Kako najti najmanj pogost večkratnik od 3 števil. Vozlišče in št. Dveh števil, Evklidov algoritem

Kako najti LCM (najmanj pogost večkratnik)

Skupni večkratnik za dve celi številki je celo število, ki ga enakomerno delimo z obema danima števkama.

Najmanjši skupni dve celi številki je najmanjši od vseh celih števil, ki ga enakomerno delimo z obema danima števkama.

1. metoda... LCM lahko poiščete za vsako od danih števil in v naraščajočem vrstnem redu zapišete vsa števila, ki jih dobite tako, da jih pomnožite z 1, 2, 3, 4 in tako naprej.

Primer za številki 6 in 9.
Število 6 zaporedno pomnožimo z 1, 2, 3, 4, 5.
Dobimo: 6, 12, 18 , 24, 30
Število 9 zaporedno pomnožimo z 1, 2, 3, 4, 5.
Dobimo: 9, 18 , 27, 36, 45
Kot vidite, bo LCM za številki 6 in 9 18.

Ta metoda je primerna, kadar sta obe številki majhni in jih je enostavno pomnožiti z zaporedjem celih števil. Vendar pa obstajajo časi, ko morate najti LCM za dvomestne ali trimestne številke, pa tudi, ko so izvirne številke tri ali celo več.

2. metoda... LCM najdete tako, da izvirne številke razširite v enotne faktorje.
Po razširitvi je treba iz nastale vrste glavnih dejavnikov prečrtati enake številke. Preostala števila prvega števila bodo faktor za drugo, preostala števila drugega pa bodo faktor za prvo.

Primerza številki 75 in 60.
Najmanj večkratnik 75 in 60 je mogoče najti, če ne zapišemo večkratnikov teh številk zapored. Da bi to naredili, razdelimo 75 in 60 v glavne dejavnike:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kot lahko vidite, sta dejavnika 3 in 5 v obeh vrsticah. Mentalno jih prečrtamo.
Izpišimo preostale dejavnike, ki so vključeni v razgradnjo vsakega od teh števil. Pri razširitvi števila 75 imamo številko 5, pri razširitvi števila 60 pa 2 * 2
Torej za določitev LCM za števil 75 in 60 moramo preostala števila od razgradnje 75 (to je 5) pomnožiti s 60, številke, ki ostanejo pri razpadu števila 60 (to je 2 * 2), pa pomnožiti s 75. To pomeni za lažje razumevanje , pravimo, da se množimo "križno".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Tako smo našli LCM za številki 60 in 75. To je številka 300.

Primer... Za številke 12, 16, 24 določite LCM
V tem primeru bodo naša dejanja nekoliko bolj zapletena. Toda najprej, kot vedno, vsa števila razdelimo na glavne dejavnike
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Za pravilno določitev LCM izberemo najmanjše od vseh števil (to je številka 12) in zaporedoma preidemo njegove faktorje, če jih prečkamo, če ima vsaj ena od drugih serij števil enak, še ne prečrtan faktor.

Korak 1 . Vidimo, da se 2 * 2 pojavlja v vseh vrsticah števil. Prečrtaj jih.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Korak 2. V glavnih faktorjih števila 12 ostane samo številka 3. Vendar je v glavnih faktorjih števila 24. Prečrtajte številko 3 iz obeh vrstic, medtem ko za število 16 ni nobenega dejanja.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kot vidite, smo pri razširitvi števila 12 "prekrižali" vse številke. To pomeni, da je ugotovitev NOC zaključena. Ostaja le izračunati njegovo vrednost.
Za število 12 vzamemo preostale faktorje števila 16 (najbližje naraščajoče)
12 * 2 * 2 = 48
To je NOC

Kot lahko vidite, je bilo v tem primeru iskanje LCM nekoliko težje, ko pa ga morate najti za tri ali več številk, vam ta metoda omogoča hitrejše izvajanje. Vendar sta obe metodi iskanja LCM pravilni.

Razmislite o treh načinih, kako najti najmanj pogosto večkratnik.

Iskanje s faktoringom

Prvi način je najti najmanj pogosto množico, tako da te številke razvrstimo v glavne faktorje.

Predpostavimo, da moramo najti LCM števil: 99, 30 in 28. Če želite to narediti, razdelimo vsako od teh števil v glavne faktorje:

Da je želeno število deljivo z 99, 30 in 28, je potrebno in zadostno, da vanj vstopijo vsi glavni faktorji teh deliteljev. Da bi to naredili, moramo v čim večji moči prevzeti vse glavne faktorje teh števil in jih pomnožiti:

2 2 3 2 5 7 11 \u003d 13 860

Torej je LCM (99, 30, 28) \u003d 13 860. Nobeno drugo število, manjše od 13 860, je deljivo z 99, 30 ali 28.

Če želite najti najmanjši skupni večkratnik teh števil, jih morate razvrstiti v glavne faktorje in nato vzeti vsak glavni faktor z največjim kazalnikom, ki jih sreča, in te dejavnike pomnožiti skupaj.

Ker prvotne številke nimajo skupnih primarnih faktorjev, je njihov najmanj skupni večkratnik enak zmnožku teh števil. Na primer, tri številke: 20, 49 in 33 so medsebojno pomembne. torej

LCM (20, 49, 33) \u003d 20 49 33 \u003d 32 340.

Enako je treba storiti pri iskanju najmanj običajnega večkratnega primera. Na primer, LCM (3, 7, 11) \u003d 3 7 11 \u003d 231.

Iskanje po izbiri

Drugi način je, da z nameščanjem najdemo najmanj običajni večkratnik.

Primer 1. Ko je največje od danih števil v celoti razdeljeno z drugimi danimi števili, je LCM teh števil enak večjemu od njih. Na primer, če imamo štiri številke: 60, 30, 10 in 6. Vsaka od njih je deljiva s 60, torej:

LCM (60, 30, 10, 6) \u003d 60

V nasprotnem primeru se za iskanje najmanj skupnega večkratnika uporabi naslednji postopek:

1. Določite največje število danih števil.
2. Nato najdemo številke, ki so večkratne od največjega števila, ki jih pomnožimo z naravnimi števili v naraščajočem vrstnem redu in preverimo, ali so preostala podana števila ločljiva na rezultat.

Primer 2. Glede na tri številke 24, 3 in 18. Določite največje od njih - to je število 24. Nato poiščite številke, ki so večkratne od 24, in preverite, ali je vsako od njih deljivo na 18 in 3:

24 1 \u003d 24 - deljivo s 3, ne pa deljivo z 18.

24 2 \u003d 48 - deljivo s 3, ne pa s 18.

24 3 \u003d 72 - deljivo s 3 in 18.

Torej LCM (24, 3, 18) \u003d 72.

Iskanje z zaporednim iskanjem LCM

Tretji način je, da z zaporednim iskanjem LCM najdemo najmanj pogost večkratnik.

LCM dveh danih števil je enak zmnožku teh števil, deljenem z njunim največjim skupnim deliteljem.

Primer 1. Poiščimo LCM dveh danih števil: 12 in 8. Določimo njuni največji skupni delitelj: GCD (12, 8) \u003d 4. Pomnožimo te številke:

Delo razdelimo na njihov GCD:

Tako je LCM (12, 8) \u003d 24.

