अभाज्य सँख्या। समग्र संख्या। "अभाज्य संख्या" का क्या अर्थ है?

प्राइम नंबर सबसे दिलचस्प गणितीय घटनाओं में से एक का प्रतिनिधित्व करते हैं जिसने दो सहस्राब्दियों से वैज्ञानिकों और आम नागरिकों का ध्यान आकर्षित किया है। इस तथ्य के बावजूद कि अब हम कंप्यूटर और सबसे आधुनिक सूचना कार्यक्रमों के युग में रहते हैं, अभाज्य संख्याओं के कई रहस्यों को अभी तक हल नहीं किया गया है, यहां तक \u200b\u200bकि ऐसे भी हैं कि वैज्ञानिकों को पता नहीं है कि कैसे दृष्टिकोण करना है।

अभाज्य संख्याएँ हैं, जैसा कि आप प्रारंभिक अंकगणित के पाठ्यक्रम से जानते हैं, जो केवल एक और स्वयं के द्वारा शेष के बिना विभाज्य हैं। वैसे, यदि एक प्राकृतिक संख्या, उपरोक्त के अलावा, किसी अन्य संख्या से विभाज्य है, तो इसे समग्र कहा जाता है। सबसे प्रसिद्ध प्रमेयों में से एक का कहना है कि किसी भी मिश्रित संख्या को केवल प्रमुख संख्याओं के संभावित उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है।

कुछ रोचक तथ्य। सबसे पहले, इकाई इस अर्थ में अद्वितीय है कि, वास्तव में, यह प्राइम या समग्र संख्याओं से संबंधित नहीं है। इसी समय, वैज्ञानिक समुदाय में, यह अभी भी पहले समूह को संदर्भित करने के लिए प्रथागत है, क्योंकि औपचारिक रूप से यह पूरी तरह से अपनी आवश्यकताओं को पूरा करता है।

दूसरे, केवल वही संख्या जो "अभाज्य संख्याओं" के समूह में फिट होती है, ज़ाहिर है, दो। कोई भी अन्य संख्या केवल यहां नहीं मिल सकती है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार, स्वयं और एक के अलावा, यह भी दो से विभाज्य है।

प्रमुख संख्याएँ, जिनमें से सूची, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक के साथ शुरू हो सकती है, एक अनंत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करती है, प्राकृतिक संख्या की एक श्रृंखला के रूप में अनंत। अंकगणित के मुख्य प्रमेय के आधार पर, कोई इस निष्कर्ष पर आ सकता है कि अभाज्य संख्याएँ कभी बाधित नहीं होती हैं और कभी समाप्त नहीं होती हैं, अन्यथा प्राकृतिक संख्याओं की एक श्रृंखला अनिवार्य रूप से बाधित हो जाएगी।

प्राइम नंबर प्राकृतिक अनुक्रम में यादृच्छिक रूप से प्रकट नहीं होते हैं, क्योंकि यह पहली नज़र में लग सकता है। उनका सावधानीपूर्वक विश्लेषण करने के बाद, आप तुरंत कई विशेषताओं को नोटिस कर सकते हैं, जिनमें से सबसे अधिक उत्सुक तथाकथित "जुड़वां" संख्याओं से जुड़े हैं। वे उन्हें इसलिए बुलाते हैं क्योंकि कुछ असंगत तरीके से वे एक दूसरे के पड़ोस में समाप्त हो गए, केवल एक सीमांकक (पांच और सात, सत्रह और उन्नीस) द्वारा अलग हो गए।

यदि आप उन्हें करीब से देखते हैं, तो आप देखेंगे कि इन संख्याओं का योग हमेशा तीन से अधिक होता है। इसके अलावा, जब तीन से विभाजित करते हैं, तो बाएं भाई को हमेशा शेष में दो होते हैं, और दाएं के लिए एक। इसके अलावा, प्राकृतिक श्रृंखला पर इन संख्याओं के बहुत वितरण की भविष्यवाणी की जा सकती है यदि पूरी श्रृंखला को दोलन साइनसोइड्स के रूप में दर्शाया जाता है, जिनमें से मुख्य बिंदुओं का गठन तब होता है जब संख्याओं को तीन और दो से विभाजित किया जाता है।

प्राइम नंबर न केवल दुनिया भर के गणितज्ञों द्वारा करीबी जांच का एक उद्देश्य है, बल्कि लंबे समय से सफलतापूर्वक विभिन्न नंबरों की श्रृंखला को संकलित करने में उपयोग किया जाता है, जो आधार है, जिसमें साइफरिंग भी शामिल है। इसी समय, यह माना जाना चाहिए कि इन अद्भुत तत्वों से जुड़ी बड़ी संख्या में पहेलियों को अभी भी हल होने की प्रतीक्षा है, कई सवालों का न केवल दार्शनिक, बल्कि व्यावहारिक महत्व भी है।

अभाज्य संख्या एक प्राकृतिक (धनात्मक पूर्णांक) संख्या है जो केवल दो प्राकृतिक संख्याओं द्वारा शेष के बिना विभाज्य है: द्वारा और स्वयं के द्वारा। दूसरे शब्दों में, एक अभाज्य संख्या में दो प्राकृतिक भाजक होते हैं: और संख्या स्वयं।

परिभाषा के अनुसार, अभाज्य संख्या के सभी विभाजकों का सेट दो-तत्व है, अर्थात्। एक सेट है।

सभी प्राइम नंबरों के सेट को एक प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, primes के सेट की परिभाषा के आधार पर, हम लिख सकते हैं:।

