C 8 metode za reševanje sistemov enačb. Reševanje sistema enačb z metodo seštevanja. Reševanje kompleksnih sistemov enačb

S tem videoposnetkom začnem serijo lekcij o sistemih enačb. Danes bomo govorili o reševanju sistemov linearnih enačb metoda dodajanja- to je eden najlažjih načinov, a hkrati eden najučinkovitejših.

Metoda dodajanja je sestavljena iz treh preprostih korakov:

1. Poglejte sistem in izberite spremenljivko, ki ima enake (ali nasprotne) koeficiente v vsaki enačbi;
2. Izvedite algebraično odštevanje (za nasprotna števila - seštevanje) enačb drug od drugega in nato prinesite podobne izraze;
3. Rešite novo enačbo iz drugega koraka.

Če je vse opravljeno pravilno, bomo na izhodu dobili eno samo enačbo z eno spremenljivko- ne bo težko rešiti. Potem ostane le, da najdeno korenino nadomestimo v prvotni sistem in dobimo končni odgovor.

Vendar v praksi stvari niso tako preproste. Za to obstaja več razlogov:

• Reševanje enačb z metodo seštevanja pomeni, da morajo vse vrstice vsebovati spremenljivke z enakimi / nasprotnimi koeficienti. Kaj pa, če ta zahteva ni izpolnjena?
• Nikakor vedno po tem seštevanju/odštevanju enačb na ta način ne dobimo čudovite konstrukcije, ki jo je mogoče enostavno rešiti. Ali je mogoče nekako poenostaviti izračune in pospešiti izračune?

Če želite dobiti odgovor na ta vprašanja in se hkrati spopasti z nekaj dodatnimi tankočutnostmi, ki jih številni učenci "padejo", si oglejte mojo video lekcijo:

S to lekcijo začnemo serijo predavanj o sistemih enačb. In začeli bomo od najpreprostejših, in sicer od tistih, ki vsebujejo dve enačbi in dve spremenljivki. Vsak od njih bo linearen.

Sistemi so gradivo za 7. razred, vendar bo ta lekcija koristna tudi za srednješolce, ki želijo okrepiti svoje znanje o temi.

Na splošno obstajata dve metodi za reševanje takšnih sistemov:

1. Metoda seštevanja;
2. Metoda izražanja ene spremenljivke skozi drugo.

Danes se bomo ukvarjali s prvo metodo - uporabili bomo metodo odštevanja in seštevanja. Toda za to morate razumeti naslednje dejstvo: takoj ko imate dve ali več enačb, imate pravico vzeti kateri koli dve od njih in ju sešteti drug drugemu. Dodajajo se izraz za izrazom, t.j. "Xs" so dodani z "Xs" in podobni so navedeni;

Rezultat takšnih mahinacij bo nova enačba, ki bo, če ima korenine, nujno med koreninami prvotne enačbe. Zato je naša naloga, da naredimo odštevanje ali seštevanje tako, da bodisi $ x $ bodisi $ y $ izgine.

Kako to doseči in katero orodje uporabiti za to - o tem bomo govorili zdaj.

Reševanje svetlobnih problemov z metodo seštevanja

Tako se učimo uporabljati metodo seštevanja na primeru dveh najpreprostejših izrazov.

Problem številka 1

\ [\ levo \ (\ začetek (poravnava) & 5x-4y = 22 \\ & 7x + 4y = 2 \\\ konec (poravnava) \ desno. \]

Upoštevajte, da ima $ y $ koeficient v prvi enačbi $ -4 $, v drugi pa - $ + 4 $. So si medsebojno nasprotni, zato je logično domnevati, da če jih seštejemo, bodo v nastali vsoti "igre" medsebojno uničene. Dodamo in dobimo:

Rešimo najpreprostejši dizajn:

Super, našli smo X. Kaj zdaj z njim? Imamo pravico, da ga nadomestimo v kateri koli enačbi. Zamenjajmo v prvem:

\ [- 4y = 12 \ levo | : \ levo (-4 \ desno) \ desno. \]

Odgovor: $ \ levo (2; -3 \ desno) $.

Problem številka 2

\ [\ levo \ (\ začetek (poravnava) & -6x + y = 21 \\ & 6x-11y = -51 \\\ konec (poravnava) \ desno. \]

Tukaj je situacija povsem podobna, le pri X-jih. Seštejmo jih:

Dobili smo najenostavnejšo linearno enačbo, rešimo jo:

Zdaj pa poiščimo $ x $:

Odgovor: $ \ levo (-3; 3 \ desno) $.

Pomembne točke

Torej, pravkar smo rešili dva najpreprostejša sistema linearnih enačb z metodo seštevanja. Še enkrat ključne točke:

1. Če obstajajo nasprotni koeficienti za eno od spremenljivk, je treba v enačbo sešteti vse spremenljivke. V tem primeru bo eden od njih uničen.
2. Najdeno spremenljivko nadomestimo s katero koli enačbo sistema, da najdemo drugo.
3. Končni zapis odgovora je mogoče predstaviti na različne načine. Na primer, tako - $ x = ..., y = ... $ ali v obliki koordinat točk - $ \ levo (...; ... \ desno) $. Druga možnost je boljša. Glavna stvar, ki si jo je treba zapomniti, je, da je prva koordinata $ x $, druga pa $ y $.
4. Pravilo pisanja odgovora v obliki točkovnih koordinat ne velja vedno. Na primer, ni mogoče uporabiti, če spremenljivki nista $ x $ in $ y $, ampak na primer $ a $ in $ b $.

V naslednjih nalogah si bomo ogledali tehniko odštevanja, ko si koeficienti niso nasprotni.

Reševanje enostavnih nalog z metodo odštevanja

Problem številka 1

\ [\ levo \ (\ začetek (poravnava) & 10x-3y = 5 \\ & -6x-3y = -27 \\\ konec (poravnava) \ desno. \]

Upoštevajte, da tukaj ni nasprotnih koeficientov, so pa enaki. Zato od prve enačbe odštejemo drugo:

Zdaj zamenjamo vrednost $ x $ v katero koli enačbo sistema. Gremo najprej:

Odgovor: $ \ levo (2; 5 \ desno) $.

Problem številka 2

\ [\ levo \ (\ začetek (poravnava) & 5x + 4y = -22 \\ & 5x-2y = -4 \\\ konec (poravnava) \ desno. \]

Spet vidimo isti koeficient od $ 5 $ do $ x $ v prvi in ​​drugi enačbi. Zato je logično domnevati, da morate od prve enačbe odšteti drugo:

Izračunali smo eno spremenljivko. Zdaj pa poiščimo drugo, na primer tako, da vrednost $ y $ nadomestimo z drugo konstrukcijo:

Odgovor: $ \ levo (-3; -2 \ desno) $.

Nianse rešitve

Kaj torej vidimo? V bistvu se shema ne razlikuje od rešitve prejšnjih sistemov. Edina razlika je v tem, da enačb ne seštevamo, ampak jih odštevamo. Delamo algebraično odštevanje.

Z drugimi besedami, takoj ko zagledate sistem dveh enačb z dvema neznankama, morate najprej pogledati koeficiente. Če so kjer koli enake, se enačbe odštejejo, če pa so nasprotne, se uporabi metoda seštevanja. To se vedno naredi tako, da eden od njih izgine, v končni enačbi pa ostane le ena spremenljivka, ki ostane po odštevanju.