Če želite najti LCM treh ali več številk, uporabite naslednji postopek:

1. Najprej poiščite LCM katerega koli od danih števil.
2. Nato je LCM najdenega najmanj običajnega večkratnika in tretje dano število.
3. Nato LCM rezultirajočega najmanj skupnega večkratnika in četrtega in tako naprej.
4. Tako se iskanje LCM nadaljuje, dokler obstajajo številke.

Primer 2. Poiščimo LCM treh danih števil: 12, 8 in 9. LCM števil 12 in 8 smo že našli v prejšnjem primeru (to je število 24). Ostaja najti najmanj skupni večkratnik 24 in tretje dano število - 9. Določite njihov največji skupni delitelj: GCD (24, 9) \u003d 3. Pomnožite LCM s številom 9:

Delo razdelimo na njihov GCD:

Torej LCM (12, 8, 9) \u003d 72.

Spletni kalkulator vam omogoča hitro iskanje največjega skupnega faktorja in najmanj skupnega večkratnika tako za dve kot za katero koli drugo število številk.

Kalkulator za iskanje GCD in LCM

Poiščite GCD in LCM

Najdeno GCD in LCM: 6433

Kako uporabljati kalkulator

• V polje za vnos vnesite številke
• Če vnesete napačne znake, bo polje za vnos označeno z rdečo barvo
• kliknite gumb »Poišči GCD in LCM«

Kako vnesti številke

• Številke se vnesejo skozi presledek, točko ali vejico
• Dolžina vnesenih številk ni omejena, zato iskanje GCD in LCM dolgih številk ne bo težko

Kaj sta GCD in NOC?

Največji skupni delitelj več številk je največje naravno celo število, s katerim so vsa izvirna števila deljiva brez preostalih. Največji dejavnik je skrajšan kot Gcd.
Najmanj skupni večkratnik več številk je najmanjše število, ki ga je mogoče deliti z vsakim izvirnim številom brez preostanka. Najmanj večkratnik je okrajšan kot NOC.

Kako preveriti, ali je število brez delitve delljivo z drugo številko?

Če želite izvedeti, ali je ena številka deljiva z drugo brez preostalega, lahko uporabite nekatere lastnosti delitve števil. Nato lahko s kombiniranjem le-teh preverimo delljivost nekaterih od njih in njihovih kombinacij.

Nekateri znaki ločitve števil

1. Razdelitev števila na 2
Če želite ugotoviti, ali je število delljivo z dvema (ali je parno), je dovolj, da pogledamo zadnjo številko te številke: če je 0, 2, 4, 6 ali 8, potem je število enakomerno, kar pomeni, da je deljivo z 2.
Primer: ugotovite, ali je 34938 deljivo z 2.
Odločba: poglejte zadnjo številko: 8 - pomeni, da je število deljivo z dvema.

2. Znak delitve števila na 3
Število je deljivo s 3, če je vsota njegovih števk deljiva s tremi. Če želite ugotoviti, ali je število delljivo s 3, morate izračunati vsoto števk in preveriti, ali je deljiva s 3. Tudi če je vsota števk zelo velika, lahko ponovite isti postopek še enkrat.
Primer: ugotovite, ali je 34938 deljivo s 3.
Odločba: štejemo vsoto števk: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 \u003d 27,27 je deljiva s 3, kar pomeni, da je število deljivo s tremi.

3. Znak delitve števila na 5
Število je deljivo s 5, če je njegova zadnja številka nič ali pet.
Primer: ugotovite, ali je 34938 deljivo s 5.
Odločba: poglejte zadnjo številko: 8 pomeni, da številka NI deljiva na pet.

4. Znak delitve števila na 9
Ta lastnost je zelo podobna deljenju na tri: število je deljivo s 9, če je vsota njegovih števk deljiva z 9.
Primer: določite, ali je 34938 deljivo z 9.
Odločba: štejemo vsoto števk: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 \u003d 27,27 je deljiva z 9, kar pomeni, da je število deljivo z devetimi.

Kako najdemo GCD in LCM dveh številk

Kako najdemo gcd dveh številk

Najpreprostejši način izračuna največjega skupnega delitelja dveh števil je najti vse možne delitelje teh števil in izbrati največjega.

Razmislite o tej metodi na primeru iskanja GCD (28, 36):

1. Faktor obe številki: 28 \u003d 1 2 2 7, 36 \u003d 1 2 2 3 3
2. Najdemo skupne dejavnike, torej tiste, ki jih imata obe številki: 1, 2 in 2.
3. Izračunamo zmnožek teh faktorjev: 1 · 2 · 2 \u003d 4 - to je največji skupni delitelj števil 28 in 36.

Kako najti LCM dveh številk

Obstajata dva najpogostejša načina za iskanje najmanjšega števila dveh števil. Prvi način je, da lahko izpišete prve množice dveh števil in nato med njimi izberete takšno številko, ki bo skupna obema številom in hkrati najmanjša. In drugo je najti GCD teh številk. Upoštevajmo le to.

Za izračun LCM morate izračunati produkt izvirnih števil in ga nato razdeliti na predhodno najdeni GCD. Poiščite LCM za isti številki 28 in 36:

1. Poiščite zmnožek števil 28 in 36: 28 36 \u003d 1008
2. GCD (28, 36), kot je že znano, je enak 4
3. LCM (28, 36) \u003d 1008/4 \u003d 252.

Iskanje GCD in LCM za več številk

Največji skupni dejavnik je mogoče najti za več številk, ne samo za dve. V ta namen se številke, po katerih je treba iskati največji skupni faktor, razdelijo na glavne faktorje, nato pa najdemo produkt skupnih osnovnih faktorjev teh števil. Če želite najti GCD več številk, lahko uporabite naslednje razmerje: Gcd (a, b, c) \u003d gcd (gcd (a, b), c).

Podobno razmerje velja za najmanj pogosti večkratnik: LCM (a, b, c) \u003d LCM (LCM (a, b), c)

Primer: poiščite GCD in LCM za številke 12, 32 in 36.

1. Najprej izračunajte številke: 12 \u003d 1 2 2 3, 32 \u003d 1 2 2 2 2 2 2, 36 \u003d 1 2 2 3 3 3.
2. Poiščimo skupne dejavnike: 1, 2 in 2.
3. Njihov izdelek bo dal GCD: 1 2 2 \u003d 4
4. Poiščimo zdaj LCM: za to najprej najdemo LCM (12, 32): 12 32/4 \u003d 96.
5. Če želite najti LCM vseh treh števil, morate najti GCD (96, 36): 96 \u003d 1 2 2 2 2 2 2 3, 36 \u003d 1 2 2 3 3, GCD \u003d 1 2 2 3 \u003d 12.
6. LCM (12, 32, 36) \u003d 96 36/12 \u003d 288.

Pokliče se največje naravno število, s katerim sta števila a in b deljiva brez preostalih največji skupni dejavnik te številke. Označi gcd (a, b).

