Kako rešiti sistem enačb v eni neznani. Primeri sistemov linearnih enačb: metoda rešitve. Sistem dveh linearnih enačb v dveh spremenljivkah

Sistemi enačb se pogosto uporabljajo v gospodarski industriji pri matematičnem modeliranju različnih procesov. Na primer pri reševanju problemov upravljanja in načrtovanja proizvodnje, logističnih poti (problem transporta) ali namestitve opreme.

Sistemi enačb se ne uporabljajo samo na področju matematike, temveč tudi v fiziki, kemiji in biologiji, pri reševanju problemov iskanja velikosti populacije.

Sistem linearnih enačb imenujemo dve ali več enačb z več spremenljivkami, za katere je treba najti splošno rešitev. Takšno zaporedje števil, pri katerem vse enačbe postanejo resnične enakosti ali dokažejo, da zaporedje ne obstaja.

Linearna enačba

Enačbe v obliki ax + by = c imenujemo linearne. Zapis x, y je neznanka, katere vrednost je treba najti, b, a so koeficienti spremenljivk, c je prosti člen enačbe.
Rešitev enačbe z izrisom njenega grafa bo imela obliko ravne črte, katere vse točke so rešitev polinoma.

Vrste sistemov linearnih enačb

Najpreprostejši primeri so sistemi linearnih enačb z dvema spremenljivkama X in Y.

F1 (x, y) = 0 in F2 (x, y) = 0, kjer sta F1,2 funkcije in (x, y) funkcijske spremenljivke.

Reši sistem enačb - to pomeni najti takšne vrednosti (x, y), pri katerih se sistem spremeni v pravo enakost, ali ugotoviti, da za x in y ni ustreznih vrednosti.

Par vrednosti (x, y), zapisan kot koordinate točke, se imenuje rešitev sistema linearnih enačb.

Če imajo sistemi eno skupno rešitev ali rešitev ne obstaja, se imenujejo enakovredni.

Homogeni sistemi linearnih enačb so sistemi, katerih desna stran je enaka nič. Če ima desni del za znakom "enako" vrednost ali je izražen s funkcijo, je tak sistem heterogen.

Število spremenljivk je lahko veliko več kot dve, potem bi morali govoriti o primeru sistema linearnih enačb s tremi ali več spremenljivkami.

Ko se soočajo s sistemi, šolarji domnevajo, da mora število enačb nujno sovpadati s številom neznank, vendar temu ni tako. Število enačb v sistemu ni odvisno od spremenljivk, lahko jih je kolikor želite.

Enostavne in zapletene metode za reševanje sistemov enačb

Splošnega analitičnega načina za reševanje takšnih sistemov ni, vse metode temeljijo na numeričnih rešitvah. Šolski tečaj matematike podrobno opisuje metode, kot so permutacija, algebraično seštevanje, substitucija, pa tudi grafična in matrična metoda, rešitev po Gaussovi metodi.

Glavna naloga pri poučevanju metod reševanja je naučiti, kako pravilno analizirati sistem in poiskati optimalen algoritem rešitve za vsak primer. Glavna stvar ni zapomniti sistema pravil in dejanj za vsako metodo, ampak razumeti načela uporabe določene metode

Rešitev primerov sistemov linearnih enačb za 7. razred splošnega šolskega programa je precej preprosta in zelo podrobno razložena. V katerem koli učbeniku matematike je temu razdelku posvečeno dovolj pozornosti. Rešitev primerov sistemov linearnih enačb po Gaussovi in ​​Cramerjevi metodi se podrobneje preučuje v prvih letnikih visokošolskih zavodov.

Rešitev sistemov s substitucijsko metodo

Dejanja metode substitucije so usmerjena v izražanje vrednosti ene spremenljivke skozi drugo. Izraz se substituira v preostalo enačbo, nato pa se reducira v obliko z eno spremenljivko. Dejanje se ponovi glede na število neznank v sistemu

Podamo rešitev za primer sistema linearnih enačb 7. razreda z metodo substitucije:

Kot lahko vidite iz primera, je bila spremenljivka x izražena s F (X) = 7 + Y. Nastali izraz, ki je bil zamenjan v 2. enačbo sistema namesto X, je pomagal dobiti eno spremenljivko Y v 2. enačbi . Rešitev tega primera ne povzroča težav in vam omogoča, da dobite vrednost Y. Zadnji korak je preverjanje dobljenih vrednosti.

Primera sistema linearnih enačb ni vedno mogoče rešiti s substitucijo. Enačbe so lahko zapletene in izraz spremenljivke v smislu druge neznanke bo preveč okoren za nadaljnje izračune. Kadar so v sistemu več kot 3 neznanke, je rešitev s substitucijo tudi nepraktična.

Rešitev primera sistema linearnih nehomogenih enačb:

Algebraična rešitev seštevanja

Pri iskanju rešitve sistemov po metodi seštevanja se izvaja seštevanje člen za členom in množenje enačb z različnimi števili. Končni cilj matematičnih operacij je enačba v eni spremenljivki.

Ta metoda zahteva prakso in opazovanje. Sistema linearnih enačb ni enostavno rešiti z metodo seštevanja s 3 ali več spremenljivkami. Priročno je uporabljati algebraično seštevanje, če so v enačbah prisotni ulomki in decimalna števila.

Algoritem delovanja rešitve:

1. Pomnožite obe strani enačbe z neko številko. Kot rezultat aritmetične operacije mora eden od koeficientov spremenljivke postati enak 1.
2. Dobljeni izraz dodajte izraz za izrazom in poiščite eno od neznank.
3. Dobljeno vrednost nadomestimo v 2. enačbo sistema, da poiščemo preostalo spremenljivko.

Rešitev z uvedbo nove spremenljivke

Novo spremenljivko lahko uvedemo, če mora sistem najti rešitev za največ dve enačbi, število neznank pa ne sme biti večje od dveh.

Metoda se uporablja za poenostavitev ene od enačb z uvedbo nove spremenljivke. Nova enačba je rešena glede na vneseno neznano, nastalo vrednost pa uporabi za določitev izvirne spremenljivke.

Primer kaže, da je bilo z uvedbo nove spremenljivke t mogoče reducirati 1. enačbo sistema na standardni kvadratni trinom. Polinom lahko rešite tako, da poiščete diskriminanto.

Vrednost diskriminanta je treba poiskati po dobro znani formuli: D = b2 - 4 * a * c, kjer je D zahtevani diskriminant, b, a, c so faktorji polinoma. V danem primeru je a = 1, b = 16, c = 39, torej D = 100. Če je diskriminanta večja od nič, obstajata dve rešitvi: t = -b ± √D / 2 * a, če je diskriminanta manjša od nič, potem obstaja ena rešitev: x = -b / 2 * a.

Rešitev za nastale sisteme najdemo z metodo seštevanja.