Seveda to še ni vse. Zdaj bomo obravnavali sisteme, v katerih so enačbe na splošno nekonsistentne. tiste. v njih ni spremenljivk, ki bi bile ali enake ali nasprotne. V tem primeru se za reševanje takšnih sistemov uporablja dodatna tehnika, in sicer množenje vsake od enačb s posebnim koeficientom. Kako ga najti in kako na splošno rešiti takšne sisteme, bomo zdaj govorili o tem.

Reševanje problemov z množenjem s koeficientom

Primer št. 1

\ [\ levo \ (\ začetek (poravnava) & 5x-9y = 38 \\ & 3x + 2y = 8 \\\ konec (poravnava) \ desno. \]

Vidimo, da niti za $ x $ niti za $ y $ koeficienta ne le da nista medsebojno nasprotna, ampak na splošno nikakor ne korelirata z drugo enačbo. Ti koeficienti nikakor ne bodo izginili, tudi če enačbe seštejemo ali odštejemo. Zato je treba uporabiti množenje. Poskusimo se znebiti spremenljivke $ y $. Da bi to naredili, pomnožimo prvo enačbo s koeficientom pri $ y $ iz druge enačbe in drugo enačbo - pri $ y $ iz prve enačbe, ne da bi spremenili predznak. Pomnožimo in dobimo nov sistem:

\ [\ levo \ (\ začetek (poravnava) & 10x-18y = 76 \\ & 27x + 18y = 72 \\\ konec (poravnava) \ desno. \]

Pogledamo: za $ y $ nasprotni koeficienti. V takšni situaciji je treba uporabiti metodo dodajanja. dodajmo še:

Zdaj moramo najti $ y $. Če želite to narediti, nadomestite $ x $ v prvem izrazu:

\ [- 9y = 18 \ levo | : \ levo (-9 \ desno) \ desno. \]

Odgovor: $ \ levo (4; -2 \ desno) $.

Primer št. 2

\ [\ levo \ (\ začetek (poravnava) & 11x + 4y = -18 \\ & 13x-6y = -32 \\\ konec (poravnava) \ desno. \]

Spet koeficienti za katero koli od spremenljivk niso skladni. Pomnožimo s koeficienti pri $ y $:

\ [\ levo \ (\ začetek (poravnava) & 11x + 4y = -18 \ levo | 6 \ desno. \\ & 13x-6y = -32 \ levo | 4 \ desno. \\\ konec (poravnava) \ desno . \]

\ [\ levo \ (\ začetek (poravnava) & 66x + 24y = -108 \\ & 52x-24y = -128 \\\ konec (poravnava) \ desno. \]

Naš novi sistem je enak prejšnjemu, vendar so koeficienti $ y $ medsebojno nasprotni, zato je tukaj enostavno uporabiti metodo seštevanja:

Zdaj najdemo $ y $ tako, da v prvi enačbi nadomestimo $ x $:

Odgovor: $ \ levo (-2; 1 \ desno) $.

Nianse rešitve

Ključno pravilo tukaj je naslednje: vedno množimo samo s pozitivnimi številkami - to vas bo rešilo pred neumnimi in žaljivimi napakami, povezanimi s spreminjanjem znakov. Na splošno je shema rešitev precej preprosta:

1. Pogledamo sistem in analiziramo vsako enačbo.
2. Če vidimo, da niti za $ y $ niti za $ x $ koeficienti niso konsistentni, t.j. niso niti enaki niti nasprotni, potem naredimo naslednje: izberemo spremenljivko, ki se je želimo znebiti, in nato pogledamo koeficiente teh enačb. Če prvo enačbo pomnožimo s koeficientom iz druge, drugo pa pomnožimo s koeficientom iz prve, potem na koncu dobimo sistem, ki je popolnoma enak prejšnjemu, in koeficienti za $ y $ bo skladen. Vsa naša dejanja ali transformacije so usmerjena samo v pridobitev ene spremenljivke v eni enačbi.
3. Najdemo eno spremenljivko.
4. Najdeno spremenljivko nadomestimo v eno od dveh enačb sistema in poiščemo drugo.
5. Odgovor zapišemo v obliki koordinat točk, če imamo spremenljivki $ x $ in $ y $.

Toda tudi tako preprost algoritem ima svoje posebnosti, na primer, koeficienti $ x $ ali $ y $ so lahko ulomki in druga "grda" števila. Zdaj bomo te primere obravnavali ločeno, saj je v njih mogoče ravnati nekoliko drugače kot po standardnem algoritmu.

Reševanje nalog z ulomnimi števili

Primer št. 1

\ [\ levo \ (\ začetek (poravnava) & 4m-3n = 32 \\ & 0,8m + 2,5n = -6 \\\ konec (poravnava) \ desno. \]

Najprej upoštevajte, da so v drugi enačbi ulomki. Vendar upoštevajte, da lahko 4 $ delite z 0,8 $. Dobimo 5 $. Pomnožimo drugo enačbo s 5 $:

\ [\ levo \ (\ začetek (poravnava) & 4m-3n = 32 \\ & 4m + 12,5m = -30 \\\ konec (poravnava) \ desno. \]

Odštejte enačbe ena od druge:

Našli smo $ n $, zdaj pa izračunajmo $ m $:

Odgovor: $ n = -4; m = 5 $

Primer št. 2

\ [\ levo \ (\ začetek (poravnava) & 2.5p + 1.5k = -13 \ levo | 4 \ desno. \\ & 2p-5k = 2 \ levo | 5 \ desno. \\\ konec (poravnava) \ prav. \]

Tu, tako kot v prejšnjem sistemu, obstajajo ulomni koeficienti, vendar se za nobeno od spremenljivk koeficienti ne prilegajo drug drugemu celo število krat. Zato uporabljamo standardni algoritem. Znebite se $ p $:

\ [\ levo \ (\ začetek (poravnava) & 5p + 3k = -26 \\ & 5p-12,5k = 5 \\\ konec (poravnava) \ desno. \]

Uporabimo metodo odštevanja:

Najdemo $ p $ tako, da $ k $ vstavimo v drugo konstrukcijo:

Odgovor: $ p = -4; k = -2 $.

Nianse rešitve

To je vsa optimizacija. V prvi enačbi sploh nismo pomnožili z ničemer, drugo enačbo pa smo pomnožili s 5 $. Kot rezultat smo dobili konsistentno in celo enako enačbo za prvo spremenljivko. Pri drugem sistemu smo sledili standardnemu algoritmu.

Toda kako najdete številke, s katerimi morate pomnožiti enačbe? Konec koncev, če pomnožimo z ulomnimi števili, dobimo nove ulomke. Zato je treba ulomke pomnožiti s številom, ki bi dalo novo celo število, in šele nato po standardnem algoritmu spremenljivke pomnožiti s koeficienti.

Za zaključek bi vas rad opozoril na format posnetka odziva. Kot sem že rekel, ker tukaj nimamo $ x $ in $ y $, temveč druge vrednosti, uporabljamo nestandardni zapis oblike:

Reševanje kompleksnih sistemov enačb

Za zaključek današnje video vadnice si oglejmo nekaj res zapletenih sistemov. Njihova kompleksnost bo v tem, da bodo vsebovali spremenljivke na levi in ​​desni. Zato bomo morali za njihovo reševanje uporabiti predobdelavo.