Razmislite o iskanju GCD na primeru dveh naravnih števil 18 in 60:

1 Razdelimo številke v glavne faktorje:
18 = 2 × 3 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

2 Iz razširitve prvega števila odstranimo vse dejavnike, ki niso vključeni v razgradnjo drugega števila 2 × 3 × 3 .

3 Po brisanju pomnožimo preostale primarne faktorje in dobimo največji skupni delitelj števil: GCD ( 18 , 60 )=2 × 3= 6 .

4 Upoštevajte, da ni pomembno, če prečrtamo dejavnike iz prve ali druge številke, rezultat bo enak:
18 = 2 × 3 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

324 , 111 in 432

Številke razdelimo na glavne dejavnike:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = 3 × 37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

Iz prve številke prečrtamo, katere dejavnike ni v drugem in tretjem številu, dobimo:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 \u003d 3

Kot rezultat, GCD ( 324 , 111 , 432 )=3

Iskanje GCD z uporabo Euclidovega algoritma

Drugi način za iskanje največjega skupnega delitelja z uporabo euklidov algoritem... Euclidov algoritem je najučinkovitejši način za iskanje Gcd, z njim morate nenehno poiskati preostanek delitve števil in se prijaviti ponavljajoča se formula.

Ponavljajoča se formula za gcd, GCD (a, b) \u003d GCD (b, mod b), kjer je mod b preostanek delitve a na b.

Euklidov algoritem

Primer Poiščite največji skupni delitelj števil 7920 in 594

Poišči GCD ( 7920 , 594 ) z uporabo evklidskega algoritma bomo preostali delitev izračunali s pomočjo kalkulatorja.

GCD ( 7920 , 594 )

GCD ( 594 , 7920 mod 594 ) \u003d Gcd ( 594 , 198 )

GCD ( 198 , 594 mod 198 ) \u003d Gcd ( 198 , 0 )

GCD ( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod 594 \u003d 7920 - 13 × 594 \u003d 198
• 594 mod 198 \u003d 594 - 3 × 198 \u003d 0

Kot rezultat dobimo GCD ( 7920 , 594 ) = 198

Najmanj skupni večkratnik

Če želite najti skupni imenovalec pri seštevanju in odštevanju ulomkov z različnimi imenovalci, morate vedeti in znati izračunati najmanj skupni večkratnik (NOC).

Množica "a" je številka, ki je sama deljiva s številom "a" brez preostalih.

Števila, ki so večkratna od 8 (to pomeni, da bodo te številke brez preostalega deljene z 8): to so številke 16, 24, 32 ...

Večkratniki 9: 18, 27, 36, 45 ...

Obstaja neskončno veliko števil, ki so množice določenega števila a, v nasprotju z delitelji istega števila. Delitelji so končno število.

Skupni večkratnik dveh naravnih števil je število, ki ju delimo obe številki.

Najmanj skupni večkratnik (LCM) dveh ali več naravnih številk imenujemo najmanjše naravno število, ki je samo enakomerno delljivo z vsakim od teh števil.

Kako najti NOC

LCM je mogoče najti in napisati na dva načina.

Prvi način za iskanje LCM

Ta metoda se običajno uporablja za majhne številke.

1. Za vsako številko v vrstici zapišite večkratnike, dokler ne obstaja večkratnik, ki je enak za obe številki.
2. Množica števila "a" je označena z veliko začetnico "K".

Primer. Poiščite LCM 6 in 8.

Drugi način za iskanje LCM

Ta način je primeren za iskanje LCM za tri ali več številk.

Število enakih faktorjev v razširitvah števil je lahko različno.

V razširitvi manjšega števila (manjših številk) poudarite dejavnike, ki niso vključeni v širitev večjega števila (v našem primeru je 2) in dodajte te dejavnike k razširitvi večjega števila.
LCM (24, 60) \u003d 2 2 3 5 2

V odgovor zapišite nastalo delo.
Odgovor: LCM (24, 60) \u003d 120

Iskanje najmanj skupnega večkratnika (LCM) je mogoče tudi formalizirati na naslednji način. Poiščite LCM (12, 16, 24).

24 \u003d 2 2 2 3

Kot je razvidno iz širitve števil, so v razširitev 24 (največje od številk) vključeni vsi dejavniki 12, zato od razširitve 16 na LCM dodamo le enega 2.

LCM (12, 16, 24) \u003d 2 2 2 3 2 \u003d 48

Odgovor: LCM (12, 16, 24) \u003d 48

Posebni primeri ugotovitve NOC

Če je eno od števil ločeno z drugimi, potem je najmanjši skupni večkratnik teh števil enak temu številu.

Na primer, LCM (60, 15) \u003d 60
Ker števila prvotnih števil nimajo skupnih primarnih deliteljev, je njihov najmanj skupni večkratnik enak zmnožku teh števil.

Na našem spletnem mestu lahko uporabite tudi poseben kalkulator, če želite poiskati najmanj običajne večkratnike v spletu in preveriti svoje izračune.

Če je naravno število deljivo samo z 1 in samo po sebi, potem se imenuje prazno.

Vsako naravno število je vedno deljivo z 1 in samo po sebi.

Številka 2 je najmanjše prvo število. To je edino četrto prvo število, vsi ostali primeri so neparni.

Preštevilnih števil je veliko, prvo med njimi pa je številka 2. Vendar ni zadnjega preprostega števila. V razdelku "Za študij" lahko prenesete tabelo s številkami do 997.

Toda številna naravna števila enakomerno delimo z drugimi naravnimi števili.

• število 12 je razdeljeno z 1, 2, 3, 4, 6, 12;
• 36 je deljiv z 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Številke, s katerimi je število enakomerno deljivo (za 12 je 1, 2, 3, 4, 6 in 12), se imenujejo delitelji števila.

Delitelj naravnega števila a je naravno število, ki dodeli dano število "a" brez preostanka.

Naravno število, ki ima več kot dva delitelja, se imenuje sestavljeno.

Upoštevajte, da imata številki 12 in 36 skupne dejavnike. To so številke: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Največji delitelj teh številk je 12.

Skupni delitelj dveh danih števil "a" in "b" je število, s katerim sta obe dani številki "a" in "b" deljivi brez preostalih.

Največji skupni delitelj (GCD) dveh danih števil "a" in "b" je največje število, s katerim sta obe številki "a" in "b" deljivi brez preostalih.

Na kratko, največji skupni delitelj števil "a" in "b" je zapisan na naslednji način:

Primer: GCD (12; 36) \u003d 12.

Delitelji števil v zapisu rešitve so označeni z veliko začetnico "D".

Številki 7 in 9 imata le en skupni delitelj - številka 1. Takšne številke se imenujejo medsebojno prime števila.

Vzajemno preproste številke so naravna števila, ki imajo le en skupni delitelj - številka 1. Njihov GCD je 1.

Kako najti največji skupni dejavnik

Če želite najti GCD dveh ali več naravnih števil, morate:

• razdeliti delitve števil na osnovne faktorje;

Izračune je priročno napisati z navpično vrstico. Levo od vrstice najprej napišite dividendo, na desni - delitelj. Nato v levi stolpec zapišite vrednosti količnikov.

Naj takoj razložimo s primerom. Številki 28 in 64 razdelimo na glavna faktorja.

