Aritmetična sredina števil je enaka. Kako najti in izračunati aritmetično sredino za dva

Predvsem v ekv. V praksi moramo uporabiti aritmetično sredino, ki jo lahko izračunamo kot preprosto in uteženo aritmetično sredino.

Aritmetično povprečje (SA)-n Najpogostejša vrsta povprečja. Uporablja se v primerih, ko je obseg spremenljive značilnosti za celotno populacijo vsota vrednosti značilnosti njenih posameznih enot. Za družbene pojave je značilna aditivnost (totalnost) obsegov različnih značilnosti; to določa obseg uporabe SA in pojasnjuje njegovo razširjenost kot splošnega indikatorja, na primer: splošni sklad plač je vsota plač vseh zaposlenih.

Če želite izračunati SA, morate vsoto vseh vrednosti funkcij deliti z njihovim številom. SA se uporablja v dveh oblikah.

Najprej si oglejmo preprosto aritmetično povprečje.

1-CA preprosto (začetna, definirajoča oblika) je enaka preprosti vsoti posameznih vrednosti značilnosti, ki se povprečijo, deljeni s skupnim številom teh vrednosti (uporablja se, kadar obstajajo nezdružene vrednosti indeksa značilnosti):

Izvedene izračune je mogoče posplošiti v naslednjo formulo:

(1)

Kje - povprečno vrednost spremenljive značilnosti, to je preprosto aritmetično povprečje;

pomeni seštevanje, to je seštevanje posameznih značilnosti;

x- posamezne vrednosti spremenljive lastnosti, ki se imenujejo variante;

n - število enot populacije

Primer 1, treba je najti povprečni učinek enega delavca (mehanika), če je znano, koliko delov je izdelal vsak od 15 delavcev, tj. glede na vrsto ind. vrednosti atributov, kos: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Enostavna SA se izračuna po formuli (1), št.:

Primer2. Izračunajmo SA na podlagi pogojnih podatkov za 20 trgovin, vključenih v trgovsko podjetje (tabela 1). Tabela 1

Porazdelitev trgovin trgovskega podjetja "Vesna" po prodajnem območju, m2. M

Trgovina št.		Trgovina št.

Za izračun povprečne površine trgovine ( ) potrebno je sešteti površine vseh trgovin in dobljeni rezultat deliti s številom trgovin:

Tako je povprečna površina trgovine za to skupino maloprodajnih podjetij 71 m2.

Zato za določitev enostavnega SA potrebujete vsoto vseh vrednosti te lastnosti deljeno s številom enot, ki imajo to lastnost.

2

Kje f 1 , f 2 , … ,f n – teža (pogostost ponavljanja enakih znakov);

– vsota zmnožkov velikosti značilnosti in njihove frekvence;

– skupno število populacijskih enot.

- SA tehtano - Z Sredina možnosti, ki se ponavljajo različno število krat ali, kot pravijo, imajo različne teže. Uteži so število enot v različne skupine agregati (identične možnosti so združene v skupino). SA tehtano – povprečje združenih vrednosti x 1 , x 2 , .., x n, – izračunano: (2)

Kje X- opcije;

f- frekvenca (teža).

Uteženi SA je količnik deljenja vsote produktov opcij in njihovih ustreznih frekvenc z vsoto vseh frekvenc. frekvence ( f), ki se pojavljajo v formuli SA, se običajno kličejo luske, zaradi česar se SA, izračunan ob upoštevanju uteži, imenuje ponderiran.

Tehniko izračuna uteženega SA bomo ponazorili z zgoraj obravnavanim primerom 1. Da bi to naredili, bomo združili začetne podatke in jih postavili v tabelo.

Povprečje združenih podatkov se določi na naslednji način: najprej se možnosti pomnožijo s frekvencami, nato se zmnožki seštejejo in dobljena vsota se deli z vsoto frekvenc.

Po formuli (2) je uteženi SA enak, kos .:

Razporeditev delavcev za proizvodnjo delov

p

Podatke, predstavljene v prejšnjem primeru 2, lahko združimo v homogene skupine, ki so predstavljene v tabeli. Tabela

Razporeditev trgovin Vesna po prodajnih površinah, kv. m

Tako je bil rezultat enak. Vendar bo to že utežena aritmetična sredina vrednosti.

