak aritmetične progresije in jih naučiti uporabljati pri reševanju nalog.

UČNE METODE:

posodabljanje znanja učencev, samostojno delo, individualno delo, ustvarjanje problemske situacije.

SODOBNE TEHNOLOGIJE:

IKT, problemsko učenje, diferencirano učenje, zdravstveno varčne tehnologije.

UČNI NAČRT

	Faze lekcije.	Čas izvedbe.
	Organiziranje časa.	2 minuti
	Ponavljanje preteklosti	5 minut
	Učenje nove snovi	15 minut
	Športna vzgoja	3 minute
	Izpolnjevanje nalog na temo	15 minut
	Domača naloga	2 minuti
	Povzetek	3 minute

MED POUKAMI:

1. V zadnji lekciji smo se seznanili s pojmom "Sequence".

Danes bomo nadaljevali s preučevanjem številčnih zaporedij, dali definicijo nekaterih od njih, se seznanili z njihovimi lastnostmi in značilnostmi.

1. Odgovorite na vprašanja: Kaj je zaporedje?

Kakšna zaporedja obstajajo?

Na katere načine lahko nastavite zaporedje?

Kaj je številsko zaporedje?

Katere metode določanja številskega zaporedja poznate? Katera formula se imenuje ponavljajoča se?

1. Številčna zaporedja so podana:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

Poiščite vzorec v vsakem zaporedju in poimenujte naslednje tri izraze v vsakem od njih.

1. a n = a n -1 +1
2. a n = a n -1 + 3
3. a n = a n -1 + (-2)
4. a n = a n -1 + 0,5

Poimenujte ponavljajočo se formulo za vsako zaporedje.

Diapozitiv 1

Številčno zaporedje, katerega vsak člen, začenši z drugim, je enak prejšnjemu členu, dodanemu istemu številu, se imenuje aritmetična progresija.

Število d imenujemo razlika aritmetične progresije.

Aritmetična progresija je številčno zaporedje, zato je lahko naraščajoča, padajoča, konstantna. Navedite primere takšnih zaporedij, poimenujte razliko vsakega napredovanja, naredite zaključek.

Izpeljimo formulo za splošni izraz aritmetične progresije.

Na tabli: naj a 1 je prvi člen napredovanja, d je njegova razlika, potem

a 2 = a 1 + d

a 3 = (a 1 + d) + d = a 1 + 2d

a 4 = (a 1 + 2d) + d = a 1 + 3d

a 5 = (a 1 + 3d) + d = a 1 + 4d

a n = a 1 + d (n-1) je formula za n-ti člen aritmetične progresije.

Reši nalogo: V aritmetični progresiji je prvi člen 5, razlika pa 4.

Poiščite 22 članov tega napredovanja.

Učenec se na tabli odloči: a n = a 1 + d (n-1)

A 22 = a 1 + 21d = 5 + 21 * 4 = 89

Športna vzgoja.

Vstali smo.

Roke na pasu. Nagibi v levo, desno, (2-krat);

Nagibi naprej, nazaj (2-krat);

Dvignite roke navzgor, globoko vdihnite, spustite roke, izdihnite. (2-krat)

Stisnila sta si roke. Hvala vam.

Usedli so se. Nadaljujemo z lekcijo.

Rešujemo naloge o uporabi formule za splošni člen aritmetične progresije.

Učencem se ponudijo naslednje naloge:

1. V aritmetični progresiji je prvi člen -2, d = 3, a n = 118.

Poiščite n.

1. V aritmetični progresiji je prvi člen 7, petnajsti člen -35. Poiščite razliko.
2. Znano je, da je v aritmetični progresiji d = -2, a39 = 83. Poiščite prvi člen napredovanja.

Učenci so razdeljeni v skupine. Naloga je dana 5 minut. Nato jih prvi 3 učenci, ki so rešili naloge, rešijo na tabli. Rešitev se podvoji na diapozitivih.

Razmislite o značilnih lastnostih aritmetične progresije.

V aritmetični progresiji

a n -d = a (n-1)

a n + d = a (n + 1)

Te dve enakosti seštejemo člen za členom, dobimo: 2а n = a (n + 1) + a (n-1)

A n = (a (n + 1) + a (n-1)) / 2

To pomeni, da je vsak član aritmetične progresije, razen prvega in zadnjega, enak aritmetični sredini prejšnjega in naslednjih členov.

TEOREM:

Številčno zaporedje je aritmetična progresija, če in samo če je vsak njegov člen, razen prvega (in zadnjega v primeru končnega zaporedja), enak aritmetični sredini prejšnjega in naslednjih členov (karakteristična lastnost aritmetične progresije).