V obeh številkah poudarjamo iste glavne dejavnike.
28 \u003d 2 2 7

64 \u003d 2 2 2 2 2 2
Poiščite produkt enakih glavnih faktorjev in zapišite odgovor;
GCD (28; 64) \u003d 2 2 \u003d 4

Odgovor: GCD (28; 64) \u003d 4

Ugotovitev ugotovitve GCD sta dva načina: v stolpcu (kot smo storili zgoraj) ali v vrstici.

Prvi način za pisanje gcd-ja

Poiščite GCD 48 in 36.

GCD (48; 36) \u003d 2 2 3 \u003d 12

Drugi način za pisanje gcd

Zdaj napišimo rešitev iskanja GCD v vrstici. Poiščite GCD 10 in 15.

Na našem spletnem mestu z informacijami lahko uporabite tudi pomočnika in poiščete največjega skupnega delitelja v spletu, da preverite svoje izračune.

Iskanje najmanj običajnih večkratnih metod, primerov iskanja LCM.

Spodaj predstavljeno gradivo je logično nadaljevanje teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanj pogosti večkratnik, definicija, primeri, odnos med LCM in GCD. Tukaj bomo govorili iskanje najmanj običajnega večkratnika (LCM)in bodite posebno pozorni pri reševanju primerov. Najprej pokažemo, kako se izračuna LCM dveh števil preko GCD teh števil. Nato razmislite, kako najpomembnejšo množico s faktoringom šteti v glavne faktorje. Po tem se bomo osredotočili na iskanje LCM treh ali več številk, pozoren pa bomo tudi na izračun LCM negativnih števil.

Navigacija po strani.

Izračun najmanj običajnega večkratnika (LCM) v smislu gcd

Eden od načinov iskanja najmanj običajnega večkratnika temelji na razmerju med LCM in GCD. Obstoječi odnos med LCM in GCD vam omogoča, da izračunate najmanjši skupni večkratnik dveh pozitivnih celih števil skozi znani največji skupni delitelj. Ustrezna formula je: LCM (a, b) \u003d a b: gcd (a, b) ... Poglejmo primere iskanja LCM po zgornji formuli.

Poiščite najmanj pogosti večkratnik 126 in 70.

V tem primeru je a \u003d 126, b \u003d 70. Uporabimo razmerje med LCM in GCD, izraženo s formulo LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b). To pomeni, da moramo najprej najti največji skupni delitelj števil 70 in 126, po katerem lahko izračunamo LCM teh števil po zapisani formuli.

Poiščite GCD (126, 70) s pomočjo algoritma Euclid: 126 \u003d 70 1 + 56, 70 \u003d 56 1 + 14, 56 \u003d 14 4, torej GCD (126, 70) \u003d 14.

Zdaj najdemo zahtevani najmanj skupni večkratnik: LCM (126, 70) \u003d 126 70: GCD (126, 70) \u003d 126 70: 14 \u003d 630.

Kaj je LCM (68, 34)?

Ker je 68 deljivo s 34, potem je GCD (68, 34) \u003d 34. Zdaj izračunamo najmanj pogosti večkratnik: LCM (68, 34) \u003d 68 34: GCD (68, 34) \u003d 68 34: 34 \u003d 68.

Upoštevajte, da prejšnji primer ustreza naslednjem pravilu za iskanje LCM za pozitivna cela števila a in b: če je a deljiva z b, potem je najmanj ta večkratnik teh števil.

Iskanje LCM s faktorjiranjem števil v osnovne faktorje

Drug način, kako najti najmanj pogosto množico, temelji na številu faktoringov v glavnih faktorjih. Če sestavite produkt vseh glavnih faktorjev teh števil, nato iz tega izdelka izključite vse običajne primarne faktorje, ki so prisotni v razširitvah teh števil, potem bo dobljeni izdelek enak najmanjšemu skupnemu večkratniku teh števil.

Napovedano pravilo za iskanje LCM izhaja iz enakosti LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b). Dejansko sta števila a in b enaka zmnožku vseh dejavnikov, vključenih v razširitve števil a in b. Po drugi strani je GCD (a, b) enak zmnožku vseh glavnih faktorjev, ki so hkrati prisotni v razširitvah števil a in b (kot je opisano v razdelku o iskanju GCD s faktoringom števil v primarne faktorje).

Navedimo primer. Recimo, da vemo, da je 75 \u003d 3 5 5 in 210 \u003d 2 3 5 7. Sestavimo izdelek iz vseh dejavnikov teh raztezkov: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7. Zdaj iz tega izdelka izključimo vse dejavnike, ki so prisotni tako pri širitvi števila 75 kot pri razširitvi števila 210 (taka faktorja sta 3 in 5), potem bo izdelek v obliki 2 · 3 · 5 · 5 · 7. Vrednost tega izdelka je enaka najmanj običajnemu večkratniku 75 in 210, to je LCM (75, 210) \u003d 2 · 3 · 5 · 5 · 7 \u003d 1.050.

Po faktorjih 441 in 700 v primarne faktorje poiščite najmanj pogosti večkratnik teh števil.

Razširimo številki 441 in 700 na glavna faktorja:

Dobimo 441 \u003d 3 3 7 7 in 700 \u003d 2 2 5 5 7.

Zdaj bomo sestavili produkt iz vseh dejavnikov, ki sodelujejo pri razgradnji teh števil: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7. Iz tega izdelka izključimo vse dejavnike, ki so hkrati prisotni v obeh razširitvah (obstaja samo en tak dejavnik - to je število 7): 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7. Tako je LCM (441, 700) \u003d 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 \u003d 44 100.

LCM (441, 700) \u003d 44 100.

Pravilo za iskanje LCM s primarno faktorizacijo je mogoče oblikovati nekoliko drugače. Če dodamo manjkajoče faktorje iz razširitve b na faktorje iz širitve števila a, bo vrednost dobljenega produkta enaka najmanj skupnemu številu a in b.

Vzemimo za primer enaka števila 75 in 210, njuni razpadi v osnovne faktorje so naslednji: 75 \u003d 3 · 5 · 5 in 210 \u003d 2 · 3 · 5 · 7. K faktorjem 3, 5 in 5 iz razširitve števila 75 dodamo manjkajoča faktorja 2 in 7 iz širitve števila 210, dobimo produkt 2 · 3 · 5 · 5 · 7, katerega vrednost je enaka LCM (75, 210).

Poiščite najmanj pogosti večkratnik 84 in 648.

Najprej dobimo razkroj števil 84 in 648 v primarne faktorje. Imajo obliko 84 \u003d 2 · 2 · 3 · 7 in 648 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3. K faktorjem 2, 2, 3 in 7 iz razširitve števila 84 dodamo manjkajoče faktorje 2, 3, 3 in 3 iz širitve števila 648, dobimo produkt 2 2 2 2 3 3 3 3 3 7 7, kar je 4 536 ... Tako je želeni najmanj pogosti večkratnik 84 in 648 4.536.

Iskanje LCM treh ali več števil

Najmanj množico treh ali več števil lahko najdemo z zaporednim iskanjem LCM dveh števil. Spomnimo se ustreznega izrekanja, ki daje način za iskanje LCM treh ali več števil.