इस तरह दिखता है अपराधों का क्रम:

अंकगणित का मूल प्रमेय

अंकगणित का मूल प्रमेय बताता है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को एक से अधिक संख्याओं को अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में और कारकों के क्रम तक एक अनोखे तरीके से प्रस्तुत किया जा सकता है। इस प्रकार, अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का प्राथमिक "बिल्डिंग ब्लॉक्स" हैं।

प्राकृतिक संख्या शीर्षक का अपघटन \u003d "(! LANG: रेंडर द्वारा QuickLaTeX.com।"" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} कैनन का:

जहां एक अभाज्य संख्या है, और। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक संख्या का विहित विस्तार इस तरह दिखता है:।

Primes के उत्पाद के रूप में एक प्राकृतिक संख्या का प्रतिनिधित्व भी कहा जाता है संख्या का गुणनखण्ड करके.

अभाज्य संख्याओं के गुण

एराटोस्थनीज की छलनी

प्राइम नंबरों को खोजने और पहचानने के लिए सबसे प्रसिद्ध एल्गोरिदम में से एक है एराटोस्थनीज की छलनी... इसलिए इस एल्गोरिथ्म का नाम साइरिन के ग्रीक गणितज्ञ एराटोस्थनीज के नाम पर रखा गया था, जिन्हें एल्गोरिथम का लेखक माना जाता है।

एराटोस्थनीज़ की विधि के बाद दिए गए संख्या से कम सभी प्राइम खोजने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

चरण 1। एक पंक्ति में दो से लेकर सभी प्राकृतिक संख्याएँ लिखें, अर्थात ...
चरण 2। किसी वैरिएबल के लिए मान निर्दिष्ट करें, अर्थात, सबसे छोटी अभाज्य संख्या के बराबर मान।
चरण 3। सूची में गुणकों से सभी संख्याओं को पार करें, अर्थात् संख्याएँ।
चरण 4। सूची में पहले नॉन-स्ट्राइकथ्रू नंबर से अधिक से अधिक खोजें, और इस नंबर के मूल्य को वेरिएबल पर असाइन करें।
चरण 5। जब तक आप एक संख्या तक नहीं पहुँचते तब तक चरण 3 और 4 को दोहराएं।

एल्गोरिथ्म को लागू करने की प्रक्रिया इस तरह दिखाई देगी:

एल्गोरिथ्म को लागू करने की प्रक्रिया के अंत में सूची में शेष सभी अनसोल्ड नंबर से प्राइम का एक सेट होगा।

गोल्डबैक की परिकल्पना

"अंकल पेट्रोस एंड द गोल्डबाक अनुमान" पुस्तक का कवर

इस तथ्य के बावजूद कि गणितज्ञों द्वारा लंबे समय से अभाज्य संख्याओं का अध्ययन किया गया है, आज कई संबंधित समस्याएं अनसुलझी हैं। सबसे प्रसिद्ध अनसुलझी समस्याओं में से एक है गोल्डबैक अनुमान, जो निम्नानुसार तैयार है:

• क्या यह सच है कि दो से अधिक संख्याओं को भी दो प्राइम्स (गोल्डबैक की बाइनरी परिकल्पना) के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है?
• क्या यह सच है कि 5 से अधिक प्रत्येक विषम संख्या को तीन प्राइम (गोल्डबैक के टर्नरी अनुमान) के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है?

यह कहा जाना चाहिए कि टर्नरी गोल्डबैच अनुमान बाइनरी गोल्डबैक अनुमान का एक विशेष मामला है, या, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं, गोल्डबैक टर्बनेरी अनुमान द्विआधारी गोल्डबैक अनुमान से कमजोर है।

गोल्डबैक की परिकल्पना 2000 में गणितीय समुदाय के बाहर व्यापक रूप से ज्ञात हो गई, जो कि प्रकाशन कंपनियों ब्लूम्सबरी यूएसए (यूएसए) और फेबर और फेबर (यूके) के विज्ञापन विपणन स्टंट के लिए धन्यवाद। इन प्रकाशकों ने, "अंकल पेट्रोस और गोल्डबैक की अवधारणा" ("अंकल पेट्रोस एंड द गोल्डबैच परिकल्पना") पुस्तक प्रकाशित की है, जिसने गोल्डबैक्स की परिकल्पना को साबित करने वाले को पुस्तक के प्रकाशन की तारीख से 2 साल के भीतर 1 मिलियन अमेरिकी डॉलर का पुरस्कार देने का वादा किया है। कभी-कभी प्रकाशकों से उल्लिखित पुरस्कार मिलेनियम पुरस्कार समस्याओं के समाधान के लिए पुरस्कारों के साथ भ्रमित होता है। गलत मत समझिए, गोल्डबैक की परिकल्पना को क्ले इंस्टीट्यूट ने सहस्राब्दी चुनौती के रूप में वर्गीकृत नहीं किया है, हालांकि यह निकटता से जुड़ा हुआ है रीमैन परिकल्पना - "मिलेनियम चैलेंज" में से एक।

पुस्तक “अभाज्य संख्याएँ। अनंत तक लंबी सड़क "

पुस्तक का कवर "गणित की दुनिया। अभाज्य सँख्या। अनंत तक लंबी सड़क "