Razumevanje številnih tem iz matematike in fizike je povezano s poznavanjem lastnosti nizov števil. Učenci 9. razreda pri študiju predmeta "Algebra" upoštevajo eno od pomembnih zaporedij številk - aritmetično napredovanje. Tu so osnovne formule aritmetične progresije (9. razred), pa tudi primeri njihove uporabe za reševanje problemov.

Algebraično ali aritmetično napredovanje

Številčna vrsta, o kateri bomo govorili v tem članku, se imenuje na dva različna načina, predstavljena v naslovu tega odstavka. Torej, v matematiki se aritmetična progresija razume kot številčna vrsta, v kateri se kateri koli dve številki, ki stojita drug ob drugem, razlikujeta za enako količino, kar imenujemo razlika. Številke v takšni vrstici so običajno označene s črkami z nižjim celim indeksom, na primer 1, 2, 3 in tako naprej, kjer indeks označuje številko elementa vrstice.

Ob upoštevanju zgornje definicije aritmetične progresije lahko zapišemo naslednjo enakost: a 2 -a 1 = ... = an -a n-1 = d, tukaj je d razlika algebraične progresije in n poljubno celo število. Če je d> 0, potem lahko pričakujemo, da bo vsak naslednji član serije večji od prejšnjega, v tem primeru govorijo o naraščajočem napredovanju. Če d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

Formule aritmetične progresije (9. razred šole)

Zaporedje obravnavanih številk, ker je urejeno in upošteva določen matematični zakon, ima dve lastnosti, ki sta pomembni za njegovo uporabo:

1. Prvič, če poznate samo dve številki a 1 in d, lahko najdete katerega koli člana zaporedja. To se naredi z naslednjo formulo: a n = a 1 + (n-1) * d.
2. Drugič, za izračun vsote n členov prvega, jih ni treba seštevati po vrstnem redu, saj lahko uporabite naslednjo formulo: S n = n * (a n + a 1) / 2.

Prvo formulo je enostavno razumeti, saj je neposredna posledica dejstva, da se vsak član obravnavane serije od svojega soseda razlikuje po enaki razliki.

Drugo formulo aritmetične progresije lahko dobimo, če smo pozorni na dejstvo, da se izkaže, da je vsota a 1 + an enakovredna vsotam a 2 + a n-1, a 3 + a n-2 in tako na. Ker je a 2 = d + a 1, a n-2 = -2 * d + an, a 3 = 2 * d + a 1 in a n-1 = -d + an, potem te izraze nadomestimo v ustrezne vsote, dobimo, da bodo enake. Faktor n / 2 v 2. formuli (za S n) se pojavi zaradi dejstva, da so vsote vrste a i + 1 + a ni natančno n / 2, tukaj je i celo število od 0 do n / 2 - eno.

Po ohranjenih zgodovinskih dokazih je formulo za vsoto S n prvi dobil Karl Gauss (slavni nemški matematik), ko ga je šolski učitelj prosil, naj sešteje prvih 100 številk.

Primer problema #1: poiščite razliko

Težave, pri katerih je vprašanje zastavljeno na naslednji način: poznavanje formul aritmetične progresije, kako najti d (d), so najpreprostejše, kar je lahko samo za to temo.

Naj navedemo primer: glede na številčno zaporedje -5, -2, 1, 4, ... je treba določiti njegovo razliko, to je d.

To naredite tako enostavno kot lupljenje hrušk: vzeti morate dva elementa in od večjega odšteti manjšega. V tem primeru imamo: d = -2 - (-5) = 3.

Da se prepričate o prejetem odgovoru, je priporočljivo preveriti preostale razlike, saj predstavljeno zaporedje morda ne bo izpolnjevalo pogoja algebraične progresije. Imamo: 1 - (- 2) = 3 in 4 - 1 = 3. Ti podatki kažejo, da smo dobili pravilen rezultat (d = 3) in dokazali, da je niz številk v izjavi problema res algebraična progresija.

Primer problema številka 2: poiščite razliko, poznajte dva izraza napredovanja

Oglejmo si še en zanimiv problem, ki ga postavlja vprašanje, kako najti razliko. V tem primeru je treba za n-ti člen uporabiti formulo aritmetičnega napredovanja. Torej, problem: glede na prvo in peto številko niza, ki ustrezata vsem lastnostim algebraične progresije, na primer, sta to številki a 1 = 8 in a 5 = -10. Kako najti razliko d?

