Kvadratna neenakost je manjša od nič. Kvadratne neenakosti. Algoritem za uporabo metode intervalov

Kvadratna neenakost - "OD in DO".V tem članku bomo obravnavali rešitev kvadratnih neenakosti, ki je poklicana na tankosti. Priporočam, da natančno preučite gradivo članka, ne da bi kaj zamudili. Članka ne boste mogli obvladati takoj, priporočam, da to storite v več pristopih, informacij je veliko.

Vsebina:

Uvod. Pomembno!

Uvod. Pomembno!

Kvadratna neenakost je neenakost v obliki:

Če vzamete kvadratno enačbo in zamenjate predznak enakosti s katerim koli od zgornjih, dobite kvadratno neenakost. Rešitev neenakosti pomeni odgovor na vprašanje, pri katerih vrednostih x bo ta neenakost resnična. Primeri:

10 x 2 – 6 x+12 ≤ 0

2 x 2 + 5 x –500 > 0

– 15 x 2 – 2 x+13 > 0

8 x 2 – 15 x+45≠ 0

Kvadratna neenakost je lahko implicitno določena, na primer:

10 x 2 – 6 x+14 x 2 –5 x +2≤ 56

2 x 2 > 36

8 x 2 <–15 x 2 – 2 x+13

0> – 15 x 2 – 2 x+13

V tem primeru je potrebno izvesti algebraične transformacije in jo spraviti v standardno obliko (1).

* Koeficienti so lahko tako delni kot neracionalni, vendar so takšni primeri v šolskem učnem načrtu redki, v nalogah USE pa jih sploh ne najdemo. Vendar ne bodite prestrašeni, če na primer srečate:

To je tudi kvadratna neenakost.

Najprej bomo obravnavali preprost algoritem rešitev, ki ne zahteva razumevanja, kaj je kvadratna funkcija in kako izgleda njen graf na koordinatni ravnini glede na koordinatne osi. Če si lahko informacije trdno in dolgo zapomniš, hkrati pa jih redno krepiš s prakso, ti bo algoritem pomagal. Tudi, če morate, kot pravijo, takšno neenakost rešiti "naenkrat", vam bo algoritem pomagal. Če mu sledite, lahko enostavno uresničite odločitev.

Če ste v šoli, vam močno priporočam, da začnete preučevati članek iz drugega dela, ki pove celotno bistvo rešitve (glej spodaj od točke -). Če obstaja razumevanje bistva, potem se ne bo treba učiti, ne zapomniti določenega algoritma, lahko hitro rešite katero koli kvadratno neenakost.

Seveda je treba takoj začeti razlago ravno z grafom kvadratne funkcije in razlago samega pomena, vendar sem se odločil, da bom članek »zgradil« kar tako.

Še ena teoretična točka! Poglejte formulo za faktoriranje kvadratnega trinoma:

kjer sta x 1 in x 2 koreni kvadratne enačbe ax 2+ bx+ c = 0

* Da bi rešili kvadratno neenakost, bo treba faktor kvadratnega trinoma.

Spodaj predstavljeni algoritem se imenuje tudi metoda intervalov. Primeren je za reševanje neenakosti oblike f(x)>0, f(x)<0 , f(x) ≥0 inf(x)≤0 ... Upoštevajte, da sta lahko več kot dva dejavnika, na primer:

(x – 10) (x + 5) (x – 1) (x + 104) (x + 6) (x – 1)<0

Algoritem za reševanje. Metoda intervalov. Primeri.

Neenakost je podana sekira 2 + bx+ c> 0 (kateri koli znak).

1. Zapišite kvadratno enačbo sekira 2 + bx+ c = 0 in jo reši. Dobimo x 1 in x 2- korenine kvadratne enačbe.

2. V formulo (2) nadomestimo koeficient a in korenine. :

a (x – x 1 )(x – x 2)> 0

3. Določite intervale na številski premici (koreni enačbe delijo številsko os na intervale):

4. Določite "znake" na intervalih (+ ali -) tako, da v izraz nadomestite poljubno vrednost "x" iz vsakega dobljenega intervala:

a (x – x 1 )(x – x 2)

in jih označite.