Sistem št. 1

\ [\ levo \ (\ začetek (poravnava) & 3 \ levo (2x-y \ desno) + 5 = -2 \ levo (x + 3y \ desno) +4 \\ & 6 \ levo (y + 1 \ desno) ) -1 = 5 \ levo (2x-1 \ desno) +8 \\\ konec (poravnava) \ desno. \]

Vsaka enačba ima določeno mero zapletenosti. Zato z vsakim izrazom postopajmo kot pri običajnem linearnem konstruktu.

Skupaj bomo dobili končni sistem, ki je enakovreden prvotnemu:

\ [\ levo \ (\ začetek (poravnava) & 8x + 3y = -1 \\ & -10x + 6y = -2 \\\ konec (poravnava) \ desno. \]

Poglejmo koeficiente za $ y $: $ 3 $ dvakrat ustreza $ 6 $, zato prvo enačbo pomnožimo z $ 2 $:

\ [\ levo \ (\ začetek (poravnava) & 16x + 6y = -2 \\ & -10 + 6y = -2 \\\ konec (poravnava) \ desno. \]

Koeficienti pri $ y $ so zdaj enaki, zato od prve enačbe odštejemo drugo: $$

Zdaj pa poiščimo $ y $:

Odgovor: $ \ levo (0; - \ frac (1) (3) \ desno) $

Sistem št. 2

\ [\ levo \ (\ začetek (poravnava) & 4 \ levo (a-3b \ desno) -2a = 3 \ levo (b + 4 \ desno) -11 \\ & -3 \ levo (b-2a \ desno) ) -12 = 2 \ levo (a-5 \ desno) + b \\\ konec (poravnava) \ desno. \]

Pretvorimo prvi izraz:

Ukvarjamo se z drugim:

\ [- 3 \ levo (b-2a \ desno) -12 = 2 \ levo (a-5 \ desno) + b \]

\ [- 3b + 6a-12 = 2a-10 + b \]

\ [- 3b + 6a-2a-b = -10 + 12 \]

Torej bo naš začetni sistem videti takole:

\ [\ levo \ (\ začetek (poravnava) & 2a-15b = 1 \\ & 4a-4b = 2 \\\ konec (poravnava) \ desno. \]

Če pogledamo koeficiente za $ a $, vidimo, da je treba prvo enačbo pomnožiti z $ 2 $:

\ [\ levo \ (\ začetek (poravnava) & 4a-30b = 2 \\ & 4a-4b = 2 \\\ konec (poravnava) \ desno. \]

Od prve konstrukcije odštejemo drugo:

Zdaj pa poiščimo $ a $:

Odgovor: $ \ levo (a = \ frac (1) (2); b = 0 \ desno) $.

To je vse. Upam, da vam bo ta video vadnica pomagala razumeti to težko temo, in sicer reševanje sistemov preprostih linearnih enačb. Kasneje bo na to temo še veliko lekcij: analizirali bomo bolj zapletene primere, kjer bo spremenljivk več, same enačbe pa bodo že nelinearne. Do naslednjič!

Običajno so enačbe sistema zapisane v stolpcu ena pod drugo in združene s kodrastim oklepajem

Sistem enačb te oblike, kjer a, b, c- številke in x, y- klicane spremenljivke sistem linearnih enačb.

Pri reševanju sistema enačb se uporabljajo lastnosti, ki veljajo za reševanje enačb.

Rešitev sistema linearnih enačb z substitucijsko metodo

Poglejmo primer

1) Izrazite spremenljivko v eni od enačb. Na primer izražamo y v prvi enačbi dobimo sistem:

2) Nadomestite v drugo enačbo sistema namesto y izražanje 3x-7:

3) Rešimo nastalo drugo enačbo:

4) Dobljeno rešitev nadomestimo v prvo enačbo sistema:

Sistem enačb ima edinstveno rešitev: par številk x = 1, y = -4... odgovor: (1; -4) , zapisano v oklepaju, na prvem mestu vrednost x, na drugi - y.

Reševanje sistema linearnih enačb z metodo seštevanja

Rešimo sistem enačb iz prejšnjega primera po metodi dodajanja.

1) Preoblikujte sistem tako, da postanejo koeficienti za eno od spremenljivk nasprotni. Prvo enačbo sistema pomnožimo s "3".

2) Dodajte enačbe sistema člen za členom. Druga enačba sistema (poljubna) se prepiše brez sprememb.

3) Dobljeno rešitev nadomestimo v prvo enačbo sistema:

Grafično reševanje sistema linearnih enačb

Grafična rešitev sistema enačb z dvema spremenljivkama je reducirana na iskanje koordinat skupnih točk grafov enačb.

Graf linearne funkcije je ravna črta. Dve ravni črti na ravnini se lahko sekata v eni točki, sta vzporedni ali sovpadata. V skladu s tem ima lahko sistem enačb: a) edinstveno rešitev; b) nimajo rešitev; c) imajo neskončno število rešitev.

2) Rešitev sistema enačb je točka (če so enačbe linearne) presečišča grafov.

Grafična rešitev sistema

Metoda za uvajanje novih spremenljivk

Spreminjanje spremenljivk lahko pripelje do reševanja enostavnejšega sistema enačb od prvotnega.

Razmislite o rešitvi sistema

Nato uvedemo zamenjavo

Premik na izvirne spremenljivke

Posebni primeri

Brez reševanja sistema linearnih enačb lahko določimo število njegovih rešitev s koeficienti za ustrezne spremenljivke.

Rešitev sistemov linearnih algebraičnih enačb (SLAE) je nedvomno najpomembnejša tema tečaja linearne algebre. Ogromno število problemov iz vseh vej matematike je reducirano na reševanje sistemov linearnih enačb. Ti dejavniki pojasnjujejo razlog za ustvarjanje tega članka. Material članka je izbran in strukturiran tako, da z njegovo pomočjo lahko

• izberite optimalno metodo za reševanje vašega sistema linearnih algebraičnih enačb,
• preučiti teorijo izbrane metode,
• rešite svoj sistem linearnih enačb tako, da podrobno preučite analizirane rešitve tipičnih primerov in problemov.

Kratek opis materiala članka.

Najprej podamo vse potrebne definicije in koncepte ter uvedemo zapis.

Nato bomo obravnavali metode za reševanje sistemov linearnih algebraičnih enačb, v katerih je število enačb enako številu neznanih spremenljivk in imajo edinstveno rešitev. Najprej se bomo osredotočili na Cramerjevo metodo, drugič, prikazali bomo matrično metodo za reševanje takšnih sistemov enačb, in tretjič, analizirali bomo Gaussovo metodo (metoda zaporednega odpravljanja neznanih spremenljivk). Za utrjevanje teorije bomo zagotovo rešili več SLAE na različne načine.

Nato se obrnemo na reševanje sistemov linearnih algebraičnih enačb splošne oblike, pri katerih število enačb ne sovpada s številom neznanih spremenljivk ali pa je glavna matrika sistema degenerirana. Formulirajmo Kronecker - Capellijev izrek, ki nam omogoča, da ugotovimo združljivost SLAE. Analizirajmo rešitev sistemov (v primeru njihove kompatibilnosti) s konceptom osnovnega minora matrike. Upoštevali bomo tudi Gaussovo metodo in podrobno opisali rešitve primerov.

Vsekakor se bomo zadržali na strukturi splošne rešitve homogenih in nehomogenih sistemov linearnih algebraičnih enačb. Podajmo pojem temeljnega sistema rešitev in pokažimo, kako je splošna rešitev SLAE zapisana z uporabo vektorjev temeljnega sistema rešitev. Za boljše razumevanje si oglejmo nekaj primerov.