V prejšnjem primeru smo izračunali aritmetično povprečje, če so znane absolutne frekvence (število trgovin). Vendar pa v številnih primerih ni absolutnih frekvenc, vendar so znane relativne frekvence ali, kot se običajno imenujejo, frekvence, ki prikazujejo delež oz delež frekvenc v celotnem nizu.

Pri izračunu SA ponderirane uporabe frekvence vam omogoča poenostavitev izračunov, ko je frekvenca izražena z velikimi večmestnimi številkami. Izračun je narejen na enak način, vendar, ker se izkaže, da se povprečna vrednost poveča za 100-krat, je treba rezultat deliti s 100.

Potem bo formula za aritmetično tehtano povprečje videti takole:

Kje d– pogostost, tj. delež posamezne frekvence v skupni vsoti vseh frekvenc.

(3)

V našem primeru 2 najprej ugotovimo delež trgovin po skupinah v skupnem številu trgovin podjetja Vesna. Torej, za prvo skupino specifična teža ustreza 10%
. Dobimo naslednje podatke Tabela3

Ker se število elementov množice števil stacionarnega naključnega procesa nagiba k neskončnosti, se aritmetična sredina nagiba k matematičnemu pričakovanju naključne spremenljivke.

Uvod

Označimo množico števil X = (x 1 , x 2 , …, x n), potem je vzorčno povprečje običajno označeno z vodoravno črto nad spremenljivko (izgovorjeno kot " x s črto").

Grška črka μ se običajno uporablja za označevanje aritmetične sredine celega niza števil. Za naključno spremenljivko, za katero je določena srednja vrednost, je μ verjetnostno povprečje ali matematično pričakovanje naključne spremenljivke. Če nastavite X je zbirka naključnih števil z verjetnostnim povprečjem μ, potem za kateri koli vzorec x jaz iz tega niza μ = E( x jaz) je matematično pričakovanje tega vzorca.

V praksi je razlika med μ in x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) je, da je μ tipična spremenljivka, ker lahko vidite vzorec in ne celotne populacije. Torej, če je vzorec naključen (v smislu teorije verjetnosti), potem x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(vendar ne μ) lahko obravnavamo kot naključno spremenljivko, ki ima verjetnostno porazdelitev po vzorcu (verjetnostna porazdelitev povprečja).

Obe ti količini se izračunata na enak način:

x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Primeri

• Za tri številke jih morate sešteti in deliti s 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• Za štiri številke jih morate sešteti in deliti s 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Zvezna naključna spremenljivka

Če obstaja integral neke funkcije f (x) (\displaystyle f(x)) ena spremenljivka, nato pa aritmetična sredina te funkcije na segmentu [a; b ] (\displaystyle ) je določen z določenim integralom:

f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x . (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b)f(x)dx.)

Tukaj je mišljeno to b > a . (\displaystyle b>a.)

Nekatere težave pri uporabi povprečja

Pomanjkanje robustnosti

Čeprav se aritmetične sredine pogosto uporabljajo kot povprečja ali osrednje tendence, ta koncept ni robustna statistika, kar pomeni, da na aritmetično sredino močno vplivajo "velika odstopanja". Omeniti velja, da za porazdelitve z velikim koeficientom asimetrije aritmetična sredina morda ne ustreza konceptu "povprečja" in vrednosti srednje vrednosti iz robustne statistike (na primer mediana) lahko bolje opišejo osrednji nagnjenost.

Klasičen primer je izračun povprečnega dohodka. Aritmetično sredino si lahko napačno razlagamo kot mediano, kar lahko privede do zaključka, da je ljudi z višjimi dohodki več, kot jih je v resnici. »Povprečni« dohodek se razlaga tako, da ima večina ljudi dohodke okoli te številke. Ta »povprečni« (v smislu aritmetične sredine) dohodek je višji od dohodka večine ljudi, saj visok dohodek z veliko odstopanje od povprečja naredi aritmetično sredino močno zakrivljeno (nasprotno pa se povprečni dohodek na mediani »upira« takšnemu zaklonu). Vendar ta "povprečni" dohodek ne pove ničesar o številu ljudi blizu povprečnega dohodka (in ne pove nič o številu ljudi blizu modalnega dohodka). Če pa pojma "povprečje" in "večina ljudi" jemljete rahlo, lahko sklepate, da ima večina ljudi višje dohodke, kot so v resnici. Na primer, poročilo o "povprečnem" neto dohodku v Medini v Washingtonu, izračunanem kot aritmetično povprečje vseh letnih neto dohodkov prebivalcev, bo presenetljivo prineslo velika številka zaradi Billa Gatesa. Razmislite o vzorcu (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetična sredina je 3,17, vendar je pet od šestih vrednosti pod to srednjo vrednostjo.