इसके अतिरिक्त, मैं एक आकर्षक लोकप्रिय विज्ञान पुस्तक पढ़ने की सलाह देता हूं, जो एनोटेशन कहती है: “प्राइम्स की खोज गणित में सबसे विरोधाभासी समस्याओं में से एक है। वैज्ञानिक कई सदियों से इसे सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन, नए संस्करणों और परिकल्पनाओं के साथ उग आया, यह रहस्य अनसुलझा है। अभाज्य संख्याओं का उद्भव किसी भी प्रणाली के अधीन नहीं होता है: वे क्रमबद्ध रूप से प्राकृतिक संख्याओं की एक श्रृंखला में उत्पन्न होते हैं, गणितज्ञों द्वारा उनके अनुक्रम में पैटर्न की पहचान करने के सभी प्रयासों की अनदेखी करते हैं। यह पुस्तक प्राचीन समय से आज तक वैज्ञानिक अवधारणाओं के विकास का पता लगाने की अनुमति देगी और अभाज्य संख्याओं की खोज के सबसे दिलचस्प सिद्धांतों को पेश करेगी। "

मैं इस पुस्तक के दूसरे अध्याय की शुरुआत को अतिरिक्त रूप से उद्धृत करूंगा: “अभाज्य संख्याएँ उन महत्वपूर्ण विषयों में से एक हैं जो हमें गणित के बहुत मूल में वापस ले जाती हैं, और फिर बढ़ती जटिलता के मार्ग के साथ हमें आधुनिक विज्ञान की ओर अग्रसर करती हैं। इस प्रकार, अभाज्य संख्या सिद्धांत के आकर्षक और जटिल इतिहास का पता लगाने के लिए यह बहुत उपयोगी होगा: वास्तव में यह कैसे विकसित हुआ, वास्तव में अब आमतौर पर स्वीकार किए जाने वाले तथ्य और सत्य कैसे एकत्र किए गए थे। इस अध्याय में, हम देखेंगे कि कैसे गणितज्ञों की पीढ़ियों ने प्रमुख संख्याओं की भविष्यवाणी करने के लिए एक नियम की तलाश में प्राकृतिक संख्याओं की छानबीन की - एक नियम जो इस प्रक्रिया में अधिक से अधिक मायावी हो गया। हम ऐतिहासिक संदर्भ पर भी एक नज़र डालेंगे: गणितज्ञों ने किन परिस्थितियों में काम किया और किस हद तक रहस्यमय और अर्ध-धार्मिक प्रथाओं को उनके काम में लागू किया गया, जो हमारे समय में उपयोग किए जाने वाले वैज्ञानिक तरीकों के समान नहीं हैं। फिर भी, धीरे-धीरे और कठिनाई के साथ, जमीन को नए विचारों के लिए तैयार किया गया था जो 17 वीं और 18 वीं शताब्दी में फ़र्मेट और यूलर को प्रेरित करता था। "

• स्थानांतरण

प्राइम नंबरों के गुणों का अध्ययन सबसे पहले प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञों द्वारा किया गया था। पायथागॉरियन स्कूल (500 - 300 ईसा पूर्व) के गणितज्ञ मुख्य रूप से अभाज्य संख्याओं के रहस्यमय और संख्यात्मक गुणों में रुचि रखते थे। वे सही और मैत्रीपूर्ण संख्याओं के विचार के साथ आने वाले पहले व्यक्ति थे।

एक पूर्ण संख्या में अपने स्वयं के बराबर के भाजक होते हैं। उदाहरण के लिए, 6 के उचित भाजक 1, 2 और 3.1 + 2 + 3 \u003d 6. संख्या 28 में 1, 2, 4, 7 और 14 के भाजक हैं। इसके अलावा, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 \u003d 28।

संख्याओं को अनुकूल कहा जाता है यदि एक संख्या के समुचित विभाजकों का योग दूसरे के बराबर है, और इसके विपरीत - उदाहरण के लिए, 220 और 284। हम कह सकते हैं कि एक पूर्ण संख्या स्वयं के लिए अनुकूल है।

यूक्लिड के काम की शुरुआत तक 300 ईसा पूर्व में "शुरुआत"। अभाज्य संख्याओं के बारे में कई महत्वपूर्ण तथ्य पहले ही सिद्ध हो चुके हैं। सिद्धांतों के बुक IX में, यूक्लिड ने साबित किया कि अनंत अपराध हैं। यह, संयोग से, विरोधाभास द्वारा सबूत के उपयोग के पहले उदाहरणों में से एक है। वह अंकगणित के मुख्य सिद्धांत को भी सिद्ध करता है - प्रत्येक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है।

उन्होंने यह भी दिखाया कि यदि संख्या 2 n -1 अभाज्य है, तो संख्या 2 n-1 * (2 n -1) परिपूर्ण होगी। एक और गणितज्ञ, ईयुलर, 1747 में यह दिखाने में सक्षम था कि सभी पूर्ण संख्याओं को इस रूप में भी लिखा जा सकता है। आज तक, यह अज्ञात है कि क्या विषम संख्याएं मौजूद हैं।

वर्ष 200 ई.पू. ग्रीक इरेटोस्थनीज प्राइम नंबर की खोज के लिए एक एल्गोरिथ्म के साथ आया था जिसे "सेवोस्टेनीज की छलनी" कहा जाता है।

और फिर मध्य युग से जुड़े अभाज्य संख्याओं के अध्ययन के इतिहास में एक बड़ा विराम था।