5. Ostaja nam le, da napišemo intervale, ki nas zanimajo, označeni so:

- predznak "+", če je bila neenakost "> 0" ali "≥0".

- znak "-", če je bila neenakost "<0» или «≤0».

OPOMBA!!! Znaki v sami neenakosti so lahko:

strogi so ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».

Kako to vpliva na izid odločitve?

Pri strogih predznakih neenakosti meje intervala NISO Vključene v rešitev, medtem ko je v odgovoru sam interval zapisan v obliki ( x 1 ; x 2 ) - oklepaji.

Za nestroge znake neenakosti so meje intervala vključene v rešitev, odgovor pa je zapisan v obliki [ x 1 ; x 2 ] - oglati oklepaji.

* To ne velja samo za kvadratne neenakosti. Oglati oklepaj pomeni, da je v rešitev vključena tudi meja intervala.

To boste videli s primeri. Razčlenimo jih nekaj, da odstranimo vsa vprašanja o tem. V teoriji se algoritem morda zdi nekoliko zapleten, pravzaprav je vse preprosto.

PRIMER 1: Reši x 2 – 60 x+500 ≤ 0

Reševanje kvadratne enačbe x 2 –60 x+500=0

D = b 2 –4 ac = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Poiščite korenine:

Zamenjajte koeficient a

x 2 –60 x+500 = (x – 50) (x – 10)

Neenakost zapišemo v obrazec (x-50) (x-10) ≤ 0

Koreni enačbe delijo številsko os na intervale. Pokažimo jih na številski premici:

Dobili smo tri intervale (–∞; 10), (10; 50) in (50; + ∞).

Določimo "znake" na intervalih, to naredimo tako, da poljubne vrednosti vsakega dobljenega intervala zamenjamo v izraz (x – 50) (x – 10) in si ogledamo korespondenco dobljenega "znaka" z podpiši neenakost (x-50) (x-10) ≤ 0:

pri x = 2 (x – 50) (x – 10) = 384> 0 je napačno

pri x = 20 (x-50) (x-10) = –300 < 0 верно

pri x = 60 (x-50) (x-10) = 500> 0 narobe

Rešitev je interval.

Za vse vrednosti x iz tega intervala bo neenakost resnična.

* Upoštevajte, da smo postavili oglate oklepaje.

Za x = 10 in x = 50 bo neenakost tudi resnična, to pomeni, da so meje vključene v rešitev.

Odgovor: x∊

Ponovno:

- Meje intervala so VKLJUČENE v rešitev neenakosti, kadar pogoj vsebuje znak ≤ ali ≥ (nestroga neenakost). V tem primeru je v skici običajno, da se nastale korenine prikažejo z ŠRIBLJENIM krogom.

- Meje intervala NISO Vključene v rešitev neenakosti, če pogoj vsebuje predznak< или >(stroga neenakost). V tem primeru je običajno, da se koren v skici prikaže z NESHATED krogom.

PRIMER 2: Reši x 2 + 4 x–21 > 0

Reševanje kvadratne enačbe x 2 + 4 x–21 = 0

D = b 2 –4 ac = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Poiščite korenine:

Zamenjajte koeficient a in korenine v formuli (2), dobimo:

x 2 + 4 x–21 = (x – 3) (x + 7)

Neenakost zapišemo v obrazec (x – 3) (x + 7)> 0.

Koreni enačbe delijo številsko os na intervale. Označimo jih na številski premici:

* Neenakost ni stroga, zato oznake korenin NISO zasenčene. Prejeto tri intervale (–∞; –7), (–7; 3) in (3; + ∞).

Določimo "znake" na intervalih, to naredimo tako, da poljubne vrednosti teh intervalov nadomestimo v izraz (x – 3) (x + 7) in si ogledamo ujemanje neenakosti (x – 3) (x + 7)> 0:

pri x = –10 (–10–3) (- 10 +7) = 39> 0 res

pri x = 0 (0–3) (0 +7) = –21< 0 неверно

pri x = 10 (10–3) (10 +7) = 119> 0 res

Rešitev bosta dva intervala (–∞; –7) in (3; + ∞). Za vse vrednosti x iz teh intervalov bo neenakost resnična.