Za zaključek obravnavamo sisteme enačb, ki se reducirajo na linearne, pa tudi različne probleme, pri reševanju katerih nastanejo SLAE.

Navigacija po straneh.

Definicije, koncepti, poimenovanja.

Upoštevali bomo sisteme p linearnih algebraičnih enačb z n neznanimi spremenljivkami (p je lahko enak n) oblike

Neznane spremenljivke, - koeficienti (nekatera realna ali kompleksna števila), - prosti izrazi (tudi realna ali kompleksna števila).

Ta oblika zapisa SLAE se imenuje koordinirati.

V matrična oblika zapis ima ta sistem enačb obliko,
kje - glavna matrika sistema, - matrika-stolpec neznanih spremenljivk, - matrika-stolpec prostih članov.

Če matriki A kot (n + 1)-ti stolpec dodamo matriko-stolpec prostih členov, dobimo t.i. razširjena matrika sistemi linearnih enačb. Običajno je razširjena matrika označena s črko T, stolpec prostih članov pa je ločen z navpično črto od preostalih stolpcev, tj.

Z reševanjem sistema linearnih algebraičnih enačb je niz vrednosti neznanih spremenljivk, ki pretvori vse enačbe sistema v identitete. V identiteto se spremeni tudi matrična enačba za dane vrednosti neznanih spremenljivk.

Če ima sistem enačb vsaj eno rešitev, se imenuje sklep.

Če sistem enačb nima rešitev, se imenuje nedosleden.

Če ima SLAE edinstveno rešitev, se imenuje določen; če obstaja več kot ena rešitev, potem - nedoločeno.

Če so prosti členi vseh enačb sistema enaki nič , potem se sistem pokliče homogena, drugače - heterogena.

Rešitev osnovnih sistemov linearnih algebraičnih enačb.

Če je število enačb sistema enako številu neznanih spremenljivk in determinanta njegove glavne matrike ni enaka nič, se bodo takšne SLAE imenovale elementarno... Takšni sistemi enačb imajo edinstveno rešitev, v primeru homogenega sistema pa so vse neznane spremenljivke enake nič.

Takšne SLAE smo začeli preučevati v srednji šoli. Pri njihovem reševanju smo vzeli eno enačbo, izrazili eno neznano spremenljivko z drugimi in jo zamenjali v preostale enačbe, nato smo vzeli naslednjo enačbo, izrazili naslednjo neznano spremenljivko in jo nadomestili z drugimi enačbami itd. Ali pa so uporabili metodo seštevanja, torej dodali dve ali več enačb, da so odpravili nekatere neznane spremenljivke. Na teh metodah se ne bomo podrobneje ukvarjali, saj so pravzaprav modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode reševanja elementarnih sistemov linearnih enačb so Cramerjeva metoda, matrična metoda in Gaussova metoda. Analizirajmo jih.

Reševanje sistemov linearnih enačb po Cramerjevi metodi.

Recimo, da moramo rešiti sistem linearnih algebraičnih enačb

v katerem je število enačb enako številu neznanih spremenljivk in je determinanta glavne matrike sistema nenič, tj.

Naj je determinanta glavne matrike sistema in - determinante matrik, ki jih dobimo iz A z zamenjavo 1., 2., ..., n stolpec oziroma v kolono prostih članov:

S tem zapisom se neznane spremenljivke izračunajo po formulah Cramerjeve metode kot ... Tako se po Cramerjevi metodi najde rešitev sistema linearnih algebraičnih enačb.

Primer.

Cramerjeva metoda .

Rešitev.

Glavna matrica sistema ima obliko ... Izračunajmo njegovo determinanto (če je potrebno, glej članek):

Ker je determinanta glavne matrike sistema drugačna nič, ima sistem edinstveno rešitev, ki jo lahko najdemo s Cramerjevo metodo.

Sestavimo in izračunajmo potrebne determinante (determinanto dobimo tako, da prvi stolpec v matriki A zamenjamo s stolpcem prostih članov, determinanto - z zamenjavo drugega stolpca s stolpcem prostih članov, - z zamenjavo tretjega stolpca matrike A s stolpcem prostih članov ):

Poiščite neznane spremenljivke po formulah :

odgovor:

Glavna pomanjkljivost Cramerjeve metode (če jo lahko imenujemo pomanjkljivost) je zapletenost izračunavanja determinant, ko je število enačb v sistemu več kot tri.

Reševanje sistemov linearnih algebraičnih enačb z matrično metodo (z uporabo inverzne matrike).

Naj bo sistem linearnih algebraičnih enačb podan v matrični obliki, kjer ima matrika A dimenzijo n z n in njena determinanta ni nič.

Ker je matrika A inverzibilna, torej obstaja inverzna matrika. Če obe strani enakosti pomnožimo z levo, dobimo formulo za iskanje matrike stolpcev neznanih spremenljivk. Tako smo dobili rešitev sistema linearnih algebraičnih enačb po matrični metodi.

Primer.

Rešite sistem linearnih enačb matrična metoda.

Rešitev.

Prepišimo sistem enačb v matrično obliko:

Ker

potem je SLAE mogoče rešiti z matrično metodo. Z uporabo inverzne matrike lahko najdemo rešitev tega sistema kot .

Konstruirajmo inverzno matriko z uporabo matrike algebričnih komplementov elementov matrike A (če je potrebno, glej članek):

Ostaja še izračunati - matriko neznanih spremenljivk z množenjem inverzne matrike na matriko stolpcev prostih članov (po potrebi glejte članek):

odgovor:

ali v drugem zapisu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavna težava pri iskanju rešitve sistemov linearnih algebraičnih enačb z matrično metodo je kompleksnost iskanja inverzne matrike, zlasti za kvadratne matrike višjega reda od tretjega.

Rešitev sistemov linearnih enačb po Gaussovi metodi.

Recimo, da moramo najti rešitev za sistem n linearnih enačb z n neznanimi spremenljivkami
determinanta glavne matrike katere ni nič.

Bistvo Gaussove metode sestoji iz zaporednega izločanja neznanih spremenljivk: najprej je x 1 izključen iz vseh enačb sistema, začenši z drugo, nato x 2 iz vseh enačb, začenši s tretjo, in tako naprej, dokler ni samo neznana spremenljivka xn ostane v zadnji enačbi. Takšen proces preoblikovanja enačb sistema za zaporedno izločanje neznanih spremenljivk imenujemo z neposrednim potekom Gaussove metode... Po končanem napredovanju Gaussove metode se iz zadnje enačbe poišče x n, s to vrednostjo se izračuna x n-1 iz predzadnje enačbe in tako naprej, x 1 najdemo iz prve enačbe. Postopek izračuna neznanih spremenljivk pri prehodu iz zadnje enačbe sistema v prvo se imenuje nazaj Gaussova metoda.

Naj na kratko opišemo algoritem za odpravo neznanih spremenljivk.

Predvidevamo, da, saj lahko to vedno dosežemo s prerazporeditvijo enačb sistema. Odstranite neznano spremenljivko x 1 iz vseh enačb sistema, začenši z drugo. Da bi to naredili, drugi enačbi sistema dodamo prvo, pomnoženo s, tretji enačbi dodamo prvo, pomnoženo z, in tako naprej, k n-ti enačbi dodamo prvo, pomnoženo s. Sistem enačb po takih transformacijah dobi obliko

kje in .