Vizualna metoda za reševanje sistemov

Primerno za sisteme s 3 enačbami. Metoda je sestavljena iz izrisa na koordinatni osi grafov vsake enačbe, vključene v sistem. Koordinate presečišč krivulj bodo splošna rešitev sistema.

Grafična metoda ima številne nianse. Oglejmo si več primerov reševanja sistemov linearnih enačb na vizualni način.

Kot lahko vidite iz primera, sta bili za vsako ravno črto zgrajeni dve točki, vrednosti spremenljivke x so bile izbrane poljubno: 0 in 3. Na podlagi vrednosti x so bile najdene vrednosti za y : 3 in 0. Točke s koordinatami (0, 3) in (3, 0) smo označili na grafu in jih povezali s črto.

Korake je treba ponoviti za drugo enačbo. Točka presečišča premic je rešitev sistema.

V naslednjem primeru morate najti grafično rešitev za sistem linearnih enačb: 0,5x-y + 2 = 0 in 0,5x-y-1 = 0.

Kot je razvidno iz primera, sistem nima rešitve, ker so grafi vzporedni in se ne sekajo po celotni dolžini.

Sistema iz 2. in 3. primera sta si podobna, pri gradnji pa postane očitno, da se njune rešitve razlikujejo. Ne smemo pozabiti, da ni vedno mogoče povedati, ali ima sistem rešitev ali ne, vedno je treba zgraditi graf.

Matrica in njene sorte

Matrice se uporabljajo za jedrnato pisanje sistema linearnih enačb. Matrica je tabela posebne vrste, napolnjena s številkami. n * m ima n - vrstic in m - stolpcev.

Matrica je kvadratna, če je število stolpcev in vrstic med seboj enako. Vektorska matrika je matrika z enim stolpcem z neskončnim številom vrstic. Matrika z enicami vzdolž ene od diagonal in drugimi ničelnimi elementi se imenuje matrika identitete.

Inverzna matrika je taka matrika, s katero se prvotna matrika pomnoži v identično matriko, taka matrika obstaja samo za prvotno kvadratno.

Pravila za pretvorbo sistema enačb v matriko

Glede na sisteme enačb so koeficienti in prosti členi enačb zapisani kot števila matrike, ena enačba je ena vrstica matrike.

Vrstica matrike se imenuje ničelna, če je vsaj en element vrstice neničen. Če se torej v kateri koli enačbi število spremenljivk razlikuje, je treba namesto manjkajoče neznanke napisati nič.

Stolpci matrike se morajo strogo ujemati s spremenljivkami. To pomeni, da lahko koeficiente spremenljivke x zapišemo samo v en stolpec, na primer prvi, koeficient neznanega y - samo v drugi.

Pri množenju matrike se vsi elementi matrike zaporedno pomnožijo s številom.

Variante iskanja inverzne matrike

Formula za iskanje inverzne matrike je precej preprosta: K -1 = 1 / | K |, kjer je K -1 inverzna matrika in | K | je determinanta matrike. | K | ne sme biti nič, potem ima sistem rešitev.

Delimanto je enostavno izračunati za matriko dvakrat dva; le elemente na diagonali morate pomnožiti drug z drugim. Za možnost "tri po tri" obstaja formula | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1. Lahko uporabite formulo ali pa se spomnite, da morate iz vsake vrstice in vsakega stolpca vzeti en element, tako da se število stolpcev in vrstic elementov ne ponavlja v izdelku.

Rešitev primerov sistemov linearnih enačb po matrični metodi

Matrična metoda iskanja rešitve omogoča zmanjšanje okornih zapisov pri reševanju sistemov z velikim številom spremenljivk in enačb.

V primeru so a nm koeficienti enačb, matrika je vektor, x n so spremenljivke in b n so prosti izrazi.

Gaussova rešitev sistemov

V višji matematiki se Gaussova metoda preučuje skupaj s Cramerjevo metodo, proces iskanja rešitve sistemov pa imenujemo Gaussova - Cramerjeva metoda. Te metode se uporabljajo za iskanje spremenljivih sistemov z velikim številom linearnih enačb.

Gaussova metoda je zelo podobna rešitvam substitucije in algebraičnega seštevanja, vendar bolj sistematična. Pri šolskem tečaju se Gaussova rešitev uporablja za sisteme 3 in 4 enačb. Cilj metode je, da sistem izgleda kot obrnjen trapez. Vrednost ene spremenljivke v eni od enačb sistema najdemo z algebrskimi transformacijami in substitucijami. Druga enačba je izraz z 2 neznankama, vendar s 3 in 4 - s 3 oziroma 4 spremenljivkami.

Ko sistem spravimo v opisano obliko, se nadaljnja rešitev reducira na zaporedno substitucijo znanih spremenljivk v enačbe sistema.

V šolskih učbenikih za 7. razred je primer rešitve po Gaussovi metodi opisan takole:

Kot lahko vidite iz primera, sta v koraku (3) dobili dve enačbi: 3x 3 -2x 4 = 11 in 3x 3 + 2x 4 = 7. Rešitev katere koli enačbe vam bo omogočila, da najdete eno od spremenljivk x n.

Izrek 5, omenjen v besedilu, pravi, da če eno od enačb sistema nadomestimo z enakovredno, bo tudi dobljeni sistem enakovreden prvotnemu.

Gaussova metoda je za srednješolce težko razumljiva, je pa eden najzanimivejših načinov za razvoj inteligence otrok pri naprednih pouku matematike in fizike.

Za lažje beleženje izračunov je običajno narediti naslednje:

Koeficienti enačb in prostih členov so zapisani v obliki matrike, kjer je vsaka vrstica matrike povezana z eno od enačb sistema. loči levo stran enačbe od desne. Rimske številke označujejo število enačb v sistemu.

Najprej zapišejo matriko, s katero bodo delali, nato pa vsa dejanja, izvedena z eno od vrstic. Nastala matrika se napiše za znakom puščice in potrebna algebraična dejanja se nadaljujejo, dokler ni dosežen rezultat.

Kot rezultat, je treba dobiti matriko, v kateri je ena od diagonal 1, vsi drugi koeficienti pa enaki nič, to pomeni, da je matrika privedena v eno samo obliko. Ne pozabite narediti izračunov s številkami na obeh straneh enačbe.

Ta način snemanja je manj okoren in vam omogoča, da vas ne zmoti naštevanje številnih neznank.

Brezplačna uporaba katere koli rešitve bo zahtevala skrb in določeno količino izkušenj. Niso vse metode uporabne narave. Nekateri načini iskanja rešitev so bolj zaželeni na tem drugem področju človeške dejavnosti, drugi pa obstajajo v izobraževalne namene.

Bolj zanesljiv kot grafična metoda, obravnavana v prejšnjem odstavku.