Naj bodo pozitivna cela števila a 1, 2,…, ak, najmanjši večkratni mk teh številk najdemo z zaporednim izračunavanjem m 2 \u003d LCM (a 1, 2), m 3 \u003d LCM (m 2, a 3),… , mk \u003d LCM (mk - 1, ak).

Razmislite o uporabi tega izrekanja na primeru iskanja najmanjšega skupnega večkratnika od štirih števil.

Poiščite LCM štirih števil 140, 9, 54 in 250.

Najprej najdemo m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Če želite to narediti, z uporabo evklidskega algoritma določimo GCD (140, 9), imamo 140 \u003d 9 15 + 5, 9 \u003d 5,1 + 4,5 \u003d 4 1 + 1, 4 \u003d 1 4, torej GCD (140 oz. 9) \u003d 1, od koder je LCM (140, 9) \u003d 140 9: GCD (140, 9) \u003d 140 9: 1 \u003d 1 260. To pomeni, m 2 \u003d 1,260.

Zdaj najdemo m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Izračunamo ga s pomočjo GCD (1 260, 54), ki ga določa tudi evklidski algoritem: 1 260 \u003d 54 · 23 + 18, 54 \u003d 18 · 3. Potem je GCD (1,260, 54) \u003d 18, od koder je LCM (1,260, 54) \u003d 1,260,54: GCD (1,260,54) \u003d 1,260,54: 18 \u003d 3,780. To pomeni, m 3 \u003d 3 780.

Ostaja najti m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Za to najdemo GCD (3 780, 250) po Evklidovem algoritmu: 3 780 \u003d 250 15 + 30, 250 \u003d 30 8 + 10, 30 \u003d 10 3. Zato je GCD (3 780, 250) \u003d 10, od koder je LCM (3 780, 250) \u003d 3 780 250: GCD (3 780, 250) \u003d 3 780 250: 10 \u003d 94 500. To je m 4 \u003d 94.500.

Tako je najmanj skupni večkratnik prvotnih štirih številk 94 500.

LCM (140, 9, 54, 250) \u003d 94.500.

V mnogih primerih je s preprostimi faktorizami teh števil priročno najti najmanjši večkratnik treh ali več števil. V tem primeru se morate držati naslednjega pravila. Najmanj skupni večkratnik števil je enak izdelku, ki je sestavljen na naslednji način: vsem faktorjem iz razširitve prvega števila se dodajo manjkajoči faktorji iz razširitve drugega števila, k pridobljenim faktorjem dodajo manjkajoče faktorje iz razširitve tretje številke in tako naprej.

Vzemimo primer iskanja najmanj običajnega večkratnika s primarno faktorizacijo.

Poiščite najmanj pogost večkratnik petih števil 84, 6, 48, 7, 143.

Najprej dobimo razkroj teh števil na primarne faktorje: 84 \u003d 2 2 3 7, 6 \u003d 2 3, 48 \u003d 2 2 2 2 3, 7 (7 je preprosto število, sovpada z njegovim razkrojem na glavni faktorji) in 143 \u003d 11 13.

Če želite najti LCM teh števil k faktorjem prvega števila 84 (so 2, 2, 3 in 7), morate dodati manjkajoče faktorje iz razširitve drugega števila 6. Faktorizacija 6 ne vsebuje manjkajočih faktorjev, saj sta tako 2 kot 3 že prisotna pri razgradnji prvega števila 84. Nadalje k \u200b\u200bfaktorjem 2, 2, 3 in 7 dodamo manjkajoča faktorja 2 in 2 iz razširitve tretjega števila 48, dobimo nabor dejavnikov 2, 2, 2, 2, 3 in 7. Temu nizu na naslednjem koraku ni treba dodajati dejavnikov, saj jih je že 7. Na koncu dodajte manjkajoča faktorja 11 in 13 iz faktorizacije 143 faktorjem 2, 2, 2, 2, 3 in 7. Dobimo izdelek 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13, kar je 48.048.

Zato je LCM (84, 6, 48, 7, 143) \u003d 48.048.

LCM (84, 6, 48, 7, 143) \u003d 48.048.

Iskanje najmanj skupnega več negativnih števil

Včasih obstajajo naloge, v katerih morate najti najmanj pogosto več številk, med katerimi so ena, več ali vsa števila negativna. V teh primerih je treba vsa negativna števila nadomestiti s svojimi nasprotnimi številkami, po katerih je treba najti LCM pozitivnih števil. Tako najdemo LCM negativnih števil. Na primer, LCM (54, -34) \u003d LCM (54, 34) in LCM (-622, -46, -54, -888) \u003d LCM (622, 46, 54, 888)

To lahko storimo, ker je množica večkratnikov a enaka množici večkratnikov −a (a in −a sta nasprotni številki). Dejansko naj bo b večkratnik a, je b deljivo z a, pojem delitve pa nakazuje obstoj celega števila q, tako da je b \u003d a q. Vendar bo veljala tudi enakost b \u003d (- a) · (−q), kar na podlagi istega pojma deljivosti pomeni, da je b deljiv s −a, torej da je b večkratnik −a. Velja tudi obratno: če je b večkratnik −a, je b večkratnik a.

Poiščite najmanj pogosti večkratnik negativnih števil −145 in -45.

Zamenjajte negativni številki -145 in -45 z njunima nasprotnima števjema 145 in 45. Imamo LCM (−145, −45) \u003d LCM (145, 45). Ko smo določili GCD (145, 45) \u003d 5 (na primer po Euclidovem algoritmu), izračunamo LCM (145, 45) \u003d 145 45: GCD (145, 45) \u003d 145 45: 5 \u003d 1 305. Tako je najmanj skupni večkratnik negativnih celih števil −145 in −45 1.305.

www.cleverstudents.ru

Nadaljujemo z učenjem delitve. V tej lekciji si bomo ogledali koncepte, kot so Gcd in NOC.

Gcd je največji skupni dejavnik.

NOC je najmanj pogosti večkratnik.

Tema je precej dolgočasna, vendar jo je nujno razumeti. Brez razumevanja te teme ne boste mogli učinkovito delati z ulomki, ki so resnična ovira pri matematiki.

Največji skupni delitelj

Opredelitev. Največji skupni delitelj števil a in b a in b so razdeljeni brez preostalih.

Če želite dobro razumeti to definicijo, namesto spremenljivk nadomestite a in b katere koli dve številki, na primer namesto spremenljivke a nadomestite številko 12 in namesto spremenljivke b številka 9. Poskusimo prebrati to definicijo:

Največji skupni delitelj števil 12 in 9 se imenuje največje število, s katerim 12 in 9 so razdeljeni brez preostalih.

Iz definicije je razvidno, da govorimo o skupnem deljenju števil 12 in 9, ta delitelj pa je največji od vseh obstoječih deliteljev. Ta največji skupni dejavnik (GCD) je treba najti.

Obstajajo trije načini za iskanje največjega skupnega delitelja dveh števil. Prva metoda je precej zamudna, vendar vam omogoča, da dobro razumete bistvo teme in občutite njen celotni pomen.

Druga in tretja metoda sta dokaj enostavna in omogočata hitro iskanje GCD. Upoštevali bomo vse tri metode. In katero boste uporabili v praksi, je odvisno od vas.