Rešitev tega problema je treba začeti s pisanjem splošne oblike formule za n-ti element: a n = a 1 + d * (- 1 + n). Zdaj lahko greste na dva načina: bodisi zamenjajte številke naenkrat in delajte z njimi, ali izrazite d, nato pa nadaljujte z določenimi 1 in 5. Uporabimo zadnjo metodo, dobimo: a 5 = a 1 + d * (- 1 + 5) ali a 5 = 4 * d + a 1, od koder sledi, da je d = (a 5 -a 1) / 4. Zdaj lahko varno nadomestite znane podatke iz pogoja in dobite končni odgovor: d = (-10-8) / 4 = -4,5.

Upoštevajte, da se je v tem primeru razlika v napredovanju izkazala za negativno, to pomeni, da je zaporedje številk padajoče. Pri reševanju težav je treba biti pozoren na to dejstvo, da ne zamenjate znakov "+" in "-". Vse zgoraj navedene formule so univerzalne, zato jih morate vedno upoštevati ne glede na predznak številk, s katerimi se izvajajo operacije.

Primer reševanja problema št.3: poišči a1, poznajoč razliko in element

Malo spremenimo stanje problema. Naj bosta dve številki: razlika d = 6 in 9. element progresije a 9 = 10. Kako najti a1? Formule aritmetične progresije ostanejo nespremenjene, uporabili jih bomo. Za število a 9 imamo naslednji izraz: a 1 + d * (9-1) = a 9. Od koder zlahka dobimo prvi element niza: a 1 = a 9 -8 * d = 10 - 8 * 6 = -38.

Primer reševanja problema številka 4: poišči a1, poznajoč dva elementa

Ta različica težave je zapletena različica prejšnje. Bistvo je enako, treba je izračunati 1, zdaj pa razlika d ni znana, namesto tega je podan še en element progresije.

Primer te vrste težave je naslednji: poiščite prvo številko zaporedja, za katerega je znano, da je aritmetična progresija, in da sta njegova 15. oziroma 23. elementa 7 oziroma 12.

Ta problem je treba rešiti tako, da za vsak element, znan iz pogoja, zapišemo izraz za n-ti člen, imamo: a 15 = d * (15-1) + a 1 in a 23 = d * (23-1) + a 1. Kot lahko vidite, imamo dve linearni enačbi, ki ju je treba rešiti za 1 in d. Naredimo to: od druge enačbe odštejemo prvo, potem dobimo naslednji izraz: a 23 -a 15 = 22 * ​​d - 14 * d = 8 * d. Pri izpeljanju zadnje enačbe so bile vrednosti 1 izpuščene, ker se ob odštevanju izničijo. Če zamenjamo znane podatke, najdemo razliko: d = (a 23 -a 15) / 8 = (12-7) / 8 = 0,625.

Vrednost d je treba nadomestiti s katero koli formulo za znani element, da dobimo prvi člen zaporedja: a 15 = 14 * d + a 1, od koder: a 1 = a 15 -14 * d = 7-14 * 0,625 = -1,75.

Preverimo rezultat, za to najdemo 1 do drugega izraza: a 23 = d * 22 + a 1 ali a 1 = a 23 -d * 22 = 12 - 0,625 * 22 = -1,75.

Primer reševanja problema št.5: poiščite vsoto n elementov

Kot lahko vidite, je bila do te točke za rešitev uporabljena samo ena formula aritmetičnega napredovanja (ocena 9). Zdaj podajamo problem, za rešitev katerega morate poznati drugo formulo, to je za vsoto S n.

Obstaja naslednja urejena vrstica številk -1,1, -2,1, -3,1, ..., izračunati morate vsoto njenih prvih 11 elementov.

Iz te serije je razvidno, da se zmanjšuje in a 1 = -1,1. Njegova razlika je: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Zdaj definirajmo 11. člen: a 11 = 10 * d + a 1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Po zaključku pripravljalnih izračunov lahko uporabite zgornjo formulo za vsoto, imamo: S 11 = 11 * (- 1,1 + (- 11,1)) / 2 = -67,1. Ker so bili vsi izrazi negativna števila, ima njihova vsota ustrezen predznak.

Primer reševanja problema številka 6: poiščite vsoto elementov od n do m

Morda je ta vrsta problema za večino študentov najtežja. Naj navedemo tipičen primer: glede na vrsto številk 2, 4, 6, 8 ... morate najti vsoto od 7. do 13. členov.