निम्नलिखित खोजें 17 वीं शताब्दी की शुरुआत में गणितज्ञ फ़र्मेट द्वारा बनाई गई थीं। उन्होंने अल्बर्ट गिरार्ड के अनुमान को साबित किया कि फॉर्म 4n + 1 के किसी भी अभाज्य संख्या को दो वर्गों के योग के रूप में एक अनोखे तरीके से लिखा जा सकता है, और यह भी प्रमेय तैयार किया कि किसी भी संख्या को चार वर्गों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उन्होंने बड़ी संख्याओं को कारक बनाने के लिए एक नई पद्धति विकसित की, और इसे संख्या 2027651281 \u003d 44021 × 46061 पर प्रदर्शित किया। उन्होंने फ़र्मेट्स लिटिल प्रमेय को भी सिद्ध किया: यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो किसी भी पूर्णांक के लिए यह a p \u003d modulo p होगा।

यह कथन "चीनी परिकल्पना" के रूप में जाना जाता है का आधा साबित होता है और 2000 साल पहले की तारीखें: एक पूर्णांक n अभाज्य है अगर केवल और केवल 2 n -2 n द्वारा विभाज्य है। परिकल्पना का दूसरा हिस्सा गलत निकला - उदाहरण के लिए, 2341 - 2 341 से विभाज्य है, हालांकि 341 समग्र है: 341 \u003d 31 × 11।

फ़र्म के लिटिल प्रमेय ने संख्या सिद्धांत में कई अन्य परिणामों के आधार के रूप में कार्य किया और संख्याओं के परीक्षण के लिए अभाज्य संख्याएँ अभाज्य संख्याओं से संबंधित हैं - जिनमें से कई आज भी उपयोग की जाती हैं।

फर्मेट ने अपने समकालीनों के साथ बहुत मेल किया, विशेष रूप से मरीन मेर्सेन नामक एक भिक्षु के साथ। अपने एक पत्र में, उन्होंने कहा कि फॉर्म 2 n +1 की संख्या हमेशा अभाज्य होगी यदि n दो की शक्ति है। उन्होंने n \u003d 1, 2, 4, 8, और 16 के लिए यह जाँच की, और आश्वस्त थे कि जिस स्थिति में n दो की शक्ति नहीं है, संख्या आवश्यक रूप से सरल नहीं है। इन नंबरों को फ़र्मेट की संख्या कहा जाता है, और केवल 100 साल बाद यूलर ने दिखाया कि अगली संख्या, 2 32 + 1 \u003d 4294967297 641 से विभाज्य है, और इसलिए यह प्रमुख नहीं है।

फॉर्म 2 एन - 1 की संख्या भी शोध का विषय थी, क्योंकि यह दिखाना आसान है कि यदि एन समग्र है, तो संख्या खुद भी समग्र है। इन नंबरों को मेरसेन नंबर कहा जाता है क्योंकि उन्होंने सक्रिय रूप से उनका अध्ययन किया था।

लेकिन फॉर्म 2 एन - 1 के सभी नंबर, जहां एन प्राइम है, प्राइम हैं। उदाहरण के लिए, 2 11 - 1 \u003d 2047 \u003d 23 * 89. यह पहली बार 1536 में खोजा गया था।

कई वर्षों के लिए, इस तरह की संख्या ने गणितज्ञों को सबसे बड़ी ज्ञात प्रमुख संख्या दी है। कैटरी द्वारा 1588 में एम 19 की संख्या साबित हुई थी, और 200 साल तक सबसे बड़ी ज्ञात संख्या थी जब तक कि यूलर ने यह साबित नहीं किया कि एम 31 भी प्रमुख था। यह रिकॉर्ड एक और सौ साल तक चला, और फिर लुकास ने दिखाया कि एम 127 सरल है (और यह पहले से ही 39 अंकों की संख्या है), और इसके बाद, कंप्यूटर के आगमन के साथ अनुसंधान जारी रहा।

1952 में, एम 521, एम 607, एम 1279, एम 2203 और एम 2281 संख्याओं की सादगी साबित हुई थी।

2005 तक, 42 मेर्सेन प्राइम्स पाए गए हैं। उनमें से सबसे बड़ा, एम 25964951, 7,816,230 अंकों के होते हैं।

ईयूलर के काम का प्रमुख संख्याओं सहित संख्या के सिद्धांत पर बहुत प्रभाव पड़ा। उन्होंने Fermat की लिटिल प्रमेय को बढ़ाया और function-function की शुरुआत की। फैक्टरटेड फ़र्मैट के 5 वें नंबर 2 32 +1 में 60 जोड़े अनुकूल संख्या में पाए गए, और द्विघात पारस्परिकता कानून तैयार (लेकिन साबित नहीं कर सके)।

वह गणितीय विश्लेषण के तरीकों को पेश करने वाले पहले व्यक्ति थे और संख्याओं के विश्लेषणात्मक सिद्धांत को विकसित किया। उन्होंने साबित किया कि न केवल एक हार्मोनिक श्रृंखला ∑ (1 / n), बल्कि रूप की एक श्रृंखला भी

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

अभाज्य संख्याओं के विलोम द्वारा प्राप्त योग भी विचलन करता है। हार्मोनिक श्रृंखला के एन शब्दों का योग लगभग लॉग (एन) की तरह बढ़ता है, और दूसरी श्रृंखला लॉग की तरह अधिक धीरे-धीरे विचलन करती है, जैसे लॉग (एन (एन))। इसका मतलब यह है कि, उदाहरण के लिए, तिथि करने के लिए पाए गए सभी अपराधों के लिए पारस्परिक योग का योग केवल 4 देगा, हालांकि श्रृंखला अभी भी विचलन कर रही है।

पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि पूर्णांकों के बीच बेतरतीब ढंग से वितरण वितरित किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, १०,०००,००० से ठीक पहले के १०० नंबरों के बीच में ९ प्रिम्स हैं, और १०० नंबरों के बीच इस मान के तुरंत बाद, केवल २ हैं। लेकिन बड़े सेगमेंट पर, प्राइम्स काफी समान रूप से वितरित किए जाते हैं। लीजेंड्रे और गॉस ने अपने वितरण से निपटा। गॉस ने एक बार एक मित्र को बताया कि किसी भी 15 मिनट में वह हमेशा अगले 1000 नंबरों की संख्या की गिनती करता है। अपने जीवन के अंत तक, उन्होंने 3 मिलियन तक की सभी प्रमुख संख्याओं को गिना। लीजेंड्रे और गॉस ने समान रूप से गणना की कि बड़े एन के लिए प्रमुख घनत्व 1 / लॉग (एन) है। लीजेंड्रे ने अनुमान लगाया कि 1 से लेकर n तक की रेंज में कितने अपराध हैं

\u003d (एन) \u003d एन / (लॉग (एन) - 1.08366)

और गॉस - एक लघुगणक अभिन्न के रूप में

∫ (एन) \u003d \u003d 1 / लॉग (टी) डीटी

2 से n तक एकीकरण अंतराल के साथ।

अभाज्य संख्या 1 / log (n) के घनत्व के बारे में कथन को अभाज्य संख्या प्रमेय के रूप में जाना जाता है। उन्होंने इसे 19 वीं शताब्दी में साबित करने की कोशिश की, और चेबीशेव और रीमैन ने प्रगति की। उन्होंने इसे रीमैन की परिकल्पना से जोड़ा, रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य के वितरण पर अभी भी अप्रमाणित परिकल्पना। अभाज्य संख्याओं का घनत्व एक साथ 1896 में हदामर्ड और डी ला वेली-पोपसीन द्वारा सिद्ध किया गया था।

प्राइम नंबर थ्योरी में अभी भी कई अनसुलझे सवाल हैं, जिनमें से कुछ सैकड़ों साल पुराने हैं:

• जुड़वां अपराधों के बारे में अनुमान - एक दूसरे से भिन्न होने वाले दो जोड़े जोड़े के बारे में
• गोल्डबैक का अनुमान: 4 से शुरू होने वाली किसी भी संख्या को दो अपराधों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है
• क्या प्रपत्र n 2 + 1 की अनंत संख्या है?
• क्या आप हमेशा n 2 और (n + 1) 2 के बीच प्राइम ढूंढ सकते हैं? (तथ्य यह है कि हमेशा n और 2n के बीच एक प्रमुख संख्या होती है जो चेबिशेव द्वारा सिद्ध की गई थी)
• क्या Fermat के प्राइम अनंत हैं? क्या 4 के बाद कोई फ़र्मैट प्राइम हैं?
• क्या किसी दी गई लंबाई के लिए लगातार प्राइम की अंकगणितीय प्रगति है? उदाहरण के लिए, लंबाई 4: 251, 257, 263, 269 के लिए। अधिकतम लंबाई 26 मिली है।
• क्या अंकगणितीय प्रगति में लगातार तीन अपराधों के सेट की एक अनंत संख्या है?
• n 2 - n + 41 0 ≤ n Is 40 के लिए एक प्रमुख संख्या है। क्या इस तरह के अपराधों की अनंत संख्या है? सूत्र n 2 - 79 n + 1601 के लिए एक ही प्रश्न। ये संख्या 0 ≤ n। 79 के लिए अभाज्य हैं।
• क्या असीम रूप से कई अपराध हैं जैसे n # + 1? (n # सभी primes को n से कम गुणा करने का परिणाम है)
• क्या n # -1 जैसे असीम रूप से कई अपराध हैं?
• क्या n की तरह अनंत संख्या में primes है! + 1?
• क्या n की तरह अनंत संख्या में primes है! - 1?
• यदि p अभाज्य है, तो 2 p -1 हमेशा कारकों के बीच कोई अभाज्य संख्या नहीं रखता है
• क्या फिबोनाची अनुक्रम में अनंत संख्या में अपराध होते हैं?

Primes के बीच सबसे बड़े जुड़वाँ 2003663613 × 2 195000 pr 1. वे 58711 अंकों से मिलकर बने हैं और 2007 में पाए गए थे।

सबसे बड़ा भाज्य प्रधान (प्रपत्र n का! Is 1) 147855 है! - 1. इसमें 142,891 अंक होते हैं और यह 2002 में पाया गया था।

सबसे बड़ा प्राइम प्राइम (संख्या # n # is 1 की तरह) 1098133 # + 1 है।

लेख में अभाज्य और समग्र संख्या की अवधारणाओं पर चर्चा की गई है। ऐसी संख्याओं की परिभाषा उदाहरणों के साथ दी गई है। हम इस बात का प्रमाण देते हैं कि अपराधों की संख्या असीमित है और Eratosthenes की पद्धति का उपयोग करके primes की तालिका में लिखें। प्रमाण के रूप में दिया जाएगा कि क्या संख्या प्रधान या समग्र है।

Yandex.RTB R-A-339285-1

अभाज्य और संयुक्त संख्याएँ - परिभाषाएँ और उदाहरण

प्राइम और कंपोजिट संख्याओं को सकारात्मक पूर्णांक के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। उन्हें एक से अधिक होना चाहिए। विभाजक भी सरल और यौगिक में विभाजित हैं। समग्र संख्याओं की अवधारणा को समझने के लिए, आपको पहले विभाजकों और गुणकों की अवधारणाओं का अध्ययन करना चाहिए।