Prvi način je najti vse možne delitelje dveh števil in izbrati največjega. Upoštevajmo to metodo z naslednjim primerom: poiščite največjega skupnega delitelja med 12 in 9.

Najprej poiščite vse možne delitelje 12. Če želite to narediti, delite 12 na vse delitelje v območju od 1 do 12. Če delitelj dovoli, da se 12 deli brez 12, potem ga bomo označili z modro barvo in v oklepajih podali ustrezno razlago.

12: 1 = 12
(12 je razdeljeno na 1 brez preostanka, torej je 1 delitelj na 12)

12: 2 = 6
(12 je razdeljeno na 2 brez preostalih, torej 2 je delitelj 12)

12: 3 = 4
(12 je razdeljeno s 3 brez preostanka, torej 3 je delitelj 12)

12: 4 = 3
(12 je razdeljeno na 4 brez preostanka, torej je 4 delitelj na 12)

12: 5 \u003d 2 (preostanek 2)
(12 ni razdeljeno s 5 brez ostanka, torej 5 ni delitelj 12)

12: 6 = 2
(12 je razdeljeno na 6 brez preostalih, torej 6 je delitelj 12)

12: 7 \u003d 1 (v preostalem 5)
(12 ni razdeljeno na 7 brez preostanka, torej 7 ni delitelj 12)

12: 8 \u003d 1 (preostanek 4)
(12 ni razdeljeno na 8 brez preostanka, torej 8 ni delitelj 12)

12: 9 \u003d 1 (3 v preostalem)
(12 ni razdeljeno na 9 brez ostanka, torej 9 ni delitelj 12)

12: 10 \u003d 1 (preostanek 2)
(12 ni razdeljeno z 10 brez ostanka, torej 10 ni delitelj 12)

12: 11 \u003d 1 (1 preostanek)
(12 ni razdeljeno z 11 brez ostanka, torej 11 ni delitelj 12)

12: 12 = 1
(12 je razdeljeno na 12 brez preostalih, torej 12 je delitelj 12)

Zdaj najdimo delitelje števila 9. Če želite to narediti, preverite vse delitve od 1 do 9

9: 1 = 9
(9 deljeno z 1 brez preostalega, torej 1 je delitelj 9)

9: 2 \u003d 4 (1 preostanek)
(9 ni razdeljeno na 2 brez preostanka, torej 2 ni delitelj z 9)

9: 3 = 3
(9 je razdeljeno s 3 brez preostalih, torej 3 je delitelj 9)

9: 4 \u003d 2 (1 preostanek)
(9 ni razdeljeno na 4 brez preostanka, torej 4 ni delitelj na 9)

9: 5 \u003d 1 (preostanek 4)
(9 ni razdeljeno s 5 brez ostanka, torej 5 ni delitelj na 9)

9: 6 \u003d 1 (preostanek 3)
(9 ni razdeljeno na 6 brez ostanka, torej 6 ni delitelj 9)

9: 7 \u003d 1 (preostanek 2)
(9 ni razdeljeno na 7 brez preostanka, torej 7 ni delitelj na 9)

9: 8 \u003d 1 (1 preostanek)
(9 ni razdeljeno na 8 brez ostanka, torej 8 ni delitelj na 9)

9: 9 = 1
(9 je razdeljeno na 9 brez preostanka, torej 9 je delitelj 9)

Zdaj pa zapišimo delitve obeh števil. Številke, označene z modro barvo, so ločnice. Izpišimo jih:

Ko izpišete delitelje, lahko takoj ugotovite, kateri je največji in pogost.

Po definiciji je največji skupni delitelj 12 in 9 število, s katerim sta 12 in 9 deljiva brez preostalih. Največji in skupni delitelj med 12 in 9 je 3

Število 12 in število 9 sta ločena s 3 brez preostanka:

Torej GCD (12 in 9) \u003d 3

Drugi način iskanja gcd-ja

Zdaj pa razmislimo o drugem načinu za iskanje največjega skupnega dejavnika. Bistvo te metode je razdeliti obe številki v osnovne faktorje in pomnožiti skupne.

Primer 1... Poiščite gcd števil 24 in 18

Najprej razdelimo obe številki na glavne dejavnike:

Zdaj pomnožimo njihove skupne dejavnike. Da se izognemo zmedi, je mogoče poudariti skupne dejavnike.

Gledamo razgradnjo števila 24. Njegov prvi faktor je 2. Iščemo enak faktor pri razgradnji števila 18 in vidimo, da je tudi tam. Poudarjamo oba:

Spet pogledamo razgradnjo števila 24. Njegov drugi faktor je tudi 2. Iščemo enak faktor pri razgradnji števila 18 in vidimo, da ga ni več tam. Potem ničesar ne poudarjamo.

Naslednja dva v razkroju števila 24 prav tako ne izpadeta pri razgradnji števila 18.

Preidemo na zadnji faktor širitve števila 24. To je faktor 3. Iščimo enak faktor pri širitvi števila 18 in vidimo, da je tudi tam. Poudarjamo obe trije:

Torej so skupni faktorji števil 24 in 18 faktorja 2 in 3. Da bi dobili GCD, je treba te faktorje pomnožiti:

Torej GCD (24 in 18) \u003d 6

Tretji način iskanja gcd-ja

Zdaj pa poglejmo tretji način, kako najti največji skupni dejavnik. Bistvo te metode je, da se števila, ki jih je treba iskati po največjem skupnem delitelju, razdelijo na glavne faktorje. Nato se dejavniki, ki niso vključeni v razširitev druge številke, izbrišejo iz razširitve prve številke. Preostala števila v prvi razgradnji se pomnožijo in dobimo GCD.

Na primer, najdemo GCD za številki 28 in 16 na ta način. Najprej te številke razdelimo na glavne dejavnike:

Dobili smo dve razgradnji: in

Zdaj od širitve prvega števila prečrtajte dejavnike, ki niso vključeni v razširitev drugega števila. Razčlenitev drugega števila ne vključuje sedmih. Izbrišemo ga tudi iz prve razširitve:

Zdaj pomnožimo preostale faktorje in dobimo GCD:

4 je največji skupni delitelj na 28 in 16. Obe številki sta deljivi s 4 brez preostalih:

Primer 2 Poiščite gcd števil 100 in 40

Faktor 100

Faktor 40

Dobili smo dve razgradnji:

Zdaj od širitve prvega števila prečrtajte dejavnike, ki niso vključeni v razširitev drugega števila. Razgradnja druge številke ne vključuje ene pet (obstaja samo ena pet). Izbrišemo ga tudi iz prve razširitve

Pomnožimo preostala števila:

Dobili smo odgovor 20. Torej je število 20 največji skupni delitelj števil 100 in 40. Ti dve številki sta deljivi s 20 brez preostalih:

GCD (100 in 40) \u003d 20.