Formule aritmetična progresija(9. razred) se uporabljajo popolnoma enako kot pri vseh prejšnjih težavah. Priporočljivo je, da to težavo rešite v fazah:

1. Najprej poiščite vsoto 13 členov s standardno formulo.
2. Nato izračunajte ta znesek za prvih 6 predmetov.
3. Po tem odštejte 2. od 1. zneska.

Spustimo se k rešitvi. Kot v prejšnjem primeru bomo izvedli pripravljalne izračune: a 6 = 5 * d + a 1 = 10 + 2 = 12, a 13 = 12 * d + a 1 = 24 + 2 = 26.

Izračunajmo dve vsoti: S 13 = 13 * (2 + 26) / 2 = 182, S 6 = 6 * (2 + 12) / 2 = 42. Vzamemo razliko in dobimo želeni odgovor: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Upoštevajte, da je bila pri pridobivanju te vrednosti kot odšteta uporabljena vsota 6 elementov napredovanja, saj je 7. člen vključen v vsoto S 7-13.

Številčno zaporedje, katerega vsak član je, začenši z drugim, enak prejšnjemu, dodanemu z isto številko za dano zaporedje, se imenuje aritmetična progresija. Pokliče se številka, ki se vsakič doda prejšnji številki razlika v aritmetičnem napredovanju in označena s črko d.

Torej, številčno zaporedje a 1; a 2; a 3; a 4; a 5; ... in n bo aritmetična progresija, če je a 2 = a 1 + d;

a 3 = a 2 + d;

Pravijo, da je podana aritmetična progresija s skupnim izrazom a n... Zapišite: podana je aritmetična progresija (a n).

Aritmetična progresija se šteje za dokončno, če je znan njen prvi člen. a 1 in razlika d.

Primeri aritmetičnega napredovanja

Primer 1. ena; 3; 5; 7; 9; ... Tukaj a 1 = 1; d = 2.

Primer 2. osem; 5; 2; -ena; -4; -7; -10; ... Tukaj a 1 = 8; d =-3.

Primer 3.-šestnajst; -12; -osem; -4; ... Tukaj a 1 = -16; d = 4.

Upoštevajte, da je vsak člen v napredovanju, začenši z drugim, enak aritmetični sredini njegovih sosednjih členov.

V 1 vzorcu drugi mandat 3 =(1+5): 2; tiste. a 2 = (a 1 + a 3) : 2; tretji mandat 5 =(3+7): 2;

a 3 = (a 2 + a 4) : 2.

Torej velja formula:

Toda v resnici je vsak član aritmetične progresije, začenši z drugim, enak aritmetični sredini ne le njegovih sosednjih členov, ampak tudi enako oddaljena od svojih članov, tj.

Obrnimo se primer 2... Številka -1 je četrti člen aritmetične progresije in je enako oddaljen od prvega in sedmega člana (a 1 = 8 in 7 = -10).

Po formuli (**) imamo:

Izpeljimo formulo n- th član aritmetične progresije.

Torej, dobimo drugi člen aritmetične progresije, če prvemu dodamo razliko d; tretji člen dobimo, če drugemu dodamo razliko d ali prvemu členu dodajte dve razliki d; četrti člen dobimo, če tretjemu dodamo razliko d ali prvi dodaj tri razlike d itd.

Uganili ste: a 2 = a 1 + d;

a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d;

a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d;

…………………….

a n = a n-1 + d = a 1 + (n-1) d.

Nastala formula a n = a 1 + (n-1) d (***)

se imenujejo formulanth član aritmetične progresije.

Zdaj pa se pogovorimo o tem, kako najti vsoto prvih n členov aritmetične progresije. To vsoto označimo z S n.

Od prerazporeditve mest izrazov se vrednost vsote ne bo spremenila, zato jo lahko zapišemo na dva načina.

S n= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n in

S n = a n + a n-1 + a n-2 + a n-3 +… ... + a 4 + a 3 + a 2 + a 1

Dodajmo ti dve enakosti člen za členom:

2S n= (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) + ...

Vrednosti v oklepajih so med seboj enake, saj so vsote enako oddaljenih članov niza, kar pomeni, da lahko zapišete: 2S n = n · (a 1 + a n).

Dobimo formulo vsota prvegančlani aritmetične progresije.

Če zamenjamo a n z vrednostjo a 1 + (n-1) d s formulo (***), dobimo še eno formulo za vsoto prvega nčlani aritmetične progresije.

Matematika ima svojo lepoto, tako kot slikarstvo in poezija.

Ruski znanstvenik, mehanik N.E. Žukovski

Težave, povezane s pojmom aritmetične progresije, so zelo pogoste težave pri sprejemnih izpitih iz matematike. Za uspešno reševanje tovrstnih problemov je potrebno dobro poznati lastnosti aritmetične progresije in imeti določene veščine pri njihovi uporabi.