Obrestno obrestovanje

Če številke pomnožiti, vendar ne zložiti, morate uporabiti geometrično sredino, ne aritmetične sredine. Najpogosteje se ta incident zgodi pri izračunu donosnosti naložbe v finance.

Na primer, če je delnica padla za 10 % v prvem letu in zrasla za 30 % v drugem, potem ni pravilno izračunati »povprečnega« povečanja v teh dveh letih kot aritmetične sredine (−10 % + 30 %) / 2. = 10 %; pravilno povprečje v tem primeru poda sestavljena letna stopnja rasti, ki daje letno stopnjo rasti le približno 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

Razlog za to je, da imajo odstotki vsakič novo izhodišče: 30 % je 30 %. od števila, manjšega od cene na začetku prvega leta:če je delnica začela pri 30 $ in padla za 10 %, je na začetku drugega leta vredna 27 $. Če bi delnica zrasla za 30%, bi bila ob koncu drugega leta vredna 35,1 USD. Aritmetično povprečje te rasti je 10%, a ker se je delnica v 2 letih povečala le za 5,1 USD, povprečna rast 8,2% daje končni rezultat 35,1 USD:

[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Če na enak način uporabimo povprečje aritmetična vrednost 10 %, ne bomo dobili dejanske vrednosti: [30 $ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].

Obrestne obresti na koncu 2 let: 90 % * 130 % = 117 %, to je skupno povečanje 17 %, povprečna letna obrestna obrest 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%))\približno 108,2\%), to je povprečna letna rast za 8,2 %.

Navodila

Glavni članek: Statistika destinacije

Pri izračunu aritmetične sredine neke spremenljivke, ki se ciklično spreminja (na primer faze ali kota), morate biti previdni posebna previdnost. Na primer, povprečje 1 in 359 bi bilo 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180. Ta številka je napačna iz dveh razlogov.

Povprečna vrednost za ciklično spremenljivko, izračunana z zgornjo formulo, bo umetno premaknjena glede na realno povprečje proti sredini številskega območja. Zaradi tega se povprečje izračuna na drugačen način, in sicer se za povprečno vrednost izbere število z najmanjšo varianco (točka središča). Poleg tega se namesto odštevanja uporablja modularna razdalja (tj. obodna razdalja). Na primer, modularna razdalja med 1° in 359° je 2°, ne 358° (na krogu med 359° in 360°==0° - ena stopinja, med 0° in 1° - tudi 1°, skupaj - 2 °).

Da bi našli povprečno vrednost v Excelu (ne glede na to, ali gre za številsko, besedilno, odstotno ali drugo vrednost), obstaja veliko funkcij. In vsak od njih ima svoje značilnosti in prednosti. V tej nalogi so lahko določeni pogoji.

Na primer, povprečne vrednosti serije števil v Excelu se izračunajo s statističnimi funkcijami. Svojo formulo lahko vnesete tudi ročno. Razmislimo o različnih možnostih.

Kako najti aritmetično sredino števil?

Da bi našli aritmetično sredino, morate sešteti vsa števila v nizu in vsoto deliti s količino. Na primer, študentove ocene iz računalništva: 3, 4, 3, 5, 5. Kaj je vključeno v četrtino: 4. Aritmetično sredino smo našli po formuli: =(3+4+3+5+5) /5.

Kako to hitro narediti z uporabo Excelovih funkcij? Vzemimo za primer niz naključnih števil v nizu:

Ali: naredite aktivno celico in preprosto ročno vnesite formulo: =POVPREČJE(A1:A8).

Zdaj pa poglejmo, kaj še lahko naredi funkcija AVERAGE.

Poiščimo aritmetično sredino prvih dveh in zadnjih treh števil. Formula: =POVPREČJE(A1:B1,F1:H1). rezultat:



Stanje povprečno

Pogoj za iskanje aritmetične sredine je lahko numerični ali besedilni kriterij. Uporabili bomo funkcijo: =AVERAGEIF().