Metoda zamenjave

To metodo smo uporabljali v 7. razredu za reševanje sistemov linearnih enačb. Algoritem, ki smo ga razvili v 7. razredu, je zelo primeren za reševanje sistemov poljubnih dveh enačb (ne nujno linearnih) z dvema spremenljivkama x in y (seveda lahko spremenljivke označimo z drugimi črkami, kar ni pomembno). Pravzaprav smo ta algoritem uporabili v prejšnjem odstavku, ko je problem dvomestnega števila pripeljal do matematičnega modela, ki je sistem enačb. Ta sistem enačb smo rešili z zgornjo metodo substitucije (glej primer 1 iz § 4).

Algoritem za uporabo substitucijske metode pri reševanju sistema dveh enačb z dvema spremenljivkama x, y.

1. Izrazite y skozi x iz ene enačbe sistema.
2. Dobljeni izraz nadomestimo namesto y v drugo enačbo sistema.
3. Rešite dobljeno enačbo za x.
4. Vsak od korenov enačbe, najdene v tretjem koraku, nadomestite namesto x v izraz za y do x, dobljen v prvem koraku.
5. Odgovor zapišite v obliki parov vrednosti (x; y), ki so bili najdeni v tretjem oziroma četrtem koraku.

4) Zamenjajte vsako od najdenih vrednosti y v formulo x = 5 - 3y. Če, potem
5) Pari (2; 1) in rešitve danega sistema enačb.

Odgovor: (2; 1);

Algebraična metoda seštevanja

Ta metoda, tako kot metoda substitucije, vam je znana iz predmeta algebra 7. razreda, kjer so jo uporabljali za reševanje sistemov linearnih enačb. Spomnimo se bistva metode na naslednjem primeru.

Primer 2. Reši sistem enačb

Vse člene prve enačbe sistema pomnožimo s 3, drugo enačbo pa pustimo nespremenjeno:
Odštejte drugo enačbo sistema od prve enačbe:

Kot rezultat algebraičnega seštevanja dveh enačb prvotnega sistema dobimo enačbo, ki je enostavnejša od prve in druge enačbe danega sistema. S to enostavnejšo enačbo imamo pravico zamenjati katero koli enačbo danega sistema, na primer drugo. Potem bo dani sistem enačb zamenjan z enostavnejšim sistemom:

Ta sistem je mogoče rešiti z metodo substitucije. Iz druge enačbe ugotovimo, da nadomestimo ta izraz namesto y v prvi enačbi sistema, dobimo

Ostaja, da najdene vrednosti x nadomestimo v formulo

Če je x = 2, potem

Tako smo našli dve rešitvi sistema:

Metoda za uvajanje novih spremenljivk

O načinu uvajanja nove spremenljivke pri reševanju racionalnih enačb v eni spremenljivki ste se seznanili pri predmetu algebra 8. razreda. Bistvo te metode pri reševanju sistemov enačb je enako, vendar s tehničnega vidika obstajajo nekatere značilnosti, ki jih bomo obravnavali v naslednjih primerih.

Primer 3. Reši sistem enačb

Uvedemo novo spremenljivko. Potem lahko prvo enačbo sistema prepišemo v enostavnejši obliki: Rešimo to enačbo za spremenljivko t:

Obe vrednosti izpolnjujeta pogoj in sta zato korenine racionalne enačbe s spremenljivko t. Toda to pomeni, da bodisi od koder najdemo, da je x = 2y, oz
Tako smo z metodo uvedbe nove spremenljivke uspeli tako rekoč prvo enačbo sistema, ki je na videz precej zapletena, "razcepiti" na dve enostavnejši enačbi:

x = 2 y; y - 2x.

Kaj je naslednje? In potem je treba vsako od dveh dobljenih preprostih enačb obravnavati po vrsti v sistemu z enačbo x 2 - y 2 = 3, ki se je še nismo spomnili. Z drugimi besedami, problem je zmanjšan na reševanje dveh sistemov enačb:

Treba je najti rešitve prvega sistema, drugega sistema in v odgovor vključiti vse dobljene pare vrednosti. Rešimo prvi sistem enačb:

Uporabili bomo metodo substitucije, še posebej, ker je tukaj vse pripravljeno za to: v drugo enačbo sistema nadomestimo izraz 2y namesto x. Dobimo

Ker je x = 2y, ugotovimo, da je x 1 = 2, x 2 = 2. Tako dobimo dve rešitvi danega sistema: (2; 1) in (-2; -1). Rešimo drugi sistem enačb:

Ponovno uporabimo metodo substitucije: v drugi enačbi sistema nadomestimo izraz 2x za y. Dobimo

Ta enačba nima korenin, kar pomeni, da tudi sistem enačb nima rešitev. Zato je treba v odgovor vključiti samo rešitve prvega sistema.

Odgovor: (2; 1); (-2; -1).

Metoda uvajanja novih spremenljivk pri reševanju sistemov dveh enačb z dvema spremenljivkama je uporabljena v dveh različicah. Prva možnost: ena nova spremenljivka je uvedena in uporabljena samo v eni enačbi sistema. Točno tako je v primeru 3. Druga možnost: dve novi spremenljivki sta uvedeni in uporabljeni hkrati v obeh enačbah sistema. To bo tako v primeru 4.

Primer 4. Reši sistem enačb

Predstavimo dve novi spremenljivki:

Potem razmislite o tem

To bo omogočilo ponovno pisanje danega sistema v veliko enostavnejši obliki, vendar glede na novi spremenljivki a in b:

Ker je a = 1, potem iz enačbe a + 6 = 2 najdemo: 1 + 6 = 2; 6 = 1. Tako smo za spremenljivki a in b dobili eno rešitev:

Če se vrnemo k spremenljivkama x in y, dobimo sistem enačb

Za rešitev tega sistema uporabimo metodo algebraičnega seštevanja:

Od takrat iz enačbe 2x + y = 3 najdemo:
Tako smo za spremenljivki x in y dobili eno rešitev:

Ta del bomo zaključili s kratko, a precej resno teoretično razpravo. Pridobili ste že nekaj izkušenj pri reševanju različnih enačb: linearnih, kvadratnih, racionalnih, iracionalnih. Veste, da je glavna ideja reševanja enačbe postopen prehod iz ene enačbe v drugo, enostavnejšo, a enakovredno dani. V prejšnjem razdelku smo uvedli koncept ekvivalence za enačbe v dveh spremenljivkah. Ta koncept se uporablja tudi za sisteme enačb.

Opredelitev.

Dva sistema enačb s spremenljivkama x in y se imenujeta enakovredna, če imata enake rešitve ali če oba sistema nimata rešitev.

Vse tri metode (zamenjava, algebraično seštevanje in uvedba novih spremenljivk), ki smo jih obravnavali v tem razdelku, so z vidika enakovrednosti popolnoma pravilne. Z drugimi besedami, z uporabo teh metod zamenjamo en sistem enačb z drugim, enostavnejšim, a enakovrednim prvotnemu sistemu.