Najprej se spomnimo glavnih lastnosti aritmetične progresije in predstavimo najpomembnejše formule, povezane s tem konceptom.

Opredelitev. Številčno zaporedje, pri katerem se vsak naslednji člen razlikuje od prejšnjega za isto število, imenujemo aritmetična progresija. Poleg tega številkase imenuje razlika v napredovanju.

Za aritmetično progresijo veljajo naslednje formule

, (1)

kje . Formula (1) se imenuje formula za splošni člen aritmetične progresije, formula (2) pa je glavna lastnost aritmetične progresije: vsak člen progresije sovpada z aritmetično sredino njegovih sosednjih členov in.

Upoštevajte, da se prav zaradi te lastnosti obravnavana progresija imenuje "aritmetika".

Zgornji formuli (1) in (2) sta posplošeni na naslednji način:

(3)

Za izračun zneska prvi člani aritmetične progresijeobičajno se uporablja formula

(5) kjer in.

Ob upoštevanju formule (1), potem formula (5) implicira

Če označimo, potem

kje . Ker sta formuli (7) in (8) posplošitev ustreznih formul (5) in (6).

Še posebej , iz formule (5) sledi, kaj

Lastnost aritmetične progresije, oblikovana s pomočjo naslednjega izreka, je večini študentov med malo znanimi.

Izrek.Če, potem

Dokaz.Če, potem

Izrek je dokazan.

na primer , z uporabo izreka, se lahko pokaže, da

Pojdimo na obravnavanje tipičnih primerov reševanja problemov na temo "Aritmetična progresija".

Primer 1. Naj in. Najti .

Rešitev.Če uporabimo formulo (6), dobimo. Ker in, potem oz.

Primer 2. Naj bo trikrat več in pri deljenju s v količniku dobimo 2 in ostanek 8. Določi in.

Rešitev. Pogoj primera implicira sistem enačb

Ker, in, potem iz sistema enačb (10) dobimo

Rešitev tega sistema enačb je in.

Primer 3. Poiščite, če in.

Rešitev. Po formuli (5) imamo oz. Vendar z uporabo lastnosti (9) dobimo.

Od in nato iz enakosti sledi enačba ali .

Primer 4. Poiščite če.

Rešitev.Po formuli (5) imamo

Vendar pa lahko z uporabo izreka zapišemo

Iz tega in formule (11) dobimo.

Primer 5. Podano:. Najti .

Rešitev. Od takrat. Vendar zato.

Primer 6. Naj in. Najti .

Rešitev. S formulo (9) dobimo. Zato, če, potem oz.

Ker in, potem imamo sistem enačb

Rešitev katerega dobimo in.

Naravni koren enačbe je .

Primer 7. Poiščite, če in.

Rešitev. Ker imamo po formuli (3) to, potem izjava problema implicira sistem enačb

Če zamenjate izrazv drugo enačbo sistema, potem dobimo oz.

Korenine kvadratne enačbe so in .

Poglejmo dva primera.

1. Naj torej. Od in takrat.

V tem primeru imamo po formuli (6).

2. Če, potem in

Odgovor: in.

Primer 8. Znano je, da in. Najti .

Rešitev. Ob upoštevanju formule (5) in pogoja primera zapišemo in.

Zato sledi sistem enačb

Če prvo enačbo sistema pomnožimo z 2 in jo nato dodamo drugi enačbi, dobimo

Po formuli (9) imamo... V zvezi s tem iz (12) sledi ali .

Od in takrat.

Odgovor: .

Primer 9. Poiščite, če in.

Rešitev. Ker in po pogoju, potem oz.

Iz formule (5) je znano, kaj . Od takrat.

zato , tukaj imamo sistem linearnih enačb

Zato dobimo in. Ob upoštevanju formule (8) zapišemo.

Primer 10. Reši enačbo.

Rešitev. Iz podane enačbe sledi, da. Recimo, da,, in. V tem primeru .

Po formuli (1) lahko zapišemo oz.

Ker ima enačba (13) en primeren koren.

Primer 11. Poiščite največjo vrednost pod pogojem, da in.

Rešitev. Ker se obravnavana aritmetična progresija zmanjšuje. V zvezi s tem izraz prevzame največjo vrednost, ko je število minimalnega pozitivnega člena napredovanja.

Uporabljamo formulo (1) in dejstvo, kot. Potem dobimo to oz.

Od takrat tudi ... Vendar pa v tej neenakostinajvečje naravno število, Zato .