* Upoštevajte, da smo postavili oklepaje. Za x = 3 in x = –7 bo neenakost napačna - meje niso vključene v rešitev.

Odgovor: x∊ (–∞; –7) U (3; + ∞)

PRIMER 3: Reši – x 2 –9 x–20 > 0

Reševanje kvadratne enačbe – x 2 –9 x–20 = 0.

a = –1 b = –9 c = –20

D = b 2 –4 ac = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Poiščite korenine:

Zamenjajte koeficient a in korenine v formuli (2), dobimo:

– x 2 –9 x–20 = - (x - (- 5)) (x - (- 4)) = - (x + 5) (x + 4)

Neenakost zapišemo v obrazec - (x + 5) (x + 4) > 0.

Koreni enačbe delijo številsko os na intervale. Opomba na številski premici:

* Neenakost je stroga, zato oznake korenin niso zasenčene. Prejeto tri intervale (–∞; –5), (–5; –4) in (–4; + ∞).

"znake" definiramo v intervalih, to naredimo s substitucijo v izrazu - (x + 5) (x + 4) poljubne vrednosti teh intervalov in si oglejte ustreznost neenakosti - (x + 5) (x + 4) > 0:

pri x = –10 - (–10 + 5) (- 10 +4) = –30< 0 неверно

pri x = –4,5 - (–4,5 + 5) (- 4,5 + 4) = 0,25> 0 res

pri x = 0 - (0 + 5) (0 +4) = –20< 0 неверно

Rešitev bo interval (–5; –4). Za vse vrednosti "x", ki mu pripadajo, bo neenakost resnična.

* Upoštevajte, da meje niso vključene v rešitev. Za x = –5 in x = –4 bo neenakost napačna.

KOMENTAR!

Pri reševanju kvadratne enačbe lahko dobimo en koren ali pa korenin sploh ne bo, potem se pri slepo uporabi te metode lahko pojavijo težave pri določanju rešitve.

Majhen povzetek! Metoda je dobra in jo je priročno uporabljati, še posebej, če poznate kvadratno funkcijo in poznate lastnosti njenega grafa. Če ne, ga preberite, pojdimo na naslednji razdelek.

Uporaba grafa kvadratne funkcije. priporočam!

Kvadrat je funkcija oblike:

Njegov graf je parabola, veje parabole so usmerjene navzgor ali navzdol:

Graf je mogoče postaviti na naslednji način: lahko prečka os x v dveh točkah, lahko se je dotakne na eni točki (apex), ne more je prečkati. Več o tem kasneje.

Zdaj pa si oglejmo ta pristop s primerom. Celoten postopek rešitve je sestavljen iz treh stopenj. Rešite neenakost x 2 +2 x –8 >0.

Prva faza

Reševanje enačbe x 2 +2 x–8=0.

D = b 2 –4 ac = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Poiščite korenine:

Dobili smo x 1 = 2 in x 2 = - 4.

Druga faza

Gradnja parabole y =x 2 +2 x–8 po točkah:

Točki - 4 in 2 sta presečišču parabole in osi vola. Tako preprosto je! Kaj si naredil? Rešili smo kvadratno enačbo x 2 +2 x–8=0. Oglejte si njegov vnos v tej obliki:

0 = x 2+ 2x - 8

Za nas je nič vrednost "y". Ko je y = 0, dobimo absciso presečišča parabole z osjo x. Lahko rečemo, da je ničelna vrednost "y" os oh.