Do enakega rezultata bi prišli, če bi v prvi enačbi sistema izrazili x 1 z drugimi neznanimi spremenljivkami in nadomestili dobljeni izraz v vseh ostalih enačbah. Tako je spremenljivka x 1 izključena iz vseh enačb, začenši z drugo.

Nato ravnamo na podoben način, vendar le z delom nastalega sistema, ki je označen na sliki

Za to tretji enačbi sistema dodamo drugo, pomnoženo s, četrti enačbi dodamo drugo, pomnoženo z, in tako naprej, k n-ti enačbi dodamo drugo, pomnoženo z. Sistem enačb po takih transformacijah dobi obliko

kje in ... Tako je spremenljivka x 2 izključena iz vseh enačb, začenši s tretjo.

Nato nadaljujemo z odpravo neznanega x 3, pri čemer ravnamo podobno z delom sistema, označenim na sliki

Tako nadaljujemo z neposrednim potekom Gaussove metode, dokler sistem ne dobi oblike

Od tega trenutka začnemo z obratnim potekom Gaussove metode: izračunamo xn iz zadnje enačbe, saj z uporabo dobljene vrednosti xn najdemo x n-1 iz predzadnje enačbe in tako naprej najdemo x 1 iz prva enačba.

Primer.

Rešite sistem linearnih enačb po Gaussovi metodi.

Rešitev.

Odstranite neznano spremenljivko x 1 iz druge in tretje enačbe sistema. Če želite to narediti, dodajte ustrezne dele prve enačbe, pomnožene z in z, na obe strani druge in tretje enačbe:

Zdaj izključimo x 2 iz tretje enačbe tako, da levi in ​​desni strani dodamo levo in desno stran druge enačbe, pomnoženo z:

Na tej točki je premik naprej po Gaussovi metodi končan, začnemo obratno.

Iz zadnje enačbe nastalega sistema enačb najdemo x 3:

Iz druge enačbe dobimo.

Iz prve enačbe najdemo preostalo neznano spremenljivko in s tem zaključimo obratni potek Gaussove metode.

odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rešitev sistemov linearnih algebraičnih enačb splošne oblike.

V splošnem primeru število enačb v sistemu p ne sovpada s številom neznanih spremenljivk n:

Takšni SLAE morda nimajo rešitev, imajo eno samo rešitev ali imajo neskončno veliko rešitev. Ta trditev velja tudi za sisteme enačb, katerih osnovna matrika je kvadratna in degenerirana.

Kronecker-Capellijev izrek.

Preden najdemo rešitev za sistem linearnih enačb, je treba ugotoviti njegovo združljivost. Odgovor na vprašanje, kdaj je SLAE združljiv in kdaj nezdružljiv, daje Kronecker-Capellijev izrek:
da je sistem p enačb z n neznankami (p je lahko enak n) konsistenten, je potrebno in zadostno, da je rang glavne matrike sistema enak rangu razširjene matrike, to je Rank (A) = rang (T).

Oglejmo si za primer uporabo Kronecker-Capellijevega izreka za ugotavljanje združljivosti sistema linearnih enačb.

Primer.

Ugotovite, ali je sistem linearnih enačb rešitve.

Rešitev.

... Uporabimo metodo bordering minors. Minor drugega reda nenič. Razvrstimo mladoletnike tretjega reda, ki mejijo na to:

Ker so vsi mejni minori tretjega reda enaki nič, je rang glavne matrike dva.

Po drugi strani pa rang razširjene matrike je enako tri, saj je manjšina tretjega reda

nenič.

V to smer, Rang (A), torej po Kronecker-Capellijevem izreku lahko sklepamo, da je prvotni sistem linearnih enačb nedosleden.

odgovor:

Sistem nima rešitev.

Tako smo se naučili ugotoviti neskladnost sistema z uporabo Kronecker-Capellijevega izreka.

Toda kako najti rešitev za SLAE, če je bila ugotovljena njegova združljivost?

Za to potrebujemo koncept osnovnega minora matrike in izrek o rangu matrike.

Imenuje se minor najvišjega reda matrike A, ki ni nič osnovni.

Iz definicije osnovnega minora sledi, da je njegov vrstni red enak rangu matrike. Za matriko A, ki ni nič, je lahko več osnovnih minorov; vedno obstaja en osnovni minor.

Na primer, upoštevajte matriko .

Vsi minori tretjega reda te matrike so enaki nič, saj so elementi tretje vrstice te matrike vsota ustreznih elementov prve in druge vrstice.

Naslednji minori drugega reda so osnovni, saj niso nič

Mladoletne osebe niso osnovni, saj so enaki nič.

Matrični izrek o rangu.

Če je rang matrike reda p po n enak r, so vsi elementi vrstic (in stolpcev) matrike, ki ne tvorijo izbranega osnovnega minora, linearno izraženi z ustreznimi elementi vrstic ( in stolpci), ki tvorijo osnovni mol.

Kaj nam daje izrek o rangiranju matrike?

Če smo s Kronecker-Capellijevim izrekom ugotovili združljivost sistema, potem izberemo kateri koli osnovni minor osnovne matrike sistema (njegov vrstni red je r) in iz sistema izločimo vse enačbe, ki ne tvorijo izbrani osnovni mol. Tako pridobljena SLAE bo enakovredna prvotnemu, saj so zavržene enačbe še vedno odveč (po izreku o rangu matrike so linearna kombinacija preostalih enačb).

Posledično sta po zavrženju nepotrebnih enačb sistema možna dva primera.

Če je število enačb r v dobljenem sistemu enako številu neznanih spremenljivk, bo ta dokončna in edino rešitev lahko najdemo s Cramerjevo metodo, matrično metodo ali Gaussovo metodo.

Primer.

.

Rešitev.

Uvrstitev glavne matrike sistema je enaka dvema, saj je drugi red minor nenič. Razširjeni matrični rang je tudi dva, saj je edini minor tretjega reda enak nič

in zgoraj obravnavani minor drugega reda ni nič. Na podlagi Kronecker-Capellijevega izreka lahko trdimo, da je originalni sistem linearnih enačb kompatibilen, saj je rang (A) = rang (T) = 2.

Vzamemo kot osnovno mladoletnico ... Sestavljajo ga koeficienti prve in druge enačbe:


Tretja enačba sistema ne sodeluje pri oblikovanju osnovnega minora, zato jo izključimo iz sistema na podlagi izreka o rangu matrike:


Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebraičnih enačb. Rešimo ga s Cramerjevo metodo:


odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Če je število enačb r v dobljenem SLAE manjše od števila neznanih spremenljivk n, potem na levi strani enačbe pustimo člene, ki tvorijo osnovni minor, preostali členi se prenesejo na desno -ročne strani enačb sistema z nasprotnim predznakom.

Neznane spremenljivke (obstaja jih r), ki ostanejo na levi strani enačbe, se imenujejo glavni.

Neznane spremenljivke (obstaja n - r kosov), ki se pojavijo na desni strani, se kličejo prost.

Zdaj predpostavljamo, da lahko proste neznane spremenljivke zavzamejo poljubne vrednosti, r osnovnih neznanih spremenljivk pa bo izraženo v obliki prostih neznanih spremenljivk na edinstven način. Njihov izraz lahko poiščemo z reševanjem dobljenih SLAE po Cramerjevi metodi, po matrični metodi ali po Gaussovi metodi.

Vzemimo primer.

Primer.

Rešite sistem linearnih algebraičnih enačb .

Rešitev.