Poiščite povprečje aritmetična števila, ki so večje ali enake 10.

Funkcija: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

Rezultat uporabe funkcije AVERAGEIF pod pogojem ">=10":

Tretji argument - "Razpon povprečenja" - je izpuščen. Prvič, to ni potrebno. Drugič, obseg, ki ga analizira program, vsebuje SAMO številske vrednosti. Celice, podane v prvem argumentu, bodo preiskane v skladu s pogojem, podanim v drugem argumentu.

Pozor! Iskalni kriterij lahko določite v celici. In naredite povezavo do tega v formuli.

Poiščimo povprečno vrednost števil s pomočjo besedilnega kriterija. Na primer, povprečna prodaja izdelka "mize".

Funkcija bo videti takole: =AVERAGEIF($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Obseg – stolpec z imeni izdelkov. Kriterij iskanja je povezava do celice z besedo »tabele« (lahko vstavite besedo »tabele« namesto povezave A7). Obseg povprečenja – tiste celice, iz katerih bodo vzeti podatki za izračun povprečne vrednosti.

Kot rezultat izračuna funkcije dobimo naslednjo vrednost:

Pozor! Za besedilni kriterij (pogoj) je treba določiti obseg povprečenja.

Kako izračunati tehtano povprečno ceno v Excelu?

Kako smo ugotovili tehtano povprečno ceno?

Formula: =SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).

S formulo SUMPRODUCT ugotovimo skupni prihodek po prodaji celotne količine blaga. Funkcija SUM pa sešteje količino blaga. Z delitvijo celotnega prihodka od prodaje blaga s skupnim številom enot blaga smo ugotovili tehtano povprečno ceno. Ta indikator upošteva "težo" vsake cene. Njegov delež v skupni masi vrednosti.

Standardni odklon: formula v Excelu

Obstajajo standardna odstopanja za splošno populacijo in vzorec. V prvem primeru je to koren splošne variance. V drugem iz vzorčne variance.

Za izračun tega statistični indikator sestavi se disperzijska formula. Iz njega se izloči korenina. Toda v Excelu obstaja že pripravljena funkcija za iskanje standardnega odklona.

Standardni odklon je vezan na lestvico izvornih podatkov. To ni dovolj za figurativno predstavitev variacije analiziranega razpona. Za pridobitev relativne stopnje razpršenosti podatkov se izračuna koeficient variacije:

standardni odklon / aritmetična sredina

Formula v Excelu izgleda takole:

STDEV (razpon vrednosti) / AVERAGE (razpon vrednosti).

Koeficient variacije se izračuna v odstotkih. Zato smo v celici nastavili obliko odstotka.

Trije otroci so šli v gozd nabirat jagode. Najstarejša hči je našla 18 jagod, srednja - 15 in mlajši brat- 3 jagode (glej sliko 1). Jagode sta prinesla mami, ki se je odločila, da bo jagode enakomerno razdelila. Koliko jagod je prejel vsak otrok?

riž. 1. Ilustracija za problem

rešitev

(Yag.) - otroci so zbrali vse

2) Skupno število jagod delite s številom otrok:

(Yag.) je šel k vsakemu otroku

Odgovori: Vsak otrok prejme 12 jagod.

Pri nalogi 1 je število, dobljeno v odgovoru, aritmetična sredina.

Aritmetična sredina več števil imenujemo količnik deljenja vsote teh števil z njihovim številom.

Primer 1

Imamo dve števili: 10 in 12. Poiščite njuno aritmetično sredino.

rešitev

1) Določimo vsoto teh števil: .

2) Število teh števil je 2, zato je aritmetična sredina teh števil: .

Odgovori: Aritmetična sredina števil 10 in 12 je število 11.

Primer 2

Imamo pet števil: 1, 2, 3, 4 in 5. Poiščite njihovo aritmetično sredino.

rešitev

1) Vsota teh števil je enaka: .

2) Po definiciji je aritmetična sredina količnik deljenja vsote števil z njihovim številom. Imamo pet števil, torej je aritmetična sredina:

Odgovori: aritmetična sredina podatkov v pogoju številk je 3.