Če vrednosti in nadomestimo s formulo (6), dobimo.

Odgovor: .

Primer 12. Določite vsoto vseh dvomestnih naravnih števil, ki pri deljeni s 6 dajo preostanek 5.

Rešitev. Označimo z množico vseh dvomestnih naravnih števil, t.j. ... Nato zgradimo podmnožico, sestavljeno iz tistih elementov (številk) množice, ki, če jih delimo s 6, dajo preostanek 5.

Ni težko vzpostaviti, kaj . očitno , da elementi množicetvori aritmetično progresijo, v katerem in.

Za določitev kardinalnosti (števila elementov) množice predpostavimo, da. Ker in, potem iz formule (1) sledi oz. Ob upoštevanju formule (5) dobimo.

Zgornji primeri reševanja problemov nikakor ne morejo trditi, da so izčrpni. Članek je napisan na podlagi analize sodobnih metod za reševanje tipičnih problemov na dano temo. Za globlje preučevanje metod reševanja problemov, povezanih z aritmetično progresijo, je priporočljivo, da se obrnete na seznam priporočene literature.

1. Zbirka problemov iz matematike za vpisnike na visoke tehnične šole / Ed. M.I. Skanavi. - M .: Mir in izobraževanje, 2013 .-- 608 str.

2. Suprun V.P. Matematika za srednješolce: dodatni oddelki šolskega kurikuluma. - M .: Lenand / URSS, 2014 .-- 216 str.

3. Medynsky M.M. Celoten tečaj osnovne matematike v problemih in vajah. Knjiga 2: Številska zaporedja in napredovanja. - M.: Edithus, 2015 .-- 208 str.

Še imate vprašanja?

Če želite dobiti pomoč od mentorja - registrirajte se.

strani, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva, je potrebna povezava do vira.

tema: Aritmetične in geometrijske progresije

razred: 9

Sistem priprave: gradivo za pripravo študija teme iz algebre in pripravljalne faze za opravljanje izpita

Tarča: oblikovanje pojmov aritmetične in geometrijske progresije

Naloge: naučiti razlikovati vrste napredovanja, pravilno poučevati, uporabljati formule

Aritmetično napredovanje imenovano zaporedje številk (člani napredovanja)

pri katerem se vsak naslednji člen razlikuje od prejšnjega za nov izraz, ki mu pravimo tudi stopnična ali progresijska razlika.

Tako lahko z nastavitvijo koraka napredovanja in njegovega prvega izraza po formuli najdete kateri koli njegov element

1) Vsak član aritmetične progresije, začenši z drugo številko, je aritmetična sredina prejšnjega in naslednjega člana progresije

Velja tudi obratno. Če je aritmetična sredina sosednjih lih (sodo) členov progresije enaka členu med njimi, potem je to zaporedje številk aritmetična progresija. Ta izjava omogoča zelo enostavno preverjanje katerega koli zaporedja.

Prav tako lahko z lastnostjo aritmetične progresije zgornjo formulo posplošimo na naslednje

To je enostavno preveriti, če zapišemo izraze desno od znaka enakosti

V praksi se pogosto uporablja za poenostavitev izračunov v težavah.

2) Vsota prvih n členov aritmetične progresije se izračuna po formuli

Dobro si zapomnite formulo za vsoto aritmetične progresije, nepogrešljiva je za izračune in je precej pogosta v preprostih življenjskih situacijah.

3) Če morate najti ne celoten znesek, ampak del zaporedja, ki se začne od k-tega člana, vam bo prišla naslednja formula za vsoto

4) Praktično je zanimivo najti vsoto n členov aritmetične progresije, ki se začne od k-te številke. Če želite to narediti, uporabite formulo

Poiščite štirideseti člen aritmetične progresije 4; 7; ...

rešitev:

Glede na pogoje imamo

Določite korak napredovanja

S pomočjo znane formule najdemo štirideseti člen progresije

Aritmetična progresija je podana z njenim tretjim in sedmim členom. Poiščite prvi člen napredovanja in vsoto desetih.

rešitev:

Zapišimo dane elemente napredovanja s formulami

Aritmetično progresijo podata imenovalec in eden od njegovih članov. Poiščite prvega člana napredovanja, vsoto njegovih 50 članov, ki se začnejo s 50, in vsoto prvih 100.

rešitev:

Napišimo formulo za stoti element progresije

in poiščite prvo

Na podlagi prvega najdemo 50 člen napredovanja

Poiščite vsoto dela napredovanja

in vsota prvih 100

Vsota napredovanja je 250. Poiščite število članov aritmetične progresije, če:

a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.

rešitev:

Enačbe zapišemo v smislu prvega člena in koraka napredovanja ter jih definiramo

Dobljene vrednosti nadomestimo v formulo vsote, da določimo število članov v vsoti

Izvajanje poenostavitev

in reši kvadratno enačbo

Od dveh vrednosti, najdenih za pogoj problema, je primerna samo številka 8. Tako je vsota prvih osmih članov progresije 111.