Poiščite rang glavne matrike sistema po metodi meje mladoletnikov. Vzamemo 1 1 = 1 kot minor prvega reda, ki ni nič. Začnimo iskati neničelni minor drugega reda, ki obdaja ta minor:


Tako smo našli minor drugega reda, ki ni nič. Začnimo iskati neničelni obrobni minor tretjega reda:


Tako je rang glavne matrike tri. Tudi rang razširjene matrike je tri, kar pomeni, da je sistem konsistenten.

Za osnovno vzamemo najdeni minor tretjega reda, ki ni nič.

Zaradi jasnosti prikazujemo elemente, ki tvorijo osnovni mol:


Na levi strani enačb sistema pustimo člene, ki sodelujejo v osnovnem minoru, ostale z nasprotnimi predznaki prenesemo na desne strani:


Dodelimo poljubne vrednosti prostim neznanim spremenljivkama x 2 in x 5, torej vzamemo , kjer so poljubne številke. V tem primeru bo SLAE prevzel obliko


Nastali elementarni sistem linearnih algebraičnih enačb je rešen s Cramerjevo metodo:


Zato,.

V odgovoru ne pozabite navesti prostih neznanih spremenljivk.

odgovor:

Kje so poljubne številke.

Povzemite.

Za rešitev sistema linearnih algebraičnih enačb splošne oblike najprej ugotovimo njegovo združljivost s Kronecker-Capellijevim izrekom. Če rang glavne matrike ni enak rangu razširjene matrike, potem sklepamo, da je sistem nezdružljiv.

Če je rang glavne matrike enak rangu razširjene matrike, potem izberemo osnovni minor in zavržemo enačbe sistema, ki ne sodelujejo pri oblikovanju izbranega osnovnega minora.

Če je vrstni red osnovnega minora enak številu neznanih spremenljivk, ima SLAE edinstveno rešitev, ki jo najdemo s katero koli znano metodo.

Če je vrstni red osnovnega minora manjši od števila neznanih spremenljivk, potem na levi strani enačb sistema pustimo člene z osnovnimi neznanimi spremenljivkami, preostale člene prenesemo na desne strani in dajte poljubne vrednosti prostim neznanim spremenljivkam. Iz nastalega sistema linearnih enačb najdemo glavne neznane spremenljivke po Cramerjevi metodi, matrični metodi ali Gaussovi metodi.

Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih algebraičnih enačb splošne oblike.

Gaussova metoda se lahko uporablja za reševanje sistemov linearnih algebraičnih enačb katere koli vrste, ne da bi jih predhodno preverili glede združljivosti. Proces zaporednega odpravljanja neznanih spremenljivk omogoča sklepanje o združljivosti in nezdružljivosti SLAE, in če rešitev obstaja, jo lahko poišče.

Z vidika računskega dela je boljša Gaussova metoda.

Njen podroben opis in analizirane primere si oglejte v članku Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih algebraičnih enačb splošne oblike.

Pisanje splošne rešitve homogenih in nehomogenih linearnih algebraičnih sistemov z uporabo vektorjev temeljnega sistema rešitev.

V tem poglavju se bomo osredotočili na kompatibilne homogene in nehomogene sisteme linearnih algebraičnih enačb z neskončnim naborom rešitev.

Najprej se ukvarjajmo s homogenimi sistemi.

Temeljni sistem odločanja Homogeni sistem p linearnih algebraičnih enačb z n neznanimi spremenljivkami je množica (n - r) linearno neodvisnih rešitev tega sistema, kjer je r red osnovnega minora osnovne matrike sistema.

Če označimo linearno neodvisne rešitve homogene SLAE kot X (1), X (2),…, so X (nr) (X (1), X (2),…, X (nr) n-by-1 matrike stolpcev), potem je splošna rešitev tega homogenega sistema predstavljena v obliki linearne kombinacije vektorjev temeljnega sistema rešitev s poljubnimi konstantnimi koeficienti С 1, С 2, ..., С (nr), tj. ,.

Kaj pomeni izraz splošna rešitev homogenega sistema linearnih algebraičnih enačb (oroslau)?

Pomen je preprost: formula določa vse možne rešitve prvotnega SLAE, z drugimi besedami, vzame kateri koli niz vrednosti poljubnih konstant С 1, С 2, ..., С (nr), po formuli, ki jo dobimo eno od rešitev prvotnega homogenega SLAE.

Če torej najdemo temeljni sistem rešitev, potem lahko vse rešitve te homogene SLAE postavimo kot.

Pokažimo postopek konstruiranja temeljnega sistema rešitev za homogeno SLAE.

Izberemo osnovni minor prvotnega sistema linearnih enačb, iz sistema izločimo vse ostale enačbe in vse člene, ki vsebujejo proste neznane spremenljivke, prenesemo na desne strani enačb sistema z nasprotnimi predznaki. Prostim neznanim spremenljivkam damo vrednosti 1,0,0, ..., 0 in izračunamo osnovne neznanke tako, da na kakršen koli način rešimo dobljen elementarni sistem linearnih enačb, na primer po Cramerjevi metodi. To bo dalo X (1) - prvo rešitev osnovnega sistema. Če damo prostim neznankam vrednosti 0,1,0,0, ..., 0 in izračunamo glavne neznanke, dobimo X (2). itd. Če prostim neznanim spremenljivkam damo vrednosti 0,0, ..., 0,1 in izračunamo osnovne neznanke, dobimo X (n-r). Tako bo konstruiran temeljni sistem rešitev homogene SLAE in njeno splošno rešitev lahko zapišemo v obliki.

Za nehomogene sisteme linearnih algebrskih enačb je splošna rešitev predstavljena v obliki, kjer je splošna rešitev ustreznega homogenega sistema in je partikularna rešitev prvotnega nehomogenega SLAE, ki jo dobimo tako, da prostim neznankam damo vrednosti ​0,0, ..., 0 in izračun vrednosti glavnih neznank.

Oglejmo si primere.

Primer.

Poiščite temeljni sistem rešitev in splošno rešitev homogenega sistema linearnih algebraičnih enačb .

Rešitev.

Rang glavne matrike homogenih sistemov linearnih enačb je vedno enak rangu razširjene matrike. Poiščimo rang glavne matrike z metodo mejnih minorjev. Kot minor prvega reda, ki ni nič, vzamemo element a 1 1 = 9 glavne matrike sistema. Poiščite obrobo neničelnega minora drugega reda:

Najden je bil neničelni minor drugega reda. Iterirajmo po minorih tretjega reda, ki mejijo nanj, in iščemo neničelno enoto:

Vsi mejni minori tretjega reda so enaki nič, zato je rang glavne in razširjene matrike enak dve. Vzemite kot osnovno mladoletnico. Zaradi jasnosti opazimo elemente sistema, ki ga tvorijo:

Tretja enačba prvotnega SLAE ne sodeluje pri tvorbi osnovnega minora, zato jo je mogoče izključiti:

Na desni strani enačb pustimo člene, ki vsebujejo glavne neznanke, na desni strani pa prenesemo člene s prostimi neznankami:

Konstruirajmo temeljni sistem rešitev prvotnega homogenega sistema linearnih enačb. Temeljni sistem rešitev tega SLAE je sestavljen iz dveh rešitev, saj izvirni SLAE vsebuje štiri neznane spremenljivke, vrstni red njegovega osnovnega minora pa je dva. Za iskanje X (1) dodelimo prostim neznanim spremenljivkam vrednosti x 2 = 1, x 4 = 0, nato pa poiščemo glavne neznanke iz sistema enačb
.