Grafična metoda za reševanje sistemov enačb

Naučili smo se že reševati sisteme enačb s tako pogostimi in zanesljivimi metodami, kot so metoda substitucije, algebraično seštevanje in uvedba novih spremenljivk. Zdaj pa se z vami spomnimo metode, ki ste jo že učili v prejšnji lekciji. Se pravi, ponovimo, kar veste o metodi grafične rešitve.

Metoda za grafično reševanje sistemov enačb je gradnja grafa za vsako od specifičnih enačb, ki so vključene v ta sistem in se nahajajo v isti koordinatni ravnini, pa tudi tam, kjer je treba najti presečišča točke teh grafov. Za rešitev tega sistema enačb so koordinate te točke (x; y).

Ne smemo pozabiti, da je običajno, da ima grafični sistem enačb eno samo pravilno rešitev ali neskončen nabor rešitev ali pa nima nobenih rešitev.

In zdaj se podrobneje pogovorimo o vsaki od teh rešitev. In tako ima sistem enačb lahko edinstveno rešitev, če se premice, ki so grafi enačb sistema, sekata. Če so te premice vzporedne, potem tak sistem enačb nima nobenih rešitev. V primeru sovpadanja neposrednih grafov enačb sistema vam tak sistem omogoča iskanje niza rešitev.

No, zdaj pa poglejmo algoritem za reševanje sistema dveh enačb z 2 neznanima grafičnima metodama:

Najprej na začetku zgradimo graf 1. enačbe;
Drugi korak je izris grafa, ki se nanaša na drugo enačbo;
Tretjič, poiskati moramo presečišča kart.
In kot rezultat dobimo koordinate vsake presečišča, ki bo rešitev sistema enačb.

Oglejmo si to metodo podrobneje s primerom. Dobimo sistem enačb, ki jih je treba rešiti:

Reševanje enačb

1. Najprej bomo izrisali to enačbo: x2 + y2 = 9.

Vendar je treba opozoriti, da bo ta graf enačb krog s središčem v izhodišču, njegov polmer pa bo enak tri.

2. Naš naslednji korak je, da narišemo enačbo, kot je: y = x - 3.

V tem primeru moramo zgraditi črto in poiskati točki (0; −3) in (3; 0).

3. Poglejmo, kaj imamo. Vidimo, da premica seka krog na dveh točkah A in B.

Zdaj iščemo koordinate teh točk. Vidimo, da koordinate (3; 0) ustrezajo točki A, koordinate (0; −3) pa točki B.

In kaj na koncu dobimo?

Števili (3; 0) in (0; −3), dobljeni na presečišču premice s krogom, sta natanko rešitvi obeh enačb sistema. In iz tega sledi, da so te številke tudi rešitve tega sistema enačb.

To pomeni, da so odgovor na to rešitev števila: (3; 0) in (0; −3).

Vaša zasebnost nam je pomembna. Zaradi tega smo razvili pravilnik o zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preberite našo politiko zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo določene osebe ali stik z njo.

Od vas se lahko zahteva, da navedete svoje osebne podatke kadar koli, ko nas kontaktirate.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako jih lahko uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko pustite zahtevo na spletnem mestu, lahko zbiramo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da stopimo v stik z vami in poročamo o edinstvenih ponudbah, promocijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
• Občasno lahko vaše osebne podatke uporabimo za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različnih raziskav, da bi izboljšali storitve, ki jih ponujamo, in vam zagotovili priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobnem promocijskem dogodku, lahko podatke, ki jih posredujete, uporabimo za upravljanje teh programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Podatkov, ki jih prejmete od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Če je potrebno - v skladu z zakonom, odredbo sodišča, v sodnih postopkih in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - razkriti vaše osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih družbeno pomembnih razlogov.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno tretjo osebo – pravnega naslednika.

Zaščita osebnih podatkov

Sprejmemo previdnostne ukrepe – vključno z upravnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo, pa tudi pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, našim zaposlenim prinašamo pravila zaupnosti in varnosti ter strogo spremljamo izvajanje ukrepov varovanja zaupnosti.

Običajno so enačbe sistema zapisane v stolpcu ena pod drugo in združene s kodrastim oklepajem

Sistem enačb te oblike, kjer a, b, c- številke in x, y- klicane spremenljivke sistem linearnih enačb.

Pri reševanju sistema enačb se uporabljajo lastnosti, ki veljajo za reševanje enačb.

Rešitev sistema linearnih enačb z substitucijsko metodo

Poglejmo primer

1) Izrazite spremenljivko v eni od enačb. Na primer izražamo y v prvi enačbi dobimo sistem:

2) Nadomestite v drugo enačbo sistema namesto y izražanje 3x-7:

3) Rešimo nastalo drugo enačbo:

4) Dobljeno rešitev nadomestimo v prvo enačbo sistema:

Sistem enačb ima edinstveno rešitev: par številk x = 1, y = -4... odgovor: (1; -4) , zapisano v oklepaju, na prvem mestu vrednost x, na drugi - y.

Reševanje sistema linearnih enačb z metodo seštevanja

Rešimo sistem enačb iz prejšnjega primera po metodi dodajanja.

1) Preoblikujte sistem tako, da postanejo koeficienti za eno od spremenljivk nasprotni. Prvo enačbo sistema pomnožimo s "3".

2) Dodajte enačbe sistema člen za členom. Druga enačba sistema (poljubna) se prepiše brez sprememb.

3) Dobljeno rešitev nadomestimo v prvo enačbo sistema:

Grafično reševanje sistema linearnih enačb

Grafična rešitev sistema enačb z dvema spremenljivkama je reducirana na iskanje koordinat skupnih točk grafov enačb.

Graf linearne funkcije je ravna črta. Dve ravni črti na ravnini se lahko sekata v eni točki, sta vzporedni ali sovpadata. V skladu s tem ima lahko sistem enačb: a) edinstveno rešitev; b) nimajo rešitev; c) imajo neskončno število rešitev.

2) Rešitev sistema enačb je točka (če so enačbe linearne) presečišča grafov.

Grafična rešitev sistema

Metoda za uvajanje novih spremenljivk

Spreminjanje spremenljivk lahko pripelje do reševanja enostavnejšega sistema enačb od prvotnega.

Razmislite o rešitvi sistema

Nato uvedemo zamenjavo

Premik na izvirne spremenljivke

Posebni primeri

Brez reševanja sistema linearnih enačb lahko določimo število njegovih rešitev s koeficienti za ustrezne spremenljivke.

Vsebina lekcije

Linearne enačbe v dveh spremenljivkah

Študent ima 200 rubljev za malico v šoli. Torta stane 25 rubljev, skodelica kave pa 10 rubljev. Koliko peciva in skodelic kave lahko kupite za 200 rubljev?