Poleg tega, da se pri pouku nenehno predlaga iskanje, je iskanje aritmetične sredine zelo uporabno pri Vsakdanje življenje. Recimo, da želimo iti na počitnice v Grčijo. Za izbiro primernega oblačila pogledamo, kakšna je trenutno temperatura v tej državi. Ne bomo pa vedeli celotne vremenske slike. Zato je treba ugotoviti temperaturo zraka v Grčiji, na primer za en teden, in poiskati aritmetično sredino teh temperatur.

Primer 3

Temperatura v Grčiji za teden: ponedeljek - ; torek - ; sreda - ; četrtek - ; petek - ; sobota - ; nedelja -. Izračunajte povprečno temperaturo za teden.

rešitev

1) Izračunajmo vsoto temperatur: .

2) Dobljeni znesek razdelite na število dni: .

Odgovori: Povprečna tedenska temperatura je pribl.

Sposobnost iskanja aritmetične sredine je morda potrebna tudi za določitev povprečne starosti igralcev v nogometnem moštvu, torej za določitev izkušena ekipa ali ne. Treba je sešteti starost vseh igralcev in deliti z njihovim številom.

Problem 2

Trgovec je prodajal jabolka. Sprva jih je prodajal po ceni 85 rubljev za 1 kg. Tako je prodal 12 kg. Nato je znižal ceno na 65 rubljev in prodal preostale 4 kg jabolk. Kakšna je bila povprečna cena jabolk?

rešitev

1) Izračunajmo, koliko denarja je trgovec skupaj zaslužil. Prodal je 12 kilogramov po ceni 85 rubljev za 1 kg: (drgnite.).

Prodal je 4 kilograme po ceni 65 rubljev za 1 kg: (rubljev).

torej skupni znesek zasluženi denar je enak: (rub.).

2) Skupna masa prodanih jabolk je enaka: .

3) Prejeto vsoto denarja razdelite na skupno težo prodanih jabolk in dobite povprečno ceno za 1 kg jabolk: (rubljev).

Odgovori: povprečna cena 1 kg prodanih jabolk je 80 rubljev.

Aritmetična sredina pomaga ovrednotiti podatke kot celoto, ne da bi upoštevali vsako vrednost posebej.

Vendar ni vedno mogoče uporabiti koncepta aritmetične sredine.

Primer 4

Strelec je dvakrat streljal v tarčo (glej sliko 2): prvič je zadel meter nad tarčo, drugič pa meter nižje. Aritmetično povprečje bo pokazalo, da je zadel točno v sredino, čeprav je obakrat zgrešil.

riž. 2. Na primer ilustracija

V tej lekciji smo spoznali koncept aritmetične sredine. Spoznali smo definicijo tega pojma, naučili smo se izračunati aritmetično sredino za več števil. Tudi naučili smo se praktično uporabo ta koncept.

1. N.Ya. Vilenkin. Matematika: učbenik. za 5. razred. Splošna izobrazba uhr. - Ed. 17. - M.: Mnemosyne, 2005.
)
2. Igor je imel pri sebi 45 rubljev, Andrej 28, Denis pa 17.
3. Z vsem denarjem so kupili 3 vstopnice za kino. Koliko je stala ena vstopnica?

) in povprečje(-a) vzorca.

Enciklopedični YouTube

• 1 / 5

  Označimo množico podatkov X = (x 1 , x 2 , …, x n), potem je vzorčno povprečje običajno označeno z vodoravno črto nad spremenljivko (izgovorjeno kot " x s črto").

  Grška črka μ se uporablja za označevanje aritmetične sredine celotne populacije. Za naključno spremenljivko, za katero je določena srednja vrednost, je μ verjetnostno povprečje ali matematično pričakovanje naključne spremenljivke. Če nastavite X je zbirka naključnih števil z verjetnostnim povprečjem μ, potem za kateri koli vzorec x jaz iz tega niza μ = E( x jaz) je matematično pričakovanje tega vzorca.

  V praksi je razlika med μ in x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) je, da je μ tipična spremenljivka, ker lahko vidite vzorec in ne celotne populacije. Torej, če je vzorec naključen (v smislu teorije verjetnosti), potem x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(vendar ne μ) lahko obravnavamo kot naključno spremenljivko, ki ima verjetnostno porazdelitev po vzorcu (verjetnostna porazdelitev povprečja).

  Obe ti količini se izračunata na enak način:

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

  Primeri

  • Za tri številke jih morate sešteti in deliti s 3:
  x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)
  • Za štiri številke jih morate sešteti in deliti s 4:
  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

  Ali preprosteje 5+5=10, 10:2. Ker smo seštevali 2 števili, kar pomeni, koliko števil seštejemo, s toliko delimo.