परिभाषा १

अभाज्य संख्याएँ पूर्णांक हैं जो एक से अधिक हैं और दो सकारात्मक विभाजक हैं, अर्थात्, स्वयं और 1।

परिभाषा २

समग्र संख्या पूर्णांक हैं जो एक से अधिक हैं और कम से कम तीन सकारात्मक विभाजक हैं।

इकाई न तो प्रधान है और न ही समग्र। इसका केवल एक सकारात्मक विभाजक है, इसलिए यह अन्य सभी सकारात्मक संख्याओं से अलग है। सभी सकारात्मक पूर्णांकों को प्राकृतिक कहा जाता है, जिसका उपयोग गिनती के लिए किया जाता है।

परिभाषा 3

अभाज्य सँख्याकेवल दो सकारात्मक विभाजक के साथ प्राकृतिक संख्याएं हैं।

परिभाषा ४

संयुक्त संख्या दो से अधिक सकारात्मक विभाजकों के साथ एक प्राकृतिक संख्या है।

1 से अधिक कोई भी संख्या या तो अभाज्य या समग्र है। डिविजिबिलिटी प्रॉपर्टी से, हमारे पास 1 है और नंबर एक हमेशा किसी भी नंबर के लिए डिवाइडर होगा, यानी यह खुद और 1 नंबर से डिविजनल होगा। आइए पूर्णांक की परिभाषा दें।

परिभाषा ५

प्राकृतिक संख्याएं जो अभाज्य नहीं हैं, उन्हें मिश्रित संख्या कहा जाता है।

अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 11, 17, 131, 523। वे केवल अपने आप से और 1 से विभाजित होते हैं। समग्र संख्या: 6, 63, 121, 6697। अर्थात्, संख्या 6 को 2 और 3 में विघटित किया जा सकता है, और 63 में 1, 3, 7, 9, 21, 63, और 121 को 11, 11 में विभाजित किया जाएगा, अर्थात इसके भाजक 1, 11, 121 होंगे। संख्या 6697 37 और 181 में विस्तारित होगी। ध्यान दें कि प्राइम नंबरों और कोप्राइम संख्या की अवधारणाएं अलग-अलग अवधारणाएं हैं।

प्राइम नंबर का उपयोग करना आसान बनाने के लिए, आपको एक तालिका का उपयोग करने की आवश्यकता है:

सभी मौजूदा प्राकृतिक संख्याओं के लिए तालिका अवास्तविक है, क्योंकि उनमें से अनंत संख्या में हैं। जब संख्या 10,000 या 1,000,000,000 तक पहुंच जाती है, तो आपको एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करने के बारे में सोचना चाहिए।

एक प्रमेय पर विचार करें जो अंतिम विवरण की व्याख्या करता है।

प्रमेय १

एक से अधिक एक प्राकृतिक संख्या का सबसे छोटा सकारात्मक और गैर -1 भाजक एक प्रमुख संख्या है।

प्रमाण १

आइए हम लेते हैं कि एक प्राकृतिक संख्या है जो 1 से अधिक है, बी संख्या के लिए सबसे छोटा गैर-एक भाजक है। सिद्ध कीजिए कि b एक विरोधाभासी संख्या है।

मान लीजिए कि बी एक मिश्रित संख्या है। इसलिए हमारे पास यह है कि b के लिए एक भाजक है, जो 1 के साथ-साथ b से भिन्न है। इस तरह के भाजक को b 1 के रूप में दर्शाया जाता है। यह आवश्यक है कि शर्त 1< b 1 < b पूरी हो गई है।

यह इस स्थिति से देखा जाता है कि a, b से विभाज्य है, b, b से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि विभाज्यता की अवधारणा इस प्रकार व्यक्त की गई है: a \u003d b q और b \u003d b 1 q 1, जहाँ a \u003d b 1 (q 1 q), जहाँ q और क्ष १पूर्णांक हैं। पूर्णांकों के गुणन के नियम से हमारे पास यह होता है कि पूर्णांकों का गुणनफल एक पूर्णांक के रूप में होता है जिसमें a \u003d b 1 · (q 1 · q) होता है। देखा गया है कि b १ संख्या के लिए भाजक है a। असमानता १< b 1 < b नहींमेल खाती है, क्योंकि हम प्राप्त करते हैं कि बी एक का सबसे छोटा सकारात्मक और गैर -1 विभाजक है।

प्रमेय २

असीम रूप से कई प्राइम हैं।

प्रमाण २

मान लीजिए कि हम प्राकृतिक संख्याओं का एक परिमित संख्या n लेते हैं और इसे p 1, p 2,…, p n के रूप में निरूपित करते हैं। संकेत दिए गए लोगों के अलावा एक प्रमुख संख्या खोजने के विकल्प पर विचार करें।

आइए संख्या पी पर ध्यान दें, जो कि पी 1, पी 2, ..., पी एन + 1 के बराबर है। यह प्रपत्र p 1, p 2, ..., p n की अभाज्य संख्याओं के अनुरूप प्रत्येक संख्या के बराबर नहीं है। पी प्रमुख है। फिर प्रमेय को सिद्ध माना जाता है। यदि यह समग्र है, तो आपको अंकन n + 1 लेने की आवश्यकता है और दिखाते हैं कि भाजक p 1, p 2,…, p n में से किसी के साथ मेल नहीं खाता है।