Zdaj poglejte, katere vrednosti x je izraz x 2 +2 x – 8 več (ali manj) nič? Glede na graf parabole ni težko določiti, kot pravijo, je vse na očeh:

1. Za x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x 2 +2 x –8 bo pozitiven.

2. Pri –4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x 2 +2 x –8 bo negativno.

3. Pri x> 2 veja parabole leži nad osjo x. Z označenim x je tričlanek x 2 +2 x –8 bo pozitiven.

Tretja stopnja

Po paraboli lahko takoj vidimo, pri katerem x je izraz x 2 +2 x–8 večje od nič, enako nič, manjše od nič. To je bistvo tretjega koraka rešitve, in sicer videti in prepoznati pozitivna in negativna področja na sliki. Dobljeni rezultat primerjamo z izvirno neenakostjo in zapišemo odgovor. V našem primeru je treba določiti vse vrednosti x, pri katerih je izraz x 2 +2 x–8 Nad ničlo. To smo naredili v drugi fazi.

Ostaja še zapisati odgovor.

Odgovor: x∊ (–∞; –4) U (2; ∞).

Če povzamemo: ko smo v prvem koraku izračunali korenine enačbe, lahko dobljene točke označimo na osi x (to so presečišča parabole z osjo x). Nato shematično zgradimo parabolo in že vidimo rešitev. Zakaj shematski? Ne potrebujemo matematično natančnega grafa. In predstavljajte si, na primer, če sta korena 10 in 1500, poskusite sestaviti natančen graf na listu v celici s takšnim naborom vrednosti. Postavlja se vprašanje! No, dobili smo korenine, no, označili smo jih na oh-osi, a skicirajte lokacijo same parabole - z vejami navzgor ali navzdol? Tukaj je vse preprosto! Koeficient pri x 2 vam pove:

- če je večja od nič, so veje parabole usmerjene navzgor.

- če je manjša od nič, so veje parabole usmerjene navzdol.

V našem primeru je enako ena, torej je pozitivna.

*Opomba! Če neenakost vsebuje nestrogi znak, to je ≤ ali ≥, je treba korenine na številski premici zasenčiti, to običajno pomeni, da je meja intervala sama vključena v rešitev neenakosti. V tem primeru korenine niso zasenčene (izdolblane), saj je naša neenakost stroga (obstaja znak ">"). Poleg tega so v odgovoru v tem primeru postavljeni oklepaji in ne oglati oklepaji (meje niso vključene v rešitev).

Veliko je bilo napisanega, verjetno sem koga zmedla. Če pa s parabolami rešite vsaj 5 neenakosti, potem za vaše občudovanje ni meja. Tako preprosto je!

Torej, na kratko:

1. Neenakost zapišemo in jo pripeljemo do standardne.

2. Zapiši kvadratno enačbo in jo reši.

3. Nariši os x, označi nastale korenine, shematično nariši parabolo, se razveja navzgor, če je koeficient pri x 2 pozitiven, ali pa navzdol, če je negativen.

4. Določite vizualno pozitivna ali negativna področja in zapišite odgovor na prvotno neenakost.

Poglejmo si nekaj primerov.

PRIMER 1: Reši x 2 –15 x+50 > 0

Prva faza.

Reševanje kvadratne enačbe x 2 –15 x+50=0

D = b 2 –4 ac = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Poiščite korenine:

Druga faza.

Gradimo oh os. Dobljene korenine označimo. Ker je naša neenakost stroga, jih ne bomo zasenčili. Shematično zgradimo parabolo, ki se nahaja z vejami navzgor, saj je koeficient pri x 2 pozitiven:

Tretja faza.

Opredeljujemo vizualno pozitivna in negativna področja, tukaj smo jih zaradi jasnosti označili z različnimi barvami, tega ne morete storiti.

Odgovor zapišemo.

Odgovor: x∊ (–∞; 5) U (10; ∞).

* Znak U označuje rešitev za poenotenje. Figurativno lahko izrazite takole, rešitev je "ta" IN "ta" interval.

PRIMER 2: Reši – x 2 + x+20 ≤ 0

Prva faza.

Reševanje kvadratne enačbe – x 2 + x+20=0

D = b 2 –4 ac = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Poiščite korenine:

Druga faza.

Gradimo oh os. Dobljene korenine označimo. Ker naša neenakost ni stroga, zasenčimo oznake korenin. Shematično zgradimo parabolo, ki se nahaja z vejami navzdol, saj je koeficient pri x 2 negativen (je enak –1):

Tretja faza.