Označimo število peciva skozi x, in število skodelic kave po njem y... Potem bodo stroški tort označeni z izrazom 25 x, in cena skodelic kave po 10 y .

25x - cena x pecivo
10y - cena y skodelice kave

Skupni znesek mora biti enak 200 rubljev. Nato dobimo enačbo z dvema spremenljivkama x in y

25x+ 10y= 200

Koliko korenov ima ta enačba?

Vse je odvisno od študentovega apetita. Če kupi 6 tort in 5 skodelic kave, bosta korenini enačbe 6 in 5.

Par vrednosti 6 in 5 naj bi bil korenina enačbe 25 x+ 10y= 200. Zapiše se kot (6; 5), pri čemer je prva številka vrednost spremenljivke x, druga pa je vrednost spremenljivke y .

6 in 5 nista edini koreni, ki obrneta enačbo 25 x+ 10y= 200 na identiteto. Po želji lahko študent kupi 4 torte in 10 skodelic kave za istih 200 rubljev:

V tem primeru so korenine enačbe 25 x+ 10y= 200 je par vrednosti (4; 10).

Poleg tega študent morda sploh ne kupi kave, ampak kupi torte za vseh 200 rubljev. Nato korenine enačbe 25 x+ 10y= 200 bosta vrednosti 8 in 0

Ali obratno, ne kupujte tort, ampak kupite kavo za vseh 200 rubljev. Nato korenine enačbe 25 x+ 10y= 200 bosta vrednosti 0 in 20

Poskusimo našteti vse možne korene enačbe 25 x+ 10y= 200. Naj se strinjamo, da vrednote x in y pripadajo nizu celih števil. In naj bodo te vrednosti večje ali enake nič:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Tako bo priročno za študenta samega. Bolj priročno je kupiti cele torte kot na primer več celih tort in polovico torte. Prav tako je bolj priročno vzeti kavo v celih skodelicah kot na primer več celih skodelic in pol skodelice.

Upoštevajte, da za liho x nemogoče je doseči enakost pod nobenim y... Nato vrednosti x tam bodo naslednje številke 0, 2, 4, 6, 8. In vedeti x zlahka določiš y

Tako smo dobili naslednje pare vrednosti (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Ti pari so rešitve ali korenine enačbe 25 x+ 10y= 200. To enačbo naredijo identiteto.

Enačba obrazca ax + by = c se imenujejo linearna enačba v dveh spremenljivkah... Rešitev ali korenine te enačbe se imenuje par vrednosti ( x; y), zaradi česar je identiteta.

Upoštevajte tudi, da če je linearna enačba v dveh spremenljivkah zapisana v obliki ax + b y = c, potem pravijo, da je napisano v kanonično(normalna) oblika.

Nekatere linearne enačbe v dveh spremenljivkah je mogoče reducirati v kanonično obliko.

Na primer enačba 2(16x+ 3y - 4) = 2(12 + 8x − y) se lahko zmanjša na obliko ax + by = c... Če razširimo oklepaje na obeh straneh te enačbe, dobimo 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y ... Izraze, ki vsebujejo neznanke, združimo na levo stran enačbe, člene brez neznank pa na desno. Potem dobimo 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 ... Glede na podobne izraze v obeh delih dobimo enačbo 16 x+ 8y= 32. Ta enačba se reducira na obliko ax + by = c in je kanoničen.

Prej obravnavana enačba 25 x+ 10y= 200 je tudi linearna enačba z dvema spremenljivkama v kanonski obliki. V tej enačbi so parametri a , b in c so enake vrednostim 25, 10 in 200.

Pravzaprav enačba ax + by = c ima nešteto rešitev. Reševanje enačbe 25x+ 10y= 200, njegove korenine smo iskali le na množici celih števil. Kot rezultat, je bilo pridobljenih več parov vrednosti, zaradi katerih je ta enačba postala identiteta. Toda na množici racionalnih številk enačba 25 x+ 10y= 200 bo imelo nešteto rešitev.

Če želite dobiti nove pare vrednosti, morate vzeti poljubno vrednost za x nato izrazi y... Na primer, vzemimo za spremenljivko x vrednost 7. Nato dobimo enačbo z eno spremenljivko 25 × 7 + 10y= 200 v katerem lahko izrazite y

Pustiti x= 15. Nato enačba 25x+ 10y= 200 bo v obliki 25 × 15 + 10y= 200. Iz tega ugotovimo, da y = −17,5

Pustiti x= −3. Nato enačba 25x+ 10y= 200 bo imelo obliko 25 × (−3) + 10y= 200. Iz tega ugotovimo, da y = −27,5

Sistem dveh linearnih enačb v dveh spremenljivkah

Za enačbo ax + by = c lahko vzamete poljubne vrednosti za x in poiščite vrednosti za y... Če vzamemo ločeno, bo imela takšna enačba nešteto rešitev.

Zgodi pa se tudi, da spremenljivke x in y niso povezani z eno, ampak z dvema enačbama. V tem primeru tvorijo t.i sistem linearnih enačb v dveh spremenljivkah... Tak sistem enačb ima lahko en par vrednosti (ali z drugimi besedami: "eno rešitev").

Lahko se tudi zgodi, da sistem sploh nima rešitev. Sistem linearnih enačb ima lahko v redkih in izjemnih primerih nešteto rešitev.

Dve linearni enačbi tvorita sistem, ko vrednosti x in y so vključene v vsako od teh enačb.

Vrnimo se k prvi enačbi 25 x+ 10y= 200. Eden od parov vrednosti za to enačbo je bil par (6; 5). To je primer, ko bi lahko kupili 6 peciva in 5 skodelic kave za 200 rubljev.

Formulirajmo problem tako, da par (6; 5) postane edina rešitev za enačbo 25 x+ 10y= 200. Da bi to naredili, bomo sestavili drugo enačbo, ki bi se nanašala na isto x torte in y skodelice kave.

Postavimo besedilo težave na naslednji način:

»Šolar je kupil več tort in več skodelic kave za 200 rubljev. Torta stane 25 rubljev, skodelica kave pa 10 rubljev. Koliko peciva in skodelic kave je kupil študent, če je znano, da je število tort za eno več kot število skodelic kave?«

Prvo enačbo že imamo. Ta enačba je 25 x+ 10y= 200. Zdaj naredimo enačbo za pogoj "Število tort je eno več kot število skodelic kave" .