Linearna enačba - enačba v obliki a x = b, kjer je x spremenljivka, a in b nekaj števil in a ≠ 0.

Primeri linearnih enačb:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = - 5

Linearne enačbe se ne imenujejo samo enačbe oblike a x = b, temveč tudi vse enačbe, ki se s transformacijami in poenostavitvami reducirajo na to obliko.

Kako rešiti enačbe, ki so reducirane na obliko a x = b? Dovolj je, da levo in desno stran enačbe delimo z vrednostjo a. Kot rezultat dobimo odgovor: x = b a.

Kako ugotoviti, ali je poljubna enačba linearna ali ne? Treba je biti pozoren na spremenljivko, ki je v njej prisotna. Če je najvišja stopnja, v kateri je spremenljivka, enaka ena, potem je taka enačba linearna enačba.

Da bi rešili linearno enačbo , je treba odpreti oklepaje (če obstajajo), prenesti "x" na levo, številke na desno in prinesti podobne izraze. Dobite enačbo v obliki a x = b. Rešitev te linearne enačbe: x = b a.

Primeri reševanja linearnih enačb:

1. 2 x + 1 = 2 (x - 3) + 8

To je linearna enačba, saj je spremenljivka v prvi stopnji.

Poskusimo ga pretvoriti v obliko a x = b:

Najprej razširimo oklepaje:

2 x + 1 = 4 x - 6 + 8

Vsi izrazi z x se prenesejo na levo stran, številke na desno:

2 x - 4 x = 2 - 1

Zdaj pa delimo levo in desno stran s številom (-2):

- 2 x - 2 = 1 - 2 = - 1 2 = - 0,5

Odgovor: x = - 0,5

1. x 2 - 1 = 0

Ta enačba ni linearna enačba, saj je najvišja moč, v kateri je spremenljivka x, dve.

1. x (x + 3) - 8 = x - 1

Ta enačba je na prvi pogled videti linearna, vendar po razširitvi oklepajev postane najvišja stopnja enaka dvema:

x 2 + 3 x - 8 = x - 1

Ta enačba ni linearna enačba.

Posebni primeri(pri nalogi 4 OGE se niso srečali, vendar jih je koristno poznati)

Primeri:

1. 2 x - 4 = 2 (x - 2)

2 x - 4 = 2 x - 4

2 x - 2 x = - 4 + 4

In kako tukaj iščeš x, če ga ni? Po izvedbi transformacij smo dobili pravilno enakost (identiteto), ki ni odvisna od vrednosti spremenljivke x. Ne glede na vrednost x, ki jo nadomestimo v izvirno enačbo, je rezultat vedno pravilna enakost (identiteta). Zato je x lahko poljubno število. Zapišimo odgovor na to linearno enačbo.

Odgovor: x ∈ (- ∞; + ∞)

1. 2 x - 4 = 2 (x - 8)

To je linearna enačba. Odpremo oklepaje, premaknemo X v levo, številke v desno:

2 x - 4 = 2 x - 16

2 x - 2 x = - 16 + 4

Kot rezultat transformacij se je x zmanjšal, vendar smo na koncu dobili napačno enakost, saj. Ne glede na vrednost x, ki jo nadomestimo v prvotno enačbo, bo rezultat vedno napačna enakost. To pomeni, da ni takšnih vrednosti x, za katere bi enakost postala resnična. Zapišimo odgovor na to linearno enačbo.

Odgovor: x ∈ ∅

Kvadratne enačbe

Kvadratna enačba - enačba v obliki a x 2 + b x + c = 0, kjer je x spremenljivka, a, b in c so nekatera števila in a ≠ 0.

Algoritem za reševanje kvadratne enačbe:

1. Razširite oklepaje, premaknite vse člene na levo stran, tako da bo enačba videti takole: a x 2 + b x + c = 0
2. Zapiši, čemu so koeficienti enaki v številkah: a =… b =… c =…
3. Izračunaj diskriminanta po formuli: D = b 2 - 4 a c
4. Če je D> 0, bosta dve različni koreni, ki ju najdemo po formuli: x 1,2 = - b ± D 2 a
5. Če je D = 0, bo en koren, ki ga najdemo s formulo: x = - b 2 a
6. Če D< 0, решений нет: x ∈ ∅

Primeri reševanja kvadratne enačbe:

1. - x 2 + 6 x + 7 = 0

a = - 1, b = 6, c = 7

D = b 2 - 4 a c = 6 2 - 4 ⋅ (- 1) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D> 0 - obstajala bosta dva različna korena:

x 1,2 = - b ± D 2 a = - 6 ± 64 2 ⋅ (- 1) = - 6 ± 8 - 2 = [- 6 + 8 - 2 = 2 - 2 = - 1 - 6 - 8 - 2 = - 14 - 2 = 7

Odgovor: x 1 = - 1, x 2 = 7

1. - x 2 + 4 x - 4 = 0

a = - 1, b = 4, c = - 4

D = b 2 - 4 a c = 4 2 - 4 ⋅ (- 1) ⋅ (- 4) = 16 - 16 = 0

D = 0 - bo en koren:

x = - b 2 a = - 4 2 ⋅ (- 1) = - 4 - 2 = 2

Odgovor: x = 2

1. 2 x 2 - 7 x + 10 = 0

a = 2, b = - 7, c = 10

D = b 2 - 4 a c = (- 7) 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 - 80 = - 31

D< 0 – решений нет.

Odgovor: x ∈ ∅

Tukaj so tudi nepopolne kvadratne enačbe (to so kvadratne enačbe, za katere je b = 0, c = 0 ali b = c = 0). Oglejte si video, kako rešiti takšne kvadratne enačbe!

Faktoriranje kvadratnega trinoma

Kvadratni trinom je mogoče faktorizirati na naslednji način:

A x 2 + b x + c = a ⋅ (x - x 1) ⋅ (x - x 2)

kjer je a število, koeficient pred najvišjim koeficientom,

x je spremenljivka (tj. črka),

x 1 in x 2 sta števili, koreni kvadratne enačbe a x 2 + b x + c = 0, ki ju najdemo prek diskriminanta.

Če ima kvadratna enačba samo en koren, potem je razširitev videti takole:

a x 2 + b x + c = a ⋅ (x - x 0) 2

Primeri faktoringa kvadratnega trinoma:

1. - x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = - 1, x 2 = 7

- x 2 + 6 x + 7 = (- 1) ⋅ (x - (- 1)) (x - 7) = - (x + 1) (x - 7) = (x + 1) (7 - x)

1. - x 2 + 4 x - 4 = 0; ⇒ x 0 = 2

- x 2 + 4 x - 4 = (- 1) ⋅ (x - 2) 2 = - (x - 2) 2

Če je kvadratni trinom nepopoln ((b = 0 ali c = 0), ga je mogoče faktorizirati na naslednje načine:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)

• b = 0 ⇒ velja za razliko kvadratov.

Ulomne racionalne enačbe

Naj bosta f (x) in g (x) nekaj funkcij, ki sta odvisni od spremenljivke x.

Ulomna racionalna enačba Je enačba v obliki f (x) g (x) = 0.

Da bi rešili delno racionalno enačbo, se moramo spomniti, kaj je ODD in kdaj se pojavi.

ODZ- obseg dopustnih vrednosti spremenljivke.

V izrazu v obliki f (x) g (x) = 0

ODZ: g (x) ≠ 0 (imenovanec ulomka ne more biti nič).