Določite vizualno pozitivna in negativna področja. Primerjaj z izvirno neenakostjo (naš predznak je ≤ 0). Neenakost bo resnična za x ≤ - 4 in x ≥ 5.

Odgovor zapišemo.

Odgovor: x∊ (–∞; –4] U ∪ [1 + 3 4, + ∞) ali x ≤ 1 - 3 4, x ≥ 1 + 3 4.

Primer 3

Reši kvadratno neenakost - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.

Rešitev

Najprej poiščemo korenine kvadratnega trinoma z leve strani neenakosti:

D "= 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7

To je stroga neenakost, zato v grafu uporabljamo »prazno« točko. S koordinato 7.

Zdaj moramo določiti predznake na dobljenih intervalih (- ∞, 7) in (7, + ∞). Ker je diskriminanta kvadratnega trinoma enaka nič, vodilni koeficient pa negativen, zapišemo predznake -, -:

Ker rešujemo predpisano neenakost< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

V tem primeru sta rešitvi oba intervala (- ∞, 7), (7, + ∞).

odgovor:(- ∞, 7) ∪ (7, + ∞) ali v drugem zapisu x ≠ 7.

Primer 4

Ali kvadratna neenakost x 2 + x + 7< 0 решения?

Rešitev

Poiščite korenine kvadratnega trinoma z leve strani neenakosti. Za to poiščemo diskriminanto: D = 1 2 - 4 · 1 · 7 = 1 - 28 = - 27. Diskriminanta je manjša od nič, kar pomeni, da ni pravih korenin.

Grafična slika bo videti kot številska premica brez označenih točk.

Določimo predznak vrednosti kvadratnega trinoma. Ko je D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :

V tem primeru bi lahko uporabili senčenje čez vrzeli z znakom "-". A takih vrzeli nimamo. Zato risba ohrani ta videz:

Kot rezultat izračunov smo dobili prazen niz. To pomeni, da ta kvadratna neenakost nima rešitev.

odgovor:št.

Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter

V tem razdelku smo zbrali informacije o kvadratnih neenakostih in osnovnih pristopih k njihovemu reševanju. Gradivo utrdimo z analizo primerov.

Kaj je kvadratna neenakost

Poglejmo, kako razlikovati neenakosti različnih vrst po vrsti zapisa in med njimi razlikovati kvadratne.

Opredelitev 1

Kvadratna neenakost Je neenakost, ki ima obliko a x 2 + b x + c< 0 kjer a, b in c- še nekaj številk a ni nič. x je spremenljivka in namesto znaka < je lahko kateri koli drug znak neenakosti.

Drugo ime za kvadratne enačbe je ime "neenakost druge stopnje". Prisotnost drugega imena je mogoče razložiti na naslednji način. Na levi strani neenakosti je polinom druge stopnje - kvadratni trinom. Uporaba izraza "kvadratne neenakosti" za kvadratne neenakosti je napačna, saj so kvadratne funkcije funkcije, ki so podane z enačbami v obliki y = a x 2 + b x + c.

Tukaj je primer kvadratne neenakosti:

Primer 1

Vzemimo 5 x 2 - 3 x + 1> 0... V tem primeru je a = 5, b = - 3 in c = 1.

Ali pa ta neenakost:

Primer 2

- 2, 2 z 2 - 0,5 z - 11 ≤ 0, kjer je a = - 2, 2, b = - 0, 5 in c = - 11.

Pokažimo nekaj primerov kvadratnih neenakosti:

Primer 3

Posebno pozornost je treba nameniti dejstvu, da je koeficient pri x 2 se šteje, da ni nič. To je razloženo z dejstvom, da bomo sicer dobili linearno neenakost obrazca b x + c > 0, saj bo kvadratna spremenljivka, pomnožena z nič, sama postala enaka nič. Poleg tega so koeficienti b in c je lahko enak nič tako skupaj kot ločeno.

Primer 4

Primer takšne neenakosti x 2 - 5 ≥ 0.

Načini reševanja kvadratnih neenakosti

Obstajajo tri glavne metode:

Opredelitev 2

• grafični;
• metoda intervalov;
• tako, da označimo kvadrat binoma na levi strani.