Število tort je x, število skodelic kave pa je y... Ta stavek lahko zapišete z enačbo x - y= 1. Ta enačba bi pomenila, da je razlika med pecivom in kavo 1.

x = y+ 1. Ta enačba pomeni, da je število tort eno več kot število skodelic kave. Zato se za enakost številu skodelic kave doda ena. To lahko zlahka razumemo, če uporabimo model uteži, ki smo ga upoštevali pri preučevanju najpreprostejših problemov:

Imamo dve enačbi: 25 x+ 10y= 200 in x = y+ 1. Ker vrednosti x in y 6 in 5 sta vključena v vsako od teh enačb, nato pa skupaj tvorita sistem. Zapišimo ta sistem. Če enačbe tvorijo sistem, so uokvirjene s predznakom sistema. Sistemski znak je zavit oklepaj:

Rešimo ta sistem. To nam bo omogočilo, da vidimo, kako pridemo do vrednosti 6 in 5. Obstaja veliko metod za reševanje takšnih sistemov. Razmislimo o najbolj priljubljenih.

Metoda zamenjave

Ime te metode govori samo zase. Njegovo bistvo je zamenjati eno enačbo z drugo, predhodno izraziti eno od spremenljivk.

V našem sistemu ni treba ničesar izražati. V drugi enačbi x = y+ 1 spremenljivka xže izraženo. Ta spremenljivka je enaka izrazu y+ 1. Nato lahko ta izraz nadomestite s prvo enačbo namesto spremenljivke x

Po zamenjavi izraza y+ 1 v prvo enačbo namesto x, dobimo enačbo 25(y+ 1) + 10y= 200 ... Je linearna enačba z eno spremenljivko. To enačbo je zelo enostavno rešiti:

Našli smo vrednost spremenljivke y... Zdaj to vrednost nadomestimo v eno od enačb in poiščemo vrednost x... Za to je priročno uporabiti drugo enačbo x = y+ 1. V njej zamenjamo vrednost y

To pomeni, da je par (6; 5) rešitev sistema enačb, kot smo želeli. Preverimo in se prepričamo, da par (6; 5) ustreza sistemu:

Primer 2

Zamenjajte prvo enačbo x= 2 + y v drugo enačbo 3 x - 2y= 9. V prvi enačbi spremenljivka x je enako 2 + y... Ta izraz nadomestimo z drugo enačbo namesto z x

Zdaj pa poiščimo vrednost x... Če želite to narediti, zamenjajte vrednost y v prvo enačbo x= 2 + y

Torej je rešitev sistema vrednost para (5; 3)

Primer 3... Rešite naslednji sistem enačb z metodo substitucije:

Tukaj, za razliko od prejšnjih primerov, ena od spremenljivk ni eksplicitno izražena.

Če želite eno enačbo zamenjati z drugo, morate najprej.

Zaželeno je izraziti spremenljivko, ki ima koeficient ena. Koeficient ena ima spremenljivko x ki jo vsebuje prva enačba x+ 2y= 11. To spremenljivko bomo izrazili.

Po spremenljivem izrazu x, bo naš sistem imel naslednjo obliko:

Zdaj zamenjamo prvo enačbo z drugo in poiščemo vrednost y

Nadomestek y x

To pomeni, da je rešitev sistema par vrednosti (3; 4)

Seveda lahko spremenljivko tudi izrazite y... Korenine se od tega ne bodo spremenile. Ampak če izraziš y, dobite ne tako preprosto enačbo, katere rešitev bo trajala več časa. Izgledalo bo takole:

To vidimo v tem primeru, da izrazimo x veliko bolj priročno kot izražanje y .

Primer 4... Rešite naslednji sistem enačb z metodo substitucije:

Izrazimo v prvi enačbi x... Nato bo sistem dobil obliko:

y

Nadomestek y v prvo enačbo in poišči x... Uporabite lahko izvirno enačbo 7 x+ 9y= 8 ali pa uporabite enačbo, v kateri je spremenljivka izražena x... To enačbo bomo uporabili, kot je priročno:

Zato je rešitev sistema par vrednosti (5; −3)

Metoda seštevanja

Metoda seštevanja je sestavljena iz seštevanja enačb v sistemu člen za členom. Ta dodatek vodi k dejstvu, da se oblikuje nova enačba z eno spremenljivko. In rešiti takšno enačbo je precej preprosto.

Rešimo naslednji sistem enačb:

Levo stran prve enačbe dodajte levi strani druge enačbe. In desna stran prve enačbe z desno stranjo druge enačbe. Dobimo naslednjo enakost:

Tukaj so podobni izrazi:

Kot rezultat, smo dobili najpreprostejšo enačbo 3 x= 27, katerega koren je 9. Poznavanje vrednosti x lahko najdete pomen y... Zamenjajte vrednost x v drugo enačbo x - y= 3. Dobimo 9 - y= 3. Od tod y= 6 .

Torej je rešitev sistema par vrednosti (9; 6)

Primer 2

Levo stran prve enačbe dodajte levi strani druge enačbe. In desna stran prve enačbe z desno stranjo druge enačbe. V dobljeni enakosti predstavljamo podobne izraze:

Kot rezultat, smo dobili najpreprostejšo enačbo 5 x= 20, katerega koren je 4. Poznavanje vrednosti x lahko najdete pomen y... Zamenjajte vrednost x v prvo enačbo 2 x + y= 11. Dobimo 8+ y= 11. Od tod y= 3 .

To pomeni, da je rešitev sistema par vrednosti (4; 3)

Postopek dodajanja ni podroben. To je treba narediti v mislih. Poleg tega je treba obe enačbi reducirati na kanonično obliko. se pravi ac + by = c .

Iz obravnavanih primerov je razvidno, da je glavni namen dodajanja enačb, da se znebimo ene od spremenljivk. Vendar ni vedno mogoče takoj rešiti sistema enačb z metodo seštevanja. Najpogosteje je sistem predhodno priveden v obliko, v kateri lahko dodate enačbe, vključene v ta sistem.

Na primer sistem je mogoče takoj rešiti z metodo dodajanja. Pri seštevanju obeh enačb se izrazi y in −y izginejo, ker je njihova vsota nič. Kot rezultat se oblikuje najpreprostejša enačba 11 x= 22, katerega koren je 2. Potem bo mogoče določiti y enako 5.

In sistem enačb metode seštevanja ni mogoče rešiti takoj, saj to ne bo povzročilo izginotja ene od spremenljivk. Rezultat seštevanja bo enačba 8 x+ y= 28, ki ima nešteto rešitev.

Če obe strani enačbe pomnožimo ali delimo z istim številom, ki ni enako nič, dobimo enačbo, ki je enaka dani. To pravilo velja tudi za sistem linearnih enačb v dveh spremenljivkah. Eno od enačb (ali obe enačbi) je mogoče pomnožiti s poljubnim številom. Rezultat bo enakovredni sistem, katerega korenine bodo sovpadale s prejšnjim.

Vrnimo se k prvemu sistemu, ki je opisoval, koliko kolačev in skodelic kave je študent kupil. Rešitev tega sistema je bil par vrednosti (6; 5).