Algoritem za reševanje delne racionalne enačbe:

1. Zapiši ODZ: g (x) ≠ 0.
2. Nastavite števec ulomka na nič f (x) = 0 in poiščite korene.

Primer reševanja delne racionalne enačbe:

Rešite ulomno racionalno enačbo x 2 - 4 2 - x = 1.

rešitev:

Delovali bomo v skladu z algoritmom.

1. Zmanjšaj izraz na obliko f (x) g (x) = 0.

Eno prenesemo na levo stran, ji zapišemo dodaten faktor, da oba izraza pripeljemo v en skupni imenovalec:

x 2 - 4 2 - x - 1 \ 2 - x = 0

x 2 - 4 2 - x - 2 - x 2 - x = 0

x 2 - 4 - (2 - x) 2 - x = 0

x 2 - 4 - 2 + x 2 - x = 0

x 2 + x - 6 2 - x = 0

Prvi korak algoritma je bil uspešno zaključen.

1. Izpiši ODZ:

Orisujemo ODZ, ne pozabite nanj: x ≠ 2

1. Izenačite števec ulomka na nič f (x) = 0 in poiščite korene:

x 2 + x - 6 = 0 - Kvadratna enačba. Odločamo se preko diskriminanta.

a = 1, b = 1, c = - 6

D = b 2 - 4 a c = 1 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (- 6) = 1 + 24 = 25

D> 0 - obstajata dve različni koreni.

x 1,2 = - b ± D 2 a = - 1 ± 25 2 ⋅ 1 = - 1 ± 5 2 = [- 1 + 5 2 = 4 2 = 2 - 1 - 5 2 = - 6 2 = - 3

[x 1 = 2 x 2 = - 3

1. V odgovoru navedite korenine iz števca, razen tistih korenin, ki so padle v ODZ.

Korenine, pridobljene v prejšnjem koraku:

[x 1 = 2 x 2 = - 3

To pomeni, da je v odgovoru samo en koren, x = - 3.

Odgovor: x = - 3.

Sistemi enačb

Sistem enačb imenujemo dve enačbi z dvema neznankama (neznanke praviloma označujemo z x in y), ki ju združimo v skupen sistem z zavitim oklepajem.

Primer sistema enačb

(x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

Reši sistem enačb - poiščite par številk x in y, ki tvorita, ko se substituirata v sistem enačb, pravilno enakost v obeh enačbah sistema.

Obstajata dve metodi za reševanje sistemov linearnih enačb:

1. Metoda zamenjave.
2. Metoda seštevanja.

Algoritem za reševanje sistema enačb z metodo substitucije:

1. Poiščite preostalo neznano.

Primer:

Rešite sistem enačb z metodo substitucije

(x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

rešitev:

1. Izrazite eno spremenljivko iz katere koli enačbe skozi drugo.

(x = 8 - 2 y 3 x - y = - 4

1. Dobljeno vrednost nadomestimo z drugo enačbo namesto izražene spremenljivke.

(x = 8 - 2 y 3 x - y = - 4

(x = 8 - 2 y 3 (8 - 2 y) - y = - 4

1. Reši enačbo v eni neznani.

3 (8 - 2 y) - y = - 4

24 - 6 y - y = - 4

- 7 y = - 4 - 24

- 7 y = - 28

y = - 28 - 7 = 28 7 = 4

1. Poiščite preostalo neznano.

x = 8 - 2 y = 8 - 2 ⋅ 4 = 8 - 8 = 0

Odgovor je mogoče zapisati na enega od treh načinov:

1. x = 0, y = 4
2. (x = 0 y = 4
3. (0 ;   4)

Reševanje sistema enačb z metodo seštevanja.

Metoda dodajanja temelji na naslednji lastnosti:

(a + c) = (b + d)

Ideja metode seštevanja je, da se znebite ene od spremenljivk z dodajanjem enačb.

Primer:

Rešite sistem enačb z metodo seštevanja

(x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

V tem primeru se znebimo spremenljivke x. Bistvo metode je, da v prvi in ​​drugi enačbi nasprotna koeficienta stojita pred spremenljivko x. V drugi enačbi je pred x faktor 3. Da bi metoda seštevanja delovala, mora biti koeficient (- 3) pred spremenljivko x. Če želite to narediti, pomnožite levo in desno stran prve enačbe z (- 3).

Reši sistem enačb- to pomeni najti splošne rešitve za vse enačbe sistema ali pa se prepričati, da rešitve ni.

Če želite rešiti sistem enačb, morate izključiti eno neznano, torej iz dveh enačb z dvema neznankama narediti eno enačbo z eno neznano. Obstajajo trije načini za odpravo ene od neznank: zamenjava, primerjava, seštevanje ali odštevanje.

Metoda zamenjave

Če želite rešiti sistem enačb z metodo substitucije, morate v eni od enačb izraziti eno neznano skozi drugo in rezultat nadomestiti z drugo enačbo, ki bo potem vsebovala samo eno neznano. Nato poiščemo vrednost te neznane in jo nadomestimo v prvo enačbo, nato pa poiščemo vrednost druge neznane.

Razmislite o rešitvi sistema enačb:

Rešimo nastalo enačbo, da najdemo, čemur je enako y... Kako rešiti enačbe z eno neznano, si lahko ogledate v sorodni temi.

3(2 + 4y) - 2y = 16

6 + 12y - 2y = 16

6 + 10y = 16

10y = 16 - 6

10y = 10

y = 10: 10

y = 1

To smo določili y= 1. Zdaj, da poiščemo številčno vrednost x, nadomestite vrednost y v transformirano prvo enačbo, kjer smo prej ugotovili, kateri izraz je x:

x = 2 + 4y= 2 + 4 1 = 2 + 4 = 6

odgovor: x = 6, y = 1.

Primerjalna metoda

Primerjava je poseben primer zamenjave. Če želite rešiti sistem enačb s primerjalno metodo, morate v obeh enačbah poiskati, kateri izraz bo enak isti neznani, in izenačiti nastale izraze med seboj. Nastala enačba vam omogoča, da ugotovite pomen ene neznane. Ta vrednost se nato uporabi za izračun vrednosti druge neznane.

Na primer za sistemsko rešitev:

Iz dobljenih izrazov sestavimo enačbo:

2 - x = 32 - 6x 2 - x + 6x = 32 - 2 5x = 30 x = 30: 5 x = 6

Zdaj zamenjamo vrednost x v prvo ali drugo enačbo sistema in poiščite vrednost y:

odgovor: x = 6, y = 1.

Metoda seštevanja ali odštevanja

Za reševanje sistema enačb z metodo seštevanja morate sestaviti eno od dveh enačb s seštevanjem leve in desne strani, medtem ko je treba iz nastale enačbe izločiti eno od neznank. Neznano lahko odpravimo tako, da izenačimo koeficiente v obeh enačbah.

Razmislite o sistemu:

Zdaj dodamo obe enačbi po delih, da dobimo enačbo z eno neznano:

Zdaj pa odštejmo drugo enačbo od prve po delih, da dobimo enačbo z eno neznano:

odgovor: x = 6, y = 1.

Za rešitev zgoraj obravnavanega sistema enačb je bila uporabljena metoda seštevanja, ki temelji na naslednji lastnosti:

Vsako enačbo v sistemu lahko nadomestimo z enačbo, ki jo dobimo s seštevanjem (ali odštevanjem) enačb, vključenih v sistem. V tem primeru dobimo sistem enačb, ki ima enake rešitve kot prvotni.