Reši enačbo

1 + 3 + 5 + ... + x = 307.

rešitev:

Ta enačba je vsota aritmetične progresije. Zapišimo njegov prvi člen in poiščimo razliko v napredovanju

Najdene vrednosti nadomestimo v formulo za vsoto napredovanja, da najdemo število izrazov

Kot v prejšnji nalogi bomo kvadratno enačbo poenostavili in rešili

Izberemo bolj logično od obeh vrednosti. Imamo, da je vsota 18 članov progresije z danimi vrednostmi a1 = 1, d = 2 enaka Sn = 307.

Primeri reševanja problemov: Aritmetična progresija

Naloga 1

Študentska ekipa je sklenila pogodbo za polaganje keramičnih ploščic na tla v dvorani mladinskega kluba s površino 288 m2. Z nabiranjem izkušenj so študenti vsak naslednji dan, začenši od drugega, položili 2 m2 več kot prejšnji , zaloge ploščic pa so imeli dovolj za natanko 11 dni dela. Pri načrtovanju, da se produktivnost poveča na enak način, je delovodja ugotovil, da bo za dokončanje dela potrebnih še 5 dni. Koliko zabojev ploščic naj naroči, če 1 škatla zadostuje za 1,2 m2 tal, za zamenjavo nizkokakovostnih ploščic pa so potrebne 3 škatle?

Rešitev

Glede na pogoj problema je jasno, da govorimo o aritmetični progresiji, v kateri naj

a1 = x, Sn = 288, n = 16

Nato uporabimo formulo: Sn = (2а1 + d (n-1)) * n / 0,86 = 200 mm Hg. Umetnost.

288 = (2x + 2 * 15) * 16/2

Izračunajmo, koliko m2 bodo študentje položili v 11 dneh: S11 = (2 * 3 + 2 * 10) * 11,2 = 143m 2

288-143 = 145m2 ostane po 11 dneh dela, t.j. za 5 dni

145 / 1,2 = 121 (približno) škatel je treba naročiti za 5 dni.

121 + 3 = 124 škatel je treba naročiti vključno z napako

Odgovor: 124 škatel

Naloga 2

Po vsakem premikanju bata vakuumske črpalke se iz posode odstrani 20% zraka v njej. Določimo zračni tlak v posodi po šestih premikih bata, če je bil začetni tlak 760 mm Hg. Umetnost.

Rešitev

Ker se po vsakem premikanju bata iz posode odstrani 20 % razpoložljivega zraka, ostane 80 % zraka. Če želite ugotoviti zračni tlak v posodi po zaporednem gibanju bata, morate zmanjšati tlak prejšnjega gibanja bata za 0,8.

Imamo geometrijsko progresijo, katere prvi člen je 760, imenovalec pa 0,8. Število, ki izraža zračni tlak v posodi (v mm Hg) po šestih premikih bata, je sedmi člen v tem napredovanju. To je enako 760 * 0,86 = 200 mm Hg. Umetnost.

Odgovor: 200 mm Hg.

Podana je aritmetična progresija, kjer sta peti in deseti člen 38 oziroma 23. Poišči petnajsti člen progresije in vsoto prvih desetih členov.

rešitev:

Poiščite število aritmetičnega napredovanja izraza 5,14,23, ..., če je njegov th člen 239.

rešitev:

Najti število članov aritmetične progresije 9,12,15, ..., če je njena vsota 306.

rešitev:

Poiščite x, za katerega števila x-1, 2x-1, x2-5 sestavljajo aritmetično progresijo

rešitev:

Najdimo razliko med 1 in 2 členoma napredovanja:

d = (2x-1) - (x-1) = x

Najdimo razliko med 2 in 3 členi napredovanja:

d = (x2-5) - (2x-1) = x2-2x-4

Ker razlika je enaka, potem je mogoče člane progresije enačiti:

Pri preverjanju v obeh primerih dobimo aritmetično progresijo

Odgovor: za x = -1 in x = 4

Aritmetična progresija je podana z njenim tretjim in sedmim členom a3 = 5; a7 = 13. Poiščite prvi člen napredovanja in vsoto desetih.

rešitev:

Od druge enačbe odštejemo prvo in posledično najdemo korak napredovanja

a1 + 6d- (a1 + 2d) = 4d = 13-5 = 8, torej d = 2

Najdeno vrednost nadomestimo s katero koli enačbo, da najdemo prvi člen aritmetične progresije

Izračunamo vsoto prvih desetih članov progresije

S10 = (2 * 1 + (10-1) * 2) * 10/2 = 100

Odgovor: a1 = 1; S10 = 100

V aritmetični progresiji, kjer je prvi člen -3,4 in je razlika 3, poiščite peti in enajsti člen.