Grafična metoda

Metoda vključuje konstrukcijo in analizo grafa kvadratne funkcije y = a x 2 + b x + c za kvadratne neenakosti a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥). Rešitev kvadratne neenakosti so intervali ali intervali, v katerih podana funkcija prevzame pozitivne in negativne vrednosti.

Metoda razmika

Kvadratno neenakost z eno spremenljivko lahko rešite z intervalno metodo. Metoda je uporabna za reševanje vseh vrst neenakosti, ne samo kvadratnih. Bistvo metode je določiti znake intervalov, na katere je koordinatna os razdeljena z ničlami ​​trinoma a x 2 + b x + cče je na voljo.

Za neenakost a x 2 + b x + c< 0 rešitve so intervali s predznakom minus, za neenakost a x 2 + b x + c > 0, presledki z znakom plus. Če imamo opravka z nestrogi neenakostmi, potem rešitev postane interval, ki vključuje točke, ki ustrezajo ničlam trinoma.

Izbira kvadrata binoma

Načelo ločevanja kvadrata binoma na levi strani kvadratne neenakosti je sestavljeno iz izvajanja enakovrednih transformacij, ki nam omogočajo, da gremo do rešitve enakovredne neenakosti v obliki (x - p) 2< q (≤ , >, ≥), kjer str in q- nekaj številk.

Enake transformacije se lahko uporabijo za doseganje kvadratnih neenakosti iz neenakosti drugih vrst. To je mogoče storiti na različne načine. Na primer s prerazporeditvijo členov v dani neenakosti ali prenosom členov iz enega dela v drugega.

Dajmo primer. Razmislite o enakovredni transformaciji neenakosti 5 ≤ 2 x - 3 x 2... Če vse člene prenesemo z desne strani na levo stran, dobimo kvadratno neenakost oblike 3 x 2 - 2 x + 5 ≤ 0.

Primer 5

Treba je najti množico rešitev neenakosti 3 (x - 1) (x + 1)< (x − 2) 2 + x 2 + 5 .

Rešitev

Za rešitev problema uporabljamo skrajšane formule za množenje. Za to zberemo vse izraze na levi strani neenakosti, razširimo oklepaje in predstavimo podobne izraze:

3 (x - 1) (x + 1) - (x - 2) 2 - x 2 - 5< 0 , 3 · (x 2 − 1) − (x 2 − 4 · x + 4) − x 2 − 5 < 0 , 3 · x 2 − 3 − x 2 + 4 · x − 4 − x 2 − 5 < 0 , x 2 + 4 · x − 12 < 0 .

Dobili smo enakovredno kvadratno neenakost, ki jo je mogoče grafično rešiti z določitvijo diskriminanta in presečišča.

D '= 2 2 - 1 (- 12) = 16, x 1 = - 6, x 2 = 2

Ko zgradimo graf, lahko vidimo, da je množica rešitev interval (- 6, 2).

odgovor: (− 6 , 2) .

Iracionalne in logaritemske neenakosti so primeri neenakosti, ki so pogosto reducirane na kvadratne. Torej, na primer, neenakost 2 x 2 + 5< x 2 + 6 · x + 14

je enakovredna kvadratni neenakosti x 2 - 6 x - 9< 0 , in logaritemska neenakost log 3 (x 2 + x + 7) ≥ 2 - na neenakost x 2 + x - 2 ≥ 0.

Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter

V tem članku je zbrano gradivo, ki pokriva temo » rešitev kvadratnih neenakosti". Najprej je prikazano, kaj so kvadratne neenakosti z eno spremenljivko, in podana je njihova splošna oblika. Nato se podrobno analizira, kako rešiti kvadratne neenakosti. Prikazani so glavni pristopi k rešitvi: grafična metoda, metoda intervalov in s poudarjanjem kvadrata binoma na levi strani neenakosti. Podane so rešitve tipičnih primerov.

Navigacija po straneh.

Kaj je kvadratna neenakost?