Obe enačbi v tem sistemu pomnožimo z nekaterimi številkami. Recimo, da se prva enačba pomnoži z 2, druga pa s 3

Kot rezultat, smo dobili sistem
Rešitev tega sistema je še vedno par vrednosti (6; 5)

To pomeni, da je enačbe, vključene v sistem, mogoče reducirati na obliko, ki je primerna za uporabo metode seštevanja.

Nazaj v sistem , ki ga z metodo seštevanja nismo mogli rešiti.

Pomnožite prvo enačbo s 6, drugo pa z −2

Nato dobimo naslednji sistem:

Seštejmo enačbe, vključene v ta sistem. Dodajanje komponent 12 x in −12 x bo povzročilo 0, dodatek 18 y in 4 y bo dal 22 y, in seštevanje 108 in −20 da 88. Nato dobimo enačbo 22 y= 88, torej y = 4 .

Če vam je sprva težko seštevati enačbe v glavi, potem lahko zapišete, kako je leva stran prve enačbe dodana levi strani druge enačbe, desna stran prve enačbe pa je dodana desni strani stran druge enačbe:

Vedeti, da je vrednost spremenljivke y je 4, lahko najdete vrednost x... Nadomestek y v eno od enačb, na primer v prvo enačbo 2 x+ 3y= 18. Nato dobimo enačbo z eno spremenljivko 2 x+ 12 = 18. Premaknite 12 na desno stran, spremenite znak, dobimo 2 x= 6, torej x = 3 .

Primer 4... Rešite naslednji sistem enačb z metodo seštevanja:

Drugo enačbo pomnožite z −1. Nato bo sistem dobil naslednjo obliko:

Dodajmo obe enačbi. Dodajanje komponent x in −x bo povzročilo 0, dodatek 5 y in 3 y bo dal 8 y, in seštevanje 7 in 1 daje 8. Rezultat je enačba 8 y= 8, katerega koren je 1. Vemo, da je vrednost y je enak 1, lahko najdete vrednost x .

Nadomestek y v prvo enačbo dobimo x+ 5 = 7, torej x= 2

Primer 5... Rešite naslednji sistem enačb z metodo seštevanja:

Zaželeno je, da se izrazi, ki vsebujejo enake spremenljivke, nahajajo drug pod drugim. Zato so v drugi enačbi členi 5 y in −2 x zamenjaj mesta. Posledično bo sistem dobil obliko:

Drugo enačbo pomnožimo s 3. Nato bo sistem dobil obliko:

Sedaj dodajmo obe enačbi. Kot rezultat seštevanja dobimo enačbo 8 y= 16, katerega koren je 2.

Nadomestek y v prvo enačbo dobimo 6 x- 14 = 40. Izraz −14 premaknemo v desno in spremenimo predznak, dobimo 6 x= 54. Od tod x= 9.

Primer 6... Rešite naslednji sistem enačb z metodo seštevanja:

Znebimo se ulomkov. Prvo enačbo pomnožite s 36, drugo pa z 12

V nastalem sistemu prvo enačbo lahko pomnožimo z −5, drugo pa z 8

V nastali sistem dodajmo enačbe. Nato dobimo najenostavnejšo enačbo −13 y= −156. Od tod y= 12. Nadomestek y v prvo enačbo in poišči x

Primer 7... Rešite naslednji sistem enačb z metodo seštevanja:

Obe enačbi spravimo v normalno obliko. Tukaj je priročno uporabiti pravilo sorazmerja v obeh enačbah. Če je v prvi enačbi desna stran predstavljena kot, desna stran druge enačbe pa kot, bo sistem dobil obliko:

Imamo delež. Pomnožimo njegove skrajne in srednje izraze. Nato bo sistem dobil obliko:

Prvo enačbo pomnožimo z −3, v drugi pa razširimo oklepaje:

Sedaj dodajmo obe enačbi. Kot rezultat seštevanja teh enačb dobimo enakost, v obeh delih katere bo nič:

Izkazalo se je, da ima sistem nešteto rešitev.

Vendar ne moremo kar z neba vzeti poljubnih vrednosti za x in y... Določimo lahko eno od vrednosti, druga pa bo določena glede na vrednost, ki smo jo podali. Na primer, naj x= 2. Zamenjajmo to vrednost v sistem:

Kot rezultat reševanja ene od enačb je vrednost za y ki bo zadovoljil obe enačbi:

Nastali par vrednosti (2; −2) bo zadovoljil sistem:

Poiščimo drug par vrednosti. Pustiti x= 4. To vrednost nadomestite v sistem:

Na oko lahko ugotovite, da je vrednost y je enak nič. Nato dobimo par vrednosti (4; 0), ki zadovolji naš sistem:

Primer 8... Rešite naslednji sistem enačb z metodo seštevanja:

Prvo enačbo pomnožite s 6, drugo pa z 12

Prepišimo, kar je ostalo:

Pomnožite prvo enačbo z −1. Nato bo sistem dobil obliko:

Sedaj dodajmo obe enačbi. Kot rezultat seštevanja se oblikuje enačba 6 b= 48, katerega koren je 8. Nadomestek b v prvo enačbo in poišči a

Sistem linearnih enačb v treh spremenljivkah

Linearna enačba s tremi spremenljivkami vključuje tri spremenljivke s koeficienti in tudi presek. V kanonski obliki ga lahko zapišemo takole:

ax + by + cz = d

Ta enačba ima nešteto rešitev. Če dvema spremenljivkama damo različna pomena, lahko najdemo tretji pomen. Rešitev v tem primeru so tri vrednosti ( x; y; z), ki enačbo spremeni v identiteto.

Če so spremenljivke x, y, z so povezane s tremi enačbami, potem se oblikuje sistem treh linearnih enačb s tremi spremenljivkami. Za rešitev takšnega sistema lahko uporabite enake metode, ki se uporabljajo za linearne enačbe z dvema spremenljivkama: metodo substitucije in metodo dodajanja.

Primer 1... Rešite naslednji sistem enačb z metodo substitucije:

Izrazimo v tretji enačbi x... Nato bo sistem dobil obliko:

Zdaj pa naredimo zamenjavo. Spremenljivka x enako izrazu 3 − 2y − 2z ... Ta izraz nadomestimo v prvi in ​​drugi enačbi:

Odprimo oklepaje v obeh enačbah in dajmo podobne izraze:

Prišli smo do sistema linearnih enačb v dveh spremenljivkah. V tem primeru je priročno uporabiti metodo dodajanja. Kot rezultat, spremenljivka y bo izginila in našli bomo vrednost spremenljivke z

Zdaj pa poiščimo vrednost y... Za to je priročno uporabiti enačbo - y+ z= 4. Vanj nadomestite vrednost z

Zdaj pa poiščimo vrednost x... Za to je priročno uporabiti enačbo x= 3 − 2y − 2z ... Vanj nadomestimo vrednosti y in z

Tako je trojka vrednosti (3; −2; 2) rešitev za naš sistem. S preverjanjem se prepričamo, da te vrednosti ustrezajo sistemu:

Primer 2... Rešite sistem z metodo seštevanja

Dodajte prvo enačbo drugi, pomnoženo z −2.