Torej vemo, da je a1 = -3,4; d = 3. Najdi: a5, a11-.

Rešitev. Da bi našli n-ti člen aritmetične progresije, uporabimo formulo: an = a1 + (n - 1) d. Imamo:

a5 = a1 + (5 - 1) d = -3,4 + 43 = 8,6;

a11 = a1 + (11 - 1) d = -3,4 + 10 * 3 = 26,6.

Kot lahko vidite, v tem primeru rešitev ni težka.

Dvanajsti člen aritmetične progresije je 74, razlika pa je -4. Poiščite štiriintrideseti člen v tej progresiji.

Rečeno nam je, da je a12 = 74; d = -4, vendar morate najti a34-.

V tem problemu ni mogoče takoj uporabiti formule an = a1 + (n - 1) d, saj prvi člen a1 ni znan. To nalogo je mogoče rešiti v več korakih.

1. Z uporabo izraza a12 in formule za n-ti člen najdemo a1:

a12 = a1 + (12 - 1) d, zdaj poenostavimo in nadomestimo d: a12 = a1 + 11 (-4). Iz te enačbe najdemo a1: a1 = a12 - (-44);

Dvanajsti člen poznamo iz izjave o problemu, zato zlahka izračunamo a1

a1 = 74 + 44 = 118. Pojdite na drugi korak - izračun a34.

2. Ponovno s formulo an = a1 + (n - 1) d, ker je a1 že znan, bomo definirali a34-,

a34 = a1 + (34 - 1) d = 118 + 33 (-4) = 118 - 132 = -14.

Odgovor: štiriintrideseti člen aritmetične progresije je -14.

Kot lahko vidite, je rešitev drugega primera bolj zapletena. Ista formula se uporabi dvakrat, da dobimo odgovor. Ampak vse je tako zapleteno. Raztopino lahko skrajšamo z uporabo dodatnih formul.

Kot smo že omenili, če je v problemu znan a1, je formula za določanje n-tega člena aritmetične progresije zelo priročna za uporabo. Če pa pogoj ne določa prvega izraza, potem lahko na pomoč priskoči formula, ki povezuje n-ti člen, ki ga potrebujemo, in izraz ak, določen v problemu.

an = ak + (n - k) d.

Rešimo drugi primer, vendar z novo formulo.

Podano: a12 = 74; d = -4. Najdi: a34-.

Uporabimo formulo an = ak + (n - k) d. V našem primeru bo to:

a34 = a12 + (34 - 12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74 - 88 = -14.

Odgovor na problem je bil sprejet veliko hitreje, saj ni bilo treba izvajati dodatnih dejanj in iskati prvega termina napredovanja.

Z uporabo zgornjih formul lahko rešite težave z izračunom razlike aritmetične progresije. Torej, z uporabo formule an = a1 + (n - 1) d, lahko izrazite d:

d = (an - a1) / (n - 1). Vendar pa težave z danim prvim členom niso tako pogoste in jih je mogoče rešiti z našo formulo an = ak + (n - k) d, iz katere je razvidno, da je d = (an - ak) / (n - k ). Razmislimo o takšni nalogi.

Poiščite razliko aritmetične progresije, če je znano, da je a3 = 36; a8 = 106.

Z uporabo formule, ki smo jo dobili, lahko rešitev problema zapišemo v eni vrstici:

d = (a8 - a3) / (8 - 3) = (106 - 36) / 5 = 14.

Brez te formule v arzenalu bi rešitev problema trajala veliko dlje, saj bi morali rešiti sistem dveh enačb.

Geometrijske progresije

1. Formula th člana (skupni člen progresije).
2. Formula za vsoto prvih članov progresije:. Ko je običajno govoriti o konvergentni geometrijski progresiji; v tem primeru lahko s formulo izračunate vsoto celotnega napredovanja.
3. Formula "geometrijske sredine": če so,, trije zaporedni členi geometrijske progresije, potem imamo na podlagi definicije razmerje: ali ali .