Deljenje z ulomkom. Sestavljanje sistema enačb

Zadnjič smo se naučili seštevati in odštevati ulomke (glej lekcijo »Seštevanje in odštevanje ulomkov«). večina težak trenutek v teh dejanjih je prišlo do zmanjšanja ulomkov na skupni imenovalec.

Zdaj je čas, da se ukvarjamo z množenjem in deljenjem. Dobra novica je, da so te operacije celo preprostejše od seštevanja in odštevanja. Najprej poglejmo najpreprostejši primer, ko sta dva pozitivna ulomka brez ločenega celega dela.

Če želite pomnožiti dva ulomka, morate ločeno pomnožiti njune števce in imenovalce. Prvo število bo števec novega ulomka, drugo pa imenovalec.

Če želite razdeliti dva ulomka, morate prvi ulomek pomnožiti z "obrnjenim" drugim ulomkom.

Oznaka:

Iz definicije sledi, da se deljenje ulomkov zmanjša na množenje. Če želite "obrniti" ulomek, preprosto zamenjajte števec in imenovalec. Zato bomo skozi lekcijo obravnavali predvsem množenje.

Kot rezultat množenja lahko nastane (in pogosto nastane) zmanjšljiv ulomek - seveda ga je treba zmanjšati. Če se po vseh zmanjšanjih izkaže, da ulomek ni pravilen, je treba poudariti cel del. Toda tisto, kar se pri množenju zagotovo ne bo zgodilo, je redukcija na skupni imenovalec: brez navzkrižnih metod, največji faktorji in najmanjši skupni večkratniki.

Po definiciji imamo:

Množenje ulomkov s celimi deli in negativnimi ulomki

Če ulomki vsebujejo celo število, jih je treba pretvoriti v nepravilne - in šele nato pomnožiti v skladu z zgoraj navedenimi shemami.

Če je v števcu ulomka, v imenovalcu ali pred njim minus, ga lahko izločimo iz množenja ali popolnoma odstranimo po naslednjih pravilih:

1. Plus z minusom daje minus;
2. Dve nikalnici pomenita pritrdilno.

Doslej so se s temi pravili srečevali le pri seštevanju in odštevanju negativnih ulomkov, ko se je bilo treba znebiti celega dela. Za delo jih je mogoče posplošiti, da bi "zažgali" več pomanjkljivosti hkrati:

1. Negative prečrtamo v parih, dokler popolnoma ne izginejo. V skrajnih primerih lahko preživi en minus - tisti, za katerega ni bilo para;
2. Če ni več minusov, je operacija končana - lahko začnete množiti. Če zadnji minus ni prečrtan, ker zanj ni bilo para, ga vzamemo izven meja množenja. Rezultat je negativen ulomek.

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Vse ulomke pretvorimo v neprave, nato pa iz množenja odstranimo minuse. Kar ostane, pomnožimo s normalna pravila. Dobimo:

Naj vas še enkrat spomnim, da znak minus, ki se pojavi pred ulomkom s poudarjenim cel del, se nanaša posebej na celoten ulomek in ne samo na njegov cel del (to velja za zadnja dva primera).

Upoštevajte tudi negativna števila: Pri množenju so v oklepajih. To se naredi zato, da ločimo minuse od znakov množenja in naredimo celoten zapis natančnejši.

Zmanjševanje ulomkov sproti

Množenje je zelo delovno intenzivna operacija. Številke tukaj se izkažejo za precej velike in za poenostavitev težave lahko poskusite ulomek še zmanjšati pred množenjem. V bistvu so števci in imenovalci ulomkov navadni faktorji, zato jih je mogoče zmanjšati z uporabo osnovne lastnosti ulomka. Oglejte si primere:

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Po definiciji imamo:

V vseh primerih so z rdečo označena števila, ki so bila zmanjšana, in tisto, kar je od njih ostalo.

Opomba: v prvem primeru so bili množitelji popolnoma zmanjšani. Na njihovem mestu ostanejo enote, ki jih na splošno ni treba pisati. V drugem primeru ni bilo mogoče doseči popolnega zmanjšanja, vendar se je skupna količina izračunov vseeno zmanjšala.

Vendar te tehnike nikoli ne uporabljajte pri seštevanju in odštevanju ulomkov! Da, včasih so podobne številke, ki jih želite samo zmanjšati. Tukaj, poglej:

Tega ne smeš!

Napaka nastane, ker pri seštevanju števec ulomka ustvari vsoto, ne zmnožek števil. Zato je nemogoče uporabiti glavno lastnost ulomka, saj v tej lastnosti govorimo o posebej o množenju števil.

Drugih razlogov za zmanjševanje ulomkov preprosto ni, torej pravilna rešitev prejšnja naloga izgleda takole:

Pravilna rešitev:

Kot lahko vidite, se pravilni odgovor ni izkazal za tako lepega. Na splošno bodite previdni.

Če želite rešiti različne probleme iz tečajev matematike in fizike, morate deliti ulomke. To je zelo enostavno narediti, če poznate določena pravila za izvajanje te matematične operacije.

Preden preidemo na oblikovanje pravila za deljenje ulomkov, si zapomnimo nekaj matematičnih izrazov:

1. Zgornji del ulomka imenujemo števec, spodnji del pa imenujemo imenovalec.
2. Pri deljenju se števila imenujejo takole: dividenda: delitelj = količnik

Kako deliti ulomke: preprosti ulomki

Če želite razdeliti dva preprosta ulomka, pomnožite dividendo z recipročno vrednostjo delitelja. Ta ulomek imenujemo tudi obrnjeni, ker ga dobimo z zamenjavo števca in imenovalca. Na primer:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Kako delimo ulomke: mešani ulomki

Če moramo razdeliti mešane frakcije, potem je tudi tukaj vse precej preprosto in jasno. Najprej pretvorimo mešani ulomek v navadni nepravi ulomek. Če želite to narediti, pomnožite imenovalec takega ulomka s celim številom in dobljenemu produktu dodajte števec. Posledično smo dobili nov števec mešanega ulomka, vendar bo njegov imenovalec ostal nespremenjen. Nadalje bo delitev ulomkov izvedena na popolnoma enak način kot delitev preprostih ulomkov. Na primer:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Kako deliti ulomek s številom

Da bi preprost ulomek delili s številom, je treba slednje zapisati kot ulomek (nepravilen). To je zelo enostavno narediti: to število je napisano namesto števca, imenovalec takega ulomka pa je enak eni. Izvede se nadaljnja delitev na običajen način. Poglejmo si to na primeru:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Kako deliti decimalke

Pogosto ima odrasel človek težave z deljenjem celega števila ali decimalnega ulomka z decimalnim ulomkom brez pomoči kalkulatorja.

Torej, če želite deliti decimalke, morate samo prečrtati vejico v delitelju in nehati biti pozoren na to. V dividendi je treba vejico premakniti v desno natanko za toliko mest, kot je bila v ulomku delitelja, po potrebi dodati ničle. In nato izvedejo običajno deljenje s celim številom. Da bo to bolj jasno, razmislite o naslednjem primeru.

§ 87. Seštevanje ulomkov.

Seštevanje ulomkov je veliko podobno seštevanju celih števil. Seštevanje ulomkov je dejanje, ki je sestavljeno iz dejstva, da se več danih števil (izrazov) združi v eno število (vsoto), ki vsebuje vse enote in ulomke enot izrazov.

Zaporedoma bomo obravnavali tri primere:

1. Seštevanje ulomkov z enaki imenovalci.
2. Seštevanje ulomkov z različne imenovalce.
3. Seštevanje mešanih števil.

1. Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.

Razmislite o primeru: 1/5 + 2/5.

Vzemimo segment AB (slika 17), ga vzemimo kot eno in delimo s 5 enake dele, potem bo del AC tega segmenta enak 1/5 segmenta AB, del istega segmenta CD pa bo enak 2/5 AB.

Iz risbe je razvidno, da če vzamemo segment AD, bo ta enak 3/5 AB; vendar je segment AD natanko vsota segmentov AC in CD. Torej lahko zapišemo:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Ob upoštevanju teh členov in dobljene vsote vidimo, da smo števec vsote dobili s seštevanjem števcev členov, imenovalec pa je ostal nespremenjen.

Od tu naprej naslednje pravilo: Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti in pustiti enak imenovalec.

Poglejmo primer:

2. Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.

Seštejmo ulomke: 3 / 4 + 3 / 8 Najprej jih je treba zreducirati na najmanjši skupni imenovalec:

Vmesnega člena 6/8 + 3/8 ni bilo mogoče napisati; tukaj smo zapisali zaradi jasnosti.

Torej, če želite sešteti ulomke z različnimi imenovalci, jih morate najprej zmanjšati na najmanjši skupni imenovalec, sešteti njihove števce in označiti skupni imenovalec.

Oglejmo si primer (nad ustreznimi ulomki bomo zapisali dodatne faktorje):

3. Seštevanje mešanih števil.

Seštejmo številki: 2 3/8 + 3 5/6.

Najprej spravimo ulomke naših števil na skupni imenovalec in jih ponovno zapišimo:

Sedaj zaporedno seštevamo cela in ulomka:

§ 88. Odštevanje ulomkov.

Odštevanje ulomkov je definirano na enak način kot odštevanje celih števil. To je dejanje, s pomočjo katerega se glede na vsoto dveh členov in enega od njiju najde drug člen. Oglejmo si tri primere zaporedoma:

1. Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
2. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
3. Odštevanje mešanih števil.

1. Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.

Poglejmo primer:

13 / 15 - 4 / 15

Vzemimo segment AB (slika 18), ga vzemimo kot enoto in ga razdelimo na 15 enakih delov; potem bo del AC tega segmenta predstavljal 1/15 AB, del AD istega segmenta pa bo ustrezal 13/15 AB. Odložimo še en segment ED, ki je enak 4/15 AB.

Od 13/15 moramo odšteti ulomek 4/15. Na risbi to pomeni, da je treba segment ED odšteti od segmenta AD. Posledično bo ostal segment AE, ki je 9/15 segmenta AB. Torej lahko zapišemo:

Primer, ki smo ga naredili, kaže, da smo števec razlike dobili z odštevanjem števcev, imenovalec pa je ostal enak.

Zato morate za odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci odšteti števec odštevanca od števca manjšega in pustiti isti imenovalec.

2. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.

Primer. 3/4 - 5/8

Najprej zmanjšajmo te ulomke na najmanjši skupni imenovalec:

Vmesni 6 / 8 - 5 / 8 je zapisan tukaj zaradi jasnosti, vendar ga lahko pozneje preskočite.

Če želite torej od ulomka odšteti ulomek, ju morate najprej zreducirati na najmanjši skupni imenovalec, nato odšteti števec manjšega od števca manjšega in skupni imenovalec podpisati pod njihovo razliko.

Poglejmo primer:

3. Odštevanje mešanih števil.

Primer. 10 3/4 - 7 2/3.

Zmanjšajmo ulomke manjšega in odštevanca na najmanjši skupni imenovalec:

Celo smo odšteli od cele in od ulomka ulomek. Toda obstajajo primeri, ko je ulomek odštevanca večji od ulomka odmanjševalca. V takšnih primerih morate vzeti eno enoto iz celega dela minuenda, jo razdeliti na tiste dele, v katerih je izražen ulomek, in jo dodati ulomljenemu delu minuenda. In potem bo odštevanje izvedeno na enak način kot v prejšnjem primeru:

§ 89. Množenje ulomkov.

Pri preučevanju množenja ulomkov bomo upoštevali naslednja vprašanja:

1. Množenje ulomka s celim številom.
2. Iskanje ulomka danega števila.
3. Množenje celega števila z ulomkom.
4. Množenje ulomka z ulomkom.
5. Množenje mešanih števil.
6. Koncept obresti.
7. Iskanje odstotka danega števila. Razmislimo o njih zaporedno.

1. Množenje ulomka s celim številom.

Množenje ulomka s celim številom ima enak pomen kot množenje celega števila s celim številom. Množenje ulomka (množnika) s celim številom (faktorjem) pomeni ustvariti vsoto enakih členov, v kateri je vsak člen enak množitelju, število členov pa je enako množitelju.

To pomeni, da če morate pomnožiti 1/9 s 7, lahko to storite takole:

Rezultat smo zlahka dobili, saj se je dejanje zmanjšalo na seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci. torej

Upoštevanje tega dejanja pokaže, da je množenje ulomka s celim številom enakovredno povečanju tega ulomka za tolikokrat, kolikor je enot v celem številu. In ker se povečanje ulomka doseže s povečanjem njegovega števca

ali z zmanjšanjem njegovega imenovalca , potem lahko bodisi pomnožimo števec s celim številom bodisi z njim delimo imenovalec, če je tako deljenje možno.

Od tu dobimo pravilo:

Če želite pomnožiti ulomek s celim številom, pomnožite števec s tem celim številom in pustite imenovalec enak ali, če je mogoče, delite imenovalec s tem številom, števec pa pustite nespremenjen.

Pri množenju so možne okrajšave, npr.

2. Iskanje ulomka danega števila. Obstaja veliko nalog, pri katerih morate najti ali izračunati del danega števila. Razlika med temi problemi in drugimi je v tem, da podajajo število nekaterih predmetov ali merskih enot in morate najti del tega števila, ki je tudi tukaj označen z določenim ulomkom. Za lažje razumevanje bomo najprej navedli primere tovrstnih problemov, nato pa predstavili metodo za njihovo reševanje.

Naloga 1. Imel sem 60 rubljev; 1/3 tega denarja sem porabil za nakup knjig. Koliko so stale knjige?

Naloga 2. Vlak mora prevoziti razdaljo med mestoma A in B, ki je enaka 300 km. Prevozil je že 2/3 te razdalje. Koliko kilometrov je to?

Naloga 3. V vasi je 400 hiš, 3/4 so zidane, ostale so lesene. Koliko zidanih hiš je skupaj?

To je nekaj od mnogih težav, s katerimi se srečujemo, ko najdemo del danega števila. Običajno se imenujejo naloge iskanja ulomka danega števila.

Rešitev problema 1. Od 60 rub. 1/3 sem porabil za knjige; To pomeni, da morate za ugotovitev cene knjig število 60 deliti s 3:

Reševanje problema 2. Bistvo problema je v tem, da morate najti 2/3 od 300 km. Najprej izračunajmo 1/3 od 300; to dobimo tako, da 300 km delimo s 3:

300: 3 = 100 (to je 1/3 od 300).

Če želite najti dve tretjini od 300, morate dobljeni količnik podvojiti, tj. pomnožiti z 2:

100 x 2 = 200 (to je 2/3 od 300).

Reševanje problema 3. Tukaj morate določiti število zidanih hiš, ki sestavljajo 3/4 od 400. Najprej poiščemo 1/4 od 400,

400: 4 = 100 (to je 1/4 od 400).

Za izračun treh četrtin od 400 je treba dobljeni količnik potrojiti, tj. pomnožiti s 3:

100 x 3 = 300 (to je 3/4 od 400).

Na podlagi rešitve teh problemov lahko izpeljemo naslednje pravilo:

Če želite poiskati vrednost ulomka iz danega števila, morate to število deliti z imenovalcem ulomka in dobljeni količnik pomnožiti z njegovim števcem.

3. Množenje celega števila z ulomkom.

Prej (§ 26) je bilo ugotovljeno, da je treba množenje celih števil razumeti kot seštevanje enakih členov (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). V tem odstavku (1. točka) je bilo ugotovljeno, da množenje ulomka s celim številom pomeni iskanje vsote enakih členov, ki so enaki temu ulomku.

V obeh primerih je množenje obsegalo iskanje vsote enakih členov.

Zdaj preidemo na množenje celega števila z ulomkom. Tukaj bomo naleteli na primer na množenje: 9 2 / 3. Jasno je, da prejšnja definicija množenja v tem primeru ne velja. To je razvidno iz dejstva, da takšnega množenja ne moremo nadomestiti s seštevanjem enakih števil.

Zaradi tega bomo morali podati novo definicijo množenja, torej z drugimi besedami odgovoriti na vprašanje, kaj naj razumemo pod množenjem z ulomkom, kako to dejanje razumeti.

Pomen množenja celega števila z ulomkom je jasen iz naslednje definicije: množenje celega števila (množnika) z ulomkom (množnika) pomeni iskanje tega ulomka množenika.

Namreč pomnožiti 9 z 2/3 pomeni najti 2/3 od devetih enot. V prejšnjem odstavku so bili tovrstni problemi rešeni; zato je enostavno ugotoviti, da bomo na koncu imeli 6.

Toda zdaj je zanimiv in pomembno vprašanje: zakaj so taki na prvi pogled? razne akcije Kako je iskanje vsote enakih števil in iskanje ulomka števila, ki se imenuje z isto besedo "množenje" v aritmetiki?

To se zgodi zato, ker prejšnje dejanje (večkratna ponovitev števila s členi) in novo dejanje (iskanje ulomka števila) dajeta odgovore na homogena vprašanja. To pomeni, da tukaj izhajamo iz tega, da se homogena vprašanja ali naloge rešujejo z istim dejanjem.

Da bi to razumeli, razmislite o naslednji težavi: »1 m blaga stane 50 rubljev. Koliko bo stalo 4 m takega blaga?

Ta problem se reši tako, da se število rubljev (50) pomnoži s številom metrov (4), to je 50 x 4 = 200 (rubljev).

Vzemimo isto težavo, vendar bo v njej količina blaga izražena kot ulomek: "1 m blaga stane 50 rubljev. Koliko bo stalo 3/4 m takega blaga?«

Tudi ta problem je treba rešiti tako, da se število rubljev (50) pomnoži s številom metrov (3/4).

Številke v njem lahko še večkrat spremenite, ne da bi spremenili pomen problema, na primer vzemite 9/10 m ali 2 3/10 m itd.

Ker imajo te naloge enako vsebino in se razlikujejo le po številkah, dejanja, ki se uporabljajo pri njihovem reševanju, imenujemo z isto besedo – množenje.

Kako pomnožiš celo število z ulomkom?

Vzemimo številke, ki smo jih našli pri zadnji težavi:

Po definiciji moramo najti 3/4 od 50. Najprej poiščemo 1/4 od 50 in nato 3/4.

1/4 od 50 je 50/4;

3/4 števila 50 je .

Zato.

Poglejmo še en primer: 12 5 / 8 =?

1/8 števila 12 je 12/8,

5/8 števila 12 je .

torej

Od tu dobimo pravilo:

Če želite pomnožiti celo število z ulomkom, morate celo število pomnožiti s števcem ulomka in narediti ta produkt števec, imenovalec tega ulomka pa podpisati kot imenovalec.

Zapišimo to pravilo s črkami:

Da bo to pravilo popolnoma jasno, si je treba zapomniti, da lahko ulomek obravnavamo kot količnik. Zato je koristno najdeno pravilo primerjati s pravilom za množenje števila s količnikom, ki je bilo določeno v 38. §.

Pomembno si je zapomniti, da morate pred izvajanjem množenja narediti (če je mogoče) zmanjšanja, Na primer:

4. Množenje ulomka z ulomkom. Množenje ulomka z ulomkom ima enak pomen kot množenje celega števila z ulomkom, tj. pri množenju ulomka z ulomkom morate najti ulomek, ki je v faktorju iz prvega ulomka (množenik).

Namreč pomnožiti 3/4 z 1/2 (polovico) pomeni najti polovico 3/4.

Kako pomnožiš ulomek z ulomkom?

Vzemimo primer: 3/4 pomnoženo s 5/7. To pomeni, da morate najti 5/7 od 3/4. Najprej poiščimo 1/7 od 3/4 in nato 5/7

1/7 števila 3/4 bo izražena kot sledi:

5/7 številke 3/4 bodo izražene na naslednji način:

torej

Drug primer: 5/8 pomnoženo s 4/9.

1/9 od 5/8 je,

4/9 števila 5/8 je .

torej

Iz teh primerov je mogoče razbrati naslednje pravilo:

Če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate števec pomnožiti s števcem in imenovalec z imenovalcem, pri čemer bo prvi produkt števec, drugi produkt pa imenovalec produkta.

To je pravilo v splošni pogled lahko zapišemo takole:

Pri množenju je treba (če je mogoče) zmanjšati. Poglejmo si primere:

5. Množenje mešanih števil. Ker je mešana števila zlahka zamenjati z nepravilnimi ulomki, se ta okoliščina običajno uporablja pri množenju mešanih števil. To pomeni, da se v primerih, ko sta množitelj ali množitelj ali oba faktorja izražena kot mešana števila, nadomestita z nepravilnimi ulomki. Pomnožimo na primer mešana števila: 2 1/2 in 3 1/5. Vsakega od njih spremenimo v nepravi ulomek in nato dobljene ulomke pomnožimo po pravilu za množenje ulomka z ulomkom:

Pravilo.Če želite pomnožiti mešana števila, jih morate najprej pretvoriti v neprave ulomke in jih nato pomnožiti po pravilu za množenje ulomkov z ulomki.

Opomba.Če je eden od faktorjev celo število, se lahko množenje izvede na podlagi distribucijskega zakona, kot sledi:

6. Koncept obresti. Pri reševanju nalog in izvajanju različnih praktičnih izračunov uporabljamo vse vrste ulomkov. Vendar se je treba zavedati, da številne količine zanje ne dopuščajo kakršnih koli, temveč naravne delitve. Na primer, lahko vzamete stotinko (1/100) rublja, to bo kopejka, dve stotinki je 2 kopejka, tri stotinke pa 3 kopejka. Lahko vzamete 1/10 rublja, to bo "10 kopeck ali kos za deset kopecks". Lahko vzamete četrt rublja, to je 25 kopecks, pol rublja, to je 50 kopecks (petdeset kopecks). Ampak praktično ne jemljejo, na primer 2/7 rublja, ker rubelj ni razdeljen na sedmine.

Enota teže, to je kilogram, omogoča predvsem decimalno deljenje, na primer 1/10 kg ali 100 g. In takšni deli kilograma, kot so 1/6, 1/11, 1/13, niso pogosti.

Na splošno so naše (metrične) mere decimalne in omogočajo decimalno deljenje.

Vendar je treba opozoriti, da je zelo uporabno in priročno v najrazličnejših primerih uporabljati enak (enoten) način delitve količin. Dolgoletne izkušnje so pokazale, da je tako upravičena delitev na »stotinko«. Poglejmo več primerov, ki se nanašajo na najrazličnejša področja človeške prakse.

1. Cena knjig se je znižala za 12/100 prejšnje cene.

Primer. Prejšnja cena knjige je bila 10 rubljev. Zmanjšal se je za 1 rubelj. 20 kopejk

2. Hranilnice izplačajo vlagateljem med letom 2/100 zneska varčevanja.

Primer. 500 rubljev se položi v blagajno, dohodek od tega zneska za leto je 10 rubljev.

3. Število diplomantov ene šole je bilo 5/100 celotnega števila dijakov.

PRIMER Na šoli je bilo le 1200 dijakov, od tega jih je 60 maturiralo.

Stotinko števila imenujemo odstotek.

Beseda "odstotek" je izposojena iz latinski jezik in njen koren "cent" pomeni sto. Skupaj s predlogom (pro centum) ta beseda pomeni »za sto«. Pomen takega izraza izhaja iz dejstva, da sprva v stari Rim obresti so bile denar, ki ga je dolžnik plačal posojilodajalcu »za vsakih sto«. Besedo "cent" slišimo v tako znanih besedah: centner (sto kilogramov), centimeter (recimo centimeter).

Na primer, namesto da rečemo, da je bila tovarna v preteklem mesecu proizvedla 1/100 vseh izdelkov, ki jih je proizvedla, z napako, bomo rekli tole: v preteklem mesecu je tovarna proizvedla en odstotek napak. Namesto da je obrat proizvedel 4/100 izdelkov več od postavljenega plana, bomo rekli: obrat je plan presegel za 4 odstotke.

Zgornje primere je mogoče izraziti drugače:

1. Cene knjig so se znižale za 12 odstotkov prejšnje cene.

2. Hranilnice plačujejo vlagateljem 2 odstotka letno od zneska, položenega v prihrankih.

3. Število maturantov ene šole je bilo 5 odstotkov vseh dijakov.

Za skrajšanje črke je običajno namesto besede "odstotek" napisati simbol %.

Vendar se morate zavedati, da pri izračunih znak % običajno ni zapisan, lahko je zapisan v izjavi o nalogi in v končnem rezultatu. Pri izračunih morate namesto celega števila s tem simbolom napisati ulomek z imenovalcem 100.

Celo število z navedeno ikono morate znati zamenjati z ulomkom z imenovalcem 100:

Nasprotno pa se morate navaditi pisati celo število z navedenim simbolom namesto ulomka z imenovalcem 100:

7. Iskanje odstotka danega števila.

Naloga 1.Šola je dobila 200 kubičnih metrov. m drv, od tega 30 % brezovih drv. Koliko je bilo brezovih drv?

Pomen tega problema je v tem, da so brezova drva predstavljala le del drv, ki so bila dostavljena šoli, in ta del je izražen v razmerju 30/100. To pomeni, da imamo nalogo najti ulomek števila. Da bi jo rešili, moramo 200 pomnožiti s 30/100 (probleme iskanja ulomka števila rešujemo tako, da število pomnožimo z ulomkom.).

To pomeni, da je 30 % od 200 enako 60.

Ulomek 30/100, na katerega naletimo v tem problemu, je mogoče zmanjšati za 10. To zmanjšanje bi bilo možno izvesti že od samega začetka; rešitev problema se ne bi spremenila.

Naloga 2. V taborišču je bilo 300 otrok različnih starosti. Otroci stari 11 let so predstavljali 21 %, otroci stari 12 let 61 % in končno 18 % otroci stari 13 let. Koliko otrok vsake starosti je bilo v taborišču?

V tej nalogi morate izvesti tri izračune, tj. zaporedno poiskati število otrok, starih 11 let, nato 12 let in nazadnje 13 let.

To pomeni, da boste morali tukaj trikrat najti ulomek števila. Naredimo to:

1) Koliko je bilo 11-letnih otrok?

2) Koliko je bilo 12-letnih otrok?

3) Koliko je bilo 13-letnih otrok?

Po rešitvi problema je koristno sešteti najdena števila; njihova vsota naj bo 300:

63 + 183 + 54 = 300

Upoštevati je treba tudi, da je vsota odstotkov, navedenih v izjavi o problemu, 100:

21% + 61% + 18% = 100%

To nakazuje, da skupno število otroci v taborišču so bili vzeti kot 100 %.

3 a d a h a 3. Delavec je prejel 1200 rubljev na mesec. Od tega je 65 % porabil za hrano, 6 % za stanovanja in ogrevanje, 4 % za plin, elektriko in radio, 10 % za kulturne potrebe in 15 % prihranil. Koliko denarja je bilo porabljenega za potrebe, navedene v problemu?

Če želite rešiti to težavo, morate 5-krat najti ulomek 1200. Naredimo to.

1) Koliko denarja je bilo porabljenega za hrano? Problem pravi, da je ta strošek 65 % celotnega zaslužka, torej 65/100 od števila 1200. Naredimo izračun:

2) Koliko denarja ste plačali za stanovanje z ogrevanjem? S podobnim razmišljanjem kot prejšnji pridemo do naslednjega izračuna:

3) Koliko denarja ste plačali za plin, elektriko in radio?

4) Koliko denarja je bilo porabljenega za kulturne potrebe?

5) Koliko denarja je delavec privarčeval?

Za preverjanje je koristno sešteti števila, ki jih najdete v teh 5 vprašanjih. Znesek mora biti 1200 rubljev. Vsi zaslužki so vzeti kot 100 %, kar je enostavno preveriti tako, da seštejete odstotne številke, navedene v izjavi o problemu.

Rešili smo tri težave. Kljub temu, da so se ti problemi nanašali na različne stvari (dostava drv za šolo, število otrok različnih starosti, stroški delavca), so jih reševali na enak način. To se je zgodilo, ker je bilo pri vseh nalogah potrebno najti več odstotkov danih števil.

§ 90. Delitev ulomkov.

Ko preučujemo deljenje ulomkov, bomo obravnavali naslednja vprašanja:

1. Deli celo število s celim številom.
2. Deljenje ulomka s celim številom
3. Deljenje celega števila z ulomkom.
4. Deljenje ulomka z ulomkom.
5. Deljenje mešanih števil.
6. Iskanje števila iz njegovega danega ulomka.
7. Iskanje števila po odstotku.

Razmislimo o njih zaporedno.

1. Deli celo število s celim številom.

Kot je bilo navedeno v razdelku o celih številih, je deljenje dejanje, ki sestoji iz dejstva, da se glede na zmnožek dveh faktorjev (dividend) in enega od teh faktorjev (delitelj) najde drug faktor.

V razdelku o celih številih smo si ogledali deljenje celega števila s celim številom. Tam smo naleteli na dva primera deljenja: deljenje brez ostanka oziroma »v celoti« (150 : 10 = 15) in deljenje z ostankom (100 : 9 = 11 in 1 ostanek). Lahko torej rečemo, da na področju celih števil natančna delitev ni vedno mogoča, saj dividenda ni vedno zmnožek delitelja s celim številom. Po uvedbi množenja z ulomkom lahko štejemo za možne vse primere deljenja celih števil (izključeno je le deljenje z ničlo).

Na primer, deljenje 7 z 12 pomeni iskanje števila, katerega produkt z 12 bi bil enak 7. Takšno število je ulomek 7/12, ker je 7/12 12 = 7. Drug primer: 14: 25 = 14 / 25, ker je 14 / 25 25 = 14.

Torej, če želite deliti celo število s celim številom, morate ustvariti ulomek, katerega števec je enak dividendi in imenovalec enak delitelju.

2. Deljenje ulomka s celim številom.

Delite ulomek 6/7 s 3. V skladu z definicijo deljenja, podano zgoraj, imamo tukaj produkt (6/7) in enega od faktorjev (3); potrebno je poiskati drugi faktor, ki bi, če bi ga pomnožili s 3, dal dani produkt 6/7. Očitno bi moral biti trikrat manjši od tega izdelka. To pomeni, da je bila pred nami postavljena naloga zmanjšati ulomek 6/7 za 3-krat.

Vemo že, da lahko ulomek skrajšamo tako, da zmanjšamo njegov števec ali povečamo njegov imenovalec. Zato lahko napišete:

IN v tem primeruŠtevec števila 6 je deljiv s 3, zato je treba števec razpoloviti.

Vzemimo drug primer: 5/8 deljeno z 2. Tukaj števec 5 ni deljiv z 2, kar pomeni, da bo treba imenovalec pomnožiti s tem številom:

Na podlagi tega je mogoče narediti pravilo: Če želite deliti ulomek s celim številom, morate števec ulomka deliti s tem celim številom.(če je možno), pustite enak imenovalec ali pa pomnožite imenovalec ulomka s tem številom in pustite enak števec.

3. Deljenje celega števila z ulomkom.

Naj bo treba 5 deliti z 1/2, tj. najti število, ki bo po množenju z 1/2 dalo produkt 5. Očitno mora biti to število večje od 5, saj je 1/2 pravi ulomek , pri množenju števila pa mora biti produkt pravilnega ulomka manjši od produkta, ki ga množimo. Da bo to bolj jasno, zapišimo svoja dejanja takole: 5: 1 / 2 = X , kar pomeni x 1/2 = 5.

Takšno številko moramo najti X , kar bi, če bi ga pomnožili z 1/2, dalo 5. Ker množenje določenega števila z 1/2 pomeni iskanje 1/2 tega števila, potem je torej 1/2 neznanega števila X je enako 5 in celo število X dvakrat toliko, tj. 5 2 = 10.

Torej 5: 1/2 = 5 2 = 10

Preverimo:

Poglejmo še en primer. Recimo, da želite 6 deliti z 2/3. Najprej poskusimo najti želeni rezultat s pomočjo risbe (slika 19).

Slika 19

Narišimo odsek AB, ki je enak 6 enotam, in vsako enoto razdelimo na 3 enake dele. V vsaki enoti so tri tretjine (3/3) celotnega segmenta AB 6-krat večje, tj. e. 18/3. Z majhnimi oklepaji povežemo 18 nastalih segmentov 2; Segmentov bo samo 9. To pomeni, da je ulomek 2/3 vsebovan v 6 enotah 9-krat, ali z drugimi besedami, ulomek 2/3 je 9-krat manjši od 6 celih enot. torej

Kako do tega rezultata brez risbe samo z izračuni? Recimo takole: 6 moramo deliti z 2/3, tj. odgovoriti moramo na vprašanje, kolikokrat 2/3 vsebuje 6. Ugotovimo najprej: kolikokrat 1/3 vsebuje 6? V celi enoti so 3 tretjine, v 6 enotah pa 6-krat več, to je 18 tretjin; da bi našli to število, moramo 6 pomnožiti s 3. To pomeni, da je 1/3 vsebovana v b enotah 18-krat, 2/3 pa je vsebovana v b enotah ne 18-krat, ampak polovico manj, tj. 18: 2 = 9 Zato smo pri deljenju 6 z 2/3 storili naslednje:

Od tu dobimo pravilo za deljenje celega števila z ulomkom. Če želite celo število deliti z ulomkom, morate to celo število pomnožiti z imenovalcem danega ulomka in tako, da je ta produkt števec, ga deliti s števcem danega ulomka.

Zapišimo pravilo s črkami:

Da bo to pravilo popolnoma jasno, si je treba zapomniti, da lahko ulomek obravnavamo kot količnik. Zato je koristno ugotovljeno pravilo primerjati s pravilom za deljenje števila s količnikom, ki je bilo določeno v 38. §. Upoštevajte, da je bila tam pridobljena ista formula.

Pri delitvi so možne okrajšave, npr.

4. Deljenje ulomka z ulomkom.

Recimo, da moramo 3/4 deliti s 3/8. Kaj pomeni število, ki nastane pri deljenju? Odgovoril bo na vprašanje, kolikokrat je ulomek 3/8 vsebovan v ulomku 3/4. Da bi razumeli to težavo, naredimo risbo (slika 20).

Vzemimo odsek AB, ga vzemimo kot enega, ga razdelimo na 4 enake dele in označimo 3 take dele. Odsek AC bo enak 3/4 segmenta AB. Razdelimo zdaj vsakega od štirih prvotnih segmentov na pol, potem bo segment AB razdeljen na 8 enakih delov in vsak tak del bo enak 1/8 segmenta AB. Povežimo 3 takšne segmente z loki, potem bo vsak od segmentov AD in DC enak 3/8 segmenta AB. Risba kaže, da je segment, enak 3/8, vsebovan v segmentu, ki je enak 3/4, točno 2-krat; To pomeni, da lahko rezultat deljenja zapišemo takole:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Poglejmo še en primer. Recimo, da moramo 15/16 deliti s 3/32:

Lahko sklepamo takole: najti moramo število, ki bo po množenju s 3/32 dalo produkt enak 15/16. Zapišimo izračune takole:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 neznana številka X so 15/16

1/32 neznanega števila X je,

32/32 številke X pobotati se .

torej

Torej, če želite deliti ulomek z ulomkom, morate števec prvega ulomka pomnožiti z imenovalcem drugega in imenovalec prvega ulomka s števcem drugega in prvi produkt narediti števec, drugi pa imenovalec.

Zapišimo pravilo s črkami:

Pri delitvi so možne okrajšave, npr.

5. Deljenje mešanih števil.

Pri deljenju mešanih števil jih je treba najprej pretvoriti v neprave ulomke, nato pa nastale ulomke deliti po pravilih za deljenje ulomkov. Poglejmo primer:

Pretvorimo mešana števila v nepravilne ulomke:

Zdaj pa razdelimo:

Če želite deliti mešana števila, jih morate torej pretvoriti v neprave ulomke in nato deliti po pravilu za deljenje ulomkov.

6. Iskanje števila iz njegovega danega ulomka.

Med različnimi težavami z ulomki so včasih tudi takšne, v katerih je podana vrednost nekega ulomka neznanega števila in to število morate najti. Ta vrsta problema bo inverzna problemu iskanja ulomka danega števila; tam je bilo podano število in bilo je potrebno najti nek delček tega števila, tukaj je bil podan delček števila in zahtevano je bilo najti to število samo. Ta ideja bo postala še bolj jasna, če se bomo posvetili reševanju tovrstnih problemov.

Naloga 1. Prvi dan so steklarji zasteklili 50 oken, kar je 1/3 vseh oken zgrajene hiše. Koliko oken je v tej hiši?

rešitev. Problem pravi, da 50 zastekljenih oken predstavlja 1/3 vseh oken v hiši, kar pomeni, da je vseh oken 3x več, tj.

Hiša je imela 150 oken.

Naloga 2. V trgovini so prodali 1500 kg moke, kar je 3/8 celotne zaloge moke v trgovini. Kakšna je bila začetna zaloga moke v trgovini?

rešitev. Iz pogojev problema je razvidno, da 1500 kg prodane moke predstavlja 3/8 celotne zaloge; to pomeni, da bo 1/8 te rezerve 3-krat manjša, tj. da jo izračunate, morate 1500 zmanjšati za 3-krat:

1.500 : 3 = 500 (to je 1/8 rezerve).

Očitno bo celotna ponudba 8-krat večja. torej

500 8 = 4000 (kg).

Začetna zaloga moke v trgovini je bila 4000 kg.

Iz obravnave tega problema je mogoče izpeljati naslednje pravilo.

Če želite najti število iz dane vrednosti njegovega ulomka, je dovolj, da to vrednost delite s števcem ulomka in rezultat pomnožite z imenovalcem ulomka.

Rešili smo dve nalogi iskanja števila po danem ulomku. Takšne probleme, kot je še posebej razvidno iz zadnjega, rešujemo z dvema dejanjema: deljenjem (ko najdemo en del) in množenjem (ko najdemo celo število).

Ko pa smo se naučili deliti ulomke, lahko zgornje probleme rešimo z enim dejanjem, in sicer z deljenjem z ulomkom.

Na primer, zadnjo nalogo je mogoče rešiti z enim dejanjem, kot je ta:

V prihodnje bomo naloge iskanja števila iz njegovega ulomka reševali z enim dejanjem – deljenjem.

7. Iskanje števila po odstotku.

V teh nalogah boste morali najti število, ki pozna nekaj odstotkov tega števila.

Naloga 1. V začetku tega leta sem od hranilnice prejel 60 rubljev. dohodek od zneska, ki sem ga privarčeval pred enim letom. Koliko denarja sem dal v hranilnico? (Blagajne dajejo vlagateljem 2-odstotni donos na leto.)

Pomen problema je v tem, da sem dal določeno vsoto denarja v hranilnico in tam ostal eno leto. Po enem letu sem od nje prejel 60 rubljev. dohodka, kar je 2/100 denarja, ki sem ga položil. Koliko denarja sem vložil?

Posledično, če poznamo del tega denarja, izražen na dva načina (v rubljih in frakcijah), moramo najti celoten, še neznan znesek. To je navaden problem iskanja števila glede na njegov ulomek. Z delitvijo se rešujejo naslednji problemi:

To pomeni, da je bilo v hranilnici položenih 3000 rubljev.

Naloga 2. Mesečni načrt so ribiči v dveh tednih izpolnili za 64 % in ulovili 512 ton rib. Kakšen je bil njihov načrt?

Iz pogojev problema je razvidno, da so ribiči izpolnili del načrta. Ta del znaša 512 ton, kar je 64% načrta. Ne vemo, koliko ton rib je treba pripraviti po načrtu. Iskanje te številke bo rešitev problema.

Takšne težave se rešujejo z delitvijo:

To pomeni, da je po načrtu treba pripraviti 800 ton rib.

Naloga 3. Vlak je šel iz Rige v Moskvo. Ko je prevozil 276. kilometer, je eden od potnikov vprašal mimovozečega sprevodnika, koliko poti so že prevozili. Na to je sprevodnik odgovoril: "Prevozili smo že 30% celotne poti." Kakšna je razdalja od Rige do Moskve?

Iz pogojev problema je jasno, da je 30% poti od Rige do Moskve 276 km. Najti moramo celotno razdaljo med temi mesti, tj. za ta del najti celoto:

§ 91. Vzajemna števila. Zamenjava deljenja z množenjem.

Vzemimo ulomek 2/3 in nadomestimo števec namesto imenovalca, dobimo 3/2. Dobili smo inverzijo tega ulomka.

Če želite dobiti obratni ulomek, morate njegov števec postaviti namesto imenovalca in imenovalec namesto števca. Na ta način lahko dobimo recipročno vrednost katerega koli ulomka. Na primer:

3/4, vzvratno 4/3; 5/6, vzvratno 6/5

Dva ulomka, ki imata to lastnost, da je števec prvega imenovalec drugega, imenovalec prvega pa števec drugega, imenujemo medsebojno obratno.

Zdaj pa pomislimo, kateri ulomek bo recipročna vrednost 1/2. Očitno bo 2/1 ali samo 2. Z iskanjem inverznega ulomka danega smo dobili celo število. In ta primer ni osamljen; nasprotno, za vse ulomke s števcem 1 (ena) bodo recipročne vrednosti cela števila, na primer:

1/3, hrbtna stran 3; 1/5, vzvratno 5

Ker smo se pri iskanju vzajemnih ulomkov srečali tudi s celimi števili, v nadaljevanju ne bomo govorili o vzajemnih ulomkih, temveč o vzajemnih številih.

Ugotovimo, kako zapisati inverzno celo število. Za ulomke je to mogoče preprosto rešiti: namesto števca morate postaviti imenovalec. Na enak način lahko dobite inverzno vrednost celega števila, saj ima lahko vsako celo število imenovalec 1. To pomeni, da bo inverzna vrednost 7 1/7, ker je 7 = 7/1; za število 10 bo obratno 1/10, saj je 10 = 10/1

To idejo je mogoče izraziti drugače: recipročno vrednost danega števila dobimo tako, da ena delimo z dano številko . Ta trditev ne velja le za cela števila, ampak tudi za ulomke. Pravzaprav, če moramo zapisati inverzijo ulomka 5/9, potem lahko vzamemo 1 in ga delimo s 5/9, tj.

Zdaj pa poudarimo eno stvar premoženje recipročne številke, ki nam bodo koristile: produkt vzajemnih števil je enak ena. Prav zares:

Z uporabo te lastnosti lahko najdemo recipročna števila na naslednji način. Recimo, da moramo najti obratno število 8.

Označimo ga s črko X , nato 8 X = 1, torej X = 1/8. Poiščimo drugo število, ki je obratno od 7/12 in ga označimo s črko X , nato 7/12 X = 1, torej X = 1: 7 / 12 ali X = 12 / 7 .

Tu smo predstavili koncept recipročnih števil, da bi nekoliko dopolnili informacije o deljenju ulomkov.

Ko število 6 delimo s 3/5, naredimo naslednje:

Posebej bodi pozoren na izraz in ga primerjaj z danim: .

Če vzamemo izraz ločeno, brez povezave s prejšnjim, potem je nemogoče rešiti vprašanje, od kod izvira: iz deljenja 6 s 3/5 ali iz množenja 6 s 5/3. V obeh primerih se zgodi isto. Zato lahko rečemo da lahko deljenje enega števila z drugim nadomestimo z množenjem dividende z inverzno vrednostjo delitelja.

Primeri, ki jih navajamo spodaj, v celoti potrjujejo to ugotovitev.

Ulomek je en ali več delov celote, ki se običajno šteje za ena (1). Tako kot pri naravnih številih lahko tudi z ulomki izvajate vse osnovne aritmetične operacije (seštevanje, odštevanje, deljenje, množenje), za to pa morate poznati značilnosti dela z ulomki in razlikovati med njihovimi vrstami. Obstaja več vrst ulomkov: decimalni in navadni ali preprosti. Vsaka vrsta ulomkov ima svoje posebnosti, a ko boste temeljito razumeli, kako z njimi ravnati, boste lahko reševali poljubne primere z ulomki, saj boste poznali osnovne principe izvajanja aritmetičnega računanja z ulomki. Oglejmo si primere, kako deliti ulomek s celim številom z uporabo različni tipi ulomki.

Kako deliti preprost ulomek z naravnim številom?
Navadni ali enostavni ulomki so ulomki, ki so zapisani v obliki razmerja števil, pri katerem je na vrhu ulomka naveden delitelj (števec), na dnu pa delitelj (imenovalec) ulomka. Kako deliti tak ulomek s celim številom? Poglejmo primer! Recimo, da moramo 8/12 deliti z 2.

Če želite to narediti, moramo izvesti več dejanj:
Če se torej soočimo z nalogo deliti ulomek s celim številom, bo diagram rešitve videti nekako takole:

Na podoben način lahko vsak navaden (preprost) ulomek delimo s celim številom.

Kako decimalko deliti s celim številom?
Decimalka je ulomek, ki ga dobimo tako, da enoto delimo na deset, tisoč in tako naprej. Aritmetične operacije z decimalkami so precej preproste.

Poglejmo primer, kako delimo ulomek s celim številom. Recimo, da moramo decimalni ulomek 0,925 deliti z naravnim številom 5.

Če povzamemo, se osredotočimo na dve glavni točki, ki sta pomembni pri izvajanju operacije deljenja decimalnih ulomkov s celim številom:

• za ločitev decimalno Deljenje v stolpec se uporablja za naravno število;
  
• Vejica se v količniku postavi, ko je končano deljenje celotnega dela dividende.
  

Uporaba teh preprosta pravila, lahko kateri koli decimalni ali preprost ulomek vedno preprosto delite s celim številom.

T vrsta lekcije: ONZ (odkrivanje novih znanj – uporaba tehnologije dejavnosti poučevanja).

Osnovni cilji:

1. Izvesti načine deljenja ulomka z naravnim številom;
2. Razviti sposobnost deljenja ulomka z naravnim številom;
3. Ponovi in ​​utrdi deljenje ulomkov;
4. Urijo sposobnost zmanjševanja ulomkov, analiziranja in reševanja problemov.

Material za predstavitev opreme:

1. Naloge za obnavljanje znanja:

Primerjaj izraze:

Referenca:

2. Poskusna (individualna) naloga.

1. Izvedite delitev:

2. Izvedite deljenje, ne da bi opravili celotno verigo izračunov: .

Standardi:

• Ko delite ulomek z naravnim številom, lahko imenovalec pomnožite s tem številom, števec pa pustite enak.

• Če je števec deljiv z naravnim številom, potem lahko pri deljenju ulomka s tem številom števec delite s številom in pustite imenovalec enak.

Med poukom

I. Motivacija (samoodločba) za izobraževalne dejavnosti.

Namen odra:

1. Organizirati posodobitev zahtev za študenta v smislu izobraževalnih dejavnosti (»mora«);
2. Organizirati dejavnosti študentov za vzpostavitev tematskih okvirov (»Lahko«);
3. Ustvarite pogoje, da učenec razvije notranjo potrebo po vključevanju v izobraževalne dejavnosti (»želim«).

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji I.

Zdravo! Vesel sem, da vas vse vidim pri uri matematike. Upam, da je obojestransko.

Fantje, kakšno novo znanje ste pridobili v zadnji lekciji? (Deli ulomke).

Prav. Kaj vam pomaga pri deljenju ulomkov? (Pravilo, lastnosti).

Kje potrebujemo to znanje? (V primerih, enačbah, nalogah).

Dobro opravljeno! Naloge v zadnji lekciji ste dobro opravili. Želiš danes sam odkriti nova znanja? (da).

Potem pa - gremo! In moto lekcije bo izjava: "Matematike se ne moreš naučiti tako, da gledaš svojega soseda, kako to počne!"

II. Posodabljanje znanja in odpravljanje individualnih težav v poskusni akciji.

Namen odra:

1. Organizirajte posodabljanje naučenih metod delovanja, ki zadostujejo za izgradnjo novega znanja. Zapišite te metode verbalno (v govoru) in simbolno (standard) ter jih posplošite;
2. Organizirati aktualizacijo miselnih operacij in kognitivnih procesov, ki zadostujejo za konstruiranje novega znanja;
3. Motivirati za poskusno dejanje ter njegovo samostojno izvedbo in utemeljitev;
4. Predstaviti posamezno nalogo za poskusno akcijo in jo analizirati z namenom prepoznavanja novih izobraževalnih vsebin;
5. Organizirajte fiksacijo izobraževalnega cilja in teme lekcije;
6. Organizirati izvedbo poskusne akcije in odpraviti težavo;
7. Organizirajte analizo prejetih odgovorov in zabeležite posamezne težave pri izvajanju poskusne akcije ali utemeljitvi le-te.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji II.

Frontalno s pomočjo tablic (posamezne table).

1. Primerjaj izraze:

(Ti izrazi so enaki)

Kaj zanimivega ste opazili? (Števec in imenovalec dividende, števec in imenovalec delitelja v vsakem izrazu sta povečana za enako število krat. Tako so dividende in delitelji v izrazih predstavljeni z medsebojno enakimi ulomki).

Poiščite pomen izraza in ga zapišite na tablico. (2)

Kako lahko to število zapišem kot ulomek?

Kako ste izvedli dejanje delitve? (Otroci izgovorijo pravilo, učitelj nalepi črkovne simbole na tablo)

2. Izračunajte in zabeležite samo rezultate:

3. Seštejte rezultate in zapišite odgovor. (2)

Kako se imenuje število, dobljeno v 3. nalogi? (Naravno)

Ali menite, da lahko ulomek delite z naravnim številom? (Da, poskusili bomo)

Poskusite to.

4. Individualna (poskusna) naloga.

Izvedite deljenje: (samo primer a)

Katero pravilo ste uporabili za delitev? (Po pravilu deljenja ulomkov z ulomki)

Zdaj delite ulomek z naravnim številom, večjim od na preprost način, brez izvedbe celotne verige izračunov: (primer b). Dam ti 3 sekunde za to.

Kdo ni mogel opraviti naloge v 3 sekundah?

Kdo je to naredil? (Takšnih ni)

Zakaj? (Ne poznamo poti)

Kaj si dobil? (Težavnost)

Kaj mislite, kaj bomo počeli v razredu? (Deli ulomke z naravnimi števili)

Tako je, odprite zvezke in zapišite temo lekcije: “Deljenje ulomka z naravnim številom.”

Zakaj se ta tema zdi nova, ko pa že veste, kako deliti ulomke? (Potrebujem nov način)

Prav. Danes bomo vzpostavili tehniko, ki poenostavlja deljenje ulomka z naravnim številom.

III. Identifikacija lokacije in vzroka težave.

Namen odra:

1. Organizirati obnovo izvedenih operacij in zabeležiti (besedno in simbolično) mesto – korak, operacijo – kjer je nastala težava;
2. Organizirajte korelacijo dejanj učencev z uporabljeno metodo (algoritmom) in fiksacijo v zunanjem govoru vzroka težave - tistega specifičnega znanja, spretnosti ali sposobnosti, ki manjkajo za rešitev začetnega problema te vrste.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji III.

Katero nalogo ste morali opraviti? (Deli ulomek z naravnim številom, ne da bi šel skozi celotno verigo izračunov)

Kaj vam je povzročalo težave? (Nisem se mogel odločiti za kratek čas hiter način)

Kakšen cilj si zastavimo v lekciji? (Najti hiter način deljenje ulomka z naravnim številom)

Kaj vam bo pomagalo? (Že znano pravilo za deljenje ulomkov)

IV. Gradnja projekta za izhod iz težave.

Namen odra:

1. Pojasnitev cilja projekta;
2. Izbira metode (razjasnitev);
3. Določitev srednjih vrednosti (algoritem);
4. Izdelava načrta za dosego cilja.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji IV.

Vrnimo se k testni nalogi. Rekli ste, da ste delili po pravilu za deljenje ulomkov? (Da)

Če želite to narediti, nadomestite naravno število z ulomkom? (Da)

Kateri korak (ali korake) je po vašem mnenju mogoče preskočiti?

(Veriga rešitev je odprta na tabli:

Analizirajte in naredite zaključek. (Korak 1)

Če odgovora ni, vas vodimo skozi vprašanja:

Kam je izginil naravni delilnik? (V imenovalec)

Ali se je števec spremenil? (Ne)

Kateri korak torej lahko "izpustite"? (Korak 1)

Akcijski načrt:

• Pomnožite imenovalec ulomka z naravnim številom.
• Števnika ne spreminjamo.
• Dobimo nov ulomek.

V. Izvedba izdelanega projekta.

Namen odra:

1. Organizirati komunikacijsko interakcijo za izvedbo izdelanega projekta, namenjenega pridobivanju manjkajočega znanja;
2. Organizirajte snemanje konstruirane metode dejanja v govoru in znakih (z uporabo standarda);
3. Organizirajte rešitev začetnega problema in zabeležite, kako premagati težavo;
4. Organizirajte razjasnitev splošno novo znanje.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji V.

Zdaj hitro zaženite testni primer na nov način.

Zdaj ste lahko hitro opravili nalogo? (Da)

Pojasnite, kako ste to naredili? (otroci govorijo)

To pomeni, da smo pridobili novo znanje: pravilo za deljenje ulomka z naravnim številom.

Dobro opravljeno! Povejte v parih.

Nato en učenec spregovori razredu. Pravilo-algoritem pritrdimo ustno in v obliki standarda na tablo.

Zdaj vnesite oznake črk in zapišite formulo za naše pravilo.

Učenec zapiše na tablo in pove pravilo: ko delimo ulomek z naravnim številom, lahko imenovalec pomnožimo s tem številom, števec pa pustimo enak.

(Vsi si zapišejo formulo v zvezke).

Zdaj ponovno analizirajte verigo reševanja testne naloge, pri čemer bodite posebno pozorni na odgovor. Kaj si naredil? (Števec ulomka 15 smo delili (pomanjšali) s številom 3)

Kakšna je ta številka? (Naravno, delilec)

Kako drugače lahko delite ulomek z naravnim številom? (Preveri: če je števec ulomka deljiv s tem naravnim številom, potem lahko števec deliš s tem številom, rezultat zapišeš v števec novega ulomka, imenovalec pa pustiš enak)

Zapišite to metodo kot formulo. (Učenec med izgovarjanjem zapiše pravilo na tablo. Formulo si vsi zapišejo v zvezek.)

Vrnimo se k prvi metodi. Lahko ga uporabite, če a:n? (Da splošna metoda)

In kdaj je priročno uporabiti drugo metodo? (Ko števec ulomka delimo z naravnim številom brez ostanka)

VI. Primarna konsolidacija z izgovorjavo v zunanjem govoru.

Namen odra:

1. Organizirajte otrokovo asimilacijo nove metode delovanja pri reševanju standardnih problemov z njihovo izgovorjavo v zunanjem govoru (frontalno, v parih ali skupinah).

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji VI.

Izračunajte na nov način:

• Št. 363 (a; d) - izvaja se na tabli, izgovarja pravilo.
• Št. 363 (e; f) - v parih s preverjanjem po vzorcu.

VII. Samostojno delo s samotestiranjem po standardu.

Namen odra:

1. Organizirati samostojno opravljanje nalog učencev za nov način delovanja;
2. Organizirati samotestiranje na podlagi primerjave s standardom;
3. Na podlagi rezultatov izvedbe samostojno delo organizirati razmislek o asimilaciji novega načina delovanja.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji VII.

Izračunajte na nov način:

• št. 363 (b; c)

Učenci preverijo standard in ocenijo pravilnost izvedbe. Vzroke za napake analiziramo in napake odpravimo.

Učitelj vpraša tiste učence, ki so delali napake, kaj je razlog?

Na tej stopnji je pomembno, da vsak študent samostojno preveri svoje delo.

VIII. Vključevanje v sistem znanja in ponavljanje.

Namen odra:

1. Organizirati identifikacijo meja uporabe novega znanja;
2. Organizirajte ponavljanje izobraževalnih vsebin, potrebnih za zagotovitev smiselne kontinuitete.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji VIII.

Organizirajte beleženje nerešenih težav pri pouku kot usmeritev za prihodnje izobraževalne dejavnosti;

Organizirajte pogovor in snemanje domačih nalog.

Organizacija izobraževalnega procesa na stopnji IX.

1. Dialog:

Fantje, katera nova znanja ste danes odkrili? (Naučili so se na preprost način deliti ulomek z naravnim številom)

Oblikujte splošno metodo. (Pravijo)

Na kakšen način in v katerih primerih ga lahko uporabite? (Pravijo)

Kakšna je prednost nove metode?

Ali smo dosegli cilj lekcije? (Da)

Kakšno znanje ste uporabili za dosego cilja? (Pravijo)

Se vam je vse izšlo?

Kakšne so bile težave?

2. Domača naloga: klavzula 3.2.4.; št. 365(l, n, o, p); št. 370.

3. Učiteljica: Veseli me, da so bili danes vsi aktivni in so uspeli najti izhod iz stiske. In kar je najpomembneje, pri odpiranju in ustanavljanju novega niso bili sosedje. Hvala za lekcijo, otroci!