Če drugo enačbo pomnožimo z −2, dobi obliko −6x+ 6y - 4z = −4 ... Zdaj ga dodajte prvi enačbi:

Vidimo, da je bila kot rezultat elementarnih transformacij določena vrednost spremenljivke x... Enako je z eno.

Vrnimo se k glavnemu sistemu. Tretji prištej drugo enačbo, pomnoženo z −1. Če tretjo enačbo pomnožimo z −1, dobi obliko −4x + 5y − 2z = −1 ... Zdaj ga dodajte drugi enačbi:

Dobili smo enačbo x - 2y= −1. Vanj nadomestimo vrednost x ki smo ga našli prej. Nato lahko določimo vrednost y

Zdaj poznamo vrednosti x in y... To vam omogoča, da določite vrednost z... Uporabimo eno od enačb, vključenih v sistem:

Tako je triplet vrednosti (1; 1; 1) rešitev našega sistema. S preverjanjem se prepričamo, da te vrednosti ustrezajo sistemu:

Naloge za sestavljanje sistemov linearnih enačb

Problem sestavljanja sistemov enačb se rešuje z vnosom več spremenljivk. Nato se sestavijo enačbe glede na pogoje problema. Iz enačb sestavijo sistem in ga rešijo. Po rešitvi sistema je treba preveriti, ali njegova rešitev izpolnjuje pogoje problema.

Problem 1... Avto Volga je odšel iz mesta na kolektivno kmetijo. Nazaj se je vrnila po drugi cesti, ki je bila 5 km krajša od prve. Skupno je avto prevozil 35 km v obe smeri. Koliko kilometrov je vsaka cesta?

Rešitev

Pustiti x - dolžina prve ceste, y- dolžina drugega. Če je avto prevozil 35 km na oba konca, potem lahko prvo enačbo zapišemo kot x+ y= 35. Ta enačba opisuje vsoto dolžin obeh cest.

Avto se je vrnil nazaj po cesti, ki je bila 5 km krajša od prve. Potem lahko drugo enačbo zapišemo kot x− y= 5. Ta enačba kaže, da je razlika med dolžinami cest 5 km.

Ali pa lahko drugo enačbo zapišemo kot x= y+ 5. Uporabili bomo to enačbo.

Ker so spremenljivke x in y v obeh enačbah označujemo isto število, potem lahko iz njih oblikujemo sistem:

Rešimo ta sistem z uporabo nekaterih predhodno preučenih metod. V tem primeru je priročno uporabiti metodo substitucije, saj je v drugi enačbi spremenljivka xže izraženo.

Drugo enačbo nadomestite s prvo in poiščite y

Zamenjajte najdeno vrednost y v drugi enačbi x= y+ 5 in poiščite x

Dolžino prve ceste smo označili s spremenljivko x... Zdaj smo našli njegov pomen. Spremenljivka x je enako 20. Dolžina prve ceste je torej 20 km.

Dolžina druge ceste pa je bila označena z y... Vrednost te spremenljivke je 15. Dolžina druge ceste je torej 15 km.

Preverimo. Najprej se prepričajmo, da je sistem pravilno rešen:

Zdaj pa preverimo, ali rešitev (20; 15) izpolnjuje pogoje problema.

Rečeno je bilo, da je avto prevozil 35 km v obe smeri. Dodajte dolžini obeh cest in se prepričajte, da rešitev (20; 15) izpolnjuje ta pogoj: 20 km + 15 km = 35 km

Naslednji pogoj: nazaj se je avto vračal po drugi cesti, ki je bila 5 km krajša od prve ... Vidimo, da rešitev (20; 15) izpolnjuje tudi ta pogoj, saj je 15 km krajše od 20 km za 5 km: 20 km - 15 km = 5 km

Pri sestavljanju sistema je pomembno, da spremenljivke označujejo enaka števila v vseh enačbah, vključenih v ta sistem.

Naš sistem torej vsebuje dve enačbi. Te enačbe pa vsebujejo spremenljivke x in y, ki predstavljata enaka števila v obeh enačbah, in sicer dolžini cest enaki 20 km in 15 km.

2. naloga... Na ploščad so naložili pragove iz hrasta in bora, skupaj 300. Znano je, da so vsi hrastovi pragovi tehtali 1 tono manj kot vsi borovi pragovi. Ugotovite, koliko hrastovih in borovih pragov je bilo ločeno, če je vsak hrastov prag tehtal 46 kg, vsak borov prag pa 28 kg.

Rešitev

Pustiti x hrast in y borove pragove so naložili na ploščad. Če je bilo skupaj 300 pragov, potem lahko prvo enačbo zapišemo kot x + y = 300 .

Vsi hrastovi pragovi so tehtali 46 x kg, bor pa je tehtal 28 y kg Ker so hrastovi pragovi tehtali 1 tono manj kot borovi pragovi, lahko drugo enačbo zapišemo kot 28y - 46x= 1000 ... Ta enačba kaže, da je razlika v masi med hrastovimi in borovimi pragovi 1000 kg.

Tone so pretvorjene v kilograme, saj se teža pragov iz hrasta in bora meri v kilogramih.

Kot rezultat dobimo dve enačbi, ki tvorita sistem

Rešimo ta sistem. Izrazimo v prvi enačbi x... Nato bo sistem dobil obliko:

Prvo enačbo nadomestite z drugo in poiščite y

Nadomestek y v enačbo x= 300 − y in ugotovi, kaj je enako x

To pomeni, da je bilo na ploščad naloženih 100 hrastovih in 200 borovih pragov.

Preverimo, ali rešitev (100; 200) izpolnjuje pogoje problema. Najprej se prepričajmo, da je sistem pravilno rešen:

Rečeno je bilo, da je bilo skupaj 300 spalcev. Seštejte število pragov iz hrasta in bora in se prepričajte, da rešitev (100; 200) izpolnjuje ta pogoj: 100 + 200 = 300.

Naslednji pogoj: vsi hrastovi pragovi so bili 1 tono manj težki od vseh borovih pragov ... Vidimo, da rešitev (100; 200) izpolnjuje tudi ta pogoj, saj je 46 × 100 kg hrastovih pragov lažji od 28 × 200 kg borovih pragov: 5600 kg - 4600 kg = 1000 kg.

Problem 3... Odvzeti so bili trije kosi bakreno-nikljeve zlitine v masnih razmerjih 2: 1, 3: 1 in 5: 1. Iz njih je bil taljen kos, težak 12 kg z razmerjem bakra in niklja 4:1. Poiščite maso vsakega originalnega kosa, če je masa prvega dvakrat večja od mase drugega.