  Zvezna naključna spremenljivka

  f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

  Nekatere težave pri uporabi povprečja

  Pomanjkanje robustnosti

  Čeprav se aritmetične sredine pogosto uporabljajo kot povprečja ali osrednje tendence, ta koncept ni robustna statistika, kar pomeni, da na aritmetično sredino močno vplivajo "velika odstopanja". Omeniti velja, da za porazdelitve z velikim koeficientom asimetrije aritmetična sredina morda ne ustreza konceptu "povprečja" in vrednosti srednje vrednosti iz robustne statistike (na primer mediana) lahko bolje opišejo osrednji nagnjenost.

  Klasičen primer je izračun povprečnega dohodka. Aritmetično sredino si lahko napačno razlagamo kot mediano, kar lahko privede do zaključka, da je ljudi z višjimi dohodki več, kot jih je v resnici. »Povprečni« dohodek se razlaga tako, da ima večina ljudi dohodke okoli te številke. Ta »povprečni« (v smislu aritmetične sredine) dohodek je višji od dohodkov večine ljudi, saj je zaradi visokega dohodka z velikim odstopanjem od povprečja aritmetična sredina močno zakrivljena (nasprotno pa povprečni dohodek na mediani »se upira« takšni zakrivljenosti). Vendar ta "povprečni" dohodek ne pove ničesar o številu ljudi blizu povprečnega dohodka (in ne pove nič o številu ljudi blizu modalnega dohodka). Če pa pojma "povprečje" in "večina ljudi" jemljete rahlo, lahko sklepate, da ima večina ljudi višje dohodke, kot so v resnici. Na primer, poročilo o "povprečnem" neto dohodku v Medini v Washingtonu, izračunanem kot aritmetično povprečje vseh letnih neto dohodkov prebivalcev, bi zaradi Billa Gatesa dalo presenetljivo veliko število. Razmislite o vzorcu (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetična sredina je 3,17, vendar je pet od šestih vrednosti pod to srednjo vrednostjo.

  Obrestno obrestovanje

  Če številke pomnožiti, vendar ne zložiti, morate uporabiti geometrično sredino, ne aritmetične sredine. Najpogosteje se ta incident zgodi pri izračunu donosnosti naložbe v finance.

  Na primer, če je delnica padla za 10 % v prvem letu in zrasla za 30 % v drugem, potem ni pravilno izračunati »povprečnega« povečanja v teh dveh letih kot aritmetične sredine (−10 % + 30 %) / 2. = 10 %; pravilno povprečje v tem primeru poda sestavljena letna stopnja rasti, ki daje letno stopnjo rasti le približno 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

  Razlog za to je, da imajo odstotki vsakič novo izhodišče: 30 % je 30 %. od števila, manjšega od cene na začetku prvega leta:če je delnica začela pri 30 $ in padla za 10 %, je na začetku drugega leta vredna 27 $. Če bi delnica zrasla za 30%, bi bila ob koncu drugega leta vredna 35,1 USD. Aritmetično povprečje te rasti je 10%, a ker se je delnica v 2 letih povečala le za 5,1 USD, povprečna rast 8,2% daje končni rezultat 35,1 USD:

  [30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Če na enak način uporabimo aritmetično povprečje 10 %, ne bomo dobili dejanske vrednosti: [30 $ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].

  Obrestne obresti na koncu 2 let: 90 % * 130 % = 117 %, to je skupno povečanje 17 %, povprečna letna obrestna obrest 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%))\približno 108,2\%), torej povprečna letna rast za 8,2 %.Ta številka je napačna iz dveh razlogov.

  Povprečna vrednost za ciklično spremenljivko, izračunana z zgornjo formulo, bo umetno premaknjena glede na realno povprečje proti sredini številskega območja. Zaradi tega se povprečje izračuna na drugačen način, in sicer se za povprečno vrednost izbere število z najmanjšo varianco (točka središča). Poleg tega se namesto odštevanja uporablja modularna razdalja (tj. obodna razdalja). Na primer, modularna razdalja med 1° in 359° je 2°, ne 358° (na krogu med 359° in 360°==0° - ena stopinja, med 0° in 1° - tudi 1°, skupaj - 2 °).