यदि ऐसा नहीं था, तो, उत्पाद पी 1, पी 2, ..., पी एन की विभाज्यता संपत्ति के आधार पर , हमें लगता है कि यह p n + 1 से विभाज्य होगा। ध्यान दें कि अभिव्यक्ति p n + 1 संख्या p विभाजित है, p 1, p 2,…, p n + 1 के योग के बराबर है। हम प्राप्त करते हैं कि अभिव्यक्ति p n + 1 इस राशि के दूसरे पद को विभाजित किया जाना चाहिए, जो कि 1 के बराबर है, लेकिन यह असंभव है।

यह देखा जा सकता है कि किसी भी संख्या में दिए गए प्राइम में से कोई भी प्राइम नंबर पाया जा सकता है। इसलिए यह निम्नानुसार है कि असीम रूप से कई प्राइम हैं।

चूंकि बहुत सारे अपराध हैं, टेबल 100, 1000, 10000 और इसी तरह संख्याओं तक सीमित हैं।

प्रिम्स की तालिका संकलित करते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि इस तरह के कार्य के लिए, संख्याओं की एक क्रमिक जांच आवश्यक है, जो 2 से 100 तक शुरू होती है। एक भाजक की अनुपस्थिति में, इसे तालिका में दर्ज किया जाता है, यदि यह समग्र है, तो यह तालिका में दर्ज नहीं किया गया है।

चलो कदम से कदम पर विचार करें।

यदि आप संख्या 2 से शुरू करते हैं, तो इसमें केवल 2 भाजक हैं: 2 और 1, जिसका अर्थ है कि इसे तालिका में दर्ज किया जा सकता है। साथ ही अंक 3 के साथ। संख्या 4 एक समग्र संख्या है, इसे 2 और 2 अधिक में विघटित किया जाना चाहिए। संख्या 5 सरल है, जिसका अर्थ है कि यह तालिका में तय किया जा सकता है। इसे 100 नंबर तक करें।

यह विधि असुविधाजनक और लंबी है। आप एक टेबल बना सकते हैं, लेकिन आपको बहुत समय देना होगा। विभाज्यता मानदंड का उपयोग करना आवश्यक है, जो विभाजक खोजने की प्रक्रिया को गति देगा।

एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करने का तरीका सबसे सुविधाजनक माना जाता है। आइए नीचे दी गई तालिकाओं के उदाहरण को देखें। शुरू करने के लिए, संख्या 2, 3, 4, ..., 50 नीचे लिखे गए हैं।

अब आपको उन सभी संख्याओं को पार करने की आवश्यकता है जो 2 के गुणक हैं। लगातार स्ट्राइकथ्रू करें। हमें फॉर्म की एक तालिका मिलती है:

हम उन संख्याओं को हटाने के लिए आगे बढ़ते हैं जो 5 के गुणक हैं। हमें मिला:

7, 11 के गुणकों वाली संख्याओं को पार करें। अंत में, तालिका जैसा दिखता है

आइए हम प्रमेय के निरूपण के लिए पास हों।

प्रमेय ३

आधार संख्या का सबसे छोटा धनात्मक और गैर -1 भाजक एक से अधिक नहीं होता है, जहाँ दिए गए संख्या का अंकगणित मूल है।

प्रमाण ३

कंपोजिट संख्या a के कम से कम विभाजक के रूप में b को नामित करना आवश्यक है। एक पूर्णांक q है, जहाँ a \u003d b q, और हमारे पास वह b। Q है। रूप की असमानता b\u003e q,चूंकि स्थिति का उल्लंघन होता है। असमानता के दोनों पक्षों should q को किसी भी सकारात्मक संख्या b से गुणा किया जाना चाहिए जो कि 1 के बराबर नहीं है। हमें वह b b q b q मिलता है, जहाँ b 2 b a और b। A।

सिद्ध प्रमेय से, यह देखा जा सकता है कि तालिका में संख्याओं को हटाने से यह तथ्य होता है कि संख्या के साथ शुरू करना आवश्यक है जो b 2 के बराबर है और असमानता को संतुष्ट करता है b 2। A। यही है, यदि आप उन संख्याओं को पार करते हैं जो 2 के गुणक हैं, तो प्रक्रिया 4 से शुरू होती है, और 3 के गुणक - 9 से, और इसी तरह 100 तक।

एराटोस्थनीज के प्रमेय का उपयोग करते हुए ऐसी तालिका का संकलन बताता है कि जब सभी समग्र संख्याओं को हटा दिया जाता है, तो ऐसे सरल होंगे जो n से अधिक नहीं होंगे। उदाहरण में जहां n \u003d 50 है, हमारे पास वह n \u003d 50 है। इसलिए, हम पाते हैं कि एराटोस्थनीज की छलनी उन सभी मिश्रित संख्याओं को छानती है जो मूल्य में 50 की जड़ के मूल्य से अधिक नहीं हैं। नंबर पार करके खोजे जाते हैं।

निर्णय लेने से पहले, आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि क्या संख्या प्रमुख या समग्र है। विभाज्यता मानदंड अक्सर उपयोग किए जाते हैं। आइए नीचे दिए गए उदाहरण में इस पर विचार करें।

उदाहरण 1

साबित करें कि संख्या 898989898989898989 समग्र है।

फेसला

किसी दिए गए अंक के अंकों का योग ९ 9 + ९ ९ \u003d ९ १s है। इसका मतलब यह है कि संख्या ९ १ by, विभाज्य चिह्न के आधार पर ९ से विभाज्य है। इसलिए यह इस प्रकार है कि यह समग्र है।