Primer 3. Poiščite gcd števil 72 in 128

Faktor 72

Faktor število 128

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Zdaj od širitve prvega števila prečrtajte dejavnike, ki niso vključeni v razširitev drugega števila. Razgradnja drugega števila ne vključuje dveh trojk (sploh jih ni). Izbrišimo jih iz prve razširitve:

Dobili smo odgovor 8. Torej je število 8 največji skupni delitelj števil 72 in 128. Ti dve številki sta deljivi z 8 brez preostalih:

GCD (72 in 128) \u003d 8

Iskanje gcd za več številk

Največji skupni dejavnik je mogoče najti za več številk, ne samo za dve. V ta namen se številke, ki jih je treba iskati po največjem skupnem faktorju, razdelijo na glavne faktorje, nato pa se najde produkt skupnih osnovnih faktorjev teh števil.

Na primer najdemo GCD za številke 18, 24 in 36

Faktor 18

Faktor 24

Faktor 36

Dobljene so bile tri razgradnje:

Zdaj izberite in poudarimo skupne dejavnike v teh številkah. Skupni dejavniki morajo biti v vseh treh številkah:

Vidimo, da so skupni faktorji za števila 18, 24 in 36 faktorji 2 in 3. Če množimo te dejavnike, dobimo GCD, ki ga iščemo:

Dobili smo odgovor 6. Torej je število 6 največji skupni delitelj 18, 24 in 36. Ta tri števila so deljiva s 6 brez preostalih:

GCD (18, 24 in 36) \u003d 6

Primer 2 Poiščite GCD za številke 12, 24, 36 in 42

Vsako število razdelimo na glavne dejavnike. Nato najdemo produkt skupnih faktorjev teh števil.

Faktor 12

Faktor 42

Dobili smo štiri razgradnje:

Zdaj izberite in poudarimo skupne dejavnike v teh številkah. Skupni dejavniki morajo biti v vseh štirih številkah:

Vidimo, da so skupni faktorji za števila 12, 24, 36 in 42 faktorji 2 in 3. Če množimo te dejavnike, dobimo GCD, ki ga iščemo:

Dobili smo odgovor 6. Torej je število 6 največji skupni delitelj števil 12, 24, 36 in 42. Ta števila so deljiva s 6 brez preostalih:

GCD (12, 24, 36 in 42) \u003d 6

Iz prejšnje lekcije vemo, da če je neko število v celoti razdeljeno z drugim, ga imenujemo večkratnik tega števila.

Izkazalo se je, da je večkratnik lahko pogost med več števili. In zdaj nas bo zanimalo večkratno dve številki, medtem ko bi moralo biti čim manjše.

Opredelitev. Najmanj skupnih večkratnih (LCM) števil a in b - a in b a in številko b.

Opredelitev vsebuje dve spremenljivki a in b... Za te spremenljivke nadomestimo poljubno dve številki. Na primer namesto spremenljivke a nadomestite številko 9 in namesto spremenljivke b nadomestite številko 12. Zdaj poskusimo prebrati definicijo:

Najmanj skupnih večkratnih (LCM) števil 9 in 12 - je najmanjše število, ki je večkratnik 9 in 12 ... Z drugimi besedami, tako majhno število je enakomerno delljivo s številom 9 in številko 12 .

Iz definicije je razvidno, da je LCM najmanjše število, ki je deljivo s 9 in 12. Brez preostanka. Ta LCM najdemo.

Najmanj skupnega večkratnika (LCM) najdemo na dva načina. Prvi način je, da lahko izpišete prve množice dveh števil in nato med temi večkratniki izberete takšno številko, ki bo skupna tako številkam kot majhnim. Uporabimo to metodo.

Najprej najdemo prve množice 9. Če želite najti večkratnike 9, morate to devet pomnožiti s števili od 1 do 9. Odgovori, ki jih dobite, bodo večkratniki 9. Torej, začnimo. V rdeči barvi bomo izpostavili večkratnike:

Zdaj najdemo večkratnike za številko 12. Če želite to narediti, eno po eno pomnožimo 12 z vsemi števili 1 do 12.

Spodaj predstavljeno gradivo je logično nadaljevanje teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanj pogosti večkratnik, definicija, primeri, odnos med LCM in GCD. Tukaj bomo govorili iskanje najmanj običajnega večkratnika (LCM)in bodite posebno pozorni pri reševanju primerov. Najprej pokažemo, kako se izračuna LCM dveh števil preko GCD teh števil. Nato razmislite, kako najpomembnejšo množico s faktoringom šteti v glavne faktorje. Po tem se bomo osredotočili na iskanje LCM treh ali več številk, pozoren pa bomo tudi na izračun LCM negativnih števil.

Navigacija po strani.

Izračun najmanj običajnega večkratnika (LCM) v smislu gcd

Eden od načinov iskanja najmanj običajnega večkratnika temelji na razmerju med LCM in GCD. Obstoječi odnos med LCM in GCD vam omogoča, da izračunate najmanjši skupni večkratnik dveh pozitivnih celih števil skozi znani največji skupni delitelj. Ustrezna formula je: LCM (a, b) \u003d a b: gcd (a, b) ... Poglejmo primere iskanja LCM po zgornji formuli.

Primer.

Poiščite najmanj pogosti večkratnik 126 in 70.

Odločba.

V tem primeru je a \u003d 126, b \u003d 70. Izkoristimo razmerje med LCM in GCD, ki je izraženo s formulo LCM (a, b) \u003d a b: gcd (a, b)... To pomeni, da moramo najprej najti največji skupni delitelj števil 70 in 126, po katerem lahko izračunamo LCM teh števil po zapisani formuli.

Poiščite GCD (126, 70) z uporabo Euklidovega algoritma: 126 \u003d 70 1 + 56, 70 \u003d 56 1 + 14, 56 \u003d 14 4, torej GCD (126, 70) \u003d 14.

Zdaj najdemo zahtevani najmanj skupni večkratnik: LCM (126, 70) \u003d 126 70: GCD (126, 70) \u003d 126 70: 14 \u003d 630.

Odgovor:

LCM (126, 70) \u003d 630.

Primer.

Kaj je LCM (68, 34)?

Odločba.

Kot 68 je deljivo s 34, potem je GCD (68, 34) \u003d 34. Zdaj izračunamo najmanj pogosti večkratnik: LCM (68, 34) \u003d 68 34: GCD (68, 34) \u003d 68 34: 34 \u003d 68.

Odgovor:

LCM (68, 34) \u003d 68.

Upoštevajte, da prejšnji primer ustreza naslednjem pravilu za iskanje LCM za pozitivna cela števila a in b: če je a deljiva z b, potem je najmanj ta večkratnik teh števil.

Iskanje LCM s faktorjiranjem števil v osnovne faktorje

Drug način, kako najti najmanj pogosto množico, temelji na razvrščanju števil v glavne dejavnike. Če sestavite produkt vseh glavnih faktorjev teh števil, po katerem so iz tega izdelka izključeni vsi skupni primarni faktorji, ki so prisotni v razširitvah teh števil, bo dobljeni produkt enak najmanjšemu večkratniku teh števil.

Napovedano pravilo za iskanje LCM izhaja iz enakosti LCM (a, b) \u003d a b: gcd (a, b)... Dejansko sta števila a in b enaka zmnožku vseh dejavnikov, vključenih v razširitve števil a in b. Po drugi strani je GCD (a, b) enak zmnožku vseh osnovnih faktorjev, ki so hkrati prisotni v razširitvah števil a in b (kot je opisano v razdelku o iskanju GCD s faktoringom števil v primarne faktorje).