Seveda, preden govorimo o reševanju kvadratnih neenakosti, moramo jasno razumeti, kaj je kvadratna neenakost. Z drugimi besedami, kvadratne neenakosti morate znati razlikovati od neenakosti drugih vrst po vrsti zapisa.

Opredelitev.

Kvadratna neenakost Je neenakost v obliki a x 2 + b x + c<0 (вместо знака >je lahko kateri koli drug znak neenakosti ≤,>, ≥), kjer so a, b in c nekaj števil, a ≠ 0 in x je spremenljivka (spremenljivko lahko označimo s katero koli drugo črko).

Takoj dajmo še eno ime za kvadratne neenakosti - neenakosti druge stopnje... To ime je razloženo z dejstvom, da je na levi strani neenakosti a x 2 + b x + c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

Včasih lahko slišite tudi, da se kvadratne neenakosti imenujejo kvadratne neenakosti. To ni povsem pravilno: definicija "kvadratično" se nanaša na funkcije, definirane z enačbami oblike y = a · x 2 + b · x + c. Torej, obstajajo kvadratne neenakosti in kvadratne funkcije ne pa kvadratne neenakosti.

Pokažimo nekaj primerov kvadratnih neenakosti: 5 · x 2 −3 · x + 1> 0, tukaj je a = 5, b = −3 in c = 1; −2,2 z 2 −0,5 z − 11≤0, so koeficienti te kvadratne neenakosti a = −2,2, b = −0,5 in c = −11; , v tem primeru .

Upoštevajte, da v definiciji kvadratne neenakosti koeficient a pri x 2 ne velja za nič. To je razumljivo, enakost koeficienta a proti nič bo dejansko "odstranila" kvadrat, obravnavali pa bomo linearno neenakost oblike b · x + c> 0 brez kvadrata spremenljivke. Toda koeficienta b in c sta lahko enaka nič, tako ločeno kot hkrati. Tu so primeri takšnih kvadratnih neenakosti: x 2 −5≥0, tukaj je koeficient b pri spremenljivki x enak nič; −3 x 2 −0,6 x<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 in b in c sta nič.

Kako rešiti kvadratne neenakosti?

Zdaj vas lahko zmede vprašanje, kako rešiti kvadratne neenakosti. V bistvu so za rešitev uporabljene tri glavne metode:

• grafična metoda (ali, kot pri A.G. Mordkovich, funkcionalno-grafična),
• intervalna metoda,
• in rešitev kvadratnih neenakosti s poudarkom na kvadratu binoma na levi.

grafično

Takoj se pridržimo, da se metoda reševanja kvadratnih neenakosti, ki jo začenjamo obravnavati, v šolskih učbenikih ne imenuje grafična. Vendar je v resnici to to. Poleg tega je prvo spoznavanje z grafično reševanje neenakosti običajno se začne, ko se pojavi vprašanje, kako rešiti kvadratne neenakosti.

Grafični način reševanja kvadratnih neenakosti a x 2 + b x + c<0 (≤, >, ≥) sestoji iz analize grafa kvadratne funkcije y = a x 2 + b x + c, da se poiščejo intervali, v katerih podana funkcija zavzame negativne, pozitivne, nepozitivne ali nenegativne vrednosti. Ti intervali sestavljajo rešitve kvadratnih neenakosti a x 2 + b x + c<0 , a·x 2 +b·x+c>0, ax2 + bx + c≤0 in ax2 + bx + c≥0.

Po metodi intervalov

Za reševanje kvadratnih neenakosti z eno spremenljivko je poleg grafične metode precej priročna intervalna metoda, ki je sama po sebi zelo univerzalna in je primerna za reševanje različnih neenakosti, ne samo kvadratnih. Njegova teoretična stran je izven okvira algebre v 8., 9. razredu, ko se učijo reševati kvadratne neenakosti. Zato se tukaj ne bomo spuščali v teoretične temelje intervalne metode, temveč se bomo osredotočili na to, kako natančno se kvadratne neenakosti rešujejo z njeno pomočjo.

Bistvo metode intervalov v zvezi z rešitvijo kvadratnih neenakosti a x 2 + b x + c<0 (≤, >, ≥), sestoji iz določanja znakov, ki imajo vrednosti kvadratnega trinoma a x 2 + b x + c na intervalih, na katere je koordinatna os razdeljena z ničlami ​​tega trinoma (če obstajajo). Intervali z znaki minus sestavljajo rešitve kvadratne neenakosti a x 2 + b x + c<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0, pri reševanju nestrogih neenakosti pa se označenim intervalom dodajo točke, ki ustrezajo ničlam trinoma.

Lahko se seznanite z vsemi podrobnostmi te metode, njenim algoritmom, pravili postavljanja znakov na intervale in razmislite o že pripravljenih rešitvah za tipične primere z danimi ilustracijami, pri čemer se sklicujete na materialno reševanje kvadratnih neenakosti v članku po metodi intervalih.

Z izbiro kvadrata binoma

Poleg grafične metode in metode intervalov obstajajo še drugi pristopi, ki omogočajo reševanje kvadratnih neenakosti. In prišli smo do enega izmed njih, ki temelji na izbor kvadrata binoma na levi strani kvadratne neenakosti.

Načelo te metode za reševanje kvadratnih neenakosti je, da izvedemo enakovredne transformacije neenakosti, ki omogočajo prehod na rešitev enakovredne neenakosti v obliki (x − p) 2 , ≥), kjer sta p in q nekaj števil.

In kako je prehod na neenakost (x − p) 2 , ≥) in kako jo rešiti je razloženo z rešitvijo kvadratnih neenakosti z izbiro kvadrata binoma. Obstajajo tudi primeri reševanja kvadratnih neenakosti na ta način in podane so potrebne grafične ilustracije.

Zmanjšanje neenakosti na kvadrat

V praksi se je treba zelo pogosto ukvarjati z neenakostmi, ki jih z enakovrednimi transformacijami reduciramo na kvadratne neenakosti v obliki a x 2 + b x + c<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

Začnimo s primeri najpreprostejših neenakosti, ki se reducirajo na kvadratne. Včasih je za prehod na kvadratno neenakost dovolj, da prerazporedimo člene v tej neenakosti ali jih prenesemo iz enega dela v drugega. Na primer, če prenesemo vse člene z desne strani neenakosti 5≤2 · x-3 Še en primer: s prerazporeditvijo na levi strani neenakosti 5 + 0,6 x 2 −x<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

V šoli, pri pouku algebre, ko se učijo reševati kvadratne neenakosti, se ukvarjajo tudi z rešitev racionalnih neenakosti zmanjšana na kvadrat. Njihova rešitev vključuje prenos vseh členov na levo stran z naknadno transformacijo tam oblikovanega izraza v obliko a · x 2 + b · x + c z izvajanjem. Poglejmo primer.

Primer.

Poiščite množico rešitev neenakosti 3 (x − 1) (x + 1)<(x−2) 2 +x 2 +5 .iracionalna neenakost je enakovredna kvadratni neenakosti x 2 −6 x − 9<0 , а logaritemska neenakost - neenakost x 2 + x − 2≥0.

Bibliografija.

• algebra:študij. za 8 cl. Splošna izobrazba. ustanove / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ur. S. A. Telyakovsky. - 16. izd. - M.: Izobraževanje, 2008 .-- 271 str. : bolna. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• algebra: 9. razred: učbenik. za splošno izobraževanje. ustanove / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ur. S. A. Telyakovsky. - 16. izd. - M.: Izobraževanje, 2009 .-- 271 str. : bolna. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• A. G. Mordkovič algebra. 8. razred. Ob 14. uri 1. del. Učbenik za študente izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 str .: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• A. G. Mordkovič algebra. 9. razred. Ob 14. uri 1. del. Učbenik za študente izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izd., izbrisano. - M .: Mnemozina, 2011 .-- 222 str.: Ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
• A. G. Mordkovič Algebra in začetek matematične analize. 11. razred. Ob 14.00 1. del. Učbenik za študente izobraževalnih ustanov (profilna raven) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. izd., izbrisano. - M .: Mnemosina, 2008 .-- 287 str.: Ilustr. ISBN 978-5-346-01027-2.