इस तरह के संकेत किसी संख्या की सादगी को साबित करने में सक्षम नहीं हैं। यदि सत्यापन की आवश्यकता है, तो अन्य कार्रवाई की जानी चाहिए। सबसे उपयुक्त तरीका संख्याओं पर पुनरावृति करना है। प्रक्रिया के दौरान, आप प्राइम और कम्पोजिट नंबर पा सकते हैं। यही है, संख्या एक मूल्य से अधिक नहीं होनी चाहिए। यही है, संख्या को प्रमुख कारकों में विघटित किया जाना चाहिए। यदि ऐसा किया जाता है, तो संख्या को प्रधान माना जा सकता है।

उदाहरण 2

समग्र या अभाज्य संख्या 11723 निर्धारित करें।

फेसला

अब आपको संख्या 11723 के लिए सभी भाजक खोजने होंगे। 11723 रेटेड होना चाहिए।

यहाँ से हम देखते हैं कि 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , और 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

संख्या 11723 के अधिक सटीक अनुमान के लिए, अभिव्यक्ति 108 2 \u003d 11 664, और नीचे लिखना आवश्यक है 109 2 = 11 881 फिर 108 2 < 11 723 < 109 2 ... इसलिए यह इस प्रकार है कि 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

अपघटन होने पर, हम 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89, 97, 101, 103, 107 सभी अभाज्य संख्याएँ हैं। इस पूरी प्रक्रिया को लंबे विभाजन के रूप में दर्शाया जा सकता है। यानी 11723 को 19 से भाग दें। संख्या 19 इसके कारकों में से एक है, क्योंकि हमें विभाजन बिना शेष है। आइए एक कॉलम द्वारा विभाजन का प्रतिनिधित्व करते हैं:

यह निम्नानुसार है कि 11723 एक संयुक्त संख्या है, क्योंकि स्वयं के अलावा, 1 में 19 का विभाजक है।

उत्तर: 11723 एक संयुक्त संख्या है।

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अन्य सभी प्राकृतिक संख्याओं को समग्र संख्या कहा जाता है। प्राकृतिक संख्या 1 न तो सरल है और न ही यौगिक है।

उदाहरण

काम। निम्नलिखित प्राकृतिक संख्याओं में से कौन सी प्रमुख हैं:

उत्तर।

एक संख्या फैक्टरिंग

प्राकृतिक संख्याओं के उत्पाद के रूप में एक प्राकृतिक संख्या का प्रतिनिधित्व कहा जाता है गुणन... यदि किसी प्राकृतिक संख्या के गुणन में सभी कारक अभाज्य संख्याएँ हैं, तो ऐसे कारक को कहा जाता है प्रधानीय कारन निकालना.

प्रमेय

(अंकगणित का मूल प्रमेय)

1 के अलावा प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को मुख्य कारकों में विघटित किया जा सकता है, और, इसके अलावा, एक अनूठे तरीके से (यदि हम डिकम्पोजिशन की पहचान करते हैं और, जहां और प्रमुख संख्याएं हैं)।

संख्या के विस्तार में समान मुख्य कारकों को मिलाकर, हम संख्या के तथाकथित विहित विस्तार को प्राप्त करते हैं:

जहां, अलग-अलग प्राइम हैं, और प्राकृतिक संख्याएं हैं।

उदाहरण

काम। संख्याओं के विहित विघटन का पता लगाएं:

फेसला। संख्याओं के विघटनकारी अपघटन को खोजने के लिए, आपको पहले उन्हें मुख्य कारकों में विघटित करना होगा, और फिर उन्हीं कारकों को संयोजित करना होगा और एक प्राकृतिक घातांक के साथ अपने उत्पाद को एक शक्ति के रूप में लिखना होगा:

उत्तर।

ऐतिहासिक संदर्भ

कैसे निर्धारित किया जाए कि कौन सी संख्या अभाज्य है और कौन सी नहीं? III सदी में प्रस्तावित किसी भी संख्यात्मक श्रेणी में सभी प्रमुख संख्याओं को खोजने के लिए सबसे आम तरीका। ईसा पूर्व इ। एराटोस्थनीज (विधि को "एराटोस्थनीज की छलनी" कहा जाता है)। मान लें कि हमें यह स्थापित करने की आवश्यकता है कि कौन सी संख्या प्रमुख हैं। आइए उन्हें एक पंक्ति में लिखें और निम्नलिखित संख्या 2 से हर दूसरे नंबर को पार करें - वे सभी संयुक्त हैं, क्योंकि वे संख्या 2 के गुणक हैं। शेष अनारक्षित संख्याओं में से पहला - 3 - अभाज्य है। 3 नंबर का पालन करने से हर तीसरे नंबर को पार करें; अनारक्षित संख्याओं के अगले - 5 - भी सरल होगा। इसी सिद्धांत से, संख्या 5 का अनुसरण करने से प्रत्येक पांचवें नंबर को पार करते हैं और सामान्य रूप से, निम्नलिखित संख्या से प्रत्येक -th। शेष बची हुई कोई भी संख्या अभाज्य होगी।

जैसे-जैसे आप बढ़ते हैं, धीरे-धीरे प्राइम कम होते जा रहे हैं। हालांकि, पूर्वजों को इस तथ्य के बारे में पहले से ही पता था कि उनमें से कई असीम हैं। इसका प्रमाण यूक्लिड के "सिद्धांत" में दिया गया है।