Navedimo primer. Recimo, da vemo, da je 75 \u003d 3 5 5 in 210 \u003d 2 3 5 7. Sestavimo produkt iz vseh dejavnikov teh raztezkov: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7. Zdaj iz tega izdelka izključimo vse dejavnike, ki so prisotni tako pri širitvi števila 75 kot pri razširitvi števila 210 (taka faktorja sta 3 in 5), potem bo izdelek v obliki 2 · 3 · 5 · 5 · 7. Vrednost tega izdelka je enaka najmanj običajnemu večkratniku 75 in 210, tj. LCM (75, 210) \u003d 2 3 5 5 7 \u003d 1.050.

Primer.

Po razvrščanju 441 in 700 v glavne faktorje poiščite najmanj pogost večkratnik teh števil.

Odločba.

Razširimo številki 441 in 700 na glavna faktorja:

Dobimo 441 \u003d 3 3 7 7 in 700 \u003d 2 2 5 5 7.

Zdaj bomo sestavili produkt iz vseh dejavnikov, ki sodelujejo pri razgradnji teh števil: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7. Iz tega izdelka izključimo vse dejavnike, ki so hkrati prisotni v obeh razširitvah (obstaja samo en tak faktor - to je število 7): 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7. Tako je dr. LCM (441, 700) \u003d 2 2 3 3 3 5 5 7 7 \u003d 44 100.

Odgovor:

LCM (441.700) \u003d 44.100.

Pravilo za iskanje LCM s primarno faktorizacijo je mogoče oblikovati nekoliko drugače. Če dodamo manjkajoče faktorje iz razširitve b na faktorje iz širitve števila a, bo vrednost dobljenega produkta enaka najmanj običajnemu večkratniku števil a in b.

Vzemimo za primer enaka števila 75 in 210, njuni razpadi v osnovne faktorje so naslednji: 75 \u003d 3 · 5 · 5 in 210 \u003d 2 · 3 · 5 · 7. K faktorjem 3, 5 in 5 iz razširitve števila 75 dodamo manjkajoča faktorja 2 in 7 iz širitve števila 210, dobimo produkt 2 · 3 · 5 · 5 · 7, katerega vrednost je enaka LCM (75, 210).

Primer.

Poiščite najmanj pogost večkratnik 84 in 648.

Odločba.

Najprej dobimo razkroj števil 84 in 648 v primarne faktorje. Imajo obliko 84 \u003d 2 · 2 · 3 · 7 in 648 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3. K faktorjem 2, 2, 3 in 7 iz razširitve števila 84 dodamo manjkajoče faktorje 2, 3, 3 in 3 iz širitve števila 648, dobimo produkt 2 2 2 2 3 3 3 3 3 7 7, kar je 4 536 ... Tako je želeni najmanj pogosti večkratnik 84 in 648 4.536.

Odgovor:

LCM (84, 648) \u003d 4.536.

Iskanje LCM treh ali več števil

Najmanj množico treh ali več števil lahko najdemo z zaporednim iskanjem LCM dveh števil. Spomnimo se ustreznega izrekanja, ki daje način za iskanje LCM treh ali več števil.

Izrek.

Naj bodo pozitivna cela števila a 1, 2,…, ak, najmanjši večkratni mk teh številk najdemo z zaporednim izračunavanjem m 2 \u003d LCM (a 1, 2), m 3 \u003d LCM (m 2, a 3),… , mk \u003d LCM (mk - 1, ak).

Razmislite o uporabi tega izrekanja na primeru iskanja najmanjšega skupnega večkratnika od štirih števil.

Primer.

Poiščite LCM štirih števil 140, 9, 54 in 250.

Odločba.

V tem primeru je a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, 4 \u003d 250.

Najprej najdemo m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9)... Da bi to naredili, z uporabo evklidskega algoritma določimo GCD (140, 9), imamo 140 \u003d 9 15 + 5, 9 \u003d 5,1 + 4,5 \u003d 4 1 + 1, 4 \u003d 1 4, torej GCD (140 oz. 9) \u003d 1, od kod LCM (140, 9) \u003d 140 9: GCD (140, 9) \u003d 140 9: 1 \u003d 1,260. To pomeni, m 2 \u003d 1,260.

Zdaj najdemo m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54)... Izračunamo ga s pomočjo GCD (1 260, 54), ki ga določa tudi evklidski algoritem: 1 260 \u003d 54 23 + 18, 54 \u003d 18 3. Potem je GCD (1,260, 54) \u003d 18, od koder je LCM (1,260, 54) \u003d 1,260,54: GCD (1,260,54) \u003d 1,260,54: 18 \u003d 3,780. To pomeni, m 3 \u003d 3 780.

Ostaja še najti m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250)... Da bi to naredili, najdemo GCD (3 780, 250) po Evklidovem algoritmu: 3 780 \u003d 250 15 + 30, 250 \u003d 30 8 + 10, 30 \u003d 10 3. Zato je GCD (3 780, 250) \u003d 10, od koder je LCM (3 780, 250) \u003d 3 780 250: GCD (3 780, 250) \u003d 3 780 250: 10 \u003d 94 500. To je m 4 \u003d 94.500.

Tako je najmanj skupni večkratnik prvotnih štirih številk 94 500.

Odgovor:

LCM (140, 9, 54, 250) \u003d 94.500.

V mnogih primerih je s preprostimi faktorizami teh števil priročno najti najmanjši večkratnik treh ali več števil. V tem primeru se morate držati naslednjega pravila. Najmanj skupni večkratnik števil je enak izdelku, ki je sestavljen na naslednji način: vsem faktorjem iz razširitve prvega števila se dodajo manjkajoči faktorji iz razširitve drugega števila, k pridobljenim faktorjem dodajo manjkajoče faktorje iz razširitve tretje številke in tako naprej.

Vzemimo primer iskanja najmanj običajnega večkratnika s primarno faktorizacijo.

Primer.

Poiščite najmanj pogost večkratnik petih števil 84, 6, 48, 7, 143.

Odločba.

Najprej dobimo razkroj teh števil na primarne faktorje: 84 \u003d 2 2 3 7, 6 \u003d 2 3, 48 \u003d 2 2 2 2 3, 7 (7 je preprosto število, sovpada z njegovim razkrojem na glavni faktorji) in 143 \u003d 11 13.

Če želite najti LCM teh števil k faktorjem prvega števila 84 (so 2, 2, 3 in 7), morate dodati manjkajoče faktorje iz razširitve drugega števila 6. Faktorizacija 6 ne vsebuje manjkajočih faktorjev, saj sta pri razgradnji prvega števila 84 prisotna že 2 in 3. Nadalje k \u200b\u200bfaktorjem 2, 2, 3 in 7 dodamo manjkajoča faktorja 2 in 2 iz razširitve tretjega števila 48, dobimo nabor dejavnikov 2, 2, 2, 2, 3 in 7. Temu nizu na naslednjem koraku ni treba dodajati dejavnikov, saj jih je že 7. Na koncu dodajte manjkajoča faktorja 11 in 13 iz faktorizacije 143 faktorjem 2, 2, 2, 2, 3 in 7. Dobimo izdelek 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13, kar